ANALISIS MATEMATICO

ANALISIS MATEMATICO - Carlos Ivorra Castillo ´ ´ ANALISIS...

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Unformatted text preview: Carlos Ivorra Castillo ´ ´ ANALISIS MATEMATICO Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜a n que resultara menor que cualquier otra dada, ciertamente no podr´ ser sino cero. A quienes pregunıa tan qu´ es una cantidad infinitamente peque˜a en e n matem´ticas, nosotros respondemos que es, de hea cho, cero. As´ pues, no hay tantos misterios ocultos ı en este concepto como se suele creer. Esos supuestos misterios han convertido el c´lculo de lo infinitaa mente peque˜o en algo sospechoso para mucha gente. n Las dudas que puedan quedar las resolveremos por completo en las p´ginas siguientes, donde explicarea mos este c´lculo. a Leonhard Euler ´ Indice General Introducci´n o ix Cap´ ıtulo I: Topolog´ ıa 1.1 Espacios topol´gicos . . . . . . o 1.2 Bases y subbases . . . . . . . . 1.3 Productos y subespacios . . . . 1.4 Algunos conceptos topol´gicos . o 1.5 Continuidad . . . . . . . . . . . 1.6 L´ ımites de funciones . . . . . . 1.7 Convergencia de sucesiones . . 1.8 Sucesiones y series num´ricas . e . . . . . . . . 1 1 8 11 15 20 34 43 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cap´ ıtulo II: Compacidad, conexi´n y completitud o 2.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Espacios completos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Aplicaciones a las series num´ricas . . . . . . . . e 2.6 Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Ap´ndice: El teorema de Baire . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 67 79 83 86 92 96 Cap´ ıtulo III: C´lculo diferencial de una variable a 3.1 Derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2 C´lculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . a 3.3 Propiedades de las funciones derivables . . . . . 3.4 La diferencial de una funci´n . . . . . . . . . . o 3.5 El teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . o 3.8 Las funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . e 3.9 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Ap´ndice: La trascendencia de e y π . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 101 104 108 115 118 123 127 133 144 148 v . . . . . . . . . . ´ INDICE GENERAL vi Cap´ ıtulo IV: C´lculo diferencial de varias variables a 157 4.1 Diferenciaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 o 4.2 Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . 164 4.3 Curvas parametrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Cap´ ıtulo V: Introducci´n a las variedades diferenciables o 5.1 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espacios tangentes, diferenciales . . . . . . . . . . . . . 5.3 La m´trica de una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.4 Geod´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.5 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 La curvatura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 196 203 210 215 220 223 Cap´ ıtulo VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias 231 6.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 238 6.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . 246 Cap´ ıtulo VII: Teor´ de la medida ıa 7.1 Medidas positivas . . . . . . . . 7.2 Funciones medibles . . . . . . . 7.3 La integral de Lebesgue . . . . 7.4 El teorema de Riesz . . . . . . 7.5 La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 254 258 261 270 278 Cap´ ıtulo VIII: Teor´ de la medida II ıa 8.1 Producto de medidas . . . . . . . . 8.2 Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . 8.3 Medidas signadas . . . . . . . . . . 8.4 Derivaci´n de medidas . . . . . . . o 8.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 287 295 299 309 313 Cap´ ıtulo IX: Formas diferenciales 9.1 Integraci´n en variedades . . . . . . . o 9.2 El algebra exterior . . . . . . . . . . . ´ 9.3 El algebra de Grassmann . . . . . . . ´ 9.4 Algunos conceptos del c´lculo vectorial a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 321 330 336 348 Cap´ ıtulo X: El teorema de Stokes 10.1 Variedades con frontera . . . . . . . . . 10.2 La diferencial exterior . . . . . . . . . . 10.3 El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 10.4 Aplicaciones del teorema de Stokes . . . 10.5 Las f´rmulas de Green . . . . . . . . . . o 10.6 El teorema de Stokes con singularidades 10.7 Ap´ndice: Algunas f´rmulas vectoriales e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 357 363 367 374 385 388 393 . . . . . ´ INDICE GENERAL vii Cap´ ıtulo XI: Cohomolog´ de De Rham ıa 11.1 Grupos de cohomolog´ . . . . . . . ıa 11.2 Homotop´ . . . . . . . . . . . . . . ıas 11.3 Sucesiones exactas . . . . . . . . . . 11.4 Aplicaciones al c´lculo vectorial . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 397 400 406 413 bola ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 418 421 436 439 Cap´ ıtulo XIII: Aplicaciones al electromagnetismo 13.1 Electrost´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 13.2 Magnetost´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 13.3 Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 13.4 La ecuaci´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . o 13.5 Soluciones de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 445 448 453 459 468 Cap´ ıtulo XII: Funciones Harm´nicas o 12.1 El problema de Dirichlet sobre una 12.2 Funciones holomorfas . . . . . . . . 12.3 Funciones subharm´nicas . . . . . o 12.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . Bibliograf´ ıa 475 ´ Indice de Materias 476 Introducci´n o En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el an´lisis a matem´tico o c´lculo infinitesimal, una potent´ a a ısima herramienta que revolucion´ o el tratamiento matem´tico de la f´ a ısica y la geometr´ y que m´s tarde impregıa, a nar´ las m´s diversas ramas de la matem´tica, como la estad´ ıa a a ıstica o la teor´ ıa de n´meros. u Esencialmente, el c´lculo infinitesimal consist´ por una parte en analizar a ıa o descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el comportamiento de unas al variar o diferenciar levemente otras (lo que constitu´ el ıa c´lculo diferencial) y por otra parte en integrar los resultados diferenciales para a obtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideraci´n (el o llamado c´lculo integral). a Es dif´ que un lector que no tenga ya algunas nociones de c´lculo pueda ıcil a entender cabalmente el p´rrafo anterior, pero las nuevas ideas eran a´n m´s a u a dif´ ıciles de entender de la pluma de sus descubridores. El primer libro de texto que se public´ con el fin de explicarlas sistem´ticamente fue el “An´lisis” del o a a marqu´s de l’Hˆpital. Veamos algunos pasajes: e o La parte infinitamente peque˜a en que una cantidad variable es aun mentada o disminuida de manera continua, se llama la diferencial de esta cantidad. Siguiendo la notaci´n leibniziana, L’Hˆpital explica que la letra d se usa para o o representar uno de estos incrementos infinitamente peque˜os de una magnitud, n de modo que dx representa un incremento diferencial de la variable x, etc. En ning´n momento se precisa qu´ debemos entender por un aumento infiu e nitamente peque˜o de una cantidad, pero en compensaci´n se presentan varias n o reglas para tratar con diferenciales. Por ejemplo: Post´lese que dos cantidades cuya diferencia es una cantidad infiniu tamente peque˜a pueden intercambiarse una por la otra; o bien (lo n que es lo mismo) que una cantidad que est´ incrementada o dismia nuida solamente en una cantidad infinitamente menor, puede considerarse que permanece constante. As´ por ejemplo, si analizamos el incremento infinitesimal que experimenta ı, un producto xy cuando incrementamos sus factores, obtenemos d(xy ) = (x + dx)(y + dy ) − xy = x dy + y dx + dxdy = x dy + y dx, ix x Introducci´n o donde hemos despreciado el infinit´simo doble dxdy porque es infinitamente e menor que los infinit´simos simples x dy e y dx. e Es f´cil imaginar que estos razonamientos infinitesimales despertaron sospea chas y pol´micas. Baste citar el t´ e ıtulo del panfleto que en 1734 public´ el obispo o de Berkeley: El analista, o discurso dirigido a un matem´tico infiel, donde se a examina si los objetos, principios e inferencias del an´lisis moderno a est´n formulados de manera m´s clara, o deducidos de manera m´s a a a evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe. En esta fecha el c´lculo infinitesimal ten´ ya m´s de medio siglo de historia. a ıa a La raz´n por la que sobrevivi´ inmune a estas cr´ o o ıticas y a la vaguedad de sus fundamentos es que muchos de sus razonamientos infinitesimales terminaban en afirmaciones que no involucraban infinit´simos en absoluto, y que eran confire mados por la f´ ısica y la geometr´ Por ejemplo, consideremos la circunferencia ıa. formada por los puntos que satisfacen la ecuaci´n o x2 + y 2 = 25. Aplicando la regla del producto que hemos “demostrado” antes al caso en que los dos factores son iguales obtenemos que dx2 = 2x dx e igualmente ser´ dy 2 = a 2y dy . Por otra parte, d25 = 0, pues al incrementar la variable x la constante 25 no se ve incrementada en absoluto. Si a esto a˜adimos que la diferencial de n una suma es la suma de las diferenciales resulta la ecuaci´n diferencial o 2x dx + 2y dy = 0, de donde a su vez dy x =− . dx y Esto significa que si tomamos, por ejemplo, el punto (3, 4) de la circunferencia e incrementamos infinitesimalmente su coordenada x, la coordenada y disminuir´ en 3/4 dx. Notemos que esto es falso para cualquier incremento finito a de la variable x, por peque˜o que sea, pues si valiera para incrementos suficienn temente peque˜os resultar´ que la circunferencia contendr´ un segmento de la n ıa ıa recta 3 y − 4 = − (x − 3), 4 lo cual no es el caso. Vemos que ´sta se comporta igual que la circunferencia para e variaciones infinitesimales de sus variables alrededor del punto (3, 4), aunque difiere de ella para cualquier variaci´n finita. La interpretaci´n geom´trica es o o e que se trata de la recta tangente a la circunferencia por el punto (3, 4). El argumento ser´ nebuloso y discutible, pero lo aplastante del caso es que a nos proporciona un m´todo sencillo para calcular la tangente a una circunferene cia por uno cualquiera de sus puntos. De hecho el m´todo se aplica a cualquier e curva que pueda expresarse mediante una f´rmula algebraica razonable, lo que o xi supera con creces a las t´cnicas con las que contaba la geometr´ anal´ e ıa ıtica antes del c´lculo infinitesimal. a A lo largo del siglo XIX la matem´tica emprendi´ un proceso de fundaa o mentaci´n que termin´ con una teor´ formal donde todos los conceptos est´n o o ıa a perfectamente definidos a partir de unos conceptos b´sicos, los cuales a su vez a est´n completamente gobernados por unos axiomas precisos. Las ambig¨edades a u del c´lculo infinitesimal fueron el motor principal de este proceso. En los a˜os a n sesenta del siglo XX se descubri´ que una delicada teor´ l´gica, conocida como o ıa o an´lisis no est´ndar permite definir rigurosamente cantidades infinitesimales a a con las que fundamentar el c´lculo a la manera de Leibniz y L’Hˆpital, pero no a o es ´se el camino habitual ni el que nosotros vamos a seguir. Lo normal es errae dicar los infinit´simos de la teor´ pero no as´ el formalismo infinitesimal. En e ıa, ı ocasiones los s´ ımbolos dy , dx aparecen en ciertas definiciones “en bloque”, sin que se les pueda atribuir un significado independiente, como cuando se define la derivada de una funci´n y = y (x) mediante o dy y (x + ∆x) − y (x) = l´ ım . dx ∆x→0 ∆x De este modo, el cociente de diferenciales tiene el mismo significado que para Leibniz, en el sentido de que al calcularlo obtenemos el mismo n´mero o u la misma funci´n que ´l obten´ pero con la diferencia de que ya no se trata de o e ıa, un cociente de diferenciales, no es un cociente de nada. La definici´n anterior o nos permite hablar de dy/dx, pero no de dy o de dx. No obstante se puede ir m´s lejos y dar una definici´n adecuada de dx y dy a o de modo que se pueda probar la equivalencia dy = f (x) dx ⇐⇒ dy = f (x) dx. Es algo parecido al paso de una relaci´n algebraica como xy 2 = x + 4y 3 , o donde x e y son, digamos, n´meros reales indeterminados, a la misma expresi´n u o entendida como una igualdad de polinomios, donde ahora x e y son indeterminadas en un sentido matem´tico muy preciso. Por ejemplo, seg´n una definici´n a u o habitual del anillo de polinomios R[x, y ], la indeterminada x es la aplicaci´n o de los pares de n´meros naturales en R dada por x(1, 0) = 1 y x(i, j ) = 0 u para cualquier otro par, es decir, algo que en nada recuerda a “un n´mero real u indeterminado”. Al introducir las formas diferenciales muchos libros modernos insisten en recalcar que los objetos como dx son “puramente formales” —como las indeterminadas en un anillo de polinomios—, que no tienen un singificado intr´ ınseco, sino que simplemente son objetos dise˜ados para que se comporten seg´n ciertas n u reglas que se adaptan a las propiedades de las derivadas e integrales. Llegan incluso a perdir disculpas por lo excesivamente vac´ y abstracta que resulta la ıa teor´ en torno a ellos. Explican que, pese a ello, merece la pena el esfuerzo de ıa familiarizarse con ella porque al final se ve su gran (y sorprendente) utilidad. En este libro insistiremos en todo momento en que las diferenciales tienen un significado intr´ ınseco muy concreto e intuitivo, y trataremos de evidenciarlo xii Introducci´n o desde el primer momento, de modo que —sin desmerecer la profundidad de la teor´ ıa— su utilidad y buen comportamiento no resulta sorprendente en absoluto. Su interpretaci´n no ser´, naturalmente la de incrementos infinitesimales, sino o a la de aproximaciones lineales, aceptables —al menos— en los alrededores de los puntos. Esta interpretaci´n los mantiene en todo momento muy cerca de los o hipot´ticos infinit´simos en los que est´n inspirados. e e a Muchos libros de f´ ısica contin´an trabajando con razonamientos infinitesiu males al estilo antiguo, los cuales les permiten llegar r´pidamente y con fluidez a a resultados importantes a cambio de sacrificar el rigor l´gico. Aqu´ adoptao ı remos una posici´n intermedia entre los dos extremos: seremos rigurosos, pero o no formalistas, daremos pruebas sin saltos l´gicos, pero llegaremos a resultados o enunciados de tal modo que resulten “transparentes” en la pr´ctica, emulando a as´ la fluidez de los razonamientos infinitesimales. ı Hay un caso en que los razonamientos infinitesimales est´n plenamente jusa tificados, y es cuando se trata de motivar una definici´n. Por ejemplo, a partir o de la ley de gravitaci´n de Newton para dos masas puntuales puede “deducirse” o que el campo gravitatorio generado por una distribuci´n continua de masa cono tenida en un volumen V con densidad ρ viene dado por E (x) = −G V ρ(y ) x−y 3 (x − y ) dy. La deducci´n no puede considerarse una demostraci´n matem´tica, pues o o a la f´rmula anterior tiene el status l´gico de una definici´n, luego es un sino o o sentido tratar de demostrarla. En todo caso se podr´ complicar la definici´n ıa o sustituy´ndola por otra que mostrara claramente su conexi´n con las masas e o puntuales y despu´s probar que tal definici´n es equivalente a la anterior. La e o prueba se basar´ en la posibilidad de aproximar integrales por sumas finitas ıa y con toda seguridad ser´ bastante prolija. Esta opci´n ser´ absurda tanto ıa o ıa desde el punto de vista formal (¿para qu´ sustituir una definici´n sencilla por e o otra complicada?) como desde el punto de vista f´ ısico (¿para qu´ entrar en e disquisiciones –δ que acabar´n donde todos sabemos que tienen que acabar?). a En cambio, un argumento en t´rminos de infinit´simos convence a cualquiera e e de que esta definici´n es justamente la que tiene que ser.1 o Del mismo modo podemos convencernos de que el potencial gravitatorio determinado por una distribuci´n de masa ρ debe ser o V (x) = −G V ρ(y ) dy. x−y Ahora bien, de aceptar ambos hechos tendr´ ıamos como consecuencia la relaci´n E = −∇V , pues el potencial de un campo de fuerzas es por definici´n o o la funci´n que cumple esto. Sin embargo esto ya no es una definici´n, sino una o o afirmaci´n sobre dos funciones que podr´ ser falsa en principio y que, por cono ıa siguiente, requiere una demostraci´n. Muchos libros de f´ o ısica dan por sentado 1A cualquiera menos a un formalista puro, quien no le encontrar´ sentido, pero es que, a como alguien dijo, “un formalista es alguien incapaz de entender algo a menos que carezca de significado.” xiii este hecho, incurriendo as´ en una laguna l´gica que nosotros cubriremos. As´ ı o ı pues, cuando el lector encuentre en las p´ginas que siguen un razonamiento en a t´rminos de diferenciales deber´ observar que o bien desemboca en una defie a nici´n o bien est´ completamente avalado por teoremas previos que justifican o a las manipulaciones de diferenciales. Este libro ha sido escrito siguiendo cuatro gu´ principales: ıas • Presentar los resultados m´s importantes del an´lisis matem´tico real. a a a Concretamente abordamos el c´lculo diferencial e integral de una y vaa rias variables reales, las ecuaciones diferenciales ordinarias y, aunque no hay ning´n cap´ u ıtulo dedicado espec´ ıficamente a ellas, estudiamos varias ecuaciones en derivadas parciales: la ecuaci´n de Lagrange, la de Poisson, o la ecuaci´n de ondas y las ecuaciones de Maxwell. Tambi´n planteamos o e la ecuaci´n del calor, si bien no entramos en su estudio. Aunque, como o ya hemos dicho, nos centramos en el an´lisis real, estudiamos las series a de potencias complejas, introduciendo en particular la exponencial y las funciones trigonom´tricas complejas, y a partir de la teor´ de funciones e ıa harm´nicas y el teorema de Stokes demostramos algunos de los resultados o fundamentales sobre las funciones holomorfas (esencialmente el teorema de los residuos). • Justificar todas las definiciones, sin caer en la falacia formalista de que la l´gica nos da derecho a definir lo que queramos como queramos sin o tener que dar explicaciones. Pensemos, por ejemplo, en la definici´n de o a ´rea de una superficie. Muchos libros se limitan a definirla mediante una f´rmula en t´rminos de expresiones coordenadas, sin m´s justificaci´n que o e a o la demostraci´n de su consistencia (de que no depende del sistema de o coordenadas elegido). Otros aceptan como “motivaci´n” el teorema de o cambio de variables, considerando que es natural tomar como definici´n o de cambio de variables entre un abierto de Rn y un abierto en una variedad lo que entre dos abiertos de Rn es un teorema nada trivial. No podemos resumir nuestro enfoque en pocas l´ ıneas, pero invitamos al lector a que preste atenci´n a la justificaci´n de ´ste y muchos otros conceptos. o o e • Mostrar la fundamentaci´n del c´lculo infinitesimal cl´sico, en lugar de o a a sustituirlo por otro c´lculo moderno mucho m´s r´ a a ıgido y abstracto. Por ejemplo, a la hora de desarrollar una teor´ de integraci´n potente es ıa o imprescindible introducir la teor´ de la medida abstracta y sus resultados ıa m´s importantes. A ello dedicamos los cap´ a ıtulos VII y VIII, pero tras ello, en el cap´ ıtulo siguiente, envolvemos toda esta teor´ abstracta en ıa otra mucho m´s el´stica y natural, la teor´ de formas diferenciales, que aa ıa requiere a la anterior como fundamento, pero que termina por ocultarla, de modo que a partir de cierto punto es muy rara la ocasi´n en que se o hace necesario trabajar expl´ ıcitamente con las medidas y sus propiedades. • Mostrar la aplicaci´n y la utilidad de los resultados te´ricos que preseno o tamos. Las primeras aplicaciones tienen que ver con la geometr´ pero ıa, paulatinamente van siendo desplazadas por aplicaciones a la f´ ısica. En xiv Introducci´n o la medida de lo posible hemos evitado presentar las aplicaciones como animales enjaulados en un zool´gico, es decir, desvinculadas de sus cono textos naturales, de manera que den m´s la impresi´n de an´cdotas que a o e de verdaderos ´xitos del c´lculo infinitesimal. En el caso de la f´ e a ısica vamos introduciendo los conceptos fundamentales (velocidad, aceleraci´n, o fuerza, energ´ etc.) seg´n van siendo necesarios, de modo que de estas ıa, u p´ginas podr´ extraerse una sucinta introducci´n a la f´ a ıa o ısica. En lo tocante a la geometr´ por los motivos explicados en el segundo punto nos ıa, hemos restringido a trabajar con subvariedades de Rn , es decir, hemos evitado la definici´n abstracta de variedad para tener as´ una interpretaci´n o ı o natural de los espacios tangentes y su relaci´n con la variedad. En alguo nos ejemplos concretos necesitamos que el lector est´ familiarizado con la e geometr´ proyectiva, la teor´ de las secciones c´nicas y otros puntos de ıa ıa o la geometr´ pre-diferencial. Los hemos marcado con un asterisco. Ninıa guno de estos ejemplos es necesario para seguir el resto del libro. Uno de ellos, el del plano proyectivo, lo usamos de forma no rigurosa para ilustrar la necesidad de una definici´n m´s general de variedad, mostrando que o a muchos de los conceptos que definimos para una subvariedad de R3 son aplicables formalmente al caso del plano proyectivo, si bien la teor´ de ıa que disponemos no nos permite justificar esta aplicaci´n. o De los puntos anteriores no debe leerse entre l´ ıneas una cierta aversi´n hacia o el an´lisis abstracto. Al contrario, creemos que este libro puede ser continuado a de forma natural en muchas direcciones: la teor´ espectral, la teor´ de distriıa ıa buciones, el an´lisis de Fourier, el c´lculo variacional, la teor´ de funciones de a a ıa variable compleja, la geometr´ diferencial y la topolog´ general. ıa ıa Por citar algunos ejemplos, nosotros probamos que el problema de Dirichlet tiene soluci´n en una familia muy amplia de abiertos para unas condiciones de o frontera dadas, pero la resoluci´n expl´ o ıcita en casos concretos requiere de la transformada de Fourier, que en general se aplica a muchas otras ecuaciones en derivadas parciales. Por otra parte, la transformada de Fourier permite descomponer una onda en su espectro continuo de frecuencias. Cuando se estudia la soluci´n de la ecuaci´n de ondas en abiertos distintos de todo R3 aparecen o o las ondas estacionarias, que llevan al an´lisis espectral y, en casos particulares, a a la teor´ de series de Fourier o de las funciones de Bessel entre otras. Los ıa problemas de gravitaci´n o electromagnetismo que involucran masas y cargas o puntuales o corrientes el´ctricas unidimensionales pueden unificarse con los proe blemas que suponen distribuciones continuas de masas, cargas y corrientes a trav´s de la teor´ de distribuciones. e ıa Tampoco nos gustar´ que las comparaciones que hemos hecho con otros ıa libros se interpreten a modo de cr´ ıtica. Tan s´lo queremos hacer hincapi´ en que o e nuestros objetivos son distintos a los de muchos otros libros. Somos conscientes de que nuestro prop´sito de justificar las definiciones m´s all´ de una motivaci´n o a a o m´s o menos dudosa nos ha llevado a seguir caminos mucho m´s profundos y a a laboriosos que los habituales, por lo que, a pesar de su car´cter autocontenido a en lo tocante a topolog´ y an´lisis, es muy dif´ que este libro sea de utilidad ıa a ıcil a un lector que no cuente ya con una cierta familiaridad con la materia. Por ello xv es obvio que un libro cuya finalidad principal sea did´ctica, o bien que quiera a profundizar m´s que nosotros en f´ a ısica o geometr´ diferencial, deber´ pasar por ıa a alto muchas sutilezas en las que nosotros nos hemos detenido. Comentamos, para terminar, que al lector se le supone unicamente unos cier´ tos conocimientos de ´lgebra, especialmente de ´lgebra lineal, y algunas nociones a a elementales de geometr´ (salvo para los ejemplos marcados con un asterisco). ıa Espor´dicamente ser´n necesarios conocimientos m´s profundos, como para la a a a prueba de la trascendencia de e y π , sobre todo en la de π , o al estudiar el concepto de orientaci´n, donde para interpretar el signo del determinante de o una biyecci´n af´ usamos que el grupo especial lineal de Rn est´ generado por o ın a las transvecciones. Ninguno de estos hechos se necesita despu´s. e Cap´ ıtulo I Topolog´ ıa La topolog´ puede considerarse como la forma m´s abstracta de la geoıa a metr´ ıa. El concepto principal que puede definirse a partir de la estructura topol´gica es el de aplicaci´n continua, que viene a ser una transformaci´n reao o o lizada sin cortes o saltos bruscos o, dicho de otro modo, que transforma puntos pr´ximos en puntos pr´ximos. Los resultados topol´gicos son aplicables tanto a o o o la geometr´ propiamente dicha como a la descripci´n de otros muchos objetos ıa o m´s cercanos a la teor´ de conjuntos general, si bien aqu´ nos centraremos en a ıa ı la vertiente geom´trica. Al combinarla con el algebra obtendremos el c´lculo e ´ a diferencial, que constituye la herramienta m´s potente para el estudio de la a geometr´ ıa. 1.1 Espacios topol´gicos o Seg´n acabamos de comentar, una aplicaci´n continua es una aplicaci´n que u o o transforma puntos pr´ximos en puntos pr´ximos. Nuestro objetivo ahora es o o definir una estructura matem´tica en la que esta afirmaci´n pueda convertirse a o en una definici´n rigurosa. En primer lugar conviene reformularla as´ una aplio ı: caci´n continua es una aplicaci´n que transforma los puntos de alrededor de un o o punto dado en puntos de alrededor de su imagen. En efecto, si cortamos una circunferencia por un punto P para convertirla en un segmento, la transformaci´n o no es continua, pues los puntos de alrededor de P se transforman unos en los puntos de un extremo del segmento y otros en los puntos del otro extremo, luego no quedan todos alrededor del mismo punto. En cambio, podemos transformar continuamente (aunque no biyectivamente) una circunferencia en un segmento sin m´s que aplastarla. a 1 2 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Una forma de dar rigor al concepto de “puntos de alrededor” de un punto dado es a trav´s de una distancia. Veremos que no es lo suficientemente general, e pero s´ muy representativa. La formalizaci´n algebraica de la geometr´ eucl´ ı o ıa ıdea se lleva a cabo a trav´s de Rn . Su estructura vectorial permite definir los puntos, e rectas, planos, etc. y a ´sta hay que a˜adirle la estructura m´trica derivada del e n e producto escalar: n xy = xi yi . i=1 A partir de ´l se definen los dos conceptos fundamentales de la geometr´ e ıa m´trica: la longitud de un vector y el angulo entre dos vectores. En efecto, la e ´ longitud de un vector es la norma x= √ n x2 , i xx = i=1 y el angulo α que forman dos vectores no nulos x, y viene dado por ´ xy cos α = . xy Estas estructuras son demasiado particulares y restrictivas desde el punto de vista topol´gico. La medida de angulos es un sinsentido en topolog´ y la de o ´ ıa, longitudes tiene un inter´s secundario, pues no importan las medidas concretas e sino tan s´lo la noci´n de proximidad. En primer lugar generalizaremos el o o concepto de producto escalar para admitir como tal a cualquier aplicaci´n que o cumpla unas m´ ınimas propiedades: Definici´n 1.1 Usaremos la letra K para referirnos indistintamente al cuerpo o R de los n´meros reales o al cuerpo C de los n´meros complejos. Si α ∈ K, u u la notaci´n α representar´ al conjugado de α si K = C o simplemente α = α o¯ a ¯ si K = R. Si H es un K-espacio vectorial, un producto escalar en H es una aplicaci´n · : H × H −→ K que cumple las propiedades siguientes: o a) x · y = y · x, b) (x + y ) · z = x · z + y · z , c) (αx) · y = α(x · y ), d) x · x ≥ 0 y x · x = 0 si y s´lo si x = 0, o para todo x, y , z ∈ H y todo α ∈ K. Notar que a) y b) implican tambi´n la propiedad distributiva por la derecha: e x · (y + z ) = x · y + x · z . Un espacio prehilbertiano es un par (H, ·), donde H es un K-espacio vectorial y · es un producto escalar en H . En la pr´ctica escribiremos simplemente H en a lugar de (H, ·). Si H es un espacio prehilbertiano, definimos su norma asociada como la √ aplicaci´n o : H −→ R dada por x = x · x. 1.1. Espacios topol´gicos o Ejemplo 3 Un producto escalar en el espacio Kn viene dado por x · y = x1 y1 + · · · + xn yn . ¯ ¯ De este modo, x = |x1 |2 + · · · + |xn |2 . Teorema 1.2 Sea H un espacio prehilbertiano y sean x, y ∈ H . Entonces a) (desigualdad de Schwarz) |x · y | ≤ x y. b) (desigualdad triangular) x + y ≤ x + y . ´ Demostracion: a) Sean A = x 2 , B = |x · y | y C = y 2 . Existe un n´mero complejo α tal que |α| = 1 y α(y · x) = B . Para todo n´mero real r se u u cumple 0 ≤ (x − rαy ) · (x − rαy ) = x · x − rα(y · x) − rα(x · y ) + r2 y · y. ¯ ¯ ¯ Notar que α(x · y ) = B = B , luego A − 2Br + Cr2 ≥ 0. Si C = 0 ha de ¯ ser B = 0, o de lo contrario la desigualdad ser´ falsa para r grande. Si C > 0 ıa tomamos r = B/C y obtenemos B 2 ≤ AC . b) Por el apartado anterior: x+y 2 = (x + y ) · (x + y ) = x · x + x · y + y · x + y · y ≤ x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y )2 . Notar que x · y + y · x es un n´mero real, luego u x · y + y · x ≤ |x · y + y · x| ≤ |x · y | + |y · x|. La norma permite definir una distancia entre puntos con la que formalizar el concepto de proximidad que nos interesa, pero para ello no es necesario que la norma provenga de un producto escalar. Conviene aislar las propiedades de la norma que realmente nos hacen falta para admitir como tales a otras muchas aplicaciones: Definici´n 1.3 Si E es un espacio vectorial sobre K, una norma en E es una o aplicaci´n o : E −→ [0, +∞[ que cumpla las propiedades siguientes: a) v = 0 si y s´lo si v = 0. o b) v + w ≤ v + w . c) α v = |α| v , para v , w ∈ E y todo α ∈ K. 4 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Un espacio normado es un par (E, ) en estas condiciones. En la pr´ctica a escribiremos E , sin indicar expl´ ıcitamente la norma. Es inmediato comprobar que la norma de un espacio prehilbertiano es una norma en el sentido general de la definici´n anterior. En particular Kn es un o espacio normado con la norma del ejemplo anterior, que recibe el nombre de norma eucl´ ıdea. El teorema siguiente nos da otras dos normas alternativas. La prueba es elemental. Teorema 1.4 Kn es un espacio normado con cualquiera de estas normas: n x 1 n |xi |, = x 2 |xi |2 , = i=1 x = m´x |xi | i = 1, . . . , n . a ∞ i=1 Notar que para n = 1 las tres normas coinciden con el valor absoluto. El hecho de que estas tres aplicaciones sean normas permite obtener un resultado m´s general: a Teorema 1.5 Sean E1 , . . . , En espacios normados. Entonces las aplicaciones siguientes son normas en E = E1 × · · · × En . n x 1 = n xi , x 2 xi 2 , = i=1 x ∞ = m´x a xi i = 1, . . . , n . i=1 Adem´s se cumplen las relaciones: x a ∞ ≤x 2 ≤x 1 ≤n x ∞. ´ Demostracion: Tenemos x i = ( x1 , . . . , xn ) i para i = 1, 2, ∞. Usando el teorema anterior se ve inmediatamente que son normas. n x ∞ = x 2 ∞ ≤ n xi 2 =x 2 ≤ i=1 2 n = xi i=1 xi 2 +2 i=1 xi xj i<j n =x 1 ≤ x ∞ =n x ∞. i=1 Notemos tambi´n que las normas del teorema 1.4 coinciden con las construie das mediante este ultimo teorema a partir del valor absoluto en K. ´ Ejercicio: Probar que en un espacio normado se cumple x−y ≤ x−y . Como ya hemos comentado, desde un punto de vista topol´gico el unico o ´ inter´s de las normas es que permiten definir la distancia entre dos puntos como e d(x, y ) = x − y . Sin embargo, a efectos topol´gicos no es necesario que una o distancia est´ definida de este modo. e 1.1. Espacios topol´gicos o 5 Definici´n 1.6 Una distancia o m´trica en un conjunto M es una aplicaci´n o e o d : M × M −→ [0, +∞[ que cumpla las propiedades siguientes a) d(x, y ) = 0 si y s´lo si x = y , o b) d(x, y ) = d(y, x), c) d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ), para todos los x, y , z ∈ M . Un espacio m´trico es un par (M, d) donde M es un conjunto y d una dise tancia en M . Como en el caso de espacios normados escribiremos M en lugar de (M, d). Todo espacio normado E es un espacio m´trico con la distancia definida e por d(x, y ) = x − y . Las propiedades de la definici´n de norma implican o inmediatamente las de la definici´n de distancia. En particular en Kn tenemos o definidas tres distancias: n n |xi − yi |, d1 (x, y ) = |xi − yi |, d2 (x, y ) = i=1 i=1 d∞ (x, y ) = m´x |xi − yi | 1 ≤ i ≤ n . a M´s en general, estas f´rmulas permiten definir distancias en cualquier proa o ducto finito de espacios m´tricos. La prueba del teorema siguiente es muy e sencilla a partir de los teoremas 1.4 y 1.5. Teorema 1.7 Sean M1 , . . . , Mn espacios m´tricos. Sea M = M1 × · · · × Mn . e Entonces las aplicaciones d1 , d2 , d∞ : M × M −→ [0, +∞[ definidas como sigue son distancias en M : n d1 (x, y ) = d(xi , yi ), i=1 n d2 (x, y ) = d(xi , yi ), i=1 d∞ (x, y ) = m´x{d(xi , yi ) | 1 ≤ i ≤ n}. a Adem´s se cumplen las relaciones d∞ (x, y ) ≤ d2 (x, y ) ≤ d1 (x, y ) ≤ n d∞ (x, y ). a Definici´n 1.8 Sea M un espacio m´trico, x ∈ M y o e sobreentenderemos ∈ R). Definimos B (x) B (x) = {y ∈ M | d(x, y ) < } = {y ∈ M | d(x, y ) ≤ } > 0 (en estos casos (Bola abierta de centro x y radio ). (Bola cerrada de centro x y radio ). 6 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa La figura muestra las bolas de centro (0, 0) y radio 1 para las tres m´tricas e que hemos definido en R2 . d2 d1 d∞ Las bolas con otros centros son trasladadas de ´stas, y las bolas de otros e radios son homot´ticas. Las bolas abiertas se diferencian de las cerradas en que e las primeras no contienen los puntos del borde. El inter´s de las bolas reside e en que una bola de centro un punto P contiene todos los puntos de alrededor de P , por peque˜o que sea su radio. Observar que el concepto de “puntos de n alrededor” es un tanto escurridizo: Seg´n lo que acabamos de decir, ning´n u u punto en particular (distinto de P ) est´ alrededor de P , pues siempre podemos a tomar una bola suficientemente peque˜a como para que deje fuera a dicho punto. n Esto significa que no podemos dar sentido a la afirmaci´n “Q es un punto de o alrededor de P ”, pero lo importante es que s´ tiene sentido decir “El conjunto A ı contiene a todos los puntos de alrededor de P ”. Esto sucede cuando A contiene una bola cualquiera de centro P , y entonces diremos que A es un entorno de P . Aunque el concepto de entorno podr´ tomarse como concepto topol´gico b´sico, ıa o a lo cierto es que es m´s c´modo partir de un concepto “m´s regular”: diremos ao a que un conjunto es abierto si es un entorno de todos sus puntos. Los conjuntos abiertos tienen las propiedades que recoge la definici´n siguiente: o Definici´n 1.9 Una topolog´ en un conjunto X es una familia T de subconjuno ıa tos de X a cuyos elementos llamaremos abiertos, tal que cumpla las propiedades siguientes: a) ∅ y X son abiertos. b) La uni´n de cualquier familia de abiertos es un abierto. o c) La intersecci´n de dos abiertos es un abierto. o Un espacio topol´gico es un par (X, T ), donde X es un conjunto y T es una o topolog´ en X . En la pr´ctica escribiremos simplemente X en lugar de (X, T ). ıa a Sea M un espacio m´trico. Diremos que un conjunto G ⊂ M es abierto si e para todo x ∈ G existe un > 0 tal que B (x) ⊂ M . Es inmediato comprobar que los conjuntos abiertos as´ definidos forman una topolog´ en M , a la que ı ıa llamaremos topolog´ inducida por la m´trica. En lo sucesivo consideraremos ıa e siempre a los espacios m´tricos como espacios topol´gicos con esta topolog´ e o ıa. En el p´rrafo previo a la definici´n de topolog´ hemos definido “abierto” a o ıa como un conjunto que es entorno de todos sus puntos. Puesto que formalmente 1.1. Espacios topol´gicos o 7 hemos definido los espacios topol´gicos a partir del concepto de abierto, ahora o hemos de definir el concepto de entorno. Si X es un espacio topol´gico, U ⊂ X y x ∈ U , diremos que U es un entorno o de x si existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂ U . Es inmediato comprobar que en un espacio m´trico U es entorno de x si y e s´lo si existe un > 0 tal que B (x) ⊂ U , es decir, si y s´lo si U contiene a o o todos los puntos de alrededor de x, tal y como hab´ ıamos afirmado. Ejemplo El intervalo I = [0, 1], visto como subconjunto de R, es entorno de todos sus puntos excepto de sus extremos 0 y 1, pues si 0 < x < 1 siempre podemos tomar = m´ {x, 1 − x} y entonces B (x) = ]x − , x + [ ⊂ I . En ın cambio, I no contiene todos los puntos de alrededor de 1, pues toda bola de centro 1 contiene puntos a la derecha de 1 y ninguno de ellos est´ en I . El caso a del 0 es similar. En particular I no es abierto. El teorema siguiente recoge las propiedades b´sicas de los entornos. La a prueba es inmediata. Teorema 1.10 Sea X un espacio topol´gico, x ∈ X y Ex la familia de todos o los entornos de x. a) Un conjunto G ⊂ X es abierto si y s´lo si es un entorno de todos sus puntos. o b1) X ∈ Ex . b2) Si U ∈ Ex y U ⊂ V ⊂ X entonces V ∈ Ex . b3) Si U , V ∈ Ex entonces U ∩ V ∈ Ex . Puesto que los abiertos pueden definirse a partir de los entornos, es obvio que si dos topolog´ sobre un mismo conjunto tienen los mismos entornos entonces ıas son iguales. Las desigualdades del teorema 1.7 implican que una bola para una de las tres distancias definidas en el producto M contiene otra bola del mismo centro para cualquiera de las otras distancias. De aqu´ se sigue que ı un subconjunto de M es entorno de un punto para una distancia si y s´lo o si lo es para las dem´s, y de aqu´ a su vez que las tres distancias definen la a ı misma topolog´ en el producto. En particular, las tres distancias que tenemos ıa definidas sobre Kn definen la misma topolog´ a la que llamaremos topolog´ ıa, ıa usual o topolog´ eucl´ ıa ıdea en Kn . ´ Esta es una primera muestra del car´cter auxiliar de las distancias en topoa log´ Cuando queramos probar un resultado puramente topol´gico sobre Rn ıa. o podremos apoyarnos en la distancia que resulte m´s conveniente, sin que ello sua ıdea y por ponga una p´rdida de generalidad. La distancia d2 es la distancia eucl´ e lo tanto la m´s natural desde un punto de vista geom´trico, pero las distancias a e d1 y d∞ son formalmente m´s sencillas y a menudo resultan m´s adecuadas. a a 8 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Ejemplo Es f´cil definir una distancia en Kn que induzca una topolog´ disa ıa tinta de la usual. De hecho, si X es un conjunto cualquiera podemos considerar la distancia d : X × X −→ R dada por d(x, y ) = 1 0 si x = y, si x = y Es f´cil ver que efectivamente es una distancia y para todo punto x se cumple a que B1 (x) = {x}, luego {x} es un entorno de x, luego es un abierto y, como toda uni´n de abiertos es abierta, de hecho todo subconjunto de X es abierto. o La m´trica d recibe el nombre de m´trica discreta y la topolog´ que induce es e e ıa la topolog´ discreta. Un espacio topol´gico cuya topolog´ sea la discreta es un ıa o ıa espacio discreto. En un espacio discreto un punto no tiene m´s punto a su alrededor que ´l a e mismo. Esta topolog´ es la m´s adecuada para conjuntos como N o Z, pues, ıa a efectivamente, un n´mero entero no tiene alrededor a ning´n otro. u u Las bolas abiertas de un espacio m´trico son abiertas. Esto es f´cil de ver e a intuitivamente, pero el mero hecho de que las hayamos llamado as´ no justifica ı que lo sean: Teorema 1.11 Las bolas abiertas de un espacio m´trico son conjuntos abiertos. e ´ Demostracion: Sea B (x) una bola abierta y sea y ∈ B (x). Entonces d(x, y ) < . Sea 0 < δ < − d(x, y ). Basta probar que Bδ (y ) ⊂ B (x). Ahora bien, si z ∈ Bδ (y ), entonces d(z, x) ≤ d(z, y ) + d(y, x) < δ + d(x, y ) < , luego en efecto z ∈ Bδ (y ). 1.2 Bases y subbases Hemos visto que la topolog´ en un espacio m´trico se define a partir de las ıa e bolas abiertas. El concepto de “bola abierta” no tiene sentido en un espacio topol´gico arbitrario en el que no tengamos dada una distancia, sin embargo o hay otras familias de conjuntos que pueden representar un papel similar. Definici´n 1.12 Sea X un espacio topol´gico. Diremos que una familia B de o o abiertos de X (a los que llamaremos abiertos b´sicos) es una base de X si para a todo abierto G de X y todo punto x ∈ G existe un abierto B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ G. Si x ∈ X diremos que una familia E de entornos (abiertos) de x (a los que llamaremos entornos b´sicos de x) es una base de entornos (abiertos) de x si a todo entorno de x contiene un elemento de E . En estos t´rminos la propia definici´n de los abiertos m´tricos (junto con el e o e hecho de que las bolas abiertas son realmente conjuntos abiertos) prueba que las bolas abiertas son una base de la topolog´ m´trica, y tambi´n es claro que ıa e e 1.2. Bases y subbases 9 las bolas abiertas de centro un punto x forman una base de entornos abiertos de x. Pero estos conceptos son mucho m´s generales. Pensemos por ejemplo que a otras bases de un espacio m´trico son las bolas abiertas de radio menor que 1, las e bolas abiertas de radio racional, etc. Cualquier base determina completamente la topolog´ y en cada ocasi´n puede convenir trabajar con una base distinta. ıa o Teorema 1.13 Sea X un espacio topol´gico. o a) Una familia de abiertos B es una base de X si y s´lo si todo abierto de X o es uni´n de abiertos de B. o b) Si B es una base de X y x ∈ X entonces Bx = {B ∈ B | x ∈ B } es una base de entornos abiertos de X . c) Si para cada punto x ∈ X el conjunto Ex es una base de entornos abiertos de x entonces B = Ex es una base de X . x∈X ´ Demostracion: a) Si B es una base de X y G es un abierto es claro que G es la uni´n de todos los abiertos de B contenidos en G, pues una inclusi´n es o o obvia y si x ∈ G existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ G, luego x est´ en la uni´n a o considerada. El rec´ ıproco es obvio. b) Los elementos de Bx son obviamente entornos de x y si U es un entorno de x entonces existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂U, y a su vez existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ G, luego B ∈ Bx y B ⊂ U . Esto prueba que Bx es una base de entornos abiertos de x. c) Si G es un abierto de X y x ∈ G, entonces G es un entorno de x, luego existe un entorno b´sico B ∈ Ex tal que x ∈ B ⊂ G y ciertamente B ∈ B. Como a adem´s los elementos de B son abiertos, tenemos que B es una base de X . a Una forma habitual de definir una topolog´ en un conjunto es especificar una ıa base o una base de entornos abiertos de cada punto. Por ejemplo, la topolog´ ıa m´trica puede definirse como la topolog´ que tiene por base a las bolas abiertas e ıa o como base de entornos de cada punto x a las bolas abiertas de centro x. No obstante, para que una familia de conjuntos pueda ser base de una topolog´ ıa ha de cumplir unas propiedades muy simples que es necesario comprobar. El teorema siguiente da cuenta de ellas. Teorema 1.14 Sea X un conjunto y B una familia de subconjuntos de X que cumpla las propiedades siguientes: a) X = B, B ∈B b) Si U , V ∈ B y x ∈ U ∩ V entonces existe W ∈ B tal que x ∈ W ⊂ U ∩ V . Entonces existe una unica topolog´ en X para la cual B es una base. ´ ıa ´ Demostracion: Definimos los abiertos de X como las uniones de elementos de B. Basta comprobar que estos abiertos forman realmente una topolog´ pues ıa, ciertamente en tal caso B ser´ una base y la topolog´ ser´ unica. a ıa a´ 10 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa El conjunto vac´ es abierto trivialmente (o si se prefiere, por definici´n). El ıo o conjunto X es abierto por la propiedad a). La uni´n de abiertos es obviamente abierta (una uni´n de uniones de eleo o mentos de B es al fin y al cabo una uni´n de elementos de B). o Sean G1 y G2 abiertos y supongamos que x ∈ G1 ∩ G2 . Como G1 es uni´n de o elementos de B existe un U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ G1 . Similarmente x ∈ V ⊂ G2 con V ∈ B. Por la propiedad b) existe W ∈ B tal que x ∈ W ⊂ U ∩ V ⊂ G1 ∩ G2 . As´ pues, x est´ en la uni´n de los conjuntos W ∈ B tales que W ⊂ G1 ∩ G2 , y ı a o la otra inclusi´n es obvia, luego G1 ∩ G2 es uni´n de elementos de B. o o El teorema siguiente nos da las condiciones que hemos de comprobar para definir una topolog´ a partir de una familia de bases de entornos abiertos. ıa Teorema 1.15 Sea X un conjunto y para cada x ∈ X sea Bx una familia no vac´ de subconjuntos de X tal que: ıa a) Si U ∈ Bx , entonces x ∈ U . b) Si U , V ∈ Bx , existe un W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V . c) Si x ∈ U ∈ By , existe un V ∈ Bx tal que V ⊂ U . Entonces existe una unica topolog´ para la cual cada Bx es una base de entornos ´ ıa abiertos de x. ´ Demostracion: Sea B = x∈X Bx . Veamos que B cumple las condiciones del teorema anterior para ser base de una topolog´ en X . Por la condici´n 1 ıa o tenemos que X = B. B ∈B Si U , V ∈ B y x ∈ U ∩ V , entonces U ∈ By y V ∈ Bz para ciertos y , z . Existen U , V ∈ Bz tales que U ⊂ U y V ⊂ V (por la condici´n c). Existe o W ∈ Bz tal que W ⊂ U ∩ V (por la condici´n b). As´ z ∈ W ⊂ U ∩ V con o ı W ∈ B. Por lo tanto B es la base de una topolog´ en X y cada Bx es la base de ıa entornos de x determinada por el teorema 1.13. Las bases de entornos determinan los entornos y por tanto la topolog´ es ıa, decir, se da la unicidad. Ejemplo Como aplicaci´n de este teorema vamos a convertir en espacio too pol´gico al conjunto R = R ∪ {−∞, +∞}. Para ello definimos como base de o entornos abiertos de cada n´mero real x al conjunto los entornos abiertos de x u en R con la topolog´ usual, la base de entornos abiertos de +∞ est´ formada ıa a por los intervalos ]x, +∞], donde x var´ en R, y la base de entornos abiertos ıa de −∞ la forman los intervalos [−∞, x[, donde x var´ en R. Con esto estamos ıa diciendo que un conjunto contiene a los alrededores de +∞ si contiene a todos los n´meros reales a partir de uno dado, y an´logamente para −∞. u a Es f´cil comprobar que las familias consideradas cumplen las propiedades a del teorema anterior, luego definen una topolog´ en R. ıa 1.3. Productos y subespacios 11 Teniendo en cuenta que hemos definido los entornos abiertos de los n´meros u reales como los entornos abiertos que ya tienen en la topolog´ usual, es inmeıa diato que un subconjunto de R es abierto en la topolog´ usual de R si y s´lo si ıa o lo es en la topolog´ que hemos definido en R. ıa Hay un concepto an´logo a los de base y base de entornos que es menos a intuitivo, pero mucho m´s pr´ctico a la hora de definir topolog´ a a ıas. Se trata del concepto de subbase: Definici´n 1.16 Sea X un espacio topol´gico. Una familia de abiertos S es o o una subbase de X si las intersecciones finitas de elementos de S forman una base de X . Por ejemplo, es f´cil ver que los intervalos abiertos ]a, b[ forman una base de a R (son las bolas abiertas). Por consiguiente, los intervalos de la forma ]−∞, a[ y ]a, +∞[ forman una subbase de R, pues son abiertos y entre sus intersecciones finitas se encuentran todos los intervalos ]a, b[ (notar adem´s que cualquier a familia de abiertos que contenga a una base es una base). La ventaja de las subbases consiste en que una familia no ha de cumplir ninguna propiedad en especial para ser subbase de una topolog´ ıa: Teorema 1.17 Sea X un conjunto y S una familia de subconjuntos de X . Entonces existe una unica topolog´ en X de la cual S es subbase. ´ ıa ´ Demostracion: Sea B la familia de las intersecciones finitas de elementos de S . Entonces X = G ∈ B y obviamente la intersecci´n de dos interseco G∈∅ ciones finitas de elementos de S es una intersecci´n finita de elementos de S ; o luego si U , V ∈ B tambi´n U ∩ V ∈ B, de donde se sigue que B es la base de e una topolog´ en X , de la cual S es subbase. Claramente es unica, pues B es ıa ´ base de cualquier topolog´ de la que S sea subbase. ıa 1.3 Productos y subespacios Hemos visto que el producto de una familia finita de espacios m´tricos es e de nuevo un espacio m´trico de forma natural (o mejor dicho, de tres formas e distintas pero equivalentes desde un punto de vista topol´gico). Ahora veremos o que la topolog´ del producto se puede definir directamente a partir de las ıa topolog´ de los factores sin necesidad de considerar las distancias. M´s a´n, ıas au podemos definir el producto de cualquier familia de espacios topol´gicos, no o necesariamente finita. Definici´n 1.18 Sean {Xi }i∈I espacios topol´gicos. Consideremos su proo o ducto cartesiano X = Xi y las proyecciones pi : X −→ Xi que asignan i∈I a cada punto su coordenada i-´sima. Llamaremos topolog´ producto en X a la e ıa que tiene por subbase a los conjuntos p−1 [G], donde i ∈ I y G es abierto en Xi . i 12 i∈F Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Una base de la topolog´ producto la forman los conjuntos de la forma ıa p−1 [Gi ], donde F es un subconjunto finito de I y Gi es abierto en Xi . i Equivalentemente, la base est´ formada por los conjuntos a i∈I Gi , donde cada Gi es abierto en Xi y Gi = Xi salvo para un n´mero finito de ´ u ındices. Al conjunto de estos ´ ındices se le llama soporte del abierto b´sico a Gi . i∈I Si el n´mero de factores es finito la restricci´n se vuelve vac´ de modo que u o ıa, un abierto b´sico en un producto X1 × · · · × Xn es simplemente un conjunto de a la forma G1 × · · · × Gn , donde cada Gi es abierto en Xi . En lo sucesivo “casi todo i” querr´ decir “todo ´ a ındice i salvo un n´mero u finito de ellos”. Teorema 1.19 Sean {Xi }i∈I espacios topol´gicos, para cada i sea Bi una base o de Xi . Entonces los conjuntos de la forma Gi , donde cada Gi est´ en Bi o es a Xi (y casi todos son Xi ) forman una base de Xi . i∈I ´ Demostracion: Consideremos la topolog´ T en el producto que tiene por ıa subbase a los conjuntos p−1 [Gi ] con Gi en Bi . Como ciertamente estos conjuntos i son abiertos para la topolog´ producto, tenemos que todo abierto de T lo es ıa de la topolog´ producto. Rec´ ıa ıprocamente, un abierto subb´sico de la topolog´ a ıa producto es p−1 [Gi ], con Gi abierto en Xi . Entonces Gi = B , donde cada i Ai es un subconjunto de Bi . Por lo tanto p−1 [Gi ] = i B ∈Ai p−1 [B ] i B ∈Ai es abierto de T . Por consiguiente todo abierto de la topolog´ producto lo es de T y as´ ıa ı ambas topolog´ coinciden. ıas En lo sucesivo, a pesar de que en el producto se puedan considerar otras bases, cuando digamos “abiertos b´sicos” nos referiremos a los abiertos indicados a en el teorema anterior tomando como bases de los factores las propias topolog´ ıas salvo que se est´ considerando alguna base en concreto. e Tal y como anunci´bamos, el producto de espacios topol´gicos generaliza al a o producto de espacios m´tricos (o de espacios normados). El teorema siguiente e lo prueba. Teorema 1.20 Si M1 , . . . , Mn son espacios m´tricos, entonces la topolog´ ine ıa ducida por las m´tricas de 1.7 en M = M1 × · · · × Mn es la topolog´ producto. e ıa ´ Demostracion: Como las tres m´tricas inducen la misma topolog´ s´lo e ıa o es necesario considerar una de ellas, pero para la m´trica d∞ se cumple B (x) = e e ıa B (x1 )×· · ·×B (xn ), luego la base inducida por la m´trica es base de la topolog´ producto. La definici´n de topolog´ producto es sin duda razonable para un n´mero o ıa u finito de factores. Sin embargo cuando tenemos infinitos factores hemos exigido una condici´n de finitud que no hemos justificado. En principio podr´ o ıamos considerar en Xi la topolog´ que tiene por base a los productos ıa Gi con Gi i∈I i∈I 1.3. Productos y subespacios 13 abierto en Xi (sin ninguna restricci´n de finitud). Ciertamente estos conjuntos o son base de una topolog´ a la que se le llama topolog´ de cajas, y el teorema ıa ıa siguiente muestra que no coincide con la topolog´ producto que hemos definido. ıa La topolog´ producto resulta ser mucho m´s util que la topolog´ de cajas. ıa a´ ıa Teorema 1.21 Sea {Xi }i∈I una familia de espacios topol´gicos. Los unicos o ´ Xi de la forma Gi = ∅ son los abiertos b´sicos, es decir, los a abiertos en i∈I i∈I que adem´s cumplen que cada Gi es abierto y Gi = Xi para casi todo i. a ´ Demostracion: Supongamos que sideremos un punto x ∈ x∈ i∈I Hi ⊂ i∈I i∈I Gi . i∈I Gi es un abierto no vac´ ıo. Con- Existir´ un abierto b´sico a a i∈I Hi tal que Gi , luego para cada ´ ındice i se cumplir´ xi ∈ Hi ⊂ Gi , y como a casi todo Hi es igual a Xi , tenemos que Gi = Xi para casi todo i. Adem´s tenea mos que Gi es un entorno de xi , pero dado cualquier elemento a ∈ Gi siempre podemos formar un x ∈ Gi tal que xi = a, luego en realidad tenemos que Gi i∈I es un entorno de todos sus puntos, o sea, es abierto. Nos ocupamos ahora de los subespacios de un espacio topol´gico. Es evidente o que todo subconjunto N de un espacio m´trico M es tambi´n un espacio m´trico e e e con la misma distancia restringida a N × N . Por lo tanto tenemos una topolog´ ıa en M y otra en N . Vamos a ver que podemos obtener la topolog´ de N ıa directamente a partir de la de M , sin pasar por la m´trica. e Teorema 1.22 Sea X un espacio topol´gico (con topolog´ T ) y A ⊂ X . Deo ıa finimos TA = {G ∩ A | G ∈ T }. Entonces TA es una topolog´ en A llamada ıa topolog´ relativa a X (o topolog´ inducida por X ) en A. En lo sucesivo soıa ıa breentenderemos siempre que la topolog´ de un subconjunto de un espacio X es ıa la topolog´ relativa. ıa ´ Demostracion: A = X ∩ A ∈ TA , ∅ = ∅ ∩ A ∈ TA . Sea C ⊂ TA . Para cada G ∈ C sea UG = {U ∈ T | U ∩ A = G} = ∅ y sea o VG la uni´n de todos los abiertos de UG . De este modo VG es un abierto en X y VG ∩ A = G. VG ∩ A, G= G∈C G∈C VG ∈ T , y luego G ∈ TA . G∈C Si U , V ∈ TA , U = U ∩ A y V = V ∩ A con U , V ∈ T . Entonces ı ıa U ∩ V = U ∩ V ∩ A ∈ TA , pues U ∩ V ∈ T . As´ TA es una topolog´ en A. Ejemplo Consideremos I = [0, 1] ⊂ R. Resulta que ]1/2, 1] es abierto en I , pues ]1/2, 1] = ]1/2, 2[ ∩ I y ]1/2, 2[ es abierto en R. Sin embargo ]1/2, 1] no es abierto en R porque no es entorno de 1. Intuitivamente, ]1/2, 1] no contiene a 14 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa todos los puntos de alrededor de 1 en R (faltan los que est´n a la derecha de 1), a pero s´ contiene a todos los puntos de alrededor de 1 en I . ı La relaci´n entre espacios y subespacios viene perfilada por los teoremas o siguientes. El primero garantiza que la topolog´ relativa no depende del espacio ıa desde el que relativicemos. Teorema 1.23 Si X es un espacio topol´gico (con topolog´ T ) y A ⊂ B ⊂ X , o ıa entonces TA = (TB )A . ´ Demostracion: Si U es abierto en TA , entonces U = V ∩ A con V ∈ T , luego V ∩ B ∈ TB y U = V ∩ A = (V ∩ B ) ∩ A ∈ (TB )A . Si U ∈ (TB )A , entonces U = V ∩ A con V ∈ TB , luego V = W ∩ B con W ∈ T . As´ pues, U = W ∩ B ∩ A = W ∩ A ∈ TA . Por lo tanto TA = (TB )A . ı Teorema 1.24 Si B es una base de un espacio X y A ⊂ X , entonces el conjunto {B ∩ A | B ∈ B} es una base de A. ´ Demostracion: Sea U un abierto en A y x ∈ U . Existe un V abierto en X tal que U = V ∩ A. Existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ V , luego x ∈ B ∩ A ⊂ V ∩ A = U . Por lo tanto la familia referida es base de A. Similarmente se demuestra: Teorema 1.25 Si Bx es una base de entornos (abiertos) de un punto x de un espacio X y x ∈ A ⊂ X , entonces {B ∩ A | B ∈ Bx } es una base de entornos (abiertos) de x en A. Teorema 1.26 Sea M un espacio m´trico y sea A ⊂ M . Entonces d = d|A×A e es una distancia en A y la topolog´ que induce es la topolog´ relativa. ıa ıa ´ Demostracion: Una base para la topolog´ inducida por la m´trica de A ıa e ser´ la formada por las bolas ıa B d (x) = {a ∈ A | d (x, a) < } = {a ∈ X | d(x, a) < } ∩ A = B d (x) ∩ A, pero ´stas son una base para la topolog´ relativa por el teorema 1.24. e ıa Teorema 1.27 Sea {Xi }i∈I una familia de espacios topol´gicos y para cada i o sea Yi ⊂ Xi . Entonces la topolog´ inducida en ıa Yi por Xi es la misma que la topolog´ producto de los {Yi }i∈I . ıa i∈I i∈I (La base obtenida por el teorema 1.24 a partir de la base usual de la topolog´ ıa producto es claramente la base usual de la topolog´ producto.) ıa Ejercicio: Probar que la topolog´ que hemos definido en R induce en R la topolog´ ıa ıa eucl´ ıdea. 1.4. Algunos conceptos topol´gicos o 1.4 15 Algunos conceptos topol´gicos o Dedicamos esta secci´n a desarrollar el lenguaje topol´gico, es decir, a introo o ducir las caracter´ ısticas de un espacio y sus subconjuntos que pueden definirse a partir de su topolog´ Hasta ahora hemos visto unicamente los conceptos de ıa. ´ abierto y entorno. Otro concepto importante es el dual conjuntista de “abierto”: Definici´n 1.28 Diremos que un subconjunto de un espacio topol´gico es ceo o rrado si su complementario es abierto. Por ejemplo, un semiplano (sin su recta frontera) es un conjunto abierto, mientras que un semiplano con su frontera es cerrado, pues su complementario es el semiplano opuesto sin su borde, luego es abierto. Pronto veremos que la diferencia entre los conjuntos abiertos y los cerrados es precisamente que los primeros no contienen a los puntos de su borde y los segundos contienen todos los puntos de su borde. En importante notar que un conjunto no tiene por qu´ e ser ni abierto ni cerrado. Baste pensar en el intervalo [0, 1[. Ejercicio: Sea X = [0, 1] ∪ ]3, 4]. Probar que ]3, 4] es a la vez abierto y cerrado en X . Las propiedades de los cerrados se deducen inmediatamente de las de los abiertos: Teorema 1.29 Sea X un espacio topol´gico. Entonces: o a) ∅ y X son cerrados. b) La intersecci´n de cualquier familia de cerrados es un cerrado. o c) La uni´n de dos cerrados es un cerrado. o Puesto que la uni´n de abiertos es abierta, al unir todos los abiertos cono tenidos en un conjunto dado obtenemos el mayor abierto contenido en ´l. Sie milarmente, al intersecar todos los cerrados que contienen a un conjunto dado obtenemos el menor cerrado que lo contiene: Definici´n 1.30 Sea X un espacio topol´gico. Llamaremos interior de un o o conjunto A ⊂ X al mayor abierto contenido en A. Lo representaremos por ◦ int A o A. Llamaremos clausura de A al menor cerrado que contiene a A. Lo ◦ representaremos por cl A o A. Los puntos de A se llaman puntos interiores de A, mientras que los de A se llaman puntos adherentes de A. ◦ As´ pues, para todo conjunto A tenemos que A⊂ A ⊂ A. El concepto de ı punto interior es claro: un punto x es interior a un conjunto A si y s´lo si A es o un entorno de x. Por ejemplo, en un semiplano cerrado, los puntos interiores son los que no est´n en el borde. El teorema siguiente nos caracteriza los puntos a adherentes. Teorema 1.31 Sea X un espacio topol´gico y A un subconjunto de X . Un o punto x es adherente a A si y s´lo si todo entorno de x corta a A. o 16 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa ´ Demostracion: Supongamos que x es adherente a A. Sea U un entorno de x. Existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂ U . Basta probar que G ∩ A = ∅. Ahora bien, en caso contrario X \ G ser´ un cerrado que contiene a A, luego ıa A ⊂ X \ G, mientras que x ∈ A ∩ G. Rec´ ıprocamente, si x tiene esta propiedad entonces x ∈ A, ya que de lo contrario X \ A ser´ un entorno de x que no corta a A. ıa Vemos, pues, que, como su nombre indica, los puntos adherentes a un conjunto A son los que “est´n pegados” a A, en el sentido de que tienen alrededor a puntos de A. Por ejemplo, es f´cil ver que los puntos adherentes a un semia plano abierto son sus propios puntos m´s los de su borde. Veamos ahora que el a concepto de borde corresponde a una noci´n topol´gica general: o o Definici´n 1.32 Sea X un espacio topol´gico y A ⊂ X . Llamaremos frontera o o de A al conjunto ∂A = A ∩ X \ A. As´ los puntos frontera de un conjunto son aquellos que tienen alrededor ı, puntos que est´n en A y puntos que no est´n en A. Esto es claramente una a a definici´n general del “borde” de un conjunto. Por ejemplo, la frontera de un o tri´ngulo la forman los puntos de sus lados. a Teorema 1.33 Sea X un espacio topol´gico. Se cumple: o ◦ ◦ a) Si A ⊂ X entonces A⊂ A ⊂ A, adem´s A es abierto y A es cerrado. a ◦ b) Si A ⊂ B ⊂ X y A es abierto entonces A ⊂B . c) Si A ⊂ B ⊂ X y B es cerrado entonces A ⊂ B . ◦ ◦ d) Si A ⊂ B ⊂ X entonces A⊂B y A ⊂ B . e) Si A, B ⊂ X , entonces int (A ∩ B ) = int A ∩ int B , A ∪ B = A ∪ B . ◦ f ) A ⊂ X es abierto si y s´lo si A =A, y es cerrado si y s´lo si A = A. o o B X g) Si A ⊂ B ⊂ X , entonces A = A ∩ B . h) Si A ⊂ X , entonces int (X \ A) = X \ cl A y cl (X \ A) = X \ int A. ´ Demostracion: Muchas de estas propiedades son inmediatas. Probaremos s´lo algunas. o 5) Claramente A ∪ B ⊂ A ∪ B , y el segundo conjunto es cerrado, luego A ∪ B ⊂ A ∪ B . Por otra parte es claro que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B , luego tenemos la otra inclusi´n. La prueba con interiores es id´ntica. o e 7) Observemos en primer lugar que los cerrados de B son exactamente las intersecciones con B de los cerrados de X . En efecto, si C es cerrado en X entonces X \ C es abierto en X , luego B ∩ (X \ C ) = B \ C es abierto en B , luego B \ (B \ C ) = B ∩ C es cerrado en B . El rec´ ıproco es similar. 1.4. Algunos conceptos topol´gicos o 17 X Por definici´n, A es la intersecci´n de todos los cerrados en X que contienen o o X a A, luego A ∩ B es la intersecci´n de todas las intersecciones con B de los o cerrados en X que contienen a A, pero estos son precisamente los cerrados de X B B que contienen a A, o sea, A ∩ B es exactamente A . 8) Tenemos que A ⊂ cl A, luego X \ cl A ⊂ X \ A y el primero es abierto, luego X \ cl A ⊂ int (X \ A). Por otra parte int (X \ A) ⊂ X \ A, luego A ⊂ X \ int (X \ A), y ´ste es e cerrado, luego A ⊂ X \ int (X \ A) y X \ A ⊂ int (X \ A). En la prueba de la propiedad 7) hemos visto lo siguiente: Teorema 1.34 Si X es un espacio topol´gico y A ⊂ X , los cerrados en la o topolog´ relativa de A son las intersecciones con A de los cerrados de X . ıa Conviene observar que el an´logo a 7) para interiores es falso. Es decir, no a ◦ ◦ se cumple en general que A B =A ∩B . Por ejemplo, es f´cil ver que en R se a ◦ ◦ ◦ Z cumple N = ∅, luego N ∩ Z = ∅, mientras que N = N. Vamos a refinar el concepto de punto adherente. Hemos visto que los puntos adherentes a un conjunto A son aquellos que tienen alrededor puntos de A. Sucede entonces que todo punto x ∈ A es trivialmente adherente, porque x es un punto de alrededor de x y est´ en A. Cuando eliminamos esta posibilidad a trivial tenemos el concepto de punto de acumulaci´n: o Definici´n 1.35 Sea X un espacio topol´gico y A ⊂ X . Diremos que un o o punto x ∈ X es un punto de acumulaci´n de A si todo entorno U de x cumple o (U \{x}) ∩ A = ∅. El conjunto de puntos de acumulaci´n de A se llama conjunto o derivado de A y se representa por A . Ejemplo Consideremos el conjunto A = 1/n | n ∈ N \ {0} ⊂ R. Es f´cil a ver que A = A ∪ {0}. Sin embargo, A = {0}. En efecto, en general se cumple que A ⊂ A, pero ning´n punto 1/n ∈ A es de acumulaci´n, pues u o 1 1 1 1 − ,+ n n+1 n n+1 es un entorno de 1/n que no corta a A salvo en este mismo punto. Como ya hemos dicho, siempre es cierto que A ⊂ A. Tambi´n es claro que e un punto adherente que no est´ en A ha de ser un punto de acumulaci´n de A. e o En otras palabras, A = A ∪ A . Los puntos de A pueden ser de acumulaci´n o o no serlo. Por ejemplo, todos los puntos de [0, 1] son de acumulaci´n, mientras o que los puntos del ejemplo anterior no lo eran. Definici´n 1.36 Sea X un espacio topol´gico y A ⊂ X . Los puntos de A \ A o o se llaman puntos aislados de A. 18 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Un punto x ∈ A es aislado si y s´lo si tiene un entorno U tal que U ∩ A = {x}. o El entorno lo podemos tomar abierto, y entonces vemos que los puntos aislados de A son los puntos que son abiertos en la topolog´ relativa. Vemos, pues, que ıa un espacio es discreto si y s´lo si todos sus puntos son aislados. Es el caso del o ejemplo anterior. Definici´n 1.37 Un subconjunto A de un espacio topol´gico X es denso si o o A = X. Aplicando la propiedad 8) de 1.33 vemos que A es denso en X si y s´lo si o X \ A tiene interior vac´ es decir, si y s´lo si todo abierto de X corta a A. ıo, o Esto significa que los puntos de A est´n “en todas partes”. Por ejemplo, puesto a que todo intervalo de n´meros reales contiene n´meros racionales e irracionales, u u es claro que Q y R \ Q son densos en R. De aqu´ se sigue f´cilmente que Qn y ı a (R \ Q)n son densos en Rn . Ejercicio: Probar que si A es abierto en un espacio X y D es denso en X entonces A ∩ D es denso en A. Hay una propiedad que no cumplen todos los espacios topol´gicos, pero s´ o ı la pr´ctica totalidad de espacios de inter´s. a e Definici´n 1.38 Diremos que un espacio topol´gico X es un espacio de Hauso o dorff si para todo par de puntos distintos x, y ∈ X existen abiertos disjuntos U y V tales que x ∈ U , y ∈ V (se dice que los abiertos U y V separan a x e y ). Por ejemplo, si en un conjunto X con m´s de un punto consideramos la a topolog´ formada unicamente por los abiertos ∅ y X (topolog´ trivial) obteıa ´ ıa nemos un espacio que no es de Hausdorff. Se trata de un espacio patol´gico o donde todo punto est´ alrededor de cualquier otro. Aunque la topolog´ trivial a ıa es ciertamente la m´s patol´gica posible, lo cierto es que todas las topolog´ a o ıas no de Hausdorff comparten con ella su patolog´ y rara vez resultan de inter´s. ıa, e Veamos las propiedades de los espacios de Hausdorff: Teorema 1.39 Se cumplen las propiedades siguientes: a) En un espacio de Hausdorff, todo conjunto finito es cerrado. b) Todo espacio de Hausdorff finito es discreto. c) Todo subespacio de un espacio de Hausdorff es un espacio de Hausdorff. d) El producto de una familia de espacios de Hausdorff es un espacio de Hausdorff. e) Todo espacio m´trico es un espacio de Hausdorff. e f ) Un espacio X es de Hausdorff si y s´lo si la diagonal ∆ = {(x, x) | x ∈ X } o es cerrada en X × X . 1.4. Algunos conceptos topol´gicos o 19 ´ Demostracion: a) Basta probar que todo punto {x} en un espacio de Hausdorff X es cerrado. Ahora bien, dado y ∈ X \{x}, existen abiertos disjuntos U , V tales que x ∈ U , y ∈ V , luego y ∈ V ⊂ X \ {x}, lo que prueba que X \ {x} es entorno de todos sus puntos, luego {x} es cerrado. b) En un espacio de Hausdorff finito todo subconjunto es cerrado, luego todo subconjunto es abierto, luego es discreto. c) Si X es un espacio de Hausdorff y A ⊂ X , dados dos puntos x, y ∈ A, existen abiertos disjuntos U , V en X que separan a x e y , luego U ∩ A, V ∩ A son abiertos disjuntos en A que separan a x e y . d) Consideremos un producto de espacios de Hausdorff i∈I Xi y dos de sus puntos x, y . Sea i0 un ´ ındice tal que xi0 = yi0 . Existen abiertos U , V en Xi0 que separan a xi0 e yi0 . Entonces p−1 (U ) y p−1 (V ) son abiertos subb´sicos a i0 i0 disjuntos en el producto que separan a x e y . e) Si X es un espacio m´trico, dos de sus puntos x, y est´n separados por e a las bolas de centros x, y y radio d(x, y )/2. f) La diagonal ∆ es cerrada si y s´lo si su complementario es abierto, si y o s´lo si para todo par (x, y ) ∈ X × X con x = y existe un abierto b´sico U × V o a en X × X tal que (x, y ) ∈ U × V ⊂ X × X \ ∆. Ahora bien, la condici´n o U × V ⊂ X × X \ ∆ equivale a U ∩ V = ∅, luego la diagonal es cerrada si y s´lo o si X es Hausdorff. Ejercicio: Probar que si un producto de espacios topol´gicos es un espacio de Hauso dorff no vac´ entonces cada uno de los factores es un espacio de Hausdorff. ıo, Terminamos la secci´n con algunas propiedades m´tricas, no topol´gicas, es o e o decir propiedades definidas a partir de la distancia en un espacio m´trico y que e no se pueden expresar en t´rminos de su topolog´ e ıa. Definici´n 1.40 Un subconjunto A de un espacio m´trico es acotado si existe o e un M > 0 tal que para todo par de puntos x, y ∈ A se cumple d(x, y ) ≤ M . El di´metro de un conjunto acotado A es el supremo de las distancias d(x, y ) a cuando (x, y ) var´ en A × A. ıa Es f´cil probar que todo subconjunto de un conjunto acotado es acotado, a as´ como que la uni´n finita de conjuntos acotados est´ acotada. Sin embargo ı o a hemos de tener presente el hecho siguiente: dado un espacio m´trico M , podemos e definir d (x, y ) = m´ 1, d(x, y ) . Es f´cil ver que d es una distancia en M y las ın a bolas de radio menor que 1 para d coinciden con las bolas respecto a d. Como estas bolas forman una base de las respectivas topolog´ m´tricas concluimos ıas e que ambas distancias definen la misma topolog´ Sin embargo, respecto a d ıa. todos los conjuntos est´n acotados. Esto prueba que el concepto de acotaci´n a o no es topol´gico. o Ejercicio: Calcular el di´metro de una bola abierta en Rn y en un espacio con la a m´trica discreta. e 20 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Definici´n 1.41 Si M es un espacio m´trico, A = ∅ un subconjunto de M y o e x ∈ M , definimos la distancia de x a A como d(x, A) = ´ {d(x, y ) | y ∈ A}. ınf Es evidente que si x ∈ A entonces d(x, A) = 0, pues entre las distancias cuyo ´ ınfimo determinan d(x, A) se encuentra d(x, x) = 0. Sin embargo los puntos que cumplen d(x, A) = 0 no est´n necesariamente en A. a Teorema 1.42 Si M es un espacio m´trico y A ⊂ M , entonces un punto x e cumple d(x, A) = 0 si y s´lo si x es adherente a A. o ´ Demostracion: Si d(x, A) = 0, para probar que es adherente basta ver que toda bola abierta de centro x corta a A. Dado > 0 tenemos que d(x, A) < , lo que significa que existe un y ∈ A tal que d(x, y ) < , es decir, y ∈ B (x) ∩ A. El rec´ ıproco se prueba igualmente. En el caso de espacios normados podemos hacer algunas afirmaciones adicionales. La prueba del teorema siguiente es inmediata. Teorema 1.43 Sea E un espacio normado y A ⊂ E . Las afirmaciones siguientes son equivalentes: a) A es acotado. b) Existe un M > 0 tal que x ≤ M para todo x ∈ A. c) Existe un M > 0 tal que A ⊂ BM (0). Ejercicio: Probar que en un espacio normado la clausura de una bola abierta es la bola cerrada del mismo radio y el interior de una bola cerrada es la bola abierta. ¿Cu´l a es la frontera de ambas? Dar ejemplos que muestren la falsedad de estos hechos en un espacio m´trico arbitrario. e 1.5 Continuidad Finalmente estamos en condiciones de formalizar la idea de funci´n continua o como funci´n f que env´ los alrededores de un punto a los alrededores de su o ıa imagen. No exigimos que las im´genes de los puntos de alrededor de un punto x a sean todos los puntos de alrededor de f (x). Por ejemplo, sea S la circunferencia unidad en R2 y f la aplicaci´n dada por o [0, 1] −→ S x → (cos 2πx, sen 2πx) Lo que hace f es “pegar” los extremos del intervalo en un mismo punto (1, 0). Queremos que esta aplicaci´n sea continua, y vemos que [0, 1/4] es un entorno o de 0 que se transforma en “medio” entorno de (1, 0), en los puntos de alrededor de (1, 0) contenidos en el semiplano y > 0. Esto no debe ser, pues, un obst´culo a a la continuidad. 