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Unformatted text preview: C ´ ALCULO DE VARIACIONES Y EL TEOREMA DE BONNET MAR ´ IA LAURA BARBERIS † Resumen . El objetivo de estas notas es presentar algunas nociones b´asicas que se utilizan en el estudio de superficies en el espacio euclidiano R 3 . Aplicaremos el c´alculo de variaciones, que es una herramienta muy ´util en diversas ´areas de la matem´atica y la f´ ısica, para relacionar la geometr´ ıa de una superficie con su topolog´ ıa. Demostraremos el teorema de Bonnet, que afirma que si S es una superficie completa con curvatura de Gauss acotada inferiormente por una constante positiva, entonces S es compacta. 1. Preliminares El c´alculo de variaciones es un m´ etodo efectivo para encontrar soluciones a problemas de optimizaci´on en matem´atica, f´ ısica y otras ciencias donde la matem´atica se aplica. El libro de J. Troutman [T] contiene una introducci´on a dicha teor´ ıa, cuyos or´ ıgenes se remontan a trabajos de Zenodoros (200-100 a.C.). Los problemas de c´alculo de variaciones son de gran importancia en la actualidad, por ejemplo, dise˜nar la forma de un avi´on o un autom´ovil para que su resistencia al aire sea m´ ınima, problemas de control, donde se trata de controlar un determinado sistema para obtener un rendimiento ´optimo, problemas sobre la mejor estrategia en determinados juegos. En estas notas aplicamos el c´alculo de variaciones para demostrar un teorema cl´asico de geometr´ ıa diferencial, el teorema de Bonnet (1851). Comenzaremos dando varias definiciones que ser´an necesarias en lo sucesivo. Daremos un panorama general de la geometr´ ıa diferencial de superficies y para esto enunciare- mos algunos de los resultados m´as relevantes, omitiendo sus demostraciones. El lector interesado puede consultar los detalles en el libro de Do Carmo [DC]. 1.1. Curvas parametrizadas, curvas regulares y longitud de arco. Una curva parametrizada diferenciable es una funci´on diferenciable α : ( a,b ) → R 3 , ( a,b ) ⊂ R , donde no exclu´ ımos el caso a =-∞ o b = ∞ . Para cada t ∈ ( a,b ), α ( t ) = ( x ( t ) ,y ( t ) ,z ( t )) y la diferenciabilidad de α equivale a la diferenciabilidad de x ( t ) , y ( t ) y z ( t ). El vector velocidad α ( t ) = ( x ( t ) ,y ( t ) ,z ( t )) se denomina vector tangente a α en t . La imagen de α , α ( a,b ) ⊂ R 3 , se denomina trayectoria de α . No debemos confundir la curva con su trayectoria; la curva es una funci´on mientras que su trayectoria es un subconjunto de R 3 . † FaMAF-CIEM, Univ. Nac. de C´ordoba, Ciudad Universitaria, 5000 C´ordoba Correo electr´onico: barberis@mate.uncor.edu Curso para estudiantes, Reuni´on Anual de la Uni´on Matem´atica Argentina, octubre de 2004....
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This note was uploaded on 05/25/2011 for the course ECON 103 taught by Professor Poul during the Spring '11 term at American University of Central Asia.

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