comp3 - Crittografia e Teoria dei Codici Compito 3 1.)...

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Unformatted text preview: Crittografia e Teoria dei Codici Compito 3 1.) Siano G e H due gruppi finiti e ψ : G → H un isomorfismo. Dimostrare: per ogni g ∈ G vale o(g ) = o(ψ (g )). 2.) Sia G un gruppo ciclico di ordine m e g un generatore di G. Denotiamo con Cm il gruppo (Z /mZ , +, 0). Z Z Consideriamo l’applicazione ψ : Cn → G dato da [a]m → g a . Dimostare che ψ ` ben definito (cio` non dipende dal rappresentate) e che ψ ´ un isomorfismo di gruppi. e e e 3.) Trovare un elemento di ordine n in G. a.) n = φ(625), G = (Z /625Z )∗ . Z Z b.) n = 103, G = (Z /1237Z )∗ . Z Z c.) n = 13, G = (Z /230Z )∗ . Z Z 4.) Consideriamo l’anello Z /2295Z . Z Z a.) Quale ` l’ordine di [8]2295 ∈ (Z /2295Z )∗ ? e Z Z b.) Quanti elementi di ordine 4 ci sono in (Z /2295Z )∗ ? Z Z 5.) Consideriamo l’anello Z /992250Z . Z Z a.) Quale ` l’ordine di [11]992250 ∈ (Z /992250Z )∗ ? e Z Z b.) Quanti elementi [x]992250 ∈ Z /992250Z ci sono tale che [x315 ]992250 = [11]992250 ? Z Z 6.) Consideriamo l’anello Z /606375Z . Z Z a.) Quale ` l’ordine di [13]606375 ∈ (Z /606375Z )∗ ? e Z Z b.) Quanti elementi [x]606375 ∈ Z /606375Z ci sono tale che [x4 ]606375 = [x]606375 ? Z Z 7.) Trovare in quoziente e resto quando si divide i polinomi di Q [X ]. a.) X 3 − 7X − 1 diviso per X − 2. b.) X 4 − 2X 2 − 1 diviso per X 2 + 3X − 1. c.) 2X 3 − 3X 2 + 1 diviso per X . d.) X 2 + X + 1 diviso per 2. e.) 3X 2 − X − 1 diviso per X 3 − 2. 8.) Trovare in quoziente e resto quando si divide i polinomi di Z /5Z [X ]. ZZ a.) X 3 + 3X + 4 diviso per X + 3. b.) X 4 + 3X 2 + 4 diviso per X 2 + 3X + 4. c.) 2X 3 + 2X 2 + 1 diviso per X . d.) X 2 + X + 1 diviso per 2. e.) 3X 2 + 4X + 4 diviso per X 3 + 3. 9.) Trovare Z /8Z [X ] due polinomi f e g tale che la divisione con resto di f per g non ha un unico risposta. ZZ In particolare trovare un esempio dove il quoziente e il resto non ` unico. e Avviso: Per gli esercizi 4, 5 e 6 si pu` usare GAP o un altro programma con aritmetica modulare. Ma non ` consentito o e di usarlo per un “exhaustive search”. Buon divertimento! ...
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This note was uploaded on 07/17/2011 for the course MAT 207 taught by Professor Bon during the Winter '10 term at Università della Calabria.

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