1.5. Continuidad 21 Pedir que los puntos de alrededor de x sean enviados a puntos de alrededor de f (x) (no necesariamente todos) es pedir que todo entorno U de f (x) contenga a las im´genes de los puntos de alrededor de x, es decir, las im´genes de un a a entorno de x, es decir, que f −1 [U ] contenga un entorno de x, pero esto equivale a que ´l mismo lo sea. As´ pues: e ı Definici´n 1.44 Una aplicaci´n f : X −→ Y entre dos espacios topol´gicos o o o es continua en un punto x ∈ X si para todo entorno U de f (x) se cumple que f −1 [U ] es un entorno de x. Diremos que f es continua si lo es en todos los puntos de x. Observar que en esta definici´n podemos sustituir “entorno” por “entorno o b´sico”. En un espacio m´trico podemos considerar concretamente bolas abiera e tas, y entonces la definici´n se particulariza como sigue: o Teorema 1.45 Una aplicaci´n f : M −→ N entre dos espacios m´tricos es o e continua en un punto x ∈ M si y s´lo si para todo > 0 existe un δ > 0 tal que o si d(x, x ) < δ entonces d f (x), f (x ) < . Veamos varias caracterizaciones de la continuidad. Teorema 1.46 Sea f : X −→ Y una aplicaci´n entre espacios topol´gicos. Las o o afirmaciones siguientes son equivalentes: a) f es continua. b) Para todo abierto (b´sico) G de Y se cumple que f −1 [G] es abierto en X . a c) Para todo cerrado C de Y se cumple que f −1 [C ] es cerrado en X . d) Para todo A ⊂ X se cumple f [A] ⊂ f [A]. e) Para todo B ⊂ Y se cumple f −1 [B ] ⊂ f −1 [B ]. f ) Para todo B ⊂ Y se cumple f −1 [int B ] ⊂ int f −1 [B ]. ´ Demostracion: a) ↔ b). Si f es continua y x ∈ f −1 [G] entonces f (x) ∈ G, luego G es un entorno de f (x), luego por definici´n de continuidad f −1 [G] es o un entorno de x, luego f −1 [G] es abierto. Es claro que b) → a). Evidentemente b) ↔ c). a) → d). Si x ∈ f [A] entonces x = f (y ), con y ∈ A. Si E es un entorno de x, por definici´n de continuidad f −1 [E ] es un entorno de y , luego f −1 [E ] ∩ A = ∅, o de donde E ∩ f [A] = ∅, lo que prueba que x ∈ f [A]. d) → e). Tenemos que f −1 [B ] ⊂ X , luego f f −1 [B ] ⊂ f f −1 [B ] ⊂ B , luego f −1 [B ] ⊂ f −1 [B ]. 22 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa e) → f). En efecto: f −1 [int B ] = f −1 Y \ (Y \ int B ) = X \ f −1 [Y \ int B ] = X \ f −1 [Y \ B ] ⊂ X \ f −1 [Y \ B ] = X \ X \ f −1 [B ] = X \ (X \ int f −1 [B ]) = int f −1 [B ]. f) → b). Si B es abierto en Y , entonces f −1 [B ] = f −1 [int B ] ⊂ int f −1 [B ] ⊂ f −1 [B ], luego f −1 [B ] = int f −1 [B ] que es, por lo tanto, abierto. Ahora vamos a probar una serie de resultados generales que nos permitir´n a reconocer en muchos casos la continuidad de una aplicaci´n de forma inmediata. o De la propia definici´n de continuidad se sigue inmediatamente: o Teorema 1.47 Si f : X −→ Y es continua en un punto x y g : Y −→ Z es continua en f (x), entonces f ◦ g es continua en x. En particular, la composici´n o de aplicaciones continuas es una aplicaci´n continua. o Otro hecho b´sico es que la continuidad depende s´lo de la topolog´ en la a o ıa imagen y no de la del espacio de llegada. Teorema 1.48 Sea f : X −→ Y una aplicaci´n entre espacios topol´gicos. o o Entonces f es continua en un punto x ∈ X como aplicaci´n f : X −→ Y si y o s´lo si lo es como aplicaci´n f : X −→ f [X ]. o o ´ Demostracion: Un entorno de f (x) en f [X ] es U ∩ f [X ], donde U es un entorno de f (x) en Y , pero f −1 [U ∩ A] = f −1 [U ], luego es indistinto considerar entornos en f [X ] o en Y . Teniendo en cuenta que la aplicaci´n identidad en un conjunto es obviamente o continua, de los teoremas anteriores se deduce inmediatamente el que sigue: Teorema 1.49 Si X es un espacio topol´gico y A ⊂ X , entonces la inclusi´n o o i : A −→ X dada por i(x) = x es continua. Por tanto, si f : X −→ Y es continua en un punto x ∈ A, la restricci´n f |A = i ◦ f es continua en x. o En particular la restricci´n de una aplicaci´n continua a un subconjunto es o o tambi´n continua. El rec´ e ıproco no es cierto, pero se cumple lo siguiente: Teorema 1.50 Dada una aplicaci´n f : X −→ Y , si A es un entorno de un o punto x ∈ X y f |A es continua en x, entonces f es continua en x. ´ Demostracion: Si U es un entorno de f (x) en Y , entonces (f |A )−1 [U ] = f [U ] ∩ A es un entorno de x en A, luego existe un entorno G de x en X de manera que x ∈ G ∩ A = f −1 [U ] ∩ A, luego en particular x ∈ G ∩ A ⊂ f −1 [U ], y G ∩ A es un entorno de x en X , luego f −1 [U ] tambi´n lo es. e −1 1.5. Continuidad 23 Esto significa que la continuidad es una propiedad local, es decir, el que una funci´n sea continua o no en un punto es un hecho que s´lo depende del comporo o tamiento de la funci´n en un entorno del punto. En particular, si cubrimos un o espacio topol´gico por una familia de abiertos, para probar que una aplicaci´n o o es continua basta ver que lo es su restricci´n a cada uno de los abiertos. Esto es o cierto tambi´n si cubrimos el espacio con cerrados a condici´n de que sean un e o n´mero finito. u Teorema 1.51 Sea f : X −→ Y una aplicaci´n entre espacios topol´gicos. o o Sean C1 , . . . , Cn subconjuntos cerrados de X tales que X = C1 ∪ · · · ∪ Cn . Entonces f es continua si y s´lo si cada f |Ci es continua. o ´ Demostracion: Una implicaci´n es obvia. Si las restricciones son contio nuas, entonces dado un cerrado C de Y , se cumple que f −1 [C ] = (f −1 [C ] ∩ C1 ) ∪ · · · ∪ (f −1 [C ] ∩ Cn ) = (f |C1 )−1 [C ] ∪ · · · ∪ (f |Cn )−1 [C ]. Ahora, cada (f |Ci )−1 [C ] es cerrado en Ci , luego es la intersecci´n con Ci de o un cerrado de X , luego es la intersecci´n de dos cerrados en X , luego es cerrado o en X . As´ pues, f −1 [C ] es la uni´n de un n´mero finito de cerrados de X , luego ı o u es cerrado en X . Esto prueba que f es continua. Teorema 1.52 Si {Xi }i∈I es una familia de espacios topol´gicos, las proyeco Xi −→ Xi son funciones continuas. ciones pi : i nI ´ Demostracion: Las antiim´genes de abiertos en Xi son abiertos b´sicos a a del producto. Ejercicio: Probar que la topolog´ producto es la menor topolog´ que hace continuas ıa ıa a las proyecciones. Teorema 1.53 Si {Xi }i∈I es una familia de espacios topol´gicos y X es un o espacio topol´gico, entonces una aplicaci´n f : X −→ o o Xi es continua si y i∈I s´lo si lo son todas las funciones fi = f ◦ pi . o ´ Demostracion: Si f es continua las funciones f ◦ pi tambi´n lo son por ser e composici´n de funciones continuas. o Si cada f ◦ pi es continua, sea A = Ai un abierto b´sico del producto. a i∈I Sean i1 , . . . , in los ´ ındices tales que Aij = Xij . Entonces f −1 p−1 [Aij ] = ij (f ◦ pij )−1 [Aij ] es abierto en X , pero n A= j =1 es abierto en X . p−1 [Aij ] ij n yf −1 [A] = j =1 f −1 p−1 [Aij ] ij 24 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa As´ por ejemplo, para probar que la aplicaci´n f : R −→ R2 dada por ı, o f (x) = (x + 1, x2 ) es continua, basta probar que lo son las aplicaciones x + 1 y x2 . Definici´n 1.54 Sean E y F espacios normados. Una aplicaci´n f : E −→ F o o tiene la propiedad de Lipschitz si existe un M > 0 tal que para todos los vectores v , w ∈ E se cumple que f (v ) − f (w) ≤ M v − w . Teorema 1.55 Las aplicaciones con la propiedad de Lipschitz son continuas. ´ Demostracion: Sea f : E −→ F una aplicaci´n con la propiedad de o Lipschitz con constante M . Vamos a aplicar el teorema 1.45. Dado > 0 tomamos δ = /M . As´ si v − w < δ , entonces f (v ) − f (w) ≤ M v − w < . ı, Por ejemplo, es f´cil ver que si E es un espacio normado entonces la norma a : E −→ R tiene la propiedad de Lipschitz con constante M = 1, luego es una aplicaci´n continua. Un ejemplo menos trivial es el de la suma: o Teorema 1.56 Sea E un espacio normado. Entonces la suma + : E × E −→ E tiene la propiedad de Lipschitz, luego es continua. ´ Demostracion: Consideraremos a E × E como espacio normado con la norma 1 . Entonces, si (u, v ), (a, b) ∈ E × E , tenemos que (u + v ) − (a + b) = = (u − a) + (v − b) ≤ u − a + v − b (u − a, v − b) 1 = (u, v ) − (a, b) 1 . El producto no cumple la propiedad de Lipschitz, pero aun as´ es continuo. ı Teorema 1.57 Sea E un espacio normado. El producto · : K × E −→ E es una aplicaci´n continua. o ´ Demostracion: Veamos que el producto es continuo en un punto (λ, x) de K × E . Usaremos la norma ∞ en K × E . Dado > 0, sea (λ , x ) ∈ K × E . λ x − λx = λ (x − x) + (λ − λ)x ≤ |λ | x − x + |λ − λ| x . Tomemos ahora 0 < δ < 1 que cumpla adem´s a δ< |λ| + x + 1 <. As´ si (λ , x ) − (λ, x) ∞ < δ , entonces |λ − λ| < δ y x − x < δ . En ı particular |λ | ≤ |λ| + δ < |λ| + 1. As´ ı λ x − λx < |λ | x + <. |λ| + x + 1 |λ| + x + 1 1.5. Continuidad 25 Definici´n 1.58 Un espacio vectorial topol´gico es un par (V, T ), donde V es o o un espacio vectorial sobre K y T es una topolog´ de Hausdorff sobre V de modo ıa que las aplicaciones + : V × V −→ V y · : K × V −→ V son continuas. Hemos demostrado que todo espacio normado es un espacio vectorial topol´gico. o En general, si X es un conjunto y V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K , el conjunto V X de todas las aplicaciones de X en V es un espacio vectorial con las operaciones dadas por (f + g )(x) = f (x) + g (x) y (αf )(x) = αf (x). Si X e Y son espacios topol´gicos, llamaremos C (X, Y ) al conjunto de todas o las aplicaciones continuas de X en Y . Si X es un espacio topol´gico y V un espacio vectorial topol´gico, entonces o o C (X, V ) resulta ser un subespacio de V X , pues la suma de dos funciones continuas f y g puede obtenerse como composici´n de la aplicaci´n h : X −→ V × V o o dada por h(x) = f (x), g (x) , que es continua, y la suma en V , que tambi´n lo e es, luego f + g es continua. Similarmente se prueba que si α ∈ K y f ∈ C (X, V ), entonces αf ∈ C (X, V ). El espacio KX tiene tambi´n estructura de anillo conmutativo y unitario con e el producto dado por (f g )(x) = f (x)g (x). Como el producto · : K × K −→ K es continuo (tomando E = K en el teorema anterior), resulta que C (X, K) es un subanillo de KX . En general, una cu´drupla (A, +, ·, ◦), donde la terna (A, +, ·) es un espacio a vectorial sobre un cuerpo K , la terna (A, +, ◦) es un anillo unitario y adem´s a α(ab) = (αa)b = a(αb) para todo α ∈ K , y todos los a, b ∈ A, se llama una K -´lgebra. a Tenemos, pues, que si X es un espacio topol´gico, entonces C (X, K) es una o K-´lgebra de funciones. El espacio C (X, K) contiene un subcuerpo isomorfo a a K, a saber, el espacio de las funciones constantes. Cuando no haya confusi´n o identificaremos las funciones constantes con los elementos de K, de modo que 2 representar´ a la funci´n que toma el valor 2 sobre todos los puntos de X . a o M´s a´n, si p(x1 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , . . . , xn ], el polinomio p determina una au unica funci´n evaluaci´n p : Kn −→ K, de modo que los polinomios constan´ o o tes se corresponden con las funciones constantes y la indeterminada xi con la proyecci´n en la i-´sima coordenada. Como todo polinomio es combinaci´n de o e o sumas y productos de constantes e indeterminadas, tenemos que K[x1 , . . . , xn ] ⊂ C (Kn , K). Por ejemplo, la aplicaci´n f : R3 −→ R2 dada por f (x, y, z ) = (3x − 2yz, xyz ) o es claramente continua. Teorema 1.59 La aplicaci´n h : K \ {0} −→ K dada por h(x) = 1/x es contio nua. ´ Demostracion: Sea x ∈ K \ {0}. Sea δ = |x|/2. Si y ∈ Bδ (x) entonces | − x − (y − x)| ≥ | − x| − |y − x| , o sea, |y | ≥ |x| − δ = δ . 26 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Dado > 0, sea δ < 1, δ < δ |x| . As´ si |y − x| < δ tenemos ı, 1 |y − x| 1 δ |x| = − < =. yx |y | |x| δ |x| Consecuentemente, si f ∈ C (X, K) y f no se anula en X , podemos definir la funci´n 1/f ∈ C (X, K) mediante (1/f )(x) = 1/f (x). o Por ejemplo, la funci´n f : R \ {1} −→ R dada por o f (x) = x2 x−1 es obviamente continua. Teorema 1.60 La funci´n o √ : [0, +∞[ −→ [0, +∞[ es continua. ´ Demostracion: Basta notar que √ √ x ∈ ]a, b[ ↔ a < x < b ↔ a2 < x < b2 ↔ x ∈ a2 , b2 . Esto significa que la antiimagen del intervalo ]a, b[ es el intervalo a2 , b2 . Similarmente se ve que la antiimagen de un intervalo [0, b[ es el intervalo 0, b2 y, √ como estos intervalos constituyen una base de [0, +∞[, tenemos que es una funci´n continua. o Teorema 1.61 Sea M un espacio m´trico y A = ∅ un subconjunto de M . e Entonces las aplicaciones d : M × M −→ R y d( , A) : M −→ R son continuas. ´ Demostracion: Consideremos en M × M la distancia d∞ . Dado un par (x, y ) ∈ M × M , y un > 0, basta probar que si (x , y ) dista de (x, y ) menos de /2, es decir, si se cumple d(x, x ) < /2 y d(y, y ) < /2, entonces tenemos |d(x, y ) − d(x , y )| < . En efecto, en tal caso d(x, y ) ≤ d(x, x ) + d(x , y ) + d(y , y ) < d(x , y ) + , luego d(x, y ) − d(x , y ) < , e igualmente se llega a d(x , y ) − d(x, y ) < , luego efectivamente |d(x, y ) − d(x , y )| < . Para probar la continuidad de d( , A) en un punto x observamos que |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y ). En efecto, para todo z ∈ A se cumple d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ). De aqu´ se ı sigue claramente d(x, A) ≤ d(x, y ) + d(y, z ), y tomando el ´ ınfimo en z vemos que d(x, A) ≤ d(x, y ) + d(y, A). Similarmente se prueba d(y, A) ≤ d(x, y ) + d(x, A), de donde se sigue la relaci´n con valores absolutos. A su vez esta relaci´n implica o o que si d(x, y ) < , entonces |d(x, A) − d(y, A)| < , lo que expresa la continuidad de la aplicaci´n. o Para terminar con las propiedades generales de las aplicaciones continuas probaremos un hecho de inter´s te´rico: e o 1.5. Continuidad 27 Teorema 1.62 Sean f, g : X −→ Y aplicaciones continuas, D ⊂ X un conjunto denso tal que f |D = g |D y supongamos que Y es un espacio de Hausdorff. Entonces f = g . ´ Demostracion: Sea h : X −→ Y × Y dada por h(x) = f (x), g (x) . Claramente es continua y h[D] ⊂ ∆, donde ∆ = {(x, x) | x ∈ X } es un cerrado en Y × Y (por 1.39). Por lo tanto h[X ] = h[D] ⊂ h[D] ⊂ ∆, de donde f = g . Definici´n 1.63 Una aplicaci´n biyectiva f : X −→ Y entre dos espacios o o topol´gicos es un homeomorfismo si f y su inversa son ambas continuas. Dos o espacios topol´gicos son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. o Un homeomorfismo induce una biyecci´n entre los abiertos de los dos eso pacios, por lo que ambos son topol´gicamente indistinguibles. Es claro que o cualquier propiedad definida exclusivamente a partir de la topolog´ se conıa serva por homeomorfismos, luego dos espacios homeomorfos tienen las mismas propiedades topol´gicas. o Es importante notar que no toda biyecci´n continua es un homeomorfismo. o Por ejemplo, la identidad I : R −→ R, cuando en el primer espacio consideramos la topolog´ discreta y en el segundo la eucl´ ıa ıdea es biyectiva y continua, pero no un homeomorfismo. Veamos un ejemplo m´s intuitivo: a Ejemplo Sea f : [0, 1] ∪ ]2, 3] −→ [0, 2] la aplicaci´n dada por o f (x) = x x−1 si 0 ≤ x ≤ 1 si 2 < x ≤ 3 2 1 0 Es f´cil ver que f es biyectiva, y es continua a porque sus restricciones a los abiertos [0, 1] y 0 1 2 32, 3] de su dominio son ambas continuas (son polinomios). Sin embargo no es un homeomorfismo. La aplicaci´n f −1 es continua en todos los puntos de o [0, 2] excepto en x = 1. En efecto, [0, 1] es un entorno de f −1 (1) = 1, pero la antiimagen de este intervalo es el mismo [0, 1], que no es un entorno de 1 en [0, 2]. En los dem´s puntos es continua, pues f −1 restringida a los abiertos de a su dominio [0, 1[ y ]1, 2] es polin´mica. o Lo que sucede es que, a pesar de ser biyectiva, f est´ “pegando” los intervalos a [0, 1] y ]2, 3] en el intervalo [0, 2], por lo que f −1 “corta” ´ste por el punto 1. e En general, si una aplicaci´n continua es una aplicaci´n que no corta, aunque o o puede pegar, un homeomorfismo es una aplicaci´n que no corta ni pega. Para o que no pegue ha de ser biyectiva, pero acabamos de ver que esto no es suficiente. El ejemplo de la topolog´ discreta se interpreta igual: los puntos de R con la ıa topolog´ discreta est´n todos “separados” entre s´ luego al pasar a R con la ıa a ı, topolog´ eucl´ ıa ıdea los estamos “pegando”, aunque no identifiquemos puntos. 28 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Definici´n 1.64 Una aplicaci´n f : X −→ Y entre dos espacios topol´gicos es o o o abierta si para todo abierto A de X , se cumple que f [A] es abierto en Y . De este modo, un homeomorfismo es una biyecci´n continua y abierta. La o propiedad de ser abierta no es muy intuitiva y tampoco es muy frecuente (salvo en el caso de los homeomorfismos). Sin embargo es de destacar el hecho siguiente: Teorema 1.65 Las proyecciones de un espacio producto en cada uno de sus factores son aplicaciones abiertas. ´ Demostracion: Basta ver que la proyecci´n de un abierto b´sico es un o a abierto, pero los abiertos b´sicos son productos de abiertos, y las proyecciones a son sus factores. Definici´n 1.66 La gr´fica de una aplicaci´n f : X −→ Y es el conjunto1 o a o x, f (x) ∈ X × Y | x ∈ X . En los casos de funciones f : A ⊂ Rm −→ Rn , donde m + n ≤ 3 la gr´fica de a f tiene una interpretaci´n en el plano o espacio eucl´ o ıdeo intuitivos, y esta representaci´n permite reconocer r´pidamente las caracter´ o a ısticas de f . El resultado m´s importante por lo que a la continuidad se refiere es el siguiente: a Teorema 1.67 Si f : X −→ Y es una aplicaci´n continua, entonces la aplio caci´n x → x, f (x) es un homeomorfismo entre X y la gr´fica de f . o a ´ Demostracion: La aplicaci´n es obviamente biyectiva y continua. Su o inversa es la restricci´n a la gr´fica de la proyecci´n sobre el primer factor de o a o X × Y , luego tambi´n es continua. e Ejemplo La gr´fica del polinomio x3 − x es la siguiente: a 2 1.5 1 0.5 -2 -1 1 2 -0.5 -1 -1.5 -2 1 Observar que desde el punto de vista de la teor´ de conjuntos la gr´fica de una funci´n ıa a o f es la propia funci´n f como conjunto. o 1.5. Continuidad 29 El lector deber´ preguntarse c´mo se sabe que la gr´fica de f tiene esta ıa o a forma y no otra. M´s adelante veremos c´mo determinar anal´ a o ıticamente las caracter´ ısticas de la gr´fica de una funci´n, pero de momento nos bastar´ con a o a lo siguiente: Para obtener una figura como la anterior, basta programar a un ordenador para que calcule la funci´n considerada sobre los suficientes n´meros racionales, o u digamos sobre los n´meros de la forma k/100, donde k var´ entre −200 y 200, u ıa y dibuje un peque˜o cuadrado con coordenadas x, f (x) . El resultado es una n gr´fica como la que hemos mostrado. El proceso s´lo involucra la aritm´tica de a o e los n´meros racionales, que no tiene ninguna dificultad. u Vemos que la gr´fica de f es una l´ a ınea ondulada. Podemos considerarla como una imagen “t´ ıpica” de espacio homeomorfo a R. Se obtiene deformando la recta “el´sticamente”, sin cortarla ni pegarla. La aplicaci´n f no es un a o homeomorfismo, la gr´fica muestra c´mo transforma a R en su imagen: ´sta a o e resulta de “aplastar” la curva sobre el eje vertical, con lo que R se “pliega” sobre s´ mismo, de modo que parte de sus puntos se superponen tres a tres. ı Veamos ahora un ejemplo de gr´fica de una funci´n discontinua. a o Ejemplo Consideremos la funci´n f o 1 x f (x) = 1 : R −→ [0, 1] dada por si x ≤ 0 si 0 < x < 1 si x ≥ 1 Su gr´fica es la siguiente: a Es claro que f es continua en todo punto distinto de 0. En efecto, su restricci´n al abierto ]−∞, 0[ es constante, luego continua, su restricci´n al abierto o o0, +∞[ tambi´n es continua, pues este abierto es a su vez uni´n de dos cerrados, e o0, 1] y [1, +∞[, en los cuales f es continua, pues en el primero es el polinomio x y en el segundo es constante. Es f´cil ver que f no es continua en 0. a La gr´fica de f no es homeomorfa a R. No estamos en condiciones de proa barlo ahora. Es f´cil ver que x → x, f (x) no es un homeomorfismo, pero esto a no prueba que no exista otra biyecci´n que s´ lo sea. De todos modos, intuio ı tivamente vemos que la gr´fica est´ formada por dos piezas, por lo que para a a transformar R en la gr´fica es necesario “cortar” por alg´n punto. a u Ejemplo Los homeomorfismos no pueden “cortar” ni “pegar”, pero s´ “estiı rar” arbitrariamente un conjunto. Por ejemplo, la homotecia f (x) = ax, donde a > 0 transforma el intervalo [−1, 1] en el intervalo [−a, a]. Las traslaciones 30 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa x → x + b son claramente homeomorfismos de R, luego combinando homotecias y traslaciones podemos construir un homeomorfismo entre cualquier par de intervalos cerrados de la forma [a, b]. Tambi´n es claro que cualquier par de e intervalos abiertos ]a, b[ son homeomorfos entre s´ al igual que cualquier par de ı, intervalos semiabiertos [a, b[ y ]a, b]. En la secci´n siguiente veremos que tambi´n o e es posible “estirar infinitamente” un intervalo, de modo que, por ejemplo, ]0, 1[ es homeomorfo a R. La topolog´ eucl´ ıa ıdea Notemos que toda aplicaci´n lineal f : Kn −→ Km es o continua, pues es cada una de sus funciones coordenadas es un polinomio. En particular todo automorfismo de Kn es un homeomorfismo. Si V es cualquier K-espacio vectorial de dimensi´n finita n, existe un isomorfismo f : V −→ Kn . o Podemos considerar la topolog´ en V formada por los conjuntos f −1 [G], donde ıa ıa ıdea. Es claro que V es as´ un espacio ı G es abierto en Kn para la topolog´ eucl´ topol´gico homeomorfo a Kn . Adem´s, la topolog´ en V no depende de la o a ıa elecci´n de f , pues si g : V −→ Kn es cualquier otro isomorfismo y G es un o abierto en Kn , entonces g −1 [G] = f −1 (g −1 ◦ f )[G] y (g −1 ◦ f )[G] es un abierto en Kn , porque g −1 ◦ f es un isomorfismo y por consiguiente un homeomorfismo. M´s a´n, la aplicaci´n au o : V −→ R dada por v = f (v ) es claramente una norma en V que induce la topolog´ que acabamos de definir. Esto justifica ıa las definiciones siguientes: Definici´n 1.68 Un isomorfismo topol´gico entre dos espacios vectoriales too o pol´gicos es una aplicaci´n entre ambos que sea a la vez isomorfismo y homeoo o morfismo. Si V es un K-espacio vectorial de dimensi´n finita n, llamaremos o topolog´ eucl´ ıa ıdea en V a la unica topolog´ respecto a la cual todos los isomor´ ıa fismos de V en Kn son topol´gicos. o Si h : V −→ W es una aplicaci´n lineal entre dos espacios vectoriales de o dimensi´n finita, entonces es continua, pues considerando isomorfismos (too pol´gicos) f : V −→ Km y g : W −→ Kn tenemos que la aplicaci´n h = o o f 1 ◦ h ◦ g : Km −→ Kn es lineal, luego continua, luego h = f ◦ h ◦ g −1 tambi´n e es continua. Si W es un subespacio de V , entonces la restricci´n a W de la topolog´ o ıa eucl´ ıdea en V es la topolog´ eucl´ ıa ıdea. Para probarlo descomponemos V = W ⊕ W y observamos que la identidad de W con la topolog´ eucl´ ıa ıdea a W con la topolog´ inducida es continua por ser lineal y su inversa es continua por ser ıa la restricci´n de la proyecci´n de V en W , que tambi´n es lineal. Por lo tanto o o e se trata de un homeomorfismo y ambas topolog´ coinciden. ıas Similarmente se prueba que la topolog´ eucl´ ıa ıdea en un producto de espacios vectoriales coincide con el producto de las topolog´ eucl´ ıas ıdeas. Todo subespacio W de un espacio vectorial de dimensi´n finita V es cerrado. o Para probarlo observamos que W puede expresarse como el n´cleo de una apliu caci´n lineal de W en Kn , es decir, como la antiimagen de 0 por una aplicaci´n o o continua y, como {0} es cerrado, su antiimagen tambi´n. e 1.5. Continuidad 31 Todos estos hechos se trasladan sin dificultad a los espacios afines sobre K. Se define la topolog´ eucl´ ıa ıdea en un espacio af´ de modo que todas las ın afinidades son continuas y las variedades afines son cerradas. *Ejemplo: La topolog´ proyectiva Un espacio proyectivo sobre K es de ıa la forma X = P(V ), donde V es un K-espacio vectorial de dimensi´n n + 1. o Consideremos la aplicaci´n P : V \ {0} −→ X dada por P (v ) = v . Vamos o a considerar en X la menor topolog´ que hace continua a P , es decir, los ıa abiertos de X ser´n los conjuntos G ⊂ X tales que P −1 [G] es abierto en V a (respecto a la topolog´ eucl´ ıa ıdea). Es f´cil ver que los conjuntos as´ definidos a ı determinan realmente una topolog´ en X . En lo sucesivo consideraremos a ıa todos los espacios proyectivos como espacios topol´gicos con esta topolog´ La o ıa. llamaremos topolog´ proyectiva. Vamos a probar algunos hechos en torno a ıa ella: La proyecci´n P : V \ {0} −→ X es continua, abierta y suprayectiva. o S´lo hemos de comprobar que es abierta. Sea G un abierto en V \{0}. Hemos o de ver que G = P −1 P [G] es abierto en V \ {0}. Es claro que G ⊂ G . Sea v ∈ G. Esto significa que existe un w ∈ G tal que P (v ) = P (w), luego v = αw, para un α ∈ K. La homotecia h(x) = αx es un homeomorfismo que transforma G en un entorno de v . Adem´s h[G] ⊂ h[G ] = G , luego G es entorno de v . a Las homograf´ entre espacios proyectivos son homeomorfismos. ıas Dada una homograf´ H : X −→ Y , sea h : V −→ W el isomorfismo que ıa la induce, que de hecho es un homeomorfismo. Sean P : V \ {0} −→ X y P : W \ {0} −→ Y las proyecciones que definen la topolog´ Entonces, si G es ıa. abierto en Y , por definici´n P −1 [G] es abierto en W \{0}, luego h−1 P −1 [G] es o abierto en V \{0}, pero es f´cil ver que este conjunto coincide con P −1 H −1 [G] , a luego H −1 [G] es abierto, y el mismo razonamiento se aplica a la homograf´ ıa inversa. Si E es un hiperplano de V que no pasa por 0, entonces P [E ] es abierto en X y P |E : E −→ P [E ] es un homeomorfismo. Claramente P |E es inyectiva y continua. Basta probar que si A es abierto en E entonces P [A] es abierto en X . Sea B = P −1 P [A] . Basta ver que B es abierto en V \ {0}. Es claro que B = {αv | α ∈ K \ {0}, v ∈ A}. Escogiendo una base adecuada v1 , . . . , vn+1 en V podemos suponer que E est´ formado por los vectores con ultima coordenada es xn+1 = 1. Para cada a ´ v ∈ V sea α(v ) su ultima coordenada. La aplicaci´n α es continua. Sea G el ´ o conjunto de vectores de V con α(v ) = 0. Tenemos que G es abierto, pues su complementario es α−1 {0} . La aplicaci´n G −→ E dada por v → α(v )−1 v es o continua y B es la antiimagen de A por esta aplicaci´n, luego es abierto en G, o luego en V \ {0}. Las subvariedades proyectivas de X son cerradas. 32 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Dado un hiperplano E en V que no pase por 0, tenemos que el complementario de P [E ] es un hiperplano de X y, seg´n lo que acabamos de probar, u es cerrado. Como existe una homograf´ que transforma un hiperplano en otro ıa cualquiera, concluimos que todos los hiperplanos son cerrados y, como toda subvariedad proyectiva es intersecci´n de un n´mero finito de hiperplanos, resulta o u que todas las subvariedades de X son cerradas. La topolog´ inducida por X en una subvariedad proyectiva Y es la ıa topolog´ proyectiva de Y . ıa Sea Y = P(W ). Tomemos un punto y ∈ Y . Sea Π un hiperplano en X que no contenga a y , sea Π = Y ∩ Π. Entonces una base de entornos de y para las topolog´ de X e Y son los abiertos que contienen a y y est´n contenidos ıas a en X \ Π e Y \ Π respectivamente. Las topolog´ de estos espacios son las ıas eucl´ ıdeas, luego una es la inducida por la otra, luego los entornos b´sicos de a y en Y son las intersecciones con Y de los entornos b´sicos de y en X . Por a consiguiente, la topolog´ proyectiva y la topolog´ inducida tienen una misma ıa ıa base de entornos de cada punto, luego son iguales. Para terminar describiremos la topolog´ de la recta proyectiva compleja. ıa Tenemos que P1 (C) = C ∪ {∞}. La topolog´ en C es la eucl´ ıa ıdea. S´lo falta o determinar los entornos de ∞. Como la aplicaci´n 1/z es un homeomorfismo, o una base de entornos de ∞ la forman las im´genes por 1/z de los elementos de a una base de entornos de 0, por ejemplo las bolas abiertas eucl´ ıdeas de centro 0. Pero la imagen de B (0) est´ formada por ∞ y los puntos z ∈ C tales que |z | > a 1/ , luego una base de entornos abiertos de ∞ la forman los complementarios de las bolas cerradas de centro 0. Es f´cil ver entonces que un conjunto U es a un entorno de ∞ si y s´lo si ∞ ∈ U y U \ {∞} est´ acotado. Esta misma o a descripci´n vale para los entornos de ∞ en P1 (R). o Ejercicio: Probar que las homograf´ entre c´nicas y rectas son homeomorfismos. ıas o Ejemplo: La proyecci´n estereogr´fica Consideremos la esfera de centro o a (0, 0, 0) y radio 1, es decir, el conjunto S = {(x, y, z ) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}. Sea N = (0, 0, 1) el “polo norte” de S . La proyecci´n estereogr´fica es la biyecci´n entre S \ {N } y R2 que a cada o a o punto P de S le asigna el punto donde la recta N P corta al plano z = 0 (que podemos identificar con R2 ). Si P tiene coordenadas (x, y, z ), la recta N P est´ formada por los puntos (0, 0, 1) + λ(x, y, x − 1), con λ ∈ R. El valor de a λ que anula la tercera coordenada es el que cumple 1 + λ(z − 1) = 0, o sea, λ = 1/(1 − z ), luego la proyecci´n de P es el punto o f (x, y, z ) = x y , 1−z 1−z . Similarmente se calcula la proyecci´n inversa, que es o g (u, v ) = 2u 2v u2 + v 2 − 1 ,2 ,2 u2 + v 2 + 1 u + v 2 + 1 u + v 2 + 1 . 1.5. Continuidad 33 Es evidente que tanto f como g son continuas, luego la proyecci´n esteo reogr´fica es un homeomorfismo. As´ pues, el plano es homeomorfo a una esfera a ı menos un punto. Equivalentemente, podemos decir que la esfera es homeomorfa al plano m´s a un punto (extendiendo adecuadamente la topolog´ ıa). Conviene identificar el plano con el cuerpo complejo C. A˜adamos a C un punto cualquiera que repren sentaremos por ∞, con lo que formamos el conjunto C∞ = C ∪ {∞}. Podemos extender la proyecci´n estereogr´fica a una biyecci´n f : S −→ C∞ sin m´s que o a o a asignar f (N ) = ∞. Es obvio que si tomamos como abiertos en C∞ las im´genes a por f de los abiertos de S obtendremos una topolog´ en C∞ que induce en ıa C la topolog´ eucl´ ıa ıdea. Vamos a dar una descripci´n directa de una base de o entornos de ∞. Para ello consideramos una base de entornos de N en S , concretamente la formada por las bolas de radio menor que 1. Un entorno b´sico de N est´ a a formado por los puntos (x, y, x) ∈ S tales que x2 + y 2 + (z − 1)2 < < 1, y como x2 + y 2 + z 2 = 1, esto equivale a z > 1 − 2 /2. Puesto que es arbitrario, los entornos b´sicos est´n formados por los puntos (x, y, z ) ∈ S tales que 1 − z < , a a para > 0. Calculemos la imagen de uno de estos entornos. Para ello notamos que si (x, y, z ) = N , |f (x, y, z )| = 1+z , 1−z y que si z < z entonces z − zz < z − zz , luego z z < , 1−z 1−z 1+ 2z < 1−z 1+ 2z , 1−z 1+z < 1−z 1+z . 1−z En otras palabras, cuanto mayor es z , mayor es la distancia a 0 de f (x, y, z ). Por consiguiente, los puntos tales que z > 1 − se corresponden con los puntos tales que 2 |f (x, y, z )| > |f (x, y, 1 − )| = − 1. Ahora bien, cualquier M > 0 es de esta forma para alg´n ´psilon, concreue tamente = 2/(M 2 + 1). Concluimos que los entornos b´sicos de ∞ son los a conjuntos de la forma {z ∈ C | |z | > M } ∪ {∞}. Esto significa que un punto del plano est´ m´s cerca de infinito cuanto m´s aa a lejos est´ de 0 (de hecho, cuanto m´s lejos est´ de cualquier punto concreto del a a a plano). *Nota Obviamente C∞ es la recta proyectiva compleja con la topolog´ proıa yectiva. Otra forma de llegar al mismo resultado es la siguiente: Si consideramos la proyecci´n estereogr´fica entre S y la recta proyectiva compleja, o a podemos expresarla como f (x, y, z ) = (x, y, 1 − z ) , es decir, como la composici´n de la aplicaci´n continua (x, y, z ) → (x, y, 1 − z ) con la aplicaci´n cono o o tinua (x, y, z ) → (x, y, z ) , luego es continua. Podr´ ıamos probar tambi´n que e 34 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa la inversa es continua, pero no merece la pena el esfuerzo, pues en el cap´ ıtulo siguiente (ver 2.12) ser´ evidente a partir de lo que ya hemos probado. La cona clusi´n es, pues, que la proyecci´n estereogr´fica es un homeomorfismo entre la o o a esfera con la topolog´ eucl´ ıa ıdea y la recta compleja con la topolog´ proyectiva. ıa De aqu´ se sigue f´cilmente que si dotamos al plano hiperb´lico de la topoı a o log´ relativa (es decir, si dotamos al plano de Klein con la topolog´ eucl´ ıa ıa ıdea) entonces la topolog´ correspondiente en el c´ ıa ırculo y en el semiplano de Poincar´ e es tambi´n la eucl´ e ıdea. Teniendo en cuenta que los c´ ırculos de centro 0 en el plano de Klein coinciden con los eucl´ ıdeos (y que las isometr´ son obviamente ıas homeomorfismos) es claro que la esta topolog´ es la inducida por la m´trica ıa e hiperb´lica. o 1.6 L´ ımites de funciones El concepto de l´ ımite es, junto al de continuidad, uno de los conceptos m´s a importantes a los que la estructura topol´gica sirve de soporte. Para comprender o su contenido podemos considerar la funci´n f : R2 \ (0, 0) −→ R dada por o f (x, y ) = x2 2 x2 + y2 −1 . Esta expresi´n no tiene sentido cuando (x, y ) = (0, 0), por lo que es natural o preguntarse si la gr´fica de f mostrar´ alguna particularidad que explique por a a qu´ no puede ser calculada en este punto. He aqu´ dicha gr´fica: e ı a Su aspecto es el de una superficie homeomorfa a R2 , pero sabemos que no est´ definida en (0, 0). De hecho la gr´fica hace pensar que f (0, 0) = 0. La a a explicaci´n es que la funci´n f : R2 −→ R definida mediante o o 2 √2 x −1 si (x, y ) = (0, 0), x2 +y 2 f (x, y ) = 0 si (x, y ) = (0, 0) es continua, aunque esto no es evidente y, de hecho, no estamos en condiciones de probarlo ahora. Si queremos expresar la situaci´n en t´rminos de la expresi´n o e o original de f , no definida en (0, 0), habremos de decir que f transforma los 1.6. L´ ımites de funciones 35 puntos de alrededor de (0, 0) en puntos de alrededor de 0, o tambi´n, que los e valores que toma f son m´s cercanos a 0 cuanto m´s cercanos a (0, 0) son los a a puntos que consideramos. Todo esto tiene sentido aunque la funci´n f no est´ o e definida en (0, 0). Comenzamos introduciendo el concepto topol´gico que permite expresar con o rigor las ideas que acabamos de introducir: Definici´n 1.69 Sean X , Y espacios topol´gicos, A ⊂ X y f : A −→ Y . Sea o o a ∈ A y b ∈ Y . Diremos que f converge a b cuando x tiende a a si para todo entorno V de b existe un entorno U de a tal que si x ∈ U ∩ A y x = a, entonces f (x) ∈ V . La interpretaci´n es clara: los puntos f (x) est´n alrededor de b [= en un o a entorno arbitrario V de b] siempre que x est´ alrededor de a [= en un entorno a adecuado U de a, que depender´ de V ], o m´s simplemente: si f env´ los puntos a a ıa de alrededor de a a los alrededores de b. Si Y es un espacio de Hausdorff, una funci´n converge a lo sumo a un unico b o ´ para cada punto a. En efecto, si f converge a dos puntos b y b cuando x tiende a a, podr´ ıamos tomar entornos disjuntos V y V de b y b , para los cuales existir´ ıan entornos U y U de a de modo que si x ∈ U ∩ U ∩ A, entonces f (x) ∈ V ∩ V , contradicci´n. o Por ello, si se da la convergencia, diremos que b es el l´ ımite cuando x tiende a a de f (x), y lo representaremos por b = l´ f (x). ım x→a No exigimos que la funci´n f est´ definida en a. Tan s´lo que a sea un punto o e o de acumulaci´n del dominio de f o, de lo contrario, no existir´ puntos x a los o ıan que aplicar la definici´n y f converger´ trivialmente a todos los puntos de Y . o ıa En estos t´rminos, lo que afirm´bamos antes es que existe e a l´ ım (x,y )→(0,0) x2 2 x2 + y2 −1 = 0, de modo que los valores que toma esta expresi´n se acercan m´s a 0 cuanto m´s o a a se acercan las variables al punto (0, 0). Todav´ no podemos probarlo. ıa Por supuesto es posible que la funci´n f est´ definida en a, pero esto es irreleo e vante, pues en la definici´n de l´ o ımite aparecen s´lo puntos x = a, lo que significa o que el l´ ımite es independiente de f (a). En otras palabras, si modific´ramos el a valor de f (a), la existencia del l´ ımite y su valor concreto no se alterar´ ıan. Tambi´n es obvio que la existencia o no de l´ e ımite s´lo depende del comporo tamiento de la funci´n en un entorno del punto. En otras palabras, que si dos o funciones coinciden en un entorno de un punto a (salvo quiz´ en a) entonces a ambas tienen l´ ımite en a o ninguna lo tiene y, si lo tienen, ´stos coinciden. e La relaci´n entre los l´ o ımites y la continuidad es la siguiente: 36 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Teorema 1.70 Sean X , Y espacios topol´gicos y f : X −→ Y . Sea a ∈ X . o Entonces f es continua en a si y s´lo si existe l´ f (x) = f (a). o ım x→a ´ Demostracion: Si el l´ ımite vale f (a), entonces la definici´n de l´ o ımite se cumple trivialmente cuando x = a y lo que queda es la definici´n de contio nuidad en a. Rec´ ıprocamente, la definici´n de continuidad de f en a implica o trivialmente la definici´n de l´ o ımite con b = f (a). Mediante este teorema podemos deducir las propiedades algebraicas de los l´ ımites a partir de las propiedades correspondientes de las funciones continuas. Teorema 1.71 Sean f , g : A ⊂ X −→ K dos funciones definidas sobre un espacio topol´gico X y sea a ∈ A . Si existen o l´ f (x) ım x→a y l´ g (x) ım x→a entonces tambi´n existen e l´ f (x) + g (x) ım = x→a l´ f (x)g (x) ım = f (x) x→a g (x) = l´ f (x) + l´ g (x), ım ım x→a x→a l´ ım x→a l´ f (x) ım l´ g (x) , ım x→a x→a l´ f (x) ım x→a l´ g (x) ım , x→a (suponiendo, adem´s, en el tercer caso que l´ g (x) = 0.) a ım x→a ´ Demostracion: La prueba es la misma en todos los casos. Veamos la primera. Consideramos la funci´n f que coincide con f en todos los puntos o salvo en a, donde toma el valor del l´ ımite. Definimos igualmente g . Entonces el teorema anterior implica que f y g son continuas en a, luego f + g tambi´n e lo es, luego por el teorema anterior existe l´ f (x) + g (x) = f (a) + g (a), ım x→a pero como f + g coincide con f + g salvo en a, el l´ ımite de f + g coincide con el de f + g , y tenemos la relaci´n buscada. o Es claro que el resultado sobre suma de l´ ımites es v´lido cuando las funciones a toman valores en cualquier espacio vectorial topol´gico. Adem´s en tal caso al o a multiplicar una funci´n por un escalar el l´ o ımite se multiplica por el mismo (para el caso de K esto es un caso particular de la segunda igualdad). La misma t´cnica e nos da inmediatamente: Teorema 1.72 Sea f : A ⊂ X −→ X1 × · · · × Xn una aplicaci´n entre espacios o topol´gicos, que ser´ de la forma f (x) = f1 (x1 ), . . . , fn (x) , para ciertas funo a ciones fi : X −→ Xi . Sea a ∈ A . Entonces existe l´ f (x) si y s´lo si existen ım o todos los l´ ımites l´ fi (x) y en tal caso ım x→a x→a l´ f (x) = ım x→a l´ f1 (x), . . . , l´ fn (x) . ım ım x→a x→a 1.6. L´ ımites de funciones 37 Para calcular el l´ ımite que tenemos pendiente necesitamos un hecho que a menudo resulta util. Diremos que una funci´n f con valores en un espacio ´ o m´trico est´ acotada si su imagen es un conjunto acotado. e a Teorema 1.73 Sean f , g : A ⊂ X −→ E dos funciones definidas de un espacio topol´gico X en un espacio normado E y sea a ∈ A . Si existe l´ f (x) = 0 y o ım x→a g est´ acotada, entonces existe l´ f (x)g (x) = 0. a ım x→a ´ Demostracion: Si g est´ acotada, existe un M > 0 tal que g (x) ≤ M a para todo x ∈ A. Entonces f (x)g (x) ≤ M f (x) . El hecho de que f tienda a 0, sustituyendo los entornos en E de la definici´n general por bolas abiertas, o queda as´ ı: Para todo > 0 existe un entorno U de a tal que si x ∈ U ∩ A y x = a, entonces f (x) < . Tomamos ahora > 0 y aplicamos este hecho a /M , con lo que si x ∈ U ∩ A y x = a, tenemos que f (x)g (x) ≤ M f (x) < , y esto significa que f g tiende a 0. Ejemplo Se cumple l´ ım (x,y )→(0,0) x2 2 x2 + y2 −1 = 0, En efecto, basta probar que l´ ım (x,y )→(0,0) 2x2 x2 + y 2 = 0, pues el otro sumando, x2 tiende obviamente a 0, por continuidad. Factorizamos x 2x x2 + y 2 . El primer factor tiende a 0 y el segundo est´ acotado, pues se comprueba a f´cilmente que a x −1 ≤ ≤ 1. x2 + y 2 Ahora basta aplicar el teorema anterior. El hecho de que la composici´n de funciones continuas es continua se traduce o ahora en el hecho siguiente: Teorema 1.74 Sea f : X −→ Y y g : Y −→ Z , sea a ∈ X y supongamos que existe l´ f (x) = b ım x→a y que g es continua en b. Entonces g l´ f (x) = l´ g f (x) . ım ım x→a x→a 38 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa ´ Demostracion: Sea U un entorno de g (b). Entonces g −1 [U ] es un entorno de b. Existe un entorno V de a tal que si x ∈ V , x = a, entonces f (x) in g −1 [U ], luego g (f (x)) ∈ U . Por lo tanto se cumple la definici´n de l´ o ımite. Por ejemplo, la continuidad de la ra´ cuadrada implica que ız l´ ım (x,y )→(0,0) 2 |x| x2 + y2 − 1 = 0. Ejercicio: Dar un ejemplo que muestre la falsedad de la afirmaci´n siguiente: Dadas o dos funciones f , g : R −→ R, si existen l´ f (x) = b, l´ g (x) = c entonces existe ım ım x→a x→b tambi´n l´ g (f (x)) = c. Probar que es cierta si f (x) = b para x = a. e ım x→a Limites restringidos El l´ ımite de una funci´n en un punto depende del doo minio de ´sta, por eso es importante lo que ocurre al restringir una funci´n a e o dominios menores. Por ejemplo pensemos en la funci´n f : R −→ R dada por o f (x) = −1 1 si x < 0 si x ≥ 0 Es claro que no tiene l´ ımite en 0, pero s´ lo tienen las funciones f |]−∞,0[ y ı o o f |]0,+∞[ . Si consideramos s´lo la parte de la izquierda de la funci´n, resulta que es constante igual a −1, de donde su l´ ımite es −1. Igualmente el l´ ımite de la parte derecha es 1. Por ello definimos: Definici´n 1.75 Sea f : A ⊂ X −→ Y , B ⊂ A y a ∈ B . Definimos o l´ f (x) = l´ f |B (x). ım ım x→a B x→a Para el caso de funciones definidas sobre subconjuntos de R se define l´ f (x) = xım f (x), ım l´ a → x→a− −∞,a[ l´ f (x) = xım f (x), ım l´ a → x→a+ a,+∞[ y se llaman, respectivamente, l´ ımite por la izquierda y l´ ımite por la derecha de f en a. Tambi´n se les llama l´ e ımites laterales. Su utilidad se debe al teorema siguiente: Teorema 1.76 Sea A un subconjunto de un espacio X y f : A −→ Y . Supongamos que A = B1 ∪ · · · ∪ Bn y que a es un punto de acumulaci´n de todos estos o o ımites xım f (x) para l´ a conjuntos. Entonces existe l´ f (x) si y s´lo si existen los l´ ım → x→a Bi i = 1, . . . , n y todos coinciden. En tal caso f (x) es igual al l´ ımite com´n. u ´ Demostracion: Si existen tales l´ ımites y todos valen L, sea V un entorno de L. Por definici´n existen entornos Ui de a tales que si x ∈ Ui ∩ (A ∩ Bi ) y o x = a, entonces f (x) ∈ V . Si U es la intersecci´n de los conjuntos Ui , entonces o U es un entorno de a y si x ∈ U ∩ A, x = a, existir´ un i tal que x ∈ Bi , luego a ıproco es m´s sencillo. a f (x) ∈ V , es decir, l´ f (x) = L. El rec´ ım x→a 1.6. L´ ımites de funciones Ejemplo 39 Se cumple l´ ım (x,y )→(0,0) 2 x x2 − 1 = 0. + y2 Para comprobarlo calculamos los l´ ımites l´ ım (x,y )→(0,0) x≤0 l´ ım x (x,y )→(0,0) x≥0 x 2 x2 + y2 −1=− 2 x2 + y2 −1= l´ ım (x,y )→(0,0) x≤0 l´ ım (x,y )→(0,0) x≥0 |x| |x| 2 x2 + y2 2 x2 + y2 − 1 = 0, − 1 = 0, y aplicamos el teorema anterior. Ejemplo: la proyecci´n c´nica Veamos ahora un caso en el que nos aparece oo de forma natural el c´lculo de un l´ a ımite. Consideremos de nuevo la esfera S y el cono C formado al unir el polo sur (0, 0 − 1) con los puntos del ecuador de S . La figura muestra un corte transversal de S y C . Vamos a probar que S \ {N } es homeomorfo a una porci´n de C o mediante la aplicaci´n que traslada radialmente o cada punto. Un punto (x, y, z ) de C est´ en el segmento que une el punto (0, 0, −1) con a un punto (a, b, 0), donde a2 + b2 = 1. Por tanto ser´ de la forma a (x, y, z ) = (0, 0, −1) + λ(a, b, −1), con λ ∈ R. Entonces λ = z + 1, luego x = a(z + 1), y = b(z + 1). De aqu´ se sigue que ı z + 1 = ± x2 + y 2 . Rec´ ıprocamente, si un punto cumple esta ecuaci´n, si z = −1 ha de ser o (0, 0, −1), que est´ en C , y si z = −1, entonces los valores a λ = z + 1, a= x , z+1 b= y , z+1 permiten expresar a (x, y, z ) en la forma param´trica anterior, luego se trata de e un punto de C . Nos interesa s´lo la porci´n de C formada por los puntos con o o altura entre −1 y 1, por lo que definimos C = (x, y, z ) ∈ R3 | z + 1 = x2 + y 2 , −1 ≤ z < 1 . 40 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Notar que los puntos con z = 1 no est´n en C . El homeomorfismo que busa camos ha de transformar cada punto (x, y, z ) de S \{N } en un punto (λx, λy, z ), donde λ ≥ 0 es el adecuado para llegar a C . La condici´n es o (λx)2 + (λy )2 = z + 1 x2 + y 2 = y, teniendo en cuenta que los puntos de la esfera cumplen 1+z λ= x2 + y2 √ 1 − z2, 1+z . 1−z = Por lo tanto f : S \ {N } −→ C ser´ la aplicaci´n dada por a o 1+z x, 1−z f (x, y, z ) = 1+z y, z 1−z . La inversa se calcula sin dificultad a partir de esta expresi´n: o 1−z x, 1+z g (x, y, z ) = 1−z y, z 1+z si (x, y, z ) = (0, 0, −1), , y por supuesto g (0, 0, −1) = (0, 0, −1). Obviamente f es continua. Lo mismo vale para g en todos los puntos salvo en (0, 0, −1). Para probar la continuidad en este punto hacemos uso de la igualdad 1 + z = x2 + y 2 , que cumplen todos los puntos de C , la cual nos permite expresar g como g (x, y, z ) = 2 x x2 + y 2 2 − 1, y x2 + y 2 − 1, z . Basta probar que l´ ım (x,y,z )→(0,0,−1) x 2 x2 + y2 − 1, y 2 x2 + y2 − 1, z = (0, 0, −1), pero los dos primeros l´ ımites son el que hemos calculado como ejemplo a lo largo de la secci´n. o As´ pues, f es un homeomorfismo entre S \ {N } y C . Ahora bien, es inı mediato comprobar que la proyecci´n sobre el plano XY es un homeomoro fismo entre C y la bola abierta de centro 0 y radio 2 (la aplicaci´n inversa es o (x, y ) → (x, y, −1 + x2 + y 2 ), claramente continua), con lo que la composici´n o h(x, y, z ) = 1+z x, 1−z 1+z y. 1−z 1.6. L´ ımites de funciones 41 es un homeomorfismo entre S \ {N } y dicha bola. M´s a´n, si componemos au la inversa de la proyecci´n estereogr´fica con esta aplicaci´n obtenemos un hoo a o meomorfismo entre R2 y el disco abierto. Es f´cil ver que la composici´n es a o t(x, y ) = 2x x2 + y 2 2y x2 + y 2 , x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 . Si quitamos los doses obtenemos un homeomorfismo t : R2 −→ D, donde D es la bola abierta (eucl´ ıdea) de centro 0 y radio 1. Concretamente: t(x, y ) = x x2 + y 2 y x2 + y 2 , x2 + y 2 + 1 x2 + y 2 + 1 . Si restringimos esta aplicaci´n a R, es decir, a los puntos (x, 0) obtenemos o un homeomorfismo entre R y el intervalo ]−1, 1[. Concretamente t(x) = x|x| . x2 + 1 He aqu´ su gr´fica: ı a 0.75 0.5 0.25 -2 -1 1 -0.25 -0.5 -0.75 2 Si lo restringimos a ]0, +∞[ obtenemos un homeomorfismo entre este intervalo y ]0, 1[. A saber: x2 t(x) = 2 . x +1 A partir de aqu´ es f´cil ver que dos intervalos abiertos cualesquiera (acotados ı a o no) son homeomorfos. L´ ımites infinitos Consideremos ahora l´ ımites de funciones con valores en R = R ∪ {−∞, +∞} o en C∞ = C ∪ {∞}. Recordando que los entornos b´sicos a de +∞ son los intervalos ]M, +∞], es claro que l´ f (x) = +∞ ım x→a significa que para todo M > 0 existe un entorno U de a tal que si x ∈ U , x = a est´ en el dominio de f , entonces f (x) > M . Similarmente ocurre con −∞. a Que el l´ ımite valga ∞ significa que para todo M > 0 existe un entorno U de a tal que si x ∈ U , x = a est´ en el dominio de f , entonces |f (x)| > M . a Es f´cil probar que los teoremas del estilo de “el l´ a ımite de la suma es la suma de los l´ ımites” etc. valen tambi´n en los casos siguientes: e +∞ + (+∞) = +∞, −∞ + (−∞) = −∞, 42 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa +∞ + a = +∞, −∞ + a = −∞, (+∞)(+∞) = +∞, si a > 0, ∞ + a = ∞, (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)a = +∞, ∞ ∞ = ∞. (−∞)a = −∞; (+∞)a = −∞, (−∞)a = +∞. a a a ∞ a = ∞, = = 0, = ∞. ±∞ ∞ 0 si a < 0, Si a = 0, Por ejemplo, la igualdad +∞ + (+∞) = +∞ es una forma de expresar que la suma de dos funciones f , g : A ⊂ X −→ R que tienden a +∞ en un punto e a ∈ A , tiende tambi´n a +∞. La prueba es sencilla: dado un M > 0 existen entornos U y V de a tales que si x ∈ U ∩ A entonces f (x) > M/2 y si x ∈ V ∩ A entonces g (x) > M/2, con lo que si x ∈ U ∩ V ∩ A entonces f (x) + g (x) > M , luego se cumple la definici´n de l´ o ımite. Similarmente se prueban todas las dem´s. a C´lculo de l´ a ımites Estudiamos ahora los l´ ımites m´s simples y frecuentes. a Comencemos con los l´ ımites en infinito de los polinomios. Obviamente l´ ım x = ±∞. x→±∞ Aplicando n veces la regla (+∞)(+∞) = +∞ vemos que si n > 0 entonces l´ ım xn = +∞. x→+∞ El l´ ımite en −∞ ser´ obviamente (−1)n ∞. Si n < 0 usamos la regla 1/ ±∞ = 0 a y si n = 0 tenemos que x0 es la constante 1, luego en total: +∞ si n > 0, 1 si n = 0, l´ ım xn = x→+∞ 0 si n < 0. El l´ ımite en −∞ difiere s´lo en el primer caso, de forma obvia. o Para calcular el l´ ımite de un polinomio multiplicamos y dividimos por la potencia de x de mayor grado: l´ ım 8x5 − 3x4 + x3 + 2x − 5 = l´ ım x5 8 − x→+∞ x→+∞ 3 2 5 1 + 4− 5 + x x2 x x En general, si p(x) ∈ R[x] no es constante, se cumple = +∞. l´ ım P (x) = ±∞, x→±∞ donde el signo depende en forma obvia del signo del coeficiente director de P y de la paridad del grado si tendemos a −∞. En C∞ todos los polinomios no constantes tienen l´ ımite ∞. En particular vemos que, a diferencia de casos como 1/∞ o +∞ + ∞, no hay una regla general para calcular un l´ ımite de la forma +∞ − ∞. En efecto, 1.7. Convergencia de sucesiones 43 los tres l´ ımites siguientes son de este tipo y cada uno da un resultado distinto. Por ello se dice que +∞ − ∞ es una indeterminaci´n. o l´ ım x5 − x2 = +∞, x→+∞ l´ ım x2 − x5 = −∞, x→+∞ l´ (x + 2) − (x + 1) = 1. ım x→+∞ Nos ocupamos ahora de los l´ ımites de fracciones algebraicas (cocientes de polinomios). El ejemplo siguiente ilustra el caso general: 3 1 1 6 − x + x3 + x4 6x4 − 3x3 + x + 1 6 = = 3. = l´ ım x→+∞ 2x4 + x2 − 2x + 2 x→+∞ 2 + 1 − 2 + 2 2 x2 x3 x4 l´ ım Es claro que el l´ ımite en ±∞ del cociente de dos polinomios del mismo grado es el cociente de los t´rminos directores. Si los grados son distintos, al dividir e entre la potencia de mayor grado obtenemos 0 si el grado del denominador es mayor y ±∞ si es mayor el del numerador, donde el signo se calcula de forma obvia. Esto vale igualmente (salvo lo dicho de los signos) para l´ ımites en C∞ . Vemos, pues que el caso ∞/∞ es tambi´n una indeterminaci´n. e o Por ejemplo, antes hemos probado que la funci´n o t(x) = x|x| x2 + 1 es un homeomorfismo entre R y el intervalo ]−1, 1[. Ahora es claro que l´ ım = ±1, x→±∞ luego si definimos t(±∞) = ±1 tenemos una biyecci´n continua t : R −→ [−1, 1]. o En el cap´ ıtulo siguiente veremos que es un homeomorfismo. Ejercicio: Calcular t−1 y probar que es continua. 1.7 Convergencia de sucesiones Si los l´ ımites de funciones tienen especial inter´s en el c´lculo diferencial, en e a topolog´ son m´s importantes los l´ ıa a ımites de sucesiones, que en realidad son un caso particular de los primeros. Definici´n 1.77 Una sucesi´n en un conjunto X es una aplicaci´n a : N −→ X . o o o Se suele representar {an }∞ o, m´s gr´ficamente: a a n=0 a0 , a1 , a2 , a3 , ... an , ... En realidad, lo unico que nos interesa de una sucesi´n es el orden en el ´ o que se suceden sus elementos, y no la numeraci´n que ´stos reciben. Por ello o e en la pr´ctica admitiremos sucesiones que comiencen en ´ a ındices mayores de 0. Por ejemplo, la sucesi´n {n}∞ y la sucesi´n {n − 7}∞ son conjuntistamente o o n=0 n=0 44 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa distintas, pero para nosotros ser´n la misma sucesi´n, la sucesi´n de los n´meros a o o u naturales. Por simplicidad, en teor´ hablaremos siempre de sucesiones {an }∞ , aunıa n=0 que en la pr´ctica comenzaremos a partir del ´ a ındice que m´s convenga. a La raz´n por la que estas diferencias no nos van a afectar es que s´lo nos van o o a interesar las propiedades finales de las sucesiones. Diremos que una sucesi´n o {an }∞ cumple finalmente una propiedad si existe un n0 ∈ N tal que an cumple n=0 la propiedad para todo n ≥ n0 . Por ejemplo, una sucesi´n es constante si todos sus t´rminos son iguales a o e un cierto elemento x. Una sucesi´n es finalmente constante si es constante a o partir de un t´rmino. La sucesi´n siguiente es finalmente igual a 5: e o 3, 1, −2, 8, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... Una subsucesi´n de {an }∞ es una sucesi´n de la forma {ank }∞ , donde o o n=0 k=0 o u {nk }∞ es una sucesi´n estrictamente creciente de n´meros naturales, es decir, k=0 si k < k , entonces nk < nk . Una observaci´n util es que en estas condiciones siempre se cumple k ≤ nk . o´ Se prueba f´cilmente por inducci´n sobre k . a o Definici´n 1.78 Sea X un espacio topol´gico, l ∈ X y {an }∞ una sucesi´n o o o n=0 en X . Diremos que an converge a l si est´ finalmente en todo entorno de l, o a sea, si para cada entorno V de l existe un n0 ∈ N tal que an ∈ V para n ≥ n0 . As´ pues, una sucesi´n converge a un punto l si est´ finalmente alrededor ı o a de l, es decir, si todos sus t´rminos salvo un n´mero finito est´n en cualquier e u a entorno de l prefijado. Si X es un espacio de Hausdorff y {an }∞ converge en X , entonces el punto n=0 al cual converge es unico, pues puntos distintos tienen entornos disjuntos, y una ´ sucesi´n no puede estar finalmente en dos conjuntos disjuntos. Representaremos o por l´ an ım n al unico l´ ´ ımite de la sucesi´n o exista. {an }∞ n=0 en un espacio de Hausdorff, cuando ´ste e Veamos ahora que esta noci´n de l´ o ımite es un caso particular del que hemos estudiado en la secci´n anterior. Consideremos N∞ = N ∪ {∞} con la topolog´ o ıa a ıa inducida desde C∞ . Es f´cil ver que la topolog´ en N es la discreta y una base de entornos de ∞ la forman los conjuntos {n ∈ N | n ≥ n0 } ∪ {∞}. En estos o t´rminos, una sucesi´n {an }∞ converge a un punto l si y s´lo si para todo e o n=0 entorno U de l existe un entorno V de ∞ tal que si n ∈ V , n = ∞ entonces an ∈ U , es decir, si y s´lo si la sucesi´n, vista como funci´n N −→ X converge o o o a l cuando n tiende a ∞. En tal caso l´ an = l´ an . ım ım n n→∞ Sabiendo esto, todos los resultados generales para l´ ımites de funciones valen para sucesiones, por ejemplo, el l´ ımite de la suma de dos sucesiones de n´meros u 1.7. Convergencia de sucesiones 45 reales es la suma de los l´ ımites, etc. Veamos ahora algunos hechos espec´ ıficos sobre sucesiones: Una sucesi´n converge si y s´lo si converge finalmente, es decir, o o {an }∞ converge a l si y s´lo si la sucesi´n {an }∞ k converge a l. o o n=0 n= En particular, las sucesiones finalmente constantes convergen. (Esto es consecuencia de que el l´ ımite de una funci´n en un punto — el o punto ∞ en este caso— depende s´lo del comportamiento de la funci´n en un o o entorno del punto). Si A ⊂ X , {an }∞ ⊂ A y l ∈ A, entonces {an }∞ converge a l en n=0 n=0 A si y s´lo si converge a l en X . o (Pues los entornos de l en A son las intersecciones con A de los entornos de l en X y, como la sucesi´n est´ en A, es equivalente que est´ finalmente en un o a e entorno de l en A o que est´ finalmente en un entorno de l en X .) e Este hecho nos dice que la convergencia depende exclusivamente de la sucesi´n y de su l´ o ımite, y no del espacio en el que los consideremos (siempre que no cambiemos de topolog´ claro est´). Sin embargo, tambi´n de aqu´ se desprende ıa, a e ı que una sucesi´n convergente deja de serlo si eliminamos su l´ o ımite. Por ejemplo, la sucesi´n {1/n}∞ no converge en el espacio ]0, 1], pues si convergiera a un o n=0 punto l, tendr´ ıamos que en R deber´ converger a la vez a l y a 0. ıa Si una sucesi´n converge a un punto l, entonces todas sus subsuceo siones convergen a l. Pues si {an }∞ converge a l y {ank }∞ es una subsucesi´n, para todo o n=0 k=0 entorno U de l existe un n0 tal que si n ≥ n0 se cumple an ∈ U , pero si k ≥ n0 entonces nk ≥ k ≥ n0 , luego ank ∈ U . No podemos continuar nuestro estudio de las sucesiones sin introducir un nuevo concepto. Sucede que las sucesiones no se comportan adecuadamente en todos los espacios topol´gicos, sino s´lo en aquellos que cumplen la siguiente o o propiedad adicional, por lo dem´s muy frecuente: a Definici´n 1.79 Un espacio X cumple el primer axioma de numerabilidad o (1AN) si para todo punto x ∈ X existe una base de entornos de x de la forma {Vn }∞ . n=0 Esta propiedad la tienen todos los espacios m´tricos, pues si x es un punto e de un espacio m´trico, una base de entornos de x la forman los conjuntos e {B1/n (x)}∞ . As´ pues, todos los espacios que manejamos cumplen 1AN. En ı n=1 el caso de C∞ , en lugar de considerar la m´trica inducida desde la esfera, es e m´s f´cil considerar directamente la base de entornos de ∞ formada por los aa conjuntos siguientes: En = {z ∈ C |z | > n} ∪ {∞}, para n = 1, 2, . . . 46 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa En R, una base de entornos de +∞ es ]n, +∞] }∞ y una base de entornos n=0 de −∞ es [−∞, n[ }∞ , luego este espacio tambi´n cumple 1AN. e n=0 Observemos que si X es un espacio que cumple 1AN y x ∈ X , podemos tomar una base de entornos de x de la forma {Vn }∞ que cumpla adem´s a n=0 V0 ⊃ V1 ⊃ V2 ⊃ V3 ⊃ ... Si una base dada {Wn }∞ no lo cumple, tomamos Vn = W0 ∩ · · · ∩ Wn y as´ ı n=0 tenemos las inclusiones indicadas. Todas las bases de entornos de los ejemplos que acabamos de dar son decrecientes en este sentido. Consideremos ahora esta sucesi´n: o 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, ... Es obvio que no es convergente, pero sin duda hay dos puntos “especiales” para esta sucesi´n, el 1 y el −1. Quiz´ el lector se sienta tentado de afirmar que o a se trata de una sucesi´n con dos l´ o ımites, pero nuestra definici´n de l´ o ımite no admite esa posibilidad. Vamos a dar una definici´n que describa esta situaci´n. o o Definici´n 1.80 Un punto x de un espacio topol´gico X es un punto adherente o o de una sucesi´n {an }∞ en X si para cada entorno V de x y cada n´mero o u n=0 natural n existe un n´mero natural m ≥ n tal que am ∈ V . u Es decir, si la sucesi´n contiene puntos arbitrariamente lejanos en cualquier o entorno de x o, si se prefiere, si la sucesi´n contiene infinitos puntos en cada o entorno de x. En estos t´rminos, la sucesi´n {(−1)n }∞ que hemos puesto como ejemplo e o n=0 tiene exactamente dos puntos adherentes, 1 y −1. Teorema 1.81 Sea X un espacio 1AN. Un punto x ∈ X es un punto adherente de una sucesi´n {an }∞ si y s´lo si ´sta contiene una subsucesi´n que converge o o e o n=0 a x. ´ Demostracion: Si x es un punto adherente de la sucesi´n, sea {Vn }∞ o n=0 una base decreciente de entornos de x. Existe un punto an0 ∈ V0 . Existe un natural n1 ≥ n0 + 1 tal que an1 ∈ V1 . Existe un natural n2 ≥ n1 + 1 tal que o an2 ∈ V2 . De este modo obtenemos una subsucesi´n {ank }∞ tal que cada k=0 ank ∈ Vk y, como la sucesi´n de entornos es decreciente, en realidad Vk contiene o todos los t´rminos de la subsucesi´n posteriores a ank , luego la subsucesi´n que e o o hemos obtenido est´ finalmente en cada entorno Vk , es decir, converge a x. a Rec´ ıprocamente, si hay una subsucesi´n que converge a x, dicha subsucesi´n o o est´ finalmente en cualquier entorno de x, luego dicho entorno contiene infinitos a t´rminos de la sucesi´n dada. e o En particular vemos que una sucesi´n convergente no tiene m´s punto ado a herente que su l´ ımite. La continuidad de funciones puede caracterizarse en t´rminos de sucesiones: e 1.8. Sucesiones y series num´ricas e 47 Teorema 1.82 Sea f : X −→ Y una aplicaci´n entre espacios topol´gicos y o o supongamos que X cumple 1AN. Sea x ∈ X . Entonces f es continua en x si y s´lo si para cada sucesi´n {an }∞ ⊂ X tal que l´ an = x, se cumple o o ım n=0 n l´ f (an ) = f (x). ım n ´ Demostracion: Supongamos que f es continua en x. Sea V un entorno de f (x). Entonces f −1 [V ] es un entorno de x y la sucesi´n {an }∞ est´ finalmente o a n=0 en f −1 [V ], luego {f (an )}∞ est´ finalmente en V , o sea, l´ f (an ) = f (x). a ım n=0 n Rec´ ıprocamente, supongamos que f no es continua en x. Entonces existe un entorno V de f (x) tal que f −1 [V ] no es entorno de x. Sea {Vn }∞ una n=0 base decreciente de entornos de x. Para cada natural n, no puede ocurrir que Vn ⊂ f −1 [V ], luego existe un punto an ∈ Vn tal que f (an ) ∈ V . / Como la base es decreciente, todos los t´rminos posteriores a an est´n en e a o a Vn , luego la sucesi´n {an }∞ est´ finalmente en cada Vn , con lo que converge n=0 a x. Sin embargo la sucesi´n {f (an )}∞ no tiene ning´n t´rmino en V , luego o ue n=0 no converge a f (x). Los puntos adherentes se caracterizan por sucesiones: Teorema 1.83 Sea X un espacio topol´gico que cumpla 1AN. Sea A ⊂ X . Eno tonces A est´ formado por los l´ a ımites de las sucesiones convergentes contenidas en A. ´ Demostracion: Si l es el l´ ımite de una sucesi´n contenida en A, entonces o todo entorno de l contiene puntos de la sucesi´n, es decir, puntos de A, luego o l ∈ A. Rec´ ıprocamente, si x ∈ A, tomamos una base decreciente {Vn }∞ de enn=0 tornos abiertos de x. Como Vn ∩ A = ∅, existe un an ∈ Vn ∩ A y la sucesi´n o ı a {an }∞ as´ construida converge a x, y est´ contenida en A. n=0 En particular, un conjunto A es cerrado si y s´lo s´ el l´ oı ımite de toda sucesi´n o convergente contenida en A, est´ en A, es decir, si no es posible “salir” de A a mediante sucesiones. Veamos c´mo puede aplicarse este hecho: supongamos que una sucesi´n de o o n´meros reales cumple l´ an = l y an ≤ 5 para todo n. Entonces la sucesi´n u ım o n est´ contenida en el intervalo cerrado ]−∞, 5], luego su l´ a ımite tambi´n, es decir, e podemos concluir que l ≤ 5. Ejercicio: Probar que si dos sucesiones convergentes de n´ meros reales cumplen u an ≤ bn para todo n, entonces l´ an ≤ l´ bn . ım ım n 1.8 n Sucesiones y series num´ricas e Vamos a estudiar algunos casos concretos de l´ ımites de sucesiones en K. Consideremos en primer lugar la sucesi´n {rn }∞ , donde r ∈ R. Vamos a o n=0 calcular su l´ ımite. 48 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Supongamos primero que r > 1. Sea s = r − 1 > 0. Entonces r = 1 + s y por el teorema del binomio de Newton n rn = (1 + s)n = 1 + ns + k=2 nk s > ns. k Sabemos que l´ ns = +∞. Del hecho de que {ns}∞ est´ finalmente en ım e n=0 n cada entorno b´sico de +∞, de la forma ]M, +∞], se sigue claramente que lo a mismo le sucede a {rn }∞ , luego si r > 1 concluimos que l´ rn = +∞. ım n=0 n n Si r = 1 es obvio que l´ r = 1. ım n Si 0 < r < 1 entonces l´ rn = l´ ım ım n n 1 1 = = 0. (1/r)n ∞ Si r = 0 es obvio que l´ rn = 0. ım n En lugar de analizar ahora el caso r < 0 consideraremos en general r ∈ K. Si |r| > 1, entonces l´ |rn | = l´ |r|n = +∞, de donde es f´cil deducir a ım ım a n n partir de las meras definiciones que l´ rn = ∞. ım n Si |r| < 1, entonces l´ |rn | = 0, de donde tambi´n se sigue que l´ rn = 0. ım e ım n n Puede probarse que si |r| = 1 el l´ ımite no existe salvo en el caso r = 1. Por ejemplo, ya hemos visto que l´ (−1)n no existe, pues se trata de la sucesi´n ım o n 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . Definici´n 1.84 Una sucesi´n {an }∞ es mon´tona creciente si m < n implica o o o n=0 o am ≤ an . La sucesi´n es estrictamente creciente si cuando m < n entonces am < an . Igualmente se definen las sucesiones mon´tonas decrecientes y las o sucesiones estrictamente decrecientes. Una sucesi´n es mon´tona si cumple o o cualquiera de estas cuatro propiedades. El inter´s de las sucesiones mon´tonas estriba en que podemos probar que e o son convergentes sin necesidad de calcular su l´ ımite. Esta clase de resultados de convergencia proporcionan la t´cnica m´s importante para definir n´meros e a u reales, expres´ndolos como l´ a ımites de sucesiones sencillas. Teorema 1.85 Toda sucesi´n mon´tona creciente converge a su supremo en o o R, y toda sucesi´n mon´tona decreciente converge a su ´ o o ınfimo en R. ´ Demostracion: Por supremo de una sucesi´n {an }∞ entendemos el suo n=0 premo del conjunto {an | n ∈ N}. Sea s este supremo y supongamos que es finito. Entonces un entorno b´sico de s es de la forma ]s − , s + [, para un a > 0. Como s − no es una cota superior de la sucesi´n, existe un natural m o tal que s − < am ≤ s y, por la monoton´ s − < an ≤ s para todo n ≥ m, ıa, es decir, que la sucesi´n est´ finalmente en el entorno. Una ligera modificaci´n o a o nos da el mismo resultado si s = +∞ o si la sucesi´n es decreciente. o Prestaremos ahora atenci´n a un tipo especial de sucesiones de particular o inter´s. Se trata de las llamadas series num´ricas. e e 1.8. Sucesiones y series num´ricas e 49 Definici´n 1.86 Llamaremos serie determinada por una sucesi´n {an }∞ en o o n=0 K a la sucesi´n o an n=0 mente, por a0 ∞ k + a1 . La representaremos por an o, m´s gr´ficaa a n=0 k=0 + ∞ a2 + a3 + a4 + a5 + ··· k Los t´rminos e an se llaman sumas parciales de la serie. Si es convergente, su n=0 ∞ l´ ımite se llama suma de la serie y se representa tambi´n por e an . Esto nunca n=0 lleva a confusi´n. o As´ pues, una serie es una suma con infinitos sumandos. Una serie de ı t´rminos positivos es, como su nombre indica, una serie en R tal que todos los e t´rminos an son positivos. Vista como sucesi´n, una serie de t´rminos positivos e o e es estrictamente creciente, luego converge en R. De todos modos es costumbre llamar divergente a una serie cuya suma sea +∞. Una progresi´n geom´trica es una sucesi´n en la que cada t´rmino se obtiene o e o e del anterior multiplic´ndolo por un n´mero fijo llamado raz´n. Por lo tanto, a u o si el primer t´rmino de una progresi´n geom´trica es a0 y la raz´n es r, los e o e o t´rminos siguientes ser´n a1 = a0 r, a2 = a0 r2 , a3 = a0 r3 , . . . y, en general, e a an = a0 rn . Una serie geom´trica es una serie asociada a una progresi´n geom´trica, o e o e ∞ sea, una serie de la forma arn . n=0 Una suma parcial es de la forma a(1 + r + r2 + · · · + rn ). Es conocida la identidad rn − 1 = (r − 1)(1 + r + r2 + · · · + rn−1 ), luego si r = 1 tenemos que a(1 + r + r2 + · · · + rn ) = y de aqu´ ı, a − arn+1 arn+1 − a = , r−1 1−r ∞ arn = l´ ım n n=1 a − arn+1 . 1−r Si |r| > 1 sabemos que l´ arn+1 = ∞, de donde se sigue que la serie diverge. ım n Por otro lado, si |r| < 1, entonces l´ arn+1 = 0, luego ım n ∞ arn = n=1 a . 1−r 50 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Por ejemplo: 1 111 1 1 +++ + + ··· = 2 2 4 8 16 32 1− 1 2 = 1. As´ pues, las series geom´tricas convergen cuando la raz´n tiene m´dulo ı e o o menor que 1, y su suma es el primer t´rmino dividido entre 1 menos la raz´n. e o Ejemplo: expansiones decimales Es conocido que todo n´mero natural n u puede expresarse de la forma n = ai 10i , donde a0 , a1 , . . . , ar son n´meros u r i=1 naturales menores que 10. Adem´s, para n = 0 la expresi´n es unica si exigimos a o ´ ar = 0. De hecho usamos esta expresi´n para nombrar a cada n´mero natural, o u por ejemplo 4.275 = 4 · 103 + 2 · 102 + 7 · 101 + 5 · 100 . M´s en general, dado un n´mero natural k ≥ 2, todo n´mero natural puede a u u r expresarse en la forma ai k i , donde a0 , a1 , . . . , ar son n´meros naturales meu i=0 nores que k . Vamos a extender esta notaci´n para nombrar a ciertos n´meros racionales. o u En lo sucesivo, una expresi´n como ´sta: 23, 472 representar´ al n´mero o e a u 2 · 101 + 3 · 100 + 4 · 10−1 + 7 · 10−2 + 2 · 10−3 . Es decir, del mismo modo que el 2 se interpreta multiplicado por 10, el primer n´mero a la derecha de la coma se considerar´ dividido entre 10, el u a segundo entre 100, etc. De este modo, los n´meros u 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1 dividen al intervalo unidad en 10 partes iguales. Cada una de estas partes se divide a su vez en 10 partes a˜adiendo una cifra m´s, por ejemplo: n a 0, 3 0, 31 0, 32 0, 33 0, 34 0, 35 0, 36 0, 37 0, 38 0, 39 0, 4 es una divisi´n del intervalo [0, 3 , 0, 4] en 10 partes iguales. o Por supuesto podemos usar otras bases diferentes de 10. Por ejemplo, en base 10 tenemos que 1/2 = 5/10 = 0, 5. En base dos, en cambio, 1/2 = 0, 1. Los n´meros racionales expresables de esta forma se llaman n´ meros deciu u males exactos. Tomemos ahora un n´mero natural k ≥ 2 y sea {an }∞ una sucesi´n de u o n=1 n´meros naturales menores que k . Entonces u r r an k −n ≤ (k − 1) n=1 k −n < (k − 1) n=1 ∞ k −n = (k − 1) n=1 Por lo tanto, el supremo de las sumas parciales de igual que 1, luego 0 ≤ ∞ n=1 ∞ n=1 an k −n ≤ 1. 1 k 1− 1 k = 1. an k −n es menor o 1.8. Sucesiones y series num´ricas e 51 Esto nos permite extender nuestros desarrollos decimales hasta admitir un n´mero infinito de cifras. Por ejemplo: 532, 11111. . . representa al n´mero u u 5 · 102 + 3 · 101 + 2 · 100 + 1 · 10−1 + 1 · 10−2 + 1 · 10−3 + 1 · 10−4 + · · · Como ∞ 10−n = 1/9, tenemos que 532, 11111. . . = 532 + 1/9. n=1 Notar que las sucesiones finalmente nulas nos dan los decimales exactos: 3, 67 = 3, 6700000. . . El inter´s de usar infinitas cifras decimales es que todo n´mero real positivo e u es expresable mediante uno de estos desarrollos, es decir, si k es un n´mero u natural mayor o igual que 2, todo n´mero real positivo x se puede escribir como u ∞ r bn k n + x= n=0 an k −n , n=1 donde los coeficientes son n´meros naturales menores que k . u √ Vamos a probarlo para k = 10 y x = 2, aunque el procedimiento es comr pletamente general. La parte bn k n del desarrollo buscado no es sino el n=0 desarrollo decimal de la parte entera de x. En nuestro caso, como 1 < 2 < 4, √ resulta que 1 < 2 < 2, luego la parte entera es 1. Dividimos el intervalo [n, n + 1] en el que se encuentra x en 10 partes, que en nuestro caso son 1 1, 1 1, 2 1, 3 Nuestro n´mero x debe u como (1, 0)2 (1, 1)2 (1, 2)2 (1, 3)2 (1, 4)2 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9 2 estar en uno de los 10 intervalos. En nuestro caso, (1, 5)2 = 2, 25 (1, 6)2 = 2, 56 (1, 7)2 = 2, 89 (1, 8)2 = 3, 24 (1, 9)2 = 3, 61 √ resulta que (1, 4)2 < 2 < (1, 5)2 , luego 1, 4 < 2 < 1, 5. Procediendo del mismo modo podemos ir obteniendo las desigualdades siguientes: √ 1 < √2 < 2 1, 4 < √2 < 1, 5 1, 41 < √2 < 1, 42 1, 414 < 2 < 1, 415 ··· ··· ··· = = = = = 1 1, 21 1, 44 1, 69 1, 96 En general, la n-sima cifra se obtiene como la m´xima que hace que el a decimal exacto correspondiente sea menor o igual que x. Ahora probemos que la sucesi´n as´ obtenida converge a x, es decir, probemos que o ı √ 2 = 1, 4142135623730950488016887. . . 52 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa No olvidemos que S = 1, 4142135623730950488016887. . . es por definici´n la o suma de una serie cuyas sumas parciales son 1; 1, 4; 1, √ 1, 414. . . 