Fiabilidad presentacion - Fiabilidad Fiabilidad...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Fiabilidad Fiabilidad Estadística Industrial ¿Qué es la fiabilidad? ¿Qué Permanencia de la calidad de los productos (o servicios) a lo largo del tiempo. Capacidad de desarrollar adecuadamente su labor a lo largo del tiempo. La Calidad ..... La se limita a garantizar que el producto sale de fábrica en buenas condiciones ¿Permanece en buenas condiciones? La Fiabilidad intenta garantizar que el producto permanecerá en buenas condiciones durante un periodo razonable de tiempo. Calidad vs. Fiabilidad Calidad Surge la necesidad de considerar un control de calidad basado en el tiempo. El control de calidad habitual, o de inspección, no tiene continuidad temporal: el producto pasa un control o no lo pasa Herramientas Herramientas Se estudia mediante el análisis estadístico de datos de supervivencia. ¿Por qué ESTADÍSTICO? ISO define fiabilidad como la probabilidad de que un componente o sistema, desarrolle durante un periodo de tiempo dado, la tarea que tiene encomendada sin fallos, y en las condiciones establecidas. Introducción al ADS Introducción Vamos a estudiar Duraciones de Procesos que es algo muy común en muchas ciencias: – Duración de un componente (Fiabilidad) – Supervivencia de un paciente a un tratamiento (Medicina) – Duración del desempleo (Economía) – Edad de las personas (Demografía y sociología) Variables Aleatorias Positivas En Fiabilidad el tiempo se En puede medir de otra manera: Número de veces que se enciende un interruptor. Ciclos de lavado en una lavadora. Horas de vuelo de un avión Conceptos básicos Conceptos Eje de tiempos Conceptos básicos Conceptos Inicio del proceso Eje de tiempos Conceptos básicos Conceptos Fallo del componente 4 Fallo del componente 3 Fallo del componente 2 Fallo del componente 1 Inicio del proceso Eje de tiempos Nuestros datos serán las duraciones de estos cuatro componentes: t1, t2, t3 y t4. Funciones asociadas al ADS Funciones En otros análisis estadísticos hemos utilizado la Función de Densidad y la Función de Distribución. En ADS además usaremos: – Función de Supervivencia o Función de Fiabilidad – Tasa de Fallos o Hazard Function Función de Densidad (repaso) Función Se denomina f(t) Histogram for peso 50 frequency 40 30 20 10 0 37 57 77 97 117 peso El área comprendida bajo la función de densidad es la probabilidad de encontrar observaciones en ese intervalo. Alturas de personas N(175.8 ; 8.6) Normal Distribution 0,05 Mean,Std. dev. 175,8,6 density 0,04 0,03 0,02 0,01 0 130 150 170 190 210 230 x P(170<X<180)=Area bajo la curva. Lo calcula la máquina Función de Distribución Función (repaso) Se denomina F(t): Y proporciona la probabilidad de obtener valores menores de uno concreto. Nuevas funciones Nuevas Función de Supervivencia o de Fiabilidad Tasa de Fallos o Hazard Rate Función de supervivencia Función La probabilidad de que un individuo/componente sobreviva/funcione más allá de un instante t, viene dada por la función La función de supervivencia proporciona la probabilidad de que un componente esté funcionando al cabo de t horas. Si un componente tiene una función de Fiabilidad: S(1000)=0.89 quiere decir que la probabilidad de que el componente siga funcionando al cabo de 1000 horas es de 0.89. Función de supervivencia Función S upe rvive ncia de Bombilla s 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2000 4000 6000 Tie mpo 8000 10000 La probabilidad de que ambas estén funcionando al cabo de 6000 horas es de 0.3 y 0.42 respectivamente. Función de supervivencia Función S upe rvive ncia de Bombilla s 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2000 4000 6000 Tie mpo Evidentemente: S ( 0) = 1 S (∞) = 0 8000 10000 Tasa de Fallos Tasa Para el análisis de procesos de duración, resulta especialmente indicada la hazard function -en fiabilidad se conoce como failure rate o tasa de fallo- que se define: Tasa de Fallos Tasa Esta función proporciona la posibilidad de fallo inmediato dado que el componente está funcionando. Es habitual encontrar