Libro de problemas resueltos.pdf - C\u00b4alculo Problemas Resueltos z Sebasti\u00b4an Urrutia Quiroga y x \u00b4 Tercera Edicion 2017 Imagen de portada Potencial

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Unformatted text preview: C´alculo Problemas Resueltos z Sebasti´an Urrutia Quiroga y x ´ Tercera Edicion 2017 Imagen de portada: Potencial tipo Sombrero Mexicano del mecanismo de Higgs, elaboraci´ on propia Dise˜ no de portada: Daniela Hurtado L. y Sebasti´an Urrutia Q. Primera Edici´ on – Enero de 2014 Segunda Edici´ on – Febrero de 2015 Tercera Edici´ on – Abril de 2017 Versi´ on digital Santiago, Chile Disponible en l´ınea: Sebasti´an Urrutia Quiroga Contacto: surrutiaquir at gmail.com Se autoriza la reproducci´on total o parcial, con fines acad´emicos, por cualquier medio o procedimiento, incluyendo la cita bibliogr´afica que acredita al trabajo y a su autor. ´n Prohibida su Comercializacio This page intentionally left blank ´Indice general Prefacio IV 1. C´ alculo diferencial en una variable I. 1 L´ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 i. Sucesiones, supremo e ideas de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ii. L´ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 L´ımite de funciones y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 i. L´ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ii. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 III. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 i. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ii. Derivadas de orden superior, Teoremas de la funci´on inversa e impl´ıcita . . . . . 37 IV. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 i. Tasas relacionadas, Teorema del valor medio y aproximaciones . . . . . . . . . . 46 ii. M´aximos y m´ınimos, gr´afico de funciones y otros . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 iii. Regla de L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 iv. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 II. 2. C´ alculo integral en una variable I. 83 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 i. i Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Funciones definidas a partir de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 i. Teorema Fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 ii. Funciones logaritmo y exponencial ii. II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 III. T´ecnicas de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 i. Teoremas de integraci´on por partes y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . 113 ii. Sustituciones trigonom´etricas, fracciones parciales y otros teoremas . . . . . . . 122 IV. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 i. C´alculo de ´areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ii. Vol´ umenes por secciones transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 iii. S´olidos de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 iv. Centroide de regiones planas y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 v. Longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 vi. Superficies de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 vii. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Ap´endice a la secci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3. Procesos infinitos I. 179 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 i. Integrales impropias de primer y segundo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Ap´endice a la secci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 II. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 i. Series de t´erminos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 ii. Series alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 iii. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Ap´endice a la secci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 4. Geometr´ıa vectorial I. II. Geometr´ıa euclidiana en el espacio 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 i. Vectores geom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 ii. Productos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 iii. Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Geometr´ıa diferencial en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 ii i. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 5. Funciones escalares de varias variables I. II. 282 C´alculo diferencial en funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 i. Nociones topol´ogicas en Rn ii. L´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 iii. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 iv. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 v. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Optimizaci´on de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 i. M´aximos y m´ınimos sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 ii. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 III. C´alculo integral en funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 i. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 ii. Cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 iii. Aplicaciones de integrales dobles iv. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 6. Funciones vectoriales de varias variables I. II. 359 C´alculo diferencial en funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 i. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 ii. Teoremas de la funci´on impl´ıcita e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 C´alculo integral en funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 i. Integrales de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 ii. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 iii. Integrales de superficie y Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 397 iv. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 iii Prefacio El presente libro corresponde a una recopilaci´on de ejercicios, de fuentes diversas, realizadas durante mi labor como ayudante Docente Corrector, de la Facultad de Matem´atica de la Pontificia Universidad Cat´olica de Chile, en los cursos de C´alculo I, II y III (MAT1610, MAT1620 y MAT1630, respectivamente). Esta labor fue realizada durante mi estudios de Ingenier´ıa Civil Electricista, como pregrado, y Magister en F´ısica en la misma casa de estudios. En su mayor´ıa, estos problemas se originan en interrogaciones y ex´amenes disponibles en el repositorio de la Facultad; el resto proviene de mi propia invenci´on y las contribuciones de otros ayudantes. Tambi´en se han seleccionado algunos problemas de la bibliograf´ıa m´ınima de los cursos en cuesti´on. Este libro busca complementar el estudio de esta ´area tan importante de la matem´atica. Abarca desde el concepto de sucesiones hasta los teoremas m´as relevantes del c´alculo vectorial. Dem´as est´a decir que el presente documento no reemplaza la asistencia a clases y ayudant´ıas, sino solo concentra problemas tipo en un u ´ nico documento de f´acil acceso. Cualquier consulta, sugerencia u otro tipo de comentario para mejorar el documento es bienvenido. La motivaci´on principal para realizar esta selecci´on y edici´on de problemas es contribuir al desarrollo de los alumnos. No solo en lo acad´emico –a lo cual est´a dirigido, obviamente, el presente texto– sino que como personas. Esa es la raz´on por la que hago docencia, y es el sello que creo darle a mi trabajo. Agradezco a los profesores y autoridades