PM-2011-7-handout_2

PM-2011-7-handout_2 - Programao Matemtica AULA 7...

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Programação Matemática AULA 7 Universidade de Aveiro 2010/2011 http://elearning.ua.pt
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Aspectos numéricos de resolução dos sistemas lineares Sistema linear Ax = b com A R n × n , b R n Complexidade do algoritmo é: custo de execução em número de operações aritméticos elementares a efectuar custo de execução em tempo computacional número de flops como função de dimensão do problema Aqui flop (floating-point operation) é uma operação com ponto flutuante (adição ou subtração ou multiplicação ou divisão) de dois números com ponto flutuante, dimenção do problema é número de variáveis n e número de restrições. Observação. Avaliação de complexidade dum algoritmo em flops é uma previsão não muito precisa do tempo computacional.
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Flops de algumas operações algébricas Operações com vectores. Sejam vectores x R n , y R n e escalar α . Produto escalar x T y : 2 n - 1 flops Soma x + y e produto com escalar α x : n flops. Produto de vector e matriz: Ax com A R m × n m ( 2 n - 1 ) flops Se matriz A é dispersa com N elementos não nulos, então 2 N flops Se A = UV T com U R m × p , V R n × p , então 2 p ( n + m ) flops
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Flops de algumas operações algébricas Produto matriz por matriz AB com A R m × n , B R n × p . mp ( 2 n - 1 ) flops ménos do que mp ( 2 n - 1 ) flops caso A e/ou B dispersas 1 2 m ( m + 1 )( 2 n - 1 ) m 2 n se m = p e se AB for simétrica
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Equações lineares de resolução mais fácil Para resolver sistema linear Ax = b é necessário n flops caso matriz A for diagonal: x = A - 1 b = ( b 1 a 11 , b 2 a 22 , . . . , b n a nn ) T n 2 flops caso matriz A for triângular inferior. Neste caso efectuamos forward substitution (substituição "para frente") x 1 = b 1 a 11 , x 2 = b 2 - a 21 x 1 a 22 , x 3 = b 3 - a 31 x 1 - a 32 x 2 a 33 , . . . x n = b n - a n 1 x 1 - a n 2 x 2 - ··· - a n , n - 1 x n - 1 a nn n 2 flops caso matriz A for triângular superior.
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Equações lineares de resolução mais fácil Matriz de permutações: p ij = ± 1 se j = π i 0 caso contrário , onde π = ( π 1 , π 2 , . . . , π n ) permutação de ( 1 , 2 , . . . , n ) . Propriedades: Px = ( x π 1 , x π 2 , . . . , x π n ) satisfaz a condição P - 1 = P T complexidade de resolução da equação Px = b é 0 flops
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Equações lineares de resolução mais fácil Exemplo. Para fazer a permutação ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ( x 2 , x 3 , x 1 ) T , podemos aplicar matriz de permutações P = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 . De facto ( x 2 , x 3 , x 1 ) T = P ( x 1 , x 2 , x 3 ) . P - 1 = P T = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 .
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Resolução de sistemas usando factorização de matriz Seja sistema linear A x = b . Supomos que A = A 1 A 2 . . . A k com matrizes A i , i = 1 , . . . , k mais simples: diagonais ou triângulares ou etc. Para resolver sistema
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This note was uploaded on 05/19/2011 for the course MATH 1016 taught by Professor Rotar during the Spring '10 term at Aarhus Universitet.

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