funciones constantes, crecientes o decrecientes dependiendo del tipo de fenómeno estudiado. Los distintos procesos se van a definir según su tasa de fallos sea: •Creciente (IFR o Increasing Failure Rate) •Decreciente (DFR o Decreasing Failure Rate) •Constante (CFR) Tasa de fallos constante Tasa Indica que la probabilidad de fallo instantáneo es la misma en cualquier momento y consecuentemente el proceso no tiene memoria, ya que la posibilidad de fallo estando funcionando, es idéntica en cualquier momento de la vida del componente Tasa de fallos constante Tasa Tasa de Fallos Constante 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0 20 40 60 Horas 80 100 Tasa de fallos creciente Tasa Surge, en la mayoría de los casos por desgastes y fatigas, es decir por un proceso de envejecimiento. La tasa de fallos creciente indica que la probabilidad de fallo inmediato, teniendo en cuenta que el componente está funcionando, se incrementa a medida que pasa el tiempo Evidentemente a medida que un componente se hace más viejo, su tasa de fallos tender á a crecer. Tasa de fallos creciente Tasa Tasas de Fallos Crecientes 15 12 9 6 3 0 0 3 6 Miles de horas 9 Tasa de fallos decreciente Tasa Se observa en productos cuya probabilidad de fallo es menor cuando aumenta el tiempo de supervivencia. Ésto aparece a menudo en cualquier tipo de materiales: al principio de su funcionamiento la probabilidad de fallo es alta debido a la existencia de posibles defectos ocultos Tasa de fallos decreciente Tasa Tasas de Fallos Derecientes 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 40 80 120 160 200 Horas Si no fallan en las primeras 80 horas, la posibilidad de fallo se reduce notablemente en ambos casos. El ensayo bajo stress permitir eliminar aquellos componentes que fallen al principio. De esta manera la empresa evita introducir en el mercado piezas defectuosas. Tasa de fallos decreciente Tasas de Fallos Derecientes 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 40 80 120 160 200 Horas La tasa de fallos decreciente aparece muy a menudo en estudios clínicos de supervivencia a intervenciones quirúrgicas: El riesgo disminuye a medida que transcurre el postoperatorio. ¿Cómo será la tasa de ¿Cómo fallos de la vida humana? HACEDLO Curva de la bañera Curva Generalización de los procesos anteriores Muy común en la práctica un elemento que se comporta inicialmente de forma decreciente (a esta zona se le denomina de mortalidad infantil) en su vida media con una probabilidad de fallo casi constante (zona de vida útil) finalmente con probabilidad de fallo que aumenta con la edad (zona de deshecho, wearout) Curva de la Bañera Curva Cuando la tasa de fallo del elemento responde a la curva de la bañera es conveniente realizar un ensayo acelerado del mismo (en condiciones de stress) para que supere la zona de mortalidad infantil o de Burn-in. Periodos de Garantía y Periodos ensayos acelerados Producto con tasa de fallos con mortalidad infantil (DFR o curva de la bañera) la empresa se enfrenta a un problema: – Sus productos tienen mayor posibilidad de fallo en los primeros momentos de funcionamiento debido a la existencia de defectos ocultos. – Sin embargo, la empresa no puede detectar fácilmente esos fallos. Posibilidad interesante: – determinar cuando comienza la vida útil del producto y ofrecer a los clientes una garantía de funcionamiento durante ese periodo de funcionamiento problemático. – Una vez superado el periodo crítico, la empresa está razonablemente segura de que el producto tiene una posibilidad de fallos reducida Periodos de Garantía y Periodos ensayos acelerados En el ejemplo, la empresa garantizaría el producto durante, al menos, 400 horas. Algunas empresas están desarrollando estrategias comerciales basadas en ampliar el periodo de garantía a la vida útil del producto. Un producto tiene una tasa de fallos muy baja durante su vida útil. Entonces, el es muy probable que el producto empiece a fallar cuando alcance la zona de desgaste. Si esto es así, la empresa puede prolongar a muy bajo coste la garantía