notes - Solid State Theory Spring Semester 2011 Manfred...

Solid State Theory
Spring Semester 2011
Manfred Sigrist
Institut f¨ur Theoretische Physik HIT K23.8
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fs11/solid
Literature:
• N.W. Ashcroft and N.D. Mermin: Solid State Physics , HRW International Editions, 1976.
• C. Kittel: Einf¨uhrung in die Festk¨orperphysik , R. Oldenburg Verlag, 1983.
• C. Kittel: Quantentheorie der Festk¨orper , R. Oldenburg, 1970.
• O. Madelung: Introduction to solid-state theory , Springer 1981; auch in Deutsch in drei
B¨ anden: Festk¨operphysik I-III , Springer.
• J.M. Ziman: Prinzipien der Festk¨orpertheorie , Verlag Harri Deutsch, 1975.
• M.P. Marder: Condensed Matter Physics , John Wiley & Sons, 2000.
• G. Grosso & G.P. Parravicini: Solid State Physics , Academic Press, 2000.
• G. Czychol: Theoretische Festk¨orperphysik , Springer 2004.
• P.L. Taylor & O. Heinonen, A Quantum Approach to Condensed Matter Physics , Cam-
bridge Press 2002.
• numerous specialized books.
1

Contents
Introduction 5
1 Electrons in the periodic crystal 8
1.1 Bloch states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Crystal symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Bloch’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Nearly free electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Symmetry properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 k · p - expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Approximate band calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Pseudo-potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Augmented plane wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Tightly bound electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Semi-classical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.1 Equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7.2 Current densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Metals and semiconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Semiconductors 29
2.1 The band structure in group IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Crystal and band structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 k · p - expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Elementary excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Electron-hole excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Excitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Optical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Doping semiconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Impurity state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Carrier concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Semiconductor devices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.1 pn-contacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.2 Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.3 MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Metals 45
3.1 The Jellium model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Charge excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Dielectric response and Lindhard function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Electron-hole excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Collective excitation - Plasmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.4 Screening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Phonons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2

3.3.1 Vibration of a isotropic continuous medium . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 Phonons in metals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Peierls instability in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 Dynamics of phonons and the dielectric function . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Itinerant electrons in a magnetic field 68
4.1 The de Haas-van Alphen effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1 Landau levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.2 Oscillatory behavior of the magnetization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.3 Onsager equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Quantum Hall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.1 Hall effect of the two-dimensional electron gas . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2 Integer Quantum Hall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.3 Fractional Quantum Hall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Landau’s Theory of Fermi Liquids 86
5.1 Lifetime of quasiparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Phenomenological Theory of Fermi Liquids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.1 Specific heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.2 Compressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 Spin susceptibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.4 Galilei invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.5 Stability of the Fermi liquid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 Microscopic considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.1 Landau parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.2 Distribution function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3.3 Fermi liquid in one dimension? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6 Transport properties of metals 103
6.1 Electrical conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Transport equations and relaxation time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.1 The Boltzmann equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.2 The Drude form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.3