cuantica.pdf - Una introducci\u00b4 on a la Mec\u00b4 anica Cu\u00b4 antica para \u201cno iniciados\u201d \u00b4 Renato Alvarez Nodarse Departamento de An\u00b4alisis

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Unformatted text preview: Una introducci´ on a la Mec´ anica Cu´ antica para “no iniciados” ´ Renato Alvarez Nodarse Departamento de An´alisis Matem´atico, Facultad de Matem´aticas, Universidad de Sevilla ´Indice general 1. Breve introducci´ on a la mec´ anica cl´ asica 1 1.1. Mec´anica hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Dos ejemplos representativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. El oscilador arm´onico unidimensional . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. Movimiento en un campo central de fuerzas . . . . . . . . . . 6 1.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. ¿C´ omo se gest´ o la Mec´ anica cu´ antica? 13 2.1. La radiaci´on del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Einstein y el efecto fotoel´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Bohr y el modelo at´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. El nacimiento de la Mec´anica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1. La dualidad onda-part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2. La Mec´anica matricial de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.3. La Mec´anica ondulatoria de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . 24 2.4.4. Una “deducci´on” de la ecuaci´on de Schr¨odinger . . . . . . . . 26 2.5. La interpretaci´on de la Mec´anica cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.1. El gato de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.2. Los universos paralelos de Everett . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6. El principio de incertidumbre de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.1. El experimento de difracci´on y el principio de incertidumbre . 32 2.7. Las matem´aticas de la Mec´anica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8. Sobre la bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 i ´INDICE GENERAL ii 3. Mec´ anica Cu´ antica I: “Movimiento” de una part´ıcula material 37 3.1. Los postulados de la Mec´anica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1. Test de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. El principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1. Los estados estacionarios de la ecuaci´on de Schr¨odinger . . . . 46 3.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1. Una part´ıcula en un pozo de potencial . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2. El efecto t´ unel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. Mec´ anica Cu´ antica II: Espacios de Hilbert 53 4.1. Espacios eucl´ıdeos y espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2. Operadores en H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3. Los axiomas de la Mec´anica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4. Discusi´on e implicaciones de los postulados . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.1. Los proyectores ortogonales y la teor´ıa de mediciones . . . . . 67 4.5. Representaci´on de los operadores x bi y pbi . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.6. Las ecuaciones de Heisenberg y de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . 70 4.6.1. Equivalencia de las representaciones de Heisenberg y de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.6.2. Integrales de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.6.3. El test de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.6.4. Los estados estacionarios del sistema . . . . . . . . . . . . . . 74 4.6.5. Los operadores unitarios y la evoluci´on temporal . . . . . . . . 74 4.7. El principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.8. La mec´anica matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.9. La ecuaci´on de Schr¨odinger y el postulado 4.3.5 . . . . . . . . . . . . 