incluyendo una importante parte de la zona útil del producto, resaltando que el producto es muy fiable. La empresa podría incrementar la garantía hasta 700 horas con un coste adicional muy bajo Estrategia para coches, electrodomésticos...... Algunos productos, sin embargo Algunos no pueden fallar: Componentes clave de determinados procesos como por ejemplo válvulas de centrales nucleares, aviones, mecanismos de seguridad, etc, no pueden tener problemas en los primeros momentos de su aplicación debido a la tasa de fallos decreciente. Una posibilidad en estos casos: Probar el componente sometido a condiciones limite. Por ejemplo, si una válvula en una central nuclear debe funcionar a 10 atmósferas de presión y 100ºC de temperatura, se somete las válvulas a un ensayo de funcionamiento a 30 atmósferas y 200ºC. Los defectos ocultos que provocan la mortalidad infantil afloran y la fiabilidad del aparato aumenta. Las pruebas aceleradas o bajo stress se realizan únicamente en sistemas que requieren una alta fiabilidad desde el principio. En otras condiciones no suele ser rentable Modelos utilizados en Fiabilidad. Modelos Datos Completos Ajustaremos modelos de probabilidad para poder generalizar los conocimientos que tenemos a partir de una pequeña muestra de componentes. El criterio de elección de un modelo se basará en técnicas descriptivas y especialmente en el conocimiento teórico que tengamos del proceso. Este conocimiento nos permitirá saber en muchas ocasiones que el proceso tiene tasa de fallos creciente, decreciente o en forma de bañera. Modelo exponencial Modelo El modelo exponencial es bien conocido. Su función de densidad es: 1 f (t ) = Supervivencia: S (t ) = exp( −t / θ ) Tasa de fallos: h (t) = 1 /θ Esperanza: E(t) = θ θ exp( −t / θ ) El modelo exponencial El Es el único con tasa de fallos constante. La probabilidad de fallar condicionada a que el elemento este en uso no varia con el tiempo. Esta propiedad se denomina falta de memoria. Función de Supervivencia Función de supervivencia Exponential Distribution Medias 1000 2000 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 2 4 6 8 Tiempo en Horas X 1000 Si son bombillas ¿Cuál es mejor? 10 12 (X 1000) Función de Supervivencia Función de supervivencia Exponential Distribution Medias 1000 2000 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 2 4 6 8 Tiempo en Horas X 1000 10 12 (X 1000) E(una)=1000 horas y E(otra)=2000 horas La probabilidad de que el componente con vida media de 1000 horas funcione mas de 2000 horas es del 13.5%. Para el componente de 2000 horas de duración media es de 36.7%. Estas cifras se obtienen de la función de supervivencia S (t ) = e − t / θ = e −2000 / 1000 = 0.135 Tasa de Fallos Exponential Distribution Tasa de Fallos (X 0,0001) 12 Medias 1000 2000 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 Tiempo en Horas X 1000 Si son bombillas ¿Cuál es mejor? 10 12 (X 1000) Modelo Weibull Modelo El modelo Weibull tiene la siguiente función de densidad: Modelo Weibull Modelo Tasa de fallos: h(t ) = λβ ( λt ) β −1 Según sean los valores de beta puede presentar tasas de fallo crecientes, decrecientes o constantes. Cuando beta=1 el modelo Weibull se convierte en exponencial y presenta tasa de fallos constante. El modelo exponencial es por tanto un caso particular del modelo Weibull. Cuando beta>1 el modelo presenta tasa de fallos creciente. Cuando beta<1 el modelo presenta tasa de fallos decreciente. Modelo Weibull: tasas de Modelo fallos Distribución Weibull Beta, Lambda 1,4,1 0,5,1 1,1 Tasa de Fallos 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 Tiempo en Horas X 1000 El modelo Weibull es muy versátil y en la practica es uno de los mas utilizados Estimación Paramétrica Estimación El proceso de ajuste de modelos estadísticos a partir de datos muestrales es simple: – Se estudian los datos mediante técnicas de estadística descriptiva – Se elige un modelo de distribución de probabilidad – Se estima – Se realiza una diagnosis para detectar posibles errores. Ejemplo 1 Ejemplo Se ha realizado un ensayo para