Vecteurs_de_base - Cours MTH1102 CALCUL II VECTEURS DE BASE...

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Cours MTH1102 CALCUL II VECTEURS DE BASE DANS UN SYSTÈME DE COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES GRADIENT Département de mathématiques appliquées ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Janvier 2006
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2 VECTEURS DE BASE DANS UN SYSTÈME DE COORDONNÉES CYLINDRIQUES. GRADIEN T Le vecteur position () rP O P = JJJK K (voir la figure 1 p. 686, Stewart, 2 e édition) qui relie l’origine à un point a pour expression en coordonnées cartésiennes, (0 ,0 ,0) (, , ) Pxyz ( 1 ) x i y j z k =+ + K K K K et on constate que, quel que soit le point , on a P ,, rr r ij k xy z ∂∂ == = KK K ( 2 ) K K K Lorsqu’on utilise les coordonnées cylindriques pour exprimer rz θ ,,, xyz le vecteur position (1) devient c o s s i n ( 3 ) r i r k θθ + K K K K On introduit au point trois vecteurs, dits vecteurs de base du système de coordonnées cylindriques, par les définitions suivantes : P , , z r θ ∈∈∈ KKK , rrr θ θ θ ∂∂∂ ∈= ( 4 ) K
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3 Ainsi, des équations (3) et (4) on a cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos (5) sin cos r z ij ri r j r j k θ θθ + ∈= = + + −+ =− + KK K K K K K Des équations (5) on tire les relations qui nous seront utiles sous peu : , r r dd θ θ ∈∈ =∈ =−∈ JJ KJ J K K K On constate que les vecteurs de base du système de coordonnées cylindriques
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