Fisic_Gen1000probl_JFidalgo_MF.pdf - J A FIDALGO M R FERNÁNDEZ O o • • • • • • • • o M e c � n ic a E le c tric id a d E le c t ro m a

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Fernández Pérez Coordinación editorial: Juan Carlos Carrascosa Calpena Nlaquctación: Francisco Fontecha Al/er Ilustraciones: José Luis Giner Archivo Everest Diseño de cubierta: Alfredo Anievas Fotografía de cubierta: AGFFotostock No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Reservados todos los derechos, incluido el derecho de venta, alquiler, préstamo o cualquier otra forma de cesión del uso del ejemplar. OCTAVA EDICIÓN, segunda reimpresión, 2004 © Manuel R. Fernández. Pérez, José A. Fidalgo Sánchez y EDITORIAL EVEREST, S. Á. Carretera Lcón-l-i Coruña. km 5 - LEON ISBN: 84-241-7603-0 Depósito legal: LE. 400-2001 Printed in Spain - Impreso en España EDITORIAL EVERGRÁFICAS. S. L. Carretera León-La Coruña, km 5 LEÓN (España) PRESENTACIÓN E l estudio de la Física, entendida en una de sus primeras definiciones com o «Ciencia de la medida», exige siem pre unos criterios cuantitativos a la hora de plantear, desarro­ llar e interpretar los m últiples fenóm enos de la Naturaleza, objetivo últim o de toda investigación. Nada m ás significativo que lo expresado p o r lord Kelvin en el siglo X IX y hoy tan actual com o entonces: «Suelo decir con frecuencia que cuando se puede m edir aquello de que se habla y expresarlo en núm eros, se sabe algo de ello: pero nuestro saber es defi­ ciente e insatisfactorio mientras no som os capaces de expresarlo en números; lo dem ás puede significar el com ienzo del conocimiento, p ero nuestros con­ ceptos apenas habrán avanzado en el cam ino de la ciencia, y esto cualquiera que sea la materia de que se trate». La enseñanza de la Física, evidentemente, obliga, com o p unto departida, a la adqui­ sición de unos contenidos teóricos cuya «claridad conceptual» sirva de soporte a la hora d e interpretar y solucionar cualquier problem a propuesto; problem a que, en definitiva, no es otra cosa que una posible situación real más o m enos idealizada en la que, para facilitar la solución, se ha prescindido, o se han controlado, algunas variables. Este «m ínim o de contenidos», com o dice lord Kelvin, significa el com ienzo del cono­ cimiento; pero resulta insuficiente s i n o conduce a una interpretación cuantitativa del fenóm eno (problem a) objeto de estudio. Con frecuencia asistimos, un tanto atónitos, al asom broso espectáculo de ver cóm o alumnos de Bachillerato, e incluso d e prim eros cursos d e carreras universitarias, pre­ tenden enfocar los problem as de Física com o si se tratara d e una sim ple y directa apli­ cación de fórm ulas vacias de contenido, o, lo que es m ás grave, sin intentar siquiera la búsqueda de una correcta interpretación d el fenóm eno y del significado físico de los resultados obtenidos. A l plantearse la confección de este libro, com o m aterial de apoyo a los estudiantes de Física General, hem os pretendido conseguir tres objetivos básicos: — Ofrecer una com prensión e interpretación lógicas de la realidad física, dando una visión panorámica de aquellos m odelos y teorías de m ayor interés científico. — Poner al lector en contacto con aquellos problem as que, d e hecho, son o pueden ser situaciones reales, explicitando su tratamiento conceptual y su significado físi­ co tanto en el proceso de desarrollo com o en los resultados obtenidos. — Fomentar una m anera de pensar seria, razonada y crítica. 