estudiar la duración de vida de unos componentes electrónicos. Para ello se han puesto 20 elementos a prueba y se han observado hasta el fallo. Los tiempos de vida recogidos han sido los siguientes: 58,91 95,97 68,05 283,2 158,8 25,16 80,26 77,85 105,4 87,29 81,49 16,39 79,10 36,89 21,31 209,41 519,26 34,24 44,33 8,33 Ejemplo 1 Ejemplo 58,91 81,49 34,24 158,8 16,39 44,33 25,16 79,10 283,2 80,26 36,89 8,33 77,85 68,05 105,4 21,31 Histograma Frecuencias 12 10 8 6 4 2 0 -20 180 380 Tiempos de Vida 580 780 95,97 87,29 209,41 519,26 Ajuste del modelo exponencial Ajuste El modelo exponencial puede ser adecuado para estos datos. Optaremos por una distribución exponencial con: En nuestro caso Theta=media de tiempos=104.6 A partir de aquí podemos inferir muchas propiedades de nuestro componente. Por ejemplo, la probabilidad de que un componente dure mas de 200 horas será: Función de supervivencia Ajuste del modelo exponencial Ajuste Exponential Distribution 1 104,6 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 200 400 Tiempo 600 800 Función de supervivencia Ajuste del modelo exponencial Ajuste Exponential Distribution 1 104,6 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 200 400 Tiempo 600 800 Métodos gráficos para elegir Métodos el modelo adecuado. A mano: – Estimar la funcion de distribucion empirica de los datos y representarla en unas escalas tales que si el modelo elegido es correcto los datos presenten aspecto lineal. En ordenador: – Lo normal. Hace lo mismo pero de forma mecánica. A mano mano Tenemos los datos de tiempos de fallo de una serie de componentes. 1. Ordenamos de menor a mayor 2. Estimación de la Función de Distribución corregida mediante: Fi=(i-0.3)/(n+0.4) Construcción del gráfico adecuado hasta que los datos formen una recta. Estimación de los parámetros Construcción del gráfico Construcción exponencial Si los datos son exponenciales, la función de supervivencia será: S(t)=e-t/θ Tomando logs Log S(t)=-t/θ Como F(t)=1-S(t) -Log (1-F(t))= t/θ Por tanto si en un gráfico se coloca en el eje Y la variable Y= -Log (1-F(t)) y en el eje X la variable t Si los datos son exponenciales deberían estar alineados A mano: mano: Ejemplo 1. Datos ordenados de menos a mayor 2. Estimación de la Función de Distribución corregida mediante: Fi=(i-0.3)/(n+0.4) A mano: mano: Ejemplo 2. Estimación de la Función de Distribución corregida mediante: Fi=(i-0.3)/(n+0.4) A mano: mano: Ejemplo En un gráfico se coloca en el eje Y la variable Y= -Log (1-F(t)) y en el eje X la variable t A mano: mano: Ejemplo En un gráfico se coloca en el eje Y la variable Y= -Log (1-F(t)) y en el eje X la variable t -Log (1-F(t)) t Alineación de datos para el Alineación modelos Weibull Alineación de datos para el Alineación modelos Weibull Weibull Weibull En un gráfico se coloca en el eje Y la variable Y=Log( -Log (1-F(t))) y en el eje X la variable log(t) Y=Log( -Log (1-F(t))) Log(t) Weibull ejemplo Weibull Weibull en gráfico Weibull exponencial -Log (1-F(t)) t Weibull ejemplo Weibull Y=Log( -Log (1-F(t))) Log(t) Gráficos en ordenador Gráficos Elaborar estos gráficos es laborioso En la práctica se hacen con ordenador. Statraphics lo hace mucho mejor que nosotros Así que NO HAREMOS GRÁFICOS A MANO QUE ES HORRIBLE Gráficos en ordenador Gráficos Se introducen los datos Se va a DESCRIBE y Distribution Fitting Se va a Weibull analysis Se escogen los datos adecuados y se pide el Weibull Plot. Gráficos en ordenador Gráficos El resultado es: Weibull Plot 99,9 99 90 70 50 30 20 10 5 1 0,5 0,1 10 100 tiempos 1000 Estimación Weibull Estimación Una vez elegido el modelo lo estimamos Método de máxima verosimilitud En el caso exponencial ya se ha visto Θ=media de los tiempos El caso Weibull es más complejo ecuaciones que hay que resolver por métodos numéricos. Lo estima el ordenador Estimación Weibull Estimación El ordenador estima λ y β. Los datos eran Weibull como se vio en el gráfico. Estimación Weibull Estimación ˆ λ = 203.78 ˆ β = 6.33 Con estos valores es posible conocer muchas cosas de nuestro componente. Por ejemplo la