41; Por construcci´n cada suma parcial es menor que √ 2, luego la suma de la o serie, que es el supremo de dichas sumas, cumple S ≤ 2. √ √ Ahora bien, tenemos que 1 ≤ S √ 2 ≤ 2, luego √ distancia | 2 − S | ≤ ≤ la 5 |2 − 1| = 1. Igualmente 1, 4 ≤ S ≤ 2 ≤ 1, 5, luego | 2 − S | ≤ |1,√ − 1, 4| = √ 0, 1 = 1/10 y, del mismo modo, 1, 41 ≤ S ≤ 2 ≤ 1, 42, luego | 2 − S | ≤ |1, 42 − 1, 41| = 0, 01 = 1/100. √ En general concluimos que 0 ≤ | 2 − S | ≤ 10−n para todo n´mero natural √u − n. Como la sucesi´n 10−n tiende a 0 concluimos que 0 ≤ | 2 √ S | ≤ para o √ todo > 0, lo cual s´lo es posible si | 2 − S | = 0, o sea, si S = 2. o Esto prueba tambi´n que al truncar un n´mero real (es decir, al quedarnos e u con un n´mero finito de sus decimales) obtenemos una aproximaci´n tanto mejor u o cuantas m´s cifras conservemos. Por ejemplo, el n´mero racional 1, 4142 no es a u √ √ 2, pero se diferencia de 2 en menos de 1/10000. Su cuadrado no es 2, obviamente, pero es 1, 99996164, que dista de 2 menos de 1/10000. En muchas ocasiones y a efectos pr´cticos esto es m´s que suficiente. a a Es importante notar que los desarrollos no son unicos, pues por ejemplo es ´ claro que 1 = 0, 99999. . . ; 0, 1 = 0, 099999. . . ; 0, 01 = 0, 0099999. . . En general, si una sucesi´n {an }∞ es finalmente igual a k − 1 (digamos a o n=1 partir de an ), entonces 0, a1 a2 . . . an−1 (k − 1)(k − 1)(k − 1). . . = 0, a1 a2 . . . an−2 (an−1 + 1), pues ∞ 0, a1 a2 . . . an−1 (k − 1)(k − 1)(k − 1). . . = 0, a1 a2 . . . an−1 + k−1 kr r =n 1 = 0, a1 a2 . . . an−2 (an−1 + 1). k n−1 O sea, toda expresi´n finalmente igual a k − 1 admite una expresi´n exacta o o sumando 1 a la cifra anterior al primer k − 1 de la cola constante. = 0, a1 a2 . . . an−1 + Si no admitimos sucesiones finalmente iguales a k − 1 el desarrollo es unico. ´ En efecto, supongamos que 0, a1 a2 . . . = 0, b1 b2 . . . Sea an = bn la primera cifra diferente. Digamos que an < bn . Tenemos que ∞ 0, a1 a2 . . . an−1 + br k −r = 0, a1 a2 . . . an − 1 + r =n ∞ ar k −r , r =n luego ∞ ∞ ∞ bn an an an 1 + br k −r = n + ar k −r < n + (k − 1)k −r = n + n . k n r=n+1 k k k k r =n+1 r =n+1 1.8. Sucesiones y series num´ricas e 53 Notar que la desigualdad es estricta porque no todos los ar son iguales a k − 1 (no aceptamos desarrollos finalmente iguales a k − 1). Por lo tanto bn < an + 1, o o sea, bn ≤ an , contradicci´n. El algoritmo de Euclides para dividir n´meros naturales es v´lido para calcuu a lar el desarrollo decimal de cualquier n´mero racional: u 1, 0 0 0 0 0 0 7 10 0, 1 4 2 8 4 30 20 60 30 2 As´ pues, 1/7 = 0, 1428428428428. . . La raz´n por la que el algoritmo es ı o v´lido es que los c´lculos que realizamos pueden expresarse de un modo menos a a pr´ctico, pero conceptualmente m´s claro, de la forma siguiente: a a 1 7 = = 1 1 10 1 3 1 1 30 =0+ · =0+ · 1+ =0+ · · 7 10 7 10 7 10 100 7 1 1 2 1 1 1 20 0+ · · 4+ =0+ · ·4+ · = ··· 10 100 7 10 100 1.000 7 0+ Una consecuencia importante es que, como los restos posibles son un n´mero u finito, tras un n´mero finito de pasos hemos de obtener un resto ya obtenido u previamente, y como cada cifra del cociente depende exclusivamente del ultimo ´ resto, resulta que las cifras se repiten c´ ıclicamente. En el caso de 1/7 el grupo de cifras que se repite es 428. Para indicar esto se suele usar la notaci´n 1/7 = o 0, 14 428. El bloque 428 se suele llamar per´ ıodo del n´mero. El bloque de cifras deciu males previas al per´ ıodo (que puede no existir) se llama anteper´ ıodo (1 en este caso), luego en la expresi´n decimal de un n´mero racional podemos distinguir o u la parte entera, el anteper´ ıodo y el per´ ıodo. Rec´ ıprocamente, todo n´mero cuya expresi´n decimal sea de esta forma es u o un n´mero racional. Ve´moslo con un ejemplo. r = 37, 195 513. Vamos a u a encontrar una fracci´n igual a r. El m´todo es general. Multiplicamos por un o e 1 seguido de tantos ceros como cifras hay en el per´ ıodo m´s el anteper´ a ıodo: (100.000)r = 3.719.513, 513 . Le restamos r multiplicado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras hay en el anteper´ ıodo: (1.000.000)r − (1.000)r = 3.719.513 + 0, 513 −3.719 − 0, 513= 3.715.794. Por consiguiente r= 3.715.794 . 999.000 54 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Un problema que surge a menudo es el de determinar si una serie dada an es o no convergente. Lo m´s elemental que puede decirse al respecto es que para a que una serie converja su t´rmino general ha de tender a 0. En efecto: e Teorema 1.87 Sea {an }∞ una sucesi´n en K. Si la serie o n=0 ∞ an es conver- n=0 gente, entonces l´ an = 0. ım n k ´ Demostracion: Sea Sk = an . Que la serie converja a un n´mero u n=0 L significa por definici´n que existe l´ Sk = L. En tal caso tambi´n existe o ım e k ımite de una subsucesi´n, y entonces o l´ Sk−1 = L, pues es el l´ ım k l´ ak = l´ (Sk − Sk−1 ) = L − L = 0. ım ım k k As´ si no sumamos cada vez cantidades m´s peque˜as la serie no puede ı, a n converger. El rec´ ıproco es tentador, pero falso. Basta considerar la serie determinada por la m´s sencilla de las sucesiones que tienden a 0: a Ejemplo La serie ∞ n=1 1 n es divergente. En efecto, observemos que S1 = S2 = S4 S8 1, 1 1+ , 2 11 11 2 = S 2 + + > S2 + = 1 + + , 34 4 22 111 1111 4 = S 4 + + + + > S4 + > 1 + + + . 5678 8 222 En general S2n > 1 + n , y esta sucesi´n tiende a +∞, luego las sumas o 2 parciales no est´n acotadas y la serie diverge. a Se conocen muchos criterios para determinar el car´cter convergente o dia vergente de una serie. Por ejemplo, el siguiente es aplicable a series de t´rminos e positivos. Teorema 1.88 (Criterio de D’Alembert) Sea {an }∞ una sucesi´n de n´o u n=0 meros reales positivos tal que exista l´ aan = L ∈ R. Entonces: ım n+1 n a) Si L < 1 la serie {an }∞ es convergente. n=0 b) Si L > 1 la serie {an }∞ es divergente. n=0 1.8. Sucesiones y series num´ricas e 55 ´ Demostracion: a) Sea > 0 tal que L + < 1. Entonces ]−∞, L + [ es un entorno de L, y por definici´n de l´ o ımite existe un natural n0 tal que si n ≥ n0 n+1 entonces aan < L + o, lo que es lo mismo, an+1 < an (L + ). As´ pues, ı an0 +1 < an0 (L + ), an0 +2 < an0 +1 (L + ) < an0 (L + )2 , an0 +3 < an0 +2 (L + ) < an0 (L + )3 , . . . En general, si n ≥ n0 , se cumple que an < an0 (L + )n−n0 = an0 (L + )n . (L + )n0 De aqu´ que si k > n0 , ı k k an ≤ n=0 an + n=0 an0 (L + )n0 k (L + )n < n=n0 +1 an0 (L + )n0 ∞ (L + )n < +∞, n=n0 +1 donde la ultima serie converge porque es geom´trica de raz´n L + ´ e o ∞ < 1. La serie an es de t´rminos positivos y sus sumas parciales est´n acotadas, luego e a n=0 converge. b) Sea ahora > 0 tal que 1 < L − . Igual que en el apartado anterior existe un natural n0 tal que si n ≥ n0 entonces an+1 > an (L − ), de donde se deduce igualmente que si n ≥ n0 entonces an > an0 (L − e)n , (L − )n0 y por consiguiente, para k > n0 , n0 k an ≥ n=0 an + n=0 an0 (L − )n0 k (L − )n , n=n0 +1 pero ahora la ultima serie diverge, pues es geom´trica de raz´n mayor que 1, ´ e o luego sus sumas parciales no est´n acotadas, y las de la primera serie tampoco. a As´ pues, ´sta es divergente. ı e En el caso de que el l´ ımite L exista y valga 1 no es posible asegurar nada, hay casos en los que esto ocurre y la serie converge y casos en los que diverge. Ejemplo Si M > 0, la serie ∞ n=0 Mn n! es convergente, pues por el criterio de D’Alembert, L = l´ ım n M n+1 M n M : = l´ ım = 0 < 1. n n+1 (n + 1)! n! n Incidentalmente, esto prueba tambi´n que l´ M ! = 0. e ım n n 56 Cap´ ıtulo 1. Topolog´ ıa Notar que hemos determinado el car´cter de la serie, pero no hemos dicho a nada sobre el c´lculo efectivo de su l´ a ımite. La raz´n es que no hay nada que o decir. Por ejemplo, en el caso m´s simple, M = 1, el n´mero a u ∞ e= 1 n! n=0 es un n´mero “nuevo”, en el sentido de que no es racional, ni la ra´ cuadrada u ız de un n´mero racional, ni en general expresable en t´rminos de otros n´meros u e u ya conocidos. M´s adelante demostraremos que de hecho se trata de un n´mero a u trascendente sobre Q. El unico sentido en que podemos “calcularlo” es en el de ´ obtener aproximaciones racionales sumando t´rminos de la serie. El resultado e es e = 2, 7182818284590452353602874. . . Para acabar demostraremos un criterio v´lido para las llamadas series altera nadas, es decir, para series de n´meros reales en las que los t´rminos sucesivos u e tienen signos opuestos: Teorema 1.89 (Criterio de Leibniz) Sea {an }∞ una sucesi´n de n´meros o u n=0 reales positivos decreciente y convergente a 0. Entonces la serie ∞ (−1)n an es n=0 convergente. ´ Demostracion: Consideremos primero las sumas parciales pares. Por ejemplo: S6 = (a0 − a1 ) + (a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + a6 . Teniendo en cuenta que la sucesi´n es decreciente, los sumandos as´ agrupao ı dos son todos mayores o iguales que 0, luego en general S2n ≥ 0. Por otra parte, S8 = S6 + (−a7 + a8) ≤ S6 , luego la sucesi´n {S2n }∞ es o n=0 mon´tona decreciente y acotada inferiormente por 0. Por lo tanto converge a o un n´mero L. u Ahora, S2n+1 = S2n + a2n+1 , luego existe l´ S2n+1 = L + 0. ım n Es f´cil comprobar que si las dos subsucesiones {S2n }∞ y {S2n+1 }∞ a n=0 n=0 convergen a un mismo n´mero L, entonces toda la sucesi´n {Sn }∞ converge u o n=0 a L, es decir, la serie converge. Por ejemplo, la serie ∞ n=1 1 (−1)n+1 n es convergente. De nuevo no tenemos m´s medio para calcular su l´ a ımite que aproximarlo por una suma parcial. En realidad, cuando hacemos esto necesitamos saber cu´l es el error cometido, para a determinar el n´mero de cifras decimales correctas. Por ejemplo, las primeras u sumas parciales de esta serie son: 1.8. Sucesiones y series num´ricas e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0, 50000 0, 83333 0, 58333 0, 78333 0, 61666 0, 75952 0, 63452 0, 74563 0, 64563 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0, 73654 0, 65321 0, 73013 0, 65870 0, 72537 0, 66287 0, 72169 0, 66613 0, 71877 0, 66877 57 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0, 71639 0, 67093 0, 71441 0, 67274 0, 71274 0, 67428 0, 71132 0, 67560 0, 71009 0, 67675 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0, 70901 0, 67776 0, 70806 0, 67865 0, 70722 0, 67945 0, 70647 0, 68016 0, 70580 0, 68080 El l´ ımite vale 0, 6931471805599453094172321. . . Por lo tanto, si al calcular la d´cima suma afirm´ramos que el l´ e a ımite vale 0, 6456. . . estar´ ıamos cometiendo un grave error. En realidad s´lo la primera cifra decimal es exacta (se dice que o un n´mero decimal finito aproxima a otro con n cifras exactas si las n primeras u cifras de ambos n´meros coinciden). En general, al aproximar una serie por u una suma parcial, o al aproximar cualquier l´ ımite de una sucesi´n por uno de o sus t´rminos, no sabemos cu´l es el error cometido, ni en particular cu´ntas e a a de las cifras de la aproximaci´n son exactas. Sin embargo, en el caso de las o series alternadas es f´cil saberlo pues, seg´n hemos visto, las sumas pares son a u decrecientes (siempre est´n sobre el l´ a ımite) y las impares son crecientes (siempre est´n bajo el l´ a ımite), luego las ultimas sumas de la tabla nos dicen que el l´ ´ ımite se encuentra entre 0,68 y 0,71 y por lo tanto no sabemos ninguna de sus cifras con exactitud (salvo el 0). Yendo m´s lejos tenemos: a S1000 = 0, 69264 y S1001 = 0, 69364, lo que nos permite afirmar que el l´ ımite est´ entre 0, 692 y 0, 694, es decir, es de a la forma 0, 69. . . y ya tenemos dos cifras exactas. En la pr´ctica ignoraremos el problema t´cnico de determinar las cifras a e exactas que nos proporciona una aproximaci´n dada, y consideraremos que un o n´mero es “conocido” si tenemos una sucesi´n que converge a ´l. Todas las u o e aproximaciones que daremos (calculadas con ordenador con t´cnicas de an´lisis e a num´rico) tendr´n todas sus cifras exactas. e a Cap´ ıtulo II Compacidad, conexi´n y o completitud Finalmente tenemos los suficientes elementos de topolog´ como para que ıa ´sta se convierta en una herramienta eficaz. En los temas anteriores apenas hee mos extra´ las consecuencias m´s elementales de las definiciones de topolog´ ıdo a ıa, continuidad, etc. Los resultados que veremos ahora van mucho m´s lejos y dan a una primera muestra de las posibilidades de las t´cnicas topol´gicas. e o 2.1 Espacios compactos La compacidad es en topolog´ una propiedad similar a la “dimensi´n finita” ıa o en algebra lineal. Los espacios compactos no son necesariamente finitos, pero se ´ comportan en muchos aspectos como si lo fueran. Por ejemplo, es obvio que en un espacio finito toda sucesi´n ha de tomar infinitas veces un mismo valor, luego o toda sucesi´n contiene una subsucesi´n constante, en particular convergente. Lo o o mismo ocurre en R, como se desprende del teorema siguiente. Teorema 2.1 Toda sucesi´n en un conjunto totalmente ordenado contiene una o subsucesi´n mon´tona. o o ´ Demostracion: Sea {an }∞ una sucesi´n en un conjunto totalmente oro n=0 denado. Sea A el conjunto de las im´genes de la sucesi´n. Si A es finito es obvio a o que A tiene una subsucesi´n constante, luego mon´tona. Supongamos que A es o o infinito. Si todo subconjunto no vac´ de A tiene m´ ıo ınimo podemos tomar x0 igual al m´ ınimo de A, luego x1 igual al m´ ınimo de A \ {x0 }, luego x2 igual al m´ ınimo de A \ {x0 , x1 }, y as´ obtenemos puntos x0 < x1 < x2 <. . ., es decir, obtenemos ı un subconjunto de A sin m´ximo. a As´ pues, o bien existe un subconjunto de A sin m´ ı ınimo o bien existe un subconjunto de A sin m´ximo. Los dos casos se tratan igual. Supongamos que a hay un subconjunto de A sin m´ ınimo. Llam´moslo B . e 59 60 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Sea an0 un elemento cualquiera de B . Como B no tiene m´ ınimo contiene infinitos t´rminos de la sucesi´n bajo an0 , pero s´lo un n´mero finito de ellos e o o u tienen ´ ındice anterior a n0 , luego existe un an1 en B tal que an1 < an0 y n0 < n1 . Podemos repetir indefinidamente este proceso y obtener una subsucesi´n o an0 > an1 > an2 > an3 > an4 > an5 >. . . mon´tona decreciente. o Como en R toda sucesi´n mon´tona converge a su supremo o a su ´ o o ınfimo, esto prueba que en este espacio toda sucesi´n contiene una subsucesi´n convero o gente, al igual que ocurre en los espacios finitos. Cualquier intervalo [a, b] es homeomorfo a R, luego tambi´n cumple esto mismo. e Por otro lado esto es falso en R. La sucesi´n de los n´meros naturales no cono u tiene ninguna subsucesi´n convergente (ya que cualquier subsucesi´n converge o o a +∞ en R, luego no converge en R). El espacio R y los intervalos [a, b] son ejemplos de espacios compactos. La propiedad de las subsucesiones convergentes caracteriza la compacidad en espacios m´tricos, pero para el caso general necesitamos otra definici´n m´s elaboe o a rada. Definici´n 2.2 Sea X un espacio topol´gico. Un cubrimiento abierto de X es o o una familia {Ai }i∈I de abiertos de X tal que X = Ai . i∈I Un subcubrimiento del cubrimiento dado es un cubrimiento formado por parte de los abiertos del primero. Un espacio de Hausdorff K es compacto si de todo cubrimiento abierto de K se puede extraer un subcubrimiento finito. Es obvio que si X es un espacio finito, de todo cubrimiento abierto se puede extraer un subcubrimiento finito. Basta tomar un abierto que contenga a cada uno de los puntos del espacio. As´ pues, todo espacio de Hausdorff finito es ı compacto. Observar que si B es una base de un espacio de Hausdorff K , se cumple que K es compacto si y s´lo si todo cubrimiento de K por abiertos b´sicos admite o a un subcubrimiento finito. En efecto, si {Ai }i∈I es un cubrimiento arbitrario, para cada punto x ∈ K existe un ix ∈ I tal que x ∈ Aix y existe un Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ Aix . Entonces {Bx }x∈K es un cubrimiento de K formado por abiertos b´sicos y tiene un subcubrimiento finito a K = Bx1 ∪ · · · ∪ Bxn ⊂ Aix1 ∪ · · · ∪ Aixn ⊂ K. Una familia de abiertos forma un cubrimiento si y s´lo si la familia de sus o complementarios es una familia de cerrados con intersecci´n vac´ Por ello la o ıa. compacidad puede caracterizarse as´ en t´rminos de familias de cerrados: ı e Un espacio de Hausdorff K es compacto si y s´lo si toda familia de cerrados o {Ci }i∈I con la propiedad de que cualquier intersecci´n finita de ellos no es vac´ o ıa, tiene intersecci´n total no vac´ o ıa. 2.1. Espacios compactos 61 La propiedad de que las intersecciones finitas sean no vac´ se llama proıas piedad de la intersecci´n finita. Por lo tanto: o Teorema 2.3 Un espacio de Hausdorff K es compacto si y s´lo si toda familia o de cerrados de K con la propiedad de la intersecci´n finita tiene intersecci´n no o o vac´ ıa. A menudo nos encontraremos con espacios que no son compactos pero tienen subespacios compactos. Por ello resulta util caracterizar la compacidad de un ´ subespacio en t´rminos de la topolog´ de todo el espacio y no de la topolog´ e ıa ıa relativa. Concretamente: Teorema 2.4 Sea X un espacio de Hausdorff y K un subespacio de X . Entonces K es compacto si y s´lo si para toda familia {Ai }i∈I de abiertos (b´sicos) o a de X tal que K ⊂ Ai se puede extraer una subfamilia finita que cumpla lo i∈I mismo. ´ Demostracion: Supongamos que K es compacto. Entonces {Ai ∩ K }i∈I es claramente un cubrimiento abierto de K , del que podemos extraer un subcubrimiento finito de modo que K = (Ai1 ∩ K ) ∪ · · · ∪ (Ain ∩ K ), luego K ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain . Rec´ ıprocamente, si K cumple esta propiedad y {Ai }i∈I es un cubrimiento abierto de K , entonces para cada i existe un abierto Bi de X tal que Ai = Bi ∩ K . Consecuentemente K = Ai ⊂ Bi , luego por hip´tesis podemos o i∈I i∈I tomar un n´mero finito de conjuntos de modo que K ⊂ Bi1 ∪ · · · ∪ Bin , luego u K = (Bi1 ∩ K ) ∪ · · · ∪ (Bin ∩ K ) = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain . As´ pues, K es compacto. ı Si la uni´n de una familia de abiertos de un espacio X contiene a un subeso pacio K , diremos que forma un cubrimiento abierto de K en X . As´ pues, un ı subespacio K de X es compacto si y s´lo si de todo cubrimiento abierto de K o en X puede extraerse un subcubrimiento finito (en X tambi´n). e Aqu´ estamos considerando la topolog´ de X , pero deberemos tener siempre ı ıa presente que la compacidad es una propiedad absoluta, y depende exclusivamente de la topolog´ del propio espacio K . ıa Los teoremas siguientes muestran la anunciada similitud entre los espacios compactos y los espacios finitos. Por lo pronto, todo espacio finito es cerrado. El an´logo con compactos es el siguiente: a Teorema 2.5 Se cumplen las propiedades siguientes: a) Si X es un espacio de Hausdorff y K ⊂ X es compacto, entonces K es cerrado en X . b) Si K es un compacto y C ⊂ K es un cerrado, entonces C es compacto. 62 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o c) Si M es un espacio m´trico y K ⊂ M es compacto, entonces K est´ e a acotado. ´ Demostracion: a) El argumento es el mismo que emplear´ ıamos si K fuera finito. Veamos que X \ K es abierto. Sea x ∈ X \ K . Para cada punto u ∈ K existen abiertos disjuntos Au y Bu tales que u ∈ Au y x ∈ Bu . Si K fuera finito bastar´ tomar ahora la intersecci´n de los Bu y tendr´ ıa o ıamos un entorno de x contenido en X \ K . Ahora aplicamos la compacidad de K . Los conjuntos Au forman un cubrimiento abierto de K , luego existe un subcubrimiento finito: K ⊂ Au1 ∪ · · · ∪ Aun . Ahora, X \ K es un entorno de x. n Bui es un entorno de x que no corta a K , luego i=1 b) Si {Ai }i∈I es un cubrimiento abierto de C , entonces {Ai }i∈I ∪ {K \ C }es un cubrimiento abierto de K , luego existe un subcubrimiento finito K = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain ∪ (K \ C ). Claramente entonces C ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain , luego C es compacto. c) Sea x ∈ M un punto cualquiera. Para cada u ∈ K , sea ru = d(x, u) + 1. Bru (x). Por compacidad podemos extraer un subcubriObviamente K ⊂ u∈K miento finito de modo que K ⊂ Bru1 (x) ∪· · ·∪ Brun (x). Las bolas son conjuntos acotados, una uni´n finita de acotados es acotada y todo subconjunto de un acoo tado est´ acotado. Por tanto K est´ acotado. a a Teorema 2.6 Si K es un espacio compacto, toda sucesi´n en K posee un punto o adherente. Por tanto si adem´s K cumple 1AN, toda sucesi´n en K tiene una a o subsucesi´n convergente. o ´ Demostracion: Sea {an }∞ una sucesi´n en K . Sea An = {am | m ≥ n}. o n=0 Obviamente A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ A4 ⊃. . . , luego tambi´n e A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ A4 ⊃. . . , y as´ tenemos una familia de cerrados con la propiedad de la intersecci´n finita. ı o Por compacidad existe un punto x ∈ ∞ Ai . Obviamente x es un punto adhe- i=0 rente de la sucesi´n, pues si n es un natural y U es un entorno de x, entonces o x ∈ An , luego U ∩ An = ∅, es decir, existe un m ≥ n tal que am ∈ U . Como hab´ ıamos anunciado, esta propiedad caracteriza a los espacios m´trie cos compactos. Teorema 2.7 Un espacio m´trico M es compacto si y s´lo si toda sucesi´n en e o o M tiene una subsucesi´n convergente. o 2.1. Espacios compactos 63 ´ Demostracion: Supongamos que M no fuera compacto. Entonces existir´ ıa un cubrimiento abierto M = Ai que no admite subcubrimientos finitos. i∈I Sea > 0 y x0 ∈ M . Si B (x) = M , existe un punto x1 ∈ M tal que d(x1 , x0 ) ≥ . Si B (x0 ) ∪ B (x1 ) = M , existe un punto x2 ∈ M tal que d(x2 , x0 ) ≥ , d(x2 , x1 ) ≥ . Si M no pudiera cubrirse por un n´mero finito de bolas de radio , podr´ u ıamos construir una sucesi´n {xn }∞ con la propiedad de que d(xi , xj ) ≥ para o n=0 todos los naturales i, j . Es claro que tal sucesi´n no puede tener subsucesiones o convergentes, pues una bola de centro el l´ ımite y radio /2 deber´ contener ıa infinitos t´rminos de la sucesi´n, que distar´ entre s´ menos de . e o ıan ı Concluimos que para todo > 0 existen puntos x0 , . . . , xn ∈ M de modo que M = B (x0 ) ∪ · · · ∪ B (xn ). Lo aplicamos a = 1 y obtenemos tales bolas. Si todas ellas pudieran cubrirse con un n´mero finito de abiertos Ai tambi´n M podr´ luego al menos u e ıa, una de ellas, digamos B1 (x0 ) no es cubrible por un n´mero finito de abiertos u del cubrimiento. Igualmente, con = 1/2 obtenemos una bola B1/2 (x1 ) no cubrible por un n´mero finito de abiertos del cubrimiento. En general obtenemos una sucesi´n u o de bolas B1/(n+1) (xn ) con esta propiedad. Sea x un punto adherente de la sucesi´n {xn }∞ . Sea i ∈ I tal que x ∈ Ai . o n=0 u Como Ai es un abierto existe un n´mero natural k tal que B2/(k+1) (x) ⊂ Ai . Sea n > k tal que d(xn , x) < 1/(k + 1). Entonces B1/(n+1) (xn ) ⊂ B2/(k+1) (x) ⊂ Ai , en contradicci´n con que B1/(n+1) (xn ) no era cubrible con un n´mero finito de o u abiertos del cubrimiento. Seg´n lo visto al comienzo de la secci´n, R es compacto. Adem´s: u o a Teorema 2.8 Un subconjunto de R es compacto si y s´lo si es cerrado y acoo tado. ´ Demostracion: Por el teorema 2.5, todo compacto en R ha de ser cerrado y acotado. Si C es un conjunto cerrado y acotado, toda sucesi´n en C tiene o una subsucesi´n convergente en R. Como C es acotado su l´ o ımite estar´ en R y a como C es cerrado, su l´ ımite estar´ en C , luego toda sucesi´n en C tiene una a o subsucesi´n convergente en C . Por el teorema anterior C es compacto. o Tambi´n se puede probar el teorema anterior viendo que los cerrados y acoe tados de R son precisamente los subconjuntos cerrados de R (o, si se prefiere, esto es consecuencia inmediata del teorema anterior). Ejemplo Vamos a usar la compacidad de [0, 1] para calcular el cardinal de R. Si I = [a, b] es un intervalo cerrado, llamaremos I0 = a, a + b−a , 3 I1 = a + 2 b−a ,b , 3 que son dos intervalos cerrados disjuntos contenidos en I . 64 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o De este modo, partiendo de I = [0, 1] podemos formar los intervalos I0 , I1 , I00 , I01 , I10 , I11 , etc. M´s exactamente, para cada aplicaci´n s : N −→ {0, 1} a o y cada n ∈ N, si llamamos s|n = s0 . . . sn−1 , tenemos definidos los intervalos Is|n (entendiendo que Is|0 = I ), y es claro que forman una sucesi´n decreciente, o es decir, si m ≤ n entonces Is|n ⊂ Is|m . Por lo tanto, {Is|n }∞ es una familia n=0 de cerrados en I con la propiedad de la intersecci´n finita. Por compacidad o tenemos que Is = ∞ n=0 Is|n = ∅. M´s a´n, es claro que la longitud (el di´metro) au a de Is|n es 1/3n , y como Is ⊂ Is|n , necesariamente el di´metro de Is ha de ser a menor o igual que 1/3n para todo n, es decir, ha de ser 0. Esto implica que Is contiene un unico punto. Digamos Is = {xs }. ´ Tambi´n es claro que si s = t entonces xs = xt . En efecto, si n es el primer e natural tal que s|n+1 = tn+1 , entonces Is|n = It|n y los intervalos Is|n+1 , It|n+1 son subconjuntos disjuntos. Como contienen a xs y xt respectivamente, ´stos e han de ser puntos distintos. Esto prueba que |I | ≥ |2N | = 2ℵ0 . Por otra parte, |R| ≤ 2ℵ0 , pues si a cada r ∈ R le asignamos el conjunto de los n´meros racionales menores que r u obtenemos una aplicaci´n inyectiva de R en las partes de Q. Por consiguiente o tenemos que |I | = |R| = 2ℵ0 . Teorema 2.9 (Teorema de Tychonoff ) El producto de espacios compactos es compacto. ´ Demostracion: Sea K = i∈I Ki un producto de espacios compactos. To- memos una familia B de cerrados en K con la propiedad de la intersecci´n o finita. Hemos de probar que su intersecci´n es no vac´ El conjunto de todas o ıa. las familias de subconjuntos de K (no necesariamente cerrados) que contienen a B y tienen la propiedad de la intersecci´n finita, parcialmente ordenado por o la inclusi´n, satisface las hip´tesis del lema de Zorn, lo que nos permite tomar o o una familia maximal U. Entonces U⊂ B , luego basta probar que la B ∈B primera intersecci´n es no vac´ o ıa. U ∈U En primer lugar observamos que si un conjunto A ⊂ K corta a todos los elementos de U entonces est´ en U, pues en caso contrario U ∪ {A} contradir´ a ıa la maximalidad de U. Sea pi : K −→ Ki la proyecci´n en el factor i-´simo. Es f´cil ver que la o e a o familia {pi [U ] | U ∈ U} tiene la propiedad de la intersecci´n finita luego, por la compacidad de Ki , existe un punto xi ∈ Ki tal que xi ∈ pi [U ] para todo U ∈ U. U. Estos puntos determinan un punto x ∈ K . Basta probar que x ∈ U ∈U Fijemos un entorno b´sico de x, de la forma A = a i∈F p−1 [Gi ], donde F ⊂ I i es finito y Gi es abierto en Ki . Para cada U ∈ U tenemos que xi ∈ pi [U ], luego Gi ∩ pi [U ] = ∅, luego p−1 [Gi ] ∩ U = ∅. Como esto es cierto para todo i U ∈ U, seg´n hemos observado antes podemos concluir que p−1 [Gi ] ∈ U, para u i todo i ∈ F . Como U tiene la propiedad de la intersecci´n finita, A ∈ U. De o aqu´ se sigue que A corta a todo U ∈ U y, como A es un entorno b´sico de x, ı a esto implica que x ∈ U para todo U ∈ U. 2.1. Espacios compactos 65 Ahora podemos probar: Teorema 2.10 Un subconjunto de Kn , es compacto si y s´lo si es cerrado y o acotado. ´ Demostracion: La acotaci´n depende en principio de la distancia que o consideremos. Hemos de entender que se trata de la inducida por cualquiera de las tres normas definidas en el cap´ ıtulo I. Por el teorema 1.5, todas tienen los mismos acotados. Trabajaremos concretamente con x ∞ = m´x |xi | i = 1, . . . , n . a Como Cn es homeomorfo a R2n (con los mismos conjuntos acotados), basta probar el teorema para Rn . Ya hemos visto que un compacto ha de ser cerrado y acotado. Supongamos que K es un subconjunto de Rn cerrado y acotado. Esto significa que existe un M > 0 tal que para todo punto x ∈ C se cumple x ≤ M , lo que significa que si x ∈ C , cada xi ∈ [−M, M ] o, de otro modo, que C ⊂ [−M, M ]n . Pero por el teorema anterior [−M, M ]n es compacto y C es cerrado en ´l, e luego C tambi´n es compacto. e Los espacios que nos van a interesar son fundamentalmente los subconjuntos de Rn . Vemos, pues, que la compacidad es muy sencilla de reconocer. En particular las bolas cerradas y las esferas son compactos. El espacio C∞ es homeomorfo a una esfera, luego es compacto. Lo mismo ocurre con R∞ , que es homeomorfo a una circunferencia. Una de las propiedades m´s importantes de la compacidad es que se conserva a por aplicaciones continuas (comp´rese con el hecho de que la imagen (continua) a de un conjunto finito es finita). Teorema 2.11 La imagen de un espacio compacto por una aplicaci´n continua o es de nuevo un espacio compacto (supuesto que sea un espacio de Hausdorff ). ´ Demostracion: Sea f : K −→ X continua y suprayectiva. Supongamos que K es compacto y que X es un espacio de Hausdorff. Si {Ai }i∈I es un cubrimiento abierto de X , entonces f −1 [Ai ] i∈I es un cubrimiento abierto de K , luego admite un subcubrimiento finito K = f −1 [Ai1 ] ∪ · · · ∪ f −1 [Ain ]. Entonces X = Ai1 ∪ · · · ∪ Ain . Este hecho tiene muchas consecuencias. Teorema 2.12 Si f : K −→ X es biyectiva y continua, K es compacto y X es un espacio de Hausdorff, entonces f es un homeomorfismo. ´ Demostracion: Basta probar que la inversa en continua, o sea, que transforma cerrados de K en cerrados de X , o equivalentemente, que si C es cerrado en K , entonces f [C ] es cerrado en X , pero es que C es compacto, luego f [C ] tambi´n lo es, luego es cerrado. e 66 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Ejemplo Una circunferencia es homeomorfa a un cuadrado. En efecto, si C es un cuadrado de centro (0, 0) en R2 , es claro que la aplicaci´n de C en la circunferencia unidad dada por x → x/ x es biyectiva y o continua y, como C es compacto, es un homeomorfismo. *Ejemplo Los espacios proyectivos son compactos. En efecto, basta probar que Pn (K) es compacto, pero la restricci´n de la o proyecci´n a la esfera unidad de Kn+1 es continua y suprayectiva y la esfera es o compacta. Otro hecho obvio es que toda aplicaci´n continua de un compacto a un o espacio m´trico est´ acotada. Para las funciones reales podemos decir m´s: e a a Teorema 2.13 Si f : K −→ R es continua y K es un compacto no vac´ ıo, existen u, v ∈ K tales que para todo x ∈ K , se cumple f (u) ≤ f (x) ≤ f (v ). Es decir, que f alcanza un valor m´ ınimo y un valor m´ximo. a ´ Demostracion: Sea C = f [K ]. Entonces C es cerrado y acotado. Sean m y M su ´ ınfimo y su supremo, respectivamente. As´ para todo x ∈ K se cumple ı que m ≤ f (x) ≤ M . S´lo falta probar que m y M son im´genes de puntos de o a K , o sea, que m, M ∈ C . Ve´moslo para M . a Si > 0, entonces M − no es una cota superior de C , luego existe un punto y ∈ C de modo que M − < y , es decir, que ]M − , M + [ ∩ C = ∅. Esto significa que todo entorno (b´sico) de M corta a C , o sea, M ∈ C = C . a Observar que este resultado es falso sin compacidad. Por ejemplo la funci´n o f : ]0, 1[ −→ R dada por f (x) = x no tiene m´ximo ni m´ a ınimo. Veamos una aplicaci´n del teorema anterior: o Teorema 2.14 Todas las normas en Kn inducen la misma topolog´ Adem´s ıa. a los subconjuntos acotados son los mismos para todas ellas. ´ Demostracion: Sea : Kn −→ [0, +∞[ una norma cualquiera. Vamos n a ver que induce la misma topolog´ que la dada por x ıa 1 = |xi | y que los i=1 acotados son los mismos para ambas. Esto probar´ el teorema. a Sea {e1 , . . . , en } la base can´nica de Kn . Si x ∈ Kn se puede expresar como o n x= xi ei , luego i=1 n x≤ n |xi | ei ≤ i=1 n x i=1 1 ei = x ei = K x 1 . 1 i=1 Por lo tanto, si x, y ∈ Kn , se cumple x − y ≤ x − y ≤ K o sea que la aplicaci´n o tiene la propiedad de Lipschitz, luego es respecto a la topolog´ inducida por ıa 1. Sea S = {x ∈ Kn | x 1 = 1}. Se trata de una esfera, luego de un compacto para lo topolog´ usual de Kn . Por lo tanto la aplicaci´n ıa o x − y 1, continua conjunto alcanza 2.2. Espacios conexos 67 su m´ximo y su m´ a ınimo en S y as´ como no se anula, existen 0 < m ≤ M en R ı, tales que para todo x ∈ S se tiene m ≤ x ≤ M . Si x ∈ Kn \ {0}, entonces x/ x 1 ∈ S , luego m ≤ x/ x 1 ≤ M , es decir, mx 1 ≤ x ≤ M x 1, o tambi´n, e 1 x, x ≤ M x 1. m Como 0 cumple esto trivialmente, en realidad vale para todo x ∈ Kn . De aqu´ se sigue que toda bola de centro x con respecto a una norma contiene ı a otra respecto a la otra norma, luego los acotados son los mismos. Adem´s a todo entorno de un punto para una norma lo es para la otra norma, luego las topolog´ inducidas son las mismas. ıas x 1 ≤ As´ pues, podemos hablar de acotados en Kn sin precisar la norma a la que ı nos referimos. Sin embargo no hay que olvidar que los acotados pueden variar si consideramos m´tricas que no provengan de normas. Por ejemplo la distancia e d(x, y ) = m´ { x − y , 1}. ın Tambi´n es claro que el teorema anterior es v´lido de hecho para cualquier e a K-espacio vectorial de dimensi´n finita. o 2.2 Espacios conexos Pensemos en los espacios siguientes: [0, 1] y [0, 1] ∪ [2, 3]. Hay una diferencia esencial entre ellos, y es que el primero est´ formado por “una sola pieza” a mientras que el segundo consta de “dos piezas”. La diferencia no es conjuntista, pues tambi´n podemos dividir [0, 1] = [0, 1/2] ∪ ]1/2, 1], pero esto no son dos e piezas en el mismo sentido que en el caso de [0, 1] ∪ [2, 3]. La diferencia es que los intervalos [0, 1/2] y ]1/2, 1] est´n “pegados” mientras que los intervalos [0, 1] a y [2, 3] est´n “separados”. Con m´s precisi´n, el punto 1/2 est´ s´lo en uno de a a o ao los intervalos, el [0, 1/2], pero aunque no est´ en el otro, est´ pegado a ´l, en el a a e sentido de que est´ en su clausura. a En general, si un espacio X se expresa como X = U ∪ V , donde U y V son disjuntos y no vac´ ıos, podemos decir que U y V son dos “piezas” en el sentido que estamos considerando si U no contiene puntos de la clausura de V y viceversa. Ahora bien, cualquier punto de V que no estuviera en V deber´ ıa estar en U , luego la condici´n equivale a que V = V y U = U , o sea, a que o U y V sean cerrados. Por otra parte, dado que U y V son complementarios, es lo mismo decir que son cerrados o que son abiertos. Con ello llegamos a la definici´n de conexi´n: o o Definici´n 2.15 Un espacio topol´gico X es disconexo si existen subconjuntos o o abiertos U y V en X tales que X = U ∪ V , U ∩ V = ∅ y U = ∅ = V . En caso contrario X es conexo. 68 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Seg´n hemos dicho, es indistinto exigir que U y V sean abiertos como que u sean cerrados, pues de hecho si cumplen esto son a la vez abiertos y cerrados. Por lo tanto, un espacio X es conexo si y s´lo si sus unicos subconjuntos que o ´ son a la vez abiertos y cerrados son X y ∅. Es obvio que [0, 1] ∪ [2, 3], o incluso [0, 1/2[ ∪ ]1/2, 1] son ejemplos de espacios disconexos. Notar que [0, 1/2[ no es cerrado en R, pero s´ lo es en el espacio ı [0, 1/2[ ∪ ]1/2, 1] (su clausura en este espacio es la intersecci´n con ´l de su o e clausura en R, que es [0, 1/2], o sea, es [0, 1/2[). Es importante tener claro que los intervalos [0, 1/2[ y ]1/2, 1] est´n separados a pese a que s´lo falta un punto entre ellos. La falta de ese punto es suficiente o para que ambas partes no se puedan “comunicar”, en el sentido de que, por ejemplo, ninguna sucesi´n contenida en una de las piezas puede converger a un o punto de la otra. Esto es suficiente para que ambas partes sean independientes topol´gicamente. As´ la funci´n f : [0, 1/2[ ∪ ]1/2, 1] −→ R dada por o ı, o f (x) = 1 2 si x ∈ [0, 1/2[ , si x ∈ ]1/2, 1] es continua, mientras que ser´ imposible definir una funci´n continua sobre ıa o [0, 1] que s´lo tomara los valores 1 y 2. o Si la desconexi´n de estos espacios es clara, no lo es tanto la conexi´n de o o espacios como [0, 1]. Ejercicio: Probar que el intervalo [0, 1] ⊂ Q es disconexo. Teorema 2.16 Un subconjunto de R es conexo si y s´lo si es un intervalo. o ´ Demostracion: Sea C un subespacio conexo de R. Sean a y b su ´ ınfimo y su supremo, respectivamente. Vamos a probar que C es uno de los cuatro intervalos de extremos a y b. Para ello basta ver que si a < x < b entonces x ∈ C . En caso contrario los conjuntos C ∩ [−∞, x[ y C ∩ ]x, +∞] son dos abiertos disjuntos no vac´ de C cuya uni´n es C . ıos o Tomemos ahora un intervalo I y veamos que es conexo. Supongamos que existen abiertos disjuntos no vac´ U y V en I de modo que I = U ∪ V . ıos Tomemos x ∈ U e y ∈ V . Podemos suponer que x < y . Como I es un intervalo, [x, y ] ⊂ I y U = U ∩ [x, y ], V = V ∩ [x, y ] son abiertos disjuntos no vac´ en [x, y ] de modo que [x, y ] = U ∪ V . ıos Sea s el supremo de U . Entonces s ∈ U ∩ [x, y ] = U , luego en particular o s < y . Claramente ]s, y ] ⊂ V , luego s ∈ V ∩ [x, y ] = V , contradicci´n. Una consecuencia de esto es que un intervalo [a, b[ no es homeomorfo a uno de tipo ]c, d[. En efecto, si eliminamos un punto de un intervalo ]c, d[ nos queda un espacio disconexo, mientras que en [a, b[ podemos eliminar el punto a y obtenemos un conexo. (Si fueran homeomorfos, el espacio que resultara de eliminar la imagen de a en ]c, d[ deber´ ser homeomorfo a ]a, b[). ıa Ejercicio: Probar que dos intervalos (acotados o no acotados) son homeomorfos si y s´lo si son del mismo tipo: abierto ]a, b[, cerrado [a, b] o semiabierto [a, b[. o 2.2. Espacios conexos 69 Los resultados siguientes permiten probar con facilidad la conexi´n de muo chos espacios. El primero refleja el hecho de que las aplicaciones continuas pueden pegar pero nunca cortar. Teorema 2.17 Las im´genes continuas de los espacios conexos son conexas. a ´ Demostracion: Si f : X −→ Y es una aplicaci´n continua y suprayectiva o pero Y no es conexo, entonces X tampoco puede serlo, pues si A es una abierto cerrado no vac´ en Y y distinto de Y , entonces f −1 [A] cumple lo mismo en X . ıo Teorema 2.18 Sea {Ai }i∈I una familia de subespacios conexos de un espacio X tal que Ai = ∅. Entonces Ai es conexo. i∈I i∈I ´ Demostracion: Supongamos que i∈I Ai = U ∪ V , donde U y V son abiertos disjuntos. Entonces para un i cualquiera se tendr´ que Ai = (U ∩ Ai ) ∪ (V ∩ Ai ), a pero U ∩ Ai , V ∩ Ai son abiertos disjuntos en Ai , luego uno de ellos es vac´ y ıo, as´ Ai ⊂ U o bien Ai ⊂ V . ı Pero si Ai ⊂ U , entonces U contiene a Ai , luego U corta a todos los Ai i∈I y por conexi´n los contiene a todos. As´ o ı Ai ⊂ V se deduce que U es vac´ ıo. Ejemplo i∈I Ai = U , y V = ∅. Igualmente, si Las circunferencias son conexas. Sea f :√ 1, 1] −→ {(x, y ) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1, y ≥ 0} la aplicaci´n dada por [− o f (x) = x, 1 − x2 . Claramente f es continua y suprayectiva, lo que prueba que la semicircunferencia es conexa. Igualmente se prueba que la semicircunferencia opuesta es conexa, y como ambas se cortan en los puntos (±1, 0), su uni´n, es decir, la o circunferencia, es conexa. Teorema 2.19 Si A es un subespacio conexo de un espacio X , entonces A es conexo. ´ Demostracion: Supongamos que A = U ∪ V , donde U y V son abiertos disjuntos en A. Entonces A = (U ∩ A) ∪ (V ∩ A), y U ∩ A, V ∩ A son abiertos disjuntos en A. Por conexi´n uno es vac´ luego A ⊂ U o bien A ⊂ V . Digamos o ıo, A ⊂ U ⊂ A. Pero U es cerrado en A, luego A ⊂ U = U , es decir, U = A y V = ∅. Esto prueba que A es conexo. Hemos dicho que un espacio disconexo es un espacio formado por varias “piezas” ahora podemos dar una definici´n rigurosa de lo que entendemos por o una “pieza”. 70 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Definici´n 2.20 Sea X un espacio topol´gico y x ∈ X . Llamaremos compoo o nente conexa de x a la uni´n C (x) de todos los subconjuntos conexos de X que o contienen a x. Por el teorema 2.18, C (x) es un conexo, el mayor subespacio conexo de X que contiene a x. Es obvio que si x, y ∈ X , entonces C (x) y C (y ) son iguales o disjuntas. En efecto, si tienen puntos en com´n, por el teorema 2.18 resulta que C (x) ∪ C (y ) u es un conexo, luego C (x) ∪ C (y ) ⊂ C (x) y C (x) ∪ C (y ) ⊂ C (y ), con lo que C (x) = C (x) ∪ C (y ) = C (y ). En resumen, todo espacio X est´ dividido en componentes conexas disjuntas. a Las componentes conexas son cerradas por el teorema 2.19. En efecto, C (x) es un conexo que contiene a x, luego C (x) ⊂ C (x). Sin embargo las componentes conexas no siempre son abiertas. Si un espacio tiene un n´mero finito de componentes conexas, ´stas ser´n abiertas y cerradas u e a a la vez, evidentemente, pero si hay infinitas componentes ya no es necesario. Por ejemplo, ning´n subconjunto de Q con m´s de un punto es conexo, porque u a no es un intervalo de R, luego las componentes conexas de Q son los puntos, que no son abiertos. y A la hora de probar que un espacio es conexo, resulta util el concepto de arco. Un arco en un espacio X es una ´ x aplicaci´n continua a : [0, 1] −→ X . El espacio X es arcoo conexo si para todo par de puntos x, y ∈ X existe un arco a : [0, 1] −→ X tal que a(0) = x, a(1) = y . Como entonces x e y est´n en la imagen del arco a, que es un conexo, resulta a que x e y est´n en la misma componente conexa de X , o sea, que X tiene una a unica componente conexa: Los espacios arco-conexos son conexos. El rec´ ´ ıproco no es cierto, pero no vamos a dar un ejemplo. Dados dos puntos x, y ∈ Rn , el segmento que los une est´ formado por a los puntos de la forma y + λ(x − y ), con λ ∈ [0, 1]. Esto se puede definir en cualquier K-espacio vectorial. Si V es un espacio vectorial topol´gico y x, y ∈ V , o entonces la aplicaci´n a : [0, 1] −→ V dada por a(λ) = λx + (1 − λ)y es un arco o (el segmento) que une x con y . Un subconjunto A de un K-espacio vectorial V es convexo si para todos los puntos x, y ∈ A y todo λ ∈ [0, 1] se cumple λx + (1 − λ)y ∈ A, es decir, si cuando A contiene a dos puntos, tambi´n contiene al segmento que los une. e Uniendo todo esto, resulta que en un espacio vectorial topol´gico, todo cono vexo es arco-conexo, luego conexo. En particular todo espacio vectorial topol´gico es conexo. En particular Kn es conexo. o Ejercicio: Probar que toda esfera de centro O en Rn es imagen continua de Rn \ {0}. Probar que Rn \ {0} es conexo y deducir de aqu´ la conexi´n de la esfera. ı o Ejercicio: Probar que R2 no es homeomorfo a R. Los conjuntos convexos tienen una propiedad que en general no cumplen los conexos, y es que, claramente, la intersecci´n de convexos es convexa. o 2.2. Espacios conexos Ejemplo 71 Las bolas en los espacios normados son convexas. En efecto, si x, y ∈ B (z ), entonces x − z < , y − z < , luego para todo λ ∈ [0, 1] se cumple λx + (1 − λ)y − z = λx + (1 − λ)y − λz + (1 − λ)z ≤ λ(x − z ) + (1 − λ)(y − z ) = λ x − z + (1 − l) y − z < λ + (1 − λ) = . Por lo tanto λx + (1 − λ)y ∈ B (z ). (Cambiando las desigualdades estrictas por desigualdades no estrictas se prueba que las bolas cerradas son convexas.) Por esto se dice que los espacios normados son localmente convexos. En general, un espacio vectorial topol´gico es localmente convexo si tiene una base o formada por conjuntos convexos. Igualmente un espacio topol´gico es localmente o conexo o localmente arco-conexo si tiene una base formada por abiertos conexos o arco-conexos, respectivamente. As´ los espacios localmente convexos son ı, localmente arco-conexos y los espacios localmente arco-conexos son localmente conexos. Un hecho importante es que si A es un abierto en un espacio localmente conexo X , entonces las componentes conexas de A son abiertas y cerradas. En efecto, si C es una componente conexa de A y x ∈ C , entonces existe un abierto (b´sico) U de X tal que U es conexo y x ∈ U ⊂ A. Como C es la componente a conexa de x, ha de ser U ⊂ C , luego C es un entorno de x, o sea, C es entorno de todos sus puntos, luego es un abierto. Ejercicio: Probar que todo abierto no vac´ en R es la uni´n disjunta de una cantidad ıo o numerable de intervalos abiertos. Veamos algunos hechos adicionales sobre arcos. Sean a y b dos arcos en un espacio X de modo que a(1) = b(0). Entonces la aplicaci´n b1 : [1, 2] −→ X dada por b1 (t) = b(t − 1) es continua o y cumple que b1 (1) = b(0), b1 (2) = b(1) (se trata de la composici´n con b del o homeomorfismo i : [1, 2] −→ [0, 1] dado por i(t) = t − 1). a(1) = b(0) a(0) b(1) Ahora, la uni´n c = a ∪ b1 : [0, 2] −→ X , esto es, la aplicaci´n que restringida o o a [0, 1] es a y restringida a [1, 2] es b1 , es continua (porque restringida a los dos cerrados [0, 1] y [1, 2] lo es, y su imagen es la uni´n de las im´genes de a y b. o a Finalmente, llamamos a ∪ b : [0, 1] −→ X a la funci´n (a ∪ b)(t) = c(2t), o es decir, la composici´n de c con el homeomorfismo j : [0, 1] −→ [0, 2] definido o 72 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o mediante j (t) = 2t. Claramente a ∪ b es un arco cuya imagen es la uni´n de las o im´genes de a y b. En particular (a ∪ b)(0) = a(0) y (a ∪ b)(1) = b(1). a Esto significa que si podemos unir un punto x con un punto y a trav´s de e un arco a, y podemos unir un punto y con un punto z a trav´s de un arco b, e entonces podemos unir x con z mediante el arco a ∪ b. Por otra parte, si a es un arco en un espacio X , la aplicaci´n −a : [0, 1] −→ X o dada por (−a)(t) = a(1 − t) es un arco con la misma imagen pero de modo que (−a)(0) = a(1) y (−a)(1) = a(0). Tambi´n es obvio que un arco constante une e un punto consigo mismo. De todo esto se sigue que la relaci´n “x e y se pueden unir mediante un arco” o es reflexiva, sim´trica y transitiva en todo espacio X . e Teorema 2.21 Sea X un espacio localmente arco-conexo. Entonces un abierto de X es conexo si y s´lo si es arco-conexo. o ´ Demostracion: Obviamente los abiertos arco-conexos son conexos. Supongamos que A es un abierto conexo no vac´ Sea x ∈ A. Sea U el conjunto ıo. de todos los puntos de A que pueden ser unidos con x mediante un arco contenido en A. Veamos que U es abierto (en X o en A, es lo mismo). Sea y ∈ U . Entonces existe un arco a en A tal que a(0) = x, a(1) = y . Como X es localmente arcoconexo existe un abierto arco-conexo V tal que y ∈ V ⊂ A. Si z ∈ V , entonces hay un arco b en V (luego en A) que une y con z , luego a ∪ b es un arco en A que une x con z , luego z ∈ U . Por lo tanto V ⊂ U y as´ U es un entorno de y . Tenemos, pues, que U es ı entorno de todos sus puntos, luego es un abierto. Ahora veamos que U es un cerrado en A, o lo que es lo mismo, que A \ U es abierto. Como U no es vac´ por conexi´n tendr´ que ser U = A, lo que ıo, o a significa que A es arco-conexo. Si y ∈ A \ U , entonces y no puede ser unido a x mediante un arco. Existe un abierto arco-conexo V tal que y ∈ V ⊂ A, pero los puntos de V pueden unirse a y mediante un arco. Si alguno de estos puntos z pudiera unirse a x mediante un arco a, tendr´ ıamos un arco b que une a y con z y un arco a que une z con x, luego y se podr´ unir con x. Por lo tanto ning´n punto de V puede unirse con ıa u x, es decir, V ⊂ A \ U , luego A \ U es abierto. Una poligonal es una uni´n de un n´mero finito de segmentos. Una peque˜a o u n modificaci´n del teorema anterior permite probar que en un espacio localmente o convexo, un abierto es conexo si y s´lo se es conexo por poligonales, es decir, o todo par de puntos se puede unir por una poligonal. Ahora vamos con las aplicaciones de la conexi´n. El resultado principal es o el siguiente hecho obvio: Teorema 2.22 (Teorema de los valores intermedios) Si X es un espacio conexo, f : X −→ R es una aplicaci´n continua, x, y son puntos de X y o f (x) < α < f (y ), entonces existe un punto z ∈ X tal que f (z ) = α. 2.2. Espacios conexos 73 ´ Demostracion: Se cumple que f [X ] es un conexo, luego un intervalo. Como f (x) y f (y ) est´n en f [X ], a tambi´n ha de estar en f [X ]. a e A pesar de su simplicidad, las consecuencias de este teorema son importantes. Por ejemplo, no hay polinomios irreducibles de grado impar sobre R, salvo los de grado 1: Teorema 2.23 Todo polinomio p(x) ∈ R[x] de grado impar tiene al menos una ra´ en R. ız ´ Demostracion: Como p(x) tiene una ra´ si y s´lo si la tiene −p(x), poız o demos suponer que su coeficiente director es positivo. Entonces l´ ım p(x) = +∞, mientras que l´ ım p(x) = −∞. En particular x→+∞ x→−∞ existe un u ∈ R tal que p(u) < 0 y existe un v ∈ R tal que p(v ) > 0. Por el teorema de los valores intermedios tambi´n existe un a ∈ R tal que p(a) = 0. e Por supuesto el teorema es falso para polinomios de grado par. Basta pensar en el caso x2 + 1. Si a > 0, el teorema de los valores intermedios aplicado al polinomio xn − a nos permite concluir la existencia de un b > 0 tal que bn = a. Es claramente unico, pues si bn = cn , entonces (b/c)n = 1, de donde b/c = ±1, luego si ambos ´ son positivos b = c. Definici´n 2.24 Para cada natural n > 0 y cada n´mero real a > 0 definimos o u la ra´ n-sima de a como el unico n´mero b > 0 tal que bn = a. Lo representaız ´ u √ remos b = n a Unas comprobaciones rutinarias muestran que si m, n son n´meros enteros u √m n > 0 y a > 0 entonces el n´mero am/n = n a u depende s´lo de la fracci´n o o m/n, con lo que tenemos definida la exponencial ar para todo n´mero real u positivo a y todo n´mero racional r y extiende a la exponencial entera. Tambi´n u e se comprueba que ar+s = ar as , (ar )r = ars . *Afinidades directas e inversas Las isometr´ de un espacio af´ eucl´ ıas ın ıdeo E se clasifican en movimientos y simetr´ seg´n que el determinante de la ıas u aplicaci´n lineal asociada sea igual a 1 o a −1. La topolog´ proporciona una o ıa interpretaci´n geom´trica de esta distinci´n puramente algebraica. En efecto, o e o es conocido que todo movimiento (en dimensi´n mayor que 1) se descompone o en composici´n de giros, y un giro es una aplicaci´n f que en un sistema de o o referencia af´ adecuado tiene la expresi´n: ın o x1 = x1 cos α − x2 sen α, x2 = x1 sen α + x2 cos α x3 = x3 , ··· ··· xn = xn 74 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Vamos a admitir la continuidad de las funciones trigonom´tricas. La demose traremos en el cap´ ıtulo III. Consideremos ahora la aplicaci´n f : [0, 1] × E −→ E tal que si el punto o x tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ) en el mismo sistema de referencia, entonces ft (x) = f (t, x) es el punto de coordenadas (x1 , . . . , xn ) dadas por x1 = x1 cos tα − x2 sen tα, x2 = x1 sen tα + x2 cos tα x3 = x3 , ··· ··· xn = xn Claramente entonces, para cada t ∈ [0, 1], la aplicaci´n ft es un giro de o a o a ´ngulo tα, de modo que f0 es la identidad y f1 = f . Adem´s la aplicaci´n f es continua. Veamos que podemos obtener una aplicaci´n similar para movimientos o arbitrarios: Teorema 2.25 Si f es un movimiento en un espacio af´ eucl´ ın ıdeo E existe una aplicaci´n continua f : [0, 1] × E −→ E tal que para todo t ∈ [0, 1], la aplicaci´n o o ft (x) = f (t, x) es un movimiento, f0 = 1 y f1 = f . ´ Demostracion: Lo probamos por inducci´n sobre el n´mero de giros en o u que se descompone f . Ya lo tenemos probado cuando f es un giro. Basta probar que si f cumple el teorema, g es un giro y h = f g entonces h cumple el teorema. Tenemos, pues, las aplicaciones ft y gt . Sea h : [0, 1] × E −→ E dada por h(t, x) = f (2t, x) g 2t − 1, f (x) si 0 ≤ t ≤ 1/2, si 1/2 < t ≤ 1, La aplicaci´n h es claramente continua en el cerrado [0, 1/2] × E . Basta o observar que su restricci´n al cerrado [1/2, 1] × E viene dada por g 2t − 1, f (x) , o pues entonces tambi´n ser´ continua en este cerrado y por consiguiente en todo e a su dominio. Ahora bien, los unicos puntos donde esta igualdad no es cierta por ´ definici´n son los de la forma (1/2, x), pero o h(1/2, x) = f (1, x) = f (x) = g 0, f (x) = g 2 · (1/2) − 1, f (x) . El resto del teorema es obvio: para cada t la aplicaci´n ht es de la forma ft o o gt , luego es un movimiento, etc. Este teorema se interpreta como que los movimientos pueden efectuarse de forma continua en el tiempo. El punto ft (x) se interpreta como la posici´n x en o el instante t, de modo que para t = 0 tenemos la posici´n inicial x y para t = 1 o tenemos la posici´n final f (x). El arco f (t, x), para un x fijo, es la trayectoria o que sigue x. El hecho de que cada ft sea un movimiento se interpreta como que en cada instante t las distancias entre los puntos son las mismas que las originales. 2.2. Espacios conexos 75 f 0,750 [H] f 0,250 [H] f 0,500 [H] f 1 [H] f 0,875 [H] f ο [H] f 0,625 [H] f 0,125 [H] f 0,375 [H] Ahora probamos que esta propiedad distingue a los movimientos de las semejanzas. Teorema 2.26 Si E es un espacio af´ eucl´ ın ıdeo y f : [0, 1] × E −→ E es una aplicaci´n continua tal que para todo t ∈ [0, 1], la aplicaci´n ft (x) = f (t, x) es o o una isometr´ y f0 = 1, entonces todas las aplicaciones ft son movimientos. ıa ´ Demostracion: Fijado un sistema de referencia af´ en E , la aplicaci´n ın o h : E −→ Rn que a cada punto le asigna sus coordenadas es un homeomorfismo. La aplicaci´n g : [0, 1] × Rn −→ Rn dada por g (t, X ) = h(f (t, h−1 (X )) es o continua, y es de la forma g (t, X ) = Pt + XAt , donde Pt ∈ Rn y At es una matriz n × n de determinante ±1. La aplicaci´n g (t, X ) = g (t, X ) − g (t, 0) = XAt tambi´n es continua. Si ei es o e el vector i-´simo de la base can´nica, la aplicaci´n gij (t) = g (t, ei )ej es continua, e o o y gij (t) es simplemente el coeficiente (i, j ) de la matriz At . El determinante de una matriz depende polin´micamente de sus coeficientes, por lo que la funci´n o o det ft = det At es continua. ıa, Ahora bien, si alguna ft fuera una simetr´ det f0 = det I = 1, mientras que det ft = det At = −1. Tendr´mos, pues, una aplicaci´n continua y suprayectiva a o del espacio conexo [0, 1] en el espacio disconexo {−1, 1}, lo cual es imposible. Los mismos argumentos sirven para interpretar otros grupos de afinidades. Por ejemplo: Teorema 2.27 Si f es una biyecci´n af´ de determinante positivo en un espao ın cio af´ E existe una aplicaci´n continua f : [0, 1] × E −→ E tal que para todo ın o t ∈ [0, 1], la aplicaci´n ft (x) = f (t, x) es una biyecci´n af´ f0 = 1 y f1 = f . o o ın, ´ Demostracion: Probaremos primero el teorema para automorfismos de determinante positivo del espacio vectorial asociado E . Cada uno de estos automorfismos se puede expresar como composici´n de una homotecia lineal o de determinante positivo y un automorfismo de determinante 1. A su vez, estos automorfismos se descomponen en producto de transvecciones, es decir, 76 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o de aplicaciones de la forma f (x) = x + u(x)h, donde u : E −→ R es una aplicaci´n lineal y h es un vector del n´cleo de u. o u Para una transvecci´n definimos o f (t, x) = x + tu(x)h, que es una transvecci´n para todo t, es continua como aplicaci´n [0, 1]×E −→ E , o o f0 = 1 y f1 = f . Una homotecia lineal es de la forma f (x) = rx. Definimos la aplicaci´n o f (t, x) = 1 + t(r − 1) x. Como 1 + t(r − 1) > 0 siempre que r > 0 y 0 ≤ t ≤ 1, tenemos que ft es una homotecia lineal para todo t. Claramente se cumplen tambi´n las otras propiedades. e Aplicando la misma t´cnica de composici´n que en el caso de los movimientos e o llegamos a que todo automorfismo de E de determinante positivo cumple el teorema. Una biyecci´n af´ en E de determinante positivo es de la forma o ın − − → f (P ) = O + v + f (OP ), donde O es un punto arbitrario de E y f es un automorfismo de E de deter− − → minante positivo. Definimos f (t, P ) = O + tv + ft (OP ). Es f´cil ver que esta a aplicaci´n cumple lo pedido. o El teorema es falso para biyecciones afines de determinante negativo, pues con el mismo argumento que hemos empleado para las simetr´ se llega a que ıas la aplicaci´n det ft es una aplicaci´n continua en el espacio conexo [0, 1] tal que o o det f0 = 1, det f1 < 0 pero que nunca toma el valor 0, lo cual es imposible. Si un endomorfismo de E tiene determinante 0 su imagen tiene dimensi´n menor o que E . Por consiguiente, cualquier aplicaci´n que transforme continuamente un o conjunto en su imagen por una biyecci´n af´ de E de determinante negativo, o ın en un momento dado “aplanar´” el espacio en una variedad af´ de dimensi´n a ın o menor. Orientaci´n Los resultados que acabamos de ver nos llevan a introducir un o concepto de orientaci´n en un espacio vectorial (aunque casi todo el razonao miento que sigue es independiente de lo anterior). Definici´n 2.28 Diremos que dos bases ordenadas de un espacio vectorial real o de dimensi´n finita V tienen la misma orientaci´n si el determinante de la matriz o o de cambio de base es positivo. Alternativamente, si existe un isomorfismo de determinante positivo que transforma una en otra. Es inmediato comprobar que las bases de V se dividen en dos clases de equivalencia, a las que llamaremos orientaciones de V . Si una base tiene una determinada orientaci´n, al cambiar de signo uno cualquiera de sus vectores o pasamos a una base con la orientaci´n opuesta. o 2.2. Espacios conexos 77 Un espacio vectorial orientado es un espacio vectorial real de dimensi´n o finita en el que hemos seleccionado una orientaci´n, a la que llamaremos positiva, o mientras que a la orientaci´n opuesta la llamaremos negativa. Consideraremos a o Rn como espacio orientado tomando como orientaci´n positiva a la que contiene o a la base can´nica. o Conviene notar que en otros espacios vectoriales, por ejemplo en los subespacios de Rn , no hay ninguna base privilegiada que nos permita definir una orientaci´n, luego la elecci´n de una u otra como positiva es arbitraria. Lo mismo o o sucede con el espacio vectorial asociado a un espacio af´ real, o con el espacio inın tuitivo, donde no tenemos bases can´nicas. Para determinar una orientaci´n en o o las representaciones gr´ficas hemos de recurrir a criterios no geom´tricos. Por a e ejemplo, si representamos la recta horizontalmente, se suele considerar como base positiva a la formada por el unico vector unitario que apunta hacia la dere´ cha. La distinci´n izquierda-derecha no tiene m´s fundamento que la anatom´ o a ıa humana. Para adoptar criterios similares de orientaci´n o en el plano y el espacio debemos notar primero que, e3 seg´n los resultados de la secci´n anterior, dos bases u o ortonormales tienen la misma orientaci´n si y s´lo si o o podemos transformar una en otra mediante un movie2 miento continuo en el tiempo. As´ diremos que una ı, base del plano es positiva si cuando el dedo ´ ındice derecho apunta en la direcci´n (y sentido) del primer e1 o vector (con la palma hacia abajo) entonces el pulgar (puesto en angulo recto) apunta en la direcci´n del ´ o segundo vector. Si dos bases cumplen esto, el movimiento que transporta nuestra mano de una a la otra justifica que tienen la misma orientaci´n, y viceversa. o Similarmente, consideraremos positivas a las bases ortonormales del espacio tales que podemos disponer la mano derecha con el dedo medio apuntando en la direcci´n del primer vector, el pulgar en la del segundo y el ´ o ındice en la del tercero. Una forma equivalente y m´s c´moda de esta regla es la siguiente: Una ao base es positiva si cuando el ´ ındice derecho arqueado marca el sentido de giro que lleva del primer vector al segundo por el angulo m´s corto, entonces el pul´ a gar apunta en la direcci´n del tercer vector. Una ligera modificaci´n de estas o o reglas las hace v´lidas para bases cualesquiera, no necesariamente ortonormales. a Si un vector v en un plano orientado tiene coordenadas (a, b) respecto a una base ortonormal positiva, entonces es claro que el vector w de coordenadas (−b, a) es ortogonal al primero, con el mismo m´dulo y la base (v, w) es positiva. o Vamos a obtener un resultado an´logo en tres dimensiones. a Sean v y w dos vectores en un espacio tridimensional orientado V . Sean (a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 ) sus coordenadas en una base (e1 , e2 , e3 ) ortonormal y positiva. Definimos su producto vectorial v ∧ w como el vector cuyas coordenadas en dicha base son a1 b2 a3 b3 , a3 b3 a1 b1 , a1 b1 a2 b1 . 78 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Como regla mnemot´cnica y de c´lculo podemos usar: e a v∧w = e1 a1 b1 e2 a2 b2 e3 a3 b3 . Hemos de probar que esta definici´n no depende de la elecci´n de la base, o o siempre que sea positiva. Aunque con rigor el determinante anterior no tiene sentido (pues tiene vectores en su primera fila), s´ hay una relaci´n sencilla ı o entre el producto vectorial y los determinantes que es util para deducir sus ´ propiedades. Si x es un vector de coordenadas (x1 , x2 , x3 ), entonces x2 a2 b2 x1 a1 b1 (x, u, v ) = x(v ∧ w) = x3 a3 b3 , donde este determinante s´ tiene sentido. El escalar (x, u, v ) se llama producto ı mixto de los vectores x, u, v , y es claro que no depende de la base ortonormal positivamente orientada que se escoja para calcularlo. Teniendo esto en cuenta es f´cil probar hechos como que v ∧ w = −w ∧ v . En efecto, para todo x se a cumple evidentemente x(v ∧ w) = −x(w ∧ v ), y esto s´lo es posible si se da la o relaci´n indicada. Del mismo modo se prueban las relaciones o v ∧ (w + x) = v ∧ w + v ∧ x, αv ∧ w = (αv ) ∧ w = v ∧ (αw), α ∈ R. Adem´s v ∧ w = 0 si y s´lo si v y w son linealmente dependientes. En a o efecto, si son dependientes x(v ∧ w) = 0 para todo x, luego v ∧ w = 0. Si son independientes entonces existe un x independiente de ambos, de modo que x(v ∧ w) = 0, luego v ∧ w = 0. Si v y w son linealmente independientes, entonces v ∧w es un vector ortogonal a ambos. En efecto, v (v ∧ w) = w(v ∧ w) = 0. M´s a´n, en general se cumple au v∧w = v w sen v w. Para probarlo basta comprobar la identidad v∧w 2 + (vw)2 = v 2 w 2, que junto con vw = v w cos v w nos lleva a la relaci´n indicada. o Por ultimo observamos que si v y w son linealmente independientes entonces ´ la base (v, w, v ∧ w) es positiva, pues el determinante de la matriz de cambio de base respecto a e1 , e2 , e3 es a1 b2 a3 b3 2 + a3 b3 a1 b1 2 + a1 b1 a2 b1 2 > 0. Estas propiedades muestran que v ∧ w es independiente de la base respecto a la cual lo calculamos. Sea cual sea esta base, el producto vectorial resulta ser 2.3. Espacios completos 79 el vector nulo si v y w son dependientes o bien el vector perpendicular a ambos cuyo m´dulo es el que hemos calculado y cuyo sentido es el necesario para que o la base (v, w, v ∧ w) sea positiva. Para terminar daremos una interpretaci´n intuitiva del m´dulo del producto o o vectorial de dos vectores u y v . Se trata claramente del area del paralelogramo ´ que los tiene por lados: u u sen uv v 2.3 Espacios completos La ultima propiedad que vamos a estudiar no es topol´gica, sino m´trica. ´ o e La completitud garantiza la convergencia de ciertas sucesiones sin necesidad de conocer su l´ ımite de antemano. Ya hemos encontrado algunos casos, como el de las sucesiones mon´tonas en R, o las mon´tonas y acotadas en R. Los criterios de o o este son muy utiles porque permiten definir nuevas funciones y constantes como ´ l´ ımites de sucesiones. Comenzamos introduciendo una familia de sucesiones en un espacio m´trico que incluye a todas las convergentes: e Definici´n 2.29 Sea M un espacio m´trico. Una sucesi´n {an }∞ en M es o e o n=0 una sucesi´n de Cauchy si para todo > 0 existe un natural n0 de modo que si o m, n ≥ n0 , entonces d(am , an ) < . O sea, una sucesi´n es de Cauchy si sus t´rminos est´n finalmente tan o e a pr´ximos entre s´ como se desee. Esto le ocurre a toda sucesi´n convergente, o ı o pues si {an }∞ converge a L, entonces dado > 0 existe un natural n0 de modo n=0 que para todo n ≥ n0 se cumple d(an , L) < /2, luego si m, n ≥ n0 se cumple d(am , an ) ≤ d(am , L) + d(L, an ) < 2 + 2 =. As´ pues, toda sucesi´n convergente es de Cauchy, pero el rec´ ı o ıproco no es cierto. Pensemos en la sucesi´n {1/n} en el espacio ]0, 1]. Como en R es o convergente, es de Cauchy. Obviamente sigue siendo de Cauchy como sucesi´n o en ]0, 1], pero ya no es convergente. Por supuesto que el problema no est´ en la sucesi´n, sino en el espacio, al a o que en cierto sentido “le falta un punto”. Los espacios a los que no les faltan puntos en este sentido se llaman completos: Un espacio m´trico M es completo si toda sucesi´n de Cauchy en M es e o convergente. La completitud de R es consecuencia de las siguientes propiedades obvias de las sucesiones de Cauchy: Teorema 2.30 Sea M un espacio m´trico y {an }∞ una sucesi´n de Cauchy. e o n=0 80 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o a) Si {an }∞ tiene un punto adherente L, entonces converge a L. n=0 b) La sucesi´n {an }∞ est´ acotada. o a n=0 ´ Demostracion: a) Dado > 0, existe un n´mero natural a partir del cual u d(am , an ) < /2, y existe tambi´n un natural n0 , que podemos tomar mayor que e el anterior, tal que d(an0 , L) < /2. Por lo tanto si n ≥ n0 se cumple que d(an , L) ≤ d(an , an0 ) + d(an0 , L) < 2 + 2 =. Por consiguiente la sucesi´n converge a L. o b) Existe un n0 tal que si n ≥ n0 , entonces d(an , an0 ) < 1, esto significa que o {an | n ≥ n0 } ⊂ B1 (an0 ), luego es un conjunto acotado, y la sucesi´n completa es la uni´n de este conjunto con el conjunto de los n0 primeros t´rminos, que es o e finito, luego tambi´n est´ acotado. Por lo tanto la sucesi´n est´ acotada. e a o a Teorema 2.31 Todo espacio normado de dimensi´n finita es completo. o ´ Demostracion: Una sucesi´n de Cauchy est´ acotada, luego est´ conteo a a nida en una bola cerrada, que es un conjunto compacto, luego tiene un punto adherente, luego converge. En la sencilla prueba de este teorema se ve una relaci´n entre la compacidad o y la completitud. Con m´s detalle, la situaci´n es la siguiente: a o Teorema 2.32 Se cumple: a) Todo espacio m´trico compacto es completo. e b) Todo cerrado en un espacio m´trico completo es completo. e c) Todo subespacio completo de un espacio m´trico es cerrado. e ´ Demostracion: a) Toda sucesi´n tiene una subsucesi´n convergente, luego o o si es de Cauchy es convergente. b) Si M es un espacio m´trico completo y C es un cerrado en M , entonces e toda sucesi´n de Cauchy en C converge en M , y como C es cerrado su l´ o ımite estar´ en C , luego la sucesi´n converge en C . a o c) Si C es un subespacio completo de un espacio m´trico M , dado un punto x e en la clausura de C , existe una sucesi´n en C que converge a x, luego la sucesi´n o o es de Cauchy, luego converge en C , luego x est´ en C , luego C es cerrado. a Por supuesto no todo espacio completo es compacto. A veces es util conocer ´ lo que separa a un espacio completo de la compacidad: Definici´n 2.33 Un espacio m´trico M es precompacto si para cada o e existen puntos x1 , . . . , xn en M tales que M = B (x1 ) ∪ · · · ∪ B (xn ). >0 2.3. Espacios completos 81 Obviamente todo espacio compacto es precompacto (basta extraer un subcubrimiento finito del cubrimiento formado por todas las bolas de radio ). El teorema 2.7 contiene la demostraci´n de que un espacio precompacto y o completo es compacto. En efecto partiendo de la hip´tesis sobre subsucesiones o convergentes, en primer lugar se prueba que el espacio es precompacto. Con ayuda de la precompacidad se construye una sucesi´n de bolas B1/(n+1) (xn ) en o las que podemos exigir que cada una de ellas corte a la anterior. Esto garantiza que la sucesi´n de los centros es de Cauchy, con lo que podemos garantizar su o convergencia por la completitud y probamos la compacidad del espacio. As´ ı pues: Teorema 2.34 Un espacio m´trico es compacto si y s´lo si es precompacto y e o completo. Es muy importante tener claro que la completitud es una propiedad m´trica e y no topol´gica. Por ejemplo, los espacios R y ]−1, 1[ son homeomorfos, pero o uno es completo y el otro no. En particular una imagen continua de un espacio completo no tiene por qu´ ser completo. e Si analizamos lo que falla, vemos que en ]−1, 1[ hay sucesiones de Cauchy no convergentes, por ejemplo las que convergen a 1 en R, pero cuando las transformamos por el homeomorfismo entre ]−1, 1[ y R se convierten en sucesiones que tienden a +∞, que ya no son de Cauchy, luego no violan la completitud de R. El problema es que mientras una aplicaci´n continua transforma sucesiones o convergentes en sucesiones convergentes, no transforma necesariamente sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy. Y a su vez esto se debe a que si se estira infinitamente una sucesi´n de Cauchy, ´sta deja de serlo. Esto nos lleva a o e conjeturar que la completitud se conservar´ por aplicaciones continuas que no a produzcan estiramientos infinitos. Vamos a definir este tipo de aplicaciones. Definici´n 2.35 Una aplicaci´n f : M −→ N o o entre espacios m´tricos es uniformemente contie nua si para todo > 0 existe un δ > 0 de modo que si x, y ∈ M cumplen d(x, y ) < δ , entonces d f (x), f (y ) < . Desde un punto de vista l´gico, la diferencia f (y ) o entre aplicaci´n continua y uniformemente contio nua es sutil. Conviene confrontarlas. Recordemos que f es continua en un punto x si para todo > 0 existe un δ > 0 tal que si y ∈ M cumple d(x, y ) < δ , entonces d f (x), f (y ) < . La diferencia es, pues, que cuando f es uniformemente continua el mismo δ verifica la definici´n f (x) o de continuidad para un dado simult´neamente a en todos los puntos x. Por ejemplo, el homeomorfismo f entre ]−1, 1[ y R estira m´s los puntos a cuanto m´s pr´ximos est´n de ±1. Si tomamos a o a 0 δ x δ y 1 82 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o un punto x y queremos garantizar que f (z ) diste de f (x) menos que , tendremos que exigir que z diste de x menos que un cierto δ , pero si consideramos los puntos que distan menos que δ de un punto y m´s cercano a 1, vemos que a muchos de ellos se transforman en puntos que distan de f (y ) mucho m´s que a , y que si queremos que no sobrepasen esta cota hemos de tomar un δ mucho menor. Teorema 2.36 Sea f : K −→ M una aplicaci´n continua entre espacios m´trio e cos y supongamos que K es compacto. Entonces f es uniformemente continua. ´ Demostracion: Sea > 0. Para cada punto x ∈ K , como f es continua en x, existe un δ (x) > 0 tal que si d(y, x) < δ (x), entonces d f (y ), f (x) < /2. Cubramos el espacio K por todas las bolas abiertas de centro cada punto x y de radio δ (x)/2 y tomemos un subcubrimiento finito. Digamos que las bolas que forman este subcubrimiento tienen centros en los puntos x1 , . . . , xn . Sea δ > 0 el m´ ınimo del conjunto {δ (x1 )/2, . . . , δ (xn )/2}. Si x, y son dos puntos cualesquiera de K tales que d(x, y ) < δ , entonces x estar´ en una de las bolas Bδ(xi )/2 (xi ). Entonces a d(y, xi ) ≤ d(y, x) + d(x, xi ) < δ (xi ) δ (xi ) + = δ (xi ). 2 2 Por lo tanto x, y ∈ Bδ(xi ) (xi ), de donde d f (x), f (xi ) < 2 , d f (y ), f (xi ) < 2 . Consecuentemente, d f (x), f (y ) < . La imagen de una sucesi´n de Cauchy por una aplicaci´n uniformemente o o continua es una sucesi´n de Cauchy. En efecto, si {an }∞ es de Cauchy y o n=0 f es uniformemente continua, dado > 0 existe un δ > 0 de manera que si d(x, y ) < δ , entonces d f (x), f (y ) < . Existe un natural no tal que si n, m ≥ n0 entonces d(am , an ) < δ , luego d f (am ), f (an ) < . Esto prueba que la sucesi´n {f (an )}∞ es de Cauchy. o n=0 Como consecuencia, si dos espacios m´tricos X e Y son uniformemente hoe meomorfos, esto es, si existe una biyecci´n uniformemente continua con inversa o uniformemente continua entre ellos, uno es completo si y s´lo si lo es el otro. o Es importante destacar que una imagen uniformemente continua de un espacio completo no tiene por qu´ ser completa. e Veamos ahora algunas propiedades de las aplicaciones lineales entre espacios normados. Teorema 2.37 Sea f : E −→ F una aplicaci´n lineal entre espacios normados. o Las siguientes condiciones son equivalentes: a) f es continua en E . b) f es continua en 0. 