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Unformatted text preview: Tema 1 Estructura cristalina 1/40 Caracter´ ısticas generales de los s´lidos o N´mero elevado de constituyentes (n´cleos y electrones): ∼ 1023 cm−3. u u Peque˜as distancias entre ´tomos: ∼ 2 − 4 ˚. n a A Fuerte solapamiento de las funciones de onda electr´nicas. o Casi siempre presentan orden de largo alcance (generalmente disposiciones peri´dicas de los ´tomos). o a 2/40 Estructura cristalina Ordenamiento peri´dico o Disposici´n no peri´dica o o 3/40 Estructura cristalina d niai r =r+T=r+ i=1 red + base = estructura cristalina 4/40 Red + base = estructura cristalina 5/40 Celda primitiva El n´mero de ´tomos de la celda primitiva es el n´mero de ´tomos de la u a u a base. 6/40 Celda primitiva de Wigner-Seitz 1. Unir un punto de la red con todos los que le rodean. 2. Dibujar los planos bisectores. 7/40 Operaciones de simetr´ ıa 8/40 Redes de Bravais tridimensionales 9/40 Celdas unidad en la redes de Bravais 10/40 Celda primitiva en la estructura bcc a = a ı+−k 2 b = a −ı++k 2 c = a ı−+k 2 11/40 Celda primitiva en la estructura fcc a = a ı+ 2 b = a +k 2 c = a ı+k 2 12/40 Propiedades de las estructuras c´bicas u sc Volumen de la celda convencional N´mero de puntos por celda u Volumen de la celda primitiva N´mero de vecinos m´s pr´ximos u ao Distancia al vecino m´s pr´ximo ao a3 1 a3 6 a bcc fcc a3 a3 2 4 a3/2 a3/4 √8 √ 12 3a/2 2a/2 13/40 Estructura hexagonal 14/40 Planos cristalinos. ´ Indices de Miller 1. Determinar la intersecci´n con los vectores a, b y c (primitivos o no) o en funci´n de las constantes de la red. o 2. Obtener los valores rec´ ıprocos de estos n´meros y reducirlos a tres enu teros que est´n en la misma relaci´n. El resultado se representa entre e o par´ntesis (hkl). e 15/40 Planos cristalinos. ´ Indices de Miller Ejemplos 16/40 Estructuras cristalinas sencillas C´bica simple con base doble u Cristal a (˚) Cristal a (˚) A A CsCl TlBr TlI CuPd 4, 11 3, 97 4, 20 2, 99 CuZn AgMg LiHg AlNi 2, 94 3, 28 3, 29 2, 88 17/40 Estructuras cristalinas sencillas C´bica centrada en las caras con base doble u ˚ Cristal a (A) Cristal a (˚) A LiH NaCl KCl PbS 4, 08 5, 63 6, 29 5, 92 AgBr MgO MnO KBr 5, 77 4, 20 4, 43 6, 59 18/40 Estructuras cristalinas sencillas Hexagonal compacta Cristal c/a Cristal c/a He Be Mg Ti Zr 1, 633 1581, 1, 623 1, 586 1, 594 Zn Cd Co Y Gd 1, 861 1, 886 1, 622 1, 570 1, 592 19/40 Estructuras cristalinas sencillas Estructura tipo diamante 20/40 Estructuras cristalinas sencillas Estructura de sulfuro de cinc ˚ Cristal a (A) Cristal a (˚) A CuF CuCl AgI ZnS ZnSe 4, 26 5, 41 6, 47 5, 41 5, 65 CdS InAs InSb SiC AlP 5, 82 6, 04 6, 46 4, 35 5, 42 21/40 Cuasicristales Tb-Mg-Cd Al-Cu-Fe Al-Mn-Pd Mg2Cu6Ga5 22/40 Difracci´n por los cristales o Rayos X λ(˚ ) = 12,4 A E (keV) Neutrones λ(˚ ) = √0,28 A E (eV) Electrones λ(˚ ) = √12,0 A E (eV) 23/40 M´todo de Laue. e Espectro cont´ ınuo de rayos X o neutrones. Muestra monocristalina inm´vil. o 24/40 M´todo del cristal giratorio e Espectro monocrom´tico de rayos X o neutrones. a Muestra monocristalina giratoria. 