probabilidad de que falle antes de 100 horas es de 0.11. Y la de que falle antes de 250 horas es de 0.97 Estimación Weibull Estimación Weibull Distribution (X 0,001) 12 density 10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 250 200 250 Tiempos Weibull Distribution survival probability ˆ λ = 203.78 ˆ β = 6.33 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 50 100 150 Tiempos Datos incompletos Datos Censura Censura Una observación esta censurada cuando solo contiene información parcial sobre la variable a estudiar. Esta situación es muy frecuente: la longitud del intervalo entre tránsitos impide muchas veces el seguimiento de la muestra hasta el transito final. Hay tres tipos de censura: – Censura por la derecha – Censura por la izquierda – Censura por intervalos Sin censura Sin Fallo del componente 4 Fallo del componente 3 Fallo del componente 2 Fallo del componente 1 Inicio del proceso Eje de tiempos Nuestros datos serán las duraciones de estos cuatro componentes: t1, t2, t3 y t4. Fin del estudio al cabo de un tiempo tc Fallo del componente 4 Fallo del componente 3 Fallo del componente 2 Fallo del componente 1 Inicio del proceso tc Eje de tiempos Nuestros datos serán las duraciones de los tres primeros fallos: t1, t2 y t 4 PERO NO OBSERVAMOS EL FINAL DE t3. Sólo sabemos que t3>tc Fin del estudio al cabo de un tiempo tc Fallo del componente 3 Inicio del proceso tc Eje de tiempos Parte de la derecha no observada del componente 3 CENSURA POR LA DERECHA Censura por la derecha Censura Economía: duración del desempleo suele obtenerse de encuestas que preguntan a los parados cuanto tiempo llevan en paro. Al no conocerse el tiempo adicional que van a permanecer sin trabajo, solo se sabe su duración censurada. – El paro es superior al que el entrevistado indica en la encuesta. Si una persona dice que lleva en paro 3 meses, su paro real será ti>3 Censura por la derecha Censura Fiabilidad: es muy normal poner a prueba una partida de componentes y observar los fallos durante un periodo de tiempo determinado. Los elementos que fallen durante este periodo proporcionaran observaciones completas. Los que sigan en funcionamiento al final del periodo proporcionaran observaciones censuradas. – El tiempo que se recoge para los elementos censurados será ti>tc Censura por la izquierda Censura Cuando no podemos observar un acontecimiento por ocurrir demasiado rápido (Vida de partículas subatómicas) Fin t1 Aquí se puede empezar a registrar tiempo tc Registramos que la duración t1<tc Censura por la izquierda Censura Economía se producen censuras por la izquierda habitualmente. Un ejemplo son las edades de jubilación. Si tenemos como dato la edad de una persona y sabemos que esta jubilada, podemos deducir que su edad de jubilación es menor que su edad actual – Registramos Ejub<Edad Tipos de censura Tipos Tipo 1: – El experimento que genera datos con censura de tipo 1 consiste en poner a prueba una partida de n componentes y observarlos durante un tiempo predeterminado tc – La duración tc es decidida por el experimentador. – Se observan los datos completos correspondientes a los r componentes que han fallado antes de tc. – La duración de los n-r componentes que no han fallado sabemos que es mayor que tc Censura de Tipo 1 Censura t1 t2 t3 t4 Inicio del proceso tc Eje de tiempos Nuestros datos serán las duraciones de estos cuatro componentes: t1, t3 y t4 Además t2>tc. n=4 y r=3 Tipo 2 Tipo Tipo 2: – El experimento que genera datos con censura de – – – – tipo 2 consiste en poner a prueba una partida de n componentes y observarlos hasta que falla el r-ésimo componente en el instante tc El número de fallos es decidido previamente por el experimentador. La duración tc NO es decidida por el experimentador. Se observan los datos completos correspondientes a los r componentes que han fallado antes de tc. La duración de los n-r componentes que no han fallado sabemos que es mayor que tc Censura de Tipo 2. Censura Termina cuando falle el 75% t1 t2 t3 t4 Inicio del proceso tc =t4 Eje de tiempos Nuestros datos serán las