1_Tension_-3 - Capítulo 1 TENSIÓN CONCEPTO DE VECTOR...

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Unformatted text preview: Capítulo 1 TENSIÓN CONCEPTO DE VECTOR TENSIÓN F2 F1 F M F1 F3 0 S n f S F3 0 f lim s0S df dS Unidades: N/m2=Pa En la práctica, 1 Pa es de pequeña magnitud, utilizaremos, en general, MPa COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSIÓN n df n proy f sobre n tensión normal = lim lim s s0 proy f sobre tensión tangencial = lim s s0 2 n 2 2 Tensiones en una barra sometida a una carga de tracción P P G Demos un corte a la barra por una sección que forma un ángulo con el plano vertical el plano vertical A P Area= Area= A/cos La resultante de la distribución de tensiones debe ser horizontal di y pasar por el c.d.g. de la sección transversal de la barra En realidad, las fuerzas N y V serán las resultantes de una distribución de tensiones, las cuales las supondremos uniformes sobre la sección de corte las cuales las supondremos uniformes sobre la sección de corte y A P x Area= Area= A/cos Planteando el equilibrio: Fx P P N V 0 N cos V cos 90 N cos V sin 0 or P Fy N sin or N sin 0 0 V sin 90 V cos 0 0 Por tanto: N P V N V Área de la sección de corte: Area Como, por definición, la tensión es fuerza dividida tensión es fuerza dividida por área: P P P 2 cos 1 cos 2 2A A P P sin cos sin 2 A 2A P cos P sin A cos es máxima cuando es 0 ó 180 es máxima cuando es 45 ó 135 max 1 2 Str Tenseiss/(P/A) 0) ón (/ 1 0.5 max 0 P A 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 -0.5 -1 Ángulo Angle max max P A P 2A max El signo de la tensión tangencial cambia cuando el –angulo es mayor de 90 Nót Nótese que: ( )= - (90 + ) (90 P PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOS CON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD, TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL TENSOR DE TENSIONES z z z zy P P zx y y x x z xz ’ yz z ’’ P P xy y yx x y y x x PUNTO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL PUNTO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL z dy zy z P xz y zx dx zy x dy z dz y yx xy x 0 yz zx z dy zy z yz zx xz P zx y 0 y yx xy x dx zy x dy z Fx 0 tensiones x iguales y opuestas en las caras eje x Fy 0 tensiones y iguales y opuestas en las caras eje y Fz 0 tensiones z iguales y opuestas en las caras eje z Mx 0 yz dxdz dy zy dxdy dz dz 0 yz dz zy My 0 zx dxdy dz xz dydz dx 0 zx xz Mz 0 xy dydz dx yx dxdz dy 0 xy yx La igualdad entre las tensiones tangenciales, actuando sobre planos ortogonales entre sí, puede demostrarse, por ejemplo, estableciendo el equilibrio de un pequeño paralelepípedo de espesor dz y de aristas dx y dy. Apliquemos la fuerza Vx sobre la cara superior del paralelepípedo: y Vx= yxdxdz dx dy x El equilibrio requiere que, Este par debe estar equilibrado por sobre la cara inferior, actúe otro (antihorario) consecuencia de una fuerza igual y de signo contrario, lo que producirá dos fuerzas verticales dos fuerzas verticales Vy actuando actuando sobre las caras verticales: un par: y y Vx= dxdz yxdxdz Vx= dxdz yxdxdz Vy= dy Vx= Mz=Vxdy= yxdxdz yxdxdydz x xydydz x y Vx= Utilizando: yxdxdz dx Mz 0 obtenemos: obtenemos: Vy= xydydz dxdz dy yx dy yx xy xy dydz dx x Conclusión: Si sobre un plano en las proximidades de un punto, existe una tensión tangencial, sobre un plano ortogonal al anterior debe existir una tensión tangencial del mismo valor. Teniendo en cuenta que, sobre cada una de las caras del paralelepípedo infinitesimal considerado (punto elástico), actúan tres componentes del vector tensión correspondiente, se obtendrían, en total, 18 valores de los que sólo hay 6 valores diferentes entre sí, a saber: x , y , z , yz , zx , xy En un sólido, estas componentes, serán funciones continuas de las coordenadas cartesianas del punto x,y,z. las coordenadas cartesianas del punto x,y,z. x x x, y , z , xy xy x, y, z ....... TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERA z u=li+mj+nk C x z yx yz * xi y xz x P y * xy B * y j y zx zy A x z Eje x : x d x ld + xy md + zx nd Eje y : y d xy