Ecuaciones-Diferenciales Ordinarias (UAM).pdf - Ecuaciones diferenciales Canek Portal de Matem\u00e1ticas Ecuaciones diferenciales Ernesto Javier Espinosa

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Unformatted text preview: Ecuaciones diferenciales Canek: Portal de Matemáticas Ecuaciones diferenciales Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador) Ignacio Canals Navarrete Ismael Muñoz Maya Rafael Pérez Flores Carlos Daniel Prado Pérez Rubén Dario Santiago Acosta Carlos Antonio Ulín Jiménez Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco Editorial Reverté Barcelona  Bogotá  Buenos Aires  Caracas  México 2010 Universidad Autónoma Metropolitana Rector general Dr. José Lema Labadie Secretario general Mtro. Luis Javier Melgoza Valdivia Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco Rectora M.A.V Paloma Ibañez Villalobos Secretario Ing. Darío Eduardo Guaycochea Guglielmi Director de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería Dr. Emilio Sordo Zabay Jefe del Departamento de Ciencias Básicas Dr. Luis Enrique Noreña Franco © M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador) Dr. Ignacio Canals Navarrete Dr. Ismael Muñoz Maya Dr. Rafael Pérez Flores y M. en C. Carlos D. Prado Pérez y M. en C. Rubén Dario Santiago Acosta Dr. Carlos Antonio Ulín Jiménez © Departamento de Ciencias Básicas División de Ciencias Básicas e Ingeniería Unidad Azcapotzalco Universidad Autónoma Metropolitana Av. San Pablo 180, col. Reynosa Tamaulipas Deleg. Azcapotzalco, C.P. 02200 México D.F. © Reverté Ediciones, S.A. de C.V. Río Pánuco, 141, col. Cuauhtémoc Deleg. Cuauhtémoc, C.P. 06500 México D.F. ISBN de la colección ISBN del volumen Primera edición 2010 Impreso en China. Printed in China Everbest Printing Co. Ltd Block C Unit 5. 10th Floor 7 Ko Fai Road Yau Tong Kowloon, Hong Kong Captura de datos: Teresa Jurado Dorantes y Eliel Fabila Portada: Cuidado editorial: Concepción Asuar Todo el material de Ecuaciones diferenciales se encuentra en línea en la dirección: http:nncanek.azc.uam.mx Índice Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII Capítulo 1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Definición de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . 1.3 Soluciones de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . 1.3.1 Soluciones de una ecuación . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Solución de una ecuación diferencial . . . . . . . 1.3.3 Tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales 1.4 Condiciones Iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Familias de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Interpretación gráfica de y 0 D f .x; y/ . . . . . . 1.5.2 Curva solución de un PVI . . . . . . . . . . . . . 1.6 XI . . . . . . . . . . . 1 1 4 5 5 7 10 12 14 14 22 Existencia y unicidad de soluciones * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables . . 2.3 Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . 2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 38 45 53 Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Miscelánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Ecuaciones reducibles a primer orden . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Sobre funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.3 Diferencial exacta o total . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.4 Derivación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.5 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . 2.10.6 Integración parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 61 70 84 96 106 106 108 111 111 115 117 119 120 122 2.5 VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII Capítulo 3 Aplicaciones de ED de primer orden . . . . 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Las aplicaciones de las ED . . . . . . . . . . . . . 3.2 Decaimiento radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Crecimiento de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Modelo de Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Modelo logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Ley de Newton de cambio de temperaturas . . . . . . . 3.5 Mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Problemas geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Curvas definidas por sus tangentes y normales . 3.7.2 Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Miscelánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 127 127 128 133 133 137 141 148 158 166 167 169 175 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . 4.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Solución de un problema con condiciones iniciales . . . . . . . . . . 4.1.3 El Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Reducción de orden en ED lineales de segundo orden . . . . . . . . 