duraciones de estos cuatro componentes: t1, t3 y t4 Además t2>t4. n=4 y r=3 Censura aleatoria Censura La censura se produce aleatoriamente Se trata a un grupo de pacientes con un nuevo tratamiento que mejora su supervivencia a determinada enfermedad. Un paciente se traslada de ciudad y no vuelve al control del hospital. Veremos una serie de observaciones completas y otras censuradas. Censura aleatoria Censura T1* t1 t2 t3 t4 T4* Eje de tiempos Nuestros datos serán las duraciones de estos cuatro componentes: t2 y t3 completos Además t1 y t4. Fallan o desaparecen antes del final de su tiempo. Observamos T1*<t1 y T4*<t4 n=4 y r=2 Estimación con datos Estimación censurados Mucho más compleja que con datos completos En general es imposible calcularlo a mano Lo haremos en ordenador Estimación con datos Estimación censurados Si hay censura las técnicas descriptivas básicas no van a servir. No podremos realizar histogramas si no conocemos la longitud final de las observaciones. La única forma de saber qué modelo elegir es usar los gráficos a escala que hemos aprendido pero adaptados a la censura El gráfico usado es el estimador de producto límite o estimador de Kaplan Meier Estimador de Kaplan Meier Estimador Estima la función de supervivencia cuando hay censura Vamos a estudiarlo con un ejemplo Estimador de Kaplan Meier Estimador Se realiza un experimento para saber si una nueva droga es efectiva tratando una enfermedad mortal. Un grupo de pacientes es tratado con la nueva droga (6M) y el otro con placebo. El ensayo es doble ciego Datos de primer grupo (6MP): – 6 6 6 6* 7* 9 10* 10* 11 13 16* 17* 19* 20 22 23* 25* 32* 32* 34* 35 Datos del segundo grupo (Placebo) – 1 1 2 2 3 4 4 5 5 8 8 8 8 11 11 12 12 15 17 22 23 Estimador de Kaplan Meier Estimador Realiza las siguientes operaciones: – Se ordenan los valores de menor a mayor – Para cada tiempo de fallo (Si hay varios fallos en el mismo momento, para el ultimo) se calcula el numero de individuos que quedan en riesgo. – El estimador para el primer tiempo de fallos será: S(t1)=(n1-d1)/n1 – n1representa el numero de individuos que están en riesgo justo antes del primer tiempo de fallo. – d1 es el número de fallos/muertes en el primer tiempo de fallo. – Para el segundo tiempo de fallo será S(t2)=[(n2-d2)/n2].S(t1) S(t3)=[(n3-d3)/n3].S(t2) 6MP): 6 6 6 6* 7* 9 10* 10* 11 13 16* 17* 19* 20 22 23* 25* 32* 32* 34* 35 Sólo se registran Tiempos de FALLO No censuras. Por eso no aparece 7 o 9 Ordenador Ordenador Statgraphics hace este estimador en – DESCRIBE – DISTRIBUTION FITTING Y LIFE TABLES (TIMES) – Se escriben los tiempos y se añade una variable de censura que toma el valor 0 si la variable es completa y el valor 1 si es censurada Ordenador survival probability Estimated Survival Function Drug 6 MP PLACEBO 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 10 20 Time 30 40 Estimación paramétrica con Estimación censura (Análisis Weibull) El proceso con STATGRAPHICS. es el siguiente: – DESCRIBE – Distribution Fitting (censored data) y Weibull Analysis – Se escriben los tiempos y se añade una variable de censura que toma el valor 0 si la variable es completa y el valor 1 si es censurada – Se añade una variable de grupo si lo hay Analysis Summary Data variable: Time Censoring: Censored Groups: Drug Number of groups = 2 Estimation method: maximum likelihood Sample Number of Estimated Estimated Starting Group Size Failures Shape Scale Point --------------------------------------------------------------------------------------1 21 9 1,50716 32,3886 0,0 2 21 21 1,3705 9,48214 0,0 Analysis Summary Data variable: Time Censoring: Censored Groups: Drug Number of groups = 2 Estimation method: maximum likelihood Sample Number of Estimated Estimated Starting Group Size Failures Shape Scale Point --------------------------------------------------------------------------------------1 21 9 1,50716 32,3886 0,0 2 21 21 1,3705 9,48214 0,0 cumulative percent Weibull Plot 99,9 99 90 70 50 30 20 10 5 Drug 1 2 1 0,5 0,1 0,01 0,1 1 10 100 1000 Time Están alineados así que son Weibull