2.4. Espacios de Hilbert 83 c) f est´ acotada en B 1 (0). a d) Existe un M ≥ 0 tal que para todo x ∈ E se cumple f (x) ≤ M x . e) f es uniformemente continua en E . ´ Demostracion: a) → b) es obvio. b) → c), pues existe un δ > 0 tal que x − 0 ≤ δ , entonces f (x) − f (0) ≤ 1. Por lo tanto si x ≤ 1, se cumple δ x ≤ δ , f (δ x) ≤ 1, f (x) ≤ 1/δ , o sea, que 1/δ es una cota de f en B 1 (0). c) → d), pues si M es una cota de f en B 1 (0), dado cualquier x = 0 se cumple que x/ x ∈ B 1 (0), luego f (x/ x ) ≤ M , de donde f (x) ≤ M x , y esto tambi´n es cierto si x = 0. e d) → e), pues para todos los x, y en E : f (x) − f (y ) = f (x − y ) ≤ M x − y , luego dado > 0, si x − y < /M , se cumple f (x) − f (y ) < . e) → a) es evidente. En particular, todo isomorfismo entre dos K-espacios vectoriales de dimensi´n finita es un homeomorfismo uniforme para cualquier par de normas. o Definici´n 2.38 Un espacio de Banach es un espacio normado completo. o Hemos visto que todo espacio normado de dimensi´n finita es un espacio de o Banach. 2.4 Espacios de Hilbert En el cap´ ıtulo I introdujimos los espacios prehilbertianos, que son los Kespacios vectoriales dotados de un producto escalar. Definici´n 2.39 Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano H que sea o completo con la m´trica inducida por el producto escalar. e Vamos a probar algunos hechos de inter´s sobre espacios de Hilbert. Los e primeros son v´lidos en general sobre espacios prehilbertianos: a Teorema 2.40 Si H es un espacio prehilbertiano, entonces el producto escalar en H es una funci´n continua. o ´ Demostracion: Para todos los x, x , y , y ∈ H se cumple |x · y − x · y | ≤ ≤ |(x − x ) · y | + |x · (y − y )| ≤ x − x x−x y + x −x y−y + x y+x y−y y−y . As´ dado un par (x, y ) ∈ H × H y un > 0, todo par (x , y ) ∈ H × H que ı, e cumpla x − x , y − y < /3M , donde M > x , y , cumple tambi´n que |x · y − x · y | < 2 3M M+ 9M 2 + 3M M< . 84 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Definici´n 2.41 Si H es un espacio prehilbertiano, diremos que x, y ∈ H son o ortogonales, y lo representaremos por x ⊥ y , si x · y = 0. Es conocido que la ortogonalidad en Rn coincide con el concepto geom´trico e de perpendicularidad. Es f´cil generalizar el teorema de Pit´goras: a a Si x ⊥ y , entonces x + y 2 =x 2 + y 2. As´ mismo, las propiedades del producto escalar dan inmediatamente la ı f´rmula conocida como identidad del paralelogramo: o x+y + x−y 2 2 =2 x 2 + 2 y 2. Para cada A ⊂ H , definimos A⊥ = {x ∈ H | x ⊥ a para todo a ∈ A}. Es claro que A⊥ es un subespacio vectorial de H . M´s a´n, puesto que {a}⊥ au es la antiimagen de 0 por la aplicaci´n continua x → a · x, se cumple que {a}⊥ o es cerrado, y como A⊥ = {a}⊥ , a∈A ⊥ vemos que A es un subespacio cerrado de H . Si V es un subespacio vectorial de H es claro que V ∩ V ⊥ = 0. Vamos a probar que si V es cerrado entonces H = V ⊕ V ⊥ . Para ello necesitamos un resultado previo: Teorema 2.42 Sea M un subconjunto no vac´ cerrado y convexo de un espaıo, cio de Hilbert H . Entonces M contiene un unico elemento de norma m´ ´ ınima. ´ Demostracion: Sea δ el ´ ınfimo de las normas de los elementos de M . Aplicando la identidad del paralelogramo a 1 x, 1 y tenemos 2 2 1 x−y 4 2 = 1 x 2 2 + 1 y 2 2 − x+y 2 2 . Si x, y ∈ M , por convexidad (x + y )/2 ∈ M , luego x−y 2 ≤2 x 2 +2 y 2 − 4δ 2 . (2.1) Si x = y = δ esto implica x = y , lo que nos da la unicidad. Es f´cil a construir una sucesi´n {xn }∞ ⊂ M tal que l´ xn = δ . Aplicando 2.1 a xm o ım n=0 n y xn concluimos f´cilmente que la sucesi´n es de Cauchy, luego converge a un a o punto x que, por continuidad de la norma, cumplir´ x = δ . Adem´s, como M a a es cerrado, ha de ser x ∈ M y claramente su norma es la m´ ınima en M . Teorema 2.43 Sea V un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H . Entonces 2.4. Espacios de Hilbert 85 a) Todo x ∈ H se descompone de forma unica como x = P x + Qx, donde ´ P x ∈ V , Qx ∈ V ⊥ . b) P x y Qx son los puntos de V y V ⊥ m´s pr´ximos a x. a o c) Las aplicaciones P : H −→ V y Q : H −→ V ⊥ son lineales y continuas. d) x 2 = Px 2 + Qx 2 . ´ Demostracion: El conjunto x + V es cerrado y convexo, luego podemos definir Qx como el elemento de norma m´ ınima en x + V . Definimos P x = x − Qx. Obviamente P x ∈ V . Veamos que Qx ∈ V ⊥ . Para ello probaremos que (Qx) · y = 0 para todo y ∈ V . No perdemos generalidad si suponemos y = 1. Por definici´n de Qx tenemos que o (Qx) · (Qx) = Qx 2 ≤ Qx − αy 2 = (Qx − αy ) · (Qx − αy ), para todo α ∈ K. Simplificando queda 0 ≤ −α(y · Qx) − α(Qx · y ) + αα, ¯ ¯ y si hacemos α = (Qx) · y queda 0 ≤ −|(Qx) · y |2 , luego (Qx) · y = 0. Esto prueba la existencia de la descomposici´n de a). La unicidad se debe a o que V ∩ V ⊥ = 0. En definitiva, H = V ⊕ V ⊥ . Ahora observamos que si y ∈ V entonces x−y 2 = Qx + (P x − y ) 2 = Qx 2 + P x − y 2, luego la m´ ınima distancia entre x y un punto y ∈ V se alcanza cuando y = P x. Esto prueba b). El apartado d) es el teorema de Pit´goras. La linealidad de a P y Q es obvia. La continuidad se debe a que por d) tenemos P x ≤ x , Qx ≤ x , y basta aplicar el teorema 2.37. Terminamos con un teorema que caracteriza las aplicaciones lineales continuas de un espacio de Hilbert en K. Teorema 2.44 Sea H un espacio de Hilbert y f : H −→ K una aplicaci´n o lineal continua. Entonces existe un unico y ∈ H tal que f (x) = x · y para todo ´ x ∈ H. ´ Demostracion: Si f es la aplicaci´n nula tomamos y = 0. En otro caso o sea V el n´cleo de f , que ser´ un subespacio cerrado propio de H . Por el u a teorema anterior V ⊥ = 0, luego podemos tomar z ∈ V ⊥ con z = 1. Sea u = f (x)z − f (z )x. Como f (u) = f (x)f (z ) − f (z )f (x) = 0, tenemos que u ∈ V , luego u · z = 0. La definici´n de u implica o f (x) = f (x)(z · z ) = f (z )(x · z ). Tomando y = f (z ) z resulta f (x) = x · y . La unicidad es obvia, pues si dos puntos y , y cumplen el teorema, entonces y − y es ortogonal a todo x ∈ H . 86 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o 2.5 Aplicaciones a las series num´ricas e La completitud de K tiene muchas consecuencias sobre las series num´ricas. e En primer lugar, la condici´n de Cauchy para una serie en K puede expresarse o como sigue: ∞ Teorema 2.45 Una serie an en K es convergente si y s´lo si para todo o n=0 p > 0 existe un natural n0 tal que si n0 ≤ m ≤ p, entonces an < . n=m p ´ Demostracion: Se trata de la condici´n de Cauchy, pues o an es la n=m diferencia entre la suma parcial p-´sima menos la suma parcial m − 1-sima, y e su m´dulo es la distancia entre ambas. o De aqu´ se sigue un hecho important´ ı ısimo. ∞ Teorema 2.46 Sea entonces la serie ∞ ∞ an una serie en K. Si la serie n=0 |an | es convergente, n=0 an tambi´n lo es. e n=0 ´ Demostracion: Dado si n0 ≤ m ≤ p, entonces p Ahora bien, n=m > 0 existe un n´mero natural n0 de manera que u p n=m an ≤ |an | < . p n=m |an | < , luego la serie sin m´dulos tambi´n es o e de Cauchy, luego converge. Definici´n 2.47 Una serie o si la serie ∞ ∞ an en K es absolutamente! convergente (serie) n=0 |an | es convergente. n=0 Hemos probado que toda serie absolutamente convergente es convergente. Las series convergentes que no son absolutamente convergentes se llaman series condicionalmente convergentes. Un ejemplo de serie condicionalmente convergente es 1− 1111111 + − + − + − + · · · = 0, 693147 . . . 2345678 La convergencia absoluta de una serie es esencial para ciertas cuestiones. Por ejemplo, una consecuencia inmediata de las propiedades de las sumas finitas y de los l´ ımites de sucesiones es que ∞ ∞ an + n=0 ∞ bn = n=0 ∞ (an + bn ), n=0 a ∞ an = n=0 aan , n=0 2.5. Aplicaciones a las series num´ricas e 87 entendiendo que si las series de la izquierda convergen, las de la derecha tambi´n e lo hacen y se da la igualdad. Un resultado an´logo para producto de series ya a no es tan sencillo. ∞ Definici´n 2.48 Sean o ∞ an y bn n=0 ∞ n=0 dos series en K. Llamaremos producto n ak · bn−k . de Cauchy de estas series a la serie n=0 k=0 La intenci´n es que la serie que acabamos de definir converja al producto de o las dos series de partida, pero esto no ocurre necesariamente si al menos una de ellas no converge absolutamente. ∞ Teorema 2.49 Si ∞ an y n=0 bn son dos series convergentes en K al menos n=0 una de las cuales converge absolutamente, entonces ∞ n ∞ n=0 k=0 ak · bn−k ∞ ∞ = an n=0 . bn n=0 ´ Demostracion: Supongamos que la serie que converge absolutamente es an y definamos n=0 ∞ ∞ A= n an , B = n=0 ak · bn−k , Cn = bn , cn = n=0 n k=0 n ck , k=0 n An = bk , βn = Bn − B. ak , Bn = k=0 k=0 Ahora, Cn = c0 + · · · + cn = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + · · · + (a0 bn + · · · + an b0 ) = a0 Bn + · · · + an B0 = a0 (B + βn ) + · · · + an (B + β0 ) = An B + (a0 βn + · · · + an β0 ) El teorema quedar´ probado si vemos que a0 βn + · · · + an β0 tiende a 0. a Sea > 0. Sea K = ∞ |an |. Sea M = sup |βn | | n ≥ 0 (la sucesi´n βn o n=0 tiende a 0, luego est´ acotada). a Existe un n´mero natural n0 tal que si n ≥ n0 , entonces |βn | < /2K y si u q k ≥ n0 , entonces |ak | < /2M . En consecuencia, si n ≥ 2n0 , k=n0 +1 n0 n |a0 bn + · · · + an b0 | ≤ |ak βn−k | = k=0 k=0 n < 2K n |ak βn−k | + n |ak | + M k=0 |ak βn−k | k=n0 +1 |ak | ≤ k=n0 +1 2K K+ 2M M= . 88 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Si ninguna de las series converge absolutamente el resultado no tiene por qu´ cumplirse. e Ejemplo Consideremos la serie ∞ (−1)n √ . n+1 n=0 La serie converge por el criterio de Leibniz. El producto de Cauchy de esta serie por s´ misma tiene t´rmino general ı e n 1 cn = (−1)n k=0 (n − k + 1)(k + 1) . Cuando n ≥ k tenemos (n − k + 1)(k + 1) = luego n +1 2 1 (n − k + 1)(k + 1) Por consiguiente n |cn | ≥ k=0 2 n −k 2 − ≥ n 2 2 ≤ n +1 2 2 , 2 1 = . +1 n+2 2 2(n + 1) = . n+2 n+1 Esta expresi´n converge a 2, luego cn no converge a 0 y el producto de o Cauchy no converge. El teorema anterior prueba, pues, que la serie dada es condicionalmente convergente. Otro punto en el que la convergencia absoluta resulta crucial es en el de la reordenaci´n de los t´rminos de una serie. o e ∞ Dada una serie convergente an y una biyecci´n σ : N −→ N, podemos o considerar la serie ∞ n=0 aσ(n) y estudiar su convergencia. De nuevo el resultado n=0 natural exige que la serie converja absolutamente: Teorema 2.50 Si ∞ an es una serie absolutamente convergente y σ : N −→ N n=0 es una aplicaci´n biyectiva, entonces la serie o ∞ aσ(n) es absolutamente conver- n=0 gente y tiene la misma suma. ´ Demostracion: Una serie es absolutamente convergente si y s´lo si las o sumas parciales de sus m´dulos forman un conjunto acotado. Toda suma parcial o de los m´dulos de la reordenaci´n est´ mayorada por una suma parcial de los o o a 2.5. Aplicaciones a las series num´ricas e 89 m´dulos de la serie original (tomando los sumandos necesarios para incluir todos o los que aparecen en la suma dada). Por tanto las sumas parciales de los m´dulos o de la reordenaci´n est´n acotadas y la serie converge absolutamente. o a Sea > 0. Existe un n´mero natural n0 tal que si n ≥ n0 u ∞ n ∞ ak − k=0 ∞ ak ≤ ak = k=0 ∞ |ak | = k=n k=n n |ak | − k=0 |ak | < 2 k=0 . Sea m0 ≥ n0 tal que {0, 1, . . . , n0 } ⊂ {σ (0), σ (1), . . . , σ (m0 )}. Entonces si n ≥ m0 , ∞ n aσ(k) − ak k=0 n0 n ≤ aσ(k) − k=0 k=0 ∞ |ak | + k=n0 +1 Por lo tanto ∞ aσ(k) = k=0 ∞ ak − ak + k=0 < ∞ n0 2 k=0 ak k=0 <. ak . k=0 Como consecuencia, si I es cualquier conjunto infinito numerable y {ai }i∈I es cualquier familia de elementos de K con la propiedad de que las sumas |ai |, con F ⊂ I finito est´n acotadas, tiene sentido la expresi´n e o i∈F i∈I ai , definida como la suma de la serie determinada por cualquier ordenaci´n del conjunto I , y es o un n´mero independiente de la ordenaci´n elegida. Obviamente la expresi´n u o o ai tiene tambi´n sentido cuando I es un conjunto finito. e i∈I Observar que si > 0, existe un F0 ⊂ I finito tal que para todo F0 ⊂ F ⊂ I , se cumple i∈I ai − i∈F o ai < . En efecto, basta considerar una ordenaci´n de I y tomar como F0 los primeros t´rminos de la sucesi´n, de modo que el m´dulo e o o de las colas con y sin m´dulos sea menor que /2. Entonces o ai ≤ ai − i∈I i∈F ai − i∈I ai − ai + i∈F0 i∈F0 ai < i∈F 2 |ai | < . + i∈F \F0 Las series absolutamente convergentes se pueden manipular exactamente igual que si fueran sumas finitas. El siguiente teorema justifica cualquier operaci´n razonable entre ellas. o Teorema 2.51 Sea {ai }i∈I una familia de elementos de K. Sea I = divisi´n de I en partes disjuntas. Entonces o si y s´lo si lo son las series o i∈In ∞ ai y i∈I In una n=0 ai es (absolutamente) convergente |ai |. Adem´s en tal caso a n=0 ∞ ai = i∈I ∞ ai . n=0 i∈In 90 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o ´ Demostracion: Si i∈I ai es absolutamente convergente, sus sumas parciales en m´dulo est´n acotadas, pero toda suma parcial en m´dulo de cada o a o lo es tambi´n de la primera, luego ´stas est´n acotadas, o sea, las series e e a i∈In i∈In |ai | |ai | convergen absolutamente. Dado cualquier natural k , tomamos para cada n ≤ k un conjunto finito Fn ⊂ In tal que |ai | − |ai | < 1/(k + 1). Entonces i∈In k i∈Fn k |ai | < n=0 i∈In |ai | + 1 ≤ n=0 i∈Fn |ai | + 1, i∈I luego las sumas parciales est´n acotadas y as´ todas las series convergen absoa ı lutamente. Supongamos ahora que las series i∈In |ai | y ∞ n=0 i∈In |ai | convergen absoluta- mente. Si F ⊂ I es finito, para un cierto k suficientemente grande se cumple k i∈F ∞ k |ai | = |ai | ≤ n=0 i∈In ∩F luego las sumas parciales de i∈I |ai | ≤ n=0 i∈In |ai |, n=0 i∈In |ai | est´n acotadas y la serie converge absolutaa mente. Ahora supongamos la convergencia de todas las series y probemos la igualdad de las sumas. Notemos que la serie ∞ ai n=0 i∈In es convergente porque es absolutamente convergente. Sea n´mero natural n0 tal que u > 0. Existe un ∞ ai < /4. n=n0 +1 i∈In Para cada n ≤ n0 existe un conjunto finito Fn ⊂ In tal que si Fn ⊂ F ⊂ In , entonces ai − i∈In ai < i∈Fn 2(n0 + 1) . Sea F un conjunto finito que contenga a todos los Fn y tal que ai − i∈I ai < /4. i∈F 2.5. Aplicaciones a las series num´ricas e 91 Entonces ∞ ∞ ai − n=0 i∈In n0 ≤ ai i∈I ai − ai + n=n0 +1 i∈In ai − + i∈F n=0 i∈In ai i∈F ai i∈I n0 < 4 ai − + n=0 i∈In ai + i∈In ∩F 4 + 2 + 4 =. Por lo tanto ambas sumas coinciden. Ejemplo Consideremos la serie condicionalmente convergente ∞ (−1)n+1 . n n=1 S= Entonces ∞ (−1)n+1 S =. 2n 2 n=1 Ahora consideremos la serie ∞ an cuyos t´rminos impares son ceros y sus e n=1 t´rminos pares son los de la serie anterior, es decir, la serie e 0+ 1 1 1 1 + 0 − + 0 + + 0 − + ··· 2 4 6 8 Obviamente su suma es tambi´n S/2. La serie e ∞ n=1 (−1)n+1 + an n converge a 3S/2. Sus primeros t´rminos son: e 1+0+ 111 111 − + + 0 + − + + 0 + ··· 325 749 Eliminando los ceros obtenemos la serie 1+ 111111 1 1 −++−++ − ··· 3 2 5 7 4 9 11 6 Vemos que se trata de una reordenaci´n de la serie original, pero converge a o 3S/2. 92 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o 2.6 Espacios de funciones Uno de los ´xitos de la topolog´ consiste en que sus t´cnicas, desarrolladas en e ıa e principio para estudiar espacios “geom´tricos” como Kn , se aplican igualmente e a objetos m´s abstractos, como son los conjuntos de funciones entre espacios a topol´gicos. Las definiciones siguientes no corresponden en realidad a conceptos o nuevos desde un punto de vista topol´gico: o Definici´n 2.52 Sea Y un espacio topol´gico y X un conjunto cualquiera. Una o o sucesi´n funcional de X en Y es una sucesi´n {fn }∞ en el espacio Y X de todas o o n=0 las aplicaciones de X en Y , es decir, para cada n se cumple fn : X −→ Y . Si Y es un espacio vectorial topol´gico (en especial si Y = K) cada sucesi´n o o funcional define la correspondiente serie funcional n cuyos t´rminos son las funciones Sn = e ∞ fn , es decir, la sucesi´n o n=0 fk : X −→ Y . k=0 Diremos que una sucesi´n funcional {fn }∞ converge puntualmente a una o n=0 funci´n f ∈ Y X si para todo x ∈ X se cumple l´ fn (x) = f (x). En tal caso o ım n escribiremos l´ fn = f . Para series de funciones podemos definir de manera ım n obvia la convergencia puntual absoluta y la convergencia puntual condicional. En realidad no estamos introduciendo un nuevo concepto de convergencia. Notemos que Y X es el producto cartesiano del espacio Y por s´ mismo tantas ı veces como elementos tiene X , luego podemos considerarlo como espacio topol´gico con la topolog´ producto. Las sucesiones convergen en esta topolog´ o ıa ıa si y s´lo si convergen coordenada a coordenada, o sea, si y s´lo si convergen o o puntualmente. Por ello a la topolog´ producto en Y X se la llama tambi´n ıa e topolog´ de la convergencia puntual. ıa Sin embargo, la convergencia puntual no es la convergencia m´s natural que a puede definirse sobre las sucesiones funcionales. De hecho presenta grandes inconvenientes. Ejemplo Para cada n ≥ 1 0 nx fn (x) = 1 sea fn : R −→ R la funci´n dada por o si x ≤ 0 si 0 ≤ x ≤ 1/n si 1/n ≤ x 1/n Si x ≤ 0 entonces fn (x) es constante igual a 0 y si x > 1 entonces fn (x) es finalmente constante igual a 1, luego esta sucesi´n funcional converge puntualmente a la o funci´n f que muestra la figura de la izquierda. Tenemos, o pues, una sucesi´n de funciones continuas cuyo l´ o ımite puntual no es continuo. 2.6. Espacios de funciones 93 En general el hecho de que una funci´n sea l´ o ımite puntual de una sucesi´n de funciones aporta muy o poca informaci´n. La raz´n es que los entornos de o o la topolog´ puntual son muy grandes. En efecto, en ıa el caso de RR no es dif´ ver que un entorno b´sico ıcil a de una funci´n f es un conjunto de la forma o x1 x2 x3 g ∈ RR |g (xi ) − f (xi )| < , i = 1, . . . , n , donde > 0 y x1 , . . . , xn ∈ R, es decir, si una sucesi´n funcional tiende a f , lo o m´ximo que podemos garantizar tomando un ´ a ındice grande es que los t´rminos e de la sucesi´n se parecer´n a f en un n´mero finito de puntos, pero dos funciones o a u pueden parecerse en un n´mero finito de puntos y ser muy diferentes. u Es mucho m´s natural considerar que dos funciones est´n pr´ximas cuando a a o distan menos de un en todos los puntos a la vez. Por ello, si Y es un espacio m´trico, definimos la topolog´ de la convergencia uniforme en Y X como la que e ıa tiene por base de entornos abiertos de una funci´n f a los conjuntos de la forma o B (f, ) = {g ∈ Y X | d f (x), g (x) < para todo x ∈ X }. De este modo, cuando una funci´n g est´ en un entorno de f suficientemente o a peque˜o, ambas funciones se parecen realmente. Es f´cil comprobar que los n a conjuntos B (f, ) cumplen las condiciones del teorema 1.14 y por tanto definen, seg´n hemos dicho, una topolog´ en Y X . u ıa Es inmediato comprobar que una sucesi´n funcional {fn }∞ converge unio n=0 formemente (es decir, en la topolog´ de la convergencia uniforme) a una funci´n ıa o f si y s´lo si para todo o > 0 existe un n0 tal que si n ≥ n0 , entonces d fn (x), f (x) < para todo x ∈ X . La diferencia, pues, entre la convergencia uniforme y la convergencia puntual es que cuando la convergencia es uniforme hay un n0 a partir del cual todos los fn (x) distan de su l´ ımite menos de un dado, mientras que si la convergencia ımite es puntual cada punto x puede requerir un n0 mayor para acercarse a su l´ en menos de , de manera que ning´n n0 sirva simult´neamente para todos los u a puntos. Es obvio que si una sucesi´n funcional converge uniformemente a una funo ci´n, tambi´n converge puntualmente a dicha funci´n. Tanto la topolog´ de o e o ıa la convergencia uniforme como la topolog´ de la convergencia puntual son de ıa Hausdorff, luego los l´ ımites son unicos. ´ Si en el espacio Y tomamos la distancia d (x, y ) = m´ {1, d(x, y )}, los conın ıa juntos B (f, ) son los mismos cuando < 1, luego d induce la misma topolog´ de convergencia uniforme en Y X . La ventaja de esta m´trica es que no toma valores mayores que 1, por lo que e podemos definir d(f, g ) = sup d f (x), g (x) X x∈X , y es claro que esta d es una distancia en Y para la cual B (f, ) es simplemente la bola abierta de centro f y radio . Esto convierte a Y X en un espacio m´trico e cuya topolog´ es precisamente la de la convergencia uniforme. ıa 94 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Teorema 2.53 Sea X un espacio topol´gico e Y un espacio m´trico. Entonces o e el conjunto C (X, Y ) de las aplicaciones continuas de X en Y es cerrado en Y X , cuando en ´ste consideramos la topolog´ de la convergencia uniforme. e ıa ´ Demostracion: Sea {fn }∞ una sucesi´n de aplicaciones continuas que o n=0 converja uniformemente a una funci´n f . Basta ver que f es continua. o Sea > 0. Sea n0 tal que si n ≥ n0 y x ∈ X , entonces d fn (x), f (x) < /3. Sea x0 ∈ X (vamos a probar que f es continua en x0 ). Como fn0 es continua existe un entorno U de x0 tal que si x ∈ U , entonces d fn0 (x), fn0 (x0 ) < /3. Por lo tanto, si x ∈ U , se cumple que d f (x), f (x0 ) ≤ d f (x), fn0 (x) + d fn0 (x), fn0 (xo) + d fn0 (x0 ), f (x0 ) < . ´ Este es un primer ejemplo del buen comportamiento de la convergencia uniforme. Veamos otros: Teorema 2.54 Sea Y un espacio m´trico completo y X un conjunto. Entonces e Y X es completo con la m´trica inducida a partir de la m´trica de Y . Por lo e e tanto si X es un espacio topol´gico, C (X, Y ) tambi´n es completo. o e ´ Demostracion: Ante todo notemos que si Y es completo con su m´trica e d, tambi´n lo es con la m´trica d que resulta de tomar el m´ e e ınimo con 1, luego podemos suponer que la m´trica en Y est´ acotada. e a Sea {fn }∞ una sucesi´n de Cauchy en Y X . Esto significa que para todo o n=0 > 0 existe un n0 tal que si m, n ≥ n0 y x ∈ X , entonces d fm (x), fn (x) < . En particular esto implica que cada sucesi´n {fn (x)}∞ es de Cauchy en Y , o n=0 luego converge a un cierto punto f (x). Con esto tenemos una funci´n f ∈ Y X o a la cual {fn }∞ converge puntualmente. Basta ver que tambi´n converge e n=0 uniformemente. Sea > 0 y tomemos un natural n0 como antes. As´ si n0 ≤ n ≤ m, ı, a se cumple d fm (x), fn (x) < , luego fm (x) est´ en la bola cerrada de centro fn (x) y radio , luego el l´ ımite f (x) estar´ en esta misma bola, o sea, se cumplir´ a a d f (x), fn (x) ≤ , y esto para todo n ≥ n0 y todo x ∈ X . Esto significa que la sucesi´n converge uniformemente a f . La completitud de C (X, Y ) se sigue de o que es un cerrado. En general no podemos convertir a Y X en un espacio normado aunque Y lo sea. El problema es que no podemos transformar la norma en una norma acotada. Lo unico que podemos hacer es definir (Y X )∗ como el espacio de ´ las funciones acotadas de X en Y , es decir, las funciones f tales que f [X ] est´ acotado. En este conjunto podemos definir la norma supremo dada por a f ∞ = sup f (x) x ∈ X , que obviamente genera las bolas que definen la topolog´ de la convergencia uniforme (restringida a (Y X )∗ ). As´ pues, si Y ıa ı e a ımite es un espacio normado, (Y X )∗ tambi´n lo es, y como es f´cil ver que el l´ uniforme de funciones acotadas est´ acotado, resulta que (Y X )∗ es cerrado en a Y X , luego si Y es un espacio de Banach, (Y X )∗ tambi´n lo es. e 2.6. Espacios de funciones 95 Si X es un espacio topol´gico e Y es un espacio normado, definimos C ∗ (X, Y ) o como el espacio de las funciones continuas y acotadas de X en Y . Obviamente se trata de la intersecci´n de dos cerrados, luego es cerrado, es un espacio normado o y si Y es un espacio de Banach, C ∗ (X, Y ) tambi´n lo es. e En particular C ∗ (X, K) es un espacio de Banach. En general no podemos dotar a C (X, K) de estructura de espacio normado. De hecho no es un espacio vectorial topol´gico porque no es conexo. En efecto, es f´cil ver que C ∗ (X, K) o a es abierto y cerrado en C (X, K). La unica excepci´n es precisamente cuando ´ o C (X, K) = C ∗ (X, K). Esto ocurre por ejemplo si X es un compacto. Es decir, si X es compacto, entonces C (X, K) es un espacio de Banach con la norma supremo y la topolog´ es la de la convergencia uniforme. ıa Sea L(E, F ) el conjunto de las aplicaciones lineales continuas entre dos espacios normados. Teniendo en cuenta 2.37, la aplicaci´n L(E, F ) −→ C ∗ (B1 (0), F ) o definida por restricci´n es claramente lineal e inyectiva (pues B1 (0) contiene una o base de E ). Si transportamos la norma de este segundo espacio al primero obtenemos que, para cada aplicaci´n lineal y continua f : E −→ F , su norma es o el supremo de f en B1 (0), y por lo tanto cumple f (v ) ≤ f v para todo v ∈ E. Ejercicio: Probar que L(E, F ) es un subespacio cerrado de C ∗ (B1 (0), F ). Por consiguiente, si F es un espacio de Banach, L(E, F ) tambi´n lo es. e Terminamos con un resultado importante sobre convergencia de series funcionales. Previamente notemos lo siguiente: si una serie ∞ fn converge absoluta n=0 y uniformemente en un conjunto X , es decir, si la serie formemente, entonces que la de 2.46. ∞ ∞ |fn | converge uni- n=0 fn converge uniformemente. La prueba es la misma n=0 Teorema 2.55 (Criterio de Mayoraci´n de Weierstrass) Sea o ∞ fn una n=0 serie funcional en un espacio X y {Mn }∞ una sucesi´n en el intervalo [0, +∞[ o n=0 tal que para todo natural n y todo x ∈ X se cumpla |fn (x)| ≤ Mn . Si la serie ∞ Mn es convergente, entonces la serie fn es absoluta y uniformemente n=0 convergente en X . ´ Demostracion: La serie Mn es de Cauchy, luego dado tal que si n0 ≤ m ≤ p, entonces p Mn < . As´ ı n=m p p |fn (x)| = n=m > 0 existe un n0 p |fn (x)| ≤ n=m para todo x ∈ X . Esto significa que la serie Mn < n=m ∞ n=0 |fn | es de Cauchy en C (X, K), 96 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o luego (uniformemente) convergente, luego fn es absoluta y uniformemente n=0 convergente. 2.7 ∞ Ap´ndice: El teorema de Baire e Terminamos el cap´ ıtulo con un resultado que no nos va a hacer falta m´s a adelante, pero que es util en algunos contextos m´s avanzados. Necesitamos ´ a algunos resultados previos: Definici´n 2.56 Si M es un espacio m´trico y C ⊂ M , se define el di´metro o e a de C como d(C ) = sup{d(x, y ) | x, y ∈ C } ∈ [0, +∞]. Es f´cil calcular el di´metro de una bola abierta: a a d(Br (x)) = 2r. Tambi´n se comprueba sin dificultad que el di´metro de un conjunto coincide e a con el de su clausura. Por ultimo, necesitamos el siguiente hecho elemental: ´ Teorema 2.57 Sea M un espacio m´trico completo. Toda familia decreciente e {Cn }n de cerrados en M no vac´ tal que l´ d(Cn ) = 0 tiene intersecci´n no ıos ım o n vac´ ıa. ´ Demostracion: Para cada n tomamos xn ∈ Cn . Como l´ n d(Cn ) = 0, es ım claro que la sucesi´n (xn )n es de Cauchy. Su l´ o ımite x est´ en cada Cn por ser a ´ste cerrado y {Cn }n decreciente. e Teorema 2.58 (Teorema de Baire) En un espacio m´trico completo, la ine tersecci´n de una familia numerable de abiertos densos es un conjunto denso. o ´ Demostracion: Sea M un espacio m´trico completo y G = e ∞ Gn una n=1 intersecci´n numerable de abiertos Gn densos en M . Basta probar que G corta o a toda bola abierta Br (x). Como G1 es denso en M existe x1 ∈ G1 ∩ Br (x). Como G1 ∩ Br (x) es abierto, existe un r1 > 0, que podemos tomar menor que r/2, tal que B r1 (x1 ) ⊂ G1 ∩ Br (x). G2 Inductivamente podemos construir una sucesi´n {xn }n o r de puntos de M y una sucesi´n {rn }n de n´meros reales o u x2 positivos de modo que x B rn (xn ) ⊂ Gn ∩ Brn−1 (xn−1 ) y rn < r/n para todo n. x1 r1 (2.2) G1 2.7. Ap´ndice: El teorema de Baire e Por el teorema anterior, ∞ 97 B rn (xn ) = ∅, luego (2.2) implica que n=1 ∞ G ∩ Br (x) ⊃ (Gn ∩ Brn−1 (xn−1 )) = ∅. n=1 Sin m´s que tener en cuenta que el complementario de un conjunto denso es a un conjunto con interior vac´ tenemos una forma equivalente del teorema de ıo Baire: Teorema 2.59 (Teorema de Baire) En un espacio m´trico completo, toda e uni´n numerable de cerrados de interior vac´ tiene interior vac´ o ıo ıo. Conviene observar que la tesis del teorema de Baire (en cualquiera de sus dos formas equivalentes) se cumple tambi´n sobre espacios topol´gicos localmente e o compactos, no necesariamente metrizables. La prueba es, de hecho, m´s sencilla, a y se obtiene sustituyendo el teorema 2.57 por el hecho de que la intersecci´n de o una familia decreciente de compactos no vac´ es no vac´ ıos ıa. Aunque, seg´n hemos indicado, no necesitaremos el teorema de Baire, vamos u a tratar de explicar su inter´s. Para ello necesitamos algunas definiciones: e Definici´n 2.60 Sea X un espacio topol´gico. Un subconjunto A de X es o o diseminado si X \ A contiene un abierto denso o, equivalentemente, si A est´ a contenido en un cerrado de interior vac´ o, tambi´n, si int A = ∅. ıo e Informalmente, la idea es que un abierto denso (y cualquier conjunto que lo contenga) es un conjunto “muy grande” desde el punto de vista topol´gico, o pues todo abierto contiene un abierto contenido en tal conjunto; los conjuntos diseminados son topol´gicamente “muy peque˜os”. Como todo conjunto que o n contenga a un conjunto que contenga a un abierto denso contiene un abierto denso, tomando complementarios obtenemos que los subconjuntos de los conjuntos diseminados son diseminados. Esta noci´n de conjunto diseminado resulta o ser muy restrictiva, esencialmente a causa de que no se conserva por uniones numerables, por ello se definen los conjuntos de primera categor´ ıa: Definici´n 2.61 Un subconjunto A de un espacio topol´gico X es de primera o o categor´ si es uni´n numerable de conjuntos diseminados. A es de segunda ıa o categor´ si no es de primera categor´ ıa ıa. Es evidente que toda uni´n numerable de conjuntos de primera categor´ o ıa es de primera categor´ As´ los conjuntos de primera categor´ son conjunıa. ı, ıa tos topol´gicamente “peque˜os”, aunque no necesariamente “muy peque˜os”, o n n mientras que los conjuntos de segunda categor´ son los topol´gicamente “granıa o des”. No obstante, estas nociones no sirven de nada sin el teorema de Baire, que puede enunciarse en una tercera forma equivalente: 98 Cap´ ıtulo 2. Compacidad, conexi´n y completitud o Teorema 2.62 (Teorema de Baire) En un espacio m´trico completo, los cone juntos de primera categor´ tienen interior vac´ ıa ıo. ´ Demostracion: Consideremos un conjunto C de primera categor´ Enıa. tonces C = An ⊂ An = C , n n donde los conjuntos An son diseminados, luego sus clausuras son cerrados de interior vac´ luego C tiene interior vac´ (por la versi´n que ya hemos probado ıo, ıo o del teorema de Baire) y C tambi´n. e As´ pues, si probamos que un conjunto C es “peque˜o”, en el sentido de ı n que es de primera categor´ el teorema de Baire nos da que todo abierto va a ıa, ´ contener puntos que no est´n en C . Este es esencialmente el inter´s del teorema a e de Baire. Terminaremos con una aplicaci´n del teorema de Baire, que no es de las m´s o a t´ ıpicas, pero tal vez la m´s sencilla: a Ejemplo de R. Q no puede expresarse como una intersecci´n numerable de abiertos o En efecto, en tal caso ser´ una intersecci´n numerable de abiertos densos, ıa o luego R \ Q ser´ una uni´n numerable de cerrados de interior vac´ al igual que ıa o ıo, R = Q ∪ (R \ Q). El teorema de Baire nos dar´ entonces que R tiene interior ıa vac´ (en s´ mismo), lo cual es absurdo. ıo ı Los conjuntos que pueden expresarse como intersecci´n numerable de abiero tos se llaman conjuntos Gδ . El ejemplo anterior, junto con el teorema siguiente, muestra que no puede existir una funci´n f : R −→ R continua en los puntos o Q y discontinua en los de R \ Q. (Si el lector cree que esto es evidente, deber´ ıa pensar en el ejercicio que sigue al teorema.) Teorema 2.63 Sea M un espacio m´trico completo. El conjunto de puntos de e continuidad de toda funci´n f : M −→ R es un Gδ . o ´ Demostracion: Para cada natural no nulo n definimos Gn = {x ∈ M | existe δ > 0 tal que sup f (y ) − ´ ınf y ∈Bδ (x) y ∈Bδ (x) f (y ) < 1/n}. Claramente los conjuntos Gn son abiertos. Basta probar que el conjunto de puntos de continuidad de f es G = ∞ n=1 Gn . Si f es continua en x, dado un n > 0 existe un δ > 0 tal que si y ∈ Bδ (x) entonces |f (x) − f (y )| < 1/(4n). Por lo tanto, si y , y ∈ Bδ (x) se cumple que |f (y ) − f (y )| < 1/(2n) y, tomando el supremo en y y el ´ ınfimo en y , concluimos que x ∈ Gn . 2.7. Ap´ndice: El teorema de Baire e 99 Rec´ ıprocamente, supongamos que x ∈ G. Dado 1/n < . Como x ∈ Gn , existe δ > 0 tal que ınf sup f (y ) − ´ y ∈Bδ (x) y ∈Bδ (x) > 0 tomamos n tal que f (y ) < 1/n. Entonces si y ∈ Bδ (x) se tiene que |f (x) − f (y )| ≤ sup f (y ) − ´ ınf y ∈Bδ (x) y ∈Bδ (x) f (y ) < 1/n < , luego f es continua en x. Ejercicio: Consideremos la funci´n f : R −→ R dada por o f (x) = 1/q 0 si x = p/q con p, q ∈ Z, (p, q ) = 1, q > 0, en caso contrario. Demostrar que l´ f (x) = 0 para todo x0 ∈ R. Deducir que f es continua en R \ Q ım x→x0 y discontinua en Q. Cap´ ıtulo III C´lculo diferencial de una a variable En este cap´ ıtulo estudiaremos una de las ideas m´s importantes y fruct´ a ıferas que posee la matem´tica actual. Su n´cleo est´ en la observaci´n de que mua u a o chas curvas se parecen localmente a rectas. Por ejemplo, visto suficientemente de cerca, un arco de circunferencia es indistinguible de un segmento de recta. Una prueba de ello est´ en el horizonte que separa el cielo del mar en un d´ a ıa despejado. Se trata de un arco de circunferencia, pero ¿se ve que es as´ ı? La raz´n por la que el horizonte parece recto no es que la Tierra sea muy o grande, sino que la vemos muy de cerca. Vista desde la Luna es claramente esf´rica y cualquier circunferencia al microscopio parece una recta. Lo mismo e sucede con muchas curvas, que si las vemos muy de cerca parecen rectas. Pero esto no es cierto para todas. Pensemos en la curva de la figura. Vista de cerca podr´ pasar por una recta en un enıa torno de cualquiera de sus puntos excepto el se˜alado n con el c´ ırculo, donde tiene un “pico”. Por m´s que nos a acerquemos nunca dejaremos de ver ese pico que delatar´ a que no se trata de una recta. Vamos a estudiar las curvas que localmente se parecen a rectas. Pero ¿qu´ es exactamente parecerse a una recta? e 3.1 Derivaci´n o r Consideremos una funci´n f definida en un entorno o de un punto a ∈ R y con imagen en R. Supongamos f que su gr´fica se parece mucho a una recta en un ena torno del punto. La pregunta es ¿a qu´ recta se parece? e Por lo pronto a una que pasa por el punto a, f (a) . a Las rectas que pasan por dicho punto (a excepci´n de o la vertical, que no nos va a interesar) son de la forma r(x) = m(x − a) + f (a), donde m ∈ R. 101 102 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a La interpretaci´n geom´trica de m es sencilla. En general, si tenemos una o e recta r(x) = mx + n, en un punto a tomar´ el valor r(a) = ma + n. Si nos a trasladamos a un punto a + h con h = 0 obtendremos r(a + h) = ma + mh + n. El incremento que ha experimentado la funci´n es r(a + h) − r(a) = mh, y si lo o dividimos por el desplazamiento h obtenemos, independientemente de cu´l sea a h, el valor m. Es decir, r(a + h) − r(a) m= . h Geom´tricamente esto no es sino el teorema de Tales. En definitiva, m expresa lo e que aumenta la funci´n por unidad de avance: si nos desplazamos h = 1 unidad, o la recta aumenta en m unidades, si avanzamos h = 2 unidades, la recta aumenta 2m, etc. Por lo tanto, si el valor de m es grande la recta subir´ muy r´pidamente, a a ser´ una recta muy empinada. Si m = 0 la recta no sube, es constante. Si m a es negativo la recta baja, m´s r´pidamente cuanto mayor sea m en m´dulo. El aa o n´mero m se llama pendiente de la recta. Una recta viene determinada por u dos de sus puntos o bien por uno de sus puntos y su pendiente (pues conocido un punto (a, b) y la pendiente m conocemos m´s puntos: (a + 1, b + m), por a ejemplo). Volviendo a nuestro problema, tenemos la recta r(x) = m(x − a)+ f (a), cuya pendiente es m. Nos falta determinar m para que sea la recta que se parece a f . Consideremos la expresi´n o m(h) = f (a + h) − f (a) . h (3.1) Esto no es una constante (salvo que f sea una recta), pero si ciertamente f se parece a una recta r, esta expresi´n deber´ parecerse a la pendiente de r. o ıa Si f se parece m´s a r cuanto m´s de cerca la miramos, esto es, cuando consia a deramos puntos m´s cercanos al punto a, el valor m(h) deber´ parecerse m´s a ıa a a la pendiente de r cuanto menor es h. Por ello definimos: Definici´n 3.1 Sea f : A −→ R y a un punto interior de A. Diremos que f es o derivable en a si existe (en R) f (a) = l´ ım h→0 f (a + h) − f (a) . h Cuando esto sucede, a la recta r(x) = f (a)(x − a) + f (a) se le llama recta tangente a f en el punto a, f (a) (o para abreviar, en el punto a). El n´mero u f (a) es la derivada de f en el punto a. Seg´n hemos dicho, una funci´n es derivable en un punto cuando su gr´fica u o a se confunde en un entorno de dicho punto con la de una recta, la recta tangente a la funci´n en el punto. Esto no es exacto, pues en realidad hay funciones o que se parecen a rectas en los alrededores de un punto y pese a ello no son derivables. Esto ocurre cuando la recta tangente es vertical, con lo que su pendiente es infinita y no existe (en R) el l´ ımite que define la derivada. Un √ ejemplo lo proporciona la funci´n 3 x en x = 0. o 3.1. Derivaci´n o 103 1 0.5 -2 -1 1 2 -0.5 -1 Observamos que el eje vertical es tangente a la funci´n en 0, pese a lo cual, o seg´n veremos, la funci´n no es derivable en 0. u o Diremos que una funci´n es derivable en un abierto A si es derivable en o todos los puntos de A. Una funci´n es derivable si su dominio es un abierto y o es derivable en todos sus puntos. Si f : A −→ R es derivable, tenemos definida otra funci´n f : A −→ R que o o a cada punto a ∈ A le asigna su derivada f (a). A esta funci´n la llamamos (funci´n) derivada de f en A. o Teniendo en cuenta la motivaci´n que hemos dado para el concepto de deo rivada, es claro que toda recta no vertical, f (x) = mx + n es derivable en R y su derivada es su pendiente, o sea, m. La raz´n es que, seg´n hemos visto, o u el cociente (3.1) es en este caso constante igual a m, luego el l´ ımite cuando h tiende a 0 es igualmente m. En particular, la derivada de una funci´n constante, o f (x) = a, es f (x) = 0. Ejemplo Calculemos la derivada de la funci´n f (x) = x2 . o (x + h)2 − x2 x2 + 2xh + h2 − x2 = l´ ım = l´ 2x + h = 2x. ım h→0 h→0 h→0 h h f (x) = l´ ım Enseguida veremos que es muy f´cil reconocer las funciones derivables as´ a ı como calcular sus derivadas. Primero demostremos un hecho b´sico. Obviaa mente, lo primero que ha de hacer una funci´n para parecerse a una recta es ser o continua. Teorema 3.2 Si una funci´n es derivable en un punto a, entonces es continua o en a. ´ Demostracion: Sea f : A −→ R derivable en a. Entonces existe f (a + h) − f (a) . h→0 h f (a) = l´ ım Como l´ h = 0, multiplicando obtenemos que ım h→0 l´ (f (a + h) − f (a)) = f (a)0 = 0. ım h→0 104 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Por lo tanto l´ f (a + h) = f (a). Teniendo en cuenta la definici´n de l´ ım o ımite, h→0 es f´cil ver que esto equivale a que l´ f (x) = f (a). Esto significa que f es a ım x→a continua en a. En particular, las funciones derivables son continuas, pero no toda funci´n o continua es derivable. √ Ejemplos Ya hemos dicho que 3 x no es derivable en 0. Es f´cil probarlo. La a derivada en 0 ser´ ıa √ 3 x−0 1 l´ ım = l´ √ = +∞. ım h→0 h→0 3 h2 h Aqu´ la raz´n es que la pendiente de la funci´n se ı o o vuelve infinita en 0. Otra causa de no derivabilidad (a pesar de la continuidad) es que la funci´n forme un “pico”. o Por ejemplo f (x) = |x| en x = 0. La derivada ser´ ıa l´ ım h→0 |x| |h| − 0 = l´ sig h, ım h→0 h pero es claro que el l´ ımite por la izquierda es −1 y el l´ ımite por la derecha es +1, luego no existe tal l´ ımite. 3.2 C´lculo de derivadas a El teorema siguiente recoge las propiedades b´sicas que nos permiten derivar a las funciones m´s simples: a Teorema 3.3 Sean f , g : A −→ R funciones derivables en un punto a ∈ A y α ∈ R. a) f + g es derivable en a y (f + g ) (a) = f (a) + g (a). b) α f es derivable en a y (α f ) (a) = α f (a). c) f g es derivable en a y (f g ) (a) = f (a)g (a) + f (a)g (a). d) Si g (a) = 0, f /g es derivable en a y (f /g ) (a) = f (a)g (a) − f (a)g (a) . g 2 (a) En particular, las funciones derivables en A forman una sub´lgebra de C (A). a 3.2. C´lculo de derivadas a 105 ´ Demostracion: Las propiedades a) y b) son muy sencillas. Veamos c). (f g ) (a) g (a + h)g (a + h) − f (a)g (a) h f (a + h)g (a + h) − f (a)g (a + h) + f (a)g (a + h) − f (a)g (a) = l´ ım h→0 h f (a + h) − f (a) g (a + h) − g (a) = l´ ım g (a + h) + f (a) h→0 h h = f (a)g (a) + f (a)g (a), = l´ ım h→0 donde hemos usado la continuidad de g en a al afirmar que l´ g (a + h) = g (a). ım h→0 La prueba de d) es similar. Aplicando inductivamente la propiedad c) se obtiene que (xn ) = nxn−1 , para todo natural n ≥ 1. Aplicando ahora d) resulta que esto es cierto para todo entero n = 0. En particular todos los polinomios y fracciones algebraicas son derivables en sus dominios. Por ejemplo, la derivada de 3x4 −2x3 +x2 +5x−3 es igual a 12x3 −6x2 +2x+5. Observar que la derivada de un polinomio coincide con su derivada formal en el sentido algebraico. La derivaci´n de las ra´ o ıces se√ seguir´ un resultado general sobre funciones a inversas. Por ejemplo, la funci´n 3 x es la inversa de la funci´n x3 . Esto significa o o √ que un punto (x, y ) est´ en la gr´fica de 3 x si y s´lo si el punto (y, x) est´ en a a o a la de x3 . La gr´fica de una se obtiene de la de la otra cambiando x por y . a Geom´tricamente esto equivale a girar la gr´fica respecto a la diagonal: e a 2 x3 1.5 √ 3 1 x 0.5 -2 -1 1 2 -0.5 -1 -1.5 -2 Es claro geom´tricamente que si una funci´n tiene tangente en el punto e o (x, y ), su inversa tendr´ tangente en el punto (y, x), y que la recta tangente a la a inversa resultar´ de girar respecto a la diagonal la recta tangente a la funci´n a o original. Ahora bien, ¿qu´ relaci´n hay entre la pendiente de una recta y la e o pendiente de la recta que resulta de girarla respecto a la diagonal?. Si una recta es y = mx + n (con pendiente m), girar respecto a la diagonal es cambiar y por x, o sea, pasar a x = my + n. Despejando y obtenemos y = (1/m)x − n/m. 106 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Por lo tanto la pendiente es 1/m. Si la recta original tiene pendiente 0 (es horizontal), la recta girada es vertical, tiene pendiente infinita. Por lo tanto es de esperar que si una funci´n biyectiva f cumple f (a) = b y o tiene derivada m = 0 en a, entonces su inversa tiene derivada 1/m en b. Antes de probarlo anal´ ıticamente damos un sencillo resultado t´cnico. e Definici´n 3.4 Sea A un intervalo y f : A −→ R, diremos que f es creciente en o A si cuando x < y son dos puntos de A, se cumple f (x) ≤ f (y ). Si de hecho se cumple f (x) < f (y ) diremos que f es estrictamente creciente en A. Se dice que f es decreciente en A si cuando x < y son puntos de A, se cumple f (y ) ≤ f (x). Si se cumple f (y ) < f (x) se dice que es estrictamente decreciente en A. La funci´n f es (estrictamente) mon´tona en A si es (estrictamente) creciente o o o decreciente en A. Por ejemplo, la funci´n x3 es estrictamente creciente en R. o Teorema 3.5 Sea A un intervalo y f : A −→ R una funci´n inyectiva y contio nua. Entonces f es estrictamente mon´tona en A. o ´ Demostracion: Sean a < b dos puntos cualesquiera de A. Supongamos que f (a) < f (b). Entonces todo a < x < b ha de cumplir f (a) < f (x) < f (b), pues si, por ejemplo, f (x) < f (a) < f (b), por el teorema de los valores intermedios, en el intervalo ]x, b[ habr´ un punto cuya imagen ser´ f (a), y f no ser´ inyectiva. ıa ıa ıa De aqu´ se sigue que f es creciente en [a, b], pues si a ≤ x < y ≤ b, hemos ı visto que f (a) < f (x) < f (b), y aplicando lo mismo a los puntos x, b, resulta que f (x) < f (y ) < f (b). Igualmente, de f (b) < f (a) llegar´ ıamos a que f es decreciente en [a, b]. Por lo tanto f es mon´tona en cualquier intervalo [a, b] o contenido en A. Pero si f no fuera mon´tona en A existir´ puntos u < v y r < s tales o ıan que f (u) < f (v ) y f (s) < f (r). Tomando el m´ ınimo y el m´ximo de estos a cuatro puntos obtendr´ ıamos los extremos de un intervalo en el que f no ser´ ıa mon´tona. o Teorema 3.6 (Teorema de la funci´n inversa) Sea A un intervalo abierto o y f : A −→ R una funci´n inyectiva y derivable en A tal que f no se anule en o ning´n punto de A. Entonces u a) B = f [A] es un intervalo abierto. b) La funci´n inversa g = f −1 : B −→ A es derivable en B . o c) Para todo a ∈ A, si f (a) = b, se cumple que g (b) = 1/f (a). ´ Demostracion: Por el teorema anterior sabemos que f es estrictamente mon´tona. Digamos que es mon´tona creciente. Si a < b son dos puntos de o o A, por conexi´n f ]a, b[ ha de ser un intervalo, y de la monoton´ se sigue o ıa f´cilmente que f ]a, b[ = ]f (a), f (b)[. a 3.2. C´lculo de derivadas a 107 Dado a ∈ A, podemos tomar un > 0 tal que [a − , a + ] ⊂ A, con lo que f (a) ∈ ]f (a − ), f (a − )[ = f ]a − , a + [ ⊂ B. As´ pues B es un entorno de f (a) para todo a ∈ A, o sea, para todos los ı puntos de B . Por lo tanto B es abierto. Por conexi´n es un intervalo. Adem´s o a hemos visto que f env´ abiertos b´sicos ]a, b[ a abiertos b´sicos, y esto significa ıa a a que g es continua. Sea ahora f (a) = b. Por la monoton´ si h = 0, entonces g (b + h) = g (b). ıa, Sea k = g (b + h) − g (b) = 0. As´ g (b + h) = k + a, luego b + h = f (k + a), y ı h = f (k + a) − f (a). Por lo tanto g (b + h) − g (b) = h 1 f (a+k)−f (a) k Ahora, k es una funci´n de h y, como g es continua, l´ k (h) = 0. La o ım derivabilidad de f en el punto a nos da que g (b) = l´ ım h→0 h→0 g (b + h) − g (b) 1 = . h f (a) Ejemplo Sea n un n´mero natural no nulo y consideremos f (x) = xn definida u en ]0, +∞[. Sabemos que es inyectiva y derivable. Su derivada es nxn−1 , que √ no se anula en ]0, +∞[. Por lo tanto su inversa, que es g (x) = n x, es derivable √ en su dominio y si y n = x (con lo que y = n x), entonces g (x) = 1/f (y ), o sea, √ ( n x) = 1 ny n−1 = 1 1 = x1−1/n . n−1 n nx √ n As´ pues, tenemos probado que la regla de derivaci´n xr → rxr−1 es v´lida ı o a cuando r es entero o de la forma 1/n, donde n es un n´mero natural no nulo. u Aplicando la regla del producto se concluye por inducci´n que vale de hecho o para todo n´mero racional r. u √ Con todo lo anterior, todav´ no sabemos derivar funciones como x2 + 1. ıa Con el teorema siguiente estaremos en condiciones de derivar cualquiera de las funciones que podemos construir a partir de polinomios y ra´ ıces. Teorema 3.7 (regla de la cadena) Sean f : A −→ R y g : B −→ R. Sea un punto a ∈ A tal que f sea derivable en a y g sea derivable en f (a). Entonces la funci´n compuesta f ◦ g es derivable en a y (f ◦ g ) (a) = g (f (a))f (a). o ´ Demostracion: Notemos que B es un entorno de f (a) y f es continua en a, luego f −1 [B ] es un entorno de a sobre el que est´ definida f ◦ g . a Sea b = f (a). Para k = 0, llamemos G(k ) = g (b + k ) − g (b) − g (b). k 108 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a La funci´n G est´ definida para los puntos k tales que b + k ∈ B . Como B o a es abierto, G est´ definida al menos para h en un intervalo ]− , [ \ {0}. Como a g es derivable en b, existe l´ G(k ) = 0, luego si definimos G(0) = 0 tenemos ım k→0 que G es continua en un entorno de 0. Claramente adem´s a g (b + k ) − g (b) = g (b) + G(k ) k . Ahora tomamos h = 0 tal que a + h ∈ A y k = f (a + h) − f (a), con lo que se cumple f (a + h) = b + k , luego b + k ∈ B y est´ definido G(k ). Entonces a g f (a + h) − g f (a) = g (f (a)) + G(k ) k = g (f (a)) + G(k ) f (a + h) − f (a) . En consecuencia (f ◦ g )(a + h) − (f ◦ g )(a) f (a + h) − f (a) = g (f (a)) + G(f (a + h) − f (a)) . h h Usando la continuidad de f en a y la de G en 0, tomamos el l´ ımite cuando h tiende a 0 y queda que existe (f ◦ g ) (a) = g (f (a))f (a). √ Ejemplo La funci´n h(x) = x2 + 1 es derivable en R, pues es la composici´n o o √ del polinomio f (x) = x2 + 1 con la funci´n g (x) = x, y ambas funciones son o √ derivables en sus dominios. Sabemos que f (x) = 2x y g (x) = 1/(2 x). La regla de la cadena nos da que x 2x h (x) = g (x2 + 1)f (x) = √ =√ . 2 x2 + 1 x2 + 1 El lector que no est´ familiarizado con el c´lculo de derivadas deber´ prace a ıa ticar hasta que la derivaci´n le resultara un acto mec´nico. Hay muchos libros o a adecuados para ello, por lo que en adelante dejaremos de justificar los c´lculos a de derivadas. 3.3 Propiedades de las funciones derivables La derivada de una funci´n contiene mucha informaci´n sobre ´sta. Consio o e deremos por ejemplo x5 x3 3 x4 − + 2, f (x) = − x2 . 10 2 2 2 La figura de la p´gina siguiente muestra las gr´ficas. Fij´monos en el signo a a e de la derivada. Es f´cil ver que f tiene una ra´ doble en 0 y dos ra´ √ a ız ıces sim√ ples en ± 3. La restricci´n de f a cada uno de los intervalos −∞, − 3 , o √ √ √ − 3, 0 , 0, 3 y 3, +∞ es una funci´n continua que no se anula, luego o por el teorema de los valores intermedios f tiene signo constante en cada uno de ellos. Es f´cil ver entonces que el signo de f var´ como indica la gr´fica, es a ıa a decir, f es positiva en los dos intervalos no acotados y negativa en los acotados. f (x) = 3.3. Propiedades de las funciones derivables 109 f (x) 7.5 5 2.5 -4 -2 2 4 -2.5 -5 f (x) -7.5 En los puntos donde f es positiva la tangente a f tiene pendiente positiva, y vemos en la gr´fica que esto se traduce en que f es creciente. Por el contrario, a en los intervalos donde f es negativa la funci´n f es decreciente. o √ En los puntos donde f se anula la tangente a f es horizontal. En − 3, la derivada pasa de ser positiva a ser negativa, luego f pasa de ser creciente a ser decreciente, y por ello el punto es un m´ximo relativo, en el sentido de que f a √ toma en − 3 un valor mayor que en los puntos de alrededor. En cambio, en √ 3 la derivada pasa de negativa a positiva, f pasa de decreciente a creciente y el punto es un m´ ınimo relativo. El caso del 0 es distinto, pues f es negativa a la izquierda, toca el 0 y vuelve a bajar, con lo que sigue siendo negativa. Por ello f es creciente en 0 y no tiene ni un m´ximo ni un m´ a ınimo en 0. Vemos as´ que conociendo la derivada podemos formarnos una idea de la ı funci´n: d´nde crece, d´nde decrece, d´nde tiene m´ximos y m´ o o o o a ınimos, y m´s a cosas de las que no hemos hablado. Vamos a desarrollar todas estas ideas. Definici´n 3.8 Sea f : A ⊂ R −→ R. Diremos que f tiene un m´ximo relativo o a en un punto a ∈ A si existe un entorno V de a contenido en A de modo que para todo x ∈ V se cumple f (x) ≤ f (a). Diremos que f tiene un m´ ınimo relativo en a si existe un entorno V de a contenido en A tal que para todo x ∈ V se cumple f (a) ≤ f (x). La funci´n f tiene un extremo relativo en a si tiene un m´ximo o o a un m´ ınimo relativo en a. Teorema 3.9 Si f : A −→ R es una funci´n derivable en un punto a ∈ A y f o tiene un extremo relativo en a, entonces f (a) = 0. ´ Demostracion: Supongamos, por reducci´n al absurdo, que f (a) > 0. o (El caso f (a) < 0 se razona an´logamente.) Entonces ]0, +∞[ es un entorno de a o ımite y de derivada existe un > 0 de manera f (a), luego por definici´n de l´ que ]a − , a + [ ⊂ A y si 0 < |h| < entonces f (a + h) − f (a) > 0. h 110 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Esto se traduce en que f (a + h) > f (a) si h > 0 y f (a + h) < f (a) si h < 0, lo que contradice que f tenga un extremo relativo en a. La funci´n del ejemplo anterior muestra que f (a) = 0 no implica que a o sea un extremo relativo. M´s adelante volveremos sobre este punto. Ahora a probemos una consecuencia sencilla de este teorema: Teorema 3.10 (Teorema de Rolle) Sea f : [a, b] −→ R una funci´n contio nua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Si f (a) = f (b), entonces existe un c ∈ ]a, b[ tal que f (c) = 0. ´ Demostracion: Como [a, b] es compacto, la funci´n f alcanza un valor o m´ ınimo m y un valor m´ximo M . Si se cumpliera que m = M = f (a) = f (b), a entonces f ser´ constante y su derivada ser´ nula, luego cualquier c ∈ ]a, b[ ıa ıa cumplir´ el teorema. ıa Supongamos que m < M . Entonces, o bien m = f (a) o bien M = f (a). Digamos por ejemplo M = f (a). Sea c ∈ [a, b] el punto donde f (c) = M . Como M = f (a) = f (b), ha de ser a < b < c, y como f toma en c su valor m´ximo, en a particular c es un m´ximo relativo de f , luego por el teorema anterior f (c) = 0. a Como aplicaci´n podemos relacionar la derivabilidad y el crecimiento global o de una funci´n. o Teorema 3.11 Sea A un intervalo abierto y f : A −→ R una funci´n derivable o en A tal que f no se anule. Entonces f es estrictamente mon´tona en A y o adem´s se da uno de estos dos casos: a a) o bien f (x) > 0 para todo x ∈ A, y entonces f es estrictamente creciente en A, b) o bien f (x) < 0 para todo x ∈ A, y entonces f es mon´tona decreciente o en A. ´ Demostracion: En primer lugar, f es inyectiva, pues si a < b son dos puntos de A tales que f (a) = f (b), entonces existe un c ]a, b[ ⊂ A tal que f (c) = 0, en contra de la hip´tesis. o Por el teorema 3.5, f es estrictamente mon´tona en A. Si es mon´tona decreo o ciente, la prueba del teorema 3.9 muestra que no puede ser f (a) > 0 en ning´n u punto a ∈ A, luego ha de ser f (a) < 0 en todos los puntos. An´logamente, si a f es mon´tona creciente ha de ser f (a) > 0 en toco a ∈ A. o Veamos ahora un resultado t´cnico: e Teorema 3.12 (Teorema de Cauchy) Sean f , g : [a, b] −→ R funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[. Entonces existe un c ∈ ]a, b[ tal que g (c) f (b) − f (a) = f (c) g (b) − g (a) . 3.3. Propiedades de las funciones derivables 111 ´ Demostracion: Consideremos la funci´n dada por o h(x) = f (x) g (b) − g (a) − g (x) f (b) − f (a) . Se cumple que h(a) = h(b) = f (a)g (b) − g (a)f (b). Adem´s h es continua en a [a, b] y derivable en ]a, b[. Por el teorema de Rolle existe un punto c ∈ ]a, b[ tal que h (c) = 0, pero h (x) = f (x) g (b) − g (a) − g (x) f (b) − f (a) , luego f (c) g (b) − g (a) − g (c) f (b) − f (a) = 0 M´s adelante tendremos ocasi´n de usar este resultado en toda su generaa o lidad, pero de momento nos basta con el caso particular que resulta de tomar como funci´n g la dada por g (x) = x. Entonces tenemos: o Teorema 3.13 (Teorema del valor medio) Sea f : [a, b] −→ R una funci´n o continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Entonces existe un c ∈ ]a, b[ tal que f (b) − f (a) = f (c)(b − a). Notar que el teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio. Este teorema tiene una interpretaci´n geom´trica. La expresi´n o e o f (b) − f (a) b−a puede interpretarse como la “pendiente media” de f en [a, b], es decir, es el cociente de lo que aumenta f cuando la variable x pasa de a a b dividido entre lo que ha aumentado la variable. Lo que dice el teorema del valor medio es que hay un punto en el intervalo donde la funci´n toma el valor medio de su o pendiente. La importancia de este teorema es que nos relaciona una magnitud global, la pendiente media, con una magnitud local, la derivada en un punto. Las consecuencias son muchas. Una aplicaci´n t´ o ıpica es el siguiente refinamiento del teorema 3.11: Teorema 3.14 Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y su derivada es positiva (negativa) en ]a, b[, entonces f es estrictamente creciente (decreciente) en [a, b]. ´ Demostracion: El teorema 3.11 nos da que f es estrictamente mon´tona o en ]a, b[. S´lo falta probar que es creciente o decreciente en a y en b. o Si x ∈ ]a, b[, entonces f (x) − f (a) = f (c)(x − a), para cierto punto c ∈ ]a, x[. Por lo tanto, si f es positiva, f (x) − f (a) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, e igualmente se prueba que f (b) − f (x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, luego f es creciente en [a, b]. 112 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Sabemos que las funciones constantes tienen derivada nula. El teorema del valor medio nos da el rec´ ıproco: Teorema 3.15 Si una funci´n tiene derivada nula en todos los puntos de un o intervalo abierto, entonces es constante. ´ Demostracion: Sea f una funci´n derivable en un intervalo A con derivada o nula. Sean a < b dos puntos cualesquiera de A. Entonces f (b) − f (a) = f (c)(b − a) = 0, donde c es un punto de ]a, b[. Por lo tanto f es constante. Una consecuencia inmediata es el teorema siguiente, que afirma que una funci´n derivable est´ un´ o a ıvocamente determinada por su derivada y su valor en un punto cualquiera. Teorema 3.16 Si f y g son funciones derivables en un intervalo abierto y f = g , entonces existe un k ∈ R tal que f = g + k . ´ Demostracion: La funci´n f − g tiene derivada nula, luego f − g = k . o Las derivadas proporcionan un teorema muy util para el c´lculo de l´ ´ a ımites. De momento no podemos estimar su valor porque los l´ ımites de las funciones que conocemos (polinomios, fracciones algebraicas. etc.) son f´ciles de calcular a directamente, pero m´s adelante tendremos ocasi´n de aprovecharlo. a o Teorema 3.17 (Regla de L’Hˆpital) Sean f , g : ]a, b[ −→ R funciones deo rivables tales que f (x) = g (x) = 0 y de modo que g y g no se anulen en ]a, b[. Si existe f (x) l´ ım = L, x→a g (x) entonces tambi´n existe e l´ ım x→a f (x) = L. g (x) ´ Demostracion: Extendamos f y g al intervalo [a, b[ estableciendo que f (a) = g (a) = 0. As´ siguen siendo continuas. ı Si a < x < b, por el teorema de Cauchy existe un punto c ∈ ]a, x[ tal que f (x) − f (a) g (c) = g (x) − g (a) f (c), o sea, f (x)g (c) = g (x)f (c), y como g (x) = 0 = g (c), podemos escribir f (x) f (c) = . g (x) g (c) Por definici´n de l´ o ımite, si entonces (3.2) > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < c − a < δ , f (c) −L < . g (c) (3.3) 3.3. Propiedades de las funciones derivables 113 As´ tenemos que si 0 < x − a < δ , existe un c ∈ ]a, x[ que cumple (3.2) y ı (3.3). Por consiguiente, para todo x ∈ ]a, a + δ [ se cumple f (x) −L < . g (x) Esto significa que l´ ım x→a f (x) = L. g (x) Obviamente la regla de L’Hˆpital tambi´n es v´lida cuando en las hip´tesis o e a o cambiamos a por b. Combinando las dos versiones obtenemos la regla de L’Hˆpital para funciones definidas en intervalos ]a − , a + [ \ {a} y tomando o l´ ımites en a (si existe el l´ ımite del cociente de derivadas, existen los l´ ımites por la derecha y por la izquierda y coinciden, por los casos correspondientes de la regla, existen los l´ ımites de los cocientes de las funciones por ambos lados y coinciden, luego existe el l´ ımite y coincide con el de las derivadas). Los teoremas siguientes demuestran otras variantes de la regla de L’Hˆpital o de no menor inter´s. e Teorema 3.18 (Regla de L’Hˆpital) Sean f , g : ]a, +∞[ −→ R dos funcioo nes derivables tales que l´ ım f (x) = l´ ım g (x) = 0 y de modo que g y g no x→+∞ x→+∞ se anulan en ]a, +∞[. Si existe l´ ım x→+∞ f (x) = L, g (x) entonces tambi´n existe e f (x) = L. x→+∞ g (x) l´ ım ´ Demostracion: Consideremos las funciones F (x) = f (1/x) y G(x) = g (1/x), definidas en ]0, 1/a[. Claramente F y G son continuas, y l´ F (x) = ım x→0 l´ G(x) = 0. Adem´s por la regla de la cadena son funciones derivables y sus ım a x→0 derivadas son F (x) = − f (1/x) , x2 G (x) = − g (1/x) . x2 Tambi´n es claro que ni G ni G se anulan en su dominio y e F (x) f (1/x) = , G (x) g (1/x) luego existe l´ ım x→0 F (x) = L. G (x) 114 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a El caso ya probado de la regla de L’Hˆpital nos da ahora que tambi´n existe o e l´ ım x→0 F (x) = L. G(x) Obviamente entonces l´ ım x→+∞ f (x) = L. g (x) Igualmente se prueba la regla de L’Hˆpital para funciones definidas en ino tervalos ]− nf ty, b[ y cuando x tiende a −∞. As´ pues, si tenemos una indeterminaci´n de tipo 0/0 y al derivar numeı o rador y denominador podemos calcular el l´ ımite, la funci´n original tiene ese o mismo l´ ımite. Ahora veremos que la regla de L’Hˆpital es aplicable tambi´n a o e indeterminaciones del tipo ∞/∞. Teorema 3.19 (Regla de L’Hˆpital) Sean f , g : ]a, +∞[ −→ R dos funcioo nes derivables tales que l´ ım f (x) = l´ ım g (x) = ∞ y de modo que g y g no x→+∞ x→+∞ se anulan en ]a, +∞[. Si existe l´ ım f (x) = L, g (x) l´ ım f (x) = L. g (x) x→+∞ entonces tambi´n existe e x→+∞ ´ Demostracion: Por definici´n de l´ o ımite, dado que si x > M entonces f (x) −L < . g (x) > 0, existe un M > a tal Por el teorema de Cauchy, si x > M , existe un y ∈ ]M, x[ de modo que f (x) − f (M ) f (y ) = , g (x) − g (M ) g (y ) luego f (x) − f (M ) −L < . g (x) − g (M ) (Notar que, como g no se anula, la funci´n g es mon´tona, luego el denominador o o es no nulo). Puesto que l´ ım f (x) = ∞, existe un N > M tal que si x > N entonces x→+∞ |f (x)| > |f (M )|, y en particular f (x) − f (M ) = 0. Por ello, para x > N podemos escribir f (x) f (x) − f (M ) f (x) g (x) − g (M ) = . g (x) g (x) − g (M ) f (x) − f (M ) g (x) 3.4. La diferencial de una funci´n o 115 Si en los dos ultimos factores dividimos numerador y denominador entre f (x) ´ y g (x) respectivamente, queda claro que tienden a 1 cuando x → +∞, luego tomando N suficientemente grande podemos suponer que si x > N entonces el producto de ambos dista de 1 menos de . De este modo, para x suficientemente grande, el cociente f (x)/g (x) se puede expresar como producto de dos n´meros u reales, uno arbitrariamente pr´ximo a L y otro arbitrariamente pr´ximo a 1. o o De la continuidad del producto se sigue que l´ ım x→+∞ f (x) = L. g (x) Naturalmente la regla de L’Hˆpital tambi´n es v´lida en el caso ∞/∞ cuando o e a x → −∞. El mismo argumento que nos ha permitido pasar del caso finito al caso infinito en la indeterminaci´n 0/0 nos permite pasar ahora al caso finito. o Es f´cil probar: a Teorema 3.20 (Regla de L’Hˆpital) Sean f , g : ]a, b[ −→ R derivables tales o que l´ f (x) = l´ g (x) = ∞ y de modo que g y g no se anulan en ]a, b[. Si ım ım x→a x→a existe f (x) l´ ım = L, x→a g (x) entonces tambi´n existe e l´ ım x→a f (x) = L. g (x) Tambi´n se cumple la versi´n correspondiente cuando x tiende a b y cuando e o x tiende a un punto por la izquierda y la derecha a la vez. 3.4 La diferencial de una funci´n o Consideremos una funci´n f : A −→ R derivable en un punto a ∈ A. Sea o u o e ∆x un n´mero pr´ximo a 0 de modo que a + ∆x ∈ A (el t´rmino ∆x se lee “incremento de x”, porque representa un peque˜o aumento de la variable x n en el punto a). Al calcular f en el punto a + ∆x obtenemos una variaci´n o o incremento de f dado por ∆a (f ) = f (a + ∆x) − f (a). La expresi´n ∆a (f ) o representa a una funci´n de la variable ∆x, definida en un entorno de 0. La o derivada de f en a es, por definici´n, o f (a) = l´ ım ∆x→0 Llamemos a (∆x) As´ l´ ı, ım ∆x→0 a (∆x) = 0. = ∆a (f ) . ∆x ∆a (f ) − f (a). ∆x 116 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Desarrollando las definiciones tenemos que ∆a (f ) = f (a + ∆x) − f (a) = f (a)∆x + (∆x)∆x. La figura muestra la situaci´n: o a (∆x)∆x f (a)∆x ∆a (f ) ∆x f a a + ∆x El hecho de que a (∆x) tienda a 0 expresa simplemente el hecho de que, para valores peque˜os de ∆x, se cumple f (a + ∆x) − f (a) ≈ f (a)∆x, donde el n signo ≈ significa “aproximadamente igual”, es decir, que el valor de la funci´n o f (a + ∆x) es similar al de la recta tangente f (a) + f (a)∆x. En la figura ambos valores son muy diferentes porque hemos tomado un ∆x grande para mayor claridad. Llamaremos diferencial de f en el punto a a la aplicaci´n df (a) : R −→ R o dada por df (a)(∆x) = f (a)∆x. As´ df (a) es una aplicaci´n lineal en R de ı o modo que f (a + ∆x) − f (a) ≈ df (a)(∆x), o sea, la funci´n df (a) aproxima las o diferencias entre las im´genes de f en puntos cercanos al punto a y la imagen a de a. De aqu´ su nombre. ı Si consideramos la funci´n polin´mica x, su derivada es 1, luego la diferencial o o de x es simplemente dx(a)(∆x) = ∆x. Por ello podemos escribir df (a)(∆x) = f (a) dx(a)(∆x), luego tenemos la igualdad funcional df (a) = f (a) dx(a). Si la funci´n f es derivable en todo punto de A, la igualdad anterior se cumple o en todo punto, luego si consideramos a df y dx como aplicaciones de A en el espacio de aplicaciones lineales de R en R, tenemos la igualdad funcional df = f dx, donde dx es la funci´n constante que a cada a ∈ A le asigna la funci´n identidad o o en R. Del mismo modo que la estructura topol´gica permite hablar de los puntos o de alrededor de un punto dado, pese a que ning´n punto en particular est´ u a alrededor de otro, as´ mismo la diferencial de una funci´n recoge el concepto ı o de “incremento infinitesimal” de una funci´n, pese a que ning´n incremento o u en particular es infinitamente peque˜o. Por ejemplo, la igualdad dx2 = 2x dx n 3.4. La diferencial de una funci´n o 117 expresa que cuando la variable x experimenta un incremento infinitesimal dx, la funci´n x2 experimenta un incremento infinitesimal de 2x dx. Con rigor, dx2 o no es un incremento infinitesimal, sino la funci´n que a cada incremento ∆x o le asigna una aproximaci´n al incremento correspondiente de x2 , de modo que o lo que propiamente tenemos es la aproximaci´n que resulta de evaluar dx en o incrementos concretos, es decir, ∆x (x2 ) ≈ 2x∆x. El error de esta aproximaci´n o se puede hacer arbitrariamente peque˜o tomando ∆x suficientemente peque˜o. n n Por ejemplo, (1,1)2 ≈ 12 + dx2 (1)(0,1) = 1 + 2 · 0, 1 = 1,2. En realidad e (1,1)2 = 1,21, luego el error cometido es de una cent´sima. Dada la igualdad df = f dx, representaremos tambi´n la derivada de f e mediante la notaci´n o df f (x) = , dx que expresa que f (x) es la proporci´n entre las funciones df y dx, o tambi´n que o e o f (x) es la raz´n entre un incremento infinitesimal de f respecto al incremento infinitesimal de x que lo ocasiona. Es costumbre, especialmente en f´ ısica, nombrar las funciones, no por la expresi´n que las determina, sino por la magnitud que determinan. Por ejemplo, o supongamos que la posici´n e de un objeto depende del tiempo viene dada por o la relaci´n e(t) = t2 Entonces la velocidad del m´vil es o o v (t) = de = 2t, dt lo que nos permite expresar t en funci´n de v , mediante t(v ) = v/2. A su vez, o esto nos permite calcular la posici´n en funci´n de la velocidad, mediante la o o funci´n e(v ) = v 2 /4. o De este modo, llamamos e tanto a la funci´n e(t) como a la funci´n e(v ), o o que son funciones distintas. La letra v representa a una funci´n en v = 2t y a o una variable en t = v/2. Estos convenios no provocan ninguna ambig¨edad, al u contrario, en muchos casos resultan m´s claros y permiten expresar los resula tados de forma m´s elegante. Por ejemplo, si tenemos dos funciones y = y (x) a y z = z (y ), entonces la funci´n compuesta se expresa, en estos t´rminos, como o e z = z (x). Si las funciones son derivables en sus dominios, la regla de la cadena se convierte en dz dz dy = . dx dy dx La primera derivada es la de la funci´n compuesta z (x), mientras que la o segunda es la de z (y ). No es necesario indicar que dicha derivada ha de calcularse en y (x), pues esto ya est´ impl´ a ıcito en el hecho de que se trata de una funci´n o de y (no de x). Por ejemplo, de de dv v = = · 2 = v = 2t, dt dv dt 2 como cab´ esperar. ıa 118 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Similarmente, si y (x) es una funci´n inyectiva y derivable con derivada no o nula, su inversa se representa por x(y ), y el teorema de la funci´n inversa se o expresa as´ ı: dy 1 = dx . dx dy Por ejemplo, dv 1 1 = dt = = 2. dt 1/2 dv Vemos, pues, que en estos t´rminos las propiedades de las derivadas son e formalmente an´logas a las de las fracciones. a 3.5 El teorema de Taylor Sea f : A −→ R una funci´n derivable en el abierto A y tal que f : A −→ R o tambi´n sea derivable en A. Entonces a la derivada de f se la denomina derivada e segunda de f en A, y se representa por f . A su vez la derivada segunda puede ser derivable, y entonces est´ definida la a derivada tercera, y as´ sucesivamente. Si una funci´n admite n derivadas en A, ı o a la derivada n-sima se la representa por f n) : A −→ R. o Conviene usar la notaci´n f 0) para referirse a la propia funci´n f . o Llamaremos C n (A) al conjunto de las funciones definidas en A que admiten n derivadas y todas ellas son continuas en A. Si llamamos C 0 (A) = C (A), es decir, al conjunto de las funciones continuas en A, entonces tenemos C 0 (A) ⊃ C 1 (A) ⊃ C 2 (A) ⊃ C 3 (A) ⊃ C 4 (A) ⊃ · · · Llamaremos C ∞ (A) al conjunto de las funciones infinitamente derivables en A. Por ejemplo, los polinomios y las fracciones algebraicas son de clase C ∞ en su dominio. Es inmediato que estos conjuntos son todos sub´lgebras de C (A). a Las inclusiones son todas estrictas. Por ejemplo, si a A es f´cil ver que la a funci´n dada por o (x − a)n+1 si x ≥ a f (x) = −(x − a)n+1 si x ≤ a es una funci´n de clase C n (A) pero no de clase C n+1 (A). o Seg´n sabemos, si una funci´n f es derivable en un punto a, entonces alreu o dedor de a la funci´n f puede ser aproximada por su recta tangente, esto es, o por el polinomio f (a) + f (a)(x − a). La recta tangente es el unico polinomio ´ P (x) de grado 1 que cumple P (a) = f (a) y P (a) = f (a). Cabe suponer que si una funci´n f admite dos derivadas y tomamos un o polinomio P de grado 2 tal que P (a) = f (a), P (a) = f (a) y P (a) = f (a), el polinomio P nos dar´ una aproximaci´n mejor de la funci´n f que la recta a o o tangente. Esto no siempre es as´ pero hay bastante de verdad en ello. Vamos ı, a investigarlo. 3.5. El teorema de Taylor 119 Ante todo, si K es un cuerpo y a ∈ K , la aplicaci´n u : K [x] −→ K [x] dada o por u(p) = p(x − a) es un isomorfismo de K -espacios vectoriales. Como los polinomios 1, x, x2 , x3 , . . . son una K -base de K [x], resulta que los polinomios 1, (x − a), (x − a)2 , (x − a)3 , (x − a)4 , . . . son tambi´n una K -base, es decir, que todo polinomio de K [x] se expresa de e forma unica como ´ P (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + · · · + cn (x − a)n , (3.4) para cierto natural n y ciertos coeficientes co , . . . , cn ∈ K . Si una funci´n f admite n derivadas en un punto a, las ecuaciones o f (a) = P (a), f (a) = P (a), ... f n) (a) = P n) (a) son satisfechas por un unico polinomio de grado ≤ n. En efecto, si P (x) viene ´ dado por (3.4), entonces P (a) = c0 , luego ha de ser c0 = f (a). Derivando obtenemos P (x) = c1 + 2c2 (x − a) + · · · + ncn (x − a)n−1 , de donde P (a) = c1 , y ha de ser c1 = f (a). Similarmente, P (a) = 2c2 , luego c2 = f (a)/2. Igualmente se obtiene c3 = f (a)/6 y, en general, ck = f k) (a)/k !. En resumen: n P (x) = k=0 f k) (x − a)k . k! Rec´ ıprocamente, es f´cil ver que el polinomio P (x) as´ definido cumple que a ı P k) (a) = f k) (a) para k = 0, . . . , n. Definici´n 3.21 Sea f una funci´n derivable n veces en un punto a. Llamareo o mos polinomio de Taylor de grado n de f en a al polinomio n Pn (f )(x) = k=0 f k) (x − a)k ∈ R[x]. k! El polinomio de Taylor es el unico polinomio P de grado menor o igual ´ que n que cumple P k) (a) = f k) (a) para k = 0, . . . , n. En particular si f es un polinomio de grado menor o igual que n se ha de cumplir Pn (f ) = f . Notar tambi´n que P0 (f ) = f (a), y que P1 (f ) = f (a) + f (a)(x − a) es la e recta tangente a f en a. Nuestra conjetura es que Pn (f ) es el polinomio de grado menor o igual que n que m´s se parece a f alrededor de a. a 120 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Ejemplo Consideremos la funci´n f (x) = x1/2 y a = 1. Calculemos sus o derivadas: Orden Derivada en 1 0 x1/2 1 1 1 −1/2 2x 2 − 1 1 x−3/2 22 −1 2 3 1 1 3 −5/2 2 2 2x 113 222 −1 2 4 1 3 5 −7/2 2 2 2x 1 2 −1 2 1 2 135 222 En general se prueba que las derivadas en 1 van alternando el signo, en el numerador tienen el producto de los primeros impares y en el denominador las sucesivas potencias de 2. Con esto podemos calcular cualquier polinomio de Taylor en 1: P0 (f )(x) = P1 (f )(x) = P2 (f )(x) = P3 (f )(x) = 1, 1 1 + (x − 1), 2 1 1 + (x − 1) − 2 1 1 + (x − 1) − 2 1 (x − 1)2 , 8 1 1 (x − 1)2 + (x − 1)3 . 