ld + y md + yz nd Ej E e z: z d zx ld + yz md + z nd * zk Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857) TENSOR DE TENSIONES (o Tensor de Cauchy) x x xy zx y xy y yz z xz yz z T T n l m n n RESUMEN Punto elástico elástico Tensor de tensiones de tensiones EJEMPLO: Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano de referencia) en de referencia) en un punto de un sólido: de sólido T 12 4 2 4 8 1 2 1 6 MPa Se pide: - Dibujar, sobre el punto elástico de la figura, y en las caras más alejadas del origen de coordenadas, la dirección y sentido de cada una de las componentes te tensionales que, sobre dichas, caras actúan. que, sob ca actúa - Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actúan sobre un plano paralelo al plano x+y+z=0 que pasa por las proximidades (distancia infinitesimal) del punto considerado. z Solución: 6 2 1 1 2 4 12 x 4 8 y Vector normal al plano: 1 u 3 * x * y * z i j k 12 4 4 8 2 1 2 1 6 1 1 1 3 18 5 1 3 3 7 3 Tensión normal: n * u 1 18 5 7 3 20 3 6 ,67 MPa Tensión tangencial: *2 2 n 132 ,67 44 ,49 9 ,39 MPa FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN z dV dFint fV dV y Fuerza interna, por unidad de volumen unidad de volumen x fv x, y , z X ( x , y , z )i Y ( x , y , z ) j Z ( x , y , z )k Ejemplo 1: sólido sometido a la acción de la gravedad según el eje el eje y y f v x, y, z gj x z X(x,y,z) y Z(x,y,z) serían nulas y la función Y(x,y,z)= - g Ejemplo 2: sólido en movimiento (fuerzas de inercia) 2: sólido en movimiento (fuerzas de inercia) fv dm a / dV X ( x, y , z ) x, Y ( x, y , z ) a xi yj y , Z ( x, y , z ) zk z ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO x x x x xy xy xy zx zx dx xy zx x zx x dx dx dx ´ ´ ´ ´ ´ ´ X Y Z x x xy xy zx y z y yz x y z zx yz z x y z 0 0 0 EJEMPLO: Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles valores de las constantes C1, C2 y C3 para que la siguiente distribución de tensiones puede existir en un sólido en equilibrio: x xy 2 C1 x y y2 C1 C 2 C2 z 2 y C3 x z 0 z C3 y xz yz 0 SOLUCIÓN: Ecuaciones de equilibrio interno (X=Y=Z=0) xy x xz y x z yx y x y zx y yz zy x 0 0 z z 2C 1 y 2 C 1 x C3 z C1 C3 0 0 0 ( se cumple ) z C2 puede tomar cualquier valor, por lo que el estado tensional tendría la forma: x 0 y C2 z 2 xy 0 xz 0 z 0 yz 0 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUE ACTÚA SOBRE EL CONTORNO Sobre la superficie exterior del sólido (contorno) pueden, o no, actuar tensiones que, directamente, se apliquen al sólido z dFcontorno d y f d Fuerza, por unidad de superficie, en el contorno x f X x, y, z i Y x, y, z j Z x, y, z k EJEMPLO: y f P j P Q Q x f 0 Y, sin embargo, en los puntos muy próximos a la superficie del sólido pueden existir tensiones internas. ólid Deberá existir equilibrio entre las tensiones y las fuerzas, por unidad de superficie aplicadas sobre el contorno n z li mj nk Ecuaciones de equilibrio en el contorno: f y x Contorno del sólido X xl xy m zx n Y xy l ym y yz n Z zx l yz m zn CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA T T R u u tensor de tensiones en P referido al sistema x, y, z tensor de tensiones en P referido al sistema x , y , z matriz del cambio de ejes = componentes de un vector unitario respecto al sistema x, y, z componentes de un vertor unitario respecto al sistema x , y , z T T RT R T R T TR CASO BIDIMENSIONAL: y’ y x’ x R cos sen sen sen cos y y  x y  x  y xy y’ x x’ x x y xy cos2 sen 2 sen cos sen 2 2 sen cos cos2 sen cos 2 sen cos cos2 sen 2 x y xy EJEMPLO: En un problema bidimensional, el punto elástico de la figura se encuentra sometido al estado tensional de la figura Se pide: se encuentra sometido al estado tensional de la figura. Se pide: a) Expresión del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x,y b) Expresión del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x’,y’ (e (el eje forma un ángulo de 35º en sentido antihorario con el eje x) (e (el eje x’ forma un ángulo de 35º, en sentido antihorario, con el eje x). La expresión, en x-y, del tensor de tensiones es: 25 MPa T 40 15 15 25 40 MPa MPa