Anexo_05-A_Analisis_sistemas_Laplace

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Control de Procesos Anexo 05-A Página 1/12 Análisis de sistemas mediante la Transformada de Laplace Introducción El nivel de matemáticas necesario para hallar la solución de una ecuación diferencial se eleva mucho a medida que crece el grado de la ecuación. Afortunadamente el proceso puede simplificarse considerablemente con el empleo del método matemático conocido con el nombre de transformada de Laplace. En este anexo se introduce la transformada de Laplace desde el punto de vista de herramienta matemática para el diseño de los sistemas de control. Se tendrá en cuenta más la forma de aplicación que la formulación teórica. Además de su relativa facilidad, tiene la ventaja de que con su empleo se obtienen las soluciones transitorias y estacionarias simultáneamente. Naturaleza de la transformada de Laplace. Al aplicar la transformada de Laplace sobre una función en el tiempo f(t) queda transformada por una nueva función designada F(s). En esta transformación, s es una nueva variable compleja similar a un número complejo s= +jw. Para poder aplicar la transformada de Laplace deberá ser f(t) una función real y continua en el intervalo. Matemáticamente la transformación de Laplace viene dada por: ) ( ) ( ] ) ( [ 0 s F dt e t f t f L st La inversa de la transformada de Laplace viene dada por: ] ) ( [ ) ( 1 s F L t f
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Control de Procesos Anexo 05-A Página 2/12 En la práctica se emplean tablas con pares de transformadas en las que la función en el tiempo f(t) y la correspondiente función de Laplace F(s) están agrupadas. La tabla puede emplearse a la vez para la transformación directa y la inversa, es decir, para obtener F(s) a partir de f(t), o viceversa. La tabla adjunta muestra las funciones más frecuentes. En el anexo anterior se menciona que las funciones escalón y senoidales se emplean frecuentemente en el análisis de sistemas de control. A continuación se deduce las transformadas de ambas funciones: f(t)=0 para t<0 f(t)=A para t>=0 la solución para la función escalón vendrá dada por: s A e s A dt e A s F st st 0 0 ) ( Para hallar la transformada de Laplace para la función senoidal se puede emplear la igualdad de Euler que es:
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