8 16 Aqu´ est´n sus gr´ficas junto a la de la funci´n. Vemos que el intervalo en ı a a o que se confunden con la gr´fica de f es cada vez mayor. a 2 2 1.75 1.75 1.5 1.5 1.25 1.25 1 1 0.75 0.75 0.5 0.5 0.25 0.25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 3 0.5 2 1.75 1 1.5 2 2.5 3 2 1.75 1.5 1.5 1.25 1.25 1 1 0.75 0.75 0.5 0.5 0.25 0.25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 El polinomio de grado 8 es bastante representativo de lo que sucede cuando n es grande: 3.5. El teorema de Taylor 121 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 1 0.5 1.5 2 2.5 3 Vemos que la aproximaci´n es cada vez mejor en el intervalo [0, 2], pero a o partir del 2 el polinomio se aleja bruscamente. Un ejemplo num´rico: e P8 (f )(1, 5) = 1, 224729895, mientras que 1, 5 = 1, 224744871. . . La aproximaci´n tiene 5 cifras exactas. o Los polinomios de Taylor plantean varios problemas importantes. La cuesti´n principal es si el error producido al aproximar una funci´n de clase C ∞ por o o sus polinomios de Taylor puede reducirse arbitrariamente aumentando suficientemente el grado. Definici´n 3.22 Si f es una funci´n de clase C ∞ en un entorno de un punto o o a, llamaremos serie de Taylor de f en a a la serie funcional ∞ k=0 f k) (a) (x − a)k . k! La cuesti´n es si la serie de Taylor de f converge a f . El ejemplo anterior o √ sugiere que la serie de x en 1 converge a la funci´n en el intervalo ]0, 2[, pero no o parece converger m´s all´ de 2. Tambi´n hemos de tener presente la posibilidad a a e de que la serie de Taylor de una funci´n f converja a una funci´n distinta de f . o o Para estudiar estos problemas introducimos el concepto de resto de Taylor: Sea f una funci´n derivable n veces en un punto a. Llamaremos resto de o Taylor de grado n de f en a, a la funci´n Rn (f )(x) = f (x) − Pn (f )(x), donde o Pn (f ) es el polinomio de Taylor de grado n de f en a. Nuestro problema es determinar el comportamiento del resto de una funci´n. o Para ello contamos con el siguiente teorema, que es una generalizaci´n del teoo rema del valor medio. Teorema 3.23 (Teorema de Taylor) Sea f : A −→ R una funci´n derivable o n + 1 veces en un intervalo abierto A y a ∈ A. Entonces para cada x ∈ A existe un λ ∈ ]0, 1[ tal que si c = λa + (1 − λ)x, se cumple Rn (f )(x) = f n+1) (c) (x − a)n+1 . (n + 1)! 122 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a ´ Demostracion: Para x = a es evidente, pues se cumple Pn (f )(a) = f (a) y Rn (f )(x) = 0. Supongamos que x = a. Sea Q(x) = 1 Rn (f )(x). (x − a)n+1 Sea F : A −→ R dada por F (t) = f (x) − f (t) + x−t (x − t)2 (x − t)n n) f (t) + f (t) + · · · + f (t) 1! 2! n! +(x − t)n+1 Q(x) . La funci´n f y sus n primeras derivadas son continuas y derivables, luego F o tambi´n es continua y derivable en A. Adem´s F (x) = f (x) − f (x) = 0 y e a F (a) = f (a) − Pn (f )(a) + (x − a)n+1 Q(x) = Rn (f )(x) − Rn (f )(x) = 0. Por el teorema de Rolle existe un punto entre a y x, o sea, de la forma c = λa + (1 − λ)x, tal que F (c) = 0. Calculemos en general F (t): x−t 2(x − t) (x − t)2 f (t) − f (t) + f (t) 1! 2! 2! n(x − t)n−1 n) (x − t)n n+1) ··· − (t) − (n + 1)(x − t)n Q(x) . f (t) + f n! n! Los t´rminos consecutivos se cancelan entre s´ y queda e ı, F (t) = 0 − f (t) − f (t) + F (t) = − (x − t)n n+1) (t) + (n + 1)(x − t)n Q(x). f n! Como F (c) = 0, evaluando en c queda Q(x) = f n+1) (c) , (n + 1)! y por definici´n de Q: o Rn (f )(x) = f n+1) (c) (x − a)n+1 . (n + 1)! As´ pues, la diferencia entre Pn (f )(x) y f (x) tiene la forma de un monomio ı m´s del polinomio de Taylor salvo por el hecho de que la derivada (n + 1)-´sima a e no se eval´a en el punto a, sino en un punto intermedio entre a y x. u Por ejemplo, si las derivadas de f est´n uniformemente acotadas en un ina tervalo A, es decir, si existe una misma constante K tal que |f n) (x)| ≤ K para todo natural n y para todo x ∈ A, entonces |f (x) − Pn (f )(x)| = K |x − a|n+1 f n+1) (c) (x − a)n+1 ≤ . (n + 1)! (n + 1)! En el ejemplo de la p´gina 55 probamos que la sucesi´n M n /n! converge a 0, a o luego la sucesi´n {Pn (f )(x)}∞ tiende a f (x). As´ pues: o ı n=0 3.6. Series de potencias 123 Teorema 3.24 Si A es un intervalo abierto, a ∈ A, f ∈ C ∞ (A) y las derivadas de f est´n uniformemente acotadas en A, entonces para cada punto x ∈ A se a cumple ∞ f n) (a) f (x) = (x − a)n . n! n=0 √ Este teorema no es aplicable a x. En muchos casos, entre ellos el de esta funci´n, los problemas de convergencia de las series de Taylor se vuelven o evidentes en el contexto de la teor´ de funciones de variable compleja (ver el ıa cap´ ıtulo XII). Los resultados de la secci´n siguiente resultan de gran ayuda en o muchos casos, como tendremos ocasi´n de comprobar m´s adelante. o a 3.6 Series de potencias Definici´n 3.25 Sea a ∈ C y {an }∞ una sucesi´n en C. La serie de potencias o o n=0 de coeficientes {an }∞ y centro a es la serie funcional n=0 ∞ an (z − a)n . n=0 Las series de Taylor son, pues, series de potencias. En muchos casos es f´cil determinar en qu´ puntos converge una serie de potencias. Para verlo a e necesitamos el concepto de l´ ımite superior de una sucesi´n de n´meros reales. o u Se trata de lo siguiente: Sea {an }∞ una sucesi´n de n´meros reales. Su l´ o u ımite superior es el supremo n=0 (en R) del conjunto de sus puntos adherentes. Lo representaremos mediante l´ an . ım n Se cumple que l´ an = ´ sup an . ım ınf n k≥0 n≥k En efecto, sea p un punto adherente de {an }∞ . Dados > 0 y k ≥ 0, existe n=0 un n ≥ k tal que an ∈ ]p − , p + [, luego p − ≤ sup an . Esto vale para todo n≥k > 0, luego p ≤ sup an para todo k ≥ 0, luego p ≤ ´ sup an . Como el l´ ınf ımite n≥k k≥0 n≥k superior es el supremo de estos p, tenemos que l´ an ≤ ´ sup an . ım ınf n k≥0 n≥k Sea L = ´ sup an . Dado > 0, existe un k ≥ 0 tal que L ≤ sup an ≤ L + . ınf k≥0 n≥k n≥k Si L = sup an , entonces existe un n ≥ k tal que L − < an ≤ L. Si por el n≥k contrario L < sup an < L + , entonces existe un n ≥ k tal que L ≤ an < L + . n≥k En cualquier caso existe un n ≥ k tal que an ∈ ]L − , L + [. Esto significa ım que L es un punto adherente de la sucesi´n, luego L ≤ l´ an y tenemos la o n igualdad. 124 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Por la propia definici´n es claro que si una sucesi´n converge en R entonces o o su l´ ımite, que es su unico punto adherente, coincide con su l´ ´ ımite superior. Ahora podemos probar: Teorema 3.26 Sea ∞ an (z − a)n una serie de potencias, sea R = 1/ l´ ım n n n=0 |an | (entendiendo que 1/0 = +∞ y 1/(+∞) = 0). Entonces la serie converge absoluta y uniformemente en todo compacto contenido en BR (a) y diverge en todo punto de C \ B R (a) (las bolas se toman respecto a la norma eucl´ ıdea. Convenimos que B+∞ (a) = C). En particular la serie converge absoluta y puntualmente o en BR (a) a una funci´n continua. ´ Demostracion: Sea K un compacto en BR (a). Veamos que la serie converge absoluta y uniformemente en K . La funci´n |x − a| es continua en K , o luego alcanza su m´ximo r en un punto x ∈ K , es decir, |x − a| = r y para todo a y ∈ K se cumple |y − a| ≤ r. As´ K ⊂ B r (a). ı Como x ∈ BR (a) ha de ser r < R, luego r l´ n |an | < 1. Tomemos ρ tal ım n que r l´ ım n n |an | < ρ < 1. Como l´ ım n k tal que sup n n≥k n n |an | = ´ sup ınf n k≥0 n≥k |an | < ρ/r, luego si n ≥ k se cumple |an |, existe un natural n |an | < ρ/r y por lo tanto |an |r < ρn . Si y ∈ K entonces |y − a| ≤ r, luego |y − a|n ≤ rn , luego |an (y − a)n | ≤ |an |rn < ρn . As´ pues, la serie ı ∞ an (y − a)n est´ mayorada en K por a n=k ∞ ρn , n=k que es convergente por ser geom´trica de raz´n menor que 1. El criterio de e o Weierstrass nos da que la serie de potencias converge absoluta y uniformemente a una funci´n continua en K . Todo punto de BR (a) tiene un entorno compacto o contenido en BR (a) (una bola cerrada de radio adecuado), luego la suma es continua en BR (a). Ahora veamos que la serie diverge en C\B R (a). Sea x ∈ C tal que |x−a| > R. ım Entonces 1 < |x − a| l´ n |an |. Por lo tanto, para todo natural k se cumple n 1/|x − a| < sup n≥k n |an |, luego existe un n ≥ k tal que n |an ||x − a| > 1, o sea, |an (y − a)n | > 1. Esto significa que an (y − a)n no tiende a 0, luego la serie diverge. El n´mero R se llama radio de convergencia de la serie de potencias. La bola u BR (a) se llama disco de convergencia. Tenemos, pues que una serie de potencias converge absolutamente en su disco de convergencia y diverge en los puntos exteriores a ´l (los puntos interiores de su complementario). En cada punto de e la frontera del disco la serie puede converger absolutamente, condicionalmente o diverger, seg´n los casos. u A la hora de determinar el radio de convergencia de una serie suele ser util ´ el teorema siguiente: 3.6. Series de potencias Teorema 3.27 Sea ∞ 125 an (z − a)n una serie de potencias tal que exista n=0 l´ ım n |an+1 | = L. |an | Entonces su radio de convergencia es 1/L. ´ Demostracion: Por el teorema anterior, el radio de convergencia de la serie dada es el mismo que el de la serie ∞ |an |z n . Si x > 0, tenemos que n=0 l´ ım n |an+1 |xn+1 = Lx, |an |xn luego el criterio de D’Alembert implica que la serie converge cuando Lx < 1 y diverge si LX > 1. Consecuentemente el radio de convergencia ha de ser 1/L. Las series de potencias se pueden derivar t´rmino a t´rmino. Conviene proe e bar un resultado un poco m´s general: a Teorema 3.28 Sea {fn }∞ una sucesi´n de funciones fn : ]a, b[ −→ R que o n=1 converge uniformemente a una funci´n f . Supongamos que todas ellas son deo rivables en ]a, b[ y que la sucesi´n de derivadas converge uniformemente a una o funci´n g . Entonces f es derivable y g = f . o ´ Demostracion: Fijemos un punto x ∈ ]a, b[ y consideremos las funciones Fn (y ) = fn (x)−fn (y ) x−y fn (x) si y = x si y = x Similarmente definimos F : ]a, b[ −→ R mediante F (y ) = f (x)−f (y ) x−y g (x) si y = x si y = x El hecho de que fn sea derivable en x implica que Fn es continua en ]a, b[. Basta probar que para todo > 0 existe un n´mero natural n0 tal que si m, n ≥ u n0 e y ∈ ]a, b[ entonces |Fm (y )−Fn (y )| < . En efecto, esto significa que {Fn }∞ n=1 es (uniformemente) de Cauchy, luego seg´n el teorema 2.54 la sucesi´n ha de u o converger uniformemente a alguna funci´n continua, pero dado que converge o puntualmente a F , de hecho converger´ uniformemente a F . Tenemos, pues, a que F es continua y a su vez esto implica que f es derivable en x y f (x) = g (x). Existe un n´mero natural n0 tal que si m, n > n0 entonces u |fn (u) − fm (u)| < 2 para todo u ∈ ]a, b[ . 126 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Entonces, dados y ∈ ]a, b[ y m, n ≥ n0 , si y = x se cumple |Fn (y ) − Fm (y )| = ≤ fn (x) − fn (y ) fm (x) − fm (y ) − x−y x−y 1 |fn (x) − fm (x) − fn (y ) + fm (y )| x−y Aplicamos el teorema del valor medio a la funci´n fn − fm en el intervalo o [y, x] (suponemos, por ejemplo, y < x). Entonces existe un u ∈ ]a, b[ tal que fn (x) − fm (x) − fn (y ) + fm (y ) = fn (u) − fm (u) (x − y ). As´ pues, ı |Fn (y ) − Fm (y )| ≤ 1 |fn (u) − fm (u)| |x − y | < . x−y 2 As´ mismo, si y = x tenemos ı |Fn (x) − Fm (x)| = |fn (x) − fm (x)| < 2 <. Como consecuencia tenemos: Teorema 3.29 Sea ∞ an (x − a)n una serie de potencias con centro y coe- n=0 ficientes reales. Supongamos que tanto ella como la serie ∞ nan (x − a)n−1 n=1 convergen en un intervalo ]a − , a + [. Entonces la segunda serie es la derivada de la primera. Llamemos f (x) a la funci´n definida sobre ]a − , a + [ por la serie dada y o g (x) a la funci´n definida por la segunda serie. Hemos de probar que f (x) = o g (x) para todo x en el intervalo. n Sea fn (x) = an (x − a)n . Se trata de una sucesi´n de polinomios cuyas o k=0 derivadas fn (x) son las sumas parciales de la segunda serie. Dado un punto x ∈ ]a − , a + [, tomamos un intervalo cerrado [x − δ, x + δ ] ⊂ ]a − , a + [. Por el teorema 3.26, en este intervalo las sucesiones fn (x) y fn (x) convergen absoluta y uniformemente a f y g respectivamente. El lector puede demostrar que, en realidad, las dos series del teorema anterior tienen el mismo radio de convergencia, con lo que la hip´tesis sobre la convero gencia de la segunda es redundante. En la pr´ctica no necesitaremos este hecho, a pues es obvio que si existe l´ |aan | | = L, entonces el l´ ım |n+1 ımite correspondiente a n la segunda serie tambi´n existe y vale lo mismo. e Con los resultados que veremos en la secci´n siguiente sobre la funci´n expoo o nencial es f´cil probar esto mismo pero sobre l´ n |an |, con lo que obtenemos a ım n 3.7. La funci´n exponencial o 127 la igualdad de los radios de convergencia en el caso general. De aqu´ se sigue ı inmediatamente que una serie de potencias con coeficientes y centro reales es una funci´n de clase C ∞ en su intervalo real de convergencia, y adem´s coincide o a con su serie de Taylor. 3.7 La funci´n exponencial o Vamos a aplicar las ideas de las secciones precedentes a la construcci´n de o las funciones m´s importantes del an´lisis: la exponencial, la logar´ a a ıtmica y las trigonom´tricas. En esta secci´n nos ocuparemos de la funci´n exponencial. e o o Hasta ahora tenemos definido ar cuando a es un n´mero real positivo y r u es un n´mero racional. No es dif´ probar que la funci´n r → ar admite una u ıcil o unica extensi´n continua a R que sigue conservando la propiedad ax+y = ax ay . ´ o Adem´s esta funci´n es infinitamente derivable y coincide en todo punto con a o su serie de Taylor en 0. En lugar de probar todos estos hechos lo que haremos ser´ definir la funci´n exponencial a partir de su serie de Taylor, para lo cual a o no necesitaremos siquiera el hecho de que ya la tenemos definida sobre Q. No obstante, ahora vamos a suponer la existencia de la funci´n ax , as´ como que es o ı derivable, y vamos a calcular su serie de Taylor. As´ obtendremos la serie que ı deberemos tomar como definici´n. o Sea f (x) = ax . Entonces, ax+h − ax ah − 1 = ax l´ = ax f (0). ım h→0 h→0 h h Llamemos k = f (0). Entonces hemos probado que f (x) = kf (x), luego por inducci´n concluimos que f es infinitamente derivable y f n) (x) = k n f (x). No o puede ser k = 0, o de lo contrario f ser´ constante. Sea e = a1/k = f (1/k ). ıa Entonces la funci´n g (x) = ex = ax/k = f (x/k ) cumple g (x) = f (x/k )(1/k ) = o f (x/k ) = g (x), es decir, escogiendo adecuadamente la base e obtenemos una funci´n exponencial que coincide con su derivada. Su serie de Taylor en 0 es o entonces f´cil de calcular: todas las derivadas valen e0 = 1, lo cual nos lleva a a la definici´n siguiente: o f (x) = l´ ım Definici´n 3.30 Llamaremos funci´n exponencial a la definida por la serie de o o potencias ∞ zn ez = . n! n=0 Puesto que 1/(n + 1)! 1 = l´ ım = 0, nn 1/n! el radio de convergencia es infinito, luego la exponencial est´ definida sobre a todo n´mero complejo z . El ultimo teorema de la secci´n anterior implica que u ´ o la exponencial real es derivable, y su derivada en un punto x es l´ ım n ∞ ∞ ∞ nxn−1 xn−1 xn = = = ex . n! (n − 1)! n=0 n! n=1 n=1 128 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Es claro que e0 = 1. Definimos el n´mero u ∞ 1 e=e = 1 = 2, 7182818284590452353602874. . . n! n=0 Ahora probamos la ecuaci´n que caracteriza a la funci´n exponencial: o o Teorema 3.31 Si z1 , z2 ∈ C, entonces ez1 +z2 = ez1 ez2 . ´ Demostracion: Usamos la f´rmula del producto de Cauchy: o ∞ ez1 ez2 = n z1 n! n=0 ∞ n = n=0 k=0 ∞ ∞ n z2 = n! n=0 n=0 n k=0 1 z k z n−k k ! (n − k )! 1 2 ∞ 1 n k n−k (z1 + z2 )n = z1 z2 = ez1 +z2 . n! k n! n=0 De aqu´ obtenemos muchas consecuencias. Por una parte, si n es un n´mero ı u n n n 1+···+1 natural no nulo entonces e = e = e · · · e, es decir, la funci´n exponencial o sobre n´meros naturales (incluido el 0) coincide con la exponenciaci´n usual u o con base e. As´ mismo, 1 = e0 = ex−x = ex e−x , luego e−x = 1/ex , con lo que ı la funci´n exponencial coincide tambi´n con la usual cuando el exponente es o e entero. Como los coeficientes de la serie exponencial son positivos, vemos que si x ≥ 0 entonces ex > 0, y si x < 0 entonces ex = 1/e−x > 0. As´ pues, ex > 0 ı para todo n´mero real x. u √ Como, (e1/n )n√ e1/n+···+1/n = e1 = e, resulta que e1/n = n e. Es f´cil ver = a ahora que ep/q = q ep , luego la funci´n exponencial coincide con la que ten´ o ıamos definida para exponentes racionales. Puesto que la derivada es positiva en todo punto, vemos que la funci´n expoo nencial es estrictamente creciente en R. En particular es inyectiva. Separando los dos primeros t´rminos de la serie vemos que si x ≥ 0 entonces 1 + x ≤ ex , e luego l´ ım ex = +∞. A su vez esto implica que x→+∞ l´ ım ex = l´ ım e−x = l´ ım x→−∞ x→+∞ x→+∞ 1 = 0. ex Por el teorema de los valores intermedios, la funci´n exponencial biyecta R o con el intervalo ]0, +∞[. Ejemplo Aplicando n veces la regla de L’Hˆpital se concluye claramente que o xn = 0, x→+∞ ex l´ ım 3.7. La funci´n exponencial o 129 y cambiando x por 1/x llegamos a que l´ ım x→0+ e−1/x = 0, xn n = 0, 1, 2, . . . (3.5) Esto implica que la funci´n h : R −→ R dada por o e−1/x 0 h(x) = si x > 0 si x ≤ 0 es de clase C ∞ en R. En efecto, una simple inducci´n prueba que las derivadas o de h para x > 0 son de la forma e−1/x P (x), xn donde P (x) es un polinomio. De aqu´ que las derivadas sucesivas de h en 0 ı existen y valen todas 0. En efecto, admitiendo que existe hk) (0) = 0 (para ımite cuando ∆x → 0 que por la k ≥ 0) la derivada hk+1) (0) se obtiene por un l´ izquierda es claramente 0 y por la derecha es de la forma l´ ım ∆x→0+ e−1/∆x P (∆x), ∆xn de modo que el primer factor tiende a 0 por (3.5) y el segundo est´ acotado en a un entorno de 0. Por lo tanto existe hk+1) (0) = 0. En particular, la funci´n h(x2 ) es de clase C ∞ , sus derivadas son todas nulas o en 0 pero es no nula en todo punto distinto de 0. Tenemos as´ un ejemplo de ı funci´n de clase C ∞ cuya serie de Taylor en 0 s´lo converge (a ella) en 0. o o La funci´n h del ejemplo anterior permite construir una familia de funciones o que nos ser´n de gran utilidad m´s adelante: a a Teorema 3.32 Dados n´meros reales 0 ≤ a < b existe una funci´n f : R −→ R u o de clase C ∞ tal que f (x) > 0 si x ∈ ]a, b[ y f (x) = 0 en caso contrario. ´ Demostracion: En efecto, la funci´n h1 (x) = h(x − a) se anula s´lo en o o o los puntos x ≤ a y la funci´n h2 (b − x) se anula s´lo en los puntos x ≥ b. Su o producto se anula s´lo en los puntos exteriores al intervalo x ∈ ]a, b[. o Definici´n 3.33 Llamaremos funci´n logar´ o o ıtmica a la inversa de la funci´n o exponencial, log : ]0, +∞[ −→ R. He aqu´ las gr´ficas de las funciones exponencial y logar´ ı a ıtmica. 130 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a 4 ex 3 2 log x 1 -4 -2 2 4 -1 -2 -3 -4 El teorema de la funci´n inversa nos da que y = log x es derivable, y su o derivada es y = 1/(ey ) = 1/ey = 1/x. De las propiedades de la funci´n exponencial se deducen inmediatamente las o de la funci´n logar´ o ıtmica. Obviamente es una funci´n estrictamente creciente, o adem´s verifica la ecuaci´n funcional log(xy ) = log x + log y . Tambi´n es claro a o e que log 1 = 0, log e = 1 y l´ ım log x = +∞, x→+∞ l´ log x = −∞. ım x→0 Veamos c´mo puede calcularse en la pr´ctica un logaritmo. Es decir, vamos o a a calcular el desarrollo de Taylor de la funci´n log. Obviamente no hay un o desarrollo en serie sobre todo ]0, +∞[. Si desarrollamos alrededor del 1 a lo sumo podemos obtener una serie convergente en ]0, 2[. Como las series de potencias centradas en 0 son m´s f´ciles de manejar, aa vamos a desarrollar en 0 la funci´n log(1 + x). Sus derivadas son o (1 + x)−1 , −(1 + x)−2 , 2(1 + x)−3 , −2 · 3(1 + x)−4 , . . . y en general, la derivada n-sima es (−1)n+1 (n − 1)!(1 + x)−n . Puesto que log (1 + 0) = 0, la serie de Taylor queda: ∞ (−1)n n x. n n=1 Como l´ ım n 1/(n + 1) n = l´ ım = 1, n n+1 1/n el radio de convergencia es 1 (como era de esperar), luego la serie converge en−1, 1[. De hecho en x = −1 obtenemos una serie divergente, pero en x = 1 queda ∞ n=1 (−1)n n, que es convergente luego, con exactitud, la serie converge en el intervalo ]−1, 1]. 3.7. La funci´n exponencial o 131 Seg´n hemos visto en la secci´n anterior, la funci´n definida por la serie es u o o derivable, y su derivada se obtiene derivando cada monomio, es decir, se trata de la serie geom´trica e ∞ (−1)n+1 xn−1 = n=1 ∞ (−x)n = n=0 1 . 1+x Resulta, pues, que la serie de Taylor y la funci´n log(1 + x) tienen la misma o derivada en ]−1, 1[. Por lo tanto la diferencia entre ambas funciones es una constante, pero como ambas toman el valor 0 en 0, se concluye que ∞ log(1 + x) = (−1)n n x n n=1 para todo n´mero x ∈ ]−1, 1[. u Ejercicio: Estudiando el resto de Taylor de la funci´n log(1 + x), probar que o ∞ n=1 (−1)n = log 2. n Para calcular el logaritmo de un n´mero x > 2 podemos usar la relaci´n u o log(1/x) = − log x. Ahora podemos definir ax para cualquier base a > 0. La forma m´s f´cil de aa hacerlo es la siguiente: Definici´n 3.34 Sea a > 0 y x ∈ R. Definimos ax = ex log a . o Notar que, como log e = 1, en el caso a = e la exponencial que acabamos de definir coincide con la que ya ten´ ıamos definida. Sin embargo la funci´n o ex se diferencia de las otras exponenciales en que est´ definida sobre todo el a plano complejo y no s´lo sobre la recta real. M´s adelante interpretaremos o a esta extensi´n compleja. Las funciones exponenciales verifican las propiedades o siguientes: ax+y log ax (ax )y a0 = e(x+y) log a = ex log a ey log a = ax ay , = log ex log a = x log a, x = ey log a = exy log a = axy = 1, a1 = a, a−x = 1/ax . As´ mismo es claro que ax coincide con la exponenciaci´n usual cuando x es ı o√ o un n´mero entero y que sobre n´meros racionales es ap/q = q ap . La funci´n u u y x considerada como funci´n de dos variables en ]0, +∞[ × R es continua. o La derivada de ax es (log a)ax , la derivada de xb es eb log x b 1 = bxb = bxb−1 . x x 132 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Finalmente, puesto que la derivada de ax es siempre positiva si a > 1 y siempre negativa si a < 1, tenemos que ax es mon´tona y biyecta R con el o intervalo ]0, +∞[. Por lo tanto tiene una inversa, que representaremos por loga x y se llama logaritmo en base a de x. Las propiedades algebraicas de estos logaritmos son las mismas que las de la funci´n log y se demuestran igual. A o estas hay que a˜adir las siguientes, ambas elementales: n loga xb = b loga x, loga x . loga b logb x = En particular loga x = log x . log a Hay una caracterizaci´n importante del n´mero e: o u Teorema 3.35 Se cumple e = l´ ım x→+∞ 1+ x 1 x . ´ Demostracion: Por definici´n o 1+ 1 x x = ex log(1+1/x) , luego basta probar que l´ ım x log 1 + x→+∞ 1 x = 1. Pasamos la x al denominador como 1/x y aplicamos la regla de L’Hˆpital, o con lo que el l´ ımite se transforma en −x−2 1+1/x l´ ım x→+∞ −x−2 1 = 1. x→+∞ 1 + 1/x = l´ ım Ejercicio: Probar que, para todo x ∈ R, ım 1 + ex = l´ n x n n . Terminamos la secci´n con una aplicaci´n de los logaritmos junto a t´cnicas o o e anal´ ıticas. 3.8. Las funciones trigonom´tricas e 133 Ejemplo Se define la media aritm´tica de n n´meros reales x1 , . . . , xn como e u (x1 + · · · + xn )/n. Si son mayores o iguales que 0 se define su media geom´trica e √ e como n x1 · · · xn . Vamos a probar que la media geom´trica siempre es menor o igual que la media geom´trica. A su vez, deduciremos esto de la desigualdad e log t ≤ t − 1, v´lida para todo t > 0. a Para probar esta desigualdad vemos que la derivada de f (t) = t − 1 − log t es 1 − 1/t, que es negativa si t < 1 y positiva si t > 1. Por el teorema 3.14, f es decreciente en ]0, 1] y creciente en [1, +∞[. Puesto que f (1) = 0, es claro entonces que f (t) ≥ 0 para todo t > 0. Respecto a la desigualdad entre las medias, si uno de los n´meros es nulo la u media geom´trica es nula y el resultado es obvio. Supongamos que son todos e no nulos y sea x = x1 · · · xn . Entonces x x √i − 1 ≥ log √i , n n x x luego sumando obtenemos n xi i=1 √ n con lo que x − n ≥ log x1 · · · xn = 0, x n xi i=1 n 3.8 ≥ √ n x. Las funciones trigonom´tricas e En geometr´ se definen varias funciones de inter´s, entre las que destacan ıa e las funciones seno y coseno. Si llamamos R a la medida de un angulo recto, ´ entonces la funci´n sen x est´ definida sobre R y tiene periodo 4R, es decir, o a sen(x + 4R) = sen x para todo x ∈ R. As´ definido, el valor de R es arbitrario, ı pues podemos tomar cualquier n´mero real como medida de un angulo recto. u ´ Si queremos que existan angulos unitarios deberemos exigir que R > 1/4. Por ´ ejemplo, si tomamos como unidad de angulo el grado sexagesimal, entonces ´ R = 90. Supongamos que las funciones seno y coseno son derivables as´ como ı sus propiedades algebraicas y vamos a calcular su serie de Taylor. Con ello obtendremos una definici´n anal´ o ıtica alternativa. En primer lugar, como el coseno tiene un m´ximo en 0, ha de ser cos 0 = 0. a En cualquier otro punto tenemos cos(x + h) − cos x cos x cos h − sen x sen h − cos x = l´ ım h→0 h h cos h − 1 sen h = cos x l´ ım − sen x l´ ım h→0 h→0 h h = cos x cos 0 − sen x sen 0 = − sen x sen 0. cos x = l´ ım h→0 134 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Si llamamos k = sen 0 concluimos que cos x = −k sen x, y similarmente llegamos a que sen x = k cos x. Del mismo modo que hicimos con la exponencial, podemos normalizar las funciones seno y coseno cambi´ndolas por sen(x/k ) y cos(x/k ). Geom´tricamena e te esto significa fijar una unidad de angulos. Entonces tenemos sen x = cos x y ´ cos x = − sen x. Vemos entonces que las funciones seno y coseno son infinitamente derivables, y sus derivadas est´n uniformemente acotadas por 1, luego las series de Taylor a deben converger en R a las funciones respectivas. Puesto que sen 0 = 0 y cos 0 = 1, las series han de ser las que consideramos en la definici´n siguiente: o Definici´n 3.36 Llamaremos seno y coseno a las funciones definidas por las o series de potencias ∞ sen z = ∞ (−1)n 2n+1 , z (2n + 1)! n=0 cos z = (−1)n 2n z. (2n)! n=0 No es dif´ probar directamente la convergencia de estas series sobre todo el ıcil plano complejo. El teorema siguiente muestra una sorprendente conexi´n entre o las funciones trigonom´tricas as´ definidas y la funci´n exponencial. Observar e ı o que la prueba contiene otra demostraci´n alternativa de la convergencia de estas o series. Teorema 3.37 Para todo z ∈ C se cumple eiz − e−iz , 2i sen z = cos z = eiz + e−iz . 2 ´ Demostracion: ∞ iz −iz e +e 2 = ∞ n n=0 in z ! + n n=0 2 n (−i)n z ! n ∞ = in + (−i)n z n . 2 n! n=0 Ahora bien, la sucesi´n (in +(−i)n )/2 es simplemente 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0. . ., o luego queda la serie del coseno. Similarmente se razona con el seno. Derivando t´rmino a t´rmino las series de Taylor se concluye f´cilmente que e e a sen x = cos x, cos x = − sen x. Las f´rmulas siguientes son todas consecuencias sencillas del teorema anteo rior: sen2 z + cos2 z = 1 sen(x + y ) cos(x + y ) = = sen x cos y + cos x sen y, cos x cos y − sen x sen y, eiz = cos z + i sen z, 3.8. Las funciones trigonom´tricas e 135 La primera f´rmula implica que si x ∈ R entonces −1 ≤ sen x, cos x ≤ 1. De o la ultima se sigue que para todo x, y ∈ R se cumple ´ ex+iy = ex (cos y + i sen y ), con lo que tenemos descrita la exponencial compleja en t´rminos de la exponene cial real y de las funciones seno y coseno reales. El hecho de que sen 0 = cos 0 = 1 equivale a l´ ım x→0 sen x = 1, x que es otra propiedad del seno que conviene recordar. Vamos a probar ahora la periodicidad de las funciones trigonom´tricas reales. e El punto m´s delicado es demostrar que cos x se anula en alg´n x = 0. Para ello a u probaremos que el coseno es menor o igual que los cuatro primeros t´rminos de e su serie de Taylor: x2 x4 cos x ≤ 1 − +. 2 24 2 4 Esto equivale a probar que 1 − x /2 + x /24 − cos x ≥ 0 para x ≥ 0. Puesto que esta funci´n vale 0 en 0, basta probar que su derivada es positiva. Dicha o derivada es sen x − x + x3 /6. Esta funci´n vale tambi´n 0 en 0, luego para probar o e que es positiva (para x ≥ 0) basta ver que su derivada lo es. Dicha derivada es cos x − 1 + x2 /2. Por el mismo argumento derivamos una vez m´s y obtenemos a x − sen x. Al derivar una vez m´s llegamos a 1 − cos x, que sabemos que es a positiva. 4 Vemos que la gr´fica del polinomio de Taylor de a grado 4 en 0 de cos x toma valores negativos. De √ 3 hecho un simple c´lculo nos da que en 3 toma el a√ valor −1/8, luego cos 3 ≤ −1/8. Como√ 0 = 1, cos 2 por continuidad existe un punto 0 < x < 3 tal que cos x = 0. 1 Sea A = {x > 0 | cos x = 0}. El conjunto A es la antiimagen de {0} por la aplicaci´n coseno restringida -1 o 4 1 2 3 a [0, +∞[. Como {0} es cerrado y cos es continua, A -1 es un cerrado. El ´ ınfimo de un conjunto est´ en su a clausura, luego F = ´ A ∈ √ y as´ cos F = 0. Es obvio que F ≥ 0, y como ınf A ı cos 0 = 0, ha de ser 0 < F < 3. √ Es costumbre llamar π = 2F . As´ se cumple 0 < π < 2 3, cos(π/2) = 0, ı, pero cos x > 0 en el intervalo [0, π/2[. Ahora, como el coseno es la derivada del seno, resulta que sen x es estrictamente creciente en el intervalo [0, π/2]. Como sen 0 = 0, resulta que sen x ≥ 0 en [0, π/2]. Concretamente, sen(π/2) es un n´mero positivo que cumple u sen2 (π/2) + cos2 (π/2) = sen2 (π/2) + 0 = 1, luego sen(π/2) = 1. 136 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Adem´s, cos x = − sen x ≤ 0 en [0, π/2], luego el coseno es estrictamente a decreciente en [0, π/2]. En resumen, tenemos demostrado lo que refleja la gr´fica a siguiente: 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.5 1 0.5 2 1.5 -0.2 -0.4 Incidentalmente hemos probado una desigualdad que a veces es de inter´s: e si x ≥ 0 entonces sen x ≤ x. M´s en general, | sen x| ≤ |x|. a El comportamiento de las funciones seno y coseno fuera del intervalo [0, π/2] se deduce de las relaciones trigonom´tricas que ya hemos probado. Por ejemplo, e expresando π = π/2 + π/2 obtenemos sen π = 0, cos π = −1, y a su vez de aqu´ ı sen 2π = 0, cos 2π = 1. Ahora sen(x + 2π ) = sen x, cos(x + 2π ) = cos x, lo que prueba que ambas funciones son peri´dicas y basta estudiarlas en el o intervalo [0, 2π ]. Dejamos a cargo del lector completar la descripci´n de estas o funciones. A partir de lo que ya hemos probado es f´cil obtener todos los a resultados que se demuestran en geometr´ ıa. Nos limitaremos a mostrar sus gr´ficas en [0, 2π ]: a 1 0.5 1 2 3 4 5 6 -0.5 -1 El teorema siguiente se demuestra de forma m´s natural en geometr´ pero a ıa, vamos a probarlo para tener una construcci´n completamente anal´ o ıtica de las funciones trigonom´tricas: e Teorema 3.38 Sea z ∈ C, z = 0 y sea a ∈ R. Entonces existe un unico n´mero ´ u real θ ∈ [a, a + 2π [ tal que z = |z |eiθ = |z |(cos θ + i sen θ). ´ Demostracion: Sea z/|z | = x + iy . Entonces x2 + y 2 = 1. Distinguimos cuatro casos: seg´n el signo de x e y . Todos son an´logos, as´ que supondremos u a ı por ejemplo x ≤ 0, y ≥ 0. M´s concretamente tenemos −1 ≤ x ≤ 0. En el a intervalo [π, 3π/2] se cumple cos π = −1, cos 3π/2 = 0, luego por continuidad existe un n´mero φ ∈ [π, 3π/2] tal que cos φ = x. Entonces 1 = x2 + y 2 = u cos2 φ + sen2 φ, por lo que y 2 = sen2 φ y, como ambos son negativos, ha de ser y = sen φ. As´ pues, z = |z |(cos φ + i sen φ) = |z |eiφ . ı Existe un n´mero entero p tal que θ = 2pπ + φ ∈ [a, a + 2π [. Entonces, u teniendo en cuenta que e2pπi = 1, resulta que z = |z |eiφ e2pπi = |z |eiθ . 3.8. Las funciones trigonom´tricas e 137 La unicidad se debe a que si |z |eiθ1 = |z |eiθ2 , entonces ei(θ1 −θ2 ) = 1, luego cos(θ1 − θ2 ) = 1 y sen(θ1 − θ2 ) = 0, ahora bien, cos x = 1 y senx = 0 s´lo ocurre o en x = 0 en el intervalo [0, 2π [, luego s´lo ocurre en los n´meros reales de la o u forma 2kπ , con k ∈ Z. As´ pues θ1 − θ2 = 2kπ , y si ambos est´n en el intervalo ı a [a, a + 2π [, ha de ser θ1 = θ2 . Un argumento de un n´mero complejo z = 0 es un n´mero real θ tal que u u z = |z |eiθ . Hemos probado que cada n´mero complejo no nulo tiene un unico u ´ argumento en cada intervalo [a, a + 2π [. En particular en el intervalo [0, 2π [. Recordemos que para conseguir que la derivada del seno fuera el coseno hemos tenido que fijar una medida de angulos concreta. El angulo de medida 1 ´ ´ respecto a esta unidad, es decir, el ´ngulo que forman a los vectores (1, 0) y (cos 1, sen 1), recibe el nombre de radi´n1 La figura muestra un radi´n. a a Las funciones seno y coseno nos permiten mostrar algunos ejemplos de inter´s sobre derivabilidad. e Ejemplo La funci´n f : R −→ R dada por o f (x) = 1 x2 sen x 0 si x = 0 si x = 0 es derivable en R. El unico punto donde esto no es evidente es x = 0, pero ´ f (0) = l´ h sen ım h→0 1 = 0. h Para probar esto observamos en general que el producto de una funci´n o acotada por otra que tiende a 0 tiende a 0 (basta aplicar la definici´n de l´ o ımite). Sin embargo la derivada no es continua, pues en puntos distintos de 0 vale f (x) = 2x sen 1 1 − cos , x x y es f´cil ver que el primer sumando tiende a 0 en 0 (como antes), mientras que a el segundo no tiene l´ ımite, luego no existe l´ f (x). ım x→0 Los mismos c´lculos que acabamos de realizar prueban una limitaci´n de la a o regla de L’Hˆpital. Consideremos la funci´n g (x) = x. Entonces o o l´ ım x→0 1 El f (x) = 0, g (x) nombre se debe a que, seg´ n probaremos en el cap´ u ıtulo siguiente, si un arco de circunferencia mide un radi´n, entonces su longitud es igual al radio. Ser´ m´s adecuado llamarlo a ıa a a ´ngulo “radiante”. 138 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a pero si intentamos calcular el l´ ımite por la regla de L’Hˆpital nos encontramos o con f (x) l´ ım = l´ f (x), ım x→0 g (x) x→0 y ya hemos visto que este l´ ımite no existe. La regla de L’Hˆpital s´lo afirma que o o si existe el l´ ımite del cociente de derivadas tambi´n existe el l´ e ımite original y ambos coinciden, pero es importante recordar que si el segundo l´ ımite no existe de ah´ no podemos deducir que el primero tampoco exista. ı Otra funci´n trigonom´trica importante es la tangente, definida como o e tan z = sen z . cos z No es dif´ probar que la funci´n coseno se anula unicamente sobre los ıcil o ´ m´ltiplos enteros de π/2 (no tiene ceros imaginarios). En efecto, si cos z = 0, u por definici´n eiz + e−iz = 0, luego e2iz = −1. Si z = a + bi, queda e2ia e−2b = −1 o y tomando m´dulos, e−2b = 1, luego b = 0 y z es real. Igualmente ocurre con el o seno. Por lo tanto la tangente est´ definida sobre todos los n´meros complejos a u que no son m´ltiplos enteros de π/2. Claramente su restricci´n a R es derivable u o en su dominio, y su derivada es 1/ cos2 x = 1 + tan2 x. En particular es siempre positiva, luego la tangente es creciente. Su gr´fica es: a 6 4 2 -6 -4 -2 2 4 6 -2 -4 -6 Es f´cil ver que la funci´n tangente biyecta el intervalo ]−π/2, π/2[ con la a o recta real. Junto con ´sta, tenemos tambi´n las biyecciones siguientes: e e ππ sen : − , −→ [−1, 1], 22 cos : [0, π ] −→ [−1, 1]. Por lo tanto podemos definir las funciones inversas, llamadas respectivamente, arco seno, arco coseno y arco tangente: ππ arcsen : [−1, 1] −→ − , , arccos : [−1, 1] −→ [0, π ], 22 arctan : R −→ ]−π/2, π/2[ . El teorema de la funci´n inversa permite calcular sus derivadas: o arcsen x = √ 1 , 1 − x2 arccos x = √ −1 , 1 − x2 arctan x = 1 . 1 + x2 3.8. Las funciones trigonom´tricas e 139 Por ejemplo, si y = arcsen x, entonces x = sen y , luego dy 1 = = dx cos y 1 1− sen2 y =√ dx dy = cos y , luego 1 . 1 − x2 Vamos a calcular la serie de Taylor de la funci´n arco tangente. No podemos o calcular directamente las derivadas, pues las expresiones que se obtienen son cada vez m´s complicadas y no permiten obtener una f´rmula general. En su a o lugar emplearemos la misma t´cnica que hemos usado en la secci´n anterior e o para calcular la serie del logaritmo. Claramente ∞ 1 1 = = (−1)n x2n , para |x| < 1. 2 1+x 1 − (−x2 ) n=0 Ahora es f´cil obtener una serie cuya derivada sea la serie anterior, a saber: a ∞ (−1)n 2n+1 . x 2n + 1 n=0 Es f´cil ver que su radio de convergencia es 1. a Por lo tanto esta serie se diferencia en una constante de la funci´n arctan x o en el intervalo ]−1, 1[, pero como ambas funciones toman el valor 0 en x = 0, concluimos que son iguales, o sea: ∞ arctan x = (−1)n 2n+1 , para |x| < 1. x 2n + 1 n=0 Cuando x = ±1 la serie se convierte en una serie alternada cuyo t´rmino e general es decreciente y tiende a 0, luego por el criterio de Leibniz tambi´n e converge. No vamos a demostrarlo aqu´ (ver la p´g. 237), pero el l´ ı a ımite resulta ser arctan(±1). Puesto que arctan 1 = π/4, esto nos lleva a la conocida f´rmula o de Leibniz para el c´lculo de π : a π =4 1− 1111 1 +−+− + ··· . 3 5 7 9 11 Esta f´rmula converge muy lentamente a π , en el sentido de que es necesario o calcular muchos t´rminos para obtener pocas cifras exactas. Hay otras expresioe nes m´s complicadas pero m´s eficientes. Veamos una de ellas. Es f´cil probar a a a la f´rmula de la tangente del angulo doble: o ´ tan 2α = 2 tan α . 1 − tan2 α De aqu´ se sigue que ı tan 2 arctan 1 5 = 5 , 12 tan 4 arctan 1 5 = 120 . 119 140 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Teniendo en cuenta que arctan(−x) = − arctan x resulta tan 4 arctan 1 1 − arctan 5 239 = 120 119 1+ 1 − 239 120 1 119 239 = 1, con lo que, finalmente, π = 4 4 arctan o sea, ∞ π= (−1)n 4 2n + 1 n=0 1 1 − arctan 5 239 1 4 − 52n+1 2392n+1 , . Esta serie converge muy r´pidamente. Veamos sus primeras sumas parciales: a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3,18326359832635983263598326360 3,14059702932606031430453110658 3,14162102932503442504683251712 3,14159177218217729501821229111 3,14159268240439951724025983607 3,14159265261530860814935074767 3,14159265362355476199550459382 3,14159265358860222866217126049 3,14159265358983584748570067225 3,14159265358979169691727961962 3,14159265358979329474737485772 3,14159265358979323639184094467 3,14159265358979323853932459267 3,14159265358979323845978816126 3,14159265358979323846275020768 3,14159265358979323846263936981 Vemos que con 6 sumas tenemos ya una aproximaci´n con diez cifras exactas, o y con 15 superamos las 20 cifras. *Las funciones hiperb´licas El lector que est´ familiarizado con la geoo e metr´ hiperb´lica habr´ notado la similitud formal entre las f´rmulas del teoıa o a o rema 3.37 y las definiciones de las razones trigonom´tricas hiperb´licas. Esta e o similitud se traduce en las relaciones siguientes: ex − e−x ei(−ix) − e−i(−ix) sen ix = = i sen(−ix) = , 2 2 i ex + e−x ei(−ix) + e−i(−ix) cosh x = = = cos(−ix) = cos ix. 2 2 En definitiva, tenemos senh x = sen(ix) cos(ix) tan(ix) = i senh x, = cosh x, = i tanh x. 3.8. Las funciones trigonom´tricas e 141 De aqu´ se siguen, por ejemplo, las relaciones cosh2 x − senh2 x = 1, o las ı f´rmulas del seno y el coseno de una suma, etc. o Ejercicio: Deducir de las relaciones anteriores las series de Taylor de las funciones senh x y cosh x. A partir de las definiciones es f´cil probar a senh x = cosh x, cosh x = senh x, tanh x = 1 1 − tanh2 x. cosh2 x Puesto que cosh x ≥ 0, el seno hiperb´lico es creciente. De hecho es una o funci´n biyectiva, como puede probarse a partir de la propia definici´n: Si o o x = senh y entonces ey − e−y − 2x = 0, ⇒ e2y − 2xey − 1 = 0, ⇒ ey = x + x2 + 1, luego la inversa del seno hiperb´lico es la funci´n argumento del seno hiperb´lico o o o dada por arg senh x = log x + x2 + 1 . Teniendo en cuenta su derivada, el coseno hiperb´lico es decreciente en o−∞, 0] y creciente en [0, +∞[. Como cosh 0 = 1, la imagen est´ en [1, +∞[. a Existe la inversa arg cosh : [1, +∞[ −→ [0, +∞[ dada por arg cosh x = log x + x2 − 1 . Teniendo en cuenta las relaciones tan2 x = 1 − 1 , cosh2 x tanh(−x) = − tanh x, es claro que tanh : R −→ ]−1, 1[ es biyectiva, luego tiene como inversa a la funci´n arg tanh : ]−1, 1[ −→ R. o Dejamos a cargo del lector el c´lculo de las derivadas de los argumentos a hiperb´licos. o *Geometr´ no eucl´ ıas ıdeas Los resultados de esta secci´n nos permiten o mostrar una conexi´n importante entre la geometr´ eucl´ o ıa ıdea y las geometr´ ıas el´ ıptica e hiperb´lica. Antes de entrar en ello, observemos que en la geometr´ o ıa eucl´ ıdea existe una asimetr´ entre la medida de longitudes y la medida de ıa a ´ngulos. En efecto, no es posible definir geom´tricamente una unidad de longie tud. El metro se define actualmente en t´rminos del segundo y de la velocidad e de la luz, y a su vez el segundo se define en t´rminos de una propiedad f´ e ısica del atomo de kript´n; antiguamente el metro se defin´ como la longitud del ´ o ıa patr´n de platino que se hallaba en Par´ En cualquier caso, si alguien quiere o ıs. construir un metro con precisi´n se ve obligado a observar atomos de kript´n, o ´ o a viajar a Par´ o algo similar. En cambio, no es necesario viajar a Par´ para ıs ıs construir un angulo recto, o un radi´n, o un grado sexagesimal con precisi´n. ´ a o 142 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Podr´ haber un angulo patr´n en Par´ pero no es necesario porque existen ıa ´ o ıs, unidades naturales de angulo, en el sentido de que pueden definirse por medios ´ puramente geom´tricos. Nosotros hemos definido el radi´n y no hemos tenido e a que aludir a ning´n atomo. u´ Esta asimetr´ no se da en las geometr´ no eucl´ ıa ıas ıdeas. Pensemos por ejemplo en la geometr´ el´ ıa ıptica. Los segmentos pueden medirse tambi´n en radianes, o e en rectos, o en grados sexagesimales. Una longitud de un recto es simplemente la mitad de la longitud de una recta cualquiera. Una longitud de un radi´n a es simplemente 2/π rectos. Desde un punto de vista m´s conceptual, esto se a refleja en que la geometr´ eucl´ ıa ıdea tiene semejanzas que no son isometr´ (apliıas caciones que conservan ´ngulos pero no longitudes, de modo que dos segmentos a cualesquiera son semejantes), mientras que en las geometr´ no eucl´ ıas ıdeas todas las semejanzas son isometr´ ıas. La ausencia de unidades naturales de longitud (o la presencia de semejanzas) hace que la geometr´ eucl´ ıa ıdea sea invariante a escala. La geometr´ de Liliput ıa es exactamente la misma que la nuestra, y as´ ser´ aunque los liliputienses ı ıa midieran una millon´sima de mil´ e ımetro. No habr´ ning´n argumento objetivo ıa u para concluir que ellos son “peque˜os” y nosotros “grandes” o “normales”. Las n nociones de “grande” y “peque˜o” son relativas a la unidad de medida, y ´sta es n e arbitraria. No ocurre lo mismo en las geometr´ no eucl´ ıas ıdeas. Supongamos que la superficie de la Tierra fuera completamente esf´rica, sin hoyos ni elevaciones. e Ahora s´ tiene sentido decir que un metro es objetivamente “peque˜o”, con ı n respecto a una unidad natural de longitud, pues un metro es 20 millones de veces m´s peque˜o que un meridiano (una recta el´ a n ıptica). Quiz´ el lector piense a que esta noci´n de peque˜ez no deja de ser subjetiva. Ciertamente no es rigurosa o n en el sentido de que no podemos determinar cu´ndo una longitud deja de ser a peque˜a, pero es la forma m´s natural de expresar un hecho objetivo que vamos n a a explicar a continuaci´n. o Supongamos que trazamos un tri´ngulo en nuestra Tierra perfecta. Digamos a que uno de sus lados mide un metro. Entonces podemos aplicarle el teorema del coseno para un lado, es decir, la f´rmula: o cos α = − cos β cos γ + sen β sen γ cos a. Ahora bien, si entendemos que las funciones trigonom´tricas que aparecen e son las que hemos estudiado en este cap´ ıtulo, los angulos han de estar en ra´ dianes. Si el lado a mide un metro, su medida en radianes es aproximadamente a ≈ 1,6 · 10−7 , y entonces cos a ≈ 0,9999999999999872. Por consiguiente nuestro tri´ngulo cumple a cos α ≈ − cos β cos γ + sen β sen γ = − cos(β + γ ) = cos(π − β − γ ), de donde se sigue que α + β + γ ≈ π + 2kπ . Como la suma de los ´ngulos de un a tri´ngulo el´ a ıptico est´ entre π y 3π , concluimos que la suma ha de parecerse a a π o a 3π . Enseguida descartaremos el segundo caso y concluiremos α + β + γ ≈ 2π. 3.8. Las funciones trigonom´tricas e 143 Si hacemos c´lculos concretos veremos que esta aproximaci´n excede nuesa o tra capacidad de discernimiento, por lo que aparentemente nuestro tri´ngulo a cumplir´ la ley eucl´ a ıdea de que la suma de sus ´ngulos es igual a π . a La raz´n por la que la suma de los angulos no puede acercarse a 3π nos la o ´ da el teorema del coseno para un angulo: ´ cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α. Si ahora sustituimos cos a ≈ 1, cos b ≈ 1, cos b ≈ 1 obtenemos la relaci´n o sen b sen c cos α ≈ 0, que no expresa m´s que el hecho de que cuando b y c son a peque˜os sen b ≈ 0 ≈ sen c. Vamos a aproximar las razones trigonom´tricas por n e sus polinomios de Taylor de grado 2 en 0. Consideramos grado 2 porque, para el coseno, el polinomio de Taylor de grado 1 es tambi´n P1 (x) = 1, luego estamos en el mismo caso de antes. En e cambio el de grado 2 nos da la aproximaci´n: o cos x ≈ 1 − x2 . 2 Respecto al seno, el polinomio de grado 1 coincide con el de grado 2. Ambos nos dan la aproximaci´n sen x ≈ x. o Ejercicio: Comprobar que para a ≈ 1,6 · 10−7 el resto del polinomio de Taylor de grado 3 (que es el mismo que el de grado 2) del coseno en 0 es menor que 3 · 10−29 . El resto de grado 2 del seno es menor que 7 · 10−22 . Por consiguiente cos b cos c ≈ 1 − b2 c2 b2 c2 − + . 2 2 4 ´ Esta es una aproximaci´n de cuarto grado. Podemos despreciar el ultimo o ´ t´rmino y quedarnos con e cos b cos c ≈ 1 − b2 c2 −. 2 2 Aunque no hemos definido este concepto, lo cierto es que 1 − x2 /2 − y 2 /2 es el polinomio de Taylor de segundo grado de la funci´n de dos variables cos x cos y . o Con estas aproximaciones el teorema del coseno se convierte en 1− a2 b2 c2 ≈1− − + bc cos α, 2 2 2 o equivalentemente, a2 ≈ b2 + c2 − 2bc cos α, que es el teorema del coseno eucl´ ıdeo. Esto significa que los angulos de nuestro ´ tri´ngulo ser´n aproximadamente los mismos que los del tri´ngulo eucl´ a a a ıdeo de lados a, b, c, luego su suma se parecer´ a π y no a 3π . a 144 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a En general, todas las f´rmulas de la geometr´ el´ o ıa ıptica aproximan a f´rmulas o eucl´ ıdeas cuando las longitudes involucradas son peque˜as. La aproximaci´n n o sen x ≈ x transforma el teorema de los senos el´ ıptico en el correspondiente eucl´ ıdeo. Ejercicio: Comprobar que el teorema de Pit´goras el´ a ıptico: cos a = cos b cos c se convierte aproximadamente en el eucl´ ıdeo para tri´ngulos peque˜os. a n Resulta as´ que la geometr´ el´ ı ıa ıptica a gran escala es muy diferente de la geometr´ el´ ıa ıptica a peque˜a escala, pues ´sta ultima es aproximadamente eucl´ n e ´ ıdea. Esto se expresa diciendo que la geometr´ el´ ıa ıptica es localmente eucl´ ıdea. La interpretaci´n geom´trica es clara: la geometr´ el´ o e ıa ıptica es localmente igual a la geometr´ de una esfera, y la geometr´ de una esfera se aproxima localmente a ıa ıa la de cualquiera de sus planos tangentes, que es eucl´ ıdea. Todo lo dicho vale igualmente para la geometr´ hiperb´lica. En primer ıa o lugar hemos de observar que tambi´n en esta geometr´ hay unidades naturales e ıa de longitud, definibles geom´tricamente. Por ejemplo, si un tri´ngulo equil´tero e a a tiene todos sus lados unitarios, el teorema del coseno nos permite calcular sus a ´ngulos. Todos miden α = arccos e2 e2 + 1 ≈ 0,92 rad. + 2e + 1 Por lo tanto podemos definir la unidad de longitud hiperb´lica como la o longitud del lado del tri´ngulo equil´tero cuyos ´ngulos miden α. La selecci´n a a a o de esta unidad de longitud se lleva a cabo en el momento en que definimos la distancia entre dos puntos mediante la f´rmula o d(P, Q) = 1 log R(P, Q, Q∞ , P∞ ). 2 Si cambiamos la base del logaritmo o si cambiamos la constante 1/2 estamos cambiando de unidad de longitud (ambos cambios son equivalentes). Para transformar las f´rmulas hiperb´licas en f´rmulas eucl´ o o o ıdeas basta usar las aproximaciones de Taylor: senh x ≈ x, cosh x ≈ 1 + x2 . 2 Dejamos los detalles a cargo del lector. 3.9 Primitivas El teorema 3.16 afirma que una funci´n derivable est´ completamente deo a terminada por su derivada y su valor en un punto. A menudo se plantea el problema pr´ctico de determinar una funci´n a partir de estos datos. a o Definici´n 3.39 Diremos que una funci´n F : I −→ R definida en un intervalo o o abierto I es una primitiva de una funci´n f : I −→ R si F es derivable en I y o F = f. 3.9. Primitivas 145 No estamos en condiciones de decir mucho sobre cu´ndo una funci´n tiene a o primitiva. Nos limitaremos a hacer algunas observaciones te´ricas que en casos o concretos nos permitir´n encontrar primitivas de funciones dadas. En estos a t´rminos, lo que afirma el teorema 3.16 es que si una funci´n f admite una e o primitiva F , entonces el conjunto de todas las primitivas de f est´ formado por a las funciones de la forma F + c, para cada c ∈ R. Esto hace que, aunque F no est´ un´ e ıvocamente determinada por f , dados a, b ∈ I , el incremento F (b) − F (a) s´ lo est´. Conviene introducir la notaci´n ı a o F (x) b a = F (b) − F (a). En el lenguaje del c´lculo infinitesimal, si sabemos que dy = f (x)dx, esto a significa que la funci´n y experimenta un incremento infinitesimal de f (x)dx o cada vez que la variable se incrementa en dx. Supongamos que y est´ definida a en [a, b] y conocemos y (a). Entonces y (b) ≈ y (a) + f (a)(b − a). En realidad ´ste es el valor que toma en b la recta tangente a y en a. Obtendremos una e aproximaci´n mejor si dividimos el intervalo [a, b] en partes iguales, digamos o a = x0 < x1 < · · · < xn = b, todas de longitud ∆x, y vamos calculando: y (x0 ) = y (a), y (x1 ) ≈ f (x0 )∆x + y (a), y (x2 ) ≈ f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + y (a), ··· ············ En definitiva, n y (b) − y (a) ≈ f (xi−1 )∆x i=1 La aproximaci´n ser´ mejor cuantas m´s partes consideremos, es decir, o a a cuanto menor sea ∆x. As´ el incremento de la primitiva puede pensarse como ı, una suma de infinitos sumandos correspondientes a un incremento infinitesimal dx. Por ello la notaci´n cl´sica para el incremento de una primitiva F de una o a funci´n f (x) en un intervalo [a, b] es o b f (x) dx = F (x) a b a (3.6) donde el s´ ımbolo proviene de una S de “suma” (en realidad del lat´ summa) ın y se lee integral de la funci´n f respecto a x en [a, b] (porque es el incremento o “entero” que se obtiene al sumar sus incrementos infinitesimales). Los n´meros u a y b se llaman l´ ımites de la integral. Para convertir al c´lculo integral en una a teor´ matem´tica eficaz es necesario tener en cuenta estas ideas y tratarlas ıa a con rigor, pero de momento no vamos a entrar en ello y vamos a limitarnos a considerar la integraci´n como la operaci´n inversa a la derivaci´n. As´ pues, o o o ı tomamos (3.6) como definici´n de la integral de f . Notemos que si dejamos el o l´ ımite superior como variable obtenemos una primitiva concreta G de f , a saber, 146 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a la unica que cumple G(a) = 0: ´ x f (x) dx = F (x) − F (a). G(t) = a Cuando queremos referirnos a una primitiva arbitraria de una funci´n usao mos esta misma notaci´n integral, pero omitimos los l´ o ımites de integraci´n, as´ o ı, f (x) dx = F (x) + c, donde c ∈ R. Veremos que esta notaci´n es consistente con los otros usos que venimos o haciendo de los s´ ımbolos dx. De la propia definici´n de primitiva se sigue que o y (x) dx = y (x) + c. Con la notaci´n dy = y dx esto se escribe as´ o ı: dy = y + c. Cada regla de derivaci´n da lugar a una regla de integraci´n. Por ejemplo, o o el hecho de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas implica que una suma tiene por primitiva a la suma de las primitivas. M´s en general, a dadas dos funciones u, v , (α u + β v ) dx = α u dx + β v dx, para α, β ∈ R. Uniendo esto a la regla evidente: xn = xn+1 + c, n+1 n = −1, podemos integrar cualquier polinomio. El caso exceptuado es claro: x−1 dx = log x + c. La regla de derivaci´n del producto requiere m´s atenci´n: dadas dos funcioo a o nes derivables u y v tenemos que d(uv ) = udv + vdu, luego integrando tenemos u dv = uv − v du. Esta f´rmula se conoce como “regla de integraci´n por partes”. Obviamente o o de aqu´ se sigue a su vez la versi´n con l´ ı o ımites: b b u dv = [uv ]b − a a v du. a 3.9. Primitivas 147 Ejemplo Vamos a calcular xex dx. Para ello llamamos u = x y dv = ex dx. Claramente entonces du = dx y v = dv = ex dx = ex . La f´rmula anterior o nos da xex dx = xex − ex dx = xex − ex + c. Observar que hemos omitido la constante al calcular v = ex . Es claro que para aplicar la regla podemos tomar como v una primitiva fija cualquiera. Ejemplo Sea Im,n = senm x cosn x dx. Vamos a encontrar unas expresiones recurrentes que nos permitan calcular estas integrales. Integramos por partes tomando u = cosn−1 x, dv = senm x cos x dx. De este modo: Im,n = = = senm+1 x cosn−1 x n−1 + senm+1 x cosn−2 x sen x dx m+1 m+1 senm+1 x cosn−1 x n−1 + senm x cosn−2 x(1 − cos2 x) dx m+1 m+1 senm+1 x cosn−1 x n−1 + (Im,n−2 − Im,n ). m+1 m+1 Despejando llegamos a Im,n = senm+1 x cosn−1 x n−1 + Im,n−2 . m+n m+n Similarmente se prueba Im,n = − senm−1 x cosn+1 x m−1 + Im−2,n . m+n m+n Estas f´rmulas reducen el c´lculo de cualquier integral Im,n al c´lculo de las o a a cuatro integrales dx, sen x dx, cos x dx, sen x cos x dx, y todas ellas son inmediatas (para la ultima aplicamos la f´rmula del seno del ´ o a ´ngulo doble). Por ultimo veamos en qu´ se traduce la regla de la cadena. Supongamos ´ e que tenemos una integral u(x) dx, que F (x) es una primitiva de u(x) (la que queremos calcular) y que x = x(t) es una funci´n derivable con derivada no nula o (que por consiguiente tiene inversa derivable t = t(x)). Entonces por la regla de la cadena F (x(t)) = F (x(t)) x (t) = u(x(t))x (t), luego u(x(t)) x (t) dt = F (x(t)) + c. As´ pues, para calcular u(x) dx podemos sustituir x por x(t) y dx por x (t) dt y ı calcular una primitiva G(t) de la funci´n resultante, ´sta ser´ F (x(t)) + c, luego o e a 148 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a si sustituimos G(t(x)) = F (x(t(x))) + c = F (x) + c, obtenemos una primitiva de la funci´n original. A esta t´cnica se la llama integraci´n por sustituci´n. La o e o o versi´n con l´ o ımites es: t(b) b u(x(t)) x (t) dt = F (x(t(b))) − F (x(t(a))) = F (b) − F (a) = t(a) u(x) dx, a o sea: t(b) b u(x) dx = u(x(t)) x (t) dt. t(a) a √ Ejemplo Vamos a calcular 1 − x2 dx. El integrando est´ definido en el a intervalo ]−1, 1[. Consideramos la funci´n x = sen t, definida y biyectiva en o0, π [. Entonces dx = cos t dt y se cumple 1 − x2 dx = = 1 2 dt + 1 4 1 − sen2 t cos t dt = cos2 t dt = 1 + cos 2t dt 2 t 1 t 1 + sen 2t + c = + sen t cos t + c 24 22 √ arcsen x x 1 − x2 = + + c. 2 2 2 cos 2t dt = En general, si la primitiva de una funci´n en un intervalo ]a, b[ se extiende o continuamente al intervalo [a, b], dicha extensi´n es obviamente unica, por lo o ´ que podemos calcular la integral desde a hasta b, que se interpreta como el incremento completo de la primitiva. As´ en el ejemplo anterior tenemos ı, 1 −1 3.10 1 − x2 dx = π . 2 Ap´ndice: La trascendencia de e y π e Para acabar el cap´ ıtulo probaremos que las constantes e y π que nos han aparecido son n´meros trascendentes (sobre Q). Supondremos al lector familiau rizado con la teor´ de n´meros algebraicos. Aunque es muy sencillo probar que ıa u casi todos los n´meros reales son trascendentes, pues el conjunto de n´meros u u algebraicos es numerable y R no lo es. No es f´cil, en cambio, probar la trasa cendencia de un n´mero particular. Hermite fue el primero en demostrar la u trascendencia de e y Lindemann prob´ despu´s la de π . Aqu´ veremos unas o e ı pruebas m´s sencillas, pero hay que se˜alar que la prueba de Lindemann se gea n neraliza a un teorema m´s potente, en virtud del cual los valores que toman las a funciones sen x, cos x, ex , log x, etc. sobre n´meros algebraicos son—salvo los u casos triviales— n´meros trascendentes. Por ello a estas funciones se les llama u tambi´n funciones trascendentes. e 3.10. Ap´ndice: La trascendencia de e y π e 149 Comenzamos introduciendo unos convenios utiles de notaci´n: ´ o m r Definici´n 3.40 Escribiremos h = r!, de modo que si f (z ) = o cr z r ∈ C[z ], r =0 entonces f (h) representar´ a m m cr hr = f (h) = r =0 cr r! r =0 Igualmente, f (z + h) ser´ el polinomio que resulta de sustituir y r por hr = r! a en la expresi´n desarrollada de f (z + y ). Concretamente: o m m r r f (z + y ) = cr (z + y ) = r =0 r r−k k z y= k cr r =0 k=0 m m cr k=0 r =k r r−k z k yk , luego m m f (z + h) = cr k=0 r =k m r r−k z k m k! = k=0 r =k r! cr z r−k (r − k )! m f k) (z ), = k=0 k) donde f (z ) es la k -´sima derivada formal del polinomio f . Observar que e m cr (z + h)r , f (z + h) = r =0 pues m m cr (z + h)r r =0 m m = r =0 m k=0 k) m (z r )k) = cr cr z r k=0 r =0 f k) (z ) = f (z + h). = k=0 As´ mismo, ı m m f k) (0) = f (0 + h) = Sea ∞ ur (z ) = r! r =1 Teniendo en cuenta que cr r! = f (h). r =0 k=0 |z |n (r +n)! r! < zn . (r + n)! |z |n , n! es claro que la serie converge en todo C y que |ur (z )| < e|z| . Llamaremos r (z ) As´ | r (z )| < 1. ı, = ur (z ) . e|z| 150 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a s s cr z r ∈ C[z ]. Sea ψ [z ] = Teorema 3.41 Sea φ(z ) = r =0 cr r (z )z r . Entonces r =0 ez φ(h) = φ(z + h) + ψ (z )e|z| . ´ Demostracion: En primer lugar r (z + h)r = k=0 r k r−k zh = k r k=0 r! k z = r! k! r k=0 zk , k! y por otro lado ∞ r!ez − ur (z )z r = r! k=0 r = r! k=0 ∞ zk zn − r! z r = r! k! (r + n)! n=1 ∞ k=0 zk − r! k! ∞ k=r +1 zk k! k z , k! o sea, (z + h)r = r!ez − ur (z )z r , y por lo tanto ez hr = (z + h)r + ur (z )z r = (z + h)r + e|z| r (z )z r . Multiplicando por cr y sumando en r obtenemos la igualdad buscada. Teorema 3.42 Sea m ≥ 2 y f (x) ∈ Z[x]. Definimos los polinomios F1 y F2 mediante: xm−1 xm F1 (x) = f (x), F2 (x) = f (x). (m − 1)! (m − 1)! Entonces F1 (h), F2 (h) ∈ Z, F1 (h) ≡ f (0) (m´d m) y F2 (h) ≡ 0 (m´d m). o o r ´ Demostracion: Sea f (x) = ar xr , con ar ∈ Z. Entonces r =0 s F1 (x) = ar r =0 xr+m−1 , (m − 1)! s F1 (h) = ar r =0 (r + m − 1)! ∈Z (m − 1)! y m divide a cada sumando excepto quiz´ al primero, que es a0 = f (0). Por lo a tanto F1 (h) ≡ f (0) (m´d m). Con F2 se razona an´logamente. o a Como ultimo preliminar recordemos que p(x1 , . . . , xn ) ∈ A[x1 , . . . , xn ] es un ´ polinomio sim´trico si para toda permutaci´n σ de las variables se cumple que e o p(x1 , . . . , xn ) = p σ (x1 ), . . . , σ (xn ) . Los polinomios sim´tricos elementales de e n variables son los polinomios e0 , . . . , en tales que ei es la suma de todos los monomios posibles formados por i variables distintas. Por ejemplo, los polinomios sim´tricos elementales de tres variables son e e0 = 1, e1 = x + y + z, e2 = xy + xz + yz, e3 = xyz. Vamos a usar los dos resultados siguientes sobre polinomios elementales: 3.10. Ap´ndice: La trascendencia de e y π e 151 Todo polinomio sim´trico p(x1 , . . . , xn ) es de la forma q (e1 , . . . , en ), e para cierto polinomio q (x1 , . . . , xn ). Los coeficientes (x − α1 ) · · · (x − αn ) son (−1)i ei (α1 , . . . , αn ), para i = 0, . . . , n. Teorema 3.43 El n´mero e es trascendente. u ´ Demostracion: Si e fuera algebraico ser´ la ra´ de un polinomio con ıa ız n coeficientes enteros. Digamos ct et = 0, con n ≥ 1, ct ∈ Z, c0 = 0 (si c0 t=0 fuera 0 podr´ ıamos dividir entre e y quedarnos con un polinomio menor). Sea p un primo tal que p > n y p > |c0 |. Sea φ(x) = xp−1 p (x − 1)(x − 2) · · · (x − n) . (p − 1)! Por el teorema 3.41: n n ct et φ(h) = 0= t=0 n ct ψ (t)et = S1 + S2 . ct φ(t + h) + t=0 t=0 Tomando m = p, el teorema 3.42 nos da que φ(h) ∈ Z y φ(h) ≡ (−1)pn (n!)p (m´d p). o Si 1 ≤ t ≤ n, entonces φ(t + x) = xp−1 p (x + t − 1)(x + t − 2) · · · x · · · (x + t − n) , (p − 1)! y sacando el factor x queda φ(t + h) = xp f (x), (p − 1)! con f (x) ∈ Z[x]. Por el teorema 3.42 tenemos que φ(t + h) ∈ Z y es un m´ltiplo u de p. Ahora, n ct φ(t + h) ≡ c0 φ(h) ≡ c0 (−1)pn (n!)p ≡ 0 (m´d p), o S1 = t=0 ya que c0 = 0 y p > n, |c0 |. As´ pues, S1 ∈ Z y S1 = 0, luego |S1 | ≥ 1. Como ı S1 + S2 = 0, lo mismo vale para S2 , es decir, |S2 | ≥ 1. Por otro lado, sea s φ(x) = ar xr . Entonces r =0 s |ψ (t)| = s ar r (t)tr ≤ r =0 s |ar | | r (t)|tr ≤ r =0 |ar |tr . r =0 152 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Observemos que |ar | es el coeficiente de grado r del polinomio xp−1 p (x + 1) · · · (x + n) . (p − 1)! p Basta ver que si bi es el coeficiente de grado i de (x − 1) · · · (x − n) , p entonces |bi | es el coeficiente de grado i de (x + 1) · · · (x + n) , pero |bi | = |(−1)pn−i enp−i (1, . . . , n, . . . , 1, . . . , n)| = (−1)pn−i enp−i (−1, . . . , −n, . . . , −1, . . . , −n). Por lo tanto podemos concluir: s |ψ (t)| ≤ |ar |tr = r =0 tp−1 p (t + 1)(t + 2) · · · (t + n) , (p − 1)! y en definitiva: |ψ (t)| ≤ (t + 1)(t + 2) · · · (t + n) t(t + 1) · · · (t + n) (p − 1)! p−1 . Pero esta expresi´n tiende a 0 cuando p tiende a infinito (por la convergencia o de la serie de la funci´n exponencial). En consecuencia, tomando p suficienteo n mente grande podemos exigir que S2 = ct ψ (t)et cumpla |S2 | < 1, cuando t=0 hemos demostrado lo contrario para todo p. Esto prueba que e es trascendente. La trascendencia de π es algo m´s complicada de probar. Adem´s de los a a teoremas 3.41 y 3.42 necesitaremos otro resultado auxiliar: Teorema 3.44 Sea p(x) = dx‘m + d1 xm−1 + · · · + dm−1 x + dm ∈ Z[x], sean ıces en C y sea q (x1 , . . . , xm ) ∈ Z[x1 , . . . , xm ] un polinomio α1 , . . . , αm sus ra´ sim´trico. Entonces q (dα1 , . . . , dαm ) ∈ Z. e ´ Demostracion: Claramente dm−1 p(x) = (dx)m + d1 (dx)m−1 + dd2 (dx)m−2 + · · · + dm−2 dm−1 (dx) + dm−1 dm . O sea, dm−1 p(x) = r(dx), donde r(x) = xm + d1 xm−1 + dd2 xm−2 + · · · + dm−2 dm−1 x + dm−1 dm ∈ Z[x] es un polinomio m´nico y sus ra´ o ıces son obviamente dα1 , . . . , dαm . Consecuentemente, r(x) = (x − dα1 ) · · · (x − dαm ) y los coeficientes de r(x) son (−1)i ei (dα1 , . . . , dαm ) para i = 0, . . . m. As´ pues, ei (dα1 , . . . , dαm ) ∈ Z para ı i = 1, . . . , m. Por otro lado sabemos que q (x1 , . . . , xm ) = r(e : 1, . . . , em ) para cierto polinomio r(x1 , . . . , xm ) ∈ Z[x1 , . . . , xm ], luego q (dα1 , . . . , dαm ) = r e1 (dα1 , . . . , dαm ), . . . , em (dα1 , . . . , dαm ) ∈ Z. 3.10. Ap´ndice: La trascendencia de e y π e 153 Teorema 3.45 El n´mero π es trascendente. u ´ Demostracion: Si π es algebraico tambi´n lo es iπ . Sea e dxm + d1 xm−1 + · · · + dm−1 x + dm ∈ Z[x] un polinomio tal que d = 0 y con ra´ iπ . Sean ω1 , . . . , ωm sus ra´ ız ıces en C. Como una de ellas es iπ y eiπ + 1 = 0, tenemos que (1 + eω1 ) · · · (1 + eωm ) = 0, o sea, 2m −1 eαt = 0, 1+ t=1 donde α1 , . . . , α2m −1 son ω1 , . . . , ωm , ω1 + ω2 , . . . , ωm−1 + ωm , . . . , ω1 + · · · + ωm . Supongamos que c − 1 de ellos son nulos y n = 2m − 1 − (c − 1) no son nulos. ı Orden´moslos como α1 , . . . , αn , 0, . . . , 0. As´ c ≥ 1 y e n eαt = 0. c+ (3.7) t=1 Notemos lo siguiente: ei (x1 , . . . , xn ) = ei (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0), donde ei es a la izquierda el polinomio sim´trico elemental de n variables y a la e derecha el de 2m − 1 variables. Por lo tanto ei (dα1 , . . . , dαn ) = ei (dα1 , . . . , dα2m −1 ) = ei (dω1 , . . . , dωm , dω1 + dω2 , . . . , dωm−1 + dωm , . . . , dω1 + · · · + dωm ). Sea qi (x1 , . . . , xm ) = ei (x1 , . . . , xm , x1 +x2 , . . . , xm−1 +xm , . . . , x1 +· · ·+xm ). Claramente se trata de polinomios sim´tricos con coeficientes enteros y e ei (dα1 , . . . , dαn ) = qi (dω1 , . . . , dωm ), luego el teorema anterior nos permite afirmar que ei (dα1 , . . . , dαn ) ∈ Z. Si s(x1 , . . . , xn ) ∈ Z[x1 , . . . , xn ] es sim´trico, entonces s depende polin´mie o camente de los ei , luego s(sα1 , . . . , dαn ) ∈ Z. Sea p un primo tal que p > |d|, p > c, p > |dn α1 · · · αn |. Sea φ(x) = dnp+p−1 xp−1 p (x − α1 ) · · · (x − αn ) . (p − 1)! Multiplicamos (3.7) por φ(h) y aplicamos el teorema 3.41. Nos queda n cφ(h) + n ψ (αt )e|αt | = S0 + S1 + S2 . φ(αt + h) + t=1 Ahora, φ(x) = t=1 xp−1 p−1 p (dx − dα1 ) · · · (dx − dαn ) . d (p − 1)! 154 Cap´ ıtulo 3. C´lculo diferencial de una variable a Los coeficientes de (y − dα1 ) · · · (y − dαn ) son polinomios sim´tricos elemene tales sobre dα1 , . . . , dαn , luego son enteros, seg´n hemos visto antes. De aqu´ u ı se sigue que tambi´n son enteros los coeficientes de (dx − dα1 ) · · · (dx − dαn ), e con lo que np xp−1 φ(x) = gr xr , donde cada gr ∈ Z. (p − 1)! r=0 Por el teorema 3.42 tenemos que φ(h) ∈ Z y φ(h) ≡ g0 (m´d p). Concreo o tamente, g0 = (−1)pn dp−1 (dα1 · · · dαn )p , luego por la elecci´n de p resulta que p g0 (aqu´ es importante que dα1 · · · dαn ∈ Z porque es el t´rmino indepenı e diente de (y − dα1 ) · · · (y − dαn ). Como p c, resulta que p S0 = cφ(h). Nos ocupamos ahora de S1 . Tenemos que φ(αt + x) = dnp+p−1 (αt + x)p−1 (x + αt − α1 ) · · · (x + αt − αt−1 ) (p − 1)! x(x + αt − αt+1 ) · · · (x + αt − αn ) = p xp dp (dαt + dx)p−1 (dx + dαt − dα1 ) · · · (dx + dαt − dαt−1 ) (p − 1)! (dx + dαt − dαt+1 ) · · · (dx + dαt − dαn ) = xp (p − 1)! p np−1 frt xr , r =0 donde frt = fr (dαt , dα1 , . . . , dαt−1 , dαt+1 , . . . , dαn ) y fr es un polinomio sim´e trico respecto a todas las variables excepto la primera, con coeficientes enteros y que no depende de t. En efecto, consideramos el polinomio y − (−x1 ) p−1 y − (x2 − x1 ) · · · (y − (xn − x1 ) p . Sus coeficientes son los polinomios sim´tricos elementales actuando sobre −x1 e (p − 1 veces) y sobre x2 − x1 , . . . , xn − x1 (p veces cada uno), luego son polinomios np−1 sim´tricos en x2 , . . . , xn . Digamos que el polinomio es e sr (x1 , . . . , xn )y r . r =0 Entonces φ(αt + x) = xp (p − 1)! np−1 dp sr (dαt , dα1 , . . . , dαt−1 , dαt+1 , . . . , dαn )dr xr , r =0 es decir, fr = dr+p sr (x1 , . . . , xn ). Por lo tanto, n φ(αt + x) = t=1 xp (p − 1)! np−1 n frt r =0 t=1 xr , 3.10. Ap´ndice: La trascendencia de e y π e pero n 155 n frt = t=1 n fr (dαt , dα1 , . . . , dαt−1 , dαt+1 , . . . , dαn ), t=1 y el polinomio t=1 fr (xt , x1 , . . . , xt−1 , xt+1 , . . . xn ) es sim´trico (respecto a todas e n las variables), luego Fr = frt depende sim´tricamente de dα1 , . . . , dαn y por e t=1 lo tanto es un entero. As´ pues, ı n φ(αt + x) = t=1 np−1 xp (p − 1)! Fr xr , r =0 n φ(αt + h) ∈ Z y es m´ltiplo de p u y por el teorema 3.44 concluimos que S1 = t=1 (aqu´ hemos usado que (φ1 + φ2 )(h) = φ1 (h) + φ2 (h), lo cual es evidente). ı Esto nos da que S0 + S1 ∈ Z y no es un m´ltiplo de p. En particular u |S0 + S1 | ≥ 1 y, por la ecuaci´n S0 + S1 + S2 = 0 resulta que tambi´n S2 ∈ Z y o e |S2 | ≥ 1. Como en el caso de e, ahora probaremos lo contrario. np+p+1 Sea φ(x) = cr xr . Entonces r =0 np+p+1 |ψ (x)| = np+p+1 cr r (x)xr ≤ r =0 ≤ |cr | |xr | r =0 |d|np+p−1 |x|p−1 (|x| + |α1 |) · · · (|x| + |αn |) (p − 1)! p (por el mismo razonamiento que en la prueba de la trascendencia de e) y as´ ı |ψ (x)| ≤ M 2np+2p−2 , (p − 1)! donde M es una cota que no depende de p. Como M 2np+2p−2 ≤ M 2np+2p = M (2n+2)p = K p = KK p−1 , tenemos que |ψ (x)| ≤ K K p−1 (p − 1)! y la sucesi´n converge a 0 cuanto p tiende a infinito, pues la serie converge o a KeK . Esto para cada x fijo. Tomando un primo p suficientemente grande podemos exigir que |S2 | ≤ n t=1 tradicci´n. o |ψ (αt )|e|αt | < 1, con lo que llegamos a una con- Cap´ ıtulo IV C´lculo diferencial de varias a variables Este cap´ ıtulo est´ dedicado a generalizar a funciones de varias variables las a ideas que introdujimos en el cap´ ıtulo anterior. B´sicamente se trata de estudiar a c´mo var´ una funci´n de varias variables cuando incrementamos ´stas infiniteo ıa o e simalmente. M´s concretamente estudiaremos una funci´n f : A ⊂ Rn −→ Rm , a o donde A es un abierto, aunque a efectos de interpretar la teor´ nos centraremos ıa de momento en el caso en que m = 1. 4.1 Diferenciaci´n o Pensemos por ejemplo en una funci´n f : R2 −→ R. Mientras una funci´n de o o una variable derivable en un punto tiene asociada una unica recta tangente que ´ la aproxima, una funci´n de dos variables tiene (o puede tener) una tangente o distinta para cada direcci´n. La figura muestra (a la izquierda) una tangente a o la gr´fica de f en un punto, y a la derecha vemos varias tangentes distintas en a ese mismo punto. f (a) a + hv a Intuitivamente est´ claro qu´ es la recta tangente a una superficie en un a e punto y en una direcci´n. Ahora vamos a caracterizar matem´ticamente este o a 157 158 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a ´ concepto. Tenemos un punto a ∈ Rn y una recta que pasa por a. Esta queda determinada por un vector v ∈ Rn no nulo. Podemos suponer v = 1 (mientras no se indique lo contrario, todas las normas que consideraremos ser´n eucl´ a ıdeas). Los puntos de la recta son los de la forma a + hv , con h ∈ R. M´s concretamente, a el punto a + hv es el que se encuentra a una distancia |h| de a sobre dicha recta (el signo de h distingue los dos puntos en estas condiciones). Buscamos una recta que se parece a la gr´fica de f alrededor del punto a. a Si la gr´fica fuera rectil´ a ınea en la direcci´n considerada, su pendiente vendr´ o ıa dada por f (a + hv ) − f (a) , h para cualquier h = 0. Si no es as´ entonces esta expresi´n se parecer´ m´s a ı, o aa la pendiente que buscamos cuanto menor sea h. Ello nos lleva a la definici´n o siguiente: Definici´n 4.1 Dada una funci´n f : A ⊂ Rn −→ Rm definida en un abierto, o o un punto a ∈ A y un vector v ∈ Rn no nulo, llamaremos derivada direccional de f en a y en la direcci´n de v al vector o f (a + hv ) − f (a) ∈ Rm . h→0 h Es f´cil ver que si existe f (a; v ) entonces existe f (a; λv ) = λf (a, v ) para a todo λ ∈ R \ {0}. Por lo tanto no perdemos generalidad si suponemos v = 1. Si existe f (a; v ), para valores peque˜os de h tenemos la aproximaci´n n o f (a; v ) = l´ ım f (a + hv ) ≈ f (a) + h f (a; v ), con lo que la expresi´n h f (a; v ) aproxima el incremento que experimenta f (a) o cuando la variable se incrementa h unidades en la direcci´n de v . o En el caso m = 1 la funci´n a + hv → f (a)+ h f (a; v ) se llama recta tangente o a la gr´fica de f en a. Es claro que se trata de la recta que pretend´ a ıamos caracterizar. Como en el caso de una variable, si una funci´n f : A ⊂ Rn −→ Rn admite o derivada direccional en la direcci´n de v y en todo punto de A, entonces tenemos o definida una funci´n o f ( ; v ) : A −→ Rm . Respecto al c´lculo de derivadas direccionales, las propiedades de los l´ a ımites nos dan en primer lugar que si f (x) = f1 (x), . . . , fm (x) , entonces f (a; v ) = f1 (a; v ), . . . , fm (a; v ) , entendiendo que la derivada de f existe si y s´lo si existen las derivadas de o todas las funciones coordenadas fi . Por consiguiente el c´lculo de derivadas a direccionales se reduce al caso de funciones f : A ⊂ Rn −→ R. A su vez ´stas e se reducen al c´lculo de derivadas de funciones de una variable. Efectivamente, a basta considerar la funci´n φ(h) = f (a + hv ). El hecho que que A sea abierto o implica claramente que φ est´ definida en un entorno de 0 y comparando las a definiciones es claro que f (a; v ) = φ (0). 