5 Para ello hem os tenido m u y en cuenta lo s siguientes criterios: — Una evaluación objetiva del n ivel de conocim ientos, tanto físicos co m o m atem á­ ticos, exigióles a los alum nos que pretenden acceder a niveles superiores en el estudio de la Física. — Evitar, en la m edida de lo posible, el crear una im agen — falsa, p o r supuesto— de que la Física es una «aplicación» sin m ás de las M atemáticas; insistiendo, eso si, en la necesidad d e u n lenguaje m atem ático para alcanzar los objetivos propues­ tos. — Para facilitar la «selección de cuestiones y problem as » a lo s alu m n os de 2 ." curso de Bachillerato, se han señalado con un asterisco aquellas y aquellos q u e h an sido propuestos en sucesivas convocatorias d e Exam en d e Selectividad en diversas Universidades. E s nuestro deseo que tanto a profesores co m o a alu m n os les sea útil esta publicación, esperando que sea acogida tan favorablem ente co m o lo han sido nuestros anteriores tra­ bajos. A su generosidad e interés apelam os d e nuevo para recibir todas las sugerencias q u e estim en conveniente indicarnos: tengan la seguridad d e que las aceptarem os con el m á xim o agradecimiento. LOS AUTORES 1. ANÁLISIS DIMENSIONAL. LA MEDIDA. ERRORES. FO RM U LA R IO M A TEM Á TICO (REPASO) ■ *“ « — T ; cos a = ; “ 1 |se n 2 a + eos2 » = l| ctg a = b « 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° sen a 0 1/2 V2/2 V5/2 1 0 -1 eos a 1 V Í/2 Z2/2 1/2 0 -1 0 tg a 0 I 3 co 0 -00 c tg a 00 0 -c o 0 VT 1 sen (a ± b) = sen a • eos b ± eos a • sen b sen 2a = 2 sen a • eos a eos (a ± b ) = eos a • eos b + sen a • sen b eos 2a = eos2 a - sen2 a !g (a ± b) tg a ± Ig b lg 2a 1 + tg a • tg b du = ^ - d x dx d (a u ) = a du 2 tg a 1 — tg2 a f J du = u + C a du = a J d u + C 7 í (d u + d v ) = / d (u + v ) = d u + dv du + / d v + C d (un) = n u "_1du /■ * — « ( - Í L - . v T + C J Vü * > - & £ \ - + C ( n i» - » 2 - d (Inu) = í- f - = ln|u| + C d ( c “ ) = e"d u I e “d u = e“ + C d (a“) = a “ln a d u f a “d u = - f - + C Ina d (sen u ) = eo s u d u / eo s u d u = sen u + C d (eos u ) = - s e n u du 1 sen u d u 2 2 / sec u d u = tg u + C d (tg u) = sec u du d (c tg u ) = - c o s e c d (are sen u ) = d (a re c tg u) = 2 2 u du ^ d- -=■• d (are eo s u ) = — <*u V i - u d (a re tg u ) = - = -e o s u + C / — í — — - = are sen u + C ^ ~ -u - u — 1 + u2 ^ / cosec u d u = - c t g u + C 2- f — ~ c*u 1 + u = a re eo s u + C l = a rc ,g - + c 2 = are ctg u + C d (sh u ) = c h u du / ch u du = sh u + C d (c h u ) = sh u du I sh u d u = ch u + C 2 d (tg h u ) = sech u du 1 sech 2 u d u = tgh u + C 1. ANÁLISIS DIM ENSIONAL. LA MEDIDA. ERRORES. 1.1. 1.2. Explica brevem ente la diferencia entre observación y experim entación. Solución: La observación consiste en el estudio del fenómeno tal como se verifica en la Naturaleza, interviniendo normalmente todas las variables que pueden influir en él. La experimentación consiste en el estudio del fenómeno reproducido artificialmente, controlando en cada proceso las variables que interesa estudiar. ¿Q ue entiendes p o r m odelo? Explícalo con un ejemplo. Solución: Un modelo es una interpretación lógica y, por tanto, válida de un fenómeno. No se pretende que el modelo sea la verdad, sino que interpre­ te satisfactoriamente lo observado. Ejemplos: Los modelos atómicos (Dalton, Bohr, Rutherford, etc.); el modelo del calórico (naturaleza del calor); modelos acerca de la naturaleza de la luz; modelos acerca del porqué de la electrización, etc. 1-1. hay teorías objetivas, sino explicaciones validas. ¿Q ue quiere decir esto? E x­ plícalo con un ejemplo. Solución: El investigador debe estar convencido de que sólo puede cono­ cer la realidad subjetivamente. Por tanto, todas las conclusiones que obtenga en sus observaciones serán subjetivas; lo cual quiere decir que serán satisfac­ torias y válidas durante un determinado período histórico. Al descubrirse nuevos fenómenos y al mejorar los métodos de observación esas teorías de­ berán ser corregidas o modificadas. 