4.3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Bases de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Ecuaciones diferenciales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 ED lineales homogéneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 ED homogéneas con coeficientes constantes de orden 2 . . . . . . . 4.4.2 ED lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden n  3 4.5 Obtención de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Método de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 El método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Variación de parámetros para ED de orden 2 . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Variación de parámetros para ED de orden n . . . . . . . . . . . . . 4.8 Variación de parámetros y reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 183 186 187 188 189 189 196 196 197 201 202 207 207 215 220 225 232 242 242 251 259 Capítulo 5 Aplicaciones de orden superior . 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Vibraciones mecánicas . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Movimiento armónico simple . . . . 5.2.2 Vibraciones amortiguadas libres . . 5.2.3 Vibraciones forzadas . . . . . . . . . 5.3 Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Circuito RC de corriente continua . 5.3.2 Circuito RL de corriente continua . 5.3.3 Circuito RLC de corriente continua 5.3.4 Circuito RC de corriente alterna . . 5.3.5 Circuito RL de corriente alterna . . . 5.3.6 Circuito LC de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 267 268 268 289 308 323 328 331 333 337 340 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 5.3.7 5.3.8 Circuito RLC de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Relación electromecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Capítulo 6 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Definición de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . 6.2.1 Definición y primeras observaciones . . . . . . . . 6.2.2 Cálculo de la TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Más ejemplos de cálculo de la TL . . . . . . . . . . 6.3 Existencia de TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Propiedades de la TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Cambio de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Primera propiedad de traslación . . . . . . . . . . 6.4.3 Segunda propiedad de traslación . . . . . . . . . . 6.4.4 Transformada de una derivada . . . . . . . . . . . 6.4.5 Derivada de una transformada . . . . . . . . . . . 6.4.6 Transformada de una integral . . . . . . . . . . . . 6.4.7 Integral de una transformada . . . . . . . . . . . . 6.4.8 Transformada de una función periódica . . . . . . 6.5 Aplicación de la TL para resolver ED . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Esquema general del método . . . . . . . . . . . . 1 6.5.2 Técnicas de cálculo de L . Fracciones parciales . 1 6.5.3 Técnicas de cálculo de L . Método de Heaviside 6.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Teorema de convolución y la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 351 354 354 355 358 361 365 367 367 370 373 376 378 379 380 384 384 386 391 408 414 Capítulo 7 Métodos numéricos 7.1 Introducción . . . . . . . . . . 7.2 Método de Euler . . . . . . . . 7.3 Método de Euler mejorado . . 7.4 Método de Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 423 424 438 450 Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 X Prólogo ¿Puede el aleteo de una mariposa en Brasil provocar un tornado en Texas? Edward Norton Lorentz El epígrafe anterior es el título de una conferencia que dictó E. N. Lorentz en un congreso de la American Association for the Advancement of Science (AAAS), y evoca una serie de imágenes sobre la influencia aparentemente desproporcionada, de que ciertos pequeños cambios, en reacciones que se encadenan y adquieren importancia hasta producir resultados mayores. Esas imágenes se han popularizado tanto que actualmente se usa la expresión efecto mariposa para referirse cotidianamnete a esa clase de procesos, de forma muy libre sin un cabal conocimiento de su significado. Para comprender el significado real de la expresión anterior es necesario primero entender el cambio, una cualidad de nuestro universo que, si bien es algo abstracta y difícil de apreciar, es susceptible de medirse y estudiarse. Uno de los temas más importantes del libro que está usted leyendo es el cambio, tema tratado con tal precisión que permita entender una gran variedad de procesos o fenómenos que involucran cambios. Este libro es el resultado del trabajo conjunto de un equipo de profesores pertenecientes adscritos a varias instituciones de educación superior (Universidad Autónoma Metropolitana – Azcapotzalco, Tecnológico de Monterrey – campus Estado de México e Instituto