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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES I FORMULARIO CURSO 2009/10
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2 RELACIONES ENTRE TENSION Y DEFORMACION INGENIERILES Y VERDADERAS: σ = s 1 + e ( ) ε = ln 1 + e () Condición de carga máxima: d d = TENSION: Tensor de tensiones actuando sobre un plano cualquiera: r σ * [ ] = T [ ] r n [ ] Cambio de sistema de referencia: T * [ ] = R [ ] T T [ ] R [ ] T [] = R T * R T Invariantes: I 1 = x + y + z = 1 + 2 + 3 I 2 = x y + y z + z x τ yz 2 zx 2 xy 2 = 1 2 + 2 3 + 3 1 I 3 = T = 1 2 3 Ecuación característica: T I = 0 3 I 1 2 + I 2 I 3 = 0 Tensión hidrostática: p = x + y + z 3
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3 DEFORMACIONES: Deformaciones infinitesimales y tensor de deformación: ε x = u x y = v y z = w z γ xy = u y + v x xz = u z + w x yz = v z + w y D []= x xy 2 xz 2 y yz 2 z Vector transformado de un vector infinitesimal: d r r * [] = I + W [ ] d r r [ ] + D [ ] d r r [ ] Invariantes: I 1 = x + y + z = 1 + 2 + 3 = e ( deformación volumétrica ) I 2 = x xy 2 xy 2 y + y yz 2 yz 2 z + x xz 2 xz 2 z = 1 2 + 2 3 + 1 3 I 3 = D = 1 2 3 Ecuación característica: D I = 0 3 I 1 2 + I 2 I 3 = 0
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4 Deformaciones de Green: ε x = u x + 1 2 u x 2 + v x 2 + w x 2 y = v y + 1 2 u y 2 + v y 2 + w y 2 z = w z + 1 2 u z 2 + v z 2 + w z 2 γ xy = u y + v x + u x u y + v x v y + w x w y xz = u z + w x + u x u z + v x v z + w x w z zy = w y + v z + u z u y + v z v y + w z w y ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO: X + ∂σ x x + ∂τ xy y + xz z = 0 Y + xy x + y y + yz z = 0 Z + xz x + yz y + z z = 0 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO: X = σ x l + τ xy m + xz n Y = xy l + y m + yz n Z = xz l + yz m + z n
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5 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD: 2 2 ε x y z = x ∂γ yz x + xz y + xy z 2 2 y z x = y yz x xz y + xy z 2 2 z x y = z yz x + xz y xy z 2 γ yz y z = 2 z y 2 + 2 y z 2 2 zx z x = 2 x z 2 + 2 z x 2 2 xy x y = 2 y x 2 + 2 x y 2
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6 ECUACIONES CONSTITUTIVAS: Leyes de Hooke Generalizadas: ε x = σ x E ν E ( y + z ) y = y E E ( x + z ) z = z E E ( x + y ) γ xy = τ xy / G zx = zx / G yz = yz / G donde G = E 21 + () Ecuaciones de Lamé: x = λ e v + 2 G x y = e v + 2 G y z = e v + 2 G z donde = E 1 + 1 2 xy = G xy zx = G zx zy = G zy
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7 FORMULACION EN DESPLAZAMIENTOS: Ecuaciones de Navier X + ( λ + G ) x ( div r δ ) + G u = 0 Y + ( + G ) y ( div r ) + G v = 0 Z + ( + G ) z ( div r ) + G w = 0 Ecuación fundamental de la Elasticidad r f v + ( + G ) gra r d ( div r ) + G r = r 0 FORMULACION EN TENSIONES: Ecuaciones de Michell: z Z 2 v f div 1 2 z I 2 1 1 z y Y 2 v f div 1 2 y I 2 1 1 y x X 2 v f div 1 2 x I 2 1 1 x 1 1 1 ν ν = ν + + σ ν ν = ν + + σ ν ν = ν + + σ σ σ σ r r r ) x Y y X ( y x I 2 1 1 xy ) z X x Z ( x z I 2 1 1 zx ) y Z z Y ( z y I 2 1 1 yz 1 1 1 + = ν + + τ +
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