1.1. ¿Q ue veníalas tiene el t nitor la tuerza i onio m nitnitud fundam ental? ' el inulto lo maso ' Razónalo con m i ejemplo Solución: La fuerza es fácil de determinar con un dinamómetro, pudiendo reproducirse su unidad con relativa facilidad. La masa ofrece la ventaja de su práctica invariabilidad. Solución: Cuando se expresa una medida debe indicarse cuántas veces contiene a la unidad empleada y cuál es esta unidad. Asi, no puede decirse que la masa de un cuerpo es 5, sino 5 g o 5 kg, etc. Solución: La ecuación de dimensiones representa la dependencia que exis­ te entre una magnitud derivada y las fundamentales. Esta dependencia la ex­ presa en sus dos aspectos: cualitativo y cuantitativo. Las ecuaciones de d¡ 9 mensiones sirven para comprobar la homogeneidad de las fórmulas físicas, así como para deducir algunas de ellas. 1.7. Hallar la ecuación de dimensiones de la superficie de una lámina rectangular de dimensiones a y b. Solución: Como S = a • b, y tanto a como b son longitudes. | [S| = L • L = L2 | 1.8. Hallar la ecuación de dimensiones de la velocidad. Solución: Como v = resulta.j [v] = LT~‘~| 1.9. Hallar la ecuación de dimensiones de la aceleración. V — V Tl Solución: Ya que a = -----— — = —V = —— , tenemos que: [------------------------I |(a] - LT~*[ Esia ecuación de dimensiones significa que la aceleración es directamente proporcional a la longitud e inversamente proporcional al cuadrado del tiempo. 1.10. Calcular las ecuaciones de dimensión de las siguientes magnitudes: ai trabaja; b) potencia; c) presión. Solución: a) Como W = F • s • eos 9, resulta: [W] = [F • s • eos 9] = (m • a • s • eos 9) = MLT~2 • L = 1ML^T-2! b) Ya que P = -y- y |W| = ML*T'!, resulta: [P] = MLl-r J = ! ML^r-»| c) Sabemos que p = -y-. Como |F| = MLT-2 y [S] = L¡. se obtiene: (p) = = | m l ‘t - 2| 1. 11. ¿Qué ecuación de dimensiones tienen las razones trigonométricas? Solución: Como las razones trigonométricas son el cociente entre dos lon­ gitudes. carecen de dimensiones. 10 1.12. ¿Qué ecuación de dimensiones tiene el núm ero ~? Solución: El número r. viene dado por el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Por consiguiente, al tratarse de un cociente en­ tre dos longitudes, carece de dimensiones. 1.13. (*) Comprobar que las dimensiones de la energía cinética son las de un trabajo. Solución: La ecuación de dimensiones del trabajo es: (WJ = ML'T-2 (véase problema 1.10). y la de la energía cinética: [Ecl = [ 4 - m v ¡] = M • <LT_1)2 = M L ÍT “ 2 ||E J ^ [VV|| 1.14. Demuestra que la ecuación v = V J g h es homogénea (v es una velocidad ; g, una aceleración, y h , una longitud). Solución: La ecuación de dimensiones de v es: M = [ 4 - ] = lt-' y la de V igh: [V2ghJ = V LT~: • L = V U T T = LT-' Por consiguiente, como [vj = [ V2gh]. la ecuación mencionada es homo­ génea. 1.15. (*) E l electronvoltio (eV) se define com o la energía que adquiere un electrón cuando está sometido a una diferencia de potencial de I voltio. Probar que, efectivamente, el producto eV tiene dim ensiones de energía. Solución: a) La ecuación de dimensiones de la energía es: [WJ = ML2T~2. mientras que las de e y V son: [e] = [O) = AT Por tanto: (cV) = AT • ML2T - , A“ 1 = ML2T~2 = |W |, conforme se quería demostrar. II b) Utilizando los conceptos de carga, potencial y energía eléctrica, resulta que estas magnitudes están relacionadas m ediante la expresión: V = ~W q - . por lo que es evidenic que el producto de una carga por un potencial tenga las dimensiones de una energía. 1.16. ¿E s correcta o errónea la expresión T = Para el periodo de un péndulo lea la que T representa un tiempo: I, una longitud, y g . una acelera­ ción)? Solución: |T] = T; [V rJ -V ^ -^ La ecuación es homogénea y. en principio, pudiera ser acepta­ ble, pero es errónea, debido a que falta en ella el coeficiente numéri­ co 271. La fórmula correcta sería: T = 2 . Estos coeficientes que no afectan a la homogeneidad de una fórmula reciben el nombre de coeficientes adimensionales. Tardamos si ¡u fórm ula del periodo deI pendido « ¿ ( orno se podría saber cuál de las dos e\ la correcta'/ Solución: Comprobando cuál de las dos es homogénea; es decir, con los dos miembros dimensionalmente iguales. Procediendo de esta forma (ver problema anterior), vemos que la primera fórmula es la correcta. Solución: Dicha fórmula, expresada dimcnsionalmente. es: MT~2 = MT~2 + M L-'T "2 12 Por tanto, no es correcta, ya que carece de homogeneidad, puesto que el segundo sumando de la derecha no tiene iguales dimensiones que los otros dos. Para que fuese correcta, se podría multiplicar este segundo sumando por una longitud, con lo que quedaría de la forma siguiente: -2 -5 - = p . I+ 1,5 p _V_ (V = volumen) o bien: -J2J-2- = p . , + 1,5 _ID_ 1.19. (*) E n el Sistema Internacional (SI) el valor numérico de la constante de gra­ vitación universal es 6,67 • ¡0 “ . Obtener su valor numérico en un sistema en el que las unidades fundam entales sean el kilómetro, la tonelada y la hora. Solución: La expresión matemática de la ley de gravitación universal es: donde G = 6,67 • 10 kg2 Por consiguiente: G = 6,67 . 1 0 1(1' kg 1 ton kg2 L = 6,67 • 1 0 - kg / 3.6- ÍO3 ® \ 2 \ 1h / kg2 ^ ton • h2 1.20. (*) E l valor numérico de la permitividad eléctrica ( c j en el vacio es 8,85 • 10 en e l V/ í)hténi;ti\e m i \ alor en u n sistema cuyas unidades fundam entales sec kilómetro, tonelada, hora v culombio. Solución: La expresión matemática de la ley de Coulomb es: 1 Ar.t • c„ O, • Q2 donde t„ = 8.85 • 1 0 '12 — N ■m2 13 s„ = 8,85 • 10-12 — N • m2 1h 3,6 • 10-' s 103 m 1 km 1.21. <*) Comprobar, utilizando el análisis dimensional, que la permitividad eléctrica, e, puede expresarse en F/m. Solución: De acuerdo con la ley de Coulomb: F_ 1 Qx Q i Ar.c • c0 r2 la ecuación de dimensiones de la permitividad eléctrica es: Por otra parte, la capacidad tiene como ecuación de dimensiones: Se deduce, por tanto, que: Jeo] = por lo que la permitividad se puede expresar en unidades de capacidad partido por unidades de longi­ tud; esto es, en F/m. 1.22. Deducir mediante el análisis dimensional la fórm ula de! volumen de una esfera, sabiendo que depende solamente de su radio. Solución: Ya que las dimensiones del primer miembro (volumen) son L3, en el segundo miembro ha de aparecer una longitud (el radio) ele­ vada al cubo. Podemos escribir, por lo tanto: V = k • R3. El coeficiente adimensional k, que no se puede obtener mediante el análisis de las 4 dimensiones, es igual a - j - z. 1.23. A l estudiar experimentalmente las magnitudes de que depende el periodo de un péndulo parece deducirse que puedan influir sobre él la longitud del hilo, la masa del péndulo y el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar de la experiencia. Obtener mediante el análisis dimensional la fórm ula del periodo de! péndulo. Solución: En vista de los datos experimentales, la ecuación que nos da el período será de la forma: T = k • lp • m“ • gr 14 fallándonos por determinar los exponentos p, q y r. Ya que el primer miembro tiene por dimensiones T y el segundo: V ■M’ • (LT“2)' = Lp*' • M" • T "2' Como la ecuación tiene que ser homogénea, resulta: T = Lp*r • Mq • T~2r es decir: p+ r= 0| q=0V -2 r = 1 ( conduciendo la resolución del sistema a: p = 1/2; r = -1/2; q = 0. Con ello, la fórmula del período del péndulo se puede escribir así: El cocficienie adimensional k, como ya hemos visto en el problema 1.16, vale 2r.. Obsérvese que mediante el análisis dimensional hemos deducido que el pe­ ríodo del péndulo no depende de la masa, como habíamos erróneamente su­ puesto al principio. 