cap2_OL1011 - Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 2. Pontos...

Info iconThis preview shows pages 1–6. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 2. Pontos extremos e direc¸ c˜ oes extremas Universidade de Aveiro Departamento de Matem´ atica Pontos extremos e solu¸ c˜ oes b´ asicas admiss´ ıveis Defini¸ c˜ ao: Sendo X um conjunto convexo n˜ ao vazio diz-se que x ∈ X ´ e ponto extremo de X se n˜ ao existirem y,z ∈ X ( y 6 = z ) e λ ∈ ]0 , 1[ tais que x = λy + (1- λ ) z . Observa¸ c˜ ao: Se X ⊂ R n , x ∈ X ´ e um ponto extremo de X se e apenas se ∀ y ∈ X \{ x } { z ∈ R n : z = x + λ ( x- y ) ,λ > }∩ X = ∅ . Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Pontos extremos e solu¸ c˜ oes b´ asicas admiss´ ıveis Seja X = { x ∈ R n : Ax = b, x ≥ } , onde A ∈ R m × n tem car ( A ) = m e b ∈ R m × 1 . Consideremos A = [ B N ] , com B ∈ R m × m uma matriz invert´ ıvel e N ∈ R m × ( n- m ) , e x = [ x B x N ] > tal que Ax = b ⇔ Bx B + Nx N = b . Defini¸ c˜ oes:- Se x N = 0 e x B = B- 1 b ent˜ ao x designa-se por solu¸ c˜ ao b´ asica , B por matriz b´ asica ou base , as componentes de x B por vari´ aveis b´ asicas e as componentes de x N por vari´ aveis n˜ ao b´ asicas . Adicionalmente, se x ≥ , x designa-se por solu¸ c˜ ao b´ asica admiss´ ıvel (SBA) .- Se x B > , x diz-se uma SBA n˜ ao degenerada e, se pelo menos uma das componentes de x B (uma vari´ avel b´ asica) ´ e nula, x designa-se por SBA degenerada . Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Pontos extremos e solu¸ c˜ oes b´ asicas admiss´ ıveis Teorema Seja X = { x : Ax = b,x ≥ } . Ent˜ ao x ∈ X ´ e um ponto extremo de X se e apenas se x ´ e uma SBA. A cada SBA (ou seja, a cada base) corresponde um ´unico ponto extremo mas, podem existir v´ arias SBA (i.e., v´ arias bases) associadas a um ´unico ponto extremo. Uma base associada a este ponto extremo ´ e constitu´ ıda pelas p < m colunas a j de A , referentes ` as p vari´ aveis b´ asicas x j > , e por m- p colunas que s˜ ao escolhidas de entre as restantes n- p colunas de A e que formam com as p colunas atr´ as referidas uma matriz invert´ ıvel (uma base). Cada possibilidade de escolha destas m- p colunas da base representa uma SBA degenerada. Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Pontos extremos e solu¸ c˜ oes b´ asicas admiss´ ıveis Interpreta¸c˜ ao geom´ etrica: Seja b ∈ R m , A ∈ R m × n , a i a i-´ esima linha de A (1 ≤ i ≤ m ) e car ( A ) = m ....
View Full Document

This note was uploaded on 05/19/2011 for the course MATHS 274 taught by Professor Roussos during the Spring '10 term at Aarhus Universitet.

Page1 / 23

cap2_OL1011 - Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 2. Pontos...

This preview shows document pages 1 - 6. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online