Tecnológico de Pachuca) con el fin de ayudar a la formación no sólo de los estudiantes de escuelas de ingeniería en nuestras instituciones, sino también en muchas otras que tengan la materia de ecuaciones diferenciales (ED) como parte de su curriculum. Este libro supone que el lector posee los conocimientos adquiridos en los cursos de Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y algunas nociones de Cálculo en Varias Variables y Álgebra Lineal. Al escribir este libro se ha pensado en el estudiante como el principal actor en la construcción de su propio conocimiento, por tal razón los autores hemos puesto un gran esfuerzo en su diseño y revisión, gráficas presentadas, selección de ejemplos resueltos con gran detalle que forman parte sustancial del libro, así como los problemas propuestos, cuya resolución tiene una gran importancia para el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales. En cuanto al estilo, hemos procurado usar un lenguaje claro y preciso, procurando siempre despertar la intuición del estudiante ante los hechos importantes, que se presentan en lo posible completamente pero evitando las complicaciones de un rigor matemático exagerado. Con base en nuestra propia experiencia docente podemos afirmar que el material presentado será de utilidad para que el estudiante asimile los conceptos no sólo de ecuaciones diferenciales, sino también los nuevos conceptos y contenidos relacionados que encuentre durante su posterior formación en ingeniería. Los autores no pretendemos elaborar una obra nueva sobre ecuaciones diferenciales sino una obra que sea útil para el aprendizaje efectivo de las ED, si esto se logra nos sentiremos plenamente satisfechos. XI XII Introducción Las ecuaciones diferenciales surgen con el nacimiento del cálculo en el siglo XVII, desde ese entonces se han utilizado para modelar diversos fenómenos físicos como el movimiento de partículas sometidas a fuerzas, movimiento planetario,entre muchos otros. Actualmente constituyen una de las herramientas más utilizadas por científicos e ingenieros para la modelación de ya que su sencillez permite relacionar los cambios que sufren las variables que describen fenómenos físicos, biológicos, sociales entre otros. El ámbito en que las ecuaciones diferenciales (ED) son aplicables es amplio, por esa razón es necesario contar con un marco base que permita conocer los aspectos fundamentales de las ED y sus soluciones para, posteriormente, utilizarlas en la modelación, donde es posible percibir la belleza de esta herramienta. Este texto, escrito con la colaboración de siete profesores del área de diversas instituciones, rescata su experiencia en la enseñanza de las ED, de forma que el texto es único en la presentación y discusión de las ideas y ejemplos utilizados, así como en las aplicaciones mostradas en su desarrollo. Así revisamos en el libro los métodos clásicos de solución de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en diversas áreas del conocimiento humano. El libro está dividido en siete capítulos, dos de ellos dedicados a las aplicaciones y los otros cinco a discutir con precisión los algoritmos y estrategias de solución. En el primer capítulo, Conceptos básicos, se estudian los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales y se establece el teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, dicho teorema es la base para reconocer cuando una ED tiene o no solución y si esta es o no única. En el segundo capítulo, Ecuaciones diferenciales de primer orden, se revisan los métodos básicos para resolver las ED de primer orden, entre los cuales se tienen a: ED en variables separables, ED homogéneas, ED exactas y ED lineales. También se establece el concepto de factor integrante que permite transformar una ED no exacta en otra que si es exacta. El tercer capítulo, Aplicaciones de ED de primer orden, se dedica a modelar y resolver diversas situaciones mediante las ecuaciones diferenciales. Algunas de las aplicaciones que se estudian son los modelos de Malthus y Logístico para el crecimiento de poblaciones y el método que permite construir una familia de trayectorias ortogonales a una familia de trayectorias dadas. También se utilizan las ED para modelar fenómenos físicos como la Ley de Enfrimiento de Newton, el decaimiento radiactivo así como problemas de mezclas. En el cuarto capítulo, Ecuaciones diferenciales de orden superior, se establecen las bases para estudiar las ED de orden superior, en particular se estudian las ED lineales de segundo orden. Iniciamos con conceptos como dependencia e independencia lineal, superposición de soluciones y establec...
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  • Spring '20
  • The Land, Derivada, Ecuación, Ecuación diferencial ordinaria, Ecuación diferencial

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