S1Prof_05_05sol - Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 Dæmi 1. (10%) Markaði er lýst með eftirfarandi jöfnum: Framboðsfallið P = 1 QS + 20 2 Eftirspurnarfallið QD = 296 4 P Þar sem Q er magn og P er verð. a) Teiknið ferlana upp í hnitakerfi og reiknið út jafnvægispunktinn QD = 296 4 P P = 74 74 1 4 QD = 1 QS + 20 2 3 4 1 4 QD Q = 54 Q = 72 P = 1 *72 + 20 = 56 2 b) Finnið hagsbót seljandans (PS)(framleiðendaábata) í jafnvægispunktinum 72 PS = 72*56 1 2 Q + 20dQ = 72 *56 1 4 Q 2 + 20Q 0 72 0 =1296 (Hér má líka nota þríhyrninga) c) Ef lagður er 25 % skattur á hverja einingu, finnið þá jafnvægispunktinn og hagsbót seljandans (CS)(neytandaábata) 5 PN = 1.25P = 1.25 ( 1 QS + 20) = 8 QS + 25 , P = 74 1 4 QD 2 5 7 74 1 4 QD = 8 QS + 25 8 Q = 49 Q = 56, P = 60 56 CS = 74 1 4 QD dQ 56*60 = 74Q 1 8 Q2 0 56 0 56 *60 =392 (Hér má líka nota þríhyrninga) d) Finnið tekjufallið TR , jaðartekjurnar MR og það magn Q sem hámarkar tekjurnar QD = 296 4 P TR = PQ = ( 74 P = 74 1 4 1 4 QD Q ) * Q = 74Q MR = 0 hámarkar tekjurnar 74 1 1 2 4 Q 2 MR = dTR dQ = 74 Q=0 Q = 148 1 2 Q Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 Dæmi 2. (10%) Finnið gildi x til að jöfnurnar standist. log x x = ex x 5e a) log x x = 1 1 = ex x 5e 1 = e2 x 5 ln 1 = 2 x 5 x= ln 1 5 = 0.804718 2 x b) 10e 0.5 t dt = 15 0 x dt = 15 10e 0.5 t 20e 0.5 x + 20e 20e 0.5 x 0 e 0.5 x 0.5*0 0.5 t x = 15 =5 20e 0 = 15 = 5 / 20 0.5 x = ln 1 4 x = 2 ln 1 = 2.7725 4 Kennitala: Síða 2 af 9 Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 Dæmi 3. (15%) a) Þú semur um að greiða 12.000.000 kr. skuld á 25 árum með jöfnum greiðslum mánaðarlega, fyrstu greiðslu eftir mánuð. Hve mikið áttu að greiða á mánuði ef ársvextirnir eru 4,2% og reiknast mánaðarlega. 1 (1 + i ) PVn = R i R = 12.000.000 1 n PVn i 1 (1 + i ) 0, 042 /12 R= (1 + 0, 042 /12 ) n 25 12 = 12.000.000 0, 042 /12 1 (1 + 0, 042 /12 ) 300 = 64673, 07814 kr. eða ((1 + 0, 042 /12) 1) 12.000.000 = a (1 + 0, 042 /12 ) ((1 + 0, 042 /12) 1) 12.000.000 ( (1 + 0, 042 /12 ) 1) a= = 64673, 07814 1) (1 + 0, 042 /12 ) ( (1 + 0, 042 /12 ) 300 1 1 1 1 b) 300 Þú átt 587,39€ í dag. Eftir hve mörg ár áttu 1000€ ef í boði eru 9% vextir sem eru reiknaðir þrisvar sinnum á ári.. S log ( P ) r Umrita S = P 1 + til að einangra n. n = . P = 587,39, S = 1000 og r = 9/3 r log (1 + 100 ) 100 = 3 vegna þess að vextirnir eru reiknaðir þrisvar á ári. Ath. n er fjöldi vaxtatímabila. n n= 1000 log ( 587,39 ) = 18.0002 G 18 sem þýðir að vaxtatímabilin eru 18, það eru þrjú vaxtatímabil 3 log (1 + 100 ) á ári þannig að árin eru 6. c) Þú átt 10 000 kr. í dag. Hvað þurfa vextirnir að vera ef þú villt eiga 50 000 kr. eftir 15 ár. Vextirnir eru reiknaðir þrisvar sinnum á ári. r S = P 1+ 100 n r = 100 n S 1 . P = 10000, S = 50000 og n = 15*3 = 45 vegna þess að P vextirnir eru reiknaðir þrisvar á ári. Ath. n er fjöldi vaxtatímabila. r= 100 45 