survival probability Weibull Distribution 1 Drug 1 2 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 10 20 30 40 50 Time 60 70 80 90 100 Fitted Weibull Distribution for Drug = 1 40 Uncensored Censored percentage 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Time Parece que no ajusta: Es por la censura que no la tiene en cuenta En el papel Weibull estaban alineados hazard Weibull Distribution 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Drug 1 2 0 10 20 30 40 50 Time 60 70 80 90 100 Ordenador Ordenador cumulative hazard Estimated Cumulative Hazard Function Drug 6-MP Placebo 4 3 2 1 0 0 10 20 Time 30 40 Ensayos acelerados Ensayos Ensayos acelerados Ensayos Surgen debido a que algunos productos tienen unas duraciones tan elevadas que es imposible seguir un experimento hasta el final. Por ejemplo componentes diseñados para durar 40 años. Es muy improbable que alguno falle en el tiempo en que razonablemente se puede realizar un ensayo. Se pone a prueba el componente bajo condiciones de trabajo mucho mas desfavorables de las habituales y se propicia que el fallo se produzca antes Ensayos acelerados Ensayos La realización de ensayos acelerados es compleja y debe ser planificada por los propios ingenieros de diseño, ya que hay que tener en cuenta que factores hay que acelerar y en que medida. Por ejemplo, si queremos acelerar un ensayo con válvulas de precisión, Será preciso determinar si acelerar la presión de trabajo, la temperatura o la concentración de elementos oxidantes. El esquema de trabajo es el El siguiente: Se obtienen datos de tiempos de fallo con diversas aceleraciones. Se estima mediante un análisis Weibull la distribución para cada uno de esos niveles Se calcula la mediana y los percentiles 10% y 90%. Se dibuja en un grafico la mediana y los percentiles respecto al nivel de stress Se extrapola para las condiciones nominales. Se extrapola para las Se condiciones nominales. Si no hay experiencias previas la extrapolación es siempre peligrosa Ejemplo Ejemplo Los datos representan tiempos de fallo en horas de un componente en función de su stress. El componente debe funcionar en condiciones de Stress=4. Los datos con asterisco son censurados. Datos Datos Representación gráfica: Datos en Representación función del Stress. Hay datos censurados. Plot of Datos vs Stress (X 10000) 6 Datos 5 4 3 2 1 0 0 20 40 60 Stress 80 100 Análisis Weibull Análisis cumulative percent Weibull Plot 99,9 99 90 70 50 30 20 10 5 Stress 20 40 60 80 1 0,5 0,1 100 1000 10000 100000 Tiempos Datos alineados en los cuatro grupos Análisis Weibull Análisis Sample Number of Estimated Estimated Starting Group Size Failures Shape Scale Point --------------------------------------------------------------------------------------20 10 5 12,4232 25379,7 0,0 40 10 9 7,68861 9137,44 0,0 60 10 10 4,15438 3481,62 0,0 80 10 10 6,42138 1101,88 0,0 Valores de lambda y Beta para los cuatro grupos Análisis Weibull Análisis Weibull Distribution (X 0,0001) 24 Stress 20 40 60 80 density 20 16 12 8 4 0 100 1000 10000 100000 Tiempos Las cuatro funciones de densidad Supervivencias Supervivencias survival probability Weibull Distribution 1 Stress 20 40 60 80 0,8 0,6 0,4 0,2 0 100 1000 10000 Tiempos Marcamos los percentiles 10, 50 y 90 100000 Percentiles (critical values) Percentiles Critical Values for Tiempos Group Lower Tail Area Critical Value ----------------------------------------------------20 0,1 21174,7 0,5 24641,8 0,9 27142,0 40 0,1 6818,85 0,5 8712,08 0,9 10184,4 60 0,1 2025,49 0,5 3187,62 0,9 4255,69 80 0,1 776,135 0,5 1040,75 0,9 1254,71 Haciendo un gráfico Haciendo Plot of Medianas y Percentiles vs Aceleracion (X 10000) 6 Tiempos 5 4 3 2 1 0 0 20 40 60 80 100 Aceleracion Vemos que ajustar una exponencial sería adecuado Regresión exponencial: plot Regresión de los datos Tiempos (X 10000) 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 10 20 30 40 50 Stress 60 70 80 Transformando ambas variables a Transformando logaritmos Log Y vs Log X LOG Tiempos 10,6 9,6 8,6 7,6 6,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,4 