u00c1lgebra - Notas y ejercicios.pdf - u00c1LGEBRA Notas...

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Unformatted text preview: ÁLGEBRA Notas y ejercicios Óscar Dávalos Orozco Raquel Ruiz de Eguino Mendoza Antonieta Martínez Velasco Silvia Gómez Calderón Índice general 1 Subconjuntos de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Los números naturales y enteros 1.1.1 1.1.2 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Números primos 11 14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Factorización por Primos 16 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 18 1.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Algoritmo de Euclides y el Teorema mcd × mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Los números racionales e irracionales 1.5.1 1.5.2 1.5.3 Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Incompletitud del conjunto de los números racionales Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propiedades de campo, orden y completitud de los números reales 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 23 25 25 26 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7 Demostración de que √ p, con p primo, es irracional. 28 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Operaciones con polinomios y expresiones fraccionarias . . . . . . . . . 29 2.1 Evaluación de expresiones algebraicas 2.1.1 Símbolos de agrupación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Orden de las operaciones 31 31 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Leyes de los exponentes 33 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Radicales 35 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 Polinomios 38 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorización de expresiones algebraicas Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 41 41 43 45 46 47 2.6 Operaciones con fracciones algebraicas 49 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 Multiplicación y división de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo de polinomios en una variable Adición y sustracción de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1 Ecuaciones lineales con una incógnita . . . . . 49 50 55 56 57 64 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Ecuaciones lineales con dos incógnitas 65 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Ecuaciones cuadráticas 3.3.1 3.3.2 Factorización . . . . . . . Completar cuadrados Ejercicios . . . . . . . . . . Fórmula General . . . . Discriminante . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . 3.3.3 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 69 71 72 73 74 3.4 Problemas 75 4 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1 Conceptos básicos 80 4.2 Desigualdades lineales 81 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Desigualdades cuadráticas 83 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4 Desigualdades con expresiones racionales 87 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.5 Desigualdades con valor absoluto 90 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.6 Modelado con desigualdades 93 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5 Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1 Semejanza 97 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.2 Teorema de Pitágoras 100 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.3 Medición de ángulos 104 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4 Razones trigonométricas en triángulos rectángulos 106 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.5 Funciones trigonométricas 109 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.6 Identidades trigonométricas básicas 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.4 Identidades pitagóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identidades para ángulos opuestos en signo y ángulos suplementarios . . Identidades para ángulos con lados terminales en cuadrantes opuestos . Identidades para ángulos con lados terminales perpendiculares . . . . . . . 5.7 Aplicación a triángulos en general 5.7.1 5.7.2 5.7.3 Área de un triángulo Ley de senos . . . . . . Ley de cosenos . . . . Ejercicios . . . . . . . . . 5.8 Identidad de seno de suma de ángulos y otras identidades 5.8.1 Suma y diferencia de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.8.2 Ángulo doble y ángulo mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.9 Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 113 113 114 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 115 115 116 118 123 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6 Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.1 Definiciones esenciales 6.1.1 6.1.2 6.1.3 Definición de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Parte real y parte imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Plano Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 129 6.1.4 6.1.5 Forma polar. Norma y Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2 Aritmética con complejos 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 Suma y resta . Multiplicación Potenciación . División . . . . . . Radicación . . 6.3 Propiedades de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 131 132 132 133 134 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.4 Ecuaciones lineales y cuadráticas con coeficientes complejos. 6.4.1 6.4.2 6.4.3 Ecuaciones lineales con una incógnita . . . Ecuaciones lineales con dos incógnitas . . . Ecuaciones cuadráticas con una incógnita Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.1 Polinomio en una variable 7.1.1 7.1.2 7.1.3 Definición y terminología . . . . . Ceros o raíces de un polinomio Igualdad de polinomios . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Teoremas del factor y del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 137 138 138 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 143 144 144 146 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.3 Enunciado del Teorema Fundamental del Álgebra 150 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.4 Regla de los signos de Descartes 151 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.5 Cotas para las raíces de un polinomio 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 Método de los radicales (Lagrange–MacLaurin) Método de las fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.6 Relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 153 153 154 155 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.7 Raíces racionales de un polinomio de grado n 156 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8 Vectores y geometría analítica en el plano y en el espacio . . . . . . . 159 8.1 Vectores en dos y tres dimensiones. 160 8.2 Adición de vectores y multiplicación por escalar. 160 8.3 Norma de un vector, desigualdad triangular, cosenos directores. 162 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.4 Producto escalar, definición y propiedades, desigualdad de Schwartz. 164 8.5 Producto vectorial, definición y propiedades. 166 8.6 Triple producto escalar, definición y propiedades. 166 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.7 Ecuación de una recta en R3 . 168 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.8 Ecuación de un plano en R3 . 171 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9 Inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Índice Alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 1. Subconjuntos de los números reales Contenido 1.1 Los números naturales y enteros 1.1.1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Números primos 14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Factorización por Primos 16 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 18 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1 Algoritmo de Euclides y el Teorema mcd × mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Los números racionales e irracionales 1.5.1 Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.2 Incompletitud del conjunto de los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 10 Capítulo 1. Subconjuntos de los números reales 1.5.3 Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Propiedades de campo, orden y completitud de los números reales 1.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 √ Demostración de que p, con p primo, es irracional. 28 26 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.1 Los números naturales y enteros 1.1 11 Los números naturales y enteros Los números enteros son los números . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . Este conjunto de números se simboliza como Z. Se utiliza la letra Z por ser la letra inicial de la palabra Zahl, que significa número en alemán. Los números enteros se dividen en números negativos . . . , −3, −2, −1, los números positivos 1, 2, 3, . . . , y el 0. El término número natural se refiere tanto al conjunto de los enteros positivos como para el conjunto de enteros no negativos 0, 1, 2, 3, . . . No hay acuerdo general sobre incluir o no al 0 en el conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales se simboliza como N. 1.1.1 Divisibilidad Se dice que un entero a divide a b si existe un entero k tal que ak = b. Lo anterior se simboliza como a|b. También se acostumbra decir que a es divisor o factor de b, o que b es múltiplo de a. Ejemplos: 5 divide a 10, o 5 es divisor de 10, o 10 es múltiplo de 5 ya que 5 × 2 = 10. 0 es múltiplo de cualquier entero n ya que n × 0 = 0. 1 divide a cualquier entero n ya que 1 × n = n. 1.1.2 Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro simplificando el trabajo de la división. Criterio de divisibilidad por 2. Un número n es divisible por el 2 si y sólo si la cifra de las unidades de n es par. Así pues el 12, 40 o 56 son divisibles por 2 y no lo son el 13, 41 o 57. Criterio de divisibilidad por 3. Un número n es divisible por 3 si y solamente si la suma de las cifras de n es divisible entre 3. Así pues 243 es divisible por 3 ya que 2 + 4 + 3 = 9 es divisible por 3, mientras que 6512 no es múltiplo 3 ya que la suma de las cifras es 6 + 5 + 1 + 2 = 14 no es múltiplo 3. Criterio de divisibilidad por 4. Un número n es divisible entre 4 si y solamente si el número formado por la cifra de las decenas y las unidades es divisible entre 4. Así pues 243 no es múltiplo de 4 ya que 43 no es múltiplo de 4, mientras que 6516 sí es múltiplo de 4 ya que 16 es múltiplo de 4. Un criterio alternativo es utilizando la propiedad: Un número n es divisible entre 4 si y solamente si la suma de la cifra unidades con el doble de la cifra de las decenas es múltiplo de 4. Así pues 243 no es múltiplo de 4 ya que 3 + 4 × 2 = 11 no es múltiplo de 4, mientras que 6516 es múltiplo de cuatro ya que 6 + 1 × 2 = 8 es múltiplo de 4. Criterio de divisibilidad por 5. Un entero n es múltiplo de 5 si y solamente si la cifra de las unidades de n es 5 o 0. Así pues 248 no es múltiplo de 5 ya que la cifra de las unidades es 8, mientras que 6510 y 1045 son múltiplos de 5 ya que la cifra de las unidades es 0 y 5 respectivamente. Criterio de divisibilidad por 6. Un entero n es múltiplo de 6 si y solamente si es múltiplo de 2 y de 3. Así pues 248 no es múltiplo de 6 ya que es múltiplo de 2 pero no de 3, 249 no es múltiplo de 6 ya que es múltiplo de 3 pero no de 2, 6510 es múltiplo 6 ya que es múltiplo de 2 y de 3. Criterio de divisibilidad por 7. Para saber si un número es...
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