PM-2011-6-new-handout

PM-2011-6-new-handout - Programao Matemtica AULA 6...

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Programação Matemática AULA 6 Universidade de Aveiro 2010/2011 http://elearning.ua.pt
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Lagrangeano Seja problema de PM na forma padrão (não necessáriamente convexo) min f ( x ) s.a g i ( x ) 0 , i = 1 , , m ( P ) h i ( x ) = 0 , i = 1 , . . . , p , onde x R n é variável de optimização, D é domínio, val ( P ) é valor óptimo. Definição. O Larangeano (função de Lagrange) para problema (P) é função L : R n × R m × R p R , com D L = D × R m × R m dada por L ( x , λ , μ ) := f ( x ) + p X i = 1 λ i h i ( x ) + m X i = 1 μ i g i ( x ) .
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Lagrangeano L ( x , λ , μ ) := f ( x ) + m X i = 1 λ i h i ( x ) + p X i = 1 μ i g i ( x ) . Larangeano pode ser interpretado como a soma pesada da função objecivo e funções de restrições em (P). Multiplicadores de Lagrange λ i são associados com restrições- igualdades h i = 0 Multiplicadores de Lagrange μ i são associados com restrições- desigualdades g i 0
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Função dual À função ϕ : R m × R p R dada por ϕ ( λ , μ ) := inf x ∈D L ( x , λ , μ ) = = inf x ∈D ( f ( x ) + p X i = 1 λ i h i ( x ) + m X i = 1 μ i g i ( x )) chama-se função dual de Lagrange para problema (P). A função dual 1 é côncava 2 pode ser igual ao -∞ para alguns valores de λ e μ 3 Propriedade de limite inferior: se μ ± 0, então ϕ ( λ , μ ) val ( P )
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Exemplos Solução do sistema de equações lineares da norma mínima min x T x , s.a Ax = b Vamos construir funçao dual : Larangeano é dado por L ( x , λ ) = x T x + λ T ( Ax - b ) . Minimizamos L pelo x : x L ( x , λ ) = 2 x + A T λ = 0 logo x = - 1 2 A T λ A função dual será então: ϕ ( λ ) = L ( - 1 2 A T λ , λ ) = - 1 4 λ T AA T λ - b T λ . ϕ é côncava e da propriedade de limite inferior temos que para todo λ : val ( P ) ≥ - 1 4 λ T AA T λ - b T λ
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Exemplos Problema de PL na forma padrão min c T x , s.a Ax = b , x ± 0 Construção da função dual : Larangeano é dado por L ( x , λ , μ ) = c T x + λ T ( Ax - b ) - μ T x = - b T λ + ( c + A T λ - μ ) T x . L é função afim em x , logo ϕ ( λ , μ ) = inf x L ( x , λ , μ ) = ± - b T λ se A T λ - μ + c = 0 -∞ caso contrário ϕ é linear no conjunto afim { ( λ , μ ) : A T λ - μ + c = 0 , μ 0 } logo côncava Da propriedade de limite inferior temos que para todo λ tal que A T λ - μ + c = 0 está satisfeito: val ( P ) ≥ - b T λ
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Exemplos Problema de minimização da norma sujeita às restrições-igualdades min || x || , s.a Ax = b O Lagrangeano para este problema é L ( x , λ , μ ) = || x || + λ T ( b - Ax ) . A função dual é então: ϕ ( λ ) = inf x ( || x || - λ T Ax + b T λ )
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Para simplificar cálculo de função dual, vamos introduzir norma dual à norma || · || : || v || * := sup || u ||≤ 1 u T v e mostramos que inf x ( || x || - y T x ) = ± 0 se || y || * 1 -∞ caso contrário De facto, se || y || * 1, então || x || - y T x 0 para todo x e || x || - y T x = 0 caso x = 0 se || y || * > 1, escolhemos x = tu com
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This note was uploaded on 05/19/2011 for the course MATH 1016 taught by Professor Rotar during the Spring '10 term at Aarhus Universitet.

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