y La expresión de dicho tensor en ejes x’-y’ la podemos obtener como: 15 MPa x RT T R T' Siendo: R cos 35º sen35º sen35º cos 35º T' 4 ,52 35 ,67 35 ,67 10 ,48 TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES Sea un sólido sometido a un sistema de cargas, P un punto cualquiera del sólido (punto genérico) y [T] el correspondiente tensor de tensiones afecto dicho punto tensor de tensiones afecto a dicho punto. ¿Existirá algún plano, que pase por las proximidades (a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vector tensión correspondiente, sea ortogonal a dicho plano (es decir, que el vector tensión no tenga componente según el plano lo que es lo mismo que sobre dicho componente según el plano o, lo que es lo mismo, que sobre dicho plano no actúa ninguna tensión tangencial)?. df n , df , u Vector tensión en una dirección cualquiera: T u T- I u Vector tensión en la dirección que buscamos: u u l x xy l+ zx zx l+ li nk m+ m zx n m+ xy y yz mj yz n=0 z 0 n=0 0 l x xy l+ y zx l+ yz 0 m+ m zx n m+ xy yz n=0 T- I u 0 n=0 z Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial: x xy xy zx zx yz z Ecuación característica: 3 I1 2 I2 I3 =0 yz y Invariantes: 0 I1 x I2 x I3 T y y z y z z x 2 yz 2 zx 2 xy 10,48 25 25 4,52 y’ 40 MPa 35,67 y 15 MPa 35º x I 1 sistema x y x y I 1 sistema x y x' y' I 2 sistema x y x I 2 sistema x' y' x' I 3 sistema x y x’ y y' 40 25 15 4 ,52 10 ,48 2 xy 40 2 x' y' I 3 sistema x' y' 25 15 15 15 2 1225 4 ,52 10 ,48 35 ,67 2 1225 1225 Tensiones principales Tensiones principales max 1 int min 2 3 Tensor de tensiones: 3 1 0 0 2 0 0 2 z 0 0 3 1 Invariantes: y Las tensiones tangenciales Las tensiones tangenciales sobre los planos principales I1 son nulas x I1 x I2 x I3 x y y y z x z 2 z y xy xz yz z 2 xy 2 x yz 2 xz 2 yz 2 y xz 2 z xy I2 I3 1 2 1 2 1 2 3 2 3 3 3 1 EJEMPLO • Determinar las tensiones principales sabiendo que el tensor de tensiones viene definido por: 20 40 30 40 30 25 30 25 10 MPa Solución: x xy xy y yz z 3 I1 I2 I3 x x x y y y z x z z 2 = 89500 MPa 2 I1 40 30 40 30 30 25 zy zx 20 zx 25 10 I2 I3 MPa 0 = 20 + 30 –10 = 40 MPa 20 30 10 40 MPa y xy xz yz z 2 xy 2 x yz 2 xz 2 yz 2 y xz = -3025 MPa 2 z xy 3 2 I1 I2 I3 Solution to Exam ple 600000 400000 Sigm a (MPa) -51.8 MPa 26.5 MPa 200000 0 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 -200000 -600000 -800000 Stress (MPa) 1 65,3MPa 2 26,5 MPa 3 60 80 65.3 MPa MPa -400000 Resultado: Resultado: 40 51,8 MPa 100 TENSIÓN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS p hidrostatica x xy y yz z x 1 3 2 p; 0 0 p 0 0 p 'y 3 3 y Invariantes del tensor desviador: I1 3 'x xy zx xy 'y yz zx + comp. hidrostatica tensor de tensiones 'x z 0 0 yz zx y p zx xy x yz 'z comp. desviadora p; J1 J2 J3 'z z p 0 I2 3 2 I1 2 I1 3 9 I1 I 2 27 27 I 3 ELIPSOIDE DE TENSIONES A + = P P P ESTADO I P ESTADO II Estado I: n P n * 1 cos Estado II: ** A 2 sen P + y + n x P ¿Cuál es el lugar geométrico del extremo del vector tensión total extremo del vector tensión total, correspondiente a dicho punto, cuando variemos el ángulo ? x sen y 2 2 1 cos x2 y2 2 1 1 CASO TRIDIMENSIONAL: x y z 0 1 0 0 2 0 0 0 3 l m n x2 y2 z2 2 1 2 2 2 3 x y z l 2m 3n 1 1 I1=Suma de las longitudes de los tres semiejes del elipsoide de los tres semiejes del elipsoide I2 =proporcional a la suma de las áreas de las tres elipses que intercepta el elipsoide con los planos principales I3 =proporcional al volumen del elipsoide EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES BIDIMENSIONALES BIDIMENSIONALES Otto MOHR (1835-1918) - Tensiones normales: positivas si son de tracción (negativas si fueran de compresión) - Tensiones tangenciales: + - u x x xy y xy y cos sen u n cos 2 x n x 2 sen2 xy sen2 y 2 sen2 sen 2 y xy cos 2 x n y x 2 x y 2 y 2 sen2 xy cos 2 xy sen2 cos 2 que corresponden a la ecuación de una circunferencia en un plano cuyos ejes fueran y (Plano de Mohr), cuyo centro (coordenadas en el plano de Mohr) sería: x y 2 ,0 y radio: 1( 4x )2 y 2 xy Existe una correspondencia biunívoca entre cada dirección que consideremos en el