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Unformatted text preview: Introducci´on al C´alculo Variacional Gonzalo Galiano, 2003 ´ Indice general Introducci´on V Tres problemas cl´asicos V El problema de la braquistocrona V El problema de las geod´esicas VII El problema isoperim´etrico VII M´etodos de resoluci´on de los problemas variacionales VII M´etodos indirectos VIII M´etodos directos VIII Cap´ ıtulo 1. Analog´ ıas entre el C´alculo Diferencial y el C´alculo Variacional 1 1. Optimizaci´on en dimensi´on finita 1 2. Paso a dimensi´on infinita 1 Cap´ ıtulo 2. La ecuaci´on de Euler y las condiciones de Legendre 7 1. Problemas variacionales con fronteras fijas en una variable 7 2. Generalizaciones del problema con fronteras fijas 13 2.1. El caso de varias variables 13 2.2. El caso de varias inc´ognitas 15 2.3. Funcionales que dependen de las derivadas de orden superior 17 2.4. Problemas variacionales con restricciones 17 3. Variaci´on general de un funcional 23 3.1. Deducci´on de la f´ormula b´asica 23 Cap´ ıtulo 3. Las condiciones de Jacobi 27 1. Introducci´on 27 2. Condici´on necesaria de Jacobi 28 3. Condici´on de Jacobi. Condiciones suficientes para un m´ ınimo 33 4. Relaci´on entre la condici´on de Jacobi y la teor´ ıa de formas cuadr´aticas 35 Cap´ ıtulo 4. Introducci´on a los m´etodos directos. El m´etodo de Ritz 39 1. Sucesiones minimizantes 39 2. El m´etodo de Ritz 41 III IV ´ INDICE GENERAL Bibliograf´ ıa 43 Introducci´on Tres problemas cl´asicos A continuaci´on introducimos tres ejemplos cl´asicos del C´alculo de Variaciones, en los que se muestran los elementos fundamentales del problema tipo de optimizaci´on. Son ´estos: 1. Un espacio de funciones, V , tal que u : Ω → R q , donde Ω es una abierto, normalmente acotado, de R n , de frontera, Γ , regular. 2. Restricciones sobre el conjunto de soluciones, que pueden imponerse bien sobre la fron- tera Γ , bien sobre el dominio Ω . Por ejemplo u = 0 en Γ , u ≥ ψ en Ω , etc. El conjunto de funciones que satisfacen estas restricciones es, en general, un subconjunto, U de V . 3. Un funcional J : V → R de la forma siguiente: (1) J ( u ) := Z Ω L ( x,u ( x ) ,u ( x )) dx. Naturalmente, las hip´otesis sobre V y L deben asegurar la existencia de J sobre V , o al menos sobre U . El problema de optimizaci´on consiste en hallar el m´ ınimo, u ∈ U , del funcional J . El problema de la braquistocrona. El problema de la braquistocrona, o curva de descenso m´as r´apido, es uno de los problemas m´as antiguos del c´alculo de variaciones. La primera solu- ci´on fue dada por Johann Bernoulli en 1696, aunque tambi´en dieron soluciones algunos contem- por´aneos suyos como Jacob Bernoulli, Leibniz y Newton....
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This note was uploaded on 05/25/2011 for the course ECON 103 taught by Professor Poul during the Spring '11 term at American University of Central Asia.

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