25/40 M´todo del Debye-Scherrer e Espectro monocrom´tico de rayos X o neutrones. a Muestra inm´vil y en forma de polvo. o 26/40 M´todo del Debye-Scherrer e 27/40 Difracci´n por una red de ´tomos puntuales o a eikr ψdis(r ) = C A r e−i∆k · rmnp A≡ rmnp = ma + nb + pc m,n,p Amplitud de difusi´n A m´xima cuando ∆k · rmnp = 2π × entero o a Informaci´n suplementaria o Ecuaciones de Laue a · ∆k = 2πh b · ∆k = 2πk c · ∆k = 2πl h, k, l enteros 28/40 Red rec´ ıproca (Gibss) ∆k = hA + k B + lC A, B , C ? Vectores fundamentales de la red rec´ ıproca A = 2π b×c a·b × c B = 2π c×a a·b × c C = 2π a×b a·b × c a · b × c es el volumen de la celda (primitiva o convencional). Vectores de la red directa: rmnp = ma + nb + pc Vectores de la red rec´ ıproca: Ghkl = hA + k B + lC rmnp · Ghkl = 2π × (hm + kn + lp) = 2π × (entero) M´ximos de difracci´n cuando ∆k = Ghkl . a o Informaci´n suplementaria o 29/40 Ejemplo de red rec´ ıproca bidimensional a = 2d ı A= b = d ı + 2d π π ı− d 2d B= c= k π d 30/40 Construcci´n de Ewald o Conservaci´n de la energ´ (k = kdis) y del momento (kdis = k + G) o ıa 2k · G = G2 . G = 2k sen θ 31/40 Ley de Bragg G = 2k sen θ G= 2πn =⇒ d nλ = 2d sen θ 32/40 Expresi´n de la densidad electr´nica o o n (r ) = ˜ d3k eik · r nk n(r ) = n(r + rmnp) =⇒ eik · rmnp = 1 =⇒ k = G ˜ eiG · r nG n (r ) = G 33/40 Zona de Brillouin Es la celda de Wigner-Seitz de la red rec´ ıproca. Red c´bica simple u 2π 2π 2π ı ,B = ,C = k a a a La red rec´ ıproca de una red c´bica simple es otra red c´bica simple. u u Los l´ ımites de la zona de zona de Brillouin son los seis planos normales a los seis vectores ±(1/2)A, ±(1/2)B y ±(1/2)C . a = aı , b = a , c = ak =⇒ A = 34/40 Red directa bcc (red rec´ ıproca fcc) a= a ı+−k 2 b= a −ı++k 2 c= a ı−+k 2 2π 2π 2π ı+ B= +k ı+k C= a a a La ZB est´ delimitada por los doce planos normales a los doce vectores a (2π/a)(±ı ± ), (2π/a)(± ± k) y (2π/a)(±ı ± k) en sus puntos medios (dodecaedro r´mbico). o A= 35/40 Red directa fcc (red rec´ ıproca bcc) a= a= a ı+ 2 2π ı+−k a b= b= a +k 2 2π −ı++k a c= a ı+k 2 c= 2π ı−+k a La ZB est´ delimitada por los ocho planos normales a los ocho vectores a (2π/a)(±ı ± ± k) en sus puntos medios (octaedro truncado). 36/40 Factor de estructura de la base rj = xj a + yj b + zj c |xj |, |yj |, |zj | < 1 , j = 1, 2, . . . , s . rmnp = ma + nb + pc e−i∆k · rmnp =⇒ A = A= dV n(r ) e−i∆k · r m,n,p nj (r − rmnp − rj ) n (r ) = m,n,p j dV nj (r − rmnp − rj ) e−i∆k · r = fj e−i∆k · (rmnp+rj ) fj ≡ dV nj (r ) e−i∆k · r 37/40 Factor de estructura de la base e−i∆k · rmnp A= m,n,p fj e−i∆k · rj j =N δ∆k,G ≡S∆k fj e−2iπ(xj h+yj k+zj l) SG = j bcc: x1 = y1 = z1 = 0 y x2 = y2 = z2 = 1/2 =⇒ SG = f + f exp[−iπ (h + k + l)]. Se anula cuando h + k + l es impar y toma el valor 2f cuando h + k + l es par. fcc: SG = f +f exp[−iπ (k +l)]+f exp[−iπ (h+l)]+f exp[−iπ (h+k )]. Se anula siempre que la paridad de uno de los ´ ındices es diferente a la paridad de los otros dos. 38/40 Efectos de la temperatura (teor´ cl´sica) ıa a 0 rj (t) = rj + uj (t) =⇒ SG fj e−irj (t) · G = T T 0 = SG e−iu · G T . j El promedio t´rmico de uj (t) y sus potencias no depende de j ni de t. e e−iu · G SG T T 1 − i u·G 0 = SG 1 − T − 1 (u · G)2 2 12 u T G2 =⇒ I 6 T T =1−0− 12 u T G2 6 1 = I 0 exp − u2 T G2 3 Debye−Waller U T 3 1 = kB T = M ω 2 u2 2 2 T =⇒ I kB T G2 = I exp − M ω2 0 T 39/40 Efectos de la temperatura (experimento) Nicklow et al., Phys. Rev. 152, 591 (1966). 40/40 ...
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