Kennitala: 50000 1 = 3,6412% á vaxtatímabili eða 10,92% á ári. 10000 Síða 3 af 9 Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 Dæmi 4. (15%) Diffrið fallið f ( x) = a) 5 x3 f ( x) = ( 4 2x ) ) ( 3( 4 2x ) ( 4 2x ) 4 2 x2 5x2 ( 4 2 x2 1/ 2 2 1/ 2 2 2 b) og einfaldið útkomuna 4 2 x2 15 x 2 ( 4 2 x 2 ) 5 x3 ( 4 2 x 2 ) 1/ 2 5 x3 = 5 x3 f ( x) = 2 x2 (4 ) = 5x ( 4 x 2 (4 2 2x2 ) 12 ) 3/ 2 = 2 x2 ) 1/ 2 2x 20 x 4 60 x 2 (4 2 x2 ) 3/ 2 Diffrið og finnið jöfnu snertilsins, þegar x = 1 ex f ( x) = ln 3 + 2 x f ( x) = ln ex + 2 = ln e x 3ln x + 2 = x 3ln x + 2 3 x f ( x) = 1 3 x f (1) = 3 f (1) = 2 Snertill y = 2 ( x 1) + 3 y = 2x + 5 c) Finnið diffur, þegar (x,y) = (1,1) og (dx,dy) = (0.1,0.2) z = x2 + y (3 x2 ) 3 og finnið einnig jöfnu snertiflatar í sama punkti z = x2 + y (3 x2 ) dz = ( 3 ( 2 z = 2 x 6 xy ( 3 x 2 ) x ) 3 z = (3 x2 ) y 2 3 z z dx + dy = 2 x 6 xy ( 3 x 2 ) dx + ( 3 x 2 ) dy x y ) dz = 2*1 6 *1*1( 3 12 ) *0,1 + ( 3 12 ) *0, 2 = 0, 6 dz = 0, 6 2 3 Snertiflötur z (1,1) = 9 ( z = *1 6*1*1( 3 12 ) 2 )( x 1) + ( 3 12 ) ( y 1) + 9 3 z = 22 ( x 1) + 8 ( y 1) + 9 z = 22 x + 22 + 8 y 8 + 9 z = 22 x + 8 y + 23 Kennitala: Síða 4 af 9 Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 Dæmi 5. (15%) Notið aðferð Lagrange til að finna bestu lausn fallsins (max/min) f ( x, y ) = 160 x 4 x 2 2 xy 6 y 2 + 200 y þannig að x + y = 36 L = 160 x 4 x 2 2 xy 6 y 2 + 200 y + ( 36 x y) 1° Lx = 160 8 x 2 y =0 Ly = 2 x 12 y + 200 L = 36 x y = 0 8x + 2 y + =0 = 160 2 x + 12 y + = 200 x + y = 36 x = 20; y = 16; = 32 2° L = 0; L x = 1; L y = 1 Lx = 1; Lxx = 8; Lxy = 2 Ly = 1; Lyx = 2; Lyy = 12 1 1 1 8 2 1 2 12 0 % H= % H = 16 maximum f ( 20,16 ) = 160* 20 4* 202 2* 20*16 6 *162 + 200 *16 = 2624 Kennitala: Síða 5 af 9 Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 Dæmi 6. (10%) 1 1 A12 10 Gefið er fylkið A = 2 12 1 og hjáþáttafylki A. cof(A) = 110 1 10 1 6 6 A33 8 a) 2 Finnið A12 og A33. A12 = A31 = 21 = – (2*0 – 1*1) = 1 10 82 = 8*12 – 2*2 = 92 2 12 8 b) 2 1 Finnið ákveðu og margföldunnarandhverfu fylkisins A = 2 12 1 . (detA og A-1) 110 detA = a31A31 + a32A32 + a33A33 = 1*-10 + 1*-6 + 0*92 = –16 1 1 T A–1 = ( cof ( A) ) = 16 det( A) c) 1 1 10 1 10 1 6 6= 92 Finnið gildi x og y svo jafnan standist x2 5y 1 16 8 5 8 1 16 3 3 1 16 5 1 16 5 34 8 8 2 15 = 5 20 Hér gildir að x*2 + 2*5 = 15 => 2x = 5 => x = 5/2 = 2½ -5*2 + y*5 = 20 => 5y = 30 => y = 30/5 = 6 SKILIÐ SVARINU MEÐ ALMENNUM BROTUM OG SÝNIÐ ÚTREIKNINGA! (annars fáið þið ekkert fyrir svarið) Kennitala: Síða 6 af 9 Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 Dæmi 7. (10%) Smiður sem á lítið trésmíðaverkstæði býr til borð (x) og stóla (y) sem hann selur til virðulegrar húsgagnaverslunar. Húsgagnaverslunin getur selt alla framleiðslu smiðsins. Smiðurinn selur hvert borð með 30.000 kr. hagnaði og hvern stól með 10.000 kr. hagnaði. Af heilsufarsástæðum þá getur