punto elástico en estudio un punto del círculo consideremos en el punto elástico en estudio y un punto del círculo de Mohr correspondiente a ese punto elástico: a cada dirección que pasa por las proximidades del punto P le corresponde un punto del círculo de Mohr cuya abcisa es la componente normal del vector tensión que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenada es la componente tangencial de dicho vector tensión es la componente tangencial de dicho vector tensión Una vez dibujado el círculo de Mohr, pueden obtenerse, de Mohr, pueden obtenerse, por ejemplo, los valores de las tensiones principales así como las direcciones sobre di las que actúan. y y xy n x u x Signos a considerar para la construcción del círculo de Mohr: - La tensión normal será positiva si es de tracción - La tensión tangencial es positiva si, tensión tangencial es positiva si desde el centro del punto elástico, produjera un giro en sentido horario n >0 TRACCION >0 PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR A B A A A C B B C B B 40 -40 95 MPa A max=40 max= MPa -40 MPa Conociendo las tensiones en el punto elástico de la figura, determinar las que actúan sobre un plano que forma 22,5 º con el eje vertical. un plano que forma 22 con el eje vertical 3 MPa OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES Dirección principal 2 Plano principal 2 Dirección principal 1 Plano principal 1 PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR: Obtención del Polo del Círculo de Mohr: y x Otros aspectos del círculo de Mohr. A( C B A Direcciones en las que el ángulo del vector tensión con la normal al plano sobre el que actúa es máximo ¿A qué dirección representa el POLO del círculo de Mohr? ( y, xy) POLO ( x,- xy) SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/ http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS (Problemas bidimensionales) z y =0 x max max Dirección Dirección de max III max =0 Dirección Dirección de III max max =0 max Máximo de I II 2 , I 2 , II 2 I 2 II 2 I II 2 EJEMPLO EJEMPLO: Dado el siguiente tensor de tensiones, determinar el valor de la máxima tensión cortante que se produce en el punto elástico considerado tensión cortante que se produce en el punto elástico considerado. T 120 50 0 50 80 0 MPa 0 0 0y xz = 80 MPa 80 MPa 50 MPa 0 Del estudio del tensor se deduce: z= y yz 120 MPa =0 x Sobre las caras correspondientes a los otros dos planos coordenados: y x 80 MPa MPa 120 MPa 0 MPa 0 MPa 0 MPa z 0 MPa z Círculos de Mohr correspondientes: max 80 60 = 77 MPa H 40 20 0 III= 0 II= I= 153.85 153.85 -20 -40 V -60 -80 -25 0 25 50 75 100 125 150 175 Tensión normal (MPa) (MP Plano x-y TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS (Problemas tridimensionales) tridimensionales) Tensión tangencial, y z’, abs max x y  max,3 1 2 2 y z  1 2 3 max,2 Tensión normal, max,1 1 3 2 2 3 2 TENSIONES TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS (Problemas tridimensionales) max Máximo de I II 2 , I III 2 , II III 2 Círculo de Mohr en el punto Círculo de Mohr en el punto C Sección del empotramiento Tensiones principales y sus orientaciones Más, en la web, sobre círculo de Mohr: http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr OTRAS NOTACIONES: OTRAS NOTACIONES: donde y PROBLEMA FINAL El tensor de tensiones en un punto de un sólido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, por la siguiente matriz: por la siguiente matriz: 50 20 0 T 20 0 20 0 0 0 1.- Determinar de forma analítica: a) Los dos primeros invariantes del tensor de tensiones b) Los valores de las tres tensiones principales c) Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principales Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principales d) La tensión tangencial máxima que se produce en las proximidades del punto considerado a) I1 I2 50 20 70 50 20 20 2 b) Una de las tensiones principales ( z) es nula. Las otras dos las calcularemos resolviendo: 600 T I 0 50 20 20 20 0 Por tanto, las tensiones principales son: tanto, las tensiones principales son: c) Como el eje z es una dirección principal ( u3 Dirección principal 1: principal 1: Dirección principal 2: 1 1 60 60 2 10 10 y k ), las otras dos las calcularemos resolviendo: 10 20 20 a1 40 a 2 0 0 u1 0,8943i 0,4473 j 4473 40 20 20 a1 10 a 2 0 0 u2 0,4473i 0,8943 j d) La tensión tangencial máxima será: max 2 max 60 10 60 10 ,, 2 22 max 25, 30, 5 30 0 3 50 20 20 20 u1 u2 0 0 2.