1.24. (*) Comprobar, utilizando e l análisis dim ensional, que el periodo de revolución de un planeta depende de la longitud del eje m ayor de su trayectoria, 2a; de la m asa d el S o l, M „ y de la constante d e gravitación universal, G . Solución: La ecuación que nos da el período de revolución de un planeta será de la forma: T = k • (2a)p • (M*)q • Gr siendo necesario determinar los exponentes p, q y r. Como el primer miembro tiene por dimensiones T y el segundo: Lp • Mq • (M - , L3T~2)r = Lp+3r • Mq-r • T ‘ 2r y la ecuación tiene que ser homogénea, resulta: T = Lp*3r • Mq_r • T "2r es decir: p + 3r = 0 15 conduciendo la resolución del sistema a: p = 3/2; q = —1/2; r = —1/2. Con ello, el período de revolución del planeta vendrá dado por: T - k - (2a)” ■M ,-* • G-W . fc N/8 ■ - ' V El coeficiente adimensional k' vale 2-. Queda con esto demostrado que el período de revolución depende de la longitud del semieje mayor de la órbita, de la masa del Sol y de la constante de gravitación universal. G. 1.25. Con una balanza has obtenido los siguientes valores al determinar la m asa de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g ; 2,348 g. y 2,350 g. ¿Cuál es el valor m ás probable o correcto? Solución: a = 2.350 g + 2.352 g + 2.348 g + 2.350 g = 1.26. E l error absoluto no indica la precisión de una medida. ¿Q ué quiere decir esto? Pon un ejemplo que lo explique. Solución: El error absoluto solamente indica la cuantía del error; pero no si la equivocación puede ser aceptable o no. Así. por ejemplo, equivocarse en 5 m al medir una longitud de 10 m es un error inaceptable; mientras que esc mismo error (5 m) en una medida de 100 km apenas se aprecia. 1.27. Plantea y resuelve dos ejercicios donde tengas que calcular el error absoluto y el error relativo cometidos al efectuar una medición. Solución: a) La longitud de una mesa es 112.8 cm. AI medirla hemos obtenido 113,4 cm. Hallar el error absoluto y el error relativo cometidos. x¡ = m, - M = 113,4 cm - 112.8 cm = | 0,6 cm (por exceso) [ 0,6 < ttV s cm 100 = [0^53* M~ 100 ‘ = - 112,8 b) La masa de la Tierra es 5,98 - 1024 kg. ¿Qué errores absoluto y relativo se cometen al tomar, en vez de dicho valor, 6 • 1024 kg? x¡ = m, - M = 6 - 10“ kg - 5,98 - 10“ kg = |0,02 ■10“ kg] x, . ■-1 16 = _ i i _ . ,(K) = M 35 L i ^ i - . 5.98 • 10“ kg 100 = | Ó j 3 % l 1-----------1 1.28. ¿Q ué error relativo se comete al dar a .: el valor i , 14? Solución: Hallemos, en primer lugar, el error absoluto: x, = mi - M = 3,14 - 3,14159 = -0,00159 (por defecto) El error relativo será: 0,00159 Td~ >00 = 3.14159 • 100 = 0,05 ' l .29. ¿E s aceptable tlar a g el valor de 10 m r , en vez de 9.S I mis2? Razona la contes­ tación. Solución: Será aceptable si el error relativo cometido no supera el 2 %. x, = m. - M - 10 ny/s2 - 9,81 ny/s2 = 0,19 m/s2 (por exceso) X, = ——— 100 = 0,19 • m/s2 VV - 100= 1.94 % < 2 % M 9,81 nVs2 1--------------------1 Por tanto, sí es aceptable. 1.30. Un alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y halla un valor de 6 m . (Uro alumno B mide la longitud de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 ni. ¿Qué error absoluto se cometió en cada caso? ¿Q ué medida fu e más precisa? Solución: Ambos alumnos cometieron el mismo error absoluto: 1 metro por exceso, y la medida más precisa fue la del alumno B, ya que cometió un error relativo menor. Alumno A B Error absoluto Error relativo 1 m exceso - i- • 100 = 20 % 1 m exceso -~ ¡r ■io° = o,2 % 1.31. ¿Qué medida es más precisa: la de un químico que pesa 20 cg con una balanza que aprecia el miligramo o la de un tendero que pesa 2 kg de arroz con una balanza que aprecia el gramo? Solución: Será más precisa aquella pesada cuyo error relativo sea menor. Para el químico: = 200^ 100= Para el tendero: x ,„, = 2 ^ g • 100 = 0.05 % . Por tanto, es más precisa la medida del tendero. 17 I precisión: la de un n in a d e .id i Solución: Para el niño: 30 meses 1 año 38 años Para el hombre: - Por consiguiente, la edad del hombre tendrá dada con mayor precisión. Solución: Como x,mi = • 100. se ha de cumplir que: - Í Í - - 100 < 0 .1 de donde: x, < 0.00314... El error absoluto ha de afectar a la tercera cifra decimal. Por tanto, debe­ mos tomar r. con tres cifras decimales. - ¿ s o n cuantas ei/ras decimales dchenws am ellan sea m enor d e l n.O i ‘ t Solución...
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  • Test, Volumen, Ecuación, Permitividad

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