cap5_KKT_OL1011 - Optimizao Linear 10/11 ca 5. Estudo e...

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Optimiza¸ ao Linear 10/11 5. Estudo e fundamenta¸ ao do m´ etodo simplex (Lema de Farkas e condi¸ c˜oes de optimalidade de Karush-Kuhn-Tucker) Universidade de Aveiro Departamento de Matem´ atica
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Lema de Farkas Teorema Seja A R m × n e c R 1 × n . Apenas um e um s´o dos seguintes sistemas tem solu¸ ao: 1. Ax 0 , cx < 0 2. wA = c , w 0 . Prova: Seja x uma solu¸ ao do sistema 1e suponha-se que o sistema 2 tem uma solu¸ ao w . Ent˜ ao cx = wAx 0 o que entra em contradi¸ ao com o facto de x ser uma solu¸ ao do sistema 1. Provou-se que se o sistema 1 tem solu¸ ao ent˜ ao o sistema 2 ao tem solu¸ ao . Optimiza¸ ao Linear 10/11 1 ± 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Lema de Farkas Suponha-se que o sistema 1 n˜ ao tem solu¸ ao e considere-se o problema ( P ) min { cx : Ax 0 } que tem como valor ´optimo o zero ( porquˆ e? ). Consideremos ( P ) na forma padr˜ ao substituindo x por x 0 - x 00 , com x 0 ,x 00 0 , e introduzindo o vector s de vari´ aveis de folga: ( P 0 ) min { cx 0 - cx 00 : Ax 0 - Ax 00 - s = 0 , x 0 ,x 00 ,s 0 } . Considerando s como as vari´ aveis b´ asicas da SBA inicial ( x 0 = x 00 = s = 0 ) e, recorrendo a uma regra de preven¸ ao de cycling (regra de Bland ou lexicogr´ afica), obt´ em-se uma solu¸ ao ´optima para ( P 0 ) com z j - c j 0 , j . Seja B a base da SBA ´ optima obtida e w = c B B - 1 . Optimiza¸ ao Linear 10/11 1 2 ± 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Lema de Farkas Tendo em conta que z j - c j = c B B - 1 a j - c j , onde a j ´ e o vector dos coeficientes da vari´ avel x j nas restri¸ c˜oes funcionais, o vector dos custos reduzidos das vari´ aveis x 0 ´ e dado por wA - c 0 , o vector dos custos reduzidos das vari´ aveis x 00 ´ e dado por - wA + c 0 e o vector dos custos reduzidos das vari´ aveis de folga ´ e - w 0 . Das trˆ es ´ultimas desigualdades vem que existe um w que ´ e solu¸ ao do sistema 2 . Optimiza¸ ao Linear 10/11 1 2 3 ± 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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Lema de Farkas Interpreta¸c˜ ao geom´ etrica: De acordo com o Lema de Farkas, - O sistema 1 tem solu¸c˜ ao se a intersec¸c˜ ao do cone { x : Ax 0 } com o semi-espa¸ co { x : cx < 0 } ´ e n˜ ao vazia, ou seja, se existe um vector x que forma um ˆ angulo θ i [0 ,π/ 2] com o vector
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