4,7 Log Stress Plot of Fitted Model Log Tiempos 10,6 9,6 8,6 7,6 6,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 Log Stress 4,4 4,7 5 Quitando los logs: Quitando tiempo=beta1.stressbeta2 Plot of Fitted Model Tiempos (X 10000) 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 10 20 30 40 Stress 50 60 70 80 Transformando sólo Y a logaritmos Transformando Log Y vs X LOG Tiempos 10,6 9,6 8,6 7,6 6,6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Stress Sin LOGS Plot of Fitted Model Log Tiempos 10,6 9,6 8,6 7,6 6,6 0 10 20 30 40 Stress sin logs Mucho más lineal 50 60 70 80 Plot of Fitted Model Tiempos (X 10000) 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Stress Regression Analysis - Exponential model: Y = exp(a + b*X) ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Col_5 Independent variable: Col_4 ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------Intercept 11,1592 0,160231 69,6442 0,0000 Slope -0,0528778 0,00292541 -18,0753 0,0000 ----------------------------------------------------------------------------- Tiempos=11.16 stress-0.05 Plot of Fitted Model Tiempos Modelo con un log en Y (X 10000) 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 70 80 Stress Plot of Fitted Model Tiempos Modelo con dos logs (X 10000) 8 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 10 20 30 40 Stress 50 60 Ojo a las extrapolaciones Ojo Fiabilidad de Sistemas Fiabilidad Sistemas Sistemas Hemos estudiado cómo estimar la Fiabilidad/Duración de componentes simples En la práctica están integrados en sistemas más complejos. Dentro de sistemas complejos los más elementales son los sistemas serie y paralelo Sistema Serie Sistema C1 C2 El sistema no funciona cuando el flujo de señal entre la entrada y la salida se interrumpe Es decir sólo funciona si funcionan los dos componentes S1 (t ) Función de supervivencia del Componente 1 S2 (t ) Función de supervivencia del Componente 2 Ps ( Funcione) = P ( Funcione) xP2 ( Funcione) = 1 S s (t ) = S1 (t ).S2 (t ) Ejemplo Ejemplo Un sistema serie con dos componentes. S1(t)=exp(-t/2000) S2(t)=exp(-t/1500) Vamos a Calcular la fiabilidad del sistema serie. SS(t)= S1(t ). S2(t )=exp(-t/2000). exp(-t/1500)= SS(t)=exp(-t/200-t/1500)=exp(-t/857) SS(t)=exp(-t/857) LA FIABILIDAD DEL SISTEMA SERIE ES MENOR QUE LA DE CUALQUIERA DE SUS COMPONENTES. SS(t)=exp(-t/857) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 C1 0.4 0.3 C2 0.2 S is te ma 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 Sistemas paralelos Sistemas Consta de dos o más componentes en paralelo. Funciona mientras un solo componente lo haga. Se estropea cuando TODOS los componentes han dejado de funcionar. C1 C2 Función de Supervivencia Función PS ( NoFunc) = P ( NoFunc). P2 ( NoFunc) 1 P( NoFunc) = 1 − P( Func ) P( Func.en.t ) = S (t ) `S S (t ) = 1 − (1 − S1 (t ))(1 − S2 (t )) Ejemplo Ejemplo Primer componente S1(t)=exp(-t/2000) Segundo componente S2(t)=exp(-t/1500) Sistema: Ss(t)=1-(1-exp(-t/2000)).(1-exp(-t/1500)) Ss(t)= exp(-t/2000)+ exp(-t/1500)- exp(-t/857) Ss(t)= exp(-t/2000)+ exp(-t/1500)- exp(-t/857) 1 0.9 0.8 0.7 S is te ma 0.6 0.5 C1 0.4 0.3 C2 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 La fiabilidad del sistema paralelo es mayor que la de cualquiera de Sus componentes. En piezas clave se suele redundar un componente C5 C2 C4 C1 C3 C7 Sistemas complejos C6 Sistemas complejos Sistemas Hay que ir resolviendo por partes pequeñas En etapas Esto sólo sirve para pequeños sistemas complejos Los grandes sistemas (Una central nuclear) utilizan otros métodos. C5 C2 C4 C1 C3 C6 C7 Sistemas complejos C5 C1 C2pC3 C7 C4 C6 C1 C2pC3 C7 C4 C5pC6 C1 C2pC3 C7 C4 C5pC6 C1s(C2pC3) C7 C4 C5pC6 C1s(C2pC3) C7 C4s(C5pC6) C1s(C2pC3) C7 C4s(C5pC6) C7s(C1s(C2pC3)) C4s(C5pC6) C7s(C1s(C2pC3))sC4s(C5pC6) Sistema equivalente FIN FIN ...
View Full Document

This note was uploaded on 09/01/2011 for the course STAT 01 taught by Professor Garciapozuelo during the Spring '11 term at Université des Sciences et technologie de Lille.

Ask a homework question - tutors are online