4.1. Diferenciaci´n o 159 Ejemplo Vamos a calcular la derivada de f (x, y ) = x2 y 2 en el punto (2, 1) y en la direcci´n (−1, 1). Para ello consideramos o φ(h) = f (2 − h, 1 + h) = (2 − h)2 (1 + h)2 . Entonces φ (h) = −2(2 − h)(1 + h)2 + 2(2 − h)2 (1 + h) y φ (0) = 4. Existen unas derivadas direccionales especialmente simples de calcular y especialmente importantes en la teor´ Se trata de las derivadas en las direcciones ıa. de la base can´nica de Rn . o Definici´n 4.2 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´n definida en un abierto y o o a ∈ A. Se define la derivada parcial de f respecto a la i-´sima variable en el e punto a como ∂f Di f (a) = (a) = f (a; ei ), ∂xi donde ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) es el vector con un 1 en la posici´n i-´sima. o e Expl´ ıcitamente: Di f (a) = l´ ım h→0 f (a1 , . . . , ai + h, . . . , an ) − f (a) , h luego si h es peque˜o n f (a1 , . . . , ai + h, . . . , an ) ≈ f (a) + h Di f (a). En otras palabras, la expresi´n h Di f (a) aproxima el incremento que experio menta f (a) cuando incrementamos h unidades la variable xi . Si f admite derivada parcial i-´sima en todos los puntos de A entonces e tenemos definida la funci´n Di f : A −→ Rm . o El c´lculo de las derivadas parciales de una funci´n f : A ⊂ Rn −→ R a o es mucho m´s simple que el de las derivadas direccionales en general, pues a podemos considerar la funci´n φ(xi ) = f (a1 , . . . , xi , . . . , an ) y entonces es claro o que Di f (a) = φ (ai ). Notar que si f es una funci´n de una variable, entonces o φ = f , luego la derivada parcial respecto de la unica variable coincide con la ´ derivada de f en el sentido del cap´ ıtulo anterior. Un poco m´s en general, si a f : A ⊂ R −→ Rm llamaremos tambi´n derivada de f a su unica derivada e ´ parcial en un punto a, y la representaremos tambi´n por f (a). e Ejemplo Las derivadas parciales de la funci´n f (x, y ) = x2 y 3 son o ∂f = 2xy 3 , ∂x ∂f = 3x2 y 2 . ∂y En efecto, para calcular la parcial respecto de x en un punto (x0 , y0 ) hay 3 3 que derivar la funci´n x → x2 y0 en x0 . La derivada es obviamente 2x0 y0 . En o 23 la pr´ctica podemos ahorrarnos los sub´ a ındices: para derivar x y respecto de x 160 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a basta considerar a y como una constante (la segunda coordenada del punto en que derivamos) y derivar respecto de x. Lo mismo vale para y . Es claro que todas las reglas de derivaci´n de funciones de una variable o pueden ser usadas en el c´lculo de derivadas parciales. a Ejercicio: Sean dos funciones derivables f, g : I ⊂ R −→ Rn . Probar la regla de derivaci´n (f g ) = f g + f g . Si n = 3 se cumple tambi´n (f ∧ g ) = f ∧ g + f ∧ g . o e El hecho de que una funci´n admita derivadas direccionales en un punto no o puede ser equiparado a la derivabilidad de una funci´n de una variable. Por o ejemplo, la existencia de derivadas direccionales no implica siquiera la continuidad de la funci´n en el punto. La generalizaci´n adecuada del concepto de o o funci´n derivable es el concepto de “funci´n diferenciable”, que vamos a introo o ducir ahora. Recordemos que si una funci´n de una variable f tiene derivada en un o punto a, entonces podemos definir su diferencial en a, que es una aplicaci´n o lineal df (a) : R −→ R con la propiedad de que f (a) + df (a)(x − a) es una recta que “se confunde” con f alrededor de a. Una funci´n de varias variables ser´ o a diferenciable cuando exista una aplicaci´n lineal que juegue un papel an´logo: o a Definici´n 4.3 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´n definida en un abierto A. o o Sea a ∈ A. Diremos que f es diferenciable en A si existe una aplicaci´n lineal o φ : Rn −→ Rm tal que l´ ım v →0 f (a + v ) − f (a) − φ(v ) = 0. v Para analizar esta definici´n conviene comenzar probando lo siguiente: o Teorema 4.4 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´n diferenciable en un punto o o o a ∈ A. Sea φ : Rn −→ Rm una aplicaci´n lineal que cumpla la definici´n anterior. Entonces, para cada vector v ∈ Rn no nulo existe f (a; v ) y adem´s a φ(v ) = f (a; v ). ´ Demostracion: Obviamente hv tiende a 0 cuando h tiende a 0. Por lo tanto, restringiendo el l´ ımite de la definici´n de diferenciabildad concluimos que o l´ ım h→0 f (a + hv ) − f (a) − φ(hv ) = 0. hv Usando que φ y la norma son lineales vemos que l´ ım h→0 1 v f (a + hv ) − f (a) h − φ(v ) |h| |h| = 0. Claramente podemos eliminar el factor 1/ v sin que el l´ ımite var´ Ahora ıe. multiplicamos por la funci´n R \ {0} −→ {±1} dada por h → |h|/h y usamos o que el producto de una funci´n que tiende a 0 por otra acotada tiende a 0: o l´ ım h→0 f (a + hv ) − f (a) − φ(v ) = 0, h 4.1. Diferenciaci´n o 161 Por lo tanto existe f (a; v ) = l´ ım h→0 f (a + hv ) − f (a) = φ(v ). h En particular vemos que si f es diferenciable en a existe una unica aplicaci´n ´ o lineal φ que cumple la definici´n de diferenciabilidad, a saber, la dada por o φ(v ) = f (a; v ). Definici´n 4.5 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´n diferenciable en un punto o o a ∈ A. Llamaremos diferencial de f en a a la unica aplicaci´n lineal, represen´ o tada por df (a) : Rn −→ Rm , que cumple l´ ım v →0 f (a + v ) − f (a) − df (a)(v ) = 0. v El teorema anterior afirma que para todo v ∈ Rn \ {0} se cumple df (a)(v ) = f (a; v ). Consideremos el caso m = 1. Entonces, para un vector unitario v , la funci´n o a + hv → f (a) + df (a)(hv ) = f (a) + h df (a)(v ) = f (a) + hf (a; v ) es la recta tangente a f por a y en la direcci´n de v . Cuando h var´ en R o ıa y v var´ entre los vectores unitarios, el punto x = a + hv var´ en todo Rn ıa ıa y la aplicaci´n x → f (a) + df (a)(x − a) recorre todos los puntos de todas las o rectas tangentes a f por a. Puesto que se trata de una aplicaci´n af´ dichas o ın, tangentes forman un hiperplano. En resumen, hemos probado que para que una aplicaci´n (con m = 1) sea o diferenciable en un punto a es necesario que tenga rectas tangentes por a en todas las direcciones y que adem´s ´stas formen un hiperplano. A este hiperplano ae se le llama hiperplano tangente a la gr´fica de f en a. De la propia definici´n a o de diferencial (haciendo v = x − a) se sigue que para puntos x cercanos a a se cumple f (x) ≈ f (a) + df (a)(x − a). El miembro derecho es precisamente el hiperplano tangente a f en a. Esta expresi´n indica, pues, que dicho hiperplano aproxima a f alrededor de a. o 162 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a La figura de la derecha muestra la gr´fica de la funci´n a o f (x, y ) = y 3 −x3 x2 +y 2 0 si (x, y ) = (0, 0) si (x, y ) = (0, 0) Vemos tambi´n cuatro tangentes en (0, 0). Como no se encuentran sobre el e mismo plano, concluimos que esta funci´n no es diferenciable en (0, 0). o Pasamos ahora al c´lculo de la diferencial de una funci´n. Como primeras a o observaciones elementales notamos que si f es lineal entonces df (a) = f y si f es constante (alrededor de a) entonces df (a) = 0 (la aplicaci´n nula). Ambos o hechos se demuestran comprobando que con las elecciones indicadas para φ se cumple trivialmente la definici´n de diferencial. o Para una funci´n f (x) = f1 (x), . . . , fm (x) , las propiedades de los l´ o ımites nos dan que f es diferenciable en un punto a si y s´lo si lo es cada funci´n o o coordenada fi , y en tal caso df (a)(v ) = df1 (a)(v ), . . . , dfm (a)(v ) . Para determinar df (a) es suficiente conocer su matriz en las bases can´nicas o de Rn y Rm . Dicha matriz tiene por filas las im´genes de los vectores ei de la a base can´nica. o Definici´n 4.6 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm una funci´n diferenciable en un punto o o a ∈ A. Llamaremos matriz jacobiana de f en a a la matriz Jf (a) que tiene por filas a las derivadas parciales Di f (a). M´s concretamente, si f (x) = f1 (x), . . . , fm (x) , el coeficiente de la fila i, a columna j de Jf (a) es Di fj (a). Si m = 1, se llama vector gradiente de f en a al vector formado por las derivadas parciales de f en a. Se representa: ∇f (a) = D1 f (a), . . . , Dn f (a) . Si ei es el vector i-´simo de la base can´nica, sabemos que e o df (a)(ei ) = f (a; ei ) = Di f (a), luego la matriz jacobiana de f es simplemente la matriz de df (a) en las bases can´nicas de Rn y Rm . As´ pues, o ı df (a)(v ) = vJf (a). Cuando m = 1, usando el producto escalar en lugar del producto de matrices tenemos tambi´n e df (a)(v ) = ∇f (a)v = ∂f ∂f (a) v1 + · · · + (a) vn . ∂x1 ∂xn 4.1. Diferenciaci´n o 163 Consideremos en particular la funci´n polin´mica xi , es decir, la funci´n o o o Rn −→ R dada por (x1 , . . . , xn ) → xi . Es claro que ∇xi (a) = ei , luego o dxi (a)(v ) = vi . Por consiguiente, la ecuaci´n anterior puede escribirse como df (a)(v ) = ∂f ∂f (a) dx1 (a)(v ) + · · · + (a) dxn (a)(v ). ∂x1 ∂xn Como esto es v´lido para todo v , tenemos la ecuaci´n funcional a o df (a) = ∂f ∂f (a) dx1 (a) + · · · + (a) dxn (a). ∂x1 ∂xn Si f : A ⊂ Rn −→ R es diferenciable en todos los puntos de A podemos considerar df , dxi como funciones de A en el espacio de aplicaciones lineales de Rn en R y la ecuaci´n anterior nos da o df = ∂f ∂f dx1 + · · · + dxn . ∂x1 ∂xn Esta f´rmula expresa que si cada variable experimenta un incremento infio nitesimal dxi entonces la funci´n f experimenta un incremento df de la forma o que se indica. Como en el caso de una variable, la expresi´n ha de enteno derse en realidad como una igualdad funcional que a cada vector de incrementos (∆x1 , . . . , ∆xn ) le asigna una aproximaci´n del incremento ∆f que experimenta o la funci´n. o Similarmente, en el caso m > 1 tenemos df = (df1 , . . . , dfm ) = (dx1 , . . . , dxn ) Jf. Ejemplo Consideremos la funci´n ]0, +∞[ × ]−π, π [ −→ R2 dada por o x = ρ cos θ, y = ρ sen θ. Podr´ ıamos demostrar que es diferenciable aplicando la definici´n, pero m´s o a adelante ser´ inmediato (teorema 4.11), as´ que vamos a aceptar que lo es y a ı calcularemos su diferencial. Para ello calculamos la matriz jacobiana: ∂x ∂ρ J (x, y )(ρ, θ) = ∂x ∂θ ∂y ∂ρ = ∂y ∂θ cos θ −ρ sen θ sen θ ρ cos θ Por consiguiente (dx, dy ) cos θ −ρ sen θ sen θ ρ cos θ = (dρ, dθ) = (cos θ dρ − ρ sen θ dθ, sen θ dρ + ρ cos θ dθ), 164 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a o m´s claramente: a dx dy = = cos θ dρ − ρ sen θ dθ, sen θ dρ + ρ cos θ dθ. Tambi´n podr´ e ıamos haber calculado dx y dy de forma independiente. 4.2 Propiedades de las funciones diferenciables Vamos a estudiar las funciones diferenciables. Entre otras cosas obtendremos un criterio sencillo que justificar´ la diferenciabilidad de la mayor´ de funcioa ıa nes de inter´s. Comenzamos observando que en funciones de una variable la e diferenciabilidad equivale a la derivabilidad. Teorema 4.7 Sea f : A ⊂ R −→ Rm una funci´n definida en un abierto A y o sea a ∈ A. Entonces f es diferenciable en a si y s´lo si existe la derivada de f o en a. Adem´s en tal caso df (a)(h) = f (a)h. a ´ Demostracion: Si f es derivable en a entonces existe f (a + h) − f (a) = k, h→0 h f (a) = l´ ım luego f (a + h) − f (a) − kh = 0, h→0 h l´ ım y si multiplicamos por la funci´n acotada h/|h| el l´ o ımite sigue siendo 0, es decir, tenemos f (a + h) − f (a) − kh l´ ım = 0, h→0 |h| lo que indica que f es diferenciable y que df (a)(h) = f (a)h. El rec´ ıproco se prueba igualmente, partiendo de que df (a)(h) = kh se llega a que existe f (a) = k . Teorema 4.8 Si f : A ⊂ Rn −→ Rm es diferenciable en un punto a, entonces f es continua en a. ´ Demostracion: Tenemos que l´ ım v →0 f (a + v ) − f (a) − df (a)(v ) = 0. v Multiplicamos por v , que tambi´n tiende a 0, con lo que e l´ f (a + v ) − f (a) − df (a)(v ) = 0. ım v →0 4.2. Propiedades de las funciones diferenciables 165 La aplicaci´n df (a) es lineal, luego es continua, luego tiende a 0, luego o l´ f (a + v ) − f (a) = 0, ım v →0 y esto equivale a l´ f (x) = f (a), ım x→a luego f es continua en a. Las propiedades algebraicas de la derivabilidad de funciones son v´lidas a tambi´n para la diferenciabilidad: e Teorema 4.9 Sean f y g funciones diferenciables en un punto a. Entonces a) f + g es diferenciable en a y d(f + g )(a) = df (a) + dg (a). b) Si α ∈ R entonces αf es diferenciable en a y d(αf )(a) = α df (a). c) f g es diferenciable en a y d(f g )(a) = g (a)df (a) + f (a)dg (a). d) si g (a) = 0 entonces f /g es diferenciable en a y d(f /g )(a) = g (a)df (a) − f (a)dg (a) . g 2 (a) ´ Demostracion: Veamos por ejemplo la propiedad c). Llamemos E (v ) = f (a + v ) − f (a) − df (a)(v ) , v F (v ) = g (a + v ) − g (a) − dg (a)(v ) . v Ambas funciones est´n definidas en un entorno de 0 y tienden a 0. Adem´s a a f (a + v ) − f (a) = df (a)(v ) + v E (v ), g (a + v ) − g (a) = dg (a)(v ) + v F (v ). Entonces (f g )(a + v ) − (f g )(a) = f (a + v )g (a + v ) − f (a)g (a + v ) + f (a)g (a + v ) − f (a)g (a) = f (a + v ) − f (a) g (a + v ) + f (a) g (a + v ) − g (a) . Sustituimos f (a + v ) − f (a), g (a + v ) y g (a + v ) − g (a) usando las igualdades anteriores. Al operar queda (f g )(a + v ) − (f g )(a) − g (a)df (a) + f (a)dg (a) = df (a)(v )dg (a)(v ) + v df (a)(v )F (v ) + E (v )g (a) + E (v )dg (a)(v ) + f (a)F (v ) + v 2 E (v )F (v ). Hay que probar que el miembro derecho dividido entre v tiende a 0. El unico t´rmino para el que esto no es inmediato es ´ e df (a)(v )dg (a)(v ) , v 166 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a pero df (a)(v )dg (a)(v ) ≤ df (a) dg (a) v 2 , luego la norma del cociente est´ mayorada por a df (a) dg (a) v , que tiende a 0. Veamos ahora la versi´n en varias variables de la regla de la cadena. o Teorema 4.10 (Regla de la cadena) Consideremos f : A ⊂ Rn −→ Rm y g : B ⊂ Rm −→ Rk de modo que f [A] ⊂ B . Si f es diferenciable en un punto a ∈ A y g es diferenciable en f (a), entonces f ◦ g es diferenciable en a y d(f ◦ g )(a) = df (a) ◦ dg f (a) . ´ Demostracion: Llamemos h = f ◦ g y b = f (a). Dado un v ∈ Rn tal que a + v ∈ A, tenemos h(a + v ) − h(a) = g (f (a + v )) − g (f (a)) = g (b + u) − g (b), donde u = f (a + v ) − f (a). Consideremos las funciones E (v ) = f (a + v ) − f (a) − df (a)(v ) , v F (u) = g (b + u) − g (b) − dg (b)(u) , u definidas en un entorno de 0 y con l´ ımite 0. Se cumple h(a + v ) − h(a) = dg (b)(u) + u F (u) = dg (b) df (a)(v ) + v E (v ) + u F (u) = df (a) ◦ dg f (a) (v ) + v dg (b) E (v ) + u F (u). Basta probar que l´ dg (b) E (v ) + ım v →0 u F (u) = 0, v para lo cual basta a su vez probar que la funci´n u / v est´ acotada en un o a entorno de 0. Ahora bien, df (a)(v ) + v E (v ) u = ≤ df (a) + E (v ) , v v y, como E tiende a 0 en 0, est´ acotada en un entorno de 0. a Como consecuencia, J (f ◦ g )(a) = Jf (a)Jg (f (a)). Equivalentemente, supongamos que tenemos una funci´n z = z (y1 , . . . , ym ), o donde a su vez yi = yi (x1 , . . . , xn ). Entonces la regla de la cadena nos dice que, si las funciones son diferenciables, ∇z t (x1 , . . . , xn ) = Jy (x1 , . . . , xn )∇z t (y1 , . . . , ym ), 4.2. Propiedades de las funciones diferenciables 167 luego ∂z ∂z ∂y1 ∂z ∂ym = + ··· + . ∂xi ∂y1 ∂xi ∂ym ∂xi ´ Esta es la forma expl´ ıcita de la regla de la cadena. En otros t´rminos, si tenemos dz expresado como combinaci´n lineal de e o dy1 , . . . , dym y cada dyi como combinaci´n lineal de dx1 , . . . , dxn , es decir, o dz = (dy1 , . . . , dyn )∇z (y1 , . . . , ym )t , (dy1 , . . . , dyn ) = (dx1 , . . . , dxn )Jy (x1 , . . . , xn ), entonces, para expresar a dz como combinaci´n lineal de dx1 , . . . , dxn basta o sustituir el segundo grupo de ecuaciones en la primera, pues as´ obtenemos ı (dx1 , . . . , dxn )Jy (x1 , . . . , xn )∇z (y1 , . . . , ym )t = (dx1 , . . . , dxn )∇z t (x1 , . . . , xn ), es decir, dz (x1 , . . . , xn ). Ejemplo Consideremos las funciones z = x2 + y 2 , x = ρ cos θ, y = ρ sen θ. Suponemos ρ > 0, con lo que (x, y ) = (0, 0) y todas las funciones son diferenciables (ver el teorema 4.11, m´s abajo). Claramente a dx x y dx + dy, x2 + y 2 x2 + y 2 = cos θ dρ − ρ sen θ dθ, dy = sen θ dρ + ρ cos θ dθ. dz = Entonces dz = ρ cos θ ρ sen θ cos θ dρ − ρ sen θ dθ + sen θ dρ + ρ cos θ dθ = dρ, ρ ρ que es el mismo resultado que se obtiene si diferenciamos directamente la funci´n o compuesta z (ρ, θ) = ρ. Es importante comprender que el paso del primer grupo de ecuaciones a la expresi´n de dz en funci´n de ρ y θ no es una mera manipulaci´n algebraica, o o o sino que se fundamenta en la regla de la cadena. En este caso particular, lo que dice la regla de la cadena es: Si llamamos z (ρ, θ) a la funci´n que resulta de sustituir x e y en o z (x, y ) por sus valores en funci´n de ρ y θ, entonces la diferencial o de esta funci´n es la que resulta de sustituir x, y , dx, dy en dz (x, y ) o por sus valores en funci´n de ρ, θ, dρ, dθ, respectivamente. o Y esto no es evidente en absoluto. El teorema siguiente es el unico criterio de diferenciabilidad que necesitare´ mos en la pr´ctica: a 168 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a Teorema 4.11 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm , donde A es un abierto en Rn . Si f tiene derivadas parciales continuas en A entonces f es diferenciable en A. ´ Demostracion: Podemos suponer m = 1, pues si f tiene derivadas parciales continuas en A lo mismo vale para sus funciones coordenadas, y si ´stas e son diferenciables f tambi´n lo es. e Sea a ∈ A. Vamos a probar que f es diferenciable en a. Para ello basta probar que n f (a + v ) − f (a) − Di f (a)vi i=1 l´ ım v →0 = 0, v lo que a su vez equivale a que, dado v < δ entonces f (a + v ) − f (a) − > 0, exista un δ > 0 de modo que si n Di f (a)vi < v. i=1 Por la continuidad de las derivadas parciales tenemos que existe un δ > 0 tal que si y − a < δ entonces y ∈ A y |Di f (y ) − Di f (a)| < /n para i = 1, . . . , n. Fijemos un v tal que v < δ . Definimos Fi = f (a1 + v1 , . . . , ai + vi , ai+1 , . . . , an ). En particular, vemos que f (a + v ) = Fn y f (a) = F0 , luego f (a + v ) − f (a) − n n Di f (a)vi = i=1 ≤ n (Fi+1 − Fi − Di f (a)vi ) i=1 |Fi+1 − Fi − Di f (a)vi |. i=1 As´ pues, (teniendo en cuenta que |vi | ≤ v ) basta probar que ı |Fi+1 − Fi − Di f (a)vi | < n |vi |, para i = 1, . . . , n. Esto resulta de aplicar el valor medio a la funci´n de una o variable dada por gi (t) = f (a1 + v1 , . . . , ai−1 + vi−1 , ai + tvi , ai+1 , . . . , an ). Esta funci´n est´ definida en un intervalo abierto que contiene al intervalo o a [0, 1], y el hecho de que f tenga derivadas parciales implica que gi es derivable en su dominio. En particular es derivable en ]0, 1[ y continua en [0, 1]. Adem´s, a es claro que gi (t) = Di f (a1 + v1 , . . . , ai−1 + vi−1 , ai + tvi , ai+1 , . . . , an )vi . El teorema del valor medio nos da que existe 0 < t0 < 1 tal que Fi+1 − Fi = gi (1) − gi (0) = gi (t0 )(1 − 0). 4.2. Propiedades de las funciones diferenciables 169 Notemos que y = (a1 + v1 , . . . , ai−1 + vi−1 , ai + t0 vi , ai+1 , . . . , an ) cumple y − a = (v1 , . . . , vi−1 , t0 vi , 0, . . . , 0) ≤ v < δ, luego |Fi+1 − Fi − Di f (a)vi | = |Di f (y ) − Fi f (a)| |vi | < n |vi |, como hab´ que probar. ıa Definici´n 4.12 Supongamos que una funci´n f : A ⊂ Rn −→ Rm admite o o derivada parcial respecto a una variable xi en todo el abierto A. Si a su vez la funci´n Di f admite derivada parcial respecto a la variable xj en A, a esta o e o derivada se la representa por Dij f . Tambi´n se usa la notaci´n Dij f = ∂2f . ∂xi ∂xj Cuando el ´ ındice es el mismo se escribe Dii f = ∂2f . ∂x2 i Las funciones Dij f se llaman derivadas segundas de f . M´s generalmente, la a a o funci´n Di1 ···ik f ser´ la funci´n que resulta de derivar f respecto de i1 , derivar o dicha parcial respecto a i2 , etc. Alternativamente, ∂kf , ∂xk11 · · · ∂xkrr i i donde k1 + · · · + kr = k , representar´ la funci´n que resulta de derivar k1 veces a o f respecto a i1 , luego k2 veces la funci´n resultante respecto a i2 , etc. Estas o funciones de llaman derivadas parciales de orden k de la funci´n f . o Diremos que f es de clase C k en A si existen todas sus derivadas parciales de orden k en A y todas ellas son continuas en A. En particular, las funciones de clase C 0 son las funciones continuas. Obviamente una funci´n es de clase C k+1 si y s´lo si todas sus derivadas o o parciales son de clase C k . El teorema anterior afirma que todas las funciones o de clase C 1 son diferenciables. Si una funci´n f es de clase C 2 , entonces su derivadas parciales son de clase C 1 , luego son diferenciables, luego son continuas y por lo tanto f es tambi´n de clase C 1 . Por el mismo argumento se prueba en e general que si k ≤ r entonces toda funci´n de clase C r es de clase C k . o Las reglas de derivaci´n justifican inmediatamente que la suma y el producto o por un escalar de funciones de clase C k es una funci´n de clase C k . El producto o de funciones de clase C k (con valores en R) es de clase C k . Lo mismo vale para el cociente si exigimos que el denominador no se anule. Ejercicio: Probar que la composici´n de dos funciones de clase C k es de clase C k . o Ahora vamos a probar un teorema muy importante sobre derivadas sucesivas, pues nos dice que el orden de derivaci´n no importa: o 170 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a Teorema 4.13 (Teorema de Schwarz) Si f : A ⊂ Rn −→ Rm es una funci´n o de clase C 2 en el abierto A, entonces Dij f (a) = Dji f (a). ´ Demostracion: No perdemos generalidad si suponemos m = 1. Tambi´n e podemos suponer que n = 2, pues en general podemos trabajar con la funci´n o F (xi , xj ) = f (a1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . an ). As´ pues, probaremos que D12 f (a) = D21 f (a). Sea a = (a1 , a2 ). Considereı mos la funci´n o ∆f (h) = f (a1 + h, a2 + h) − f (a1 + h, a2 ) − f (a1 , a2 + h) + f (a1 , a2 ), definida en un entorno de 0. Vamos a probar que D12 f (a) = l´ ım h→0+ ∆f (h) . h2 Por simetr´ este l´ ıa ımite ser´ tambi´n D21 f (a) y el teorema estar´ probado. a e a Dado > 0, la continuidad de D12 f en a implica que existe un h0 > 0 tal que si 0 < k, k < h, entonces |D12 f (a1 + k, a2 + k ) − D12 f (a1 , a2 )| < . n o Podemos tomar h0 suficientemente peque˜o para que si 0 < h < h0 la funci´n G(t) = f (t, a2 + h) − f (t, a2 ) est´ definida en el intervalo [a1 , a1 + h]. Por el teorema del valor medio existe e un n´mero 0 < k < h tal que u ∆f (h) = G(a1 + h) − G(a1 ) = hG (a1 + k ) = h D1 f (a1 + k, a2 + h) − D1 f (a1 + k, a2 ) . Ahora aplicamos el teorema del valor medio a la funci´n o H (x) = D1 f (a1 + k, t) en el intervalo [a2 , a2 + h], que nos da un n´mero 0 < k < h tal que u D1 f (a1 + k, a2 + h) − D1 f (a1 + k, a2 ) = D12 f (a1 + k, a2 + k )h. En total tenemos que ∆f (h) = D12 f (a1 + k, a2 + k )h2 , luego ∆f (h) = |D12 f (a1 + k, a2 + k )| < , h2 siempre que 0 < h < h0 . El teorema de Schwarz implica claramente que al calcular cualquier derivada parcial de orden k de una funci´n de clase C k es irrelevante el orden en que o efectuemos las derivadas. 4.2. Propiedades de las funciones diferenciables 171 Ahora vamos a encaminarnos a probar el teorema de la funci´n inversa. o Esencialmente se trata de probar que las inversas de las funciones biyectivas y diferenciables son diferenciables. La situaci´n es m´s complicada que en el caso o a de una variable, pues en el cap´ ıtulo anterior vimos que toda funci´n derivable o cuya derivada no se anula es mon´tona, mientras que no hay ning´n resultado o u an´logo para el caso de varias variables. Por ello vamos a necesitar varios a resultados previos. Entre otras cosas, nos apoyaremos en el concepto de extremo relativo y su relaci´n con la diferenciabilidad. La situaci´n en esto s´ es an´loga o o ı a a la de una variable. Definici´n 4.14 Sea f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A. Diremos que f tiene un o m´ ınimo relativo en a si existe un entorno G de a tal que para todo p ∈ G se cumple f (p) ≥ f (a). Similarmente se define un m´ximo relativo. Diremos que a a es un extremo relativo si es un m´ximo o un m´ a ınimo relativo. Teorema 4.15 Sea f : A ⊂ Rn −→ R una funci´n diferenciable en un punto o a ∈ A. Si f tiene un extremo relativo en a, entonces df (a) = 0. ´ Demostracion: Sea v ∈ Rn y consideremos la funci´n φ(h) = f (a + hv ), o para un cierto vector v ∈ Rn , definida en un entorno de 0. Es claro que φ tiene un extremo relativo en 0. Sea g (h) = a + hv . Por la regla de la cadena 0 = φ (0) = dφ(0)(1) = df φ(0) dg (0)(1) = df (a)(v ). Teorema 4.16 Sea f : Bδ (a) ⊂ Rn −→ Rn una aplicaci´n continua, difereno ciable en Bδ (a), y tal que para todo y ∈ Bδ (a) se cumpla |Jf (y )| = 0. Supongamos adem´s que para todo x ∈ ∂Bδ (a) se cumple f (x) = f (a). Entonces a f Bδ (a) es un entorno de f (a). ´ Demostracion: Sea g : ∂Bδ (a) −→ R la aplicaci´n definida mediante o g (x) = f (x) − f (a) . Por compacidad alcanza su m´ ınimo en un punto x. Por hip´tesis m = g (x) > 0. Tenemos, pues, que g (z ) ≥ g (x), para todo z tal que o z − a = δ . Vamos a probar que Bm/2 f (a) ⊂ f Bδ (a) . Sea y ∈ Bm/2 f (a) . Consideremos la funci´n h : Bδ (a) −→ R dada por o h(x) = f (x) − y . Por compacidad alcanza su m´ ınimo en un punto z y, puesto que h(a) = f (a) − y < m/2, vemos que h(z ) < m/2. Si x ∈ ∂Bδ (a), entonces h(x) = f (x) − y ≥ f (x) − f (a) − f (a) − y > g (x) − m m m ≥m− =, 2 2 2 luego h(x) no es el m´ ınimo de h. En otros t´rminos, z ∈ ∂Bδ (a), luego z ∈ Bδ (a) e / Es claro que h2 tambi´n alcanza su m´ e ınimo en z y n (fk (x) − yk )2 . h2 (x) = k=1 172 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a Por consiguiente, n 2(fk (z ) − yk )Dj fk (z ) = 0, Dj h2 (z ) = k=1 pues z es un extremo. Matricialmente tenemos f (z ) − y J f (z )t = 0 y como el determinante de la matriz es no nulo por hip´tesis, y = f (z ) ∈ f Bδ (a) . o Teorema 4.17 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rn una aplicaci´n inyectiva, diferenciable o en el abierto A y tal que |Jf (x)| = 0 para todo x ∈ A. Entonces f es abierta, luego f : A −→ f [A] es un homeomorfismo. ´ Demostracion: Sea U un abierto en A. Veamos que f [U ] es abierto en Rn . Tomemos un punto a ∈ U y veamos que f [U ] es entorno de f (a). Existe un δ > 0 tal que Bδ (a) ⊂ U , y la restricci´n de f a esta bola cerrada est´ en las o a hip´tesis del teorema anterior. Por consiguiente f Bδ (a) ⊂ f [U ] es un entorno o de f (a). Ahora ya podemos probar el teorema de la funci´n inversa. o Teorema 4.18 (Teorema de la funci´n inversa) Sea f : A ⊂ Rn −→ Rn o una funci´n inyectiva de clase C k , con k ≥ 1, en el abierto A y tal que se cumpla o |Jf (x)| = 0 para todo x ∈ A. Entonces B = f [A] es abierto y f −1 : B −→ A es de clase C k en B . ´ Demostracion: Llamemos g = f −1 . Por el teorema anterior f y g son e homeomorfismos. Veamos que tiene g parciales continuas. Sea ei el i-´simo vector de la base can´nica de Rn . Sea b ∈ B y a = g (b). Tomemos una bola o abierta Bη (a) ⊂ A y un α > 0 suficientemente peque˜o tal que el segmento de n extremos b y b + αei est´ contenido en f [Bη (a)]. Sea a = g (b + αei ). Entonces e a a ∈ Bη (a), luego el segmento de extremos a y a est´ contenido en A. Claramente f (a ) − f (a) = αei . Si fj es la j -´sima funci´n coordenada de e o f , tenemos fj (a ) − fj (a) = αδij , donde (δij ) es la matriz identidad. Aplicamos el teorema del valor medio a la funci´n φ(t) = fj a + t(a − a) , definida en [0, 1], en virtud del cual existe o 0 < t < 1 tal que αδij = φ(1) − φ(0) = dφ(t)(1) = dfj a + t(a − a) (a − a). Sea z j = a + t(a − a). As´ ı n Dk fj (z j )(ak − ak ). αδij = k=1 Matricialmente tenemos αI = (a − a) Dk fj (z j ) . 4.2. Propiedades de las funciones diferenciables 173 La funci´n h : An −→ R dada por h(z 1 , . . . , z n ) = (Dk fj (z j )) es continua, o pues las derivadas parciales son continuas y el determinante es un polinomio. Por hip´tesis tenemos que h(a, . . . , a) = 0, luego existe un entorno de (a, . . . , a) o en el cual h no se anula. Tomando α suficientemente peque˜o podemos exigir n que (a , . . . , a ) est´ en una bola de centro (a, . . . , a) contenida en dicho entorno, e e a con lo que el punto (z 1 , . . . , z n ) que hemos construido tambi´n est´ en dicho entorno, luego (Dk fj (z j )) = 0 y podemos calcular la matriz inversa, cuyos coeficientes se expresan como un cociente de determinantes de matrices cuyos coeficientes son derivadas parciales. En definitiva obtenemos una expresi´n de o la forma Pk Dk fj (z j ) ak − ak , = α Qk Dk fj (z j ) donde Pk y Qk son polinomios. Por definici´n de a y a tenemos o Pk Dk fj (z j ) gk (b + αei ) − gk (b) = . α Qk Dk fj (z j ) Tomando α suficientemente peque˜o podemos conseguir que z i − a se n haga arbitrariamente peque˜o. Por la continuidad de las derivadas parciales n podemos exigir que |Dk fj (z j ) − Dk fj (a)| se haga arbitrariamente peque˜o y por n la continuidad de los polinomios Pk y Qk podemos hacer que el miembro derecho de la ecuaci´n anterior se aproxime cuanto queramos al t´rmino correspondiente o e con a en lugar de los puntos z i . En definitiva, existe Pk Dk fj (g (b)) gk (b + αei ) − gk (b) = . α→0 α Qk Dk fj (g (b)) Di gk (b) = l´ ım M´s a´n, los polinomios Pk y Qk son los que expresan las soluciones de una au ecuaci´n lineal en t´rminos de sus coeficientes, luego no dependen de b, luego esta o e expresi´n muestra tambi´n que Di gk es una composici´n de funciones continuas, o e o e luego es continua. M´s en general, si f es de clase C k , entonces g tambi´n lo a es. f Si f est´ en las condiciones del teorema anterior tenemos que f ◦ f −1 = a ◦ f = 1, luego por la regla de la cadena −1 df (a) ◦ df −1 (b) = df −1 (b) ◦ df (a) = 1, luego las dos diferenciales son biyectivas y df −1 (b) = df (a)−1 . Equivalentemente, si yi (x1 , . . . , xn ) es una transformaci´n biyectiva y difeo renciable con determinante jacobiano no nulo y llamamos xi (y1 , . . . , yn ) a la funci´n inversa, entonces el sistema de ecuaciones o dy1 = . . . dyn = ∂y1 dx1 + · · · + ∂x1 . . . ∂yn dx1 + · · · + ∂x1 ∂y1 dxn ∂xn . . . ∂yn dxn ∂xn 174 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a tiene por matriz de coeficientes a la matriz jacobiana de la transformaci´n, o luego podemos despejar dx1 , . . . , dxn en funci´n de dy1 , . . . , dyn y as´ obtenemos o ı precisamente la diferencial de la funci´n inversa. o Ejemplo Como ya advert´ ıamos, al contrario de lo que sucede en una variable, el hecho de que una aplicaci´n tenga diferencial no nula en todo punto (o incluso o determinante jacobiano no nulo) no garantiza que sea biyectiva. Por ejemplo, consideremos f (x, y ) = (ex cos y, ex sen y ) (vista como aplicaci´n de C en C, se o trata simplemente de la exponencial compleja). La matriz jacobiana de f es ex cos y −ex sen y ex sen y ex cos y y su determinante en cada punto (x, y ) es ex = 0. Por otro lado es f´cil ver que a f no es biyectiva. Lo m´ximo que podemos deducir del hecho de que el determinante jacobiano a no se anule es que la funci´n es localmente inyectiva. La prueba se basa en un o argumento que hemos usado en la prueba del teorema de la funci´n inversa. o Teorema 4.19 (Teorema de inyectividad local) Sea f : A ⊂ Rn −→ Rn una funci´n de clase C 1 en el abierto A y sea a ∈ A tal que |Jf (a)| = 0. o Entonces existe un entorno B de a tal que |Jf (x)| = 0 para todo x ∈ B y f es inyectiva sobre B . ´ Demostracion: La funci´n h : An −→ R dada por o h(z 1 , . . . , z n ) = (Dk fj (z j )) es continua, pues las derivadas parciales son continuas y el determinante es un polinomio. Por hip´tesis tenemos que h(a, . . . , a) = 0, luego existe un entorno o de (a, . . . , a) en el cual h no se anula. Este entorno lo podemos tomar de la forma Bδ (a) × · · · × Bδ (a). Tomaremos B = Bδ (a). Veamos que si x, y ∈ Bδ (a) y f (x) = f (y ) entonces x = y . Consideremos la funci´n φ(t) = fi (x + t(y − x)), definida en [0, 1]. Claramente es derivable. Por o el teorema del valor medio, fi (y ) − fi (x) = dφ(ti )(1) = dfi (x + ti (y − x))(y − x) = dfi (z i )(y − x), donde z i es un punto entre x e y , luego z i ∈ Bδ (a). Por lo tanto n fi (y ) − fi (x) = Dk fi (z i )(yk − xk ), k=1 lo que matricialmente se expresa como 0 = f (y ) − f (x) = (y − x)(Dk fi (z i )). La matriz tiene determinante h(z 1 , . . . , z n ) = 0, luego ha de ser x = y . Para terminar generalizamos a varias variables un hecho que tenemos probado para el caso de una: 4.3. Curvas parametrizables 175 Teorema 4.20 Si f : A ⊂ Rn −→ Rm es una funci´n diferenciable en un o abierto conexo A y df = 0, entonces f es constante. ´ Demostracion: Podemos suponer m = 1. Dados dos puntos a, b ∈ A, existe una poligonal contenida en A con extremos a y b. Basta probar que f toma el mismo valor en los v´rtices de la poligonal, luego en definitiva basta e probar que si a y b son los extremos de un segmento contenido en A entonces f (a) = f (b). Consideramos la funci´n φ(t) = f (a + t(b − a)) en [0, 1] y le o aplicamos el teorema del valor medio. Concluimos que f (b) − f (a) = φ (t) = df (a + t(b − a))(b − a) = 0. 4.3 Curvas parametrizables Las t´cnicas de este cap´ e ıtulo nos capacitan para estudiar curvas m´s efia cientemente que las del cap´ ıtulo anterior. En efecto, all´ estudi´bamos curvas ı a consider´ndolas como gr´ficas de funciones de una variable, pero esto no pera a mite trabajar con curvas cualesquiera. Por ejemplo, una elipse no es la gr´fica a de ninguna funci´n. Ahora podemos aplicar la derivabilidad al estudio de curvas o en el sentido de aplicaciones x : I −→ Rn , donde I es un intervalo en R. Para que una tal aplicaci´n x pueda ser llamada “curva” razonablemente, debereo mos exigir al menos que sea continua. Aqu´ nos centraremos en las curvas que ı adem´s son derivables. Si una curva est´ definida en un intervalo cerrado [a, b], a a exigiremos que sea derivable en ]a, b[. A estas curvas las llamaremos arcos. Si x : [a, b] −→ Rn , los puntos x(a) y x(b) se llaman extremos del arco. Concretamente, x(a) es el extremo inicial y x(b) es el extremo final. La gr´fica de una a funci´n continua f : [a, b] −→ R puede identificarse con el arco x(t) = t, x(t) . o De este modo, el tratamiento de los arcos que estamos dando aqu´ generaliza al ı del cap´ ıtulo anterior. Seg´n lo dicho, una curva no es un mero conjunto de puntos en Rn , sino un u conjunto de puntos recorridos de un modo en concreto. Si x(t) es una curva, la variable t se llama par´metro de la misma. Conviene imaginarse a t como una a variable temporal, de modo que x(t) es la posici´n en el instante t de un punto o m´vil que recorre la curva. La imagen de x es la trayectoria del m´vil. o o Vamos a interpretar la derivabilidad de una curva x(t) en un punto t. Si existe x (t) = v = 0, entonces para valores peque˜os de h tenemos n x(t + h) − x(t) ≈ v, h (4.1) luego x(t + h) ≈ x(t)+ hv . La curva x(t)+ hv , cuando var´ h, recorre los puntos ıa de una recta, y estamos diciendo que para valores peque˜os de h la curva x se n parece a dicha recta. As´ pues, la recta de direcci´n x (t) se confunde con la ı o curva alrededor de x(t), y por ello la llamamos recta tangente a x en x(t). Esto 176 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a interpreta la direcci´n de x (t). Es f´cil ver que su sentido es el sentido de avance o a al recorrer la curva. Observemos que si f : I −→ R es una funci´n derivable en o un punto t, entonces la tangente del arco x(t) = t, f (t) es la recta de direcci´n o 1, f (t) , luego su pendiente es f (t), luego coincide con la tangente tal y como la definimos en el cap´ ıtulo anterior. Ya tenemos interpretados la direcci´n y el sentido de x (t). Falta interpretar o su m´dulo. Claramente se trata del l´ o ımite del m´dulo de (4.1). La cantidad o x(t + h) − x(t) es la distancia que recorremos en h unidades de tiempo desde el instante t, luego al dividir entre |h| obtenemos la distancia media recorrida por unidad de tiempo en el intervalo de extremos t y t + h, es decir, la velocidad media en dicho intervalo. El l´ ımite cuando h → 0 es, pues, la velocidad con que recorremos la curva en el instante t. En realidad los f´ ısicos prefieren llamar velocidad a todo el vector x (t), de modo que la direcci´n indica hacia d´nde o o nos movemos en el instante t y el m´dulo indica con qu´ rapidez lo hacemos. o e Conviene precisar estas ideas. La primera ley de Newton afirma que si un cuerpo est´ libre de toda acci´n externa, permanecer´ en reposo o se mover´ en a o a a l´ ınea recta a velocidad constante. Todo esto se resume en que su velocidad en sentido vectorial permanece constante. Ejemplo Consideremos la curva x(t) = (cos t, sen t), definida en el intervalo [0, +∞[. Esta curva recorre infinitas veces la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1. Su velocidad es x (t) = (− sen t, cos t), cuyo m´dulo es constante igual a o 1, esto significa que recorremos la circunferencia a la misma velocidad, digamos de un metro por segundo. Para que un objeto siga esta trayectoria es necesario que una fuerza lo obligue a mantenerse a la misma distancia del centro. Por ejemplo, el m´vil podr´ ser un cuerpo que gira atado a una cuerda. El hecho o ıa de que x (2π ) = (0, 1) significa que si en el instante 2π se cortara la cuerda entonces el cuerpo, libre ya de la fuerza que le reten´ saldr´ despedido hacia ıa, ıa arriba a raz´n de un metro por segundo. o Consideremos ahora la curva x(t) = (cos t2 , sen t2 ). Su trayectoria es la misma, pero ahora la velocidad es x (t) = (−2t sen t2 , 2t cos t2 ), cuyo m´dulo es o 2t, lo que significa que ahora el m´vil gira cada vez m´s r´pido. Comienza a o aa velocidad 0, al dar una vuelta alcanza la velocidad de 2 metros por segundo, a la segunda vuelta de 4, etc. Las consideraciones anteriores muestran que la derivabilidad de una curva se traduce en la existencia de una recta tangente salvo que la derivada sea nula. La existencia de una recta tangente en x(t) significa que el arco se confunde con una recta alrededor de x(t), con lo que el arco no puede formar un “pico” en x(t). Esto ya no es cierto si x (t) = 0. Por ejemplo, la curva x(t) = (t3 , |t3 |) es derivable en 0, pues su derivada por la izquierda coincide con la de (t3 , −t3 ) y su derivada por la derecha coincide con la de (t3 , −t3 ), y ambas son nulas, pero su gr´fica es la misma que la de (t, |t|), es decir, la de la funci´n |x|, que tiene a o un pico en 0. Esto nos lleva a descartar las curvas con derivada nula. 4.3. Curvas parametrizables 177 Definici´n 4.21 Una curva parametrizada regular x : I −→ Rn es una aplio caci´n definida sobre un intervalo abierto I ⊂ R derivable y con derivada no o nula en ning´n punto. u El vector T (t) = x (t) x (t) se llama vector tangente a x en el punto x(t). La recta que pasa por x(t) con direcci´n T (t) se llama recta tangente a x por x(t). o Hemos visto un ejemplo de una misma trayectoria recorrida a velocidades distintas. Desde un punto de vista geom´trico, lo que importa de una curva e es su forma, y no la velocidad con la que se recorre. Vamos a explicitar esta distinci´n. o Dado un arco parametrizado x : [a, b] −→ Rn , un cambio de par´metro es a una aplicaci´n t : [u, v ] −→ [a, b] que se extiende a un intervalo abierto mayor o donde es derivable y la derivada no se anula. Por consiguiente t es biyectiva y t tiene signo constante. Diremos que t es un cambio de par´metro directo o a inverso seg´n si t > 0 o t < 0. El arco parametrizado y (s) = x(t(s)) se llama u reparametrizaci´n de x mediante el cambio de par´metro t. o a Diremos que dos arcos parametrizados regulares x e y son (estrictamente) equivalentes si existe un cambio de par´metro (directo) que transforma uno en a otro. Es claro que la identidad es un cambio de par´metro directo, la inversa a de un cambio de par´metro (directo) es un cambio de par´metro (directo) y la a a composici´n de dos cambios de par´metro (directos) es un cambio de par´metro o a a (directo). De aqu´ se sigue que la equivalencia y la equivalencia estricta son ı relaciones de equivalencia entre los arcos parametrizados. Llamaremos arcos regulares a las clases de equivalencia estricta de arcos parametrizados regulares, de modo que dos elementos de la misma clase se considerar´n dos parametrizaciones de un mismo arco. a Todas las parametrizaciones de un arco tienen la misma imagen, a la que podemos llamar imagen del arco. Los cambios de par´metro directos son crea cientes, por lo que dos parametrizaciones de un mismo arco tienen los mismos extremos, a los que podemos llamar extremos del arco. Consideremos dos parametrizaciones x : [a, b] −→ Rn , y : [c, d] −→ Rn de un mismo arco. Entonces y (s) = x(t(s)) para un cierto cambio de par´metro a directo t. Consideremos ahora dos cambios de par´metro inversos a u : [a , b ] −→ [a, b], v : [c , d ] −→ [c, d] y las reparametrizaciones x(u(r)), y (v (r)). Entonces y (v (r)) = x(t(v (r)) = x(u(u−1 (t(v (r)))) y v ◦ t ◦ u−1 es un cambio de par´metro directo, luego las a dos reparametrizaciones corresponden a un mismo arco. Por lo tanto, podemos definir el arco inverso de un arco x al arco resultante de componer con un cambio de par´metro inverso cualquiera de las parametrizaciones de x. Lo a 178 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a representaremos por −x. Es claro que x y −x tienen la misma imagen, pero el extremo inicial de x es el extremo final de −x y viceversa. De este modo, la noci´n de arco como clase estricta de arcos parametrizados o recoge el concepto geom´trico de arco regular independiente del modo en que e se recorre, pero conservando el sentido del recorrido. Si consideramos clases no estrictas identificamos cada arco con su inverso, y con ello hacemos abstracci´n o incluso del sentido en que lo recorremos. Todos estos conceptos se aplican igualmente a curvas cualesquiera. Longitud de un arco Consideremos el arco x(t) = (r cos t, r sen t), con r > 0. Su derivada tiene m´dulo r, lo que se interpreta como que el arco recorre la ciro cunferencia de centro (0, 0) y radio r a una velocidad constante de r unidades de longitud por unidad de tiempo. Puesto que recorre la circunferencia completa en 2π unidades de tiempo, concluimos que el espacio que recorre, es decir, la longitud de la circunferencia, es 2πr. M´s en general, mediante esta paramea trizaci´n recorremos un arco de α radianes en α unidades de tiempo, luego la o longitud de un arco de α radianes es αr, tal y como anticip´bamos en el cap´ a ıtulo anterior. Vamos a generalizar este argumento para definir la longitud de un arco arbitrario. Sea x : [a, b] −→ Rn un arco y vamos a denir la funci´n s : [a, b] −→ R o tal que s(t) es la longitud de arco entre x(a) y x(t). Obviamente ha de cumplir s(a) = 0. Supongamos que es derivable y vamos a calcular su derivada en un punto t. El arco x se confunde con una recta alrededor de x(t). Esto significa que si h es suficientemente peque˜o el arco entre x(t) y x(t + h) es indistinguible n del segmento que une ambos puntos, luego tendremos s(t + h) − s(t) ≈ ± x(t + h) − x(t) , donde el signo es el de h. La aproximaci´n ser´ mejor cuanto menor sea h. o a Dividiendo entre h queda s(t + h) − s(t) x(t + h) − x(t) ≈ . h h Estos dos cocientes se parecer´n m´s cuanto menor sea h, lo que se traduce a a en que los l´ ımites cuando h → 0 han de coincidir. As´ ı: ds = x (t) , dt luego t s(t) = x (u) du. a En particular, la longitud del arco completo ser´ a b L(x) = x (t) dt. a (4.2) 4.3. Curvas parametrizables 179 Definici´n 4.22 Diremos que un arco parametrizado regular x : [a, b] −→ Rn o es rectificable si la funci´n x (t) tiene primitiva en [a, b] (es decir, si tiene o primitiva en el intervalo abierto y ´sta se extiende continuamente al intervalo e cerrado), y entonces llamaremos longitud de x al n´mero real u b L(x) = x (t) dt. a Notar que como el integrando es positivo, su primitiva ha de ser estrictamente creciente, luego L(x) > 0. La longitud de un arco parametrizado coincide con la de cualquiera de sus reparametrizaciones. En efecto, si y (s) = x(t(s)), entonces y (s) = x (t(s))t (s), luego s( b) b L(x) = x (t) dt = a s( b) x (t(s)) t (s) ds = s(a) y (s) ds = L(y ). s(a) Ejercicio: Comprobar que la longitud de un arco coincide con la de su opuesto, y que la longitud es invariante por isometr´ ıas. Ahora es inmediato comprobar que la longitud de un arco de circunferencia de radio r y amplitud α es α. En particular la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr. De hecho, los griegos llamaron π a esta constante por ser la proporci´n entre el per´ o ımetro de la circunferencia y su di´metro. a Sea x : [a, b] −→ Rn un arco rectificable y sea s(t) la longitud de arco entre x(a) y x(t). Hemos visto que se trata de una funci´n derivable y que s (t) = o x (t) . Por lo tanto s es creciente y biyectiva. Su inversa t : [0, L] −→ [a, b] es un cambio de par´metro, la funci´n x(s) = x(t(s)) es una reparametrizaci´n a o o del arco y x (t) x (s) = x (t)t (s) = , x (t) luego x (s) = 1 y as´ x (s) = T (s). M´s concretamente, x(s) se caracteriza ı a por que la longitud de arco entre x(0) y x(s) es s. A esta parametrizaci´n o del arco la llamaremos parametrizaci´n natural. Tambi´n diremos entonces o e que x est´ parametrizado por el arco Desde un punto de vista cinem´tico, la a a parametrizaci´n natural se interpreta como la que recorre el arco a velocidad o constante igual a 1 (constante en m´dulo). o Ejemplo La trayectoria de un clavo de una rueda que gira se conoce con el nombre de cicloide. Vamos a calcular la longitud de una vuelta de cicloide. Primeramente necesitamos encontrar una parametrizaci´n de la curva. Supongamos que la rueda gira o sobre el eje y = 0 y que el clavo parte de la posici´n o (0, 0). Si llamamos r al radio de la circunferencia, vemos que cuando la rueda ha girado t radianes su centro se encuentra en el punto (rt, r), luego el clavo se encuentra en x(t) = (rt − r sen t, r − r cos t). y t x rt r 180 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a Por consiguiente x (t) = r(1 − cos t, − sen t), √ t x (t) = r 2 − 2 cos t = 2r sen . 2 Vemos que los m´ltiplos de 2π son puntos singulares de la cicloide. Corresu ponden a los momentos en que el clavo toca el suelo. Entonces se para y cambia de sentido. Es f´cil calcular a 2π L= 2r sen 0 t t dt = 4r − cos 2 2 2π = 8r. 0 Ejercicio: Calcular la longitud de la astroide, dada por x(t) = (a cos3 t, a sen3 t). Ejemplo La trayectoria de un clavo de una rueda que gira sobre una circunferencia se llama epicicloide. El caso m´s simple lo tenemos cuando ambas a circunferencias tienen el mismo radio. La curva se llama entonces cardioide, porque su forma recuerda a un coraz´n. o Supongamos que la circunferencia fija tiene centro en (a/4, 0) y radio a/4 y que el clavo parte de la posici´n (0, 0). Cuando la rueda ha girado α o radianes la situaci´n es la que indica la figura. El o cuadril´tero tiene dos ´ngulos y dos lados iguales, a a por lo que los otros dos angulos tambi´n tienen la ´ e misma amplitud θ. Es claro entonces que ρ= ρ α θα a a + 2 cos θ, 2 4 ρ= θ a (1 + cos θ), 2 luego ´ donde θ ∈ ]−π, π [. Esta es la ecuaci´n de la cardioide en coordenadas polares. o 4.3. Curvas parametrizables 181 Vamos a ver en general cu´l es la expresi´n de la longitud de una curva a o parametrizada en coordenadas polares ρ(t), θ(t) . Notemos que (4.2), para el caso de dos variables puede escribirse tambi´n como e ds2 = dx2 + dy 2 . Se dice que ´sta es la expresi´n del elemento de longitud (es decir, de una e o longitud infinitesimal) en coordenadas cartesianas. Se trata de la versi´n infio nitesimal del teorema de pit´goras. Si diferenciamos las relaciones x = ρ cos θ, a y = ρ sen θ obtenemos dx = cos θ dρ − ρ sen θ dθ, dy = sen θ dρ + ρ cos θ dθ. Sustituyendo queda ds2 = dρ2 + ρ2 dθ2 . (4.3) ´ Esta es la expresi´n del elemento de longitud de un arco en coordenadas o polares. Aplicado a la cardioide resulta ds2 = a2 a2 + cos θ dθ2 , 4 4 de donde ds = a cos θ dθ. 2 As´ pues, la longitud de la cardioide es ı π L= a cos −π θ θ dθ = 2a sen 2 2 π = 4a. −π 182 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a Ejemplo Consideremos un cuerpo puntual situado en (l, 0) atado a una cuerda de longitud l con su otro extremo en (0, 0). Estiramos de la cuerda de modo que su extremo suba por el eje Y . La trayectoria del cuerpo arrastrado por la cuerda recibe el nombre de tractriz. Vamos a obtener una parametrizaci´n de la tractriz. Un o cuerpo estirado por una cuerda se mueve en la direcci´n o de la cuerda, luego ´sta ha de ser tangente a la trayece toria. Si llamamos y = f (x) a la tractriz, definida para 0 < x < l, entonces su recta tangente es Y = f (x) + f (x)(X − x). ´ Cortar´ al eje Y en el punto 0, f (x) − f (x)x . Este es el punto donde est´ a a el extremo de la cuerda cuando el otro extremo est´ en x, f (x) . La distancia a entre ambos debe ser, pues, igual a l. Por consiguiente: x2 + f (x)2 x2 = l2 . Despejando obtenemos l2 − 1 dx. x2 dy = − El signo negativo se debe a que, tal y como hemos planteado el problema, la funci´n y ha de ser decreciente. El cambio x = l sen θ biyecta los n´meros o u 0 < x ≤ l con los n´meros π/2 ≤ θ < π . La igualdad anterior se transforma en u dy = −l 1 cos2 θ l dθ − 1 cos θ dθ = l dθ = − l sen θ dθ. 2θ sen sen θ sen θ La posici´n inicial corresponde a x = l, luego a θ = π/2, es decir, y (π/2) = 0, o luego θ θ dt y (θ) = l sen t dt. −l π/2 sen t π/2 Existen reglas de integraci´n que permiten calcular met´dicamente la prio o mera primitiva. Como no nos hemos ocupado de ellas nos limitaremos a dar el resultado. El lector puede comprobar sin dificultad que es correcto derivando la soluci´n que presentamos. o y (θ) = l log tan t 2 θ θ + l [cos t]π/2 = l log tan π/2 θ + l cos θ. 2 As´ pues, la tractriz viene dada por ı T (θ) = (l sen θ, l log tan θ + l cos θ), 2 θ ∈ [π/2, π [ . 4.3. Curvas parametrizables 183 Su derivada es T (θ) = l cos θ, l cos2 θ sen θ T (θ) = −l , cos θ . sen θ La tractriz es regular en ]π/2, π [. La longitud de un arco de tractriz es θ s(θ) = −l π/2 cos t dt = −l [log sen t]θ 2 = −l log sen θ. π/ sen t Vector normal y curvatura Sea x(s) un arco parametrizado por la longitud de arco. Supongamos que admite derivada segunda. Derivando la igualdad x (s)x (s) = 1 obtenemos que 2x (s)x (s) = 0, luego x (s) ⊥ x (s). Supuesto que x (s) = 0 podemos definir el vector normal del arco como N (s) = x (s) , x (s) y la curvatura del arco como κ(s) = x (s) . Para interpretar la curvatura llamemos ∆θ al angulo entre los vectores x (s) ´ y x (s + ∆s), donde ∆θ es una funci´n de ∆s. Puesto que x tiene m´dulo o o constante igual a 1, la trigonometr´ nos da que ıa x (s + ∆s) − x (s) = 2 sen ∆θ . 2 2 sen(∆θ/2) Por consiguiente, sen ∆θ ∆θ x (s + ∆s) − x (s) 2 = . |∆s| ∆θ/2 |∆s| Es claro que ∆θ → 0 cuando ∆s → 0, luego κ(s) = l´ ım ∆s→0 ∆θ . |∆s| As´ pues, la curvatura mide la variaci´n del angulo del vector tangente por ı o ´ unidad de arco recorrido. Es claro que cuanto mayor sea la curvatura “m´s a curvado” estar´ el arco. a Ejemplo La parametrizaci´n natural de una circunferencia de radio r es o x(s) = r cos(s/r), r sen(s/r) . El vector tangente es, por lo tanto, x (s) = − sen(s/r), cos(s/r) . De aqu´ obtenemos ı x (s) = − s1 s 1 cos , − sen r r r r , 184 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a con lo que el vector normal es N (s) = − cos(s/r), sen(s/r) y la curvatura es κ(s) = 1/r. Intuitivamente es claro que una circunferencia est´ menos curvada a cuanto mayor es su radio, tal y como se pone de manifiesto en la f´rmula que o hemos obtenido. Dada una curva x de curvatura no nula en un punto dado x(s), la circunferencia de radio r = 1/κ(s) y centro x(s) − κN (n) pasa por x(s) y tiene el mismo vector tangente, el mismo vector normal y la misma curvatura en este punto. Esto hace que sea la circunferencia que m´s se parece a x en un entorno de x(s) a y se la llama circunferencia osculatriz a x por x(s). El radio r(s) = 1/κ(s) se llama radio de curvatura de x en x(s). Veamos ahora f´rmulas expl´ o ıcitas para calcular el vector normal y la curvatura cuando la parametrizaci´n no es la natural. Conviene usar el lenguaje de la o cinem´tica. Supongamos que x(t) representa la posici´n de un m´vil puntual en a o o funci´n del tiempo. Llamaremos x(s) a la parametrizaci´n natural. Entonces la o o velocidad del m´vil es V = x (t). Si llamamos v = v , entonces sabemos que o v = s (t), con lo que v es la velocidad sobre la trayectoria, que mide la distancia recorrida por unidad de tiempo. Adem´s V = x (t) = x (s)s (t), es decir, a V = vT. Se define el vector aceleraci´n como A = V = X (t). Derivando en la o relaci´n anterior tenemos o A = v (t)T (t) + v (t)T (t). Llamaremos a(t) = v (t), que es la aceleraci´n sobre la trayectoria, es decir la o variaci´n de la velocidad sobre la trayectoria por unidad de tiempo. Aplicando o la regla de la cadena a T (t) = T (s(t)) obtenemos T (t) = T (s)s (t) = κvN , luego v2 A = aT + κv 2 N = aT + N. r Vemos, pues, que la aceleraci´n se descompone de forma natural en una o componente tangencial, que mide la variaci´n del m´dulo de la velocidad, y una o o componente normal, que determina la curvatura. Ahora multiplicamos esta igualdad por s´ misma: A 2 = a2 + κ2 v 4 , de ı donde A 2 − a2 κ2 = . v4 Ahora bien, VV VV a=v = V = = , V v luego κ2 = A 2 v 2 − (V V )2 V ∧A = v6 v6 lo que nos da κ= V ∧A . v3 2 , 4.3. Curvas parametrizables 185 Las dos ultimas igualdades suponen que la imagen de x est´ en R3 . En el ´ a lenguaje geom´trico hemos obtenido las f´rmulas siguientes: e o T= x , x x N= x − (x x )x , x x ∧x 2 κ= x ∧x x 3. (4.4) En el caso de curvas planas es conveniente modificar como sigue el vector normal y la curvatura. Fijada una orientaci´n en el plano, definimos el vector o normal de una curva x(s) parametrizada por el arco como el vector unitario N (s) que es perpendicular a T (s) y de modo que la base T (s), N (s) est´ orientada e positivamente. Esta definici´n puede diferir de la anterior en cuanto al signo o de N (s), por lo que redefinimos la curvatura de modo que x (s) = κ(s)N (s). Notemos que ahora el vector normal est´ definido incluso en los puntos donde a la curvatura es nula. Con el convenio usual de orientaci´n, el vector N apunta hacia la izquierda si o miramos en el sentido de T . La curvatura es positiva si cuando la curva avanza se desv´ hacia la izquierda y negativa si se desv´ hacia la derecha (o nula si no ıa ıa se desv´ ıa). Diremos que la curva gira en sentido positivo o en sentido negativo seg´n el signo de su curvatura. El sentido de giro positivo es el contrario a las u agujas del reloj. De este modo, la orientaci´n distingue los dos sentidos de giro. o Vector binormal y torsi´n La teor´ de curvas en R3 se completa con la o ıa introducci´n del vector binormal y la torsi´n. El vector binormal de una curva o o x(s) tres veces derivable en un punto de curvatura no nula es B (s) = T (s)∧N (s). La base formada por los vectores T (s), N (s), B (s) se conoce como triedro de Frenet. Definimos la torsi´n de x en cada punto como τ (s) = −N (s)B (s). o Para interpretar la torsi´n empezaremos por determinar N . Digamos que o N = aT + bN + cB. (4.5) Multiplicando por T obtenemos c = N T , y como T N = 0, derivando resulta T N + T N = 0, luego c = −T N = −κN N = −κ. Si multiplicamos (4.5) por N resulta b = N N , pero al derivar en N N = 1 resulta 2N N = 0, luego b = 0. Por ultimo, es claro que c = N B = −τ . Por ´ consiguiente N = −κT − τ B. La misma t´cnica nos da una expresi´n para B . Sea B = aT + bN + cB . e o Multiplicando por T obtenemos a = T B , pero de BT = 0 se concluye que T B = −T B = −κN B = 0. Similarmente b = N B = −N B = τ . Al multiplicar por B llegamos a c = B B = 0, pues BB = 1. Tenemos as´ las llamadas f´rmulas de Frenet: ı o T = N = −κT − τ B, B = κN, τ N. 186 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a Vemos que si τ = 0 en todo punto entonces B es constante, luego (xB ) = x B = T B = 0 implica que xB es constante, luego x est´ contenido en un plano a perpendicular a B , luego la curva es plana. El rec´ ıproco es claro. As´ pues, ı las curvas sin torsi´n son exactamente las curvas planas. En general, el plano o x(s)+ T (s), N (s) recibe el nombre de plano osculante a la curva. Si la curva es plana, su plano osculante es el mismo en todo punto, y la curva est´ contenida a en ´l. En caso contrario, puede probarse que el plano osculante en un punto es e el plano m´s pr´ximo a la curva en un entorno del punto. La tercera f´rmula a o o de Frenet muestra que la torsi´n mide la rapidez con que var´ B o, lo que es o ıa lo mismo, la rapidez con la que var´ el plano osculante. ıa A continuaci´n derivamos una f´rmula expl´ o o ıcita para la torsi´n de una curva. o Si x est´ parametrizada por la longitud de arco, entonces a N= x , κ N= x κ−x κ . κ2 luego, 1 (x ∧ x )x τ = −BN = (T ∧ N )N = − (x ∧ x )N = − κ κ2 =− (x , x , x ) , κ2 donde (u, v, w) = u(v ∧ w) es el producto mixto de vectores. Si la parametrizaci´n o no es la natural tenemos evidentemente B= x ∧x x ∧x , y un c´lculo rutinario nos lleva de la expresi´n que tenemos para τ (s) a a o τ =− (x , x , x ) . x ∧x 2 Ejercicio: Calcular la curvatura y la torsi´n de la h´lice (r sen t, r cos t, kt). o e Para acabar probaremos que la curvatura y la torsi´n determinan una curva o salvo por su posici´n en el espacio. o Teorema 4.23 Sean x, x : I −→ R3 dos curvas con las mismas funciones κ y ¯ τ . Entonces existe una isometr´ f : R3 −→ R3 tal que x(s) = f x(s) para ıa ¯ todo s ∈ I . ´ Demostracion: Es f´cil comprobar que los vectores del triedro de Frenet, a as´ como la curvatura y la torsi´n se conservan por isometr´ en el sentido de ı o ıas, que, por ejemplo, si f es una isometr´ se cumple Tx◦f (s) = f ◦ Tx , donde f es ıa la isometr´ lineal asociada a f . Igualmente κx◦f (s) = κ(s), etc. ıa Sea s0 ∈ I . Aplicando una isometr´ a x podemos exigir que x(s0 ) = x(s0 ), ıa ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ T (s0 ) = T (s0 ), N (s0 ) = N (s0 ), B (s0 ) = B (s0 ), κ(s0 ) = κ(s0 ), τ (s0 ) = τ (s0 ). ¯ ¯ Probaremos que en estas condiciones x = x. ¯ 4.3. Curvas parametrizables 187 Es claro que 1d 2 ds ¯ T −T 2 ¯ + N −N 2 ¯ + B−B 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (T − T )(T − T ) + (N − N )(N N ) + (B − B )(B − B ) Aplicando las f´rmulas de Frenet queda o ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ κ(T − T )(N − N ) − κ(N − N )(T − T ) − τ (N − N )(B − B )+ τ (B − B )(N − N ) = 0, ¯ ¯ ¯ luego T = T , N = N , B = B , pues las diferencias son constantes y se anulan en s0 . La primera igualdad es x = x , y como ambas funciones coinciden en s0 ¯ ha de ser x = x. ¯ Como consecuencia, si una curva plana tiene curvatura constante κ, entonces es un arco de circunferencia de radio r = 1/κ, pues su curvatura y su torsi´n o (nula) coinciden con las de la circunferencia. Las curvas de curvatura nula son las rectas. Sistemas de referencia no inerciales A la hora de medir la posici´n de un o objeto f´ ısico es necesario tomar a otro como referencia. Aunque en la pr´ctica a las coordenadas cartesianas no son siempre las m´s apropiadas, te´ricamente a o podemos imaginar que seleccionamos un objeto r´ ıgido en el que marcamos cuatro puntos a los que asignamos las coordenadas (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y con respecto a ellos determinamos la posici´n de cualquier otro punto del o espacio. Podr´ parecer conveniente exigir que el objeto mediante el cual definimos ıa nuestro sistema de referencia est´ en reposo, para evitar que las coordenadas de e un cuerpo var´ por causa del movimiento del sistema de referencia y no por ıen su propio movimiento. Sin embargo la Tierra, el Sol y las estrellas se mueven por el espacio, luego no tenemos a nuestra disposici´n ning´n objeto del que o u podamos garantizar que est´ en reposo. M´s a´n, la f´ a au ısica ense˜a que el requisito n mismo no tiene sentido, pues no existe forma de dar sentido al concepto de “reposo absoluto”, sino que el concepto de movimiento es esencialmente relativo al sistema de referencia que adoptemos. Pese a ello, no todos los sistemas de referencia son equivalentes. Una clase especial de ellos la forman los determinados por objetos libres de toda influencia externa. Uno de los postulados b´sicos de la f´ a ısica es que si dos objetos est´n a libres de toda influencia externa, su movimiento relativo ser´ uniforme, es decir, a al tomar como referencia a uno de ellos el otro se mover´ (en l´ a ınea recta) con velocidad constante, tal vez nula. A los sistemas de referencia en estas condiciones se les llama inerciales, de modo que la primera ley de Newton, de la que ya hemos hablado, afirma en realidad que la velocidad de un cuerpo libre de toda influencia exterior medida desde un sistema de referencia inercial permanece constante. Esta ley no es aplicable a sistemas no inerciales. Por ejemplo, enseguida justificaremos que un tren que se mueve con velocidad constante puede ser 188 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a considerado como un sistema de referencia inercial, pero en el momento en que el tren acelera o frena deja de serlo. En efecto, imaginemos una esfera en reposo sobre el pasillo del tren. Visto desde la tierra, tanto el tren como la esfera est´n a movi´ndose a la misma velocidad. Cuando el tren frena, los frenos act´an sobre e u ´l haci´ndolo parar, pero no act´an sobre la esfera, que sigue movi´ndose a la e e u e misma velocidad. Desde un sistema de referencia determinado por el tren, la esfera en reposo pasa a moverse hacia delante sin que nada haya influido sobre ella. Esto es una violaci´n de la primera ley de Newton. o La Tierra no es un sistema de referencia inercial a causa de sus movimientos de rotaci´n y traslaci´n. No obstante, la traslaci´n alrededor del Sol sigue una o o o o ´rbita de radio tan grande que localmente es casi recta, y las consecuencias de este movimiento son inapreciables. En cuanto a la rotaci´n, sus efectos s´ son o ı detectables mediante experimentos f´ ısicos que falsean la ley de Newton, pero en muchas ocasiones tambi´n resulta despreciable (una bola encima de una e mesa nunca empieza a moverse sola como en el tren). Un sistema de referencia determinado por un objeto que se mueva a velocidad constante respecto a un sistema de referencia inercial cumple igualmente la ley de Newton y las leyes restantes de la din´mica, por lo que puede ser considerado inercial. Es el caso a del tren que coment´bamos antes. Lo que sucede es que aunque el tren est´ a a sometido a la acci´n de su motor, ´sta se emplea unicamente en contrarrestar o e ´ las fuerzas de rozamiento que se oponen a su avance, con lo que las dos acciones que ´ste experimenta se cancelan mutuamente, y el resultado es el mismo que e si ninguna fuerza actuara sobre ´l. e Con m´s detalle: los cuerpos act´an unos sobre otros alterando su estado a u de movimiento. Por ejemplo, si dejamos en el aire un objeto en reposo ´ste no e permanecer´ en tal estado, sino que caer´, y esto no es una violaci´n de la ley a a o de Newton. Lo que sucede es que el cuerpo no est´ libre de acciones externas, a sino que sufre la acci´n de la gravedad terrestre. La segunda ley de Newton o afirma que la acci´n que un cuerpo ejerce sobre otro se traduce siempre en o una aceleraci´n sobre el mismo. M´s detalladamente, a dicha acci´n se le puede o a o asociar un vector llamado fuerza, de modo que si sumamos todas las fuerzas que produce sobre un cuerpo cada uno de los cuerpos externos que le influyen, el vector fuerza resultante es el producto de una constante, llamada masa inercial del cuerpo, por la aceleraci´n que experimenta. o Ahora vamos a estudiar qu´ consecuencias tiene la rotaci´n de la tierra en e o el movimiento de los objetos. En general, consideremos los vectores i = (cos ωt, sen ωt, 0), j = (− sen ωt, cos ωt, 0), k = (0, 0, 1). En cada instante t, estos vectores forman una base ortonormal positivamente orientada (notar que k = i ∧ j ). Podemos suponer que hemos fijado un sistema de referencia inercial con origen en el centro de la tierra y que k apunta hacia el norte. Si ω es la velocidad angular de la Tierra, es decir, π/12 radianes por hora, entonces los tres vectores se mueven con la Tierra, y est´n en reposo respecto a a ella. Consideremos un objeto de masa m que se mueve seg´ n la trayectoria x(t). u Esto significa que la fuerza resultante que act´a sobre ´l en cada instante t es u e 4.3. Curvas parametrizables 189 F = mx . Expresemos x(t) = xr (t)i(t) + yr (t)j (t) + zr (t)k. As´ (xr , yr , zr ) son las coordenadas del m´vil respecto a un sistema de refeı, o rencia relativo a la Tierra. Derivemos: x = Vr − ωyr i + ωxr j = Vr + ωk ∧ x, donde Vr = xr i + yr j + zr k es la velocidad relativa del m´vil. Volvemos a derivar: o x = Ar + ωk ∧ Vr + ωk ∧ x = Ar + 2ωk ∧ Vr + ω 2 k ∧ (k ∧ x), donde Ar = xr i + yr j + zr k es la aceleraci´n relativa. Multiplicamos por la o masa m del m´vil y despejamos o mAr = F + 2mωVr ∧ k + mω 2 (k ∧ x) ∧ k. ´ Esta es la expresi´n de la segunda ley de Newton en un sistema de referencia o en rotaci´n con velocidad angular constante. La masa de un objeto por la o aceleraci´n que experimenta no es la resultante de las fuerzas que act´an sobre o u el objeto, sino la suma de esta resultante m´s dos “fuerzas ficticias”, llamadas a fuerza centr´ ıfuga y fuerza de Coriolis, dadas por Fcen = mω 2 (k ∧ x) ∧ k, Fcor = 2mωVr ∧ k. Se las llama fuerzas ficticias (o inerciales) porque se comportan formalmente como fuerzas que hay que sumar a las dem´s, pero que no se corresponden con a ninguna acci´n de ning´n objeto sobre el m´vil (como en el caso de la esfera o u o que se mueve sola). Si el m´vil se encuentra en la superficie de la tierra a una latitud α (el ´ngulo o a que forma con el ecuador) entonces la fuerza centr´ ıfuga tiene la direcci´n y o el sentido de x, es decir, apunta hacia arriba (recordemos que el origen de coordenadas est´ en el centro de la Tierra) y su m´dulo es mω 2 R cos α, donde a o R es el radio de la Tierra, luego es nula en los polos y m´xima en el ecuador. a Para hacernos una idea de su intensidad, sobre un cuerpo de 1kg de masa act´a una fuerza centr´ u ıfuga de 1 · (7,29 · 10−5 )2 6,3 · 106 ≈ 0,03N, mientras1 que su peso es de 9,8N , unas 326 veces mayor. Por consiguiente la fuerza centr´ ıfuga es generalmente despreciable. Si la Tierra girara mucho m´s a r´pido los cuerpos pesar´ menos por causa de esta fuerza y llegado a un punto a ıan podr´ salir despedidos hacia el cielo. ıan La fuerza de Coriolis s´lo act´a sobre cuerpos en movimiento respecto a la o u Tierra. Por ejemplo, si un cuerpo cae su velocidad Vr apunta al centro de la 1 La unidad de fuerza es el Newton. Un Newton es la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1Kg de masa le produce una aceleraci´n de 1m/s2 . o 190 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a Tierra y Vr ∧ k apunta hacia el este, por lo que los cuerpos que caen sufren una desviaci´n hacia el este, nula en los polos y m´xima en el ecuador. o a Si el movimiento se realiza sobre la superficie de la Tierra observamos que k apunta hacia el exterior de la misma en el hemisferio norte y hacia el interior en el hemisferio sur, por lo que Vr ∧ k apunta hacia la derecha de Vr en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Si descomponemos esta fuerza en dos vectores, uno en la direcci´n del centro de la Tierra y otro tangente a la o misma, la gravedad hace inadvertible la primera componente, pero la segunda ´ es apreciable. Esta es nula en el ecuador y m´xima en los polos. Puesto que se a dirige siempre hacia el mismo lado, la fuerza de Coriolis hace girar los objetos, y se pone de manifiesto en los l´ ıquidos y gases, por ejemplo, el agua que cae por un desag¨e gira en sentido horario en el hemisferio norte, en sentido antihorario u en el hemisferio sur y no gira en las proximidades del ecuador. Tambi´n puede e apreciarse su efecto sobre un p´ndulo suficientemente largo y pesado (p´ndulo e e de Foucault). *Longitud de arcos no eucl´ ıdeos Veamos ahora c´mo se generalizan los o resultados sobre longitud de arcos a las geometr´ hiperb´lica y el´ ıas o ıptica. Comencemos por la primera. Consideremos un arco X (t) = x(t), y (t), z (t) en el plano proyectivo P2 (R) contenido en el interior de una c´nica de ecuaci´n o o f (X, X ) = 0. Llamamos s(t) a la longitud de arco que queremos definir. Lo haremos determinando su derivada como en el caso eucl´ ıdeo. La idea central es que si d representa la distancia hiperb´lica entre dos puntos, entonces o d X (t + h), X (t) s(t + h) − s(t) ≈ , h |h| y la aproximaci´n ser´ mejor cuanto menor sea h, pues si X es derivable se parece o a a una recta alrededor de X (t), luego el l´ ımite cuando h → 0 en el cociente de la izquierda nos dar´ la derivada de s. Para calcular este l´ a ımite usaremos que senh v =1 v →0 v l´ ım y que senh d(X, Y ) = f 2 (X, Y ) − f (X, X )f (Y, Y ) . f (X, X )f (Y, Y ) As´ pues, ı ds 1 = l´ ım h→0 |h| dt f 2 X (t), X (t + h) − f X (t), X (t) f X (t + h), X (t + h) . f X (t), X (t) f X (t + h), X (t + h) Sea X (t + h) = X (t) + ∆X (t, h). Usando que f es bilineal la expresi´n o anterior se simplifica: ds dt = 1 h→0 |h| l´ ım f 2 (X, ∆X ) − f (X, X )f (∆X, ∆X ) f (X, X ) f (X, X ) + 2f (X, ∆X ) + f (∆X, ∆X ) 4.3. Curvas parametrizables = = 191 f 2 (X, ∆X ) − f (X, X )f ( ∆X , ∆X ) h h h f (X, X ) f (X, X ) + 2f (X, ∆X ) + f (∆X, ∆X ) l´ ım h→0 f 2 (X, X ) − f (X, X )f (X , X ) . f 2 (X, X ) Vamos a particularizar esta f´rmula para el caso del plano de Klein, es decir, o tomando como f la circunferencia unidad f (X1 , X2 ) = z1 z2 − x1 x2 − y1 y2 y el arco de la forma X (t) = x(t), y (t), 1 , de modo que X (t) = x (t), y (t), 0 . El resultado es: ds dt 2 = (xx − yy )2 + (1 − x2 − y 2 )(x 2 + y 2 ) . (1 − x2 − y 2 )2 Operando y multiplicando por dt2 obtenemos una expresi´n para el elemento o de longitud hiperb´lica en el plano de Klein: o ds2 = dx2 + dy 2 − (x dy − y dx)2 , (1 − x2 − y 2 )2 que ha de entenderse como una ecuaci´n funcional, para cada punto t, entre o la diferencial de la longitud de arco ds(t) y las diferenciales dx(t), dy (t) de las funciones coordenadas del arco. Formalmente, si X : [a, b] −→ R2 , definimos s(t) como la integral desde a hasta t de la ra´ cuadrada del miembro derecho ız de la igualdad anterior, con lo que obtenemos una funci´n que satisface dicha o relaci´n. Informalmente ds as´ calculado es el incremento infinitesimal que exo ı perimenta la longitud de arco cuando el par´metro se incrementa en dt y la a integral de ds nos da el incremento completo de la longitud de arco entre dos l´ ımites dados. Observemos que la longitud hiperb´lica es invariante por isometr´ o ıas. En efecto, a cada arco X : [a, b] −→ R2 le hemos asociado la funci´n s determinada o por s(a) = 0 y d X (t + h), X (t) ds = l´ ım h→0 dt |h| y es obvio que el miembro derecho es invariante por isometr´ ıas. La expresi´n que hemos obtenido no es muy manejable, y las integrales a que o da lugar resultan complicadas. Las coordenadas polares nos dan una expresi´n o m´s sencilla. Si diferenciamos (x, y ) = (r cos θ, r sen θ) y sustituimos en la a expresi´n de ds obtenemos o ds2 = dr2 r2 + dθ2 . (1 − r2 )2 1 − r2 Si un punto se encuentra a una distancia hiperb´lica ρ del centro del plano o de Klein, la distancia eucl´ ıdea es r = tanh ρ. Al diferenciar esta relaci´n y o 192 Cap´ ıtulo 4. C´lculo diferencial de varias variables a sustituir en la expresi´n anterior obtenemos el elemento de longitud hiperb´lico o o en coordenadas polares hiperb´licas, que resulta ser o ds2 = dρ2 + senh2 ρ dθ2 , (4.6) relaci´n an´loga a (4.3). o a Por ejemplo, consideremos una circunferencia cuyo centro coincida con el del plano de Klein y de radio (hiperb´lico) r. Entonces su longitud hiperb´lica es o o 2π senh r dθ = 2π senh r. 0 Observemos que si el radio es peque˜o la longitud es aproximadamente la n eucl´ ıdea 2πr. La f´rmula (4.6) es intr´ o ınseca, en el sentido de que las coordenadas (ρ, θ) de un punto P representan la distancia hiperb´lica de P a un punto fijo O y el o − − → a ´ngulo de la semirrecta OP con una semirrecta fija de origen O, y nada de esto depende del plano de Klein. Por lo tanto la f´rmula ha de ser v´lida tambi´n o a e en el c´ ırculo de Poincar´. La relaci´n entre la distancia eucl´ e o ıdea r y la distancia hiperb´lica ρ de un punto P al punto 0 en el c´ o ırculo de Poincar´ es e ρ = log 1+r , 1−r de donde 2r 2dr , dρ = . 