- Para el estado tensional relativo al plano x-y, determinar gráficamente: es de e) El círculo de Mohr f) Las coordenadas ( , ) del polo de dicho círculo g) g) Los dos planos principales que se obtienen de dicho círculo h) Los dos planos sobre los que actúa la tensión tangencial máxima i) Los planos, paralelos al eje z, sobre los que el vector tensión forma el mayor ángulo posible con la normal a dichos planos. j) El plano al que representa el polo del círculo de Mohr Plano Y 20 20 Plano X 50 y x Plano Y 20 20 Plano X POLO 50 y x Plano principal II Plano principal I Plano Y 20 20 50 y x Plano X POLO 10 60 y x Plano de máxima tensión tangencial Plano principal II Plano principal I Plano Y 20 20 50 y x Plano X Plano de máxima tensión tangencial tangencial 35 POLO 35 25 y x Plano en el que el vector tensión forma el mayor ángulo posible con la normal Plano en el que Plano en el que el vector tensión forma el mayor ángulo posible con la normal POLO Plano correspondiente al polo del círculo de Mohr POLO Diseño de una vasija de pared delgada (t/r<10) sometida a presión interna ¿Qué conceptos necesitamos manejar? Básicamente dos: el de tensión y el de resistencia a tracción VASIJAS ESFÉRICAS A PRESIÓN Fuerza ejercida por la presión interna: 2 rp r t Fuerza ejercida por la tensión actuante: 2 rt Tensile stress in wall p Pressure in vessel De la igualdad entre De la igualdad entre ambas, resulta: pr 2t Estado tensional en los puntos de la vasija esférica: Punto elástico pr 2t Punto elástico Punto elástico de la superficie exterior ¡ Punto elástico elástico de la superficie interior es mucho mayor que p ! VASIJAS CILINDRICAS A PRESIÓN Dirección circunferencial Dirección longitudinal Cálculo de la tensión longitudinal: Fuerza ejercida por la presión interna: 2 rp Fuerza ejercida por la tensión actuante: 2 rt a De la igualdad entre ambas, resulta: a pr 2t Cálculo de la tensión circunferencial: Fuerza ejercida por la presión interna: 2rlp 2r t h p l Tensile stress in wall Pressure in vessel Fuerza ejercida por la tensión actuante: la tensión actuante: 2lt De la igualdad entre ambas resulta: ambas, resulta: h h h pr t Estado tensional en los puntos de la vasija cilíndrica: h pr t a Punto elástico Punto elástico de la superficie exterior ¡ h es mayor que a, pr 2t Punto elástico de la superficie interior y ambas son mucho mayores que p ! Ejemplo: Determinar el espesor t de la vasija de la figura, realizada con acero inoxidable austenítico, sabiendo que su radio es r y que contiene un gas a una presión p. Considérese un coeficiente de seguridad . Tensión máxima: máx pr t ¿Y la resistencia tracción del material? ¿Y la resistencia a tracción del material? Volveremos a ello en el capítulo 3 COEFICIENTE DE SEGURIDAD Los elementos estructurales, o los componentes componentes de máquinas deben ser diseñados de manera tal que las tensiones que se producen en su seno sean menores que la resistencia del material. Coeficiente de seguridad R adm resistencia tensión admisible Lógicamente, el factor de seguridad debe ser una cantidad mayor que la unidad. En vasijas a presión, suele oscilar entre 4 y 8 El factor de seguridad tiene en cuenta, principalmente: •Las incertidumbres de los valores de las propiedades del material •La incertidumbre del valor de las cargas actuantes incertidumbre del valor de las cargas actuantes •La incertidumbre del análisis •El comportamiento a largo plazo del elemento estructural •La importancia del elemento considerado en la integridad de la importancia del elemento considerado en la integridad de la estructura de la que forma parte m áx pr t t R adm pr R ...
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