lecciones_de_calculo_variacional

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Unformatted text preview: C´ alculo de variaciones Luis O. Silva Universidad Nacional Aut´ onoma de M´ exico Cd. Universitaria 2008 c Luis O. Silva 4 de febrero de 2009 Typesetting L A T E X2 ε ´ Indice general 1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Notaci´on y nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3. Supremo, ´ ınfimo, m´aximo y m´ ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. Convexidad de conjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5. Minimizaci´on de funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6. Espacios de funciones y funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7. Funcionales convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8. Minimizaci´on de funcionales convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9. Minimizaci´on de funcionales convexos bajo condiciones convexas . . 41 10. Extremos locales de funciones reales de variable real . . . . . . . . . 42 11. Espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 12. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 13. Compacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1. Introducci´on 1.1. El c´alculo de variaciones o c´ alculo variacional es una rama cl´ asica y funda- mental de las matem´ aticas. No es una exageraci´ on afirmar que el desarrollo de esta rama de las matem´ aticas ha ido a la par con el desarrollo de los conceptos centrales del an´alisis matem´ atico y sus aplicaciones. En lo que respecta a las aplicaciones, muchos de los conceptos centrales de la f´ ısica te´orica est´ an en estrecha relaci´ on con el c´alculo variacional. 1.2. Las ra´ ıces del c´alculo variacional se extienden a tiempos anteriores a la Grecia cl´ asica. Uno de los problemas m´as antiguos del c´ alculo variacional, y de las ma- tem´ aticas en general, es el problema isoperim´ etrico. Este problema est´a relacionado con la legendaria Dido fundadora de la ciudad fenicia de Cartago (buena parte de la leyenda de Dido se encuentra en la Eneida de Virgilio, aunque por otras fuentes se sabe que fue un personaje hist´ orico). Cuenta la leyenda que Dido y un grupo de seguidores llegaron a las costas de lo que ahora es T´unez y solicitaron un pedazo de tierra a los habitantes locales. Dido pidi´o la tierra que pueda se encerrada por 3 4 Introducci´ on la piel de un toro. Desde luego la petici´ on no parec´ ıa muy ambiciosa as´ ı que le fue esto concedido. Dido corto la piel en tiras muy delgadas formando as´ ı un cuerda muy larga. Utiliz´ o entonces esta cuerda para rodear un extensi´ on de tierra en la costa que pas´ o a convertirse en la ciudad de Cartago. Independientemente de la veracidad de la leyenda no es dif´ ıcil aceptar que el problema de abarcar la mayor ´ area posible dada una cuerda de longitud fija apareci´ o hace mucho tiempo en la historia. El fil´osofo Zenodoros (200 a.n.e.) plante´historia....
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