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Guiao_CNL_29042011 - Guio da disciplina Controlo No...

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Guiªo da disciplina Controlo Nªo Linear (2010-2011) Vasile Staicu (Professor CatedrÆtico). Departamento de MatemÆtica da Universidade de Aveiro Gabinete 27.3.8, e-mail: [email protected] Conteoedo 1 Apresenta°ªo e objectivos da disciplina 2 2 Resumo do programa 3 3 Bibliogra±a 3 4 Avalia°ªo e classi±ca°ªo 4 5 Carga HorÆria, metodologia 4 6 Desenvolvimento do programa 5 6.1 Introdu°ªo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6.2 Preliminares matemÆticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.2.1 Espa°os vectoriais normados. Espa°os de Banach . . . 12 6.2.2 Principio das contrac°ıes de Banach e teorema de Brower 15 6.2.3 Elementos da teoria da medida de Lebesgue . . . . . . 18 6.2.4 Integral de Lebesgue e suas rela°ıes com o integral de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.3 Complementos de equa°ıes diferenciais . . . . . . . . . . 25 6.3.1 Solu°ıes de Caratheodory vs solu°ıes classicas . . . . . 25 6.3.2 Existencia de solu°ıes de Caratheodory . . . . . . . . . 27 6.3.3 Unicidade das solu°ıes de Caratheodory e sua depen- dencia dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.3.4 Caracteriza°ªo das solu°ıes maximais . . . . . . . . . . 33 6.3.5 Equa°ıes autonomas e sistemas dinamicos . . . . . . . 34 6.3.6 Elementos da teoria de estabilidade . . . . . . . . . . . 37 1
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1 Apresenta°ªo e objectivos da disciplina No estudo dos sistemas f±sicos e sua modela°ªo matemÆtica distinguem-se dois pontos de vista: o ponto de vista clÆssico e o ponto de vista moderno. No ponto de vista clÆssico os sistemas f±sicos sªo assumidos isolados e toda a informa°ªo contida neles Ø assumida completamente acess±vel para um observador externo. Um modelo matemÆtico descreve a evolu°ªo do sistema tendo em conta as suas for°as internas e as observa°ıes sobre o sistemas feitas do exterior e sem ter a possibilidade de interferir nesta evolu°ªo, e Ø representado por equa°ıes ou inclusıes diferenciais. A insu²ciOEncia deste enquadramento acaba por ²car clara em frente ao desenvolvimento da tecnologia e da engenharia. A inven°ªo de maquinas e ferramentas e a sua difusªo pıem o investigador em frente a realidade dos sistemas que podem ser facilmente guiadas do exterior de modo a regular o seu funcionamento com base num projecto pre-estabelecido e com o objectivo determinado a ser realizado. A Teoria matemÆtica do controlo representa o suporte te³rico para o estudo dos sistemas f±sicos dotados de entradas e sa±das . Sendo nosso objectivo chegar a um modelo matemÆtico e natural as- sumir que as grandezas (par´metros) escolhidos sªo "mensurÆveis", isto Ø, exprim±veis em valores numØricos e porque interessa a evolu°ªo em tempo do sistema em consequOEncia da sua din´mica interna como tambØm em con- sequOEncia dos sinais externos (controlos), todas as grandezas (par´metros) signi²cativas do sistema deverªo ser pensados como fun°ıes do tempo. O modelo matemÆtico que relaciona o estado do sistema com os controlos simulando a din´mica interna e representado por sistema de controlo e pode ser linear ou nªo linear.
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