smiðurinn ekki unnið meira en 40 klukkutíma á viku. Það tekur smiðinn 6 klukkutíma að búa til eitt borð og 3 klukkutíma að búa til einn stól. Húsgagnaversluninn fer fram á að fyrir hvert borð sem það kaupir þá fylgi minnst þrír stólar. Húsgagnaversluninn lætur sækja borðin og stólana til smiðsins einu sinni í viku, það gerir það að verkum að smiðurinn er í vandræðum með geymslupláss. Hvert borð tekur jafn mikið pláss og fjórir stólar. Ef bara væru settir stólar inn í geymslu smiðsins væri hægt að setja 16. stóla þangað inn. Hvernig á smiðurinn að skipuleggja sína framleiðslu í hverri viku þannig að hann hámarki sinn hagnað? a) Ritið hagnaðinn sem fall af x og y. Hagnaðurinn 30000x + 10000y b) Ritið skilyrðin sem fall af x og y. 6x + 3y S 40 y T 3x 4x + y S 16 c) Teiknið ójöfnurnar inn í hnitakerfi og auðkennið lausnarsvæði vandamálsins. Hornapunktar lausnarsvæðis og hagnaður (0,0) ( 0,13 1 ) 3 ( 1 1 ,10 2 ) 3 3 6 2 ( 2 7 ,6 7 ) 0 kr. 133.333 kr. 146.667 kr. 137.142 kr. d) Hver er hámarkshagnaðurinn? 146.667 kr. þegar framleiðslan er 1 1 borð og 10 2 stólar 3 3 e) Hver þarf hagnaðurinn af hverjum stól að vera svo smiðurinn búi bara til stóla. Þá þarf hagnaðurinn í punktinum ( 0,13 1 ) að vera sá sami og í punktinum ( 1 1 ,10 2 ). Þá 3 3 3 1 1 2 2 1 höfum við 30000*0 + a* 13 3 = 30000* 1 3 + a* 10 3 a* 2 3 = 30000* 1 3 a = 15000 Ef hagnaður af stól er 15.000 kr. eða meiri þá er best að búa bara til stóla. Kennitala: Síða 7 af 9 Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 Dæmi 8. (15%) a) Leysið eftirfarandi mismunajöfn og lýsið eðli lausna (teiknið) y t = 0,8 yt 1 + 18 y t = 0,8 yt 1 + 18 yt = 25 18 1 + 0,8 y0 = 25 ( 0,8 ) + t 18 1 + 0,8 ( 0,8 ) + 10 = 15 ( 0,8 ) + 10 = 10 t yt = 15 y y0 = 25 og finnið yt þegar t stefnir á óndanlegt. því 15 ( 0,8 ) b) t 0 þegar t verður óendanlegt Markaði er lýst með eftirfarandi föllum QD = 500 P QS = 1 P + 200 2 dP = 0.4 ( QD QS ) dt P(0) = 250 Finnið formúlur fyrir P(t), QS(t) og QD(t) og kannið niðurstöðuna þegar t stefnir á óendanlegt. QD = 500 P QS = 1 P + 200 2 dP = 0.4 ( QD QS ) P(0) = 250 dt dP 3 = 0.4 ( 500 P 1 P 200 ) = 0.4 ( 2 P + 300 ) 2 dt dP = 0.6P + 120 dt Kennitala: Síða 8 af 9 Háskólinn á Akureyri Viðskiptadeild P(t ) = Ae Hagnýt stærðfræði I Endurpróf júní 2005 120 = Ae 0,6 0.6t P(0) = 250 = Ae P(t ) = 50e ( 50e QD (t ) = 50e 1 2 0.6t ( 50e QS (t ) = 25e P( ) = 50e 0.6 QD ( ) = 50e Því e 0.6t Kennitala: A = 50 0.6t + 200 ) = 500 50e 0.6t 200 + 300 0.6t 0.6t QS ( ) = 25e + 200 + 200 + 200 0.6t QD (t ) = 500 QS (t ) = 0.6 0 0.6t + 200 ) + 200 = 25e 0.6t + 100 + 200 + 300 + 200 = 200 0.6 0.6 + 300 = 300 + 300 = 300 0 þegar t verður óendanlegt Síða 9 af 9 ...
View Full Document

This note was uploaded on 09/25/2011 for the course ECONOMICS 102G taught by Professor Guðmundur during the Spring '11 term at Uni. Iceland.

Ask a homework question - tutors are online