U\u0308bung 10 Analysis I (WS 1516).pdf - \u00dcbung vom 17.12.2015\/18.12.2015 Die erste Ableitung einer Funktion Die Idee der Di\u001berenzierbarkeit und damit die

Übung 10 Analysis I (WS 1516).pdf - Übung vom...

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Unformatted text preview: Übung vom 17.12.2015/18.12.2015 Die erste Ableitung einer Funktion Die Idee der Dierenzierbarkeit und damit die der linearen Approximation einer Funktion ist die wichtigste der gesamten Analysis. vorgegebenes Reihenrestes Beispielsweise ist es relativ mühsam (bzw. unmöglich) für ein P∞ k x 6= 0 den Wert ex = k=0 xk! zu berechnen. Jedoch kann man durch Abschneiden des Pl xk x2 xl x eine Näherung e ≈ k=0 k! = 1 + x + 2! + ... + l! durch ein Polynom (welches leicht zu berechnen ist) gewinnen. Die Frage ist, wie gut diese Näherung ist. f (x) = x3 gegeben. Wir wollen diese Funktion an der Stelle x=1 Funktion annähern. Es gilt f (1) = 1 und auf einem Intervall der Länge h hat f einen durchschnittlichen Sei die Funktion durch eine lineare Anstieg von f (1 + h) − f (1) (1 + h)3 − 1 1 + 3h + 3h2 + h3 − 1 3h + 3h2 + h3 = = = = 3 + 3h + h2 . h h h h Nun interessiert uns aber nicht die durchschnittliche, sondern die aktuelle Änderungsrate der Funktion. h Diese können wir gewinnen, in dem wir gegen 0 laufen lassen (hiermit wird die Sekante, also die Gerade mit dem Anstieg der durchschnittlichen Änderung zu einer Tangente, welche gerade die aktuelle Änderungsrate als Anstieg hat.) Damit gilt also (1) = 3 + 3h + h2 = 3. lim f (1+h)−f h h→0 Mit einer nahezu f (x+h)−f (x) gleichen Rechnung erhält man lim = 3x2 in Übereinstimmung mit der aus der Schule h h→0 3 2 bekannten Tatsache, dass die Ableitung von x gerade 3x ist. Dies motiviert die folgende Denition: Denition (Dierentialquotient, Dierenzierbarkeit): (a) f : Df ⊆ R → R heiÿt (x) dierenzierbar in x ∈ Df , falls lim f (x+h)−f h Dierentialquotient. (b) f heiÿt dierenzierbar, falls f h→0 existiert. Dieser Limes heiÿt auch für alle (c) Für eine dierenzierbare Funktion erste Ableitung Bemerkungen von f x ∈ Df dierenzierbar ist. heiÿt die Funktion f 0 : Df → R mit (x) x 7→ lim f (x+h)−f h h→0 die f. (1) Die Ableitung an der Stelle x kann auch mittels (y) lim f (x)−f x−y x→y berechnet werden. (2) Die Tangente ist die beste lineare Näherung an eine Funktion. Beispiele (1) Sei f (x) = c. Dann gilt f 0 (x) = lim h→0 (2) Sei f (x) = ax + b. f 0 (x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) c−c = lim = lim 0 = 0. h→0 h h→0 h Dann gilt f (x + h) − f (x) a(x + h) + b − (ax + b) ax + ah + b − ax − b ah = lim = lim = lim = a. h→0 h→0 h→0 h h h h 1 (3) Sei f (x) = x1 . Dann gilt für x 6= 0 1 − f (x + h) − f (x) = lim x+h h→0 h→0 h h f 0 (x) = lim (4) Sei f (x) = |x|. 1 x x − (x + h) −h −1 1 = lim = lim = − 2. · (x + h) · x h→0 h · (x + h) · x h→0 (x + h) · x x = lim h→0 h x=0 Dann gilt für f 0 (x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) |h| − 0 |h| = lim = lim . h→0 h→0 h h h Dieser Limes existiert allerdings nicht. Also ist die Betragsfunktion für x = 0 nicht dierenzierbar, was mit der Tatsache übereinstimmt, dass es schwierig ist, an einen Knick eine Tangente anzulegen :) (5) Sei f (x) = xn für n ∈ N. f 0 (x) Dann gilt f (x + h) − f (x) (x + h)n − xn = lim h→0 h→0 h h   Pn Pn n n−k k n n−k k n x h − x h k=0 k k=1 k x = lim = lim h→0 h→0 h h   n   X n n−k k−1 n n−1 = lim x h = x = nxn−1 . h→0 k 1 = lim k=1 (6) Sei f (x) = √1 . Dann gilt für x f 0 (x) = = = = = = = lim h→0 lim x>0 f (x + h) − f (x) h √1 − √1x x+h h √ x− x+h √ lim √ h→0 h · x+h· x √ √ √ √ ( x − x + h) · ( x + x + h) √ √ lim √ √ h→0 h · x + h · x · ( x + x + h) x − (x + h) √ √ lim √ √ h→0 h · x + h · x · ( x + x + h) −h √ √ lim √ √ h→0 h · x + h · x · ( x + x + h) −1 1 1 √ √ =− √ . lim √ =− √ √ h→0 x + h · x · (2 x) x · ( x + x + h) 2 x3 h→0 √ (Dies sollte auch aus der Schule bekannt sein, denn f (x) = √1 x 1 = x− 2 und damit ist 3 f 0 (x) = − 21 x− 2 = − 2√1x3 .) Bemerkung Wie schon das letzte Beispiel zeigt, ist die Berechnung der Ableitung anhand der De- nition oftmals sehr kompliziert. Wir werden jedoch wahrscheinlich nächste Woche einige Regeln kennenlernen, welche die Berechnung von Ableitungen deutlich leichter machen. 2 Eine Anwendung der geometrischen Reihe Lemma Es gilt 0, 9 = 1. Beweis: Wir berechnen 0, 9 = 0, 9999999999999... = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + 0, 0009 + ... 9 9 9 9 + + + + ... 10 100 1000 10000 1 1 1 1 9·( + + + + ...) 10 100 1000 10000 ∞ X 1 9· ( )n 10 n=1 = = = geometrische Reihe 9· = Bemerkung 1 10 1− 1 10 =9· 1 10 9 10 =9· 1 = 1,  9 Man kann alle Dezimalbrüche deren Darstellung periodisch ist in einen gemeinen Bruch verwandeln. Beispiel Wir verwandeln 1, 24680 1, 24680 in einen Dezimalbruch. Es gilt = 1 + 0, 24680 2468 2468 2468 + + + ... = 1+ 10000 1000000000 100000000000000 1 1 1 = 1 + 2468 · ( + + + ...) 10000 1000000000 100000000000000 ∞ X 1 = 1 + 2468 · ( )5n−1 10 n=1 = 1 + 2468 · 10 · ∞ X ( n=1 = 1 + 2468 · 10 · = 1 + 2468 · 10 · 1 1 )n 100000 1 100000 1 − 100000 = 1 + 2468 · 10 · 1 100000 99999 100000 24680 124679 1 =1+ = . 99999 99999 99999 Die Kochsche Schneeocke Wir betrachten das durch die folgende Iteration gegebene Objekt. 3 Es wird also jede Seite auf vier Seiten mit einer Länge von einem Drittel der ursprünglichen Länge abgebildet. Was passiert, wenn wir diese Iteration unendlich oft durchführen? Zunächst können wir eine Formel den Umfang der Figur im o.B.d.A als n−ten Schritt angeben. Es gilt (die erste Seitenlänge kann 1 3 gewählt werden) l(0) = 1, l(1) = 12 · Oensichtlich gilt also 4 1 16 4 4 1 = , l(2) = 48 · = = ( )2 , ..., l(n) = ( )n . 9 3 27 9 3 3 lim l(n) = ∞. n→∞ Für den Flächeninhalt haben wir √ A(0) = A(2) = √ √ 3 3 3 1 1 , A(1) = +3· · = A(0) + A(0), 36 36 36 9 3 √ n X 3 1 4 1 4 1 4 A(1) + 12 · · = A(0) + A(0) + A(0), ..., A(n) = A(0) + · A(0) · ( )k . 3 36 81 3 27 3 9 k=0 Damit erhalten wir √ √ n ∞ X X 3 1 3 1 4 k 4 lim A(n) = lim + · A(0) · ( ) = + · A(0) · ( )k n→∞ n→∞ 36 3 9 36 3 9 k=0 k=0 √ √ √ √ √ 3 1 3 1 3 1 3 3 1 9 1 geometrische Reihe + · A(0) · + · · = + · · = = 36 3 36 3 36 59 36 36 3 5 1 − 94 √ √ √ √ √ 3 2 3 3 3 3 3 3 8 + · = (1 + ) = · = < ∞. = 36 36 5 36 5 36 5 45 Also hat die Kochsche Schneeocke (das Objekt, welches entsteht, wenn man die Iteration unendlich oft durchführt) eine unendliche Länge, aber einen endlichen Flächeninhalt. Bemerkung Eine weitere interessante Eigenschaft der Kochschen Schneeocke ist, dass ihre Dimen- sion nicht ganzzahlig ist. Es handelt sich also weder um eine Fläche oder eine Strecke im gewöhnlichen Sinne. Ihre (Hausdor-)Dimension ist ln 4 ln 3 ≈ 1, 26. 4...
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  • Summer '20
  • Approximation, Tangente, SEI, Differentialrechnung, Ganze Zahl, Sekante

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