76 4.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5. Resolviendo la ecuaci´ on de Schr¨ odinger 79 5.1. El m´etodo de Nikiforov-Uvarov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.1. La ecuaci´on hipergeom´etrica generalizada . . . . . . . . . . . . 79 5.1.2. La ecuaci´on diferencial hipergeom´etrica . . . . . . . . . . . . . 80 5.1.3. Los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi . . . . . . . . . 88 5.2. Resoluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.1. El oscilador arm´onico cu´antico unidimensional . . . . . . . . . 91 ´INDICE GENERAL iii 5.2.2. La ecuaci´on de Schr¨odinger en un potencial central . . . . . . 93 5.2.3. Los arm´onicos esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2.4. Resolviendo la parte radial de la ecuaci´on de Schr¨odinger . . . 97 5.2.5. El oscilador arm´onico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . 99 5.3. El m´etodo de factorizaci´on de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3.2. El oscilador arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3.3. El m´etodo de factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.4. Factorizaci´on de la EDO hipergeom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.4.1. El hamiltoniano y los operadores escalera . . . . . . . . . . . 115 5.4.2. Factorizaci´on de H(x, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Bibliograf´ıa 121 Anexo A: Breve introducci´ on al an´ alisis funcional 125 A.1. Introducci´on: Estacios m´etricos y espacios normados . . . . . . . . . . 125 A.2. Espacios de Hilbert separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 A.2.1. Operadores en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 137 A.2.2. Teor´ıa Espectral de operadores compactos autoadjuntos . . . . 141 Bibliograf´ıa 146 Prefacio Estas notas contienen el contenido de un curso de introducci´on a la Mec´anica cu´antica impartido por el autor en la Universidad de Zaragoza en septiembre de 2005 y en Coimbra en febrero de 2006. Las mismas est´an divididas en 6 cap´ıtulos que contienen tanto los conceptos te´oricos como distintos m´etodos de resoluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger. Quiero agradecer a todos los que de una forma u otra me han ayudado a que estas notas sean posibles. En primer lugar a mi familia, a los que les he robado un tiempo precioso. Adem´as agradezco a Manuel Alfaro (Universidad de Zaragoza), Jos´e Luis Cardoso (Universidade de Tr´as-os-Montes e Alto Douro), Mario P´erez (Universidad de Zaragoza), Francisco J. (Pacho) Ruiz (Universidad de Zaragoza), Jos´e Carlos Petronilho (Universidade de Coimbra) y Juan L. Varona (Universidad de La Rioja) sus comentarios y correcciones que me han permitido mejorar notablemente la exposici´on. Tambi´en debo agradecer a Luis Vel´azquez de la Universidad de Zaragoza y Alberto Grunbaum de la Universidad de California (Berkeley) por las interesantes discusiones que tuvieron lugar en la semana m´as calurosa de mayo de 2015 en Sevilla que me permitieron corregir e incluir m´as material. Estas notas fueron ampliadas y corregidas en el a˜ no sab´atico que disfrut´e durante el curso 2016/2017 por lo que agradezco al Departamento de An´alisis Matem´atico de la Universidad de Sevilla por su apoyo. ´ Renato Alvarez Nodarse Sevilla 1 de diciembre de 2017 Introducci´ on Estas notas corresponden a un curso de introducci´on a la Mec´anica cu´antica. En ´el se pretende dar una idea general de c´omo surgi´o la Mec´anica cu´antica a principios del siglo pasado (XX) y exponer algunos de sus principales principios desde un punto de vista “matem´atico”. El trabajo estar´a dividido en tres partes. En la primera se describir´a la evoluci´on de la teor´ıa cu´antica desde su concepci´on en en a˜ no 1900 hasta la aparici´on de la Mec´anica cu´antica de Heisenberg y Schr¨odinger en 1926–1927, es decir, a partir de la idea revolucionaria