de la Facultad de Matem´atica UC por permitirme llevar a cabo esta labor, y orientar/corregir la ejecuci´on de la misma. Tambi´en agradezco a mis amigos, colegas y, sobretodo, a las 4 + 1 mujeres m´as importantes de mi vida. Finalmente, pero no menos importante, agradezco a Dios por todo lo que me ha dado. ´ n Urrutia Quiroga Sebastia ENERO DE 2014 iv 1 C´ alculo diferencial en una variable z Atractor de Lorenz (Edward Lorenz, 1963) y x 1 Secci´ on I L´ımite de sucesiones I.i. (1) Sucesiones, supremo e ideas de l´ımite a) Sean A y B dos conjuntos, definimos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}, entonces demuestre que sup (A + B) = sup (A) + sup (B). b) Sea A ⊂ R un conjunto acotado superiormente y sea −A = {−x | x ∈ A}. Pruebe que −A es acotado inferiormente y que ´ınf {−A} = − sup {A}. Soluci´ on: a) Demostraremos la propiedad demostrando dos desigualdades. Primero sup (A + B) ≤ sup (A) + sup (B): Un elemento de A + B se escribe como x + y, y este n´ umero es menor que sup (A) + sup (B), pues x ≤ sup (A) e y ≤ sup (B). Con ello tenemos que sup (A) + sup (B) es una cota superior del conjunto A + B. Entonces el sup (A + B) debe ser menor que sup (A) + sup (B). Luego, sup (A + B) ≤ sup (A) + sup (B) Segundo sup (A + B) ≥ sup (A) + sup (B): Sabemos que para todo x ∈ A e y ∈ B, x + y ≤ sup (A + B), es decir para todo x ∈ A se tiene x ≤ sup (A + B) − y, lo que equivale a decir que para todo y ∈ B, se tiene que el real sup (A + B) − y, es cota superior de A. Entonces para todo y ∈ B se tiene que sup (A) ≤ sup (A + B) − y. Como es para todo y ∈ B, entonces tenemos y ≤ sup (A + B) − sup (A). Luego sup (B) ≤ sup (A + B) − sup (A). Con lo cual se tiene la otra desigualdad. As´ı, sup (A + B) = sup (A) + sup (B) b) Sea a ∈ R cota superior de A; es decir, para todo x ∈ A se tiene que x ≤ a. Multiplicando por −1 obtenemos que −a ≤ −x. Recordemos que un elemento y ∈ −A es de la forma y = −x. Es decir, para todo y ∈ −A tenemos que −a ≤ y. Por tanto, el conjunto −A es acotado inferiormente y con ello, posee ´ınfimo ´ınf {−A}. Por otra parte, notemos que dado ǫ > 0, existe x ∈ A tal que sup {A} − ǫ < x ≤ sup {A} De donde, − sup {A} ≤ −x < − sup {A} + ǫ y por lo tanto ´ınf {−A} = − sup {A}.  2 3n + 1 y luego demu´estrelo por definici´on. n→∞ 6n + 1 (2) Calcule l´ım Soluci´ on: Notemos que: 3+ n(3 + n1 ) 3n + 1 = l´ım = l´ım 1 n→∞ 6 + n→∞ 6n + 1 n→∞ n(6 + ) n l´ım 1 n 1 n = 3+0 1 = 6+0 2 Ahora, debemos demostrar que: 3n + 1 1 ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N (∀n > n0 ⇒ − < ǫ) 6n + 1 2 Es decir, dado ǫ > 0, buscamos n0 tal que cumpla lo pedido. A modo de borrador, tenemos que: 6n + 2 − 6n − 1 3n + 1 1 6n + 1 − 2 < ǫ ⇒ 2(6n + 1) < ǫ 1 < ǫ como la fracci´on es positiva, ⇒ 2(6n + 1) 1 < 2ǫ 6n + 1 1 ⇒ < 6n + 1 2ǫ 1 − 2ǫ <n ⇒ 12ǫ ⇒   Recordemos que ∀x ∈ R, x ≤ x. As´ı, nuestro candidato a n0 es   1 − 2ǫ n0 = 12ǫ Ahora, con nuestro n0probamos que:  1 − 2ǫ Sea n > n0 = . Entonces, 12ǫ n> 1 − 2ǫ 1 1 − 2ǫ ⇒ 6n > = −1 12ǫ 2ǫ 2ǫ 1 ⇒ 6n + 1 > 2ǫ 3n + 1 1 1 = − ⇒ ǫ> 2(6n + 1) 6n + 1 2 3n+1 1 y con ello ǫ > 6n+1 − 2 .  n = 1. n→∞ n + 1 (3) Demuestre que l´ım Soluci´ on: 3 Debemos demostrar que: n ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N (∀n > n0 ⇒ − 1 < ǫ) n+1 Lo que es equivalente a demostrar que: 1 < ǫ) ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N (∀n > n0 ⇒ n + 1 Sea ǫ > 0 y n0 ∈ N tal que n0 > Arquimediana. 1 1−ǫ . ǫ Ahora, su existencia est´a asegurada por la propiedad Entonces si n > n0 entonces se tiene que: n+1> Por tanto, 1 1−ǫ +1= ǫ ǫ 1 <ǫ n+1  (4) En cada caso, de un ejemplo de una sucesi´on que satisfaga la condici´on propuesta y, si no existe tal sucesi´on, explique. a) Una sucesi´on ni creciente ni decreciente que converja a 0. b) Una sucesi´on no acotada que converja a −3. c) Una sucesi´on divergente a −∞. Soluci´ on: a) an = (−1)n n b) Si es convergente, entonces necesariamente es acotada. Luego, no existe tal sucesi´on. c) bn = −n2  (5) Sea {an } la sucesi´on definida por an = √ n· √ n+1− a) Demuestre que es creciente. √  n . b) Demuestre que la sucesi´on est´a acotada superiormente por 1 . 2 c) Calcule l´ım an . n→∞ 1 Teorema (Propiedad Arquimediana): ∀x > 0 ∈ R, ∃n ∈ N tal que x · n > 1 4 Soluci´ on: a) Notemos que an+1 − an = = = = √ √ √ √ √ n+2− n+1 n+1− n+1− n n √ √  √ √ n + 1 n + 2 − (n + 1) − n n+1−n √ √ √ √ n+1 n+2−1− n n+1 √ √ √  n+1 n+2− n −1 √ Entonces, para probar el car´acter creciente, debemos probar que la expresi´on anterior es positiva, o bien √ √ √ √ n+1 n+2>1+ n n+1 Pero, ya que para a, b > 0 se cumple que a > b ⇔ a2 > b2 , esto es equivalente a demostrar que 2  √ √ √ √ (n + 1)(n + 2) > 1 + n n + 1 = n(n + 1) + 2 n n + 1 + 1 o lo que es lo mismo que √ √ 2n + 1 > 2 n n + 1 Aplicando nuevamente la propiedad anterior, vemos que basta probar que 4n2 + 4n + 1 > 4n(n + 1) lo que es evidentemente cierto. b) Se tiene que an √ √ √ (n + 1 − n) n n+1− n n= √ = √ n+1+ n √ √ n n 1 √ = = √ √ ≤√ 2 n+ n n+1+ n √ c) De lo anterior, an = √ As´ı, √ n 1 √ =q n+1+ n 1 + n1 + 1 l´ım an = n→∞ 1 1 = 1+1 2  5 I.ii. L´ımite de sucesiones (1) Demuestre que el l´ımite de una sucesi´on convergente es u ´ nico. Soluci´ on: Para la demostraci´on, primero probaremos el siguiente lema: Lema: Una sucesi´on es convergente a L si y solo si la distancia entre los valores de la misma y L converge a cero. Dem: Si una sucesi´on an converge a L, entonces: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N(n > n0 −→ |an − L| < ε) O lo que es equivalente, ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N(n > n0 −→ ||an − L| − 0| < ε) es decir, que la sucesi´on definida como bn = |an − L| converge a cero. Ahora, supongamos que existen L1 , L2 ∈ R tales que an → L1 , an → L2 distintos entre si. Notemos que, por la desigualdad triangular: 0 ≤ |L1 − L2 | ≤ |L1 − an | + |an − L2 | Con n → ∞ obtenemos que |L1 − L2 | = 0 y con ello L1 = L2 , lo que contradice la hip´otesis inicial. Por lo tanto, el l´ımite es u ´ nico.  (2) Calcule l´ım n→∞ n X k=1 1 (n + k)2 Soluci´ on: 1 Notemos que ∀n ∈ N se tiene que n + k ≥ n, si k = 0 . . . n. Por tanto, n1 ≥ n+k . Dado que ambos t´erminos son positivo, la desigualdad se mantiene al elevar al cuadrado ambos lados. As´ı, n X k=1 n X k=1 1 1 1 1 1 + = + + . . . + (n + k)2 (n + 1)2 (n + 2)2 (n + k)2 (n + n)2 | {z } ≤ 1 n2 n X 1 1 1 ≤ = (n + k)2 n2 n k=1 Por otra parte, notemos que de manera an´aloga se puede concluir que n + n ≥ n + k, y con ello 1 1 se cumple que 2n ≤ n+k . Igual que en el caso anterior, la desigualdad se mantiene al elevar al cuadrado: 6 n X k=1 n X k=1 1 1 1 1 1 = + + ...+ + 2 2 2 2 (n + k) (n + 1) (n + 2) (n + k) (n + n)2 | {z } ≥ 1 (2n)2 n X 1 1 1 ≥ = (n + k)2 (2n)2 4n k=1 Por tanto, por el Teorema del Sandwich y dado que l´ım n→∞ Entonces, l´ım n→∞ 1 1 = l´ım =0 n→∞ n 4n n X k=1 1 =0 (n + k)2  (3) Calcule los l´ımites de las sucesiones cuyos t´erminos n−´esimos son:   √ 3 n+1− √ 3 n R=0 √ n2 + 1 2n − 1    √ n2 + 5 n2 + 1 R= n2 +4 R = e4 √ R=0 n+1− n sin n n  4 1 1− 1− n  3  1 1− 1− n R=0   1 2 R= n(n + 2) (n + 1)2 4 3 R=1 (4) Calcule 4n2 − 3n n→∞ n2 − 2n a) l´ım 7 2n − 1 n→∞ 3n + 1 b) l´ım c) l´ım [an ], donde {an } es la sucesi´on definida por an = n→∞ 2n + 1 n+3 Soluci´ on: a) Se tiene que: n2 (4 − n3 ) l´ım n→∞ n2 (1 − 2 ) n 4 − n3 = l´ım n→∞ 1 − 2 n 4−0 = 1−0 = 4 4n2 − 3n l´ım = n→∞ n2 − 2n b) Tenemos que: 2n (1 + ( 21 )n ) l´ım n→∞ 3n (1 + ( 1 )n )  n 3 1 n 1 + (2) 2 = l´ım n→∞ 3 1 + ( 13 )n  n 1 + ( 21 )n 2 = l´ım n→∞ 3 1 + ( 1 )n | {z } | {z3 } 2n − 1 = l´ım n n→∞ 3 + 1 = 0 c) Dado que y como 0 < Adem´as, Luego, →0 →1 5 2n + 1 = 2− n+3 n+3 5 < 1 para n > 2, entonces: n+3   2n + 1 ≤1 n+3   2n + 1 2n + 1 n−2 ≥ −1 = n+3 n+3 n+3   n−2 2n + 1 ≤ 1, ≤ n+3 n+3 Finalmente, por el Teorema del Sandwich, l´ım [an ] = 1 n→∞ 8 ∀n > 2  (5) a) Sea {an } una sucesi´on definida de la siguiente manera: a1 = 3 1 an = 2 − an−1 Demuestre que dicha sucesi´on es convergente y calcule l´ım an . n→∞ b) Si a1 = 4 y an+1 = 6an + 6 , demostrar que la sucesi´on {an } es convergente y calcular su l´ımite. an + 11 Soluci´ on: a) Tenemos que a1 = 3, a2 = 2 − 13 = 35 < a1 . Probemos que {an } es una sucesi´on decreciente y acotada inferiormente. Trataremos de probar, v´ıa inducci´on, que 1 es una cota inferior de nuestra sucesi´on. Notemos que a1 = 3 > 1. Supongamos que an > 1. Ahora bien, ⇒ an > 1 1 an < 1 1 >2 − 1 an ⇒ an+1 > 1 ⇒2− y, por tanto, 1 es una cota inferior de la sucesi´on. Ahora, probaremos por inducci´on que {an } es una sucesi´on decreciente. Por lo antes calculado, evidenciemos que a1 > a2 . Tomemos como hip´otesis de inducci´on que an < an−1 . Ahora, ⇔ an < an−1 1 an−1 ⇔2− y con ello se concluye que es decreciente. ⇔ an 1 an 1 >2 − an > an+1 < 1 an−1 Por teorema, como la sucesi´on es acotada inferiormente y decreciente, tiene l´ımite. Notemos 1 que l´ım an = l´ım an−1 = L. Ahora, tomando el l´ımite de la igualdad an = 2 − an−1 , se n→∞ n→∞ tiene que: L= 2− 1 L ⇔ L2 − 2L + 1 = 0 ⇔ (L − 1)2 = 0 ⇔L=1 As´ı, l´ım an = 1. n→∞ 9 b) Igualmente que en el ejercicio anterior, debemos probar que la sucesi´on es mon´otona y acotada. Tenemos que a1 = 4 > 0. Ahora, nuestra hip´otesis de inducci´on es que an > 0. Luego, → → ∴ Si an > 0 Si an > 0 6(an + 1) > 6 > 0 an + 11 > 11 > 0 an+1 > 0 As´ı, la sucesi´on es acotada inferiormente. Notemos que a1 = 4 > a2 = 24+6 4+11 an+1 Por tanto, an < an−1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ an + 11 10 an +11 − an10 +11 1 − an10 +11   6 1 − an10 +11 = 2. Nuestra H.I. es que an < an−1 . As´ı,   6an + 6 10 = =6 1− an + 11 an + 11 < > < < an−1 + 11 10 an−1 +11 − an−110+11 1 − 10  an−1 +11  6 1 − an−110+11 ⇔ < ⇔ an+1 < an As´ı, la sucesi´on es decreciente. Por tanto, acotada + mon´otona ⇒ convergente Sabemos que l´ım an = l´ım an+1 = L. As´ı, reemplazando, n→∞ n→∞ L2 + 5L − 6 = 0 −→ L = 1 ∨ L = −6 Por unicidad del l´ımite, ´este debe corresponder a uno de los valores anteriores. Pues bien, dado que la sucesi´on es siempre mayor que cero, por tanto el l´ımite debe ser igualmente positivo. As´ı, L=1  (6) an ,a>1 n→∞ n! b) Igual que en el ejercicio anterior, pero con xn = a) Determine l´ım Soluci´ on: 10 n+1 n a) Sea xn = an . n! Notemos que: an+1 (n+1)! an n! As´ı, = a n+1 a xn+1 = l´ım =0<1 n→∞ n + 1 n→∞ xn l´ım an = 0. n→∞ n! y por propiedad de sucesiones, l´ım xn = l´ım n→∞ b) Notemos que: n+1+1 n(n + 2) (n + 1) = n+1 (n + 1)2 n As´ı, xn+1 n(n + 2) = l´ım =1 n→∞ xn n→∞ (n + 1)2 l´ım y en este caso la propiedad no aplica. Evidentemente, es m´as f´acil realizar el c´alculo directo: 1 n+1 = l´ım 1 + = 1 n→∞ n→∞ n n l´ım Esto nos muestra que la propiedad utilizada anteriormente no sirve para el c´alculo de l´ımites de todo tipo de sucesiones.  (7) Determine: √ a) l´ım n en + π n n→∞ √ b) l´ım n 1p + 2p + · · · + np , con p ∈ N fijo. n→∞ c) l´ım an , con n→∞ a1 = 0.9, a2 = 0.99, · · · an = 0.9999 . . . Soluci´ on: a) Inicialmente, l´ım n→∞ √ n en + πn = l´ım π · n→∞ r  e n n 11 π r  e n + 1 = π · l´ım n +1 n→∞ π Por otra parte, e <1  πe n =⇒ 0 < <1 π   e n <2<n =⇒ 1 < 1 + r π  e n √ < nn =⇒ 1 < n 1 + π 0 < e < ...
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  • Spring '16
  • The Land, Punto, Derivada, Polinomio, Teorema de Stokes, l´ım

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