PM-2011-5-new-handout_1

PM-2011-5-new-handout_1 - Programação Matemática AULA 5...

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Unformatted text preview: Programação Matemática AULA 5 Universidade de Aveiro 2010/2011 http://elearning.ua.pt Problema de Programação Matemática na forma padrão min f ( x ) , s.a. g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( x ) = , i = 1 ,..., p ; ( P ) x ∈ R n . Aqui f , g j , h i são funções reais de x ; x é variável de decisão; f – função objectivo; g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m – restrições desigualdades; h i ( x ) = , i = 1 ,..., r – restrições igualdades. Problema de Programação Matemática na forma padrão min f ( x ) , s.a. g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( x ) = , i = 1 ,..., p ; ( P ) x ∈ R n . O conjunto admissível do problema ( P ) é dado por X := { x ∈ R n : g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( x ) = , i = 1 ,..., p } . O valor óptimo é val ( P ) := inf { f ( x ) : x ∈ X } . 1 Se X = ∅ , então ( P ) não é admissível e val ( P ) = ∞ ; 2 Se val ( P ) =-∞ , então ( P ) não é limitado. Extremos locais e globais Seja x * ∈ X – solução admissível do ( P ) . Optimo global x * é óptimo global em ( P ) se val ( P ) = f ( x * ) . Designamos por X opt o conjunto dos óptimos globais em ( P ) . Optimo local x * é óptimo local em ( P ) se existe R > 0 tal que x * é solução do problema local: min z f ( z ) , s.a. g j ( z ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( z ) = , i = 1 ,..., p ; ( PLoc ( R )) || z- x * || 2 ≤ R . Exemplos 1 f ( x ) = 1 x . D f = R ++ , val ( P ) = . Problema ( P ) não tem solução óptima . 2 f ( x ) =- log x . D f = R ++ , val ( P ) =-∞ . 3 f ( x ) = x log x . D f = R ++ , val ( P ) =- 1 e x * = 1 e é óptimo global. 4 f ( x ) = x 3- 3 x . D f = R , val ( P ) =-∞ . x * = 1 é óptimo local para cada R ∈ R . Restrições implícitas O problema de PM min f ( x ) , s.a. g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( x ) = , i = 1 ,..., p ; ( P ) x ∈ R n . tem uma restrição implicita : x ∈ D := D f T ( m \ i = D g i ) \ ( p \ i = D h i ) . Ao conjunto D chama-se domínio do problema ( P ) ; as restrições g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( x ) = , i = 1 ,..., p ; são restrições explicitas o problema ( P ) é incondicionado se não tem restrições explicitas (i.e. se m = p = . ) Exemplo Seja problema min f ( x ) =- k X i = 1 log ( b i- a T i x ) . Este problema é incondicionado . O problema tem restrições implicitas : a T i x i < b i . Problema de admissibilidade Dado problema ( P ) , primeiro temos de confirmar que X 6 = ∅ . Para isso podemos resolver o problema seguinte: Problema de admissibilidade encontrar x , s.a g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( x ) = , i = 1 ,..., p ; x ∈ R n , que é um caso particular do problema min 0 , s.a g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( x ) = , i = 1 ,..., p ; ( PAd ) x ∈ R n . Problema de admissibilidade min 0 , s.a g j ( x ) ≤ , j = 1 ,..., m ; h i ( x ) = , i = 1 ,..., p ; ( PAd ) x ∈ R n ....
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This note was uploaded on 05/19/2011 for the course MATH 1016 taught by Professor Rotar during the Spring '10 term at Aarhus Universitet.

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