de Planck sobre los “quanta”, la explicaci´on del efecto fotoel´ectrico por Einstein y la descripci´on de la dualidad onda-part´ıcula de De Broglie, hasta la aparici´on de las dos principales teor´ıas matem´aticas: la mec´anica matricial de Heisenberg y la mec´anica ondulatoria de Schr¨odinger. En la segunda parte introduciremos la Mec´anica Cu´antica de una part´ıcula as´ı como sus bases axiom´aticas en un espacio de Hilbert separable. Finalmente, en la tercera parte discutiremos algunos de los m´etodos usados para resolver anal´ıticamente la ecuaci´on de Schr¨odinger. Cap´ıtulo 1 Breve introducci´ on a la mec´ anica cl´ asica La F´ısica se basa en medidas y observaciones experimentales de la realidad que nos rodea, es decir, en cuantificar o caracterizar los distintos fen´omenos naturales mediante expresiones cuantitativas o n´ umeros. Estas propiedades medibles u observables se denominan magnitudes f´ısicas (e.g. longitud, velocidad, energ´ıa, . . . ). El objeto o conjunto de objetos a estudiar se denomina sistema f´ısico (e.g. una part´ıcula, un ´atomo, un coche, . . . ). Cuando conocemos distintas medidas de un sistema que lo caracterizan por completo en un momento de tiempo determinado (e.g. la posici´on y la velocidad de una part´ıcula de masa m) decimos que el sistema se encuentra en un cierto estado dado. El objetivo de toda teor´ıa f´ısica es, por tanto: 1. Describir el estado del sistema f´ısico, es decir, dar una representaci´on cuantitativa (matem´atica) del estado que lo defina biun´ıvocamente. 2. Conocer la din´amica del sistema, es decir dado un estado inicial en el momento t0 conocer su evoluci´on temporal para t > t0 . 3. Predecir los resultados de las mediciones de las magnitudes f´ısicas del sistema. La teor´ıa f´ısica en s´ı misma est´a en general constituida, desde el punto de vista abstracto, por tres apartados: 1. El formalismo: Conjunto de s´ımbolos y reglas de deducci´on a partir de los cuales se pueden deducir proposiciones y enunciados. En general toda teor´ıa comienza fijando un cierto n´ umero de axiomas com´ unmente denominados postulados. 2. Ley din´amica: Cierta relaci´on (o relaciones) entre algunos de los principales objetos del formalismo que permitan predecir acontecimientos futuros. 3. Reglas de correspondencia o interpretaci´on f´ısica: Conjunto de reglas que permiten asignar valores experimentales a algunos de los s´ımbolos del formalismo. 1 2 ´ n a la meca ´ nica cla ´ sica Cap´ıtulo 1. Breve introduccio Como ejemplo ilustrativo vamos a describir la mec´anica newtoniana. En la mec´anica newtoniana el estado de un sistema viene dado por el conjunto de trayectorias de todas las part´ıculas que constituyen el sistema. Por ejemplo, para una part´ıcula, el estado estar´a dado por la funci´on vectorial ~r(t) ∈ R3 que denota la posici´on en cada instante de tiempo t. Los observables son las magnitudes medibles como la posici´on ~r(t), la velocidad ~v (t) = d/dt[~r(t)], la energ´ıa cin´etica T = mv 2 (t), etc. La ley din´amica en este caso es la segunda ley de Newton: m~a(t) = F~ (t), d2~r(t) ~a(t) = , dt2 donde F~ es la fuerza resultante que act´ ua sobre el sistema, i.e., es una ecuaci´on diferencial de orden 2. Finalmente, las reglas de correspondencia son “evidentes” y consisten en los valores num´ericos de las proyecciones de los vectores ~r, ~v , etc. sobre los ejes del correspondiente sistema de coordenadas escogido. Veamos un ejemplo de sistema f´ısico y algunas de sus propiedades. Supongamos que tenemos una part´ıcula que se mueve en R3 bajo la acci´on de una fuerza F~ (x, y, z) que s´olo depende de las coordenadas (posici´on). Supongamos adem´as que existe una funci´on escalar V (x, y, z) tal que ∂V ~ ∂V ~ ∂V k, j− F~ (x, y, z) = −∇V (x, y, z) = − ~i − ∂x ∂y ∂z donde ~i, ~j y ~k, son los vectores unitarios correspondientes a los ejes x, y y z, respectivamente. Entonces, usando el producto escalar est´andar de los vectores tenemos   ∂V ∂V ∂V F~ (x, y, z)d~r = − dx + − dy + dz = −dV (x, y, z). ∂x ∂y ∂z Luego, el trabajo de la fuerza F~ para mover nuestra part´ıcula a lo largo de cierta curva Γ ∈ R3 se expresa mediante la integral ~b F~ (x, y, z)d~r = −V (x, y, z) , Γ Z ~a donde ~a y ~b son los extremos de dicha curva. En particular, para cualquier curva cerrada, Z I ~ F (x, y, z)d~r = F~ (x, y, z)d~r = 0. Γ Las fuerzas con estas caracter´ısticas se denominan conservativas y los correspondientes sistemas: sistemas conservativos. La raz´on de esta denominaci´on se explica por lo siguiente: Si usamos la segunda ley de Newton d (m~v ) d~r = m~v d~v , F~ (x, y, z)d~r = dt ´ nica hamiltoniana 1.1. Meca luego Z 3 ~b 1 2 ~ F (x, y, z)d~r = m~v d~v = mv . 2 Γ Γ Z ~a Juntando esta expresi´on con la anterior tenemos  1 2 mv + V (x, y, z) 2 Es decir, la cantidad  ~b = 0, v 2 = ~v · ~v . ~a E = T (~v) + V (~r) vale lo mismo en los extremos de la curva Γ. Como Γ es arbitraria deducimos que E es una cantidad invariante en el tiempo. Esta cantidad se denomina energ´ıa mec´anica p2 del sistema. T = 21 mv 2 = 2m se denomina energ´ıa cin´etica, V , energ´ıa potencial y p = m~v , impulso. En la mec´anica cu´antica el formalismo es muy distinto y es el objetivo de este curso. Antes de pasar a discutirlo veamos brevemente otra forma de describir los sistemas mec´anicos cl´asicos: El formalismo can´onico o hamiltoniano. 1.1. Mec´ anica hamiltoniana Por sencillez seguiremos considerando el movimiento de una u ´ nica part´ıcula. Vamos a suponer que el espacio f´ısico es un espacio de fases (~r, p~), donde ~r = (x, y, z) ∈ R3 y p~ = (px , py , pz ) denotan las componentes del vector posici´on y momento, respectivamente. Definamos una funci´on H dependiente de la posici´on ~r y el impulso p~ 1 2 H(~r, ~p) = (p + p2y + p2z ) + V (x, y, z), 2m x que denominaremos hamiltoniano del sistema. Entonces, las ecuaciones din´amicas del sistema vienen dadas por las expresiones ∂H dx = , dt ∂px ∂H dy , = dt ∂py dz ∂H , = ∂t ∂pz dpx ∂H =− , dt ∂x dpy ∂H =− , ∂t ∂y dpz ∂H =− . ∂t ∂z (1.1.1) Est´a claro c´omo se generaliza el problema. Supongamos que el hamiltoniano depende de las coordenadas can´onicas q1 , . . . qN y sus correspondientes momentos p1 , . . . pN . Entonces las ecuaciones din´amicas son ∂H dqi , = dt ∂pi dpi ∂H , =− dt ∂qi i = 1, 2, . . . , N. (1.1.2) ´ n a la meca ´ nica cla ´ sica Cap´ıtulo 1. Breve introduccio 4 De esta forma la din´amica queda determinada por 2N ecuaciones con 2N inc´ognitas. Finalmente debemos destacar que, en general, las ecuaciones anteriores son equivalentes a las que se obtienen usando la segunda ley de Newton. As´ı, si H(~r, ~p) = 1 2 (p + p2y + p2z ) + V (x, y, z), 2m x las ecuaciones (1.1.1) nos dan (s´olo incluiremos las ecuaciones para la coordenada x) dx ∂H px = =⇒ vx = , px = mvx , dt ∂px m ∂H dvx ∂V d2 x dpx =− =⇒ m =− = Fx =⇒ m 2 = Fx , dt ∂x dt ∂x dt es decir, recuperamos las ecuaciones de Newton de la mec´anica cl´asica. Dentro del formalismo can´onico hamiltoniano hay una operaci´on de especial importancia para entender el paso de la Mec´anica cl´asica a la cu´antica: las llaves de Poisson. Se definen las llaves de Poisson de dos magnitudes f´ısicas (u observables) A := A(q1 , . . . , qN , p1 , . . . , pN ) y B := B(q1 , . . . , qN , p1 , . . . , pN ), funciones de las variables can´onicas qi y pi , i = 1, 2, . . . , N, a la cantidad  N  X ∂A ∂B ∂A ∂B . − {A, B} := ∂q ∂p k ∂pk k ∂qk k=1 (1.1.3) N´otese que las ecuaciones de Hamilton (1.1.2) se pueden escribir como dqi = {qi , H}, dt dpi = {pi , H}, dt i = 1, 2, . . . , N. N´otese adem´as que para las coordenadas can´onicas se tiene {qi , qj } = 0 = {pi , pj }, {qi , pj } = δi,j , i, j = 1, 2, . . . , N. (1.1.4) En general se puede probar que la ecuaci´on de evoluci´on para cualquier magnitud f´ısica A es dA = {A, H}. (1.1.5) dt 1.2. 