2 1−r 1 − r2 Por consiguiente, el elemento de longitud en coordenadas polares (eucl´ ıdeas) en el c´ ırculo de Poincar´ resulta ser e √ dr2 + r2 dθ2 ds = 2 . 1 − r2 senh ρ = Seg´n (4.3), el numerador es el elemento de longitud eucl´ u ıdea en coordenadas polares. Si usamos la notaci´n compleja para el arco z (t) = x(t) + i y (t) y o llamamos |dz | = dx2 + dy 2 al elemento de longitud eucl´ ıdea, entonces tenemos ds = 2 |dz | . 1 − |z |2 Esta expresi´n diferencial muestra la naturaleza de la distancia hiperb´lica o o mucho m´s claramente que la f´rmula de la distancia entre dos puntos. Vemos a o que la distancia hiperb´lica es infinitesimalmente la eucl´ o ıdea dividida entre el factor m´s simple posible que hace que se “dilate” al acercarnos al borde del a c´ ırculo de radio 1, de modo que las peque˜as distancias eucl´ n ıdeas son cada vez m´s grandes desde el punto de vista hiperb´lico. La expresi´n tambi´n es muy a o o e clara en el semiplano de Poincar´. La transformaci´n circular e o z= iw + 1 w+i 4.3. Curvas parametrizables 193 convierte el c´ ırculo |z | < 1 en el semiplano Im w > 0. Se comprueba2 que dz = −2 dw , (w + i)2 |dz | = 2 |dw| , |w + i|2 De todo esto resulta ds = 1 − |z |2 = 4y . |w + i|2 |dw| , y es decir, que el elemento de longitud hiperb´lico en el semiplano de Poincar´ es o e el eucl´ ıdeo dividido entre la parte imaginaria, de modo que cuando ´sta tiende e a 0 las longitudes tienden a infinito. Todos los argumentos anteriores valen igualmente para la geometr´ el´ ıa ıptica, partiendo ahora de una c´nica imaginaria f (X1 , X2 ). La unica diferencia es un o ´ signo en la f´rmula o sen d(X, Y ) = −f 2 (X, Y ) + f (X, X )f (Y, Y ) , f (X, X )f (Y, Y ) debido a que la relaci´n fundamental entre los senos y cosenos circulares difiere o en un signo respecto a la hiperb´lica. Como consecuencia llegamos a o ds dt 2 = −f 2 (X, X ) + f (X, X )f (X , X ) . f 2 (X, X ) En el modelo esf´rico, o sea, si suponemos f (X1 , X2 ) = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 e y f (X, X ) = 1, al derivar respecto de t queda f (X, X ) = 0, y la expresi´n se o reduce a 2 ds = f (X , X ) = x 2 + y 2 + z 2 , dt es decir, ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 , luego la longitud el´ ıptica de un arco contenido en la esfera unitaria coincide con su longitud eucl´ ıdea. En coordenadas polares el´ ıpticas: (x, y, z ) = (sen ρ cos θ, cos ρ sen θ, sen θ), la expresi´n es o ds2 = dρ2 + sen2 ρ dθ. La longitud de una circunferencia el´ ıptica de radio (el´ ıptico) r es 2π sen r. 2 La teor´ de funciones de variable compleja justifica que es l´ ıa ıcito calcular dz derivando la expresi´n anterior como si w fuera una variable real y tratando las constantes imaginarias o como constantes reales. Nosotros no hemos probado esto, por lo que el lector puede, si lo desea, hacer los c´lculos en t´rminos de las dos variables reales x, y , pero est´ avisado de que a e a llegar´ al mismo resultado. a Cap´ ıtulo V Introducci´n a las o variedades diferenciables En este cap´ ıtulo aplicaremos el c´lculo diferencial al estudio de las superfia cies. Si bien todos los ejemplos que consideraremos ser´n bidimensionales, la a mayor parte de la teor´ la desarrollaremos sobre un concepto general de “suıa perficie de n dimensiones”. La idea b´sica es que una superficie es un espacio a topol´gico que localmente se parece a un plano. El ejemplo t´ o ıpico es la superficie terrestre: tenemos que alejarnos mucho de ella para darnos cuenta de que no es plana, sino esf´rica. Una definici´n topol´gica que recoja estas ideas ser´ la e o o ıa siguiente: Un subconjunto S de Rn es una superficie si para cada punto p ∈ S existe un entorno V de p, un abierto U en R2 y un homeomorfismo X : U −→ V ∩ S . Es decir, S es una superficie si alrededor de cada punto es homeomorfa a un abierto de R2 . Notar que no pedimos que S sea homeomorfa a un abierto de R2 , sino s´lo que lo sea alrededor de cada punto. Basta pensar en una esfera o para comprender la importancia de este hecho. Una esfera no es homeomorfa a un abierto de R2 , pero un peque˜o trozo de esfera es como un trozo de plano n abombado, homeomorfo a un trozo de plano “llano”. Sin embargo nosotros estamos interesados en superficies diferenciables, en el sentido de que se parezcan a planos afines alrededor de cada punto. Podr´ pensarse que para conseguir esto ıa bastar´ exigir que el homeomorfismo X sea diferenciable, pero no es as´ Por ıa ı. ejemplo, pensemos en X (u, v ) = u3 , v, |u3 | . La aplicaci´n X es diferenciable, o y es un homeomorfismo entre R2 y un conjunto S ⊂ R3 cuya forma es la de una hoja de papel doblada por la mitad. Alrededor de los puntos de la forma (0, v, 0) no se parece a ning´n plano, sino que u tiene un “pico”. Si la Tierra tuviera esta forma no necesitar´ ıamos alejarnos de ella para darnos cuenta de que estar´ “doblada”. ıa 195 196 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o La raz´n es que dX (0, b) = (0, dv (0, b), 0), de modo que alrededor de un o punto (0, b) la funci´n X se parece a la aplicaci´n af´ f (u, v ) = (0, v, 0), cuya o o ın imagen es la recta x = z = 0. As´ pues, aunque topol´gicamente la imagen de ı o X es homeomorfa a un plano, desde el punto de vista del c´lculo diferencial la a imagen de X alrededor de un punto (0, y, 0) se parece a la recta x = z = 0, y no a un plano. Para evitar esto hemos de exigir que la imagen de dX (u, v ) sea un plano y no una recta. Esto es tanto como decir que la matriz jacobiana tenga rango 2. 5.1 Variedades Definici´n 5.1 Un conjunto S ⊂ Rm es una variedad diferenciable de dio mensi´n n ≤ m y de clase C q si para cada punto p ∈ S existe un entorno o V de p, un abierto U en Rn y una funci´n X : U −→ Rm de clase C q de modo o que el rango de la matriz JX sea igual a n en todo punto y X : U −→ S ∩ V sea un homeomorfismo. Una aplicaci´n X en estas condiciones se llama carta o de S alrededor de p. En lo sucesivo supondremos que las variedades con las que trabajamos son de clase C q para un q suficientemente grande como para que existan las derivadas que consideremos (y sean continuas). Rara vez nos har´ falta suponer q > 3, a aunque de hecho todos los ejemplos que consideraremos ser´n de clase C ∞ . a La palabra “carta” hay que entenderla en el sentido de “mapa”. En efecto, podemos pensar en U como un mapa “plano” de una regi´n de S , y la aplicaci´n o o X es la que hace corresponder cada punto del mapa con el punto real que representa. S X U Alternativamente, podemos pensar en X −1 como una aplicaci´n que asigna o a cada punto p ∈ S ∩ V unas coordenadas x = (x1 , . . . , xn ) ∈ U ⊂ Rn , de forma an´loga a los sistemas de coordenadas en un espacio af´ 1 Dentro de poco a ın. ser´ equivalente trabajar con cartas o con sistemas de coordenadas, pero por el a momento podemos decir que las cartas son diferenciables y en cambio no tiene sentido decir que las funciones coordenadas lo sean, pues no est´n definidas a sobre abiertos de Rm . 1 Etimol´gicamente, una “variedad” no es m´s que un conjunto cuyos elementos vienen o a determinados por “varias” coordenadas. En los resultados generales llamaremos x1 , . . . , xn a las coordenadas para marcar la analog´ con Rn , aunque en el caso de curvas seguiremos ıa usando la variable t (o s si la parametrizaci´n es la natural) y en el caso de superficies S ⊂ R3 o usaremos x, y , z para las coordenadas en R3 y u, v para las coordenadas en S . 5.1. Variedades 197 Ejemplo Todo abierto U en Rn es una variedad diferenciable de dimensi´n n o y clase C ∞ . Basta tomar como carta la identidad en U . De este modo, todos los resultados sobre variedades valen en particular para Rn y sus abiertos. Ejercicio: Refinar el argumento del teorema 2.21 para concluir que dos puntos cualesquiera de una variedad conexa S de clase C q pueden ser unidos por un arco de clase C q contenido en S . El teorema siguiente proporciona una clase importante de variedades diferenciables, pues a continuaci´n vemos que toda variedad es localmente de este o tipo. Teorema 5.2 Sea f : U ⊂ Rn −→ Rk una aplicaci´n de clase C q sobre un o o abierto U y X : U −→ Rn+k la aplicaci´n dada por X (x) = x, f (x) . Entonces X [U ] es una variedad diferenciable de dimensi´n n y clase C q . o ´ Demostracion: Basta observar que X es obviamente un homeomorfismo en su imagen (su inversa es una proyecci´n) y JX (x) contiene una submatriz o de orden n igual a la identidad, luego su rango es n. La definici´n se satisface o tomando V = Rn+k . Observar que X [U ] es la gr´fica de f , luego el teorema anterior afirma que a la gr´fica de una funci´n diferenciable es siempre una variedad diferenciable. a o Ahora veamos que todo punto de una variedad diferenciable tiene un entorno en el que la variedad es la gr´fica de una funci´n. a o Teorema 5.3 Sea S ⊂ Rn+k una variedad de clase C q y de dimensi´n n. Sea o p ∈ S . Entonces existe un entorno V de p, un abierto U en Rn y una funci´n o o f : U −→ Rk de clase C q de modo que la aplicaci´n X : U −→ Rn+k dada por X (x) = x, f (x) es una carta alrededor de p. En realidad hemos de entender que las coordenadas de x y f (x) se intercalan en un cierto orden que no podemos elegir, tal y como muestra la prueba. ´ Demostracion: Sea Y : W −→ Rn+k una carta alrededor de p. Sea V un entorno de p tal que Y : W −→ S ∩ V sea un homeomorfismo. Sea t0 ∈ W el vector de coordenadas de p, es decir, Y (t0 ) = p. Puesto que JY (t0 ) tiene rango n, reordenando las funciones coordenadas de Y podemos suponer que el determinante formado por las derivadas parciales de las n primeras es no nulo. Digamos que Y (t) = Y1 (t), Y2 (t) , donde |JY1 (t0 )| = 0. Sea p1 = Y1 (t0 ). Por el teorema de inyectividad local y el teorema de la funci´n inversa, existe o un entorno abierto G ⊂ W de t0 tal que Y1 es inyectiva en G, Y1 [G] = U es o abierto en Rn y la funci´n Y1−1 : U −→ G es de clase C q . El conjunto Y [G] es un entorno abierto de p en S ∩ V , luego existe un entorno abierto V de p en Rn+k tal que Y [G] = S ∩ V ∩ V . Cambiando V por V ∩ V podemos suponer que V ⊂ V y que Y [G] = S ∩ V . a De este modo, cada punto p ∈ S ∩ V est´ determinado por sus coordenadas t ∈ G, las cuales a su vez est´n determinadas por x = Y1 (t) ∈ U , con la particua laridad de que x es el vector de las primeras componentes de p. Concretamente 198 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o p est´ formado por x y f (x) = Y2 Y1−1 (x) . La funci´n f es de clase C q en U . a o −1 De este modo, si x ∈ U y t = Y1 (x) ∈ G, tenemos que X (x) = x, f (x) = Y1 (t), Y2 (t) = Y (t) ∈ S ∩ V . Rec´ ıprocamente, si (x, y ) ∈ S ∩ V , entonces x = Y1 (t), y = Y2 (t) para un cierto t ∈ G, luego (x, y ) = x, f (x) = X (x). En definitiva tenemos que X : U −→ S ∩ V es biyectiva. Su inversa es la proyecci´n en las primeras o componentes, luego X es un homeomorfismo. En las condiciones de la prueba anterior, sea π : Rm −→ Rn la proyecci´n o o en las n primeras componentes y g : V −→ G la aplicaci´n dada por g (x) = Y1−1 π (x) . Notemos que si x ∈ V entonces π (x) ∈ U , luego g est´ bien definida a y es de clase C q . Si t ∈ G entonces g Y (t) = g Y1 (t), Y2 (t) = Y1−1 Y1 (t) = t, luego (Y |G )−1 es la restricci´n a V ∩ S de g . Con esto hemos probado: o Teorema 5.4 Sea Y : U −→ S ⊂ Rm una carta de una variedad diferenciable de dimensi´n n y clase C q . Para cada punto t ∈ U existe un entorno G ⊂ U o de t, un entorno V de Y (t) y una aplicaci´n g : V −→ G de clase C q tal que o (Y |G )−1 = g |V ∩S . De aqu´ se sigue una propiedad fundamental de las cartas: ı Teorema 5.5 Sea S ⊂ Rm una variedad diferenciable de dimensi´n n y de o clase C q . Sea p ∈ S y X : U −→ S ∩ V , Y : U −→ S ∩ V dos cartas alrededor de p. Sean V0 = V ∩ V , U0 = X −1 [V0 ], U0 = Y −1 [V0 ]. Entonces la aplicaci´n o X ◦ Y −1 : U0 −→ U0 es biyectiva, de clase C q y con determinante jacobiano no nulo, con lo que su inversa es tambi´n de clase C q . e ´ Demostracion: Si t ∈ U0 , por el teorema anterior existe una funci´n g de o clase C q definida en un entorno de X (t) de modo que X ◦ Y −1 = X ◦ g (en un entorno de t), luego X ◦ Y −1 es de clase C q en un entorno de t, luego en todo U0 . Lo mismo vale para su inversa Y ◦ X −1 , luego la regla de la cadena nos da que sus diferenciales son mutuamente inversas, luego los determinantes jacobianos son no nulos. Veremos ahora otro ejemplo importante de variedades diferenciables. Primeramente consideraremos el caso lineal al cual generaliza. Ejemplo Una variedad af´ de dimensi´n n en Rm es tambi´n una variedad ın o e diferenciable de la misma dimensi´n y de clase C ∞ . En efecto, una tal variedad o est´ formada por los puntos que satisfacen un sistema de m − n ecuaciones a lineales linealmente independientes. Esto implica que la matriz de coeficientes del sistema tiene un determinante de orden m − n no nulo, luego agrupando adecuadamente las variables podemos expresar el sistema como xA + yB = c, donde x ∈ Rn , y ∈ Rm−n , |B | = 0, luego podemos despejar y = f (x) = 5.1. Variedades 199 (c − xA)B −1 , donde la funci´n f es obviamente de clase C ∞ . Esto significa que o la variedad lineal est´ formada por los puntos (x, y ) tales que y = f (x), luego a es la gr´fica de f y por consiguiente es una variedad de clase C ∞ . a Ahora probamos que las soluciones de un sistema de k = m − n ecuaciones diferenciables con m inc´gnitas constituyen una variedad de dimensi´n n supuesto o o que se cumpla una condici´n de independencia similar a la independencia lineal o que exig´ ıamos en el ejemplo anterior. Definici´n 5.6 Si f : A ⊂ Rn+k −→ Rk es diferenciable en (x, y ) ∈ A, donde o x ∈ Rn , y ∈ Rk , definimos ∂ (f1 · · · fk ) (x, y ) = ∂ (y1 · · · yk ) Dn+1 f1 (x, y ) . . . ··· Dn+1 fk (x, y ) . . . . Dn+k f1 (x, y ) · · · Dn+k fk (x, y ) Teorema 5.7 (Teorema de la funci´n impl´ o ıcita) Consideremos una aplicaci´n f : A ⊂ Rn+k −→ Rk de clase C q en el abierto A, con q ≥ 1. Sea o (x0 , y 0 ) ∈ A tal que f (x0 , y 0 ) = 0 y supongamos que ∂ (f1 · · · fk ) 0 0 (x , y ) = 0. ∂ (y1 · · · yk ) Entonces existen abiertos V ⊂ A, U ⊂ Rn de modo que (x0 , y 0 ) ∈ A, x0 ∈ U y una funci´n g : U −→ Rk de clase C q tal que o {(x, y ) ∈ V | f (x, y ) = 0} = {(x, y ) ∈ Rn+k | x ∈ U, y = g (x)}. ´ Demostracion: Sea F : A −→ Rn+k la funci´n F (x, y ) = (x, f (x, y )). Sus o a funciones coordenadas son las proyecciones en las componentes de Rn m´s las funciones coordenadas de f , luego F es de clase C q . Su determinante jacobiano es 1 ··· 0 D1 f1 (x, y ) ··· D1 fk (x, y ) . . . . . . . . . . . . 0 ··· 1 Dn f1 (x, y ) ··· Dn fk (x, y ) 0 . . . ··· 0 . . . Dn+1 f1 (x, y ) . . . ··· Dn+1 fk (x, y ) . . . 0 · · · 0 Dn+k f1 (x, y ) · · · Dn+k fk (x, y ) , que claramente coincide (salvo signo) con ∂ (f1 · · · fk ) (x, y ). ∂ (y1 · · · yk ) As´ |JF (x0 , y 0 )| = 0. Por el teorema de inyectividad local existe un entorno ı V de (x0 , y 0 ) donde F es inyectiva y su determinante jacobiano no se anula. Por 200 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o el teorema de la funci´n inversa tenemos que W = F [V ] es abierto en Rn+k y o la funci´n G = F −1 : W −→ V es de clase C q . o Podemos expresar G(x, y ) = G1 (x, y ), G2 (x, y ) . Claramente G1 y G2 son ambas de clase C q . Si (x, y ) ∈ W , entonces (x, y ) = F G(x, y ) = F G1 (x, y ), G2 (x, y ) = G1 (x, y ), f G(x, y ) , luego G1 (x, y ) = x, con lo que en general G(x, y ) = x, G2 (x, y ) . Definimos U = {x ∈ Rn | (x, 0) ∈ W }. Es claro que se trata de un abierto. Adem´s, F (x0 , y 0 ) = (x0 , 0) ∈ W , luego x0 ∈ U . Definimos g : U −→ Rk a mediante g (x) = G2 (x, 0). Claramente g es de clase C q . Tomemos ahora x ∈ U e y = g (x). Hemos de probar que (x, y ) ∈ V y f (x, y ) = 0. En efecto, por definici´n de U es (x, 0) ∈ W , luego G(x, 0) ∈ V , o pero G(x, 0) = x, G2 (x, 0) = x, g (x) = (x, y ). Adem´s (x, 0) = F G(x, 0) = F (x, y ) = x, f (x, y ) , luego f (x, y ) = 0. a Rec´ ıprocamente, si (x, y ) ∈ V y f (x, y ) = 0 entonces F (x, y ) = x, f (x, y ) = (x, 0) ∈ W, luego x ∈ U y (x, y ) = G F (x, y ) = G(x, 0) = x, G2 (x, 0) = x, g (x) , con lo que g (x) = y . Lo que afirma este teorema es que si S = {x ∈ Rn+k | f (x) = 0} es un conjunto determinado por un sistema de k ecuaciones de clase C q y p ∈ S cumple la hip´tesis entonces V ∩ S = X [U ], donde X (x) = (x, g (x)), de donde o se sigue que X cumple las condiciones para ser una carta de S alrededor de p. Si la hip´tesis se cumple en todo punto entonces S es una variedad diferenciable o de dimensi´n n. o Por ejemplo, si f (x, y, z ) = x2 + y 2 + z 2 − r2 , entonces el conjunto S es una esfera. Para comprobar que se trata de una superficie de clase C ∞ basta comprobar que en cada punto al menos una de las derivadas ∂f = 2x, ∂x ∂f = 2y, ∂y ∂f = 2z, ∂z es no nula, pero las tres s´lo se anulan simult´neamente en (0, 0, 0), que no es o a un punto de S , luego, efectivamente, la esfera es una superficie diferenciable. Es importante observar que la derivada que no se anula no siempre es la misma. Por ejemplo, en el polo norte (0, 0, r) la unica derivada que no se anula ´ es la de z , luego en un entorno podemos expresar z como funci´n z (x, y ). Cono 2 − x2 − y 2 . Similarmente, la porci´n de esfera alrededor cretamente, z = r o del polo sur es la gr´fica de la funci´n z = − r2 − x2 − y 2 . En cambio, alredea o dor de (r, 0, 0) la esfera no es la gr´fica de ninguna funci´n z (x, y ). Es f´cil ver a o a que dado cualquier entorno U de (r, 0, 0) y cualquier entorno V de (r, 0) siempre hay puntos (x, y ) en U para los cuales hay dos puntos distintos (x, y, ±z ) en U 5.1. Variedades 201 (con lo que (x, y ) deber´ tener dos im´genes) y puntos (x, y ) con x2 + y 2 > r2 ıa a para los que no existe ning´n z tal que (x, y, z ) ∈ U . Sin embargo, alrededor de u este punto la esfera es la gr´fica de la funci´n x = r2 − y 2 − z 2 . a o El mismo argumento prueba en general que la esfera de dimensi´n n o S n = {x ∈ Rn+1 | x 2 2 = 1} es una variedad diferenciable. Ejemplo: superficies de revoluci´n Sea C una variedad diferenciable de o dimensi´n 1 en R2 . Supongamos que todos sus puntos (x, z ) cumplen x > 0. o Llamaremos superficie de revoluci´n generada por C al conjunto o S = (x, y, z ) ∈ R3 | x2 + y 2 , z ∈ C . El conjunto S est´ formado por todos los puntos que resultan de girar ala rededor del eje Z los puntos de C . Vamos a ver que se trata de una variedad diferenciable de dimensi´n 2. o 2 Tomemos (x0 , y0 , z0 ) ∈ S y x0 = x2 + y0 . Entonces (¯0 , z0 ) ∈ C . Sea ¯ x 0 α(u) = r(u), z (u) una carta de C alrededor de este punto, digamos r(u0 ) = x0 , ¯ o x z (u0 ) = z0 . Por definici´n existe un entorno V0 de u0 y un entorno U0 de (¯0 , z0 ) de modo que C ∩ U0 = α[V0 ]. Sea X (u, v ) = r(u) cos v, r(u) sen v, z (u) , (u, v ) ∈ V0 × R. Claramente X es diferenciable (de la misma clase que α) y su matriz jacobiana es r (u) cos v r (u) sen v z (u) JX (u, v ) = . −r(u) sen v r(u) cos v 0 El menor formado por las dos primeras columnas es r(u)r (u). Por hip´tesis o r no se anula y, por ser α una carta, su matriz jacobiana (r , z ) no puede ser nula tampoco, luego si r (u) = 0, entonces z (u) = 0, luego uno de los menores r(u)z (u) sen v o −r(u)z (u) cos v es no nulo. En cualquier caso el rango de JX es 2. Es claro que existe un v0 ∈ R tal que X (u0 , v0 ) = (x0 , y0 , z0 ). La aplicaci´n o X no es inyectiva, pero s´ lo es su restricci´n a V = V0 × ]v0 − π, v0 + π [. Veamos ı o que es una carta para el punto dado. Sea U = {(x cos v, x sen v, z ) | (x, z ) ∈ U0 , |v − v0 | < π }. Sin la restricci´n sobre v , el conjunto U ser´ la antiimagen de U0 por la o ıa x2 + y 2 , z . En realidad U es la intersecci´n o aplicaci´n continua (x, y, z ) → o de este abierto con el complementario del semiplano formado por los puntos (x cos v0 , x sen v0 , z ), con x ≥ 0, que es un cerrado, luego U es abierto. Es f´cil a ver que X [V ] = U ∩ S . Falta probar que X −1 es continua, ahora bien, dado (x, y, z ) ∈ U ∩ S podemos obtener su coordenada u como u = α−1 ( x2 + y 2 , z ), que es una aplicaci´n continua, y su coordenada v se obtiene aplicando a o 202 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o x/r(u), y/r(u) la inversa del homeomorfismo v → (cos v, sen v ) definido para |v − v0 | < π . Por lo tanto X |V es una carta alrededor de (x0 , y0 , z0 ). Si la variedad C es cubrible por una unica carta r(u), z (u) , lo que se traduce ´ en que C es una curva regular, entonces tenemos una unica funci´n X , de modo ´ o que todo punto de S admite como carta a una restricci´n de X . Expresaremos o esto diciendo simplemente que X es una carta de S . Las l´ ıneas de la forma X (u, v0 ) y X (u0 , v ), donde u0 y v0 son constantes, se llaman meridianos y paralelos de la superficie S . Los paralelos son siempre circunferencias paralelas entre s´ los meridianos son giros de la curva C . ı, Los ejemplos m´s simples de superficies de revoluci´n se obtienen al girar a o una recta. Si ´sta es paralela al eje de giro obtenemos un cilindro, y en caso e contrario un cono. En el caso del cono hemos de considerar en realidad una semirrecta abierta r(u), z (u) = (mu, u), para u > 0, pues para u = 0 tenemos el v´rtice del cono, donde S no es diferenciable. Una carta del cilindro es e X (u, v ) = (r cos v, r sen v, u), y para el cono tenemos X (u, v ) = (mu cos v, mu sen v, u). Las figuras muestran algunos de los meridianos y paralelos del cilindro y el cono. Los meridianos son rectas y los paralelos circunferencias. Un caso m´s sofisticado aparece al girar una circunferencia de radio r cuyo a centro est´ a una distancia R del eje Z , es decir, tomando e r(u), z (u) = (R + r cos u, r sen u), con 0 < r < R. Todo punto de la circunferencia admite como carta a una restricci´n de o esta curva. As´ obtenemos un tubo de secci´n circular cerrado sobre s´ mismo. ı o ı Recibe el nombre de toro.2 En este caso X (u, v ) = (R cos v + r cos u cos v, R sen v + r cos u sen v, r sen u). 2 Del lat´ torus, que es el nombre dado en arquitectura a los salientes tubulares de las ın columnas. Obviamente no tiene nada que ver con taurus, el animal del mismo nombre en castellano. 5.2. Espacios tangentes, diferenciales 203 Obviamente X es de clase C ∞ . Su restricci´n a ]0, 2π [ × ]0, 2π [ es inyectiva o y cubre todos los puntos del toro excepto los de las circunferencias u = 0 y v = 0. Si llamamos U al complementario de la uni´n de estas dos circunferencias o tenemos un abierto en R3 , y es claro que con ´l se cumple la definici´n de e o variedad. Igualmente se prueba que la restricci´n a ]−π, π [ × ]−π, π [ constituye o una carta para los puntos exceptuados. As´ pues, el toro es una superficie ı diferenciable de clase C ∞ . Sus meridianos son circunferencias de radio r. La esfera menos dos puntos ant´ ıpodas puede considerarse como la superficie de revoluci´n generada por la semicircunferencia (r sen φ, r cos φ), para o φ ∈ ]0, π [. La carta correspondiente es X (φ, θ) = (r sen φ cos θ, r sen φ sen θ, r cos φ), φ ∈ ]0, π [ , θ ∈ ]0, 2π [ . Si p = X (φ, θ) entonces θ es la longitud de p en el sentido geogr´fico y φ a es la “colatitud”, es decir, el ´ngulo respecto al polo norte. Los meridianos y a paralelos coinciden con los geogr´ficos. La carta no cubre los polos, aunque a girando la esfera obtenemos otra carta similar que los cubra. Ejemplo: Producto de variedades Si S1 ⊂ Rm1 y S2 ⊂ Rm2 son variedades entonces S1 × S2 ⊂ Rm1 +m2 es tambi´n una variedad. Si X1 : U1 −→ V1 ∩ S1 e es una carta alrededor de un punto p1 ∈ S1 y X2 : U2 −→ V2 ∩ S2 es una carta alrededor de p2 ∈ S2 , entonces X1 × X2 : U1 × U2 −→ (V1 × V2 ) ∩ (S2 × S2 ) dada por (X1 × X2 )(u1 , u2 ) = X1 (u1 ), X2 (u2 ) es una carta alrededor de (p1 , p2 ). Sean πi : S1 × S2 −→ Si las proyecciones. Si la carta X1 tiene coordenadas x1 , . . . , xn1 y la carta X2 tiene coordenadas y1 , . . . , yn2 , entonces las coordenadas de X1 × X2 son las funciones π1 ◦ xi y π2 ◦ yi , a las que podemos seguir llamando o xi e yi sin riesgo de confusi´n. 5.2 Espacios tangentes, diferenciales Al principio de la secci´n anterior anticip´bamos que los sistemas de cooro a denadas en una variedad son un an´logo a los sistemas de coordenadas en un a espacio af´ La diferencia principal es que en el caso af´ las coordenadas est´n ın. ın a definidas sobre todo el espacio, mientras que en una variedad las tenemos definidas s´lo en un entorno de cada punto. En esta secci´n desarrollaremos esta o o analog´ mostrando que toda variedad diferenciable se confunde en un entorno ıa de cada punto con una variedad af´ Para empezar, si p es un punto de una ın. variedad S , X es una carta alrededor de p y x es su sistema de coordenadas 204 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o asociado, sabemos que en un entorno de x(p) el punto X (x) se confunde con p + dX x(p) x − x(p) , con lo que los puntos de S se confunden con los de p + dX x(p) [Rn ]. Definici´n 5.8 Sea S ⊂ Rm una variedad diferenciable de dimensi´n n y sea o o X : U −→ S una carta alrededor de un punto p ∈ S . Sea x ∈ U tal que X (x) = p. Llamaremos espacio tangente a S en p a la variedad lineal Tp (S ) = dX (x)[Rn ]. Llamaremos variedad tangente a S por p a la variedad af´ p + Tp (S ). ın Puesto que JX (x) tiene rango n, es claro que las variedades tangentes tienen dimensi´n n. El teorema 5.5 prueba que el espacio tangente no depende de la o carta con la que se construye, pues si X e Y son dos cartas alrededor de p, digamos X (x) = Y (y ) = p, sabemos que g = X ◦ Y −1 es diferenciable en un entorno de x y X = g ◦ Y , luego dX (x) = dg (x) ◦ dY (y ), luego dX (x) y dY (y ) tienen la misma imagen (pues dg (x) es un isomorfismo). El teorema siguiente muestra m´s expl´ a ıcitamente que Tp (S ) s´lo depende de S . o Teorema 5.9 Sea S ⊂ Rm una variedad diferenciable de dimensi´n n. Eno tonces Tp (S ) est´ formado por el vector nulo m´s los vectores tangentes en p a a a todas las curvas regulares que pasan por p contenidas en S . ´ Demostracion: Sea X : U −→ S una carta alrededor de p. Podemos suponer que es de la forma X (x) = x, f (x) , para una cierta funci´n diferenciable f . o Sea X (p1 ) = p. Sea v ∈ Rn no nulo. Consideremos la curva x(t) = p1 + tv . Para valores suficientemente peque˜os de t se cumple que x(t) ∈ V . Consideremos la n curva α(t) = X (x(t)). Claramente α est´ contenida en S y cumple α(0) = p. a Su vector tangente en p es α (0) = dX x(0) (x (0)) = dX (p1 )(v ). Esto prueba que todo vector de Tp (S ) es de la forma indicada. Rec´ ıprocamente, si α(t) es una curva regular contenida en S que pasa por p, digamos α(t0 ) = p, sea x(t) = X −1 (α(t)), definida en un entorno de t0 . Se cumple que x(t) es derivable, pues X −1 no es m´s que la restricci´n de la proyecci´n a o o π : Rm −→ Rn , que es diferenciable, luego x = α ◦ π . Tenemos α = x ◦ X , luego o α (t) = dX x(t) (x (t)). Esta relaci´n prueba que x (t) = 0 o de lo contrario tambi´n se anular´ α (t). Por lo tanto x es regular. Adem´s la tangente de α e ıa a en p es α (t0 ) = dX (p1 ) x (t0 ) ∈ Tp (S ). En la prueba de este teorema hemos visto un hecho importante: si α es una curva contenida en una variedad S y pasa por un punto p, dada una carta X : U −→ S alrededor de p, podemos trasladar a la carta el arco de curva alrededor de p, es decir, existe otra curva x en U de modo que α = x ◦ X (en un entorno de las coordenadas de p). En otras palabras, x es la representaci´n o de α en el mapa de S determinado por X . Ejercicio: Probar que el plano tangente a una gr´fica vista como variedad diferena ciable coincide con el que ya ten´ ıamos definido. 5.2. Espacios tangentes, diferenciales 205 Precisemos la interpretaci´n geom´trica de la variedad tangente. Ya hemos o e justificado que los puntos de S se confunden con los de la variedad tangente Tp (S ) en un entorno de p, pero m´s exactamente, si X es una carta alrededor a de p y x es su sistema de coordenadas, hemos visto que cada punto q ∈ S suficientemente pr´ximo a p se confunde con el punto o p + dX x(p) x(q ) − x(p) ∈ p + Tp (S ). Definici´n 5.10 Sea S ⊂ Rm , p ∈ S , sea X : U −→ V ∩ S una carta alrededor o de p y sea x su sistema de coordenadas. Llamaremos proyecci´n asociada a X o a la aplicaci´n πp : S ∩ V −→ Tp (S ) dada por πp (q ) = dX x(p) x(q ) − x(p) . o Seg´n hemos visto, la interpretaci´n geom´trica de estas proyecciones conu o e siste en que el paso q → πp (q ) es imperceptible si tomamos puntos q suficientemente pr´ximos a p. Ahora veamos que las coordenadas de q en la carta o coinciden con las coordenadas de πp (q ) asociadas a un cierto sistema de referencia af´ en Tp (S ). ın Sea X : U −→ S una carta de una variedad S . Sea X (x) = p. Entonces dX (x) : Rn −→ Tp (S ) es un isomorfismo. Por consiguiente, si e1 , . . . , en son los vectores de la base can´nica en Rn , sus im´genes dX (x)(ei ) = Di X (x) forman o a una base de Tp (S ). El espacio tangente no tiene una base can´nica pero, seg´n o u acabamos de ver, cada carta alrededor de p determina una base en Tp (S ). Es claro que si q ∈ S est´ en el entorno de p cubierto por la carta, las coordenadas a de πp (q ) en la base asociada en Tp (S ) son x(q ) − x(p), luego si con dicha base formamos un sistema de referencia af´ en p + Tp (S ) cuyo origen sea el punto ın O = p − dX x(p) x(p) , tenemos que las coordenadas de πp (q ) en este sistema son precisamente x(q ). Cuando hablemos del sistema de referencia af´ asociado ın a la carta nos referiremos a ´ste. En conclusi´n, cada punto q de un entorno e o de p en S se confunde con el punto πp (q ) de id´nticas coordenadas afines en la e variedad tangente p + Tp (S ). Ejercicio: Probar que si S1 y S2 son variedades diferenciables y (p, q ) ∈ S1 × S2 entonces T(p,q) (S1 × S2 ) = Tp (S1 ) × Tq (S2 ). Seguidamente generalizamos la noci´n de diferenciabilidad al caso de aplio caciones entre variedades cualesquiera (no necesariamente abiertos de Rn ). Definici´n 5.11 Diremos que una aplicaci´n continua f : S −→ T entre dos o o variedades es diferenciable (de clase C q ) en un punto p ∈ S si existen cartas X e Y alrededor de p y f (p) respectivamente de modo que X ◦ f ◦ Y −1 sea diferenciable (de clase C q ) en X −1 (p). El teorema 5.5 implica que la diferenciabilidad de f en p no depende de la elecci´n de las cartas X e Y , en el sentido de que si unas cartas prueban que f o es diferenciable, otras cualesquiera lo prueban igualmente. Es f´cil ver que la composici´n de aplicaciones diferenciables es diferenciable. a o Una aplicaci´n f : U −→ Rm definida en un abierto U de Rn es diferenciable o 206 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o en el sentido que ya ten´ ıamos definido si y s´lo si lo es considerando a U y a o Rm como variedades diferenciables (con la identidad como carta). o Por el teorema 5.4, si S ⊂ T ⊂ Rm son variedades diferenciables, la inclusi´n i : S −→ T es diferenciable, lo que se traduce en que las restricciones a S de las funciones diferenciables en T son funciones diferenciables en S . Es claro que todas estas propiedades valen tambi´n si sustituimos la diferene ciabilidad por la propiedad de ser de clase C q . Una aplicaci´n f : S −→ T entre dos variedades es un difeomorfismo si o es biyectiva, diferenciable y su inversa es diferenciable. Dos variedades son difeomorfas si existe un difeomorfismo entre ellas. Es obvio que las cartas de una variedad son difeomorfismos en su imagen. M´s a´n: au Teorema 5.12 Todo difeomorfismo entre un abierto de Rn y un abierto de una variedad S en Rm es una carta para S . ´ Demostracion: Sea f : U −→ W un difeomorfismo, donde W ⊂ S es abierto en S . Entonces existe un abierto V en Rm tal que f [U ] = W = V ∩ S . Obviamente df tiene rango m´ximo en cada punto, con lo que se cumple la a definici´n de carta. o En particular tenemos que las coordenadas xi : S ∩ V −→ R asociadas a una carta X son funciones diferenciables (son la composici´n de X −1 con las o proyecciones πi : Rn −→ R). Ahora definimos la diferencial de una funci´n o diferenciable. Supongamos que f : S −→ T es una aplicaci´n entre dos variedades difereno ciable en un punto p. Sean X : U −→ S e Y : W −→ T cartas alrededor de p y f (p). Digamos que U (x) = p, Y (y ) = f (p). Entonces j = X ◦ f ◦ Y −1 es diferenciable en x y tenemos las aplicaciones lineales siguientes: Tp (S ) dX (x) Tf (p) (T ) dY (y ) dj (x) Rn − − − → R m −−− Las flechas verticales representan isomorfismos, luego podemos definir la diferencial de f en p como la aplicaci´n lineal df (p) : Tp (S ) −→ Tf (p) (T ) dada o por df (p) = dX (x)−1 ◦ dj (x) ◦ dY (y ). Teniendo en cuenta que las diferenciales aproximan localmente a las funciones correspondientes no es dif´ convencerse ıcil de que df (p) se confunde con f cuando los puntos de Tp (S ) se confunden con los de S . El teorema siguiente prueba que df (p) no depende de la elecci´n de o las cartas X e Y . Teorema 5.13 Sea f : S −→ T una aplicaci´n diferenciable en un punto p ∈ S . o Sea v ∈ Tp (S ). Si α es cualquier curva contenida en S que pase por p con tangente v , entonces α ◦ f es una curva contenida en T que pasa por f (p) con tangente df (p)(v ). 5.2. Espacios tangentes, diferenciales 207 ´ Demostracion: Sean X e Y cartas alrededor de p y f (p) respectivamente. Digamos que X (x) = p e Y (y ) = f (p). Sea β la representaci´n de α en la o carta X , es decir, α = β ◦ X . Entonces v = α (t0 ) = dX (x) β (t0 ) . Podemos descomponer α ◦ f = α ◦ X −1 ◦ X ◦ f ◦ Y −1 ◦ Y . Con la notaci´n o que hemos empleado en la definici´n de df (p) tenemos α ◦ f = β ◦ j ◦ Y . Esto o prueba que α ◦ f es derivable en t0 y adem´s a (α ◦ f ) (t0 ) = dY (y ) dj (x) β (t0 ) = dY (y ) dj (x) dX (x)−1 (v ) = df (p)(v ). Es inmediato comprobar que la regla de la cadena sigue siendo v´lida para a aplicaciones diferenciables entre variedades, es decir, d(f ◦ g )(p) = df (p) ◦ dg f (p) . De aqu´ se sigue en particular que si f es un difeomorfismo, entonces df (p) ı es un isomorfismo y df −1 f (p) = df (p)−1 . Si S ⊂ T ⊂ Rm son variedades diferenciables entonces el teorema anterior prueba que la diferencial de la inclusi´n i : S −→ T en cada punto p ∈ S es o simplemente la inclusi´n de Tp (S ) en Tp (T ). De aqu´ se sigue que la diferencial o ı en un punto p de la restricci´n a S de una funci´n f diferenciable en T es o o simplemente la restricci´n de df (p) a Tp (S ), pues la restricci´n no es m´s que o o a la composici´n con la inclusi´n. o o Si X : U −→ S es una carta de una variedad S alrededor de un punto p, entonces sus coordenadas asociadas xi son ciertamente diferenciables. M´s a concretamente, si πi : Rn −→ R es la proyecci´n en la i-´sima coordenada, o e tenemos que xi = X −1 ◦ πi , luego dxi (p) = dX (p)−1 ◦ dπi (x) y en particular dxi (p) (Dj X (x)) = dπi (x)(ej ) = 1 si i = j 0 si i = j es decir, las aplicaciones dxi (p) forman la base dual de D1 X (x), . . . , Dn X (x). Por consiguiente, para cada v ∈ Tp (S ) se cumple que dxi (p)(v ) es la coordenada o o correspondiente a Di X (x) en la expresi´n de v como combinaci´n lineal de las derivadas de X . Ejemplo Consideremos el plano tangente a R2 en el punto p = (1, 1) (que es el propio R2 ). La base asociada a la carta identidad es simplemente la base can´nica (e1 , e2 ), y su base dual es la dada por las proyecciones dx(p), dy (p). o Tambi´n podemos considerar tambi´n la carta determinada por las coordenadas e e polares (ρ, θ), es decir, (x, y ) = (ρ cos θ, ρ sen θ). Su base asociada es la formada por las derivadas parciales: v1 (ρ, θ) = (cos θ, sen θ), v2 (ρ, θ) = (−ρ sen θ, ρ cos θ). 208 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o En particular, en el punto (1, 1) queda v1 = 1 1 √ ,√ 2 2 v1 v2 = (−1, 1). , Dado un vector u ∈ R , sus coordenadas (en la base can´nica) son dx(p)(u), dy (p)(u) , mieno tras que dρ(p)(u), dθ(p)(u) son sus coordenadas en la base (v1 , v2 ). Conocemos la relaci´n entre las diferenciales: o 2 dx = cos θ dρ − ρ sen θ dθ, dρ v2 dx p dy u dθ dy = sen θ dρ + ρ cos θ dθ. Concretamente, en el punto (1, 1) se cumple √ √ 2 2 dx = dρ − dθ, dy = dρ + dθ. (5.1) 2 2 √ Sea ahora S la circunferencia de radio 2. Tres posibles cartas de S alrededor de (1, 1) son √ g1 (x) = x, 2 − x2 , g2 (y ) = 2 − y 2 , y , g3 (θ) = 2 (cos θ, sen θ). Sus funciones coordenadas son respectivamente (las restricciones de) las funciones x, y , θ, luego sus diferen- V ciales asociadas son las restricciones de las diferenciales correspondientes, que seguiremos llamando dx(p), dy (p), dθ(p). Es f´cil ver que las bases asociadas a las a tres cartas son respectivamente vx = (1, −1), vy = (−1, 1), vθ = (−1, 1). p S Obviamente no podemos tomar a ρ como coordenada, pues ρ es constante en S . Esto se traduce en que dρ(p) = 0 (sobre Tp (S )). Alternativamente, vemos que o los vectores de Tp (S ) tienen nula la primera coordenada de su expresi´n en la base (v1 , v2 ). Como consecuencia, de (5.1) se sigue ahora que dy = dθ = −dx. Ejemplo Consideremos el toro T de carta X (u, v ) = (R cos v + r cos u cos v, R sen v + r cos u sen v, r sen u). Ya hemos comentado que X no es exactamente una carta de T , sino que las cartas de T son restricciones de X a dominios adecuados. Consideremos la circunferencia unidad S 1 = {x ∈ R2 | x = 1}. Entonces la aplicaci´n o f : S 1 × S 1 −→ T dada por f (x, y ) = (Ry1 + rx1 y1 , Ry2 + rx1 y2 , rx2 ) 5.2. Espacios tangentes, diferenciales 209 es un difeomorfismo. Notemos que si x = (cos u, sen u), y = (cos v, sen v ), entonces f (x, y ) = X (u, v ). Teniendo esto en cuenta es f´cil ver que f es biyectiva. a Adem´s es diferenciable porque sus funciones coordenadas son polin´micas (es a o la restricci´n de una funci´n diferenciable en R4 ). En un entorno de cada punto o o de T , la funci´n f −1 puede expresarse como (cos u, sen u, cos v, sen v ), donde u, o v son las funciones coordenadas de la carta de T alrededor de punto obtenida por restricci´n de X . Por consiguiente f es un difeomorfismo. o Ejercicio: Probar que un cilindro es difeomorfo al producto de un segmento por una circunferencia y que una bola abierta menos su centro es difeomorfa al producto de un segmento por una esfera. Definici´n 5.14 Sea f : S −→ R una funci´n definida sobre una variedad y o o sea p ∈ S un punto donde f sea diferenciable. Sea X una carta de S alrededor de p y sean x1 , . . . , xn sus coordenadas asociadas. Definimos la derivada parcial de f respecto a xi en p como ∂f (p) = df (p) Di X (x) , ∂xi donde x es el vector de coordenadas de p en la carta dada. Es claro que esta noci´n de derivada parcial generaliza a la que ya ten´ o ıamos para el caso de funciones definidas en abiertos de Rn . En el caso general sea j = X ◦ f . Seg´n la definici´n de df (p) resulta que u o ∂f ∂j (p) = dj (x)(ei ) = (x), ∂xi ∂xi donde ei es el i-´simo vector de la base can´nica de Rn . Si f es diferenciable en e o un entorno de p tenemos ∂f ∂j = X −1 ◦ . ∂xi ∂xi Ahora es claro que una funci´n f es de clase C q en S si y s´lo si tiene o o derivadas parciales continuas de orden q . Puesto que dx1 (p), . . . , dxn (p) es la base dual de D1 X (x), . . . , Dn X (x), de la propia definici´n de derivada parcial se sigue que o df = ∂f ∂f dx1 + · · · + dxn . ∂x1 ∂xx Tambi´n es f´cil ver que las reglas usuales de derivaci´n de sumas y productos e a o siguen siendo v´lidas, as´ como el teorema de Schwarz. Adem´s a ı a ∂xj = ∂xi 1 0 si i = j si i = j . Es importante observar que la derivada de una funci´n f respecto a una o coordenada xi no depende s´lo de f y xi , sino de la carta de la cual forma o 210 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o parte xi . Por ejemplo, si en la esfera de centro 0 y radio 1 consideramos un punto cuyas tres coordenadas (x, y, z ) sean no nulas, en un entorno podemos considerar la carta de coordenadas (x, y ), respecto a la cual ∂z =− ∂x x 1 − x2 − y 2 . Sin embargo, tambi´n podemos considerar la carta de coordenadas (x, z ) y ene tonces resulta que ∂z = 0. ∂x 5.3 La m´trica de una variedad e Todas las propiedades m´tricas de Rn se derivan de su producto escalar, que e es una forma bilineal Rn × Rn −→ R. En una variedad S ⊂ Rm no tenemos definido un producto escalar, pero s´ tenemos uno en cada uno de sus espacios ı tangentes: la restricci´n del producto escalar en Rm . o Conviene introducir ciertos hechos b´sicos sobre formas bilineales. Puesto a que son puramente algebraicas las enunciaremos para un espacio vectorial arbitrario E , pero en la pr´ctica E ser´ siempre el espacio tangente Tp (S ) de una a a variedad S en un punto p. Fijada una base (v1 , . . . , vn ) de E , representaremos su base dual por (dx1 , . . . , dxn ). Esta notaci´n —puramente formal en un o principio— se ajusta al unico ejemplo que nos interesa, pues si E = Tp (S ) y ´ (v1 , . . . , vn ) es la base asociada a una carta X , entonces la base dual que en general hemos llamado (dx1 , . . . , dxn ) es concretamente la formada por las diferenciales dx1 (p), . . . , dxn (p), donde x1 , . . . , xn son las funciones en S que a cada punto le asignan sus coordenadas respecto a X . Definici´n 5.15 Sea E un espacio vectorial de dimensi´n n. Llamaremos B (E ) o o al conjunto de todas las formas bilineales F : E × E −→ R, que es claramente un espacio vectorial con la suma y el producto definidos puntualmente.3 Si f, g : E −→ R son aplicaciones lineales, definimos su producto tensorial como la forma bilineal f ⊗ g ∈ B (E ) dada por (f ⊗ g )(u, v ) = f (u)g (v ). Las propiedades siguientes son inmediatas: a) f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h, (f + g ) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h. b) (αf ) ⊗ g = f ⊗ (αg ) = α(f ⊗ g ), para α ∈ R. Teorema 5.16 Todo elemento de B (E ) se expresa de forma unica como ´ n αij dxi ⊗ dxj , F= con αij ∈ R. i,j =1 Concretamente αij = F (vi , vj ). 3 Los elementos de B (E ) se llaman tensores dos veces covariantes, pero aqu´ no vamos a ı entrar en el c´lculo tensorial. a 5.3. La m´trica de una variedad e 211 ´ Demostracion: Basta observar que (dxi ⊗ dxj )(vr , vs ) = 1 0 si i = r, j = s en caso contrario. De aqu´ se sigue que F y el miembro derecho de la igualdad act´an igual sobre ı u todos los pares de vectores b´sicos. La unicidad es clara. a Por ejemplo, en estos t´rminos el producto escalar en Rn viene dado por e dx1 ⊗ dx1 + · · · + dxn ⊗ dxn . Definici´n 5.17 Un campo tensorial (dos veces covariante) en una variedad o S ⊂ Rm es una aplicaci´n que a cada p ∈ S le hace corresponder una forma o bilineal en Tp (S ). El tensor m´trico de S es el campo g que a cada punto p le e asigna la restricci´n a Tp (S ) del producto escalar en Rm . o Si llamamos T (S ) al conjunto de los campos tensoriales en S seg´n la defiu nici´n anterior, es claro que se trata de un espacio vectorial con las operaciones o definidas puntualmente. M´s a´n, podemos definir el producto de una funci´n au o f : S −→ R por un campo F ∈ T (S ) como el campo f F ∈ T (S ) dado por (f F )(p) = f (p)F (p). Sea X : U −→ S una carta de S . Representaremos por x1 , . . . , xn las funciones coordenadas respecto a X . Si x ∈ U y p = X (x), sabemos que D1 X (x), . . . , Dn X (x) es una base de Tp (S ) y dx1 (p), . . . , dxn (p) es su base dual. Por consiguiente, todo w ∈ Tp (S ) se expresa como w = dx1 (p)(w)D1 X (x(p)) + · · · + dxn (p)(w)Dn X (x(p)). As´ pues, si w1 , w2 ∈ Tp (S ), su producto escalar es ı n gp (w1 , w2 ) = Di X (x(p))Dj X (x(p))dxi (p)(w1 )dxj (p)(w2 ), i,j =1 luego n gij (p)dxi (p) ⊗ dxj (p), gp = con gij (p) = Di X (x(p))Dj X (x(p)), i,j =1 o, m´s brevemente, como igualdad de campos: a n gij dxi ⊗ dxj , g= (5.2) i,j =1 Esta expresi´n recibe el nombre de expresi´n en coordenadas del tensor o o m´trico de S en la carta X . Las funciones gij se llaman coeficientes del tensor e m´trico en la carta dada. Claramente son funciones diferenciables. Notemos e que la expresi´n coordenada no est´ definida en toda la variedad S , sino s´lo o a o sobre los puntos del rango V de la carta X . 212 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o La matriz (gij (p)) es la matriz del producto escalar de Tp (S ) en una cierta base. Es claro entonces que su determinante es no nulo. Este hecho ser´ relea vante en varias ocasiones. A trav´s del difeomorfismo X : U −→ V juntamente con los isomorfismos e dX (x) : Rn −→ Tp (S ) podemos transportar la restricci´n a V del tensor m´trico o e de S hasta un campo tensorial en U , concretamente el dado por hX (w1 , w2 ) = gp dX (x)(w1 ), dX (x)(w2 ) n = gij (X (x)) dxi (X (x))(dX (x)(w1 )) dxj (X (x))(dX (x)(w2 )) i,j =1 n gij (X (x)) d(X ◦ xi )(x)(w1 ) d(X ◦ xj )(x)(w2 ) = i,j =1 n = gij (x) dxi (x)(w1 ) dxj (x)(w2 ), i,j =1 donde en el ultimo t´rmino xi es simplemente la proyecci´n en la i-´sima coor´ e o e denada de U y gij (x) = (X ◦ gij )(x). Por lo tanto hX tiene la misma expresi´n o (5.2) interpretando convenientemente las funciones. Al transportar a la carta el tensor m´trico, podemos calcular el producto e de dos vectores tangentes a dos curvas α y β que se cortan en p a partir de sus representaciones en X . Digamos que α(t) = X x(t) y β (t) = X x(t) y ¯ supongamos que en t0 pasan por p. Entonces gp (α (t0 ), β (t0 )) = hX (x (t0 ), x (t0 )). ¯ Del mismo modo que el tensor m´trico de una variedad S asigna a cada e punto p el producto escalar de Tp (S ), tambi´n podemos considerar la aplicaci´n e o ´ que a cada punto p le asigna la norma en Tp (S ). Esta recibe el nombre de elemento de longitud de S y se representa por ds. As´ pues, ı ds(p)(v ) = v = gp (v, v ). El tensor m´trico y el elemento de longitud se determinan mutuamente por e la relaci´n o ds2 (p)(u + v ) = ds2 (p)(u) + ds2 (p)(v ) + 2gp (u, v ), luego en la pr´ctica es equivalente trabajar con uno o con otro y ds suele dar a lugar a expresiones m´s simples. Por ejemplo, la expresi´n de ds2 en una carta a o es n ds2 = gij dui duj . i,j =1 (5.3) 5.3. La m´trica de una variedad e 213 La misma expresi´n es v´lida para el campo que resulta de transportarlo al o a dominio de la carta interpretando adecuadamente las funciones. El nombre de elemento de longitud se debe a que si α : [a, b] −→ S es una curva regular cuya imagen est´ contenida en el rango de una carta X y a α(t) = X (x(t)), entonces ds2 (x (t)) = α (t) 2 , luego la longitud de α es b b L= n α (t) dt = a a gij (x(t))xi (t)xj (t) dt i,j =1 n b = b gij (x(t)) xi (t)dt xj (t)dt = a i,j =1 ds, a entendiendo ahora que en (5.3) x = x(t) y dxi = x (t)dt. En el caso de una superficie S ⊂ R3 es costumbre representar las derivadas parciales de una carta X (u, v ) mediante Xu , Xv y los coeficientes del tensor m´trico como E = Xu Xu , F = Xu Xv , G = Xv Xv , de modo que la expresi´n e o en coordenadas del tensor m´trico es e E du ⊗ du + F (du ⊗ dv + dv ⊗ du) + G dv ⊗ dv. (5.4) El elemento de longitud es ds2 = E du2 + 2F dudv + G dv 2 . Ejemplo Vamos a calcular los coeficientes del tensor m´trico de la superficie e de revoluci´n dada por o X = (r(u) cos v, r(u) sen v, z (u) . Tenemos Xu = r (u) cos v, r (u) sen v, z (u) Xv = −r(u) sen v, r(u) cos v, 0 , luego E = r (u)2 + z (u)2 , F = 0, G = r(u)2 . Observemos que E es el m´dulo al cuadrado de la curva que genera la suo perficie, luego si su parametrizaci´n es la natural tenemos simplemente E = 1. o En el caso del toro tenemos r(u), z (u) = (R + r cos u, r sen u), luego E = r2 , F = 0, G = (R + r cos u)2 . Por lo tanto la longitud de una curva que sobre la carta venga dada por u(t), v (t) se calcula integrando ds2 = r2 du2 + (R + r cos u)2 dv 2 . 214 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o Por ejemplo, la longitud de un arco de paralelo (u0 , t), donde t ∈ [0, k ] es k k ds = 0 (R + r cos u0 ) dt = (R + r cos u0 )k, 0 como era de esperar, dado que el paralelo es un arco de circunferencia de radio R + r cos u0 . Ejercicio: Calcular los coeficientes del tensor m´trico del cilindro, el cono y la esfera. e Definici´n 5.18 Diremos que un difeomorfismo f : S −→ T entre dos varieo dades es una isometr´ si para todo arco α contenido en S se cumple que α ◦ f ıa tiene la misma longitud.4 Expl´ ıcitamente, si f es una isometr´ y α : [a, b] −→ S es un arco y α(t0 ) = p, ıa entonces t t (α ◦ f ) (x) dx, α (x) dx = a a y derivando resulta α (t0 ) = (α ◦ f ) (t0 ) = df (p) α (t0 ) . Ahora bien, todo vector no nulo de Tp (S ) es de la forma α (t0 ) para un cierto arco α, luego tenemos que df (p) : Tp (S ) −→ Tf (p) (T ) es una isometr´ para todo ıa punto p. Igualmente se prueba el rec´ ıproco. Ejercicio: Probar que las isometr´ de Rn en Rn en el sentido que acabamos de ıas definir coinciden con las isometr´ en el sentido del ´lgebra lineal. ıas a Si f es una isometr´ X es una carta alrededor de p con X (x) = p y llamamos ıa, Y = X ◦ f , es claro que Y es una carta alrededor de f (p). Adem´s tenemos que a Di Y (x) = dY (x)(ei ) = df (p) dX (x)(ei ) = df (p)(Di X (x)), de donde se sigue que los coeficientes del tensor m´trico son iguales en ambas cartas, es decir, e gij (x) = Di X (x)Dj X (x) = Di Y (x)Dj Y (x). Similarmente se concluye que si dos variedades tienen cartas con un mismo dominio y con los mismos coeficientes gij del tensor m´trico entonces los fragmentos e de superficie cubiertos por las cartas son superficies isom´tricas. e Ejemplo Consideremos la carta del cilindro dada por v v X (u, v ) = r cos , r sen , u . r r El elemento de longitud del cilindro es, en esta carta, ds2 = du2 + dv 2 , que es exactamente la misma que la del plano con la identidad como carta. La aplicaci´n X no es una isometr´ porque no es biyectiva, pero s´ es una isometr´ o ıa ı ıa local, en el sentido de que todo punto del plano tiene un entorno V de modo que la restricci´n de X es una isometr´ entre U y X [U ]. As´ pues, un cilindro o ıa ı es localmente isom´trico a un plano. e 4 En el cap´ ıtulo siguiente probaremos que toda curva de clase C 1 es rectificable. Consideraremos que esta definici´n se aplica a curvas y aplicaciones de clase C 1 , con lo que siempre o tendremos garantizado el car´cter rectificable. a 5.4. Geod´sicas e 215 *Ejemplo Observemos que las distintas expresiones que hemos obtenido para la longitud de un arco en el plano hiperb´lico son de la forma (5.4) para ciertas o funciones E , F , G. El caso m´s simple es el del semiplano de Poincar´, donde a e E = G = 1/v 2 , F = 0. Sucede que los distintos modelos del plano hiperb´lico o se comportan como cartas de una superficie que no conocemos, pero de la que tenemos su elemento de longitud. Existe una teor´ abstracta de variedades ıa diferenciales que permite tratar como tales a espacios topol´gicos dotados de o una “estructura diferenciable”, definida adecuadamente, sin necesidad de que est´n sumergidos en Rn . El plano hiperb´lico es una variedad en este sentido e o abstracto. El plano el´ ıptico casi puede considerarse como una superficie en R3 : la esfera de radio 1. En realidad una esfera no es un plano el´ ıptico, pues hemos de identificar los puntos ant´ ıpodas. Sin embargo, un “fragmento” no demasiado grande de plano el´ ıptico es isom´trico a un fragmento de esfera. Por ello podemos cone siderar a las cartas de una esfera que no cubran m´s de una semiesfera como a cartas del plano el´ ıptico. Un tratamiento completamente riguroso requerir´ el ıa concepto abstracto de variedad diferenciable. 5.4 Geod´sicas e Imaginemos la superficie S de un planeta cuyos habitantes creen que es plano. Cuando ´stos creen caminar en l´ e ınea recta en realidad sus trayectorias son curvas, sin embargo su distinci´n entre rectas y curvas tiene un significado o objetivo. Tratemos de explicitarlo. Sea Np (S ) el espacio normal a S en p, es decir, el complemento ortogonal de Tp (S ). Consideremos una curva α contenida en S . Entonces α (t) ∈ Tα(t) (S ). Podemos descomponer α (t) = vt (t) + vn (t), donde vt (t) ∈ Tα(t) (S ) y vn (t) ∈ Nα(t) (S ). La descomposici´n es unica. El o ´ vector vn contiene la parte de la aceleraci´n que mantiene a los habitantes del o planeta pegados a su superficie (la gravedad) y es “invisible” para ellos, pues si el planeta fuera realmente plano la gravedad no curvar´ sus trayectorias. El ıa vector vt contiene la variaci´n de la velocidad que ellos detectan: determina si o la trayectoria se curva a la izquierda o a la derecha. Ellos llaman rectas a las curvas que cumplen vt = 0. A continuaci´n desarrollamos estas ideas en un o contexto m´s general: a Definici´n 5.19 Sea S ⊂ Rm una variedad de dimensi´n n, sea α : I −→ S una o o curva regular y V : I −→ Rm una funci´n de clase C 1 tal que para todo t ∈ I o se cumpla V (t) ∈ Tα(t) (S ). En estas condiciones diremos que V es un campo de vectores sobre α. Llamaremos derivada covariante de V en cada punto t a la proyecci´n ortogonal de V (t) sobre Tα(t) (S ). La representaremos por DV (t). o En la situaci´n que describ´ o ıamos antes, el vector vt es la derivada covariante del campo dado por V (t) = α (t). Para ilustrar el caso general podemos pensar en un habitante del planeta S que camina rumbo norte con su brazo derecho apuntando hacia el noreste. Si interpretamos el brazo como un campo de vectores sobre su trayectoria, desde el punto de vista del caminante ´ste apunta e 216 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o siempre en la misma direcci´n, pues ´l camina “recto”, es decir, sin desviarse ni o e hacia el este ni hacia el oeste, y su brazo forma un angulo fijo con su direcci´n ´ o de avance. En otras palabras, considera que el campo vectorial es constante y su derivada es nula. Esto es falso, pues en realidad su trayectoria no es recta, sino una circunferencia y su brazo s´ cambia de direcci´n (el unico caso en que ı o ´ la direcci´n no variar´ ser´ si apuntara al este o al oeste, con lo que siemo ıa ıa pre marcar´ la direcci´n perpendicular al plano de la circunferencia en que se ıa o mueve). La que en realidad es nula es la derivada covariante del campo, que los habitantes confunden con la derivada total al desconocer la curvatura de su planeta. En las condiciones de la definici´n anterior, sea X : U −→ S una carta de S o y expresemos la curva (localmente) como α(t) = X x(t) . Entonces una base de Tα(t) (S ) en cada punto es D1 X (x(t)), . . . , Dn X (x(t)), luego podremos expresar V (t) = a1 (t)D1 X (x(t)) + · · · + an (t)Dn X (x(t)), (5.5) para ciertas funciones ai (t). Multiplicando la igualdad por Di X (x(t)) se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes gij (x(t)). Como el determinante es no nulo, resolviendo el sistema concluimos que las funciones ai (t) son derivables. Entonces n V (t) = n ai (t)Di X (x(t)) + i=1 ai (t)Dij X (x(t))xj (t). (5.6) i,j =1 El primer t´rmino es tangente a S , luego no se altera al tomar la proyecci´n e o ortogonal. Para calcular la proyecci´n del segundo conviene introducir un nuevo o concepto: Definici´n 5.20 Sea X : U −→ S una carta de una variedad S . Llamaremos o s´ ımbolos de Christoffel de S en la carta X a las funciones Γk : U −→ R que ij cumplen n Γk Dk X + Nij , ij Dij X = (5.7) k=1 donde Nij (x) ∈ Np (S ) (con p = X (x)). Observemos que Γk = Γk . ij ji Las proyecciones de las segundas parciales Dij X se obtienen eliminando la componente Nij , con lo que al calcular la proyecci´n de (5.6) llegamos a que la o derivada covariante de V viene dada por n DV = n ai Γk xj Dk X. ij ak + k=1 i,j =1 (5.8) 5.4. Geod´sicas e 217 Un hecho muy importante es que los s´ ımbolos de Christoffel, y por consiguiente la derivada covariante, dependen unicamente de los coeficientes gij de la ´ primera forma fundamental de S . En efecto, multiplicando las ecuaciones (5.7) por Dl X obtenemos n gkl Γk . ij Dij XDl X = k=1 Una simple comprobaci´n nos da que o Dij XDl X = 1 (Di gjl + Dj gil − Dl gij ), 2 luego en total resulta n gkl Γk = ij k=1 1 (Di gjl + Dj gil − Dl gij ). 2 (5.9) Fijando i, j y variando l obtenemos un sistema de n ecuaciones lineales con n inc´gnitas y coeficientes (gkl ), que nos permite despejar los s´ o ımbolos Γk en ij ıamos probar. Ahora t´rminos de los coeficientes gij y sus derivadas, como quer´ e nos ocupamos con detalle del caso particular que describ´ ıamos al principio de la secci´n: o Definici´n 5.21 Sea α(t) una curva contenida en una variedad S . Llamaremos o aceleraci´n geod´sica5 de α a la derivada covariante del campo vectorial α . o e Supongamos que α est´ parametrizada por el arco. Entonces α (s) = 1, a luego derivando resulta α (s)α (s) = 0, y esta ortogonalidad se conserva al proyectar sobre Tp (S ), de modo que Dα (s) es perpendicular al vector tangente de α. Llamaremos curvatura geod´sica de α a κg = Dα . Si κg = 0 definimos el e vector normal geod´sico de α como el vector κ−1 Dα , de modo que Dα = κg ng . e g En el caso de que α no est´ parametrizada por el arco el vector normal e geod´sico y la curvatura geod´sica se definen a trav´s de su parametrizaci´n e e e o natural. Expl´ ıcitamente, si α(t) es una curva contenida en S y s(t) es su longitud de arco, usando la notaci´n v = s (t) = α (t) , a = v (t) para la velocidad y o aceleraci´n sobre la trayectoria y T = α (s) para el vector tangente, tenemos o α (t) = vα (s), α (t) = aT + v 2 α (s). Al proyectar sobre el espacio tangente resulta Dα (t) = aT + v 2 κg ng . De este modo, la aceleraci´n geod´sica de α se descompone en una aceleo e raci´n tangencial, cuyo m´dulo a es la tasa de variaci´n de la velocidad v , y una o o o 5 La geodesia (gr. = divisi´n de la tierra) estudia la forma de la Tierra, deducida a partir de o mediciones realizadas desde su superficie. La geometr´ diferencial ha adoptado este adjetivo ıa para referirse en general a los conceptos que puede medir un “habitante” de una variedad arbitraria sin salir de ella. 218 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o aceleraci´n normal, cuyo m´dulo es v 2 κg . Un habitante del planeta S que “crea” o o vivir en Tp (S ) confundir´ la aceleraci´n geod´sica, el vector normal geod´sico y a o e e la curvatura geod´sica de α con la aceleraci´n, el vector normal y la curvatura e o de α. Por lo tanto llamar´ rectas a las curvas sin aceleraci´n geod´sica: a o e Definici´n 5.22 Una curva α contenida en una variedad S es una geod´sica6 si o e cumple κg = 0, o equivalentemente, si Dα es proporcional a α en cada punto. En tal caso el factor de proporcionalidad es simplemente a = s (t), donde s es la longitud de arco, por lo que si α est´ parametrizada por el arco entonces α a es una geod´sica si y s´lo si Dα = 0. e o Vamos a particularizar las ecuaciones que determinan la derivada covariante de un campo al caso de la aceleraci´n geod´sica de una curva. Si α(t) = X (x(t)), o e entonces n α (t) = Di X (x(t))xi (t), i=1 luego si en (5.5) hacemos V = α tenemos ai = xi , luego la f´rmula (5.8) se o convierte en n n DV = Γk xi xj Dk X. ij xk + i,j =1 k=1 El vector n Γk xi xj ij xk + i,j =1 n k=1 es la antiimagen por dX de Dα , es decir, la representaci´n en el mapa de la o aceleraci´n geod´sica de α. Lo llamaremos expresi´n en coordenadas de dicha o e o aceleraci´n geod´sica. o e La condici´n necesaria y suficiente para que una curva parametrizada por el o arco de coordenadas x(s) sea una geod´sica es e n Γk xi xj = 0, ij xk + k = 1, . . . , n. (5.10) i,j =1 Si la parametrizaci´n es arbitraria s´lo hemos de exigir que el vector formado o o por los miembros izquierdos sea proporcional a x . Ejemplo Si una carta X (u, v ) de una superficie S ⊂ R3 cumple F = 0, las ecuaciones (5.9) se reducen a Γ1 11 = Γ2 12 = Eu , 2E Gu , 2G Ev , 2G Gu =− , 2E Ev , 2E Gv = . 2G Γ2 = − 11 Γ1 = 12 Γ1 22 Γ2 22 (5.11) 6 Deber´ ıamos decir “recta geod´sica”, es decir, el equivalente en S a una recta, pero es e preferible contraer el t´rmino pues, al fin y al cabo, normalmente las geod´sicas no son rectas. e e 5.4. Geod´sicas e 219 Ejemplo En un plano (tomando como carta la identidad) todos los s´ ımbolos de Christoffel son nulos, por lo que las geod´sicas parametrizadas por el arco e son las curvas que cumplen (u , v ) = (0, 0), es decir, las rectas. Ejemplo En la superficie de revoluci´n generada por la curva r(u), z (u) , o suponiendo a ´sta parametrizada por el arco, los unicos s´ e ´ ımbolos de Christoffel no nulos son r (u) Γ2 = , Γ1 = −r(u)r (u). 12 22 r(u) Por lo tanto las ecuaciones de las geod´sicas parametrizadas por el arco son e u = v 2 r(u)r (u), v = −2u v r (u) . r(u) Es inmediato comprobar que los meridianos (t, v0 ) cumplen estas ecuaciones, luego son geod´sicas. Si se cumple r (u) = 0, (por ejemplo en los extremos e e locales de r) entonces el paralelo (u0 , t) tambi´n cumple las ecuaciones, luego es una geod´sica. e En el caso concreto de la esfera los meridianos son los arcos de circunferencia de radio m´ximo que unen los polos. Dada la simetr´ de la esfera, que permite a ıa tomar cualquier par de puntos ant´ ıpodas como polos, podemos afirmar que todas las circunferencias m´ximas son geod´sicas. Para una carta dada, el unico a e ´ paralelo (u0 , t) que cumple r (u0 ) = 0 es el ecuador de la esfera, que tambi´n es e una circunferencia m´xima, luego ya sab´ a ıamos que es una geod´sica. e *Ejemplo Las f´rmulas que determinan los s´ o ımbolos de Christoffel a partir de los coeficientes del tensor m´trico hacen que tenga sentido calcularlos en el caso e de los planos el´ ıptico e hiperb´lico, donde la definici´n de derivada covariante o o que hemos dado no es aplicable. El hecho de que las circunferencias m´ximas de a una esfera sean geod´sicas se traduce en que las rectas el´ e ıpticas sean geod´sicas e del plano el´ ıptico (pues ´ste es localmente isom´trico a una esfera de radio 1). e e Veamos ahora que las rectas hiperb´licas son geod´sicas del plano hiperb´lico. o e o Para ello trabajaremos con el semiplano de Poincar´, donde los s´ e ımbolos de Christoffel son m´s sencillos. Teniendo en cuenta que E = G = 1/v 2 y F = 0 a es f´cil ver que los unicos s´ a ´ ımbolos no nulos son Γ2 = 11 1 , v 1 Γ1 = − , 12 v 1 Γ2 = − . 22 v La aceleraci´n covariante de una curva de coordenadas (u, v ) tiene coordeo nadas uv u2−v2 u −2 ,v + . v v Para las rectas verticales (u, v ) = (u0 , t) la aceleraci´n es (0, −1/t), que o efectivamente es proporcional a (u , v ) = (0, 1), luego son geod´sicas. Las rectas e 220 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o proyectivas restantes son las semicircunferencias (u, v ) = (u0 + r cos t, r sen t). Un simple c´lculo nos da que la aceleraci´n en este caso es a o r cos t, −r cos2 t sen t =− cos t (−r sen t, r cos t), sen t proporcional a (u , v ), luego todas las rectas proyectivas son geod´sicas. e 5.5 Superficies Terminaremos el cap´ ıtulo con algunos resultados espec´ ıficos sobre superficies S ⊂ R3 . Si X es una carta de una superficie S , entonces Xu , Xv son en cada punto (u, v ) una base del plano tangente en X (u, v ), luego el vector Xu ∧ Xv es no nulo y perpendicular a dicho plano. Si llamamos α al angulo formado por ´ Xu y Xv en un punto dado, entonces Xu ∧ Xv 2 = Xu As´ pues, Xu ∧ Xv ı 2 Xv 2 (1 − cos2 α) = Xu Xu Xv Xv − (Xu Xv )2 = EG − F 2 . √ = EG − F 2 . Definici´n 5.23 La aplicaci´n de Gauss asociada a una carta X : U −→ S de o o una superficie S es la aplicaci´n n : U −→ R3 dada por o n(u, v ) = Xu ∧ Xv Xu ∧ Xv =√ . Xu ∧ Xv EG − F 2 De este modo, n(u, v ) es en cada punto un vector unitario perpendicular a S en X (u, v ). Esto lo determina completamente salvo en su sentido. Si cambiamos de carta, el sentido de n puede cambiar. ¯ Si X y X son dos cartas que cubren una misma regi´n conexa de una vao riedad, entonces n(u, v ) = (u, v )¯ (u, v ), donde (u, v ) = ±1. Es claro que es n una funci´n continua en un conexo, luego ha de ser constante. En definitiva, o n(u, v ) = ±n(u, v ). Resulta, pues, que en un entorno de cada punto de S existen ¯ exactamente dos determinaciones opuestas del vector normal. A cualquiera de ellas la llamaremos tambi´n aplicaci´n de Gauss de la superficie. e o Si llamamos G ⊂ S a la imagen de X , la aplicaci´n n induce otra aplicaci´n o o n : G −→ S 2 , donde S 2 es la esfera de centro (0, 0, 0) y radio 1, que est´ a un´ ıvocamente determinada en un entorno de cada punto excepto por su signo. Es importante notar que no siempre es posible extender esta aplicaci´n n a toda o la superficie S (sin perder la continuidad). De momento no vamos a entrar en detalles, pero la figura muestra un ejemplo de variedad sobre la cual no es posible definir un vector normal. Se la conoce como banda de M¨bius. Es una cinta pegada por sus extreo mos tras haberla girado media vuelta. Si la aplicaci´n o de Gauss pudiera definirse sobre toda la banda M , al componerla con una curva α : R −→ M que d´ una e 5.5. Superficies 221 vuelta completa obtendr´ ıamos un vector normal sobre α que variar´ de forma ıa continua, pero es claro que al dar una vuelta completa el vector normal termina en sentido inverso a como empez´, cuando por continuidad deber´ tender al o ıa vector de partida. La aplicaci´n de Gauss aporta informaci´n importante sobre las superficies o o y simplifica algunos de los conceptos que hemos estudiado para variedades arbitrarias. Por ejemplo, en la secci´n anterior hemos estudiado la componente o tangencial (o geod´sica) de la curvatura de una curva contenida en una variee dad. Del mismo modo podemos definir la curvatura normal como el m´dulo de o la componente normal de la segunda derivada. En el caso de las superficies en R3 podemos apoyarnos en la aplicaci´n de Gauss. o Definici´n 5.24 Sea S una superficie (al menos de clase C 2 ) y α una curva o contenida en S parametrizada por el arco y que pase por un punto p. Fijada una determinaci´n n del vector normal a S alrededor de p, llamaremos curvatura o normal de α a κn = α n. Definimos Nn = κn n y Nt = α − Nn . Notemos que el signo de κn depende de la determinaci´n que elijamos de la o aplicaci´n de Gauss. Supongamos que sobre una carta la curva es u(t), v (t) . o Entonces α = Xu u + Xv v , α = Xuu u 2 + Xu u + Xuv u v + Xuv u v + Xvv v 2 + Xv v , luego κn = α n = (Xuu n)u 2 + 2(Xuv n)u v + (Xvv n)v 2 . Llamamos e = Xuu n, f = Xuv n, g = Xvv n, que son funciones de la carta X (salvo por el signo, que depende de la elecci´n o del sentido de n). Si la parametrizaci´n de la curva no es la natural y s(t) es la o longitud de arco, usamos la regla de la cadena: du du ds = , dt ds dt dv dv ds = , dt ds dt con la que la f´rmula, llamando ahora u , v , s a las derivadas respecto de t o (hasta ahora eran las derivadas respecto de s), se convierte en κn = e u 2 + 2f u v + g v 2 . s2 Observemos que esta expresi´n no depende de la curva (u, v ), sino s´lo de o o su derivada (u , v ) (recordemos que s = (u , v ) ). De aqu´ deducimos: ı Teorema 5.25 (Teorema de Meusnier) Si S es una superficie, todas las curvas contenidas en S que pasan por un punto p con un mismo vector tan´ gente tienen la misma curvatura normal. Esta viene dada por κn = e du2 + 2f dudv + g dv 2 . E du2 + 2F dudv + G dv 2 222 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o ´ Demostracion: Es claro que X es una carta alrededor de p y α es una curva contenida en S que pasa por p con vector tangente w, entonces la representaci´n de α en la carta X es X −1 ◦ α, luego el vector tangente de esta o representaci´n —el que en la discusi´n previa al teorema llam´bamos (u , v )— o o a es du(p)(w), dv (p)(w) , donde ahora u y v son las funciones coordenadas de X . As´ pues, la f´rmula que hab´ ı o ıamos obtenido nos da que κn (p)(w) = e(p) du(p)2 (w) + 2f (p) du(p)(w)dv (p)(w) + g (p) dv (p)2 (w) , E (p) du(p)2 (w) + 2F (p) du(p)(w)dv (p)(w) + G dv (p)2 (w) entendiendo aqu´ a e, f , g como las composiciones con X −1 de las funciones del ı mismo nombre que ten´ ıamos definidas. Definici´n 5.26 El elemento de longitud de una superficie S se conoce tambi´n o e con el nombre que le dio Gauss: la primera forma fundamental de S . Definimos la segunda forma fundamental de S como la aplicaci´n que a p ∈ S y cada vector o w ∈ Tp (S ) le asigna la curvatura normal en p de las curvas contenidas en S que pasan por p con tangente w multiplicada por w 2 . El teorema anterior prueba que la segunda forma fundamental es en cada punto puna forma cuadr´tica definida sobre Tp (S ). Concretamente, si fijamos a una carta tenemos F 1 = E du2 + 2F dudv + G dv 2 , F 2 = e du2 + 2f dudv + g dv 2 . Ambas formas cuadr´ticas pueden considerarse definidas tanto sobre la sua perficie S como sobre el dominio de la carta (en cuyo caso du y dv representan simplemente las proyecciones de R2 ). Sin embargo, una diferencia importante es que, aunque las expresiones anteriores son v´lidas unicamente sobre el rango de a ´ una carta, la primera forma fundamental est´ definida sobre toda la superficie a y est´ completamente determinada por la misma, mientras que la segunda s´lo a o la tenemos definida en un entorno de cada punto y adem´s salvo signo. a Para calcular expl´ ıcitamente la segunda forma fundamental de una superficie notamos que e = Xuu n = Xuu Xu ∧ Xv (Xuu , Xu , Xv ) , =√ Xu ∧ Xv EG − F 2 e igualmente f= (Xuv , Xu , Xv ) √ , EG − F 2 (Xvv , Xu , Xv ) g= √ . EG − F 2 Ejemplo Los coeficientes de la segunda forma fundamental de la superficie de revoluci´n generada por la curva r(u), z (u) son o e= z (u)r (u) − z (u)r (u) r (u)2 + z (u)2 , f = 0, g= z (u)r(u) r (u)2 + z (u)2 . 