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({0,1},{0,4}, {0,7},{1,1}, {1,4},{1,7}, {2,1},{2,4}, {2,7}) ({6,2},{6,5},{6,8}, 2 5 8 {7,2},{7,5},{7,8}, {8,2},{8,5},{8,8}) ({3,2},{3,5}, {3,8},{4,2}, {4,5},{4,8}, {5,2},{5,5}, {5,8}) ({0,2},{0,5}, {0,8},{1,2}, {1,5},{1,8}, {2,2},{2,5}, {2,8}) (b) Data distribution at the beginning of second phase £ ¥¦ ¤ £¥ ¦§ µ µ¦à ² ¨ ª« 5© ª© ¨ ¥ ­¦ ¬ ® 5© « « ¤ ¯ ° ° ° « ± ³´ ¶ ¼É ʹ Æ º ¯ ¶ ³´ ± ¯ « æ ʹ ¼É » Æ Á º É Æ Å Ï »É ¼É ¾ ¼ » É é Ò ¼É ɺ Í ¾¹ ¼É ÀÉ Í Ï¼ Î Î Æ è¼ » º » » ºÐ ʹ ¼É ¿ Ê» Æ ÅÉ ¾ ɺ ¼É ¿ ºÉ ¼É Í » ¼É Í ÅÄ Í ¹º » » ºÐ ¿ » ºÐ Ò ºÐ É º Å Õ ¿ Ô Æ ¾ ° ° ¤ Å « ® 5© ÝÜ » Ù ¹ Ô è¼ ë ­¦ ¬ ¯ ¥ ¨ ÛÚ Ê ¼ ¯ Õ Â Í « ¼ ¼ É Ù µ ¿¾ ¼ ¼ ª© Í ¼É ¾É ʹ Ø ¼ » ¾¹ À ¼ç Í Æ ¼ Ê Ò ¼ ¿ Å Î â ¹ º â ÅÀ Æ » Á º µ¦à Á ² ì ¼å ¾ ¼É É ¼ ¾ ¿ Äâ ¼ Í » ¼É ¼ Æ Ð ÏÕ À ¿¾ ¼ Å Ê» Äâ Ê Í » ɺ ¼ Ð Í Ò » ºÉ á ºÐ Õ ¿ ¾ ºÆ » ¿ ŠĹ ¼ç ¼ ºØ ʹ ¿ ¾ ê Å º ¹ ¿ Æ ¾ Í Ê¾ ÅÉ Ê¹ ¼É ¹ ʹ ã¾ Î Â Å ° ɺ Æ Í É Î ¼æ ¿¾ Ê Ô ¼ ¹ » ÉÐ Å ¼ à º ¹ â ¼ Æ Ø ¼ ¹ Õ Å º Ðæ ¹ À É » ¾ Â Æ » ¿Å Æ Ê¹ Î Á ¼å º º ½À ¿¾ ¿ä Ñ ½ –¼ » Ë «5© ª ʹ Ë Ë Ë ¨ ¦§ ¹º ¸ £¥ ¥¦ ¤ £ 7 5 2 ({6,0},{6,2},{6,4},{6,6}, {7,0},{7,2},{7,4},{7,6}) ({2,0},{2,2}, {2,4},{2,6}, {3,0},{3,2}, {3,4},{3,6}) 0 6 4 7 5 ({4,1},{4,3}, {4,5},{4,7}, {5,1},{5,3}, {5,5},{5,7}) ({6,1},{6,3},{6,5},{6,7}, {7,1},{7,3},{7,5},{7,7}) 3 1 ({1,1},{1,3},{1,5},{1,7}, {0,1},{0,3},{0,5},{0,7}) ({0,7} ... {7,7}) (b) Distribution before the second step ({0,6} ... {7,6}) 7 ({0,5} ... {7,5}) 5 6 3 ({0,3} ... {7,3}) 4 ({0,4} ... {7,4}) 1 ({0,1} ... {7,1}) (d) Final distribution of messages ({0,0} ... {7,0}) 0 2 ({0,2} ... {7,2}) ({7,3},{7,7},{5,3},{5,7}, {6,3},{6,7},{4,3},{4,7}) ({0,0},{0,2},{0,4},{0,6}, {1,0},{1,2},{1,4},{1,6}) ({5,0} ... {5,7}) 5 7 ({7,0} ... {7,7}) 3 1 ({1,0} ... {1,7}) ({4,0} ... {4,7}) 4 ({3,0} ... {3,7}) 6 ({6,0} ... {6,7}) ({2,0} ... {2,7}) 2 0 ({0,0} ... {0,7}) 6 4 ({4,1},{6,1}, {4,5},{6,5}, {5,1},{7,1}, {5,5},{7,5}) ({1,1},{1,5},{3,1},{3,5}, {0,1},{0,5},{2,1},{2,5}) 1 3 (a) Initial distribution of messages 2 ({6,2},{6,6},{4,2},{4,6}, {7,2},{7,6},{5,2},{5,6}) ({0,2},{2,2}, {0,6},{2,6}, {1,2},{3,2}, {1,6},{3,6}) 0 ({0,0},{0,4},{2,0},{2,4}, {1,0},{1,4},{3,0},{3,4}) (c) Distribution before the third step £ ¥¦ ¤ £¥ ¦§ ² ¨ ª« 5© ª© ¨ ¥ ­¦ ¬ ® 5© « « ¤ ¯ ° ° ° « ± ³´ µ¦à · ¶ චµ¦à ³´ ² ± É « ê¹ ¼ ¿ ¿¼ º »É ¼ â Ò ¹ ¾¹ É ¼ Í ¿¾ ¼ À À Åç » ¿º ºÐ ΠŹ Ä ¹ ¿º »Ï ¼É Á º À À º » Æ ¾  ¿ » Æ Å Ä¹ ¿ Á ° º » ° ½À ¯ Å Å ¿¾ Æ Ê Ã ° » º ŠĹ º Ä ¤ ¹º ½ –¼ » « « À ® 5© » Æ Ê ­¦ ¬ ¿¾ º Ä ¹º ¥ É Ê¹ ½ » » ÉÆ ¼ ª© ¨ Ĺ º ¿ í ʹ ½ ç » «5© ª Å º Ë Ä¹ ¨ ¦§ í £¥ ¥¦ ¤ £ ¼ ô ¶ µ¦à ² É ± Ð ¼ º ʹ Í º ¼ » Á  ½ ͹ ¼É Á ò ¾¹ Å Í ÉÐ Å ¿ ¼ Í ¿Å Ä ¹ ¼É º ¹ É É ¼É × Í » º Ä Ï Î Ø É ¾ ¼É ¼É »É Å ¿¼ º Ð Õ É Ï Í Õ Ö ¾ Å » ¼ ºÐ ¿ ¼É Î ¿ ɺ ٠ŠĹ ¼É ͹ ¿¾ Í ¼ µ ¯ » » Í ¼ À ÛØ ºÐ Å è¼ Ô Æ Æ »å Ï Éº ºÕ ó ÅÒ Î Æ Ê Á¹ ¼É Í º » Ê » ºÐ ¾ × Äâ »É » Í ¼ Ðæ ° ï Ô Ø ­¦ ¬ ¥ ¼ ª© ¨ ÛÚ » Ù ºÐ ¿ä º Ë ° ¯ Õ Ö Á É Í Í ° Í ð ¼ ¿¼ º ½ ¹ ¼É  ¤ « « ® 5© »å ¼º ʹ ð ºÐ ºÐ ÄÉ ¼É Í ¼ ʹ ï Ð ÝÞÜ Ù Éº ¼ É Í Ð Ê¹ ʾ Ê ¹¾ Ò ³´ « Ê ¾¹ Ê Á¹ ¹ ¿ Šʾ Åî ¼ ¼ É À Šʹ ʹ ¿  ºÒ º ¼É ι Æ Å ¾ Å ¼ â¾ Ï Å¹ Äâ Í » ¾ç ç ¼ Ð » Ò á Ï ÅÆ ¿ ¼ º ¿ ºÆ ÄÉ Å Ä¹ ¿ » 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14 3 3 3 10 6 2 (13) (9) (5) (1) 1 1 1 3 (15) 15 (11) 3 3 (2) (6) (10) (14) (3) (7) 11 7 3 3 7 11 3 15 (a) Initial data distribution and the first communication step 3 3 3 12 8 4 0 2 (3) (7) (11) (15) 2 2 2 12 8 4 0 0 4 8 12 13 9 5 1 13 9 5 1 (12) (8) (4) (0) (8) (4) (0) (12) 14 10 6 2 14 10 6 2 (13) (9) (5) (1) (9) (5) (1) (13) (d) Final distribution of the data (11) (15) (3) (7) 15 11 7 3 3 7 11 15 (14) (10) (6) (2) (14) (2) (6) (10) (b) Step to compensate for backward row shifts (c) Column shifts in the third communication step õ ¥¦ ö ¨¨ õ¥ ¦÷ §¦ ¨ ¦ ý ¥ ¦ § © ý ö   ¨ ¦   ô ü ý ü $ ' #1 Ò #" $ ' É H I P Ç å ê 8   Å ûØ û å 2 ) Ô C (' Q I P Ö Ç Ô Ô 2 ûØ û 2 å DE Äâ I FE G Û Ç   ¨¨ Í #$ A Ð Ò Ê 3 Ø û 4 $ Ê å Ø × 4 × Ø ö § © × ý 4 Ø Ô Ô 2 ¦ ¥ ¨ û 2 å ¦ Û ×û û Ê 2 ( C × A B ! 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