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Introducción al Cálculo de variaciones para estudiantes de primer curso de Ingenierías Autoría: Mª José Haro Delicado y Mª José Pérez Haro Temática: Introducción al Cálculo de Variaciones a través de la resolución de problemas clásicos de la física. Palabras clave: Cálculo de variaciones, ecuaciones diferenciales, braquistócrona. Resumen: Pretendemos introducir de manera sencilla a estudiantes de primer curso de ingenierías en el Cálculo Variacional. Generalmente, los estudiantes ven la teoría aislada de las situaciones que la justifican. También, los problemas que resuelven suelen estar desligados de casos reales. En Bachillerato, trabajan con problemas de cálculo de óptimos de funciones de una variable, sujetas a condiciones representadas por ecuaciones lineales o cuadráticas. Se trata de extender este tipo de problemas y trabajar con funciones de funciones (funcionales), de manera que los universitarios manejen ejemplos que representaron, en un momento dado de la historia de las matemáticas, un desafío para los estudiosos de la época, y encuentren un significado práctico a su estudio. Tratar con conceptos algo elevados para el nivel de los estudiantes ha hecho necesario seleccionar y adaptar mucho los problemas y actividades para que sirvan como introducción comprensible a conceptos y métodos propios del cálculo variacional y puedan ser resueltos desde sus conocimientos previos, entre los que se encuentran los métodos básicos de resolución de ecuaciones diferenciales. Nos apoyamos también en herramientas dinámicas (GeoGebra), capaces de simular procesos útiles para comprender mejor y afianzar los conceptos trabajados. 1. INTRODUCCIÓN “Ya que la fábrica del universo es más que perfecta y es el trabajo de un Creador más que sabio, nada en el universo sucede en el que alguna regla de máximo o mínimo no aparezca” . Leonhard Euler El objetivo de esta introducción es el de tratar con conceptos básicos del cálculo variacional procurando presentar diferencias y similitudes con contenidos previos que ya han sido adquiridos por lo estudiantes. Se presenta la idea de funcional comparándola con la idea de función, así como diversos ejemplos muy sencillos en los que aparecen funcionales. Se termina con un ejemplo, como es el de la longitud de un arco de curva que les permite utilizar conocimientos adquiridos en segundo de Bachillerato. En este documento, por limitación de espacio, se ofrecen sólo unos pocos de los ejemplos y aplicaciones que hemos trabajado. 1.1. Desarrollo de la introducción Conjuntamente con los problemas en que es necesario determinar los máximos y mínimos de cierta función y=f(x), con frecuencia surgen problemas físicos en los que es necesario hallar los valores máximo y mínimo de un tipo especial de magnitudes, llamadas funcionales. Se llama funcionales a un determinado tipo de funciones cuyos valores se determinan a partir
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This note was uploaded on 05/25/2011 for the course ECON 103 taught by Professor Poul during the Spring '11 term at American University of Central Asia.

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