cap4OL1011 - Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 4. M´ etodos...

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Unformatted text preview: Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 4. M´ etodos de Programa¸ c˜ ao Linear (m´ etodo simplex) 5. Estudo e fundamenta¸ c˜ ao do m´ etodo simplex (descri¸ c˜ ao algor´ ıtmica) Universidade de Aveiro Departamento de Matem´ atica Nota¸ c˜ oes Ao longo dos Cap´ ıtulos 4 e 5 considera-se (excepto quando indica¸c˜ ao em contr´ ario) um problema de Programa¸ c˜ ao Linear ( P ) escrito na forma: ( P ) min z = cx s.a Ax = b x ≥ onde A ∈ R m × n tem caracter´ ıstica m , c ∈ R 1 × n , x ∈ R n × 1 e b ∈ R m × 1 . z * = min { cx : Ax = b, x ≥ }- valor ´ optimo da fun¸ c˜ ao objectivo (valor ´optimo do problema ( P ) ). Se z * 6 = ±∞ ( z * ∈ R ), x * denota uma solu¸ c˜ ao ´ optima de ( P ) : Ax * = b , x * ≥ e cx * = min { cx : Ax = b, x ≥ } . Regi˜ ao de admissibilidade ou conjunto de solu¸ c˜ oes de ( P ) : X = { x : Ax = b, x ≥ } . Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Nota¸ c˜ oes Se B ´ e uma base de ( P ) , consideram-se as parti¸ c˜ oes A = [ B N ] , x = [ x B x N ] > e c = [ c B c N ] , reescreve-se ( P ) na forma ( P ) min z = c B x B + c N x N s.a Bx B + Nx N = b x B ,x N ≥ SBA - solu¸ c˜ ao b´ asica admiss´ ıvel a j ´ e a j- ´ esima coluna de A , j = 1 , ··· ,n , a i ´ e a i- ´ esima linha de A , i = 1 , ··· ,m , A = [ a 1 ··· a 2 ] = [ a 1 ··· a 2 ] > , B- conjunto dos ´ ındices j das colunas a j que est˜ ao em B (´ ındices das vari´ aveis b´ asicas) N- conjunto dos ´ ındices j das colunas a j que n˜ ao est˜ ao em B , isto ´ e, que est˜ ao em N (´ ındices das vari´ aveis n˜ ao b´ asicas). ¯ b = B- 1 b , y j = B- 1 a j , j = 1 , 2 , ··· ,n , z j = c B B- 1 a j , j = 1 , 2 , ··· ,n . Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 M´ etodo simplex - forma alg´ ebrica Seja x (0) = ( x (0) B , x (0) N ) = ( x (0) B , 0) uma SBA com base B ; considerem-se as parti¸ c˜oes induzidas por B em A , c e x . Ent˜ ao b = Ax = [ B N ] x B x N = Bx B + Nx N , x B = B- 1 b- B- 1 Nx N = B- 1 b- X j ∈N B- 1 a j x j (Nota: x (0) B = B- 1 b ) (1) = ¯ b- X j ∈N y j x j , (2) z = [ c B c N ] x B x N = c B x B + c N x N = (por (1)) = c B B- 1 b- X j ∈N c B B- 1 a j x j + X j ∈N c j x j = c B B- 1 b- X j ∈N ( c B B- 1 a j- c j ) x j = z (0)- X j ∈N ( z j- c j ) x j , onde z (0) = cx (0) = c B B- 1 b. (3) Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 M´ etodo simplex - forma alg´ ebrica De (2) e (3) o problema ( P ) pode ser reescrito na forma: ( P ) min z = z (0)- ∑ j ∈N ( z j- c j ) x j s.a ∑ j ∈N y j x j + x B = ¯ b x j ≥ ∀ j ∈ N , x B ≥ , onde z (0) = cx (0) = c B B- 1 b = c B ¯ b , ¯ b = B- 1 b , z j = c B B- 1 a j , j = 1 , 2 , ··· ,n , y j = B- 1 a j , j = 1 , 2 , ··· ,n ....
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This note was uploaded on 05/19/2011 for the course MATHS 274 taught by Professor Roussos during the Spring '10 term at Aarhus Universitet.

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