5.6. La curvatura de Gauss 223 Para el caso del toro tenemos r(u), z (u) = (R + r cos v, r sen v ) luego queda e = r, f = 0, g = R cos u + r cos2 u. Ejercicio: Comprobar que la curvatura normal en todo punto de la esfera de radio r y en toda direcci´n es igual a ±1/r, donde el signo es positivo si elegimos el vector o normal que apunta hacia dentro de la esfera y negativo en caso contrario. 5.6 La curvatura de Gauss Es un hecho conocido que si F es una forma bilineal sim´trica en un espae cio eucl´ ıdeo existe una base ortonormal en la que la matriz de F es diagonal. Podemos aplicar esto a un plano tangente Tp (S ) de una superficie tomando el producto escalar determinado por la primera forma fundamental y como F la segunda forma fundamental. Entonces concluimos que existe una base (e1 , e2 ) de Tp (S ) en la cual las expresi´n en coordenadas de las formas fundamentales o es F 1 (x, y ) = x2 + y 2 y F 2 (x, y ) = λ1 x2 + λ2 y 2 . Los n´meros λ1 y λ2 son los valores propios de cualquiera de las matrices u de F 2 en cualquier base ortonormal de Tp (S ), luego est´n un´ a ıvocamente determinados salvo por el hecho de que un cambio de carta puede cambiar sus signos. Podemos suponer λ1 ≤ λ2 . Entonces se llaman respectivamente curvatura m´ ınima y curvatura m´xima de S en p. En efecto, se trata del menor y el a mayor valor que toma F 2 entre los vectores de norma 1, pues λ1 = λ1 (x2 + y 2 ) ≤ λ1 x2 + λ2 y 2 = F 2 (x, y ) ≤ λ2 (x2 + y 2 ) = λ2 . Si w ∈ Tp (S ) tiene norma arbitraria entonces aplicamos esto a w/ w y concluimos que F 2 (w) λ1 ≤ 1 ≤ λ2 , F (w) es decir, λ1 ≤ κn ≤ λ2 . As´ pues, λ1 y λ2 son la menor y la mayor curvatura ı normal que alcanzan las curvas que pasan por p. Adem´s se alcanzan en direca ciones perpendiculares e1 y e2 , llamadas direcciones principales en p. Notemos que puede ocurrir λ1 = λ2 , en cuyo caso la curvatura normal es la misma en todas direcciones y no hay direcciones principales distinguidas. Los puntos de S donde λ1 = λ2 se llaman puntos umbilicales. Veamos ahora c´mo calcular las direcciones principales en una carta. Consio deremos la f´rmula de Meusnier como funci´n (diferenciable) de dos variables. o o Si (du, dv ) marca una direcci´n principal7 entonces κn es m´ximo o m´ o a ınimo 7 Aqu´ podemos considerar (du, dv ) ∈ R2 . La notaci´n diferencial est´ motivada por lo ı o a siguiente: Fijada una carta con coordenadas u, v , una curva regular en la superficie viene determinada por una representaci´n coordenada (u(t), v (t)). El vector tangente a la curva en o un punto dado marcar´ una direcci´n principal si y s´lo si la f´rmula de Meusnier evaluada a o o o en (u (t), v (t)) toma un valor m´ximo o m´ a ınimo, pero dicha f´rmula depende s´lo de las o o diferenciales (du(t), dv (t)), por lo que en realidad buscamos una relaci´n entre du y dv . o 224 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o en este punto, luego el teorema 4.15 afirma que sus derivadas parciales han de anularse en ´l. As´ pues, se ha de cumplir e ı ∂κn ∂du ∂κn ∂dv = = 2(e du + f dv ) 2(E du + F dv ) 2 F (du, dv ) = 0, − F 1 (du, dv ) F 1 (du, dv )2 2(f du + g dv ) 2(F du + G dv ) 2 − F (du, dv ) = 0. F 1 (du, dv ) F 1 (du, dv )2 Despejando obtenemos κn = κn = e du + f dv F 2 (du, dv ) = , 1 (du, dv ) F E du + F dv F 2 (du, dv ) f du + g dv = . 1 (du, dv ) F F du + G dv (5.12) Al igualar ambas ecuaciones obtenemos una condici´n necesaria para que un o vector indique una direcci´n principal. Es f´cil ver que puede expresarse en la o a forma: dv 2 −dudv du2 E F G = 0. e f g Si (E, F, G) (en un punto) es m´ltiplo de (e, f, g ) entonces la ecuaci´n se u o cumple trivialmente, pero por otra parte es claro que la curvatura normal es constante y no hay direcciones principales. En caso contrario es claro tenemos una forma cuadr´tica con al menos dos coeficientes no nulos. Si suponemos, a por ejemplo, que el coeficiente de dv 2 es no nulo, entonces du = 0, y al dividir entre du2 la forma cuadr´tica se convierte en una ecuaci´n de segundo grado a o en la raz´n dv/du. Esta ecuaci´n tiene a lo sumo dos soluciones linealmente o o independientes, luego ´stas han de ser necesariamente las direcciones principales. e Por consiguiente la ecuaci´n caracteriza dichas direcciones. o Definici´n 5.27 Se llama curvatura media y curvatura total o de Gauss de una o superficie S en un punto p a los n´meros u H= λ 1 + λ2 , 2 K = λ 1 λ2 . Notemos que el signo de H depende de la carta, mientras que el de K es invariante. Si operamos en (5.12) obtenemos (e − Eκn )du + (f − F κn )dv (f − F κn )du + (g − Gκn )dv = = 0, 0. Puesto que el sistema tiene una soluci´n no trivial en (du, dv ) se ha de o cumplir e − Eκn f − F κn = 0, f − F κn g − Gκn 5.6. La curvatura de Gauss 225 o equivalentemente (EG − F 2 )κ2 − (eG − 2F f + gE )κn + (eg − f 2 ) = 0. n Esta ecuaci´n la cumplen las curvaturas principales κn = λ1 , λ2 y por otro o lado tiene s´lo dos soluciones, luego o H = K = eG − 2F f + gE , 2(EG − F 2 ) eg − f 2 . EG − F 2 (5.13) En particular vemos que la curvatura de Gauss es el cociente de los determinantes de las dos formas fundamentales. Ejercicio: Calcular la curvatura media y la curvatura de Gauss del cilindro, el cono, el toro y la esfera. Definici´n 5.28 Un punto p de una superficie S es el´ o ıptico o hiperb´lico seg´n o u si K (p) > 0 o K (p) < 0. Si K (p) = 0 distinguiremos entre puntos parab´licos, o cuando s´lo una de las curvaturas extremas es nula y puntos planos, cuando las o dos curvaturas extremas son nulas. Si un punto es el´ ıptico todas las curvas que pasan por ´l tienen la curvatura e normal del mismo signo, por lo que la superficie se curva toda hacia el mismo lado del plano tangente, como es el caso de la esfera o del toro. Si un punto es hiperb´lico entonces hay curvas (perpendiculares, de hecho) que pasan por ´l o e con curvaturas en sentidos opuestos, luego la superficie tiene puntos pr´ximos o a ambos lados del plano tangente. Es el caso del hiperboloide √ = x2 − y 2 , cuya z curvatura en la carta (u, v, u2 − v 2 ) viene dada por K = −4/ 4u2 + 4v 2 + 1 3 . Los puntos de un cilindro son parab´licos. Las curvas u =cte. y v =cte. o son circunferencias de radio r y rectas, respectivamente. Las primeras tienen curvatura normal λ2 = 1/r y las segundas λ1 = 0. Es f´cil ver que se trata de a las curvaturas principales. Todos los c´lculos son sencillos. a Todos los puntos de un plano son puntos planos. Otro ejemplo es el punto (0, 0) en la gr´fica de x3 + y 3 . a z = x2 − y 2 z = x3 + y 3 226 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o Probamos ahora una caracterizaci´n algebraica de la curvatura de Gauss que o m´s adelante nos dar´ una interpretaci´n geom´trica de la misma. Observemos a a o e que si n es una determinaci´n del vector normal alrededor de un punto p en o una superficie S y llamamos S 2 a la esfera de centro (0, 0, 0) y radio 1, entonces dn(p) : Tp (S ) −→ Tn(p) (S 2 ), pero como n(p) es perpendicular a Tp (S ), en realidad Tn(p) (S 2 ) = Tp (S ), luego podemos considerar a dn(p) como un endomorfismo de Tp (S ). Teorema 5.29 Sea S una superficie y n una determinaci´n del vector normal o alrededor de un punto p. Entonces K (p) = |dn(p)|. ´ Demostracion: Sea X una carta alrededor de p. Entonces una base de Tp (S ) la forman los vectores Xu y Xv . Llamemos n(u, v ) a X ◦ n. Entonces dn(p)(Xu ) = dn(p)(dX (u, v )(1, 0)) = dn(u, v )(1, 0) = nu , dn(p)(Xv ) = dn(p)(dX (u, v )(0, 1)) = dn(u, v )(0, 1) = nv . Si expresamos nu = aXu + bXv nv = cXu + dXv entonces el determinante de dn(p) es el de la matriz formada por a, b, c, d. Notemos que derivando las igualdades nXu = nXv = 0 se deduce la relaci´n o nu Xu = −nXuu = −e y similarmente nu Xv = nv Xu = −f , nv Xv = −g . Por consiguiente al multiplicar las ecuaciones anteriores por Xu y Xv obtenemos −e = aE + bF, −f = aF + bG, −f = cE + dF, −g = cF + dG, de donde − e f f g = ab cd E F F G . Tomando determinantes concluimos que eg − f 2 = |dn(p)| (EG − F 2 ), luego efectivamente |dn(p)| = K (p). Consideremos ahora las f´rmulas (5.7) que definen los s´ o ımbolos de Christoffel. Al particularizarlas al caso de una superficie se convierten en Xuu = Γ1 Xu + Γ2 Xv + en, 11 11 Xuv = = Γ1 Xu + Γ2 Xv + f n, 12 12 Γ1 Xu + Γ2 Xv + gn, 22 22 Xvv (en principio la componente normal ha de ser de la forma αn para cierto α, y multiplicando la igualdad por n se sigue que α = e, f, g seg´n el caso.) u 5.6. La curvatura de Gauss 227 De estas ecuaciones se sigue 2 Xuu Xvv − Xuv = eg − f 2 + Γ1 Γ1 − (Γ1 )2 E 11 22 12 + Γ1 Γ2 + Γ2 Γ1 − 2Γ1 Γ2 F 11 22 11 22 12 12 + Γ2 Γ2 − (Γ2 )2 G. 11 22 12 Por otra parte, derivando respecto a v y u respectivamente las relaciones 1 Xuu Xv = Fu − Ev , 2 Xuv Xv = 1 Gu 2 y restando los resultados obtenemos 1 1 2 Xuu Xvv − Xuv = − Evv + Fuv − Guu . 2 2 En definitiva resulta la expresi´n o 1 1 eg − f 2 = − Evv + Fuv − Guu 2 2 − Γ1 Γ1 − (Γ1 )2 E 11 22 12 − Γ1 Γ2 + Γ2 Γ1 − 2Γ1 Γ2 F 11 22 11 22 12 12 − Γ2 Γ2 − (Γ2 )2 G. 11 22 12 La f´rmula (5.13) muestra ahora que la curvatura de Gauss de un punto o depende unicamente de los coeficientes E , F , G de la primera forma fundamental ´ y sus derivadas. Puesto que dos superficies localmente isom´tricas tienen cartas e con los mismos coeficientes E , F , G, hemos probado el resultado que Gauss, en sus Diquisitiones generales circa superficies curuas, present´ con el nombre de o theorema egregium: Teorema 5.30 (Gauss) Las isometr´ locales conservan la curvatura. ıas Las ecuaciones (5.11) nos dan la siguiente expresi´n para la curvatura reso pecto a una carta con F = 0: K= 2 Eu G u + E v Evv + Guu Ev Gv + G2 u − + , 4E 2 G 4EG2 2EG si F = 0. Desde aqu´ es f´cil deducir a su vez los siguientes casos particulares: ı a K=− 1 2A ∂ 2 log A ∂ 2 log A , si F = 0, E = G = A, + ∂u2 ∂v 2 √ 1 ∂2 G K = −√ , si F = 0, E = 1. G ∂u2 En particular, la curvatura de la superficie de revoluci´n definida por la o curva r(u), z (u) es r (u) K=− . r(u) 228 Cap´ ıtulo 5. Introducci´n a las variedades diferenciables o *Ejemplo Notemos que sin el teorema de Gauss no tendr´ sentido hablar ıa de la curvatura del plano hiperb´lico, pues lo unico que sabemos de ´l es que o ´ e sus modelos se comportan como cartas de una variedad desconocida de la que tenemos su primera forma fundamental. Sin embargo, las f´rmulas anteriores o nos permiten calcular su curvatura a partir de estos datos. Por ejemplo, en el caso del semiplano de Poincar´, donde E = G = 1/v 2 y F = 0, ahora es f´cil e a calcular que K = −1. As´ pues, si pudi´ramos identificar el plano hiperb´lico ı e o con una superficie en R3 , ´sta tendr´ que tener curvatura constante igual a e ıa −1. En el caso del plano el´ ıptico sabemos que localmente es como la esfera de radio 1, luego si pudi´ramos identificar el plano el´ e ıptico con una superficie de R3 , ´sta tendr´ que tener curvatura constante igual a 1. Ahora vamos a probar e ıa que existen variedades cuya relaci´n con el plano hiperb´lico es la misma que o o hay entre la esfera y el plano el´ ıptico. Ejemplo Se llama pseudoesfera a la superficie de revoluci´n P generada por o la tractriz. Recordemos que la tractriz es r(u), z (u) = l sen u, l cos u + l log tan u . 2 Por lo tanto la pseudoesfera est´ dada por a X (u, v ) = l sen u cos v, l sen u sen v, l cos u + l log tan u . 2 Recordemos tambi´n que la longitud de arco es s = e −l log sen u, luego sen u = e−s/l . La carta de P que resulta de tomar la tractriz parametrizada por el arco tiene la primera forma fundamental determinada por E = 1, F = 0, G = r(s)2 = l2 e−2s/l . De aqu´ se sigue f´cilmente que K = −1/l2 . ı a Por lo tanto un ejemplo de superficie de curvatura constante igual a K < 0 es la pseudoesfera √ 1 u . sen u cos v, sen u sen v, cos u + log tan 2 −K *Nota La pseudoesfera es al plano hiperb´lico lo que un cilindro es al plano o eucl´ ıdeo. En efecto, hemos visto que si parametrizamos por el arco la tractriz obtenemos una carta de la pseudoesfera cuya primera forma fundamental es (para l = 1) ds2 = dw2 + e−2u dv 2 , donde w ∈ ]0, +∞[ es la longitud de arco de la tractriz (que arriba represent´bamos por s). Las cartas de la pseudoesfera tienen dominios de la forma a (w, v ) ∈ ]0, +∞[×]v0 − π, v0 + π [. Si ahora hacemos el cambio (w, v ) = (log y, x) 5.6. La curvatura de Gauss 229 obtenemos cartas con dominios de la forma ]x0 − π, x0 + π [ × ]1, +∞[ de modo que la primera forma fundamental pasa a ser ds2 = dx2 + dy 2 , y2 es decir, exactamente la del semiplano de Poincar´. Un c´lculo rutinario nos da e a la forma expl´ ıcita de estas cartas: X (x, y ) = cos x sen x , ,− y y y2 − 1 1 1 + log(y − 1) + log y + y 2 2 y2 − 1 . Esto significa que un fragmento del semiplano de Poincar´ de la forma ex0 − π, x0 + π [ × ]1, +∞[ puede verse como un mapa de la pseudoesfera de modo que la longitud hiperb´lica en el mapa coincide con la longitud eucl´ o ıdea sobre la superficie. Por lo tanto la porci´n de pseudoesfera cubierta por la o carta (toda ella menos un meridiano x =cte.) puede identificarse con un fragmento de plano hiperb´lico exactamente igual que una porci´n de esfera puede o o identificarse con un fragmento de plano el´ ıptico. La situaci´n es, como dec´ o ıamos, an´loga a la del cilindro dado por a r cos(v/r), r sen(v/r), u , cuya primera forma fundamental es ds2 = dx2 + dy 2 , igual que la del plano. La diferencia es que, en este caso, al quitarle una recta x =cte. podemos desplegarlo hasta hacerlo plano sin modificar su primera forma fundamental, mientras que la pseudoesfera no puede desplegarse sin sufrir estiramientos que alteren su m´trica y su curvatura. Por ello no podemos extenderla a un plano hiperb´lico e o completo. Cap´ ıtulo VI Ecuaciones diferenciales ordinarias Una ecuaci´n diferencial ordinaria es una relaci´n de la forma o o f t, y (t), y (t), . . . , y n) (t) = 0, donde f : D ⊂ Rn+2 −→ R e y : I −→ R es una funci´n definida en un o intervalo I derivable n veces. Normalmente la funci´n y es desconocida, y o entonces se plantea el problema de integrar la ecuaci´n, es decir, encontrar o todas las funciones y que la satisfacen. El adjetivo “ordinaria” se usa para indicar que la funci´n inc´gnita tiene una sola variable. Las ecuaciones que o o relacionan las derivadas parciales de una funci´n de varias variables se llaman o ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, pero no vamos a ocuparnos de ellas. Dentro de las ecuaciones ordinarias, nos vamos a ocupar unicamente de un ´ caso m´s simple pero suficientemente general: aquel en que tenemos despejada a la derivada de orden mayor, es decir, una ecuaci´n de la forma o y n) (t) = f t, y (t), y (t), . . . , y n−1) (t) . El n´mero n se llama orden de la ecuaci´n. El caso m´s simple es la ecuaci´n u o a o de primer orden y = f (t). Sabemos que si la ecuaci´n tiene soluci´n de hecho o o hay infinitas de ellas pero, en un intervalo dado, cada una se diferencia de las dem´s en una constante, de modo que una soluci´n queda completamente a o determinada cuando se especifica un valor y (t0 ) = y0 . Veremos que esto sigue siendo v´lido para todas las ecuaciones de primer orden. Por ello se define un a problema de Cauchy como y = f (t, y ) y (t0 ) = y0 Resolver el problema significa encontrar una funci´n y definida alrededor de o t0 de modo que satisfaga la ecuaci´n diferencial y cumpla la condici´n inicial o o y (t0 ) = y0 . Probaremos que bajo condiciones muy generales los problemas de Cauchy tienen soluci´n unica. o´ 231 232 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias Toda la teor´ se aplica igualmente al caso de sistemas de ecuaciones diferenıa ciales. De hecho un sistema de ecuaciones puede verse como una unica ecuaci´n ´ o vectorial. Basta considerar que y : I −→ Rn y f : D ⊂ Rn+1 −→ Rn . Son muchas las ocasiones en las que el unico conocimiento que tenemos de ´ una o varias funciones es el hecho de que satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, las ecuaciones (5.10) del cap´ ıtulo anterior son un sistema de ecuaciones de segundo orden que determinan cu´ndo una curva x(s) a representa a una geod´sica de una variedad en una carta dada. Los resultados e que probaremos en este cap´ ıtulo nos asegurar´n en particular la existencia de a geod´sicas. De momento no tenemos garantizada la existencia de soluci´n ni en e o ´ el caso m´s simple: y = f (x). Este es el primer punto que hemos de estudiar, a lo que nos lleva a profundizar un poco m´s en el c´lculo integral. a a 6.1 La integral de Riemann Recordemos que hemos definido la expresi´n o b f (x) dx a como F (b) − F (a), donde F es una primitiva de f , pero la interpretaci´n o geom´trica era el n´mero que resulta de dividir el intervalo [a, b] en intervalos e u infinitesimales de longitud dx y sumar los incrementos infinitesimales f (x) dx. Vamos a dar rigor a esta idea, lo que nos llevar´ a una construcci´n de la integral a o que no postule la existencia de la primitiva. La t´cnica ser´, por supuesto, sustituir la divisi´n en infinitos intervalos ine a o finitesimales por particiones en intervalos de longitud arbitrariamente peque˜a. n Puede probarse que no importa c´mo escojamos estas particiones, por lo que o trabajaremos concretamente con intervalos de longitud 2−n . Para cada n´mero natural n sea Pn = {2−n k | k ∈ Z}. Para cada x ∈ Pn u sea xn = x + 2−n . De este modo, la recta real se divide en una uni´n disjunta o de intervalos de longitud 2−n R= [x, xn [ . x∈Pn Llamaremos F al conjunto de todas las funciones f : R −→ R tales que el conjunto {x ∈ R | f (x) = 0} est´ acotado. Para cada f ∈ F definimos a f (x)2−n . Sn (f ) = x∈Pn Notar que f se anula en todos los puntos de Pn salvo a lo sumo en un n´mero finito de ellos, luego la suma anterior es en realidad una suma finita. u La suma Sn (f ) es la aproximaci´n de la integral de f que resulta de aproximar o el incremento infinitesimal dx por el incremento finito 2−n . 6.1. La integral de Riemann 233 Diremos que f es integrable Riemann si existe f (x) dx = l´ Sn (f ) ∈ R. ım n A esta cantidad la llamaremos integral de Riemann de f . Llamaremos R al conjunto de todas las funciones de F que son integrables Riemann. Si A ⊂ R, llamaremos funci´n caracter´ o ıstica de A a la funci´n χA : R −→ R o dada por 1 si x ∈ A χA (x) = 0 si x ∈ A / Dado un intervalo [a, b] y una funci´n f : R −→ R, es claro que f χ[a,b] ∈ F. o Diremos que f es integrable Riemann en [a, b] si f χ[a,b] es integrable Riemann. En tal caso llamaremos b f (x) dx = f (x)χA (x) dx. a Es obvio que la integrabilidad de f en [a, b] y, en su caso, el valor de la integral s´lo dependen de la restricci´n de f al intervalo considerado. Por lo o o tanto, si f es una funci´n definida en [a, b], diremos que es integrable Riemann o en [a, b] si lo es la extensi´n a R que toma el valor 0 en todos los puntos exteriores o a [a, b]. As´ una funci´n es integrable en [a, b] si y s´lo si lo es, en este sentido, ı, o o su restricci´n a dicho intervalo. o Llamaremos R(a, b) al conjunto de todas las funciones integrables Riemann en [a, b]. Observemos que si f ∈ R, entonces existe un intervalo [a, b] tal que f se anula fuera de [a, b], con lo que f = f χ[a,b] y por lo tanto f ∈ R(a, b) y b f (x) dx = f (x) dx. a Por consiguiente no perdemos generalidad si trabajamos con funciones integrables en un intervalo fijo. Teorema 6.1 Sea [a, b] un intervalo. Se cumplen las propiedades siguientes: a) Si f , g ∈ R(a, b) y α, β ∈ R entonces αf + βg ∈ R(a, b) y b b a b f (x) dx + β αf (x) + βg (x) dx = α a b) Si f , g ∈ R(a, b) y f ≤ g entonces b b f (x) dx ≤ a g (x) dx. a f (x) dx. a 234 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias c) Si f ∈ R(a, b) y |f | tambi´n es integrable entonces e b b f (x) dx ≤ a |f (x)| dx. a d) Si k ∈ [a, b] entonces χ{k} ∈ R(a, b) y b χ{k} dx = 0. a e) Si a < c < b, f ∈ R(a, c) y f ∈ R(c, b) entonces f ∈ R(a, b) y b c f (x) dx = b f (x) dx + a a f (x) dx. c f ) La funci´n constante igual a 1 es integrable en [a, b] y o b dx = b − a. a ´ Demostracion: Las tres primeras propiedades son obvias para las sumas Sn y se trasladan a las integrales por las propiedades de los l´ ımites. Para probar d) observamos que si k ∈ Pn para alg´n n0 entonces Sn (χ{k} ) = 2−n , u para n ≥ n0 y en caso contrario Sn (χ{k} ) = 0 para todo n. En cualquier caso el l´ ımite cuanto n tiende a infinito vale 0. Para probar e) observamos que f χ[a,b] = f χ[a,c] + f χ[c,b] − f (c)χ{b} . El resultado es inmediato a partir de los apartados anteriores. Para demostrar f) consideramos la suma χ[a,b] (x)2−n . Sn (χ[a,b] ) = x∈Pn Si los puntos de Pn contenidos en [a, b] son a ≤ x0 < · · · < xk ≤ b, es claro que k 2−n = xk − x0 ≤ b − a y (b − a) − k 2−n = x0 − a + b − xk ≤ 2−n+1 . Por lo tanto |Sn (χ[a,b] ) − (b − a)| = |(k + 1)2−n − (b − a)| ≤ 2−n+1 + 2−n , luego existe l´ Sn (χ[a,b] ) = b − a. ım n El teorema anterior puede mejorarse considerablemente. Por ejemplo, puede probarse que si f es integrable entonces |f | tambi´n lo es, con lo que sobra la e 6.1. La integral de Riemann 235 hip´tesis correspondiente en el apartado c). As´ mismo, si a < c < b, la integrao ı bilidad de f en [a, b] implica la integrabilidad en [a, c] y [c, b]. Tambi´n puede e probarse que el producto de funciones integrables es integrable. No entraremos en todo esto porque vamos a trabajar unicamente con funciones continuas, y ´ estos hechos resultan triviales en este caso una vez probado el teorema siguiente. Teorema 6.2 Toda funci´n continua en un intervalo [a, b] es integrable Rieo mann en [a, b]. ´ Demostracion: En la prueba usaremos la siguiente observaci´n sobre las o sumas Sn (f ): Si una funci´n f es constante sobre cada intervalo [x, xn [ con o x ∈ Pn , entonces Sn (f ) = Sn+1 (f ). En efecto, los puntos de Pn+1 son los de Pn y los de la forma x + 2−n−1 , con x ∈ Pn . Por consiguiente f (x) + f (x + 2−n−1 ) 2−n−1 = Sn+1 (f ) = x∈Pn 2f (x)2−n−1 = Sn (f ). x∈Pn De aqu´ se sigue a su vez que Sn (f ) = Sm (f ) para m ≥ n. ı Consideremos ahora una funci´n f continua en [a, b] y sea > 0. Por el o teorema 2.36 sabemos que f es uniformemente continua en [a, b], luego existe un δ > 0 tal que si x, x ∈ [a, b] cumplen |x − x | < δ entonces |f (x) − f (x )| < 2(b − a) . Sea n0 un n´mero natural tal que 1/n0 < δ . Podemos exigir adem´s que u a 2−n0 +1 < b − a. Para cada x ∈ Pn0 sea mx = ´ {f (t) | t ∈ x, xn0 ∩ [a, b]}, ınf Mx = sup{f (t) | t ∈ x, xn0 ∩ [a, b]}. Estos supremos e ´ ınfimos existen porque f est´ acotada en [a, b] (por coma pacidad). Entendemos que si x, xn0 ∩ [a, b] = ∅ entonces mx = Mx = 0. Puesto que xn0 − x < 2−n0 < δ tenemos que la distancia entre dos valores de f en un intervalo x, xn0 ∩ [a, b] no es superior a /2(b − a), de donde se concluye inmediatamente que Mx − mx ≤ /2(b − a). Llamemos g y h a las funciones que en cada intervalo x, xn0 toman el valor constante mx y Mx respectivamente. Entonces es claro que g ≤ f ≤ h y 0 ≤ h − g ≤ /2(b − a). Para todo n ≥ n0 se cumple Sn0 (g ) = Sn (g ) ≤ Sn (f ) ≤ Sn (h) = Sn0 (h), luego para n, m ≥ n0 se cumple (Mx − mx )2−n0 |Sn (f ) − Sm (f )| ≤ Sn0 (h − g ) = x∈Pn0 236 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias Si llamamos k al n´mero de puntos x ∈ Pn0 tales que x, xn0 ⊂ [a, b] es u claro que k 2−n0 ≤ b − a. Puede ocurrir que haya dos puntos adicionales y ∈ Pn tal que y , yn0 no est´ contenido en [a, b] pero corte a [a, b]. En cualquier caso e hay a lo sumo k + 2 intervalos que cortan a [a, b] y por lo tanto la suma anterior tiene a lo sumo k + 2 sumandos no nulos. As´ pues ı |Sn (f ) − Sm (f )| ≤ (k + 2)2−n0 2(b − a) <. Esto prueba que la sucesi´n Sn (f ) es de Cauchy, luego converge, luego f es o integrable Riemann. Conviene introducir el convenio de que b a f (x) dx = − a a f (x) dx, b f (x) dx = 0. a De este modo la f´rmula del apartado e) del teorema 6.1 se cumple para tres o puntos cualesquiera a, b, c independientemente de c´mo est´n ordenados o de o e si son iguales o no. En particular, si f es una funci´n continua en un intervalo o I (no necesariamente acotado) y a ∈ I podemos definir x F (x) = f (t) dt a para todo x ∈ I . Ahora probamos que la integral de Riemann de una funci´n o continua coincide con la integral calculada mediante una primitiva. Teorema 6.3 Sea f una funci´n continua en un intervalo I y sea a ∈ I . Eno tonces la funci´n o x F (x) = f (t) dt a es derivable en el interior de I y F = f . ´ Demostracion: Sea x un punto interior de I y sea J ⊂ I un intervalo cerrado y acotado que contenga a a y a x (a ´ste ultimo en su interior). Por e ´ el teorema 2.36 la funci´n f es uniformemente continua en J , luego para cada o > 0 existe un δ > 0 tal que si u, u ∈ J , |u − u | < δ entonces |f (u) − f (u )| < . Sea h ∈ R tal que |h| < δ y x + h ∈ J . Sean m y M el m´ ınimo y el m´ximo a de f en el intervalo cerrado de extremos x y x + h. Si h > 0 x+h x+h m dt ≤ mh = x x+h f (t) dt ≤ x M dt = M h. x Si h < 0 se invierten las desigualdades, pero en ambos casos resulta m≤ x+h x f (t) dt ≤ M. h 6.1. La integral de Riemann 237 Por el teorema de los valores intermedios existe un α entre x y x + h de modo que x+h f (t) dt F (x + h) − F (x) f (α) = x = . h h Claramente |α − x| < |h| < δ , luego F (x + h) − F (x) − f (x) = |f (α) − f (x)| < , h por lo que existe F (x) = f (x). Como consecuencia obtenemos: Teorema 6.4 (Regla de Barrow) Si f es una funci´n continua en un intero valo [a, b] entonces F tiene una primitiva F en [a, b] y b f (x) dx = F (b) − F (a). a ´ Demostracion: Cuando decimos que F es una primitiva de f en [a, b] queremos decir que F es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ y F = f en ]a, b[. Basta tomar como F la funci´n o x F (x) = f (t) dt, c donde a < c < b. S´lo falta probar que F es continua en a y en b, lo cual es o sencillo: Sea |f (x)| ≤ M en [a, b]. Entonces b |F (b) − F (x)| ≤ b |f (t)| dt ≤ x M dt = M (b − x), x luego si |b − x| < δ = /M se cumple |F (b) − F (x)| < , lo que prueba la continuidad en b, e igualmente sucede con a. Puesto que toda funci´n continua tiene primitiva, todo arco x de clase C 1 o es rectificable, pues la funci´n x es continua. o Ejemplo Vamos a demostrar el resultado que dejamos pendiente en el cap´ ıtulo III, a saber, la convergencia de la serie de Taylor del arco tangente incluso en los puntos frontera ±1. Para ello partimos de la suma parcial de la serie geom´trica de raz´n −t2 : e o 1 t2n+2 = 1 − t2 + t4 + · · · + (−1)n t2n + (−1)n+1 . 1 + t2 1 + t2 Integrando ambos miembros resulta x arctan x = 0 1 dt 1 + t2 x2n+1 x3 x5 + − · · · + (−1)n 3 5 2n + 1 x 2n+2 t + (−1)n+1 dt. 2 0 1+t = x− 238 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias El polinomio de la derecha es el polinomio de Taylor del arco tangente, luego x |R2n+1 (x)| = 0 t2n+2 dt ≤ 1 + t2 x t2n+2 dt = 0 |x|2n+3 , 2n + 3 de donde se sigue que el resto tiende a cero incluso si x = ±1, como hab´ que ıa probar. Finalmente definimos la integral de una funci´n f : [a, b] −→ Rn como o b b f (x) dx = a b f1 (x) dx, . . . , a fn (x) dx , a entendiendo que f es integrable Riemann en [a, b] si y s´lo si lo son todas sus o funciones coordenadas fi . 6.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden Nos ocupamos ahora de asegurar la existencia y unicidad de la soluci´n de o los problemas de Cauchy. Nos basaremos en un resultado general sobre espacios m´tricos completos: e Teorema 6.5 (Teorema de punto fijo de Banach) Sea M un espacio m´e trico completo y T : M −→ M una aplicaci´n tal que existe un n´mero real o u 0 < α < 1 de modo que d T (x), T (y ) < α d(x, y ), para todo x, y ∈ M. Entonces existe un unico x ∈ M tal que T (x) = x. ´ Las aplicaciones T que cumplen la propiedad indicada se llaman contractivas. Los puntos x que cumplen T (x) = x se llaman puntos fijos de T . El teorema afirma, pues, que toda aplicaci´n contractiva en un espacio m´trico completo o e tiene un unico punto fijo. ´ ´ Demostracion: Tomamos un punto arbitrario x0 ∈ M y consideramos la sucesi´n dada por xn+1 = T (xn ). Por la propiedad de T , tenemos que o d(x1 , x2 ) = d T (x0 ), T (x1 ) < α d(x0 , x1 ), d(x2 , x3 ) = d T (x1 ), T (x2 ) < α d(x1 , x2 ) = α2 d(x0 , x1 ), y en general concluimos d(xn , xn+1 ) < αn d(x0 , x1 ). Aplicando la desigualdad triangular resulta, para n < m, m−1 ∞ αi d(xn , xm ) < i=n αi d(x0 , x1 ) < i=n d(x0 , x1 ) = αn d(x0 , x1 ). 1−α 6.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 239 El t´rmino de la derecha tiende a 0, lo que significa que la sucesi´n xn es de e o Cauchy. Como el espacio M es completo existe x = l´ xn ∈ M . Veamos que x ım n es un punto fijo de T . Para ello observamos que d x, T (x) ≤ d(x, xn ) + d(xn , xn+1 ) + d xn+1 , T (x) < (1 + α)d(x, xn ) + αn d(x0 , x1 ). El ultimo t´rmino tiende a 0, luego ha de ser d x, T (x) = 0, es decir, ´ e T (x) = x. Si y es otro punto fijo de T , entonces d T (x), T (y ) = d(x, y ), en contradicci´n con la propiedad contractiva, luego el punto fijo es unico. o ´ Es frecuente que una ecuaci´n diferencial dependa de uno m´s par´metros. o a a Por ejemplo, la fuerza F (t, x) que afecta a un m´vil de masa m es, por lo general, o funci´n del tiempo t y de la posici´n x. La segunda ley de Newton afirma que o o su trayectoria x(t) obedece la ecuaci´n diferencial de segundo orden o F (t, x) = m x (t), donde la masa m es un par´metro. En casos como este podemos considerar a la soluci´n como funci´n de los par´metros, es decir, x(t, m) es la posici´n en o o a o el instante t de un cuerpo de masa m sometido a la fuerza F (t, x) (y en unas condiciones iniciales dadas). En el teorema de existencia y unicidad que damos a continuaci´n contemplamos la existencia de estos par´metros y probamos que o a la soluci´n depende continuamente de ellos. o 0 0 Teorema 6.6 Sean t0 , a, b1 , . . . , bn , y1 , . . . , yn n´meros reales. Consideremos u una aplicaci´n continua o n f : [t0 − a, t0 + a] × 0 0 [yi − bi , yi + bi ] × K −→ Rn , i=1 donde K es un espacio m´trico compacto. Sea M una cota de f respecto a la e n norma ∞ en R . Supongamos que existe una constante N tal que f (t, y, µ) − f (t, z, µ) ∞ ≤N y−z ∞. Entonces el problema de Cauchy y (t, µ) = f (t, y, µ) y (t0 , µ) = y0 tiene soluci´n unica y : [t0 − h0 , t0 + h0 ] × K −→ Rn , continua en su dominio, o´ u donde h0 es cualquier n´mero real tal que 0 < h0 ≤ m´ a, ın b1 bn ,..., M M , h0 < 1 . N 240 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias Se entiende que derivada de y que aparece en el problema de Cauchy es respecto de la variable t. Te´ricamente deber´ o ıamos usar la notaci´n de derivadas o parciales, pero es costumbre usar la notaci´n del an´lisis de una variable para o a evitar que el problema parezca una ecuaci´n diferencial en derivadas parciales, o cuando en realidad no lo es. ´ Demostracion: Sea h0 en las condiciones indicadas, sea I = [t − h0 , t + h0 ], n sea D = i=1 0 0 [yi − bi , yi + bi ] y sea M = C (I × K, D), que es un espacio de Banach con la norma supremo. Definimos el operador T : M −→ M mediante t T (y )(t, µ) = y 0 + f t, y (t, µ), µ dt. t0 Hemos de probar que T (y )(t, µ) ∈ D y que T (y ) es una aplicaci´n continua. o En primer lugar, t 0 T (y )i (t, µ) − yi t fi (t, y, µ) dt ≤ = t |fi (t, y, µ)| dt ≤ M t0 t0 dt t0 = M |t − t0 | ≤ M h0 ≤ bi . Esto prueba que T (y )(t, µ) ∈ D. La continuidad es consecuencia de un c´lculo rutinario: a T (y )(t1 , µ1 ) − T (y )(t2 , µ2 ) t1 ≤ m´x a i t0 t1 i = m´x a i fi (t, y, µ1 ) dt − i fi (t, y, µ2 ) dt t0 t1 fi (t, y, µ2 ) dt + t0 fi (t, y, µ2 ) dt − t2 fi (t, y, µ2 ) dt t0 fi (t, y, µ1 ) − fi (t, y, µ2 ) dt + t0 ≤ m´x a t2 fi (t, y, µ1 ) dt − t0 t0 t1 ≤ m´x a t1 ∞ t1 fi (t, y, µ2 ) dt t2 t1 fi (t, y, µ1 ) − fi (t, y, µ2 ) dt + M |t1 − t2 |. t0 Sea > 0. La funci´n fi (t, y (t, µ), µ) es uniformemente continua en el o compacto I × K , luego existe un δ > 0 tal que si d(µ1 , µ2 ) < δ , entonces |fi (t, y, µ1 ) − fi (t, y, µ2 )| < /2h0 . Podemos suponer que esto vale para todo i = 1, . . . , n, y si suponemos tambi´n que |t1 − t2 | < /2M concluimos que e T (y )(t1 , µ1 ) − T (y )(t2 , µ2 ) ∞ <. Esto prueba la continuidad de T (y ) en el punto (t1 , µ1 ). 6.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 241 Ahora probamos que T es contractivo, con constante α = N h0 < 1. En efecto, t T (y )(t, µ) − T (z )(t, µ) ∞ fi (t, y (t, µ), µ) − fi (t, z (t, µ), µ) dt = m´x a i t0 t ≤ m´x a i t N y (t, µ) − z (t, µ) ∞ dt ≤ N m´x a i t0 y − z dt ≤ N h0 y − z . t0 Por definici´n de norma supremo resulta T (y ) − T (z ) ≤ α y − z . El o teorema anterior implica ahora la existencia de una unica funci´n y ∈ M tal ´ o que t y (t, µ) = y 0 + f (t, y, µ) dt, t0 pero es claro que esto equivale a ser soluci´n del problema de Cauchy, luego ´ste o e tiene soluci´n unica. o´ En la pr´ctica, hay una hip´tesis m´s fuerte que la condici´n de Lipschitz a o a o que hemos exigido en el teorema anterior pero que es m´s f´cil de comprobar. aa Se trata de exigir simplemente que la funci´n f sea de clase C 1 . o Teorema 6.7 Sea f : D ⊂ Rn −→ Rm una funci´n de clase C 1 en un abierto o D. Para todo subconjunto compacto convexo C ⊂ D existe una constante N tal que si y , z ∈ C entonces f (y ) − f (z ) ∞ ≤ N y − z ∞ . ´ Demostracion: Si llamamos f1 , . . . , fm a las funciones coordenadas de f , basta probar que |fi (y ) − fi (z )| ≤ Ni y − z ∞ para todo y , z ∈ C , pues tomando como N la mayor de las constantes Ni se cumple la desigualdad buscada. Equivalentemente, podemos suponer que m = 1. Dados y , z ∈ C , consideramos la funci´n g (h) = f y + h(z − y ) , definida en o [0, 1], pues C es convexo. Se cumple g (0) = f (y ), g (1) = f (z ). Por el teorema del valor medio existe 0 < h0 < 1 tal que f (z ) − f (y ) = g (h0 ) = df (ξ )(z − y ) = ∇f (ξ )(z − y ), donde ξ = y + h0 (z − y ) ∈ C . Sea N0 una cota del m´dulo de las derivadas o parciales de f (que por hip´tesis son continuas) en el compacto C . Entonces o n |f (z ) − f (y )| = n Di f (ξ )(zi − yi ) ≤ i=1 N0 z − y ∞ = nN0 z − y ∞. i=1 En realidad, si tomamos como hip´tesis que la ecuaci´n diferencial sea o o de clase C 1 obtenemos no s´lo la continuidad de la soluci´n respecto de los o o par´metros, sino tambi´n la derivabilidad. a e 242 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias Teorema 6.8 Sea f : D ⊂ R × Rn × Rm −→ Rn una funci´n de clase C 1 en el o abierto D. Sea (t0 , y0 , µ) ∈ D. Entonces el problema de Cauchy y (t, µ) = f (t, y, µ) y (t0 , µ) = y0 tiene soluci´n unica definida y de clase C 1 en un entorno de (t0 , µ). o´ ´ Demostracion: Tomamos un entorno C de (t0 , y0 , µ) que est´ contenido en e D y sea producto de intervalos cerrados de centro cada una de las componentes del punto. En particular es convexo y compacto. El teorema anterior garantiza que se cumplen las hip´tesis del teorema de existencia y unicidad. Falta probar o que la funci´n y (t, µ) es de clase C 1 en su dominio. o Obviamente y es derivable respecto de t y la derivada es continua. Veamos que lo mismo sucede con las dem´s variables. Sea ei un vector de la base a can´nica de Rm . Consideramos un punto (t1 , µ1 ) del dominio de y . La funci´n o o Q(t, µ, h) = y (t, µ + hei ) − y (t, µ) h est´ definida en los puntos de un entorno de (t1 , µ1 , 0) para los que h = 0. a Hemos de probar que tiene l´ ımite cuando h tiende a 0. Claramente ∂Q f (t, y (t, µ + hei ), µ + hei ) − f (t, y (t, µ), µ) = . ∂t h Llamemos f (p + x) − f (p) − df (p)(x) x E (p, x) = 0 si x = 0 si x = 0 Se comprueba que es continua en un entorno de (t1 , y (t1 , µ1 ), µ1 , 0). S´lo o hay que ver la continuidad en los puntos de la forma (q, 0). Se demuestra para cada funci´n coordenada independientemente, y a su vez para ello se aplica el o teorema del valor medio la la funci´n fj (p + tx). El resultado es que o Ej (p, x) = ∇fj (p ) − ∇fj (p) x , x donde p es un punto entre p y p + x, y ahora basta aplicar la continuidad de las derivadas parciales de f . En t´rminos de E tenemos e ∂Q = df (t, y (t, µ), µ) 0, Q(t, µ, h), ei ∂t + (0, Q(t, µ, h), 1) |h| E (0, y (t, µ + hei ) − y (t, µ), h). h 6.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 243 M´s brevemente a ∂Q = df (t, y (t, µ), µ) 0, Q(t, µ, h), ei + (0, Q(t, µ, h), 1) E ∗ (t, µ, h), ∂t entendiendo que E ∗ (t, µ, h) es continua en un entorno de (t1 , µ1 , 0) y se anula en los puntos donde h = 0. Esto significa que Q es la soluci´n de una ecuaci´n diferencial determinada o o por la funci´n continua o g (t, Q, µ, h) = df (t, y (t, µ), µ) 0, Q, ei + (0, Q, 1) E ∗ (t, µ, h), donde µ y h son par´metros. Esta funci´n no es diferenciable, pero cumple a o claramente la hip´tesis del teorema 6.6. Concretamente la consideramos definida o en un producto de intervalos de centros t1 , Q(t1 , µ1 , h) (para un h fijo) por un entorno compacto K de (µ1 , h) que contenga a (µ1 , 0). Si tomamos como o condici´n inicial en el punto (t1 , µ1 , h) la determinada por la funci´n Q que ya o tenemos definida, el teorema 6.6 nos garantiza la existencia de soluci´n continua o en un conjunto de la forma [t1 − r, t1 + r] × K . Por la unicidad la soluci´n debe o coincidir con la funci´n Q que ya ten´ o ıamos. En particular coincidir´ con ella a en los puntos de un entorno de (t1 , µ1 , 0) tales que h = 0. De aqu´ se sigue que ı existe ∂y l´ Q(t1 , µ1 , h) = ım (t1 , µ1 ). h→0 ∂µi M´s a´n, esta derivada satisface la ecuaci´n diferencial au o ∂ ∂y = df t, y (t, µ), µ ∂t ∂µi 0, ∂y , ei . ∂µi Esto implica que es continua, luego y es de clase C 1 . Hemos probado que las derivadas respecto a los par´metros de una ecuaci´n a o diferencial determinada por una funci´n de clase C k satisfacen una ecuaci´n o o o o diferencial de clase C k−1 . Una simple inducci´n prueba entonces que la soluci´n y de una ecuaci´n de clase C k es una funci´n de clase C k . o o Notemos que la soluci´n y de un problema de Cauchy puede considerarse o tambi´n como funci´n de las condiciones iniciales, es decir, y (t, µ, t0 , y0 ). Del e o teorema anterior se deduce que y es continua respecto a todas las variables, es decir, como funci´n definida en un entorno de (t0 , µ, t0 , y0 ) en R × Rm × R × Rn . o Para ello basta ver que si hacemos z = y (t, µ, t0 , y0 ) − y0 y r = t − t0 , el problema y (t) = f (t, y, µ) y (t0 ) = y0 es equivalente a z (r) = f (r + t0 , z + y0 , µ) z (0) = 0 en el sentido de que una soluci´n de uno da una del otro mediante los cambios de o variable indicados. El segundo miembro del segundo problema es una funci´n o 244 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias g (r, z, ν ), donde ν = (t0 , y0 , µ) ∈ D. Concretamente, el dominio de g es el abierto {(r, z, t0 , y0 , µ) | (r + t0 , z + y0 , µ) ∈ D, (t0 , y0 , µ) ∈ D}. Una soluci´n z del segundo problema definida en un entorno de (0, t0 , y0 , µ) o se traduce en una soluci´n y (t, µ, t0 , y0 ) del primer problema definida en un o entorno de (t0 , µ, t0 , y0 ). En definitiva tenemos el siguiente enunciado, m´s a completo, del teorema de existencia y unicidad: Teorema 6.9 Sea f : D ⊂ R × Rn × Rm −→ Rn una funci´n de clase C k o (k ≥ 1) en el abierto D. Sea (t0 , y0 , µ) ∈ D. Entonces el problema de Cauchy y (t, µ, t0 , y0 ) = f (t, y, µ) y (t0 , µ, t0 , y0 ) = y0 tiene soluci´n unica de clase C k en un entorno de (t0 , µ, t0 , y0 ). o´ Conviene interpretar las ecuaciones diferenciales de primer orden en t´rminos e cercanos a las aplicaciones f´ ısicas. Supongamos que D es una regi´n del espacio o ocupada por un fluido en movimiento, como puede ser el aire o un caudal de agua. Podemos considerar entonces la funci´n V : I × D ⊂ R × Rn −→ Rn que o determina la velocidad del fluido Vt (x) en cada instante t ∈ I y en cada punto x ∈ D. Es lo que se llama un campo de velocidades variable. Si V no depende de t tenemos un campo de velocidades estacionario. Entonces, la soluci´n del o problema de Cauchy x (t) = Vt x(t) x(t0 ) = x0 se interpreta como la trayectoria que seguir´ un cuerpo de masa despreciable (un a papel en el aire) abandonado en el punto x0 en el instante t0 . Las soluciones se llaman l´ ıneas de flujo del campo de velocidades. Estos problemas son el objeto de estudio de la hidrodin´mica, o mec´nica de fluidos. Observemos que a a cualquier problema de Cauchy puede interpretarse de este modo, lo cual es conveniente en muchas ocasiones. La funci´n x(t, µ, t0 , y0 ) dada por el teorema o anterior se conoce como flujo del campo de velocidades. Cuando el campo es estacionario el instante inicial t0 es irrelevante, pues claramente x(t, µ, t0 , y0 ) = x(t − t0 , µ, 0, y0 ), por lo que podemos suponer siempre que t0 = 0 y entender que o el flujo x(t, µ, y0 ) indica la posici´n de un objeto sometido al campo t unidades de tiempo despu´s de que se encontrara en la posici´n y0 . e o Otra cuesti´n importante es el dominio de la soluci´n y (t) (para unos par´o o a metros y condiciones iniciales dados). En principio hemos probado que la ecuaci´n tiene soluci´n unica en un entorno de t0 , pero una soluci´n dada en un o o´ o entorno dado puede admitir prolongaciones a un intervalo mayor. Haciendo uso de las estimaciones expl´ ıcitas del teorema 6.6 junto con la unicidad de las soluciones es f´cil ver que dos prolongaciones de una misma soluci´n han de coincidir a o en su dominio com´n, luego la uni´n de todas las prolongaciones constituye una u o soluci´n m´xima, no prolongable, de la ecuaci´n diferencial. El dominio de esta o a o soluci´n m´xima ha de ser un intervalo abierto, sin que pueda prolongarse por o a 6.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 245 continuidad a sus extremos, o de lo contrario podr´ ıamos usar el teorema de existencia para prolongar la soluci´n un poco m´s tomando como condiciones o a iniciales los valores en dicho extremo. Si el dominio de la soluci´n m´xima est´ o a a acotado superior o inferiormente, ello se debe necesariamente a que la curva obtenida tiende a infinito en el extremo o bien se acerca a la frontera del abierto donde est´ definido el problema. No entraremos en detalles sobre esto. a Como ejemplo de aplicaci´n del teorema anterior demostramos lo siguiente: o Teorema 6.10 Dadas dos funciones κ, τ : I −→ R de clase C 2 de modo que κ ≥ 0 y un punto t0 ∈ I , existe una curva regular x : ]t0 − , t0 + [ −→ R3 parametrizada por el arco tal que κ y τ son respectivamente su curvatura y su torsi´n. La curva es unica salvo isometr´ o ´ ıas. ´ Demostracion: La unicidad nos la da el teorema 4.23. Para probar la existencia consideramos el sistema de ecuaciones diferenciales determinado por las f´rmulas de Frenet: o T = κN, N = −κT − τ B, B = τ N. Se trata de un sistema de nueve ecuaciones diferenciales con inc´gnitas las o nueve funciones coordenadas de T , N y B . Tomamos unas condiciones iniciales cualesquiera T0 , N0 , B0 tales que formen una base ortonormal positivamente orientada. Por el teorema anterior existen unas unicas funciones (T, B, N ) que ´ satisfacen las ecuaciones. Un simple c´lculo nos da a (T N ) (N B ) (N N ) = κN N − κT T − τ T B, = −κT B − τ BB + τ N N = −2κT N − 2τ N B (T B ) (T T ) (BB ) = κN B + τ T N, = 2κT N, = 2τ N B. Vemos que las seis funciones T N , T B , N B , T T , N N , BB satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales con la condici´n inicial (0, 0, 0, 1, 1, 1) que por o otra parte es claro que tiene por soluci´n a la funci´n constante (0, 0, 0, 1, 1, 1). o o La unicidad implica que (T, N, B ) es una base ortonormal de R3 . Definimos s x(s) = T (s) ds. t0 Entonces es claro que x (s) = T (s), luego en particular x est´ parametrizada a por el arco. Adem´s x (s) = κN , luego κ es la curvatura de x. Un simple c´lculo a a nos da que la torsi´n es τ . o Veamos ahora una aplicaci´n a las variedades diferenciables. Sea S ⊂ Rm o una variedad de dimensi´n n y α : I −→ S una curva parametrizada por el o arco. Sea α(s0 ) = p. Sea X una carta de S alrededor de p. Entonces α tiene asociada una representaci´n en la carta x(s) de modo que α(s) = X x(s) . Un o vector arbitrario w0 ∈ Tp (S ) es de la forma w0 = dX (x(s0 ))(a0 ). Teniendo en cuenta las ecuaciones (5.8) del cap´ ıtulo anterior es claro que la soluci´n a(s) del o problema n ai Γk xj = 0 ij ak + i,j =1 246 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias con la condici´n inicial a(s0 ) = a0 determina un campo de vectores o w(s) = a1 (s) D1 X x(s) + · · · + an (s) Dn X x(s) con derivada covariante nula. Con esto casi tenemos demostrado el teorema siguiente: Teorema Sea S una variedad y α : I −→ S una curva parametrizada por el arco. Sea α(s0 ) = p y sea w0 ∈ Tp (S ). Entonces existe un unico campo ´ w : I −→ R3 tal que w(s) ∈ Tα(s) (S ), w(s0 ) = w0 y Dw = 0. Lo llamaremos e transporte paralelo de w0 a trav´s de α. En realidad hemos probado la existencia de w en un entorno de s0 . Vamos a justificar que la soluci´n puede prolongarse a todo I . Para ello conviene o observar que al ser Dw = 0 tenemos que w (s) es perpendicular a Tα(s) (S ), luego (ww) = 2ww = 0, es decir, w es constante. De aqu´ se sigue que el ı transporte paralelo es unico: si w y w son transportes paralelos de un mismo ´ vector, entonces w − w es un transporte paralelo del vector nulo (porque su derivada covariante es la resta de las de los dos campos, luego es nula), luego es la aplicaci´n constantemente nula. o Acabamos de usar la linealidad de la derivada covariante. M´s en general, a si tenemos dos vectores w0 , w0 ∈ Tp (S ) y ambos tienen transporte paralelo w y u w , entonces αw + βw es un transporte paralelo de αw0 + βw0 . Seg´n lo que sabemos, existe un entorno de s0 a lo largo del cual todos los vectores de una base de Tp (S ) tienen transporte paralelo, con lo que de hecho todos los vectores de Tp (S ) lo tienen. Dado cualquier s ∈ I , es claro que el intervalo [s0 , s] (o [s, s0 ] si s < s0 ) puede cubrirse con un n´mero finito de estos entornos donde existe transporte u paralelo, de donde se sigue inmediatamente la existencia de transporte paralelo desde s0 hasta s, luego el transporte paralelo existe sobre todo I . Definici´n 6.11 Sea S una variedad y α : [s0 , s1 ] −→ S una curva parametrio zada por el arco de extremos p y q . Seg´n el teorema anterior, para cada vector u w0 ∈ Tp (S ) tenemos definido el transporte paralelo w(s) a lo largo de α de modo que w(s0 ) = w0 . Al vector tpα (w0 ) = w(s1 ) ∈ Tq (S ) lo llamaremos trasladado pq de w0 a lo largo de α. Esto nos define una aplicaci´n tpα : Tp (S ) −→ Tq (S ) a o pq la que llamaremos transporte paralelo de Tp (S ) a Tq (S ) a lo largo de α. Ejercicio: Probar que el transporte paralelo tpα : Tp (S ) −→ Tq (S ) es una isometr´ ıa. pq 6.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior Las ecuaciones diferenciales que aparecen con mayor frecuencia en f´ ısica y en geometr´ son de orden 2. Afortunadamente, toda la teor´ sobre existencia y ıa ıa unicidad que vamos a necesitar para ecuaciones diferenciales de orden superior se deduce inmediatamente del caso de orden 1. En efecto: 6.3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 247 Teorema 6.12 Sea f : D ⊂ R × Rnm × Rk −→ Rn una funci´n de clase C k o con k ≥ 1 en un abierto D. Entonces la ecuaci´n diferencial o y m) (t) = f (t, y, y , . . . , y m−1) , µ) y (t0 ) = y0 y (t0 ) = y0 ······ ··· m−1) m−1) y (t0 ) = y0 m−1) tiene soluci´n unica y (t, µ, t0 , y0 , y0 , . . . , y0 o´ m−1) ). cada punto (t0 , µ, t0 , y0 , y0 , . . . , y0 ) de clase C k en un entorno de ´ Demostracion: Basta observar que el problema equivale al sistema de ecuaciones de primer orden y (t) = y1 y1 (t) = y2 ······ ··· ym−2 (t) = ym−1 ym−1 (t) = f (t, y, y1 , . . . , ym−1 , µ) m−1 (y, y1 , . . . , ym−1 )(t0 ) = (y0 , y0 , . . . , y0 ) donde hemos introducido las variables auxiliares yi , que representan funciones con valores en Rn . Todo este sistema se puede expresar como una unica ecuaci´n ´ o vectorial en las condiciones de la secci´n anterior. o Ejemplo Vamos a calcular todas las soluciones de la ecuaci´n o y (t) = k y (t), t k ∈ R, t > 0. Obviamente las funciones constantes son soluciones de la ecuaci´n. Si y no o es constante existe un punto t0 > 0 tal que y (t0 ) = 0. Llamemos y1 = y (t). En un entorno de t0 tenemos y1 (t) k =, y1 (t) t luego integrando entre t0 y t queda log y1 (t) − log y (t0 ) = log xk , de donde y1 (t) = y1 (t0 )xk , es decir, y (t) = y (t0 )xk . Integrando de nuevo concluimos que y (t0 ) xk+1 + y (t ) si k = −1 0 k+1 y (t) = y (t0 ) log t + y (t0 ) si k = −1 248 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias Ahora es claro que las soluciones de la ecuaci´n dada est´n todas definidas o a en ]0, +∞[ y vienen dadas por y (t) = Axk+1 + B A log t + B si k = −1 si k = −1 Estas expresiones incluyen las funciones constantes, que hab´ ıamos dejado aparte. El an´logo de segundo orden a un campo de velocidades ser´ un campo de a ıa aceleraciones, pero en f´ ısica resulta m´s natural hablar de campos de fuerzas. a Es frecuente que la fuerza Ft (x) que act´a sobre un cuerpo en un instante dado u dependa unicamente de su posici´n en el espacio, con lo que tenemos una funci´n ´ o o F : I × D −→ Rn . El campo de fuerzas ser´ estacionario si no depende del a tiempo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la trayectoria x(t) de un cuerpo de masa m sometido a este campo vendr´ determinada por la ecuaci´n a o diferencial Ft = m x . La soluci´n depende de la posici´n inicial x0 y la velocidad inicial v0 . o o Ejemplo La ley de la gravitaci´n universal de Newton afirma que la fuerza o con que se atraen mutuamente dos cuerpos es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Consideremos una regi´n del espacio donde haya un cuerpo S de masa M tan o grande que la masa de cualquier otro cuerpo en las proximidades resulte despreciable. Es el caso del Sol, rodeado de planetas de masa insignificante a su lado, o de la Tierra y sus alrededores. En tal caso podemos suponer que la unica ´ fuerza que act´a sobre un cuerpo es la provocada por S . En efecto, cuando deu jamos caer un objeto nuestro cuerpo lo atrae por gravedad, pero esta atracci´n o es completamente inapreciable frente a la gravitaci´n terrestre. Igualmente, o J´piter atrae gravitatoriamente a la Tierra, pero la fuerza con que lo hace es u insignificante frente a la del Sol. Si tomamos un sistema de referencia con origen en el punto donde se halla el objeto masivo S , la fuerza que experimenta otro cuerpo de masa m situado en un punto x viene dada por F =− GM m x, x3 donde G = 6,672 · 10−11 N · m2 /Kg2 es la constante de gravitaci´n universal. El o hecho de que su valor sea tan peque˜o hace que la gravedad no se manifieste n salvo en presencia de grandes masas, como las estrellas y los planetas. Tras estudiar minuciosamente una gran cantidad de observaciones astron´o micas, en 1610 Kepler public´ su astronomia nova, donde conclu´ que los plao ıa netas se mueven siguiendo ´rbitas el´ o ıpticas, de modo que el Sol ocupa uno de ´ los focos. Esta es la primera ley de Kepler. Newton mostr´ que ´ste y muchos o e otros hechos sobre el movimiento de los astros pueden deducirse a partir de las 6.3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 249 leyes b´sicas de la din´mica y de su ley de gravitaci´n. Vamos a comprobar a a o que las trayectorias de los objetos sometidos a un campo de fuerzas como el que estamos considerando son rectas o secciones c´nicas. o En primer lugar, es claro que si un cuerpo se encuentra en un punto x0 en las proximidades del Sol con una velocidad v0 , su trayectoria no saldr´ del a plano determinado por los vectores x0 y v0 (o de la recta que determinan, si son linealmente dependientes). Por ello podemos tomar el sistema de referencia de modo que el eje Z sea perpendicular a este plano, con lo que la trayectoria cumplir´ z = 0 y podemos trabajar unicamente con las coordenadas (x, y ). a ´ Conviene introducir coordenadas polares, r = (x, y ) = (ρ cos θ, ρ sen θ). En general, cuando la trayectoria de un m´vil viene dada en coordenadas polares o por unas funciones ρ(t), θ(t), se llama velocidad angular a la derivada ω = θ . La segunda derivada α = ω = θ se conoce como aceleraci´n angular. o La ecuaci´n de Newton puede expresarse en t´rminos de la cantidad de moo e vimiento, definida como p = mv , donde v = r es la velocidad del m´vil y m es o su masa. Admitiendo que ´sta es constante, la segunda ley de Newton afirma e que dp F= , dt donde F es la fuerza total que act´a sobre el cuerpo. En particular, la cantidad u de movimiento de un cuerpo sobre el que no act´a ninguna fuerza permanece u constante. Existen magnitudes an´logas a la cantidad de movimiento y la fuerza en a coordenadas polares. Se llama momento angular de un m´vil a la magnitud o L = r ∧ p = m r ∧ v . Si la trayectoria est´ contenida en un plano el vector L a es perpendicular a ´l. Veamos su expresi´n en coordenadas polares. Para ello e o calculamos: v = ρ (cos θ, sen θ) + ρω (− sen θ, cos θ), (6.1) de donde L = mρ(cos θ, sen θ, 0) ∧ ρω (− sen θ, cos θ, 0) = (0, 0, mρ2 ω ). Para un movimiento plano podemos abreviar y escribir L = mρ2 ω . Se define el momento de una fuerza F que act´a sobre un m´vil de posici´n r como u o o M = r ∧ F . Es claro que si sobre un cuerpo act´an varias fuerzas el momento u de la fuerza resultante es la suma de los momentos. La versi´n angular de la o segunda ley de Newton es dL = mv ∧ v + r ∧ ma = r ∧ F = M, dt es decir, el momento total que act´a sobre un m´vil es la derivada de su momento u o angular. En particular, si un cuerpo est´ libre de toda fuerza su momento a angular permanece constante. Sin embargo, el momento angular se conserva incluso en presencia de fuerzas, con tal de que la fuerza resultante sea paralela a la posici´n, como ocurre en el caso de la fuerza gravitatoria que el Sol ejerce o sobre los planetas. 250 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias Esto ya nos da una informaci´n sobre el movimiento de los planetas: puesto o que mρ2 ω ha de ser constante, los planetas giran m´s r´pidamente cuando est´n aa a m´s cerca del Sol. a Veamos ahora la expresi´n de la segunda ley de Newton para la gravitaci´n o o en coordenadas polares. Calculamos la aceleraci´n o a = v = (ρ − ρω 2 )(cos θ, sen θ) + (2ρ ω + ρα)(− sen θ, cos θ). La fuerza gravitatoria es F =− GM m (cos θ, sen θ). ρ2 Teniendo en cuenta que los vectores (cos θ, sen θ) y (− sen θ, cos θ) son ortogonales,la ecuaci´n F = ma equivale a las ecuaciones o ρ − ρω 2 = − GM , ρ2 2ρ ω + ρα = 0. (6.2) La soluci´n es complicada, pero ahora estamos interesados unicamente en la o ´ forma de la trayectoria, aunque sea con otra parametrizaci´n. Por ello, en lugar o de calcular las funciones ρ(t) y θ(t) calcularemos la parametrizaci´n ρ(θ). Por o supuesto hay un caso en el que esta parametrizaci´n es imposible. Si ω0 = 0 o (lo cual equivale a que la velocidad inicial v0 sea nula o paralela a r0 ) entonces es f´cil ver que la soluci´n de las ecuaciones es una recta de la forma ρ(t), θ0 , a o donde ρ est´ determinada por la ecuaci´n a o ρ =− GM ρ2 con las condiciones iniciales ρ0 y ρ0 , determinadas a su vez por r0 y v0 . En efecto, una trayectoria de este tipo cumple ω = α = 0 y satisface trivialmente las ecuaciones. En definitiva, el cuerpo se aleja del Sol en l´ ınea recta o bien cae sobre ´l. Hemos probado que si la trayectoria de un m´vil cumple ω (t) = 0 en e o un instante t entonces ω = 0 en todo instante, luego, rec´ ıprocamente, si ω0 = 0 entonces ω no se anula nunca. Esto hace que la funci´n θ(t) sea un cambio de o par´metro, luego podemos considerar la reparametrizaci´n ρ(θ). Claramente a o ρ = ρθ ω y ρ = ρθ ω 2 + ρθ α. Sustituimos estas igualdades en (6.2) y eliminamos α en la primera usando la segunda. El resultado es la ecuaci´n o ρ− 2ρ 2 GM − ρ ω2 = − 2 , ρ ρ donde ahora todas las derivadas son respecto de θ y no respecto de t. No obstante, la presencia de ω nos obliga a considerar ambos miembros como funciones 6.3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 251 de t (la expresi´n entre par´ntesis es una funci´n de θ compuesta con la funci´n o e o o θ(t)). Sin embargo, al multiplicar ambos miembros por m2 ρ4 queda 1 ρ2 ρ− 2ρ 2 −ρ ρ =− GM m2 , L2 (6.3) donde L = mρ2 ω es una constante, luego todo el segundo miembro es constante y la igualdad sigue siendo v´lida si consideramos el primer miembro como funci´n a o de θ. Recordemos que si r es una recta y F un punto exterior, la c´nica de directriz o r y foco F est´ formada por los puntos tales que la raz´n entre las distancias a a o r y a F es constante (y recibe el nombre de excentricidad de la c´nica). Toda o c´nica que no sea una circunferencia es de esta forma. Si suponemos que el foco o es el origen y la directriz es la recta vertical x = p > 0, entonces la distancia de un punto de coordenadas polares (ρ, θ) a la directriz es |p − ρ cos θ|, luego la ecuaci´n de la c´nica de excentricidad es o o ρ =. p − ρ cos θ En principio faltar´ un valor absoluto. Si ≤ 1 tenemos una elipse o ıa una par´bola y podemos suprimirlo, pues la curva queda al mismo lado de la a directriz que el foco. Si > 1 tenemos una hip´rbola, y al suprimir el valor e absoluto estamos qued´ndonos con una de sus ramas. Lo hacemos as´ porque a ı los cuerpos que se mueven siguiendo trayectorias hiperb´licas tienen al Sol en el o foco correspondiente a la rama que siguen o, dicho de otro modo, que la rama que eliminamos no va a ser soluci´n de la ecuaci´n diferencial. Despejando ρ y o o llamando r = p queda r ρ= , 1 + cos(θ + k ) La constante k equivale a girar la c´nica, de modo que ahora la directriz o es arbitraria. Cualquier curva de esta forma es una c´nica de excentricidad . o Adem´s esta expresi´n incorpora tambi´n a las circunferencias, para las que a o e = 0. Es f´cil calcular a ρ= ρ2 sen(θ + k ), r ρ= 2 2 ρ3 ρ2 sen2 (θ + k ) + cos(θ + k ). 2 r r Al sustituir en el miembro izquierdo de (6.3) se obtiene sin dificultad el valor −1/r, luego concluimos que la c´nica o ρ= L2 1 + cos(θ + k ) GM m2 −1 satisface (6.3). S´lo queda probar que ´stas son las unicas soluciones posibles o, o e ´ lo que es equivalente, que hay una soluci´n de esta forma cualesquiera que sean o las condiciones iniciales ρ0 , θ0 , ρ0 , ω0 . Basta ver que las ecuaciones ρ0 = L2 1 + cos(θ0 + k ) GM m2 −1 , ρ0 = GM m2 ρ2 0 sen(θ0 + k ) L2 252 Cap´ ıtulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias tienen soluci´n en > 0, k para todos los valores de ρ0 , θ0 , ρ0 , ω0 , pero sustio tuyendo L = mρ2 ω0 estas ecuaciones equivalen a 0 cos(θ0 + k ), sen(θ0 + k ) = 2 ρ3 ω 0 ρ ρ2 ω 2 0 − 1, 0 0 0 GM GM , que obviamente tienen soluci´n. Con esto hemos probado que las trayectorias o de los objetos sometidos a la atracci´n de una masa fija puntual son rectas o o secciones c´nicas. o Ejemplo Sea S una variedad diferenciable, sea p ∈ S y w ∈ Tp (S ) un vector unitario. Sea X una carta alrededor de p, p = X (x0 ) y w = dX (x0 ). Entonces existe una unica curva x(t) que verifica las ecuaciones (5.10) del cap´ ´ ıtulo anterior con las condiciones iniciales x(0) = x0 , x (0) = x0 . La curva g (t) = X x(t) es una geod´sica de S parametrizada por el arco tal que g (0) = p y g (0) = w. e Rec´ ıprocamente, la representaci´n en la carta de cualquier geod´sica que cumpla o e esto ha de ser soluci´n de las ecuaciones (5.10), luego g es unica (salvo cambio o ´ de par´metro). En resumen: a En una variedad, por cada punto pasa una unica geod´sica en cada ´ e direcci´n. o Por ejemplo, en el cap´ ıtulo anterior probamos que los c´ ırculos m´ximos son a geod´sicas de la esfera. Puesto que por cada punto y en cada direcci´n pasa un e o c´ ırculo m´ximo, concluimos que los c´ a ırculos m´ximos son las unicas geod´sicas a ´ e de la esfera. *Ejemplo En el cap´ ıtulo anterior demostramos que las rectas el´ ıpticas e hiperb´licas son geod´sicas de los planos el´ o e ıptico e hiperb´lico. Puesto que por o cada punto y en cada direcci´n pasa una unica recta, ahora podemos concluir o ´ que las rectas son las unicas geod´sicas. ´ e Cap´ ıtulo VII Teor´ de la medida ıa Pensemos en el concepto de ´rea de una figura plana F . Una primera aproa ximaci´n consiste en definir dicha area µ(F ) como el n´mero de veces que F o ´ u contiene al cuadrado de lado unidad, pero esta definici´n s´lo es aplicable si oo F es uni´n de un n´mero finito de cuadrados unitarios. Por ejemplo, si F es o u un rect´ngulo de lados m y n (naturales) entonces µ(F ) = mn. Si F es un a rect´ngulo de lados racionales r = p/q y r = p /q , es f´cil concluir que el a a a ´rea del rect´ngulo de lados p y q ha de ser qq veces el ´rea de F , de donde a a µ(F ) = rr . Si F es un rect´ngulo de lados arbitrarios α y β , ya no podemos a compararlo directamente con cuadrados unitarios y hemos de recurrir a un argumento de continuidad: si r < α < s, r < β < s son n´meros racionales, u el ´rea de F ha de ser mayor que el area de un rect´ngulo de lados r y s y a ´ a menor que la de un rect´ngulo de lados r y s , es decir, rs ≤ µ(F ) ≤ r s . El a unico n´mero real posible es µ(F ) = αβ . Una vez determinada el area de un ´ u ´ rect´ngulo arbitrario, existen numerosos y elegantes argumentos que nos permia ten calcular el area de muchas figuras, basados en que el area se conserva por ´ ´ isometr´ as´ como en un principio elemental: ıas ı Si F ∩ G = ∅, entonces µ(F ∪ G) = µ(F ) + µ(G). (7.1) Es f´cil calcular el area de un paralelogramo, de un tri´ngulo, de un pol´ a ´ a ıgono regular arbitrario, etc. Sin embargo, para calcular el area de figuras m´s com´ a plicadas, como pueda ser un c´ ırculo, necesitamos de nuevo argumentos de continuidad. Por ejemplo, si llamamos Pn al pol´ ıgono regular de 2n lados inscrito en un c´ ırculo C y con un v´rtice en un punto prefijado, es f´cil ver que e a ∞ P2 ⊂ P3 ⊂ P4 ⊂ · · · C, y C= Pn , n=2 y en estas circunstancias es natural considerar que µ(C ) = sup µ(Pn ). n 253 254 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Admitiendo (7.1), es f´cil ver que el hecho de que el ´rea de una sucesi´n a a o creciente de conjuntos sea el supremo de las ´reas es equivalente a que el ´rea a a de una uni´n disjunta numerable de conjuntos sea la suma de sus areas. Este o ´ principio engloba a (7.1) y es suficiente para justificar todos los razonamientos sobre c´lculo de areas. Con ´l como unica base podemos justificar la existencia y a ´ e ´ el c´lculo de areas de una amplia familia de figuras. Sin embargo no nos capacita a ´ para definir el area de cualquier subconjunto de R2 . Existen problemas t´cnicos ´ e para ello en los que no vamos a entrar, pero lo cierto es que s´lo podremos definir o una funci´n area µ : M −→ [0, +∞] sobre una cierta familia M, que contendr´ o´ a a todos los c´ ırculos, tri´ngulos, etc., pero que no ser´ todo el conjunto de partes a a de R2 . Conviene introducir una nueva estructura matem´tica que recoja estas ideas a y nos permita extenderlas a otras situaciones an´logas (el volumen en R3 , el a a ´rea en una superficie, etc.) 7.1 Medidas positivas Definici´n 7.1 Sea X un conjunto. Un ´lgebra de subconjuntos de X es una o a familia A de subconjuntos de X tal que: a) ∅, X ∈ A. b) Si A ∈ A, entonces X \ A ∈ A. c) Si A, B ∈ A, entonces A ∪ B, A ∩ B ∈ A. Observar que la propiedad b) hace que la propiedad c) para uniones implique la parte para intersecciones y viceversa. Si dicha propiedad se cumple para familias numerables entonces se dice que A es una σ -´lgebra. a Una medida positiva (o simplemente una medida) en una σ -´lgebra A de suba conjuntos de X es una aplicaci´n µ : A −→ [0, +∞] que cumpla las propiedades o siguientes: a) µ(∅) = 0. b) Si {An }∞ es una familia de conjuntos de A disjuntos dos a dos, entonces n=0 ∞ µ ∞ An n=0 = µ(An ). n=0 Los conjuntos de A se llaman subconjuntos medibles de X . Un espacio medida es una terna (X, A, µ), donde A es una σ -´lgebra de subconjuntos de X a y µ es una medida en A. En la pr´ctica escribiremos X en lugar de (X, A, µ). a La medida µ es unitaria si µ(X ) = 1, es finita si 0 < µ(X ) < +∞ y es σ -finita si µ(X ) > 0 y existen conjuntos medibles {An }∞ de medida finita n=0 tales que ∞ X= An . n=0 7.1. Medidas positivas 255 ´ Este ultimo es el caso del ´rea en el plano o el volumen en el espacio. El area ´ a ´ del plano es infinita, pero podemos descomponerlo en una uni´n numerable de o bolas de area finita. Tambi´n se habla de espacios medida unitarios, finitos o ´ e σ -finitos, seg´n sea la medida definida en ellos. u La σ -´lgebra m´s simple es la formada por todos los subconjuntos de X , pero a a ya hemos comentado que no podremos definir medidas interesantes sobre ella. Es claro que la intersecci´n de una familia de σ -´lgebras sobre un conjunto X o a es de nuevo una σ -´lgebra, por lo que dado G ⊂ X existe una m´ a ınima σ -´lgebra a que contiene a G. Se la llama σ -´lgebra generada por G. Si X es un espacio a topol´gico, la σ -´lgebra generada por los conjuntos abiertos recibe el nombre o a de σ -´lgebra de Borel. Una medida definida sobre la σ -´lgebra de Borel de un a a espacio topol´gico X recibe el nombre de medida de Borel en X . o Las propiedades siguientes de las medidas se deducen inmediatamente de la definici´n. Usamos el convenio de que si a ∈ R entonces a+∞ = +∞+∞ = +∞. o Teorema 7.2 Sea X un espacio medida. a) Si A ⊂ B son medibles entonces µ(A) ≤ µ(B ). b) Si A ⊂ B son medibles y µ(A) < +∞, entonces µ(B \ A) = µ(B ) − µ(A). c) Si A y B son conjuntos medibles disjuntos µ(A ∪ B ) = µ(A) + µ(B ). d) Si A y B son medibles entonces µ(A ∪ B ) ≤ µ(A) + µ(B ). e) Si {An }∞ son medibles entonces n=0 ∞ µ ∞ An n=0 ≤ µ(An ). n=0 f ) Si {An }∞ son medibles y cada An ⊂ An+1 , entonces n=0 ∞ µ An n=0 = sup µ(An ). n g) Si {An }∞ son medibles, cada An+1 ⊂ An y µ(A0 ) < +∞, entonces n=0 ∞ µ An n=0 = ´ µ(An ). ınf n Por ejemplo, para probar el ultimo apartado aplicamos el anterior a los ´ conjuntos A0 \ An . Los conjuntos de medida cero se llaman conjuntos nulos. Si A es un conjunto nulo y B ⊂ A o bien B no es medible o bien es nulo. Sucede que siempre podemos suponer que es nulo, en el sentido de que la σ -´lgebra donde est´ definida una a a medida siempre se puede extender para que incluya a todos los subconjuntos de los conjuntos nulos. Antes de probar esto conviene definir una medida completa como una medida para la cual todos los subconjuntos de un conjunto nulo son medibles (y por lo tanto nulos). 256 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Teorema 7.3 Sea X un conjunto µ : A −→ [0, +∞] una medida definida sobre una σ –´lgebra de subconjuntos de X . Sea a B = {A ⊂ X | existen B, C ∈ A tales que B ⊂ A ⊂ C y µ(C \ B ) = 0}. Entonces B es una σ -´lgebra de subconjuntos de X que contiene a A y µ se a extiende a una unica medida en B, que es completa. ´ ´ Demostracion: Si A ∈ A es claro que A ∈ B. Basta tomar B = C = A. As´ pues A ⊂ A, luego en particular ∅, X ∈ B. ı Si A ∈ B, sean B, C ∈ A tales que B ⊂ A ⊂ C y µ(C \ B ) = 0. Entonces X \ C ⊂ X \ A ⊂ X \ B , y claramente X \ C, X \ A ∈ A y µ (X \ C ) \ (X \ B ) = µ(B \ C ) = 0. Por lo tanto X \ A ∈ B. Para probar que B es una σ -´lgebra basta probar que la a uni´n numerable de elementos de B est´ en B. Sea, pues, {An }∞ una familia o a n=0 u o de elementos de B. Sean {Bn }n y {Cn }n seg´n la definici´n de B. Entonces ∞ ∞ Bn ⊂ n=0 ∞ An ⊂ n=0 Cn , n=0 los conjuntos de los extremos est´n en A y a ∞ 0≤µ ∞ Cn n=0 Por lo tanto ∞ \ ∞ ≤µ Bn n=0 Cn \ Bn = 0. n=0 An ∈ B. Esto prueba que B es una σ -´lgebra. a n=0 Si A ∈ B y B, C son los conjuntos dados por la definici´n, es claro que o µ(B ) = µ(C ). Veamos que podemos extender la medida µ definiendo µ(A) = µ(B ) = µ(C ). Es claro que esta es la unica extensi´n posible. En efecto, ´ o si B y C tambi´n cumplen la definici´n, entonces B \ B ⊂ C \ B , luego e o µ(B \ B ) ≤ µ(C \ B ) = 0, de donde µ(B \ B ) = 0 y µ(B ) = µ(B ), luego B y B dan lugar al mismo valor de µ(A). Veamos que la extensi´n de µ que acabamos de definir es realmente una o medida. Para ello tomamos una familia {An }∞ de elementos de B disjuntos n=0 dos a dos. Sean {Bn } y {Cn } elementos de A que satisfagan la definici´n de B. o ∞ Seg´n hemos visto, los conjuntos u Bn y n=0 ∞ Cn justifican que n=0 ∞ An ∈ B y n=0 es claro que los Bn son disjuntos dos a dos, luego ∞ µ ∞ An n=0 =µ ∞ Bn n=0 = ∞ µ(Bn ) = n=0 µ(An ). n=0 Es claro que la medida en B es completa, pues si A ∈ B es nulo y D ⊂ A, entonces tomamos B, C ∈ A tales que B ⊂ A ⊂ C con µ(B ) = µ(C ) = 0. Claramente ∅ ⊂ D ⊂ C y µ(C \ ∅) = 0, luego D ∈ B. 7.1. Medidas positivas 257 La extensi´n construida en el teorema anterior se conoce como compleci´n o o de µ. En vista de esto, normalmente podremos suponer sin p´rdida de generae lidad que trabajamos con medidas completas. Otra propiedad importante que puede poseer una medida sobre un espacio topol´gico es la regularidad, que o definimos a continuaci´n. o Definici´n 7.4 Diremos que una medida µ en un espacio topol´gico X es reguo o lar si todos los abiertos son medibles, los subespacios compactos tienen medida finita y para todo conjunto medible E se cumple µ(E ) = ´ {µ(V ) | E ⊂ V, V abierto} ınf y µ(E ) = sup{µ(K ) | K ⊂ E, K compacto}. Diremos que la medida es casi regular si la segunda propiedad se cumple al menos cuando µ(E ) < +∞ y cuando E es abierto. En definitiva una medida es regular si la medida de todo conjunto medible puede aproximarse por la medida de un abierto mayor y de un compacto menor. El concepto de medida casi regular lo introducimos por cuestiones t´cnicas, pero e a continuaci´n probamos que en todos los espacios que nos van a interesar es o equivalente a la regularidad. Diremos que un espacio topol´gico es σ -compacto si es uni´n numerable de o o conjuntos compactos. Por ejemplo, todo abierto Ω en Rn es σ -compacto, pues puede expresarse como uni´n de los compactos o Ωn = {x ∈ Ω | x ≤ n, d(x, Rn \ Ω) ≥ 1/n}, n = 1, 2, 3, . . . Teorema 7.5 Toda medida casi regular en un un espacio σ -compacto es regular. ´ Demostracion: Supongamos que X es la uni´n de los compactos {Kn }∞ . o n=1 Sustituyendo cada Kn por su uni´n con los precedentes podemos suponer que si o m ≤ n entonces Km ⊂ Kn . Dado un conjunto de Borel B tal que µ(B ) = +∞, tenemos que ∞ B ∩ Kn , B= n=1 y como la uni´n es creciente sup µ(B ∩ Kn ) = µ(B ) = +∞. Dado R > 0 existe o n un n tal que µ(B ∩ Kn ) > R + 1 y, como µ es casi regular, B ∩ Kn tiene medida finita y existe un compacto K ⊂ B ∩ Kn tal que µ(K ) > R, lo que prueba que µ es regular. Ejercicio: Probar que la compleci´n de una medida regular es una medida regular. o 258 7.2 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Funciones medibles Si X es un espacio medida, a menudo tendremos que trabajar con subconjuntos de X definidos a partir de una aplicaci´n f : X −→ Y y necesitaremos o garantizar que dichos conjuntos son medibles. