Importancia de los métodos numéricos en la solución de ecuaci

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1. Importancia de los métodos numéricos en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias: Muchos problemas de la Física, la Ingeniería y muchas otras ramas del saber humano conducen de forma natural a ecuaciones diferenciales: problemas de la Mecánica, problemas dinámicos, problemas de estructuras, problemas de circuitos eléctricos y electromagnetismo, modelos poblacionales, etc., etc. En el caso más sencillo se desea obtener una función y = y ( x ) en un intervalo [ a , b ], cuya derivada y’ ( x ) es conocida como función de x . Es decir, se trata del problema Hallar y ( x ): y’ ( x ) = f ( x ), (P1) Del cálculo elemental se sabe que si yp ( x ) es una solución de (P1), también lo es y ( x ) = yp (x) + k , para cada real k . Las técnicas elementales de integración permiten obtener en algunos casos una primitiva de f ( x ), que posibilita la construcción de la solución general de la ecuación diferencial Y conociendo el valor de y en algún punto, por ejemplo a , puede determinarse una de entre las infinitas soluciones del problema Sin embargo, no siempre es posible, con los métodos elementales, obtener una primitiva de f ( x ). Este es el caso de f ( x ) = sen x / x , entre otros. La teoría del Cálculo Integral asegura, no obstante, la existencia de primitivas para esta función. El problema es que no se conocen expresiones, ‘fórmulas’, al menos sencillas, para expresar tales primitivas. Pero la ‘sencillez’ es un concepto relativo. Hay personas para las que todo lo que no son sumas y restas no es sencillo (también éste es el caso del ordenador). Otras pueden operar con productos, divisiones, potencias, radicales. Otras, con funciones transcendentes. Realmente no es una fórmula sencilla para quien no conoce la operación de integrar. Sin embargo, para un ordenador debidamente instruido, el cálculo de para un no representa más dificultad que el cálculo de sen x / x . Quizá, en todo caso, deba realizar más sumas y restas para obtener y ( x ), que para obtener sen x / x . Por otra parte, el conocimiento de que sen x / x es la derivada de cierta función ya proporciona, si se utilizan ideas adecuadas, una información importante sobre dicha función. Así que la necesidad de diseñar métodos numéricos e instruir adecuadamente al ordenador para que resuelva de manera aproximada tales problemas es obvia;
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pero aplicar métodos numéricos sin un análisis previo del problema puede resultar estéril. Avancemos un poco más en dificultad. La mayor parte de ecuaciones diferenciales ordinarias, las más interesantes, no expresan la derivada de y ( x ) en función sólo de x , sino también en función de la propia función incógnita y ( x ). Así, un problema más interesante que P1, a la vez que menos sencillo, es Como para el caso de (P1), bajo ciertos requerimientos, puede probarse que existen infinitas funciones que satisfacen la ecuación diferencial y’ = f ( x , y ), aunque ahora no difieren necesariamente sólo
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