1.2.1. Dos ejemplos representativos El oscilador arm´ onico unidimensional Comencemos con un sistema cl´asico de gran importancia: el oscilador arm´onico. Asumiremos que el eje de coordenadas est´a situado justo en la posici´on de equilibrio del oscilador, luego por x representaremos la desviaci´on del sistema del punto de equilibrio. En este caso p2 1 H(x, p) = + kx2 , (1.2.1) 2m 2 5 1.2. Dos ejemplos representativos 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 m k 000 111 000 111 000 111 000 111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 x 0 Figura 1.1: El oscilador arm´onico luego dx ∂H(x, p) dp ∂H(x, p) = , =− =⇒ dt ∂p dt ∂x p dp dx = , = −kx =⇒ mx′′ (t) + kx(t) = 0. dt m dt Sus soluciones son: r k x(t) = A cos(ωt + δ), ω = , m donde A y δ depender´an de las condiciones iniciales x0 = x(0), v0 = v(0) y est´an dadas por v0 = −ωx0 tan δ y x0 = A cos δ. En la figura 1.2 representamos dos soluciones correspondientes a fases δ iguales y amplitudes distintas. N´otese que de la soluci´on no se deducen ning´ un tipo de restricciones para los valores de A y δ. Si calculamos la energ´ıa: 1 1 1 E = T + V = m[x(t)′ ]2 + kx2 = kA2 = const. 2 2 2 De lo anterior se deduce que la energ´ıa toma todos los valores reales E = 12 kA2 ≥ 0, i.e., es una una cantidad continua. x x 2 2 1 1 5 10 15 20 25 t 5 −1 −1 −2 −2 10 15 20 25 t Figura 1.2: El oscilador arm´onico: soluciones Obviamente este sistema es demasiado sencillo. Un caso m´as realista es el oscilador amortiguado, es decir, cuando hay rozamiento. En este caso la ecuaci´on diferencial que se obtiene es mx′′ (t) + αx′ (t) + kx(t) = 0, donde α > 0 es el coeficiente de viscosidad del medio. Dejamos, al lector que resuelva y analice la ecuaci´on como ejercicio. ´ n a la meca ´ nica cla ´ sica Cap´ıtulo 1. Breve introduccio 6 1.2.2. Movimiento en un campo central de fuerzas Veamos el caso correspondiente al potencial de una fuerza central, es decir, V (~r) = −α/r. Ejemplos t´ıpicos de dicha fuerza son la fuerza gravitatoria y la electrost´atica. z m γ F(r) β M y 0 α x Figura 1.3: Fuerza central de interacci´on entre dos part´ıculas. En este caso tenemos α p2 − , H(~r, p~) = 2m r r= Entonces, las ecuaciones (1.1.1) nos dan mx′′ (t) = −α x , r3 my ′′ (t) = −α p x2 + y 2 + z 2 . y , r3 mz ′′ (t) = −α (1.2.2) z . r3 Vamos a considerar el movimiento de una part´ıcula material de masa m en un campo de fuerzas centrales (ver figura 1.3). Sea F~ (r) la fuerza dirigida al origen de coordenadas y que s´olo depende de la distancia r al origen de coordenadas. Usando la Ley de Newton tenemos las siguientes ecuaciones para cada coordenada x, y y z: mx′′ (t) = Fx (r), mz ′′ (t) = Fz (r), Pero my ′′(t) = Fy (r), p r = x2 + y 2 + z 2 . x Fx (r) = F (r) cos α = F (r) , r y Fy (r) = F (r) cos β = F (r) , r z Fz (r) = F (r) cos γ = F (r) , r luego las ecuaciones del movimiento de nuestra part´ıcula son x mx′′ (t) = F (r) , r y my ′′ (t) = F (r) , r z mz ′′ (t) = F (r) . r (1.2.3) 7 1.2. Dos ejemplos representativos Vamos a probar que el movimiento de la part´ıcula es plano. Para ello multiplicamos la primera ecuaci´on en (1.2.3) por −y, la segunda por x y las sumamos. Ello nos da m(xy ′′ − yx′′ ) = 0 =⇒ xy ′′ − yx′′ = 0. Si ahora multiplicamos la segunda por z, la tercera por −y y sumamos tenemos m(yz ′′ − zy ′′ ) = 0 yz ′′ − zy ′′ = 0. =⇒ Finalmente, multiplicando la primera por z, la tercera por −x y sumando, obtenemos m(zx′′ − xz ′′ ) = 0 zx′′ − xz ′′ = 0. =⇒ Ahora bien, integrando por partes en la primera de las tres u ´ ltimas ecuaciones vemos Z Z Z c1 = (xy ′′ − yx′′ )dt = xy ′ − x′ y ′dt − yx′ + y ′x′ dt = xy ′ − yx′ . An´alogamente tenemos, para las otras dos, yz ′ − zy ′ = c2 , zx′ − xz ′ = c3 . Si multiplicamos la primera de las tres u ´ ltimas ecuaciones por z, la segunda por x y la tercera por y y las sumamos obtenemos c1 z + c2 x + c3 y = 0, que es precisamente la ecuaci´on de un plano que pasa por el origen. As´ı pues, tenemos la siguiente propiedad: Propiedad 0. El movimiento de una par...
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