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CAPÍTULO 4 PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA ELÁSTICO
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INCÓGNITAS Y ECUACIONES DEL PROBLEMA ELÁSTICO ∂τ ∂σ ∂τ + ++= ∂∂ ∂τ ∂σ ∂τ ++ += ∂∂∂ ∂τ ∂τ ∂σ +++ = xy xx z X0 xy z xy y yz Y0 xyz yz xz z Z0 z ∂γ ∂γ ∂ε γ ∂ ⎪ =− + + ⎩⎭ ∂ ε ∂γ ∂γ ∂γ ∂ ⎪ + ∂γ ∂γ γ ∂ ⎪ =+ 2 yz xy z 2 yz x x y z 2 yy z x y xz 2 zx y x y z 2 yz xy z 2 z x y z γ∂ ε ε ε ∂γ ∂ ε 22 2 y zy z y z 2 zx x z 2 xy y x x y σ ν ε= − σ+ σ σ ν σ σ ν σ x () x EE y y xz z y γ= τ τ τ /G xy xy zx zx yz yz σ + ε σ + ε σ =λ + ε e2 G x vx G y vy G zv z τ τ τ G x yx y G zx zx G zy zy Incógnitas : Desplazamientos (u,v,w), Tensor de tensiones ( σ x , σ y , σ z , τ xy , τ xz , τ yz ) y Tensor de Deformaciones ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ xz , γ yz ) ¡15 incógnitas! Ecuaciones: Equilibrio interno: Compatibilidad: Constitutivas: ó ¡15 ecuaciones!
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FORMULACION EN DESPLAZAMIENTOS: ECUACIONES DE NAVIER: Claude Louis Marie Henri NAVIER (1785-1836) Incógnitas : Los desplazamientos u,v,w en cualquier punto del sólido +λ+ δ+ ∆ = r r r X ( G )( div ) Gu 0 x Y ( G div ) Gv 0 y Z ( G div ) Gw 0 z + λ+ δ + ∆δ= r r r r r f(G ) g r a d ( d i v ) G 0 v Ecuación fundamental de la Elasticidad: k w j v i u r r r r + + = δ donde:
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FORMULACION EN TENSIONES: ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI σ ν ∆σ + = − + ν− ν σ ν ∆σ + = − + ν σ ν ∆σ + = − + ν r r r 2 I 1X 1 div f 2 xv 2 11 x x 2 I 1Y 1 div f 2 yv 2 y y 2 I 1Z 1 div f 2 zv 2 z z σ ∆τ + = − + +ν∂ ∂ σ ∆τ + = − + +ν∂∂ σ ∆τ + = − + 2 I Z 1 () yz 1y z z y 2 I X 1 zx 1z x x z 2 I Y 1 xy 1x y y x Ecuaciones de Michell: John Henry MICHELL (1863-1940) Incógnitas : Las tensiones σ x , y , z , τ
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