Gu\u00eda 02 Longitud de arco, triada m\u00f3vil.pdf - Asignatura An\u00e1lisis Matem\u00e1tico II Docente Ms.C Ronald Reyes Narv\u00e1ez Tema Longitud de arco Escuela

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LONGITUD DE ARCO Parametrización: El conjunto c es parametrizado si existe una función f continua en . I Tal que: ( ) . f I c Ejemplo: 2 : c y x 2 : ( ) ( ; ) , c f t t t t ó 2 ( ) : ( ) , ( ) x t t c f t t y t t Ejemplo: 2 2 2 2 : 1 ; 0 x y c a b a b : ( ) ( cos( ); ( )) , 0;2 c f t a t bsen t t ó ( ) cos( ) : ( ) , 0;2 ( ) ( ) x t a t c f t t y t bsen t Teorema: Si f tiene una derivada continua en ; a b y la curva C descrita por la función vectorial ( ) f t , entonces la longitud de arco de la curva C está dado por: '( ) b a L f t dt Observación 01: Dado una curva en forma paramétrica ( ) ( ) x x t C y y t , ; t a b La longitud de arco está dado por: 2 2 b a dx dy L dt dt dt Observación 02: Dado la curva dela forma: : ( ) ( ); ( ); ( ) ; ; C f t x t y t z t t a b   Entonces la longitud de arco de la curva es: 2 2 2 '( ) ( '( )) ( '( )) ( '( )) b b a a L f t dt x t y t z t dt Luego de graficar la función: Ejemplo 1: Una partícula se mueve en el espacio tridimensional según la ecuación: 3 cos( ) 3 sen ( ) ; 0; z 4 x t t C y t t t t a) Modele la expresión matemática que permite calcular la longitud de trayectoria de la partícula. b) Calcule la longitud de la trayectoria según (a) Solución (a): '( ) 3cos( ) 3 ( ) 3 cos( ) ( ) '( ) 3sen( ) 3 cos( ) 3 sen( ) cos( ) z'( ) 4 x t t t sen t t t sen t y t t t t t t t t Elevando al cuadrado 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '( ) 9 cos ( ) (2 ) ( ) '( ) 9 sen ( ) (2 ) cos ( ) z'( ) 16 x t t t sen t t sen t y t t t sen t t t t Sumando término a término: Asignatura: Análisis Matemático II Docente: Ms.C. Ronald Reyes Narváez Tema : Longitud de arco Escuela: Ingeniería Civil ( ) (cos ; ; ) f t t sent t Y X Z L t 2 y x Y X f b Y a X 2 2 2 2 1 x y a b f t
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2 2 2 2 '( ) '( ) '( ) 9 25 x t y t z t t Por fórmula de longitud de arco: 2 0 9 25 L t dt Solución (b): 2 0 9 25 L t dt Integrando 2 2 0 1 3 25 9 25 ln 3 9 25 3 2 2 t L t t t 2 2 1 3 25 9 25 ln 3 9 25 3 2 2 L 2 2 1 3(0) 25 9(0) 25 ln 3(0) 9(0) 25 3 2 2 Por tanto: 2 2 25ln 3 9 25 25ln 5 9 25 2 6 6 L ENTRETENIMIENTO 1 01) Determine la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica: 2cos( ) 2 ( ) x t C y sen t ; 0 2 t Rpta: 4 L 02) Determine la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica ( ) 1 cos( ) x t sen t C y t ; 0 2 t Rpta: 8 L u 03) Determine la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica: 3cos( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 cos( ) x t t sen t C y sen t t t
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  • Fall '20
  • Fabián Dice
  • Punto, Curva, Ecuación, Tridimensional, Vector unitario

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