{[ promptMessage ]}

Bookmark it

{[ promptMessage ]}

Actuarial Mathematics For Life Contingent Risks (New Version)

Actuarial Mathematics For Life Contingent Risks (New Version)

Info iconThis preview shows pages 1–8. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks David C M Dickson, Mary R Hardy, Howard R Waters February 2, 2009
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
2 To Carolann, Vivien and Phelim
Background image of page 2
Contents 1 Introduction to Life Insurance 19 1.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Life insurance and annuity contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Traditional insurance contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3 Modern insurance contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.4 Distribution methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.5 Underwriting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.6 Premiums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.7 Life annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4 Other insurance contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Pension benefits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.1 Defined benefit and defined contribution pensions . . . . . . . . . . 35 1.5.2 Defined benefit pension design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6 Mutual and proprietary insurers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3
Background image of page 3

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
4 CONTENTS 1.7 Typical problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.8 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Survival Models 41 2.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 The future lifetime random variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 The force of mortality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Actuarial notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5 Mean and standard deviation of T x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6 Curtate future lifetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6.1 K x and e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6.2 The complete and curtate expected future lifetimes, e x and e x . . . 64 2.7 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 Life Tables and Selection 75 3.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2 Life tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3 Fractional age assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Uniform distribution of deaths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.2 Constant force of mortality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4 National life tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5 Survival models for life insurance policyholders . . . . . . . . . . . . . . . 91
Background image of page 4
CONTENTS 5 3.6 Life insurance underwriting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.7 Select and ultimate survival models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.8 Notation and formulae for select survival models . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.9 Select life tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.10 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4 Insurance Benefits 121 4.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4 Valuation of insurance benefits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.4.1 Whole life insurance: the continuous case, ¯ A x . . . . . . . . . . . . 124 4.4.2 Whole life insurance: the annual case, A x . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4.3 Whole life insurance: the 1 /m thly case, A ( m ) x . . . . . . . . . . . . 130 4.4.4 Recursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.4.5 Term insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.4.6 Pure endowment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.4.7 Endowment insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.4.8 Deferred insurance benefits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.5 Relating ¯ A x , A x and A ( m ) x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.5.1 Using the uniform distribution of deaths assumption . . . . . . . . 148 4.5.2 Using the claims acceleration approach . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Background image of page 5

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
6 CONTENTS 4.6 Variable insurance benefits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.7 Functions for select lives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.8 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5 Annuities 169 5.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3 Review of annuities-certain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.4 Annual life annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.4.1 Whole life annuity-due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.4.2 Term annuity-due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.4.3 Whole life immediate annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.4.4 Term immediate annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.5 Annuities payable continuously . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.5.1 Whole life continuous annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.5.2 Term continuous annuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.6 Annuities payable m times per year . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.6.2 Life annuities payable m times a year . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.6.3 Term annuities payable m times a year . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.7 Comparison of annuities by payment frequency . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.8 Deferred annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Background image of page 6
CONTENTS 7 5.9 Guaranteed annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.10 Increasing annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.10.1 Arithmetically increasing annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.10.2 Geometrically increasing annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.11 Evaluating annuity functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.11.1 Recursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.11.2 Applying the UDD assumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.11.3 Woolhouse’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.12 Numerical illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.13 Functions for select lives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.14 Notes and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6 Premium Calculation 219 6.1
Background image of page 7

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Image of page 8
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}