tema06 - Física del Estado Sólido F. D–Adame JJ J N I...

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Unformatted text preview: Física del Estado Sólido F. D–Adame JJ J N I II 1/34 JJ J N I II 1/34 Tema 6 Electrones en un potencial peri´odico Física del Estado Sólido F. D–Adame JJ J N I II 2/34 JJ J N I II 2/34 Difracci´ on de los electrones en el cristal La longitud de onda de los electrones a nivel de Fermi ( k F ∼ 1 , 5 ˚ A- 1 = ⇒ λ F ∼ 1 ˚ A) es del orden del par´ ametro de red del cristal. Hip´otesis preliminares: Electrones independientes Red cristalina est´ atica y peri´ odica: U ( r ) = U ( r + R ) U ( r ) conocido: H =- ~ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) Física del Estado Sólido F. D–Adame JJ J N I II 3/34 JJ J N I II 3/34 Teorema de Bloch Operadores de traslaci´ on: T R f ( r ) = f ( r + R ) ∀ R Satisfacen trivialmente: T R T R = T R T R = T R + R Conmutan con el Hamiltoniano: T R H ψ = H ( r + R ) ψ ( r + R ) = H ( r ) ψ ( r + R ) = HT R ψ Autoestados comunes: H ψ = Eψ T R ψ = c ( R ) ψ c ( R ) c ( R ) = c ( R + R ) = ⇒ c ( R ) = e i κ · R κ = x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3 T R ψ ( r ) = ψ ( r + R ) = c ( R ) ψ ( r ) = e i κ · R ψ ( r ) Corolario La funci´on u κ ( r ) ≡ e- i κ · r ψ ( r ) tiene la periodicidad de la red de Bravais. ψ ( r ) = e i κ · r u κ ( r ) u κ ( r + R ) = u κ ( r ) Física del Estado Sólido F. D–Adame JJ J N I II 4/34 JJ J N I II 4/34 Condiciones de Born-von Karman ψ ( r + N i a i ) = ψ ( r ) i = 1 , 2 , 3 ψ ( r + N i a i ) = e 2 πiN i x i | {z } =1 ψ ( r ) i = 1 , 2 , 3 x i = m i N i m i entero κ = m 1 N 1 b 1 + m 2 N 2 b 2 + m 3 N 3 b 3 m i entero Volumen del espacio κ para cada valor de κ permitido: V κ = b 1 N 1 · b 2 N 2 × b 3 N 3 = (2 π ) 3 N Ω = (2 π ) 3 V Física del Estado Sólido F. D–Adame JJ J N I II 5/34 JJ J N I II 5/34 Generalidades sobre el teorema de Bloch El momento cristalino ~ κ es constante del movimiento y NO coincide con el momento del electr´ on: p ψ n κ = ~ κ ψ n κ + e i κ · r p u n κ . Debido a la periodicidad de la condici´on e 2 πiN i x i = 1 podemos elegir κ ∈ 1ZB y, a cambio, introducir un nuevo ´ ındice n (´ ındice de la banda). ψ ( r ) = e i κ · r u n κ ( r ) u n κ ( r + R ) = u n κ ( r ) κ ∈ 1ZB Hay infinitos valores posibles para n : H u = ~ 2 2 m (- i ∇ + κ ) 2 + U ( r ) u = Eu u ( r + R ) = u ( r ) r est´ a restringido a un volumen finito (celda primitiva), por lo que para cada valor de κ hay infinitas soluciones posibles. Física del Estado Sólido F. D–Adame JJ J N I II 6/34 JJ J N I II 6/34 Generalidades sobre el teorema de Bloch En esquema de zona repetido, los autoestados y autovalores son funcio- nes peri´odicas del momento cristalino: ψ n, κ + G = ψ n κ E n, κ + G = E n κ Velocidad de grupo: v n κ = 1 ~ ∇ κ E n κ Física del Estado Sólido F. D–Adame JJ J N I II 7/34 JJ J N I II 7/34 Modelo de Kronig-Penney (1931) U ( x ) = X n v ( x- na ) Informaci´ on suplementaria En el caso U → ∞ , b → pero P ≡ U b = cte obtenemos: cos κa = mP α κ ~ 2 sen α κ a + cos α κ a α κ ≡ p 2 mE κ / ~ 2 Física del Estado Sólido...
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This note was uploaded on 09/21/2011 for the course PHYSICS 101 taught by Professor Wormer during the Spring '08 term at Aarhus Universitet.

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