cap6_OL1011 - Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 6. Dualidade...

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Unformatted text preview: Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 6. Dualidade Universidade de Aveiro Departamento de Matem´ atica Formula¸ c˜ ao do problema dual Forma can´onica problema primal (P) min z = cx s.a Ax ≥ b x ≥ problema dual (D) max y = wb s.a wA ≤ c w ≥ Forma padr˜ ao problema primal (P) min z = cx s.a Ax = b x ≥ problema dual (D) max y = wb s.a wA ≤ c Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Formula¸ c˜ ao do problema dual Exerc´ ıcio: Mostre que as formas can´onicas e a forma padr˜ ao, apresentadas na p´ agina anterior, s˜ ao equivalentes. Lema: O dual do dual ´ e o primal. Na sequˆ encia do Lema anterior, frequentemente ´ e utilizada a express˜ ao ”par de problemas primal-dual” como referˆ encia a um par de problemas em que cada um deles ´ e o dual do outro. Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Formula¸ c˜ ao do problema dual Tabela de rela¸ c˜ oes entre os problemas primal e dual: Problema de minimiza¸ c˜ ao Problema de maximiza¸c˜ ao vari´ aveis: restri¸ c˜oes: ≥ ≤ ≤ ≥ livres = restri¸ c˜oes: vari´ aveis: ≥ ≥ ≤ ≤ = livres Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Dualidade fraca Teorema: Sejam ( P ) e ( D ) o par de problemas primal-dual da p´ ag. 1, escritos na forma can´ onica. Se x e w s˜ ao solu¸ c˜oes admiss´ ıveis de ( P ) e ( D ) , respectivamente, ent˜ ao cx ≥ w b . Corol´ ario: 1. Se x e w s˜ ao solu¸ c˜oes admiss´ ıveis de ( P ) e ( D ) , respectivamente, tais que cx = w b , ent˜ ao x e w s˜ ao solu¸ c˜oes ´optimas dos problemas ( P ) e ( D ) , respectivamente. 2. Se algum dos problemas ( P ) ou ( D ) n˜ ao tem ´optimo finito, ent˜ ao o outro problema n˜ ao possui solu¸ c˜oes admiss´ ıveis. Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Dualidade forte Teorema: Considere-se um par de problemas primal-dual na forma can´onica. Se um problema tem ´ optimo finito, ent˜ ao ambos os problemas tˆ em ´optimo finito e os valores ´ optimos das respectivas fun¸ c˜oes objectivo coincidem. Optimiza¸ c˜ ao Linear 10/11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Teorema fundamental da dualidade Teorema: Considere-se um par de problemas primal-dual. Exactamente uma das seguintes afirma¸ c˜ oes ´ e verdadeira: 1. Ambos os problemas tˆ em solu¸ c˜oes ´optimas e os valores ´optimos das respectivas fun¸ c˜oes objectivo coincidem. 2. Um dos problemas n˜ ao tem ´optimo finito e o outro n˜ ao tem solu¸ c˜oes admiss´ ıveis. 3. Ambos os problemas n˜ ao tˆ em solu¸ c˜oes admiss´ ıveis....
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This note was uploaded on 05/19/2011 for the course MATHS 274 taught by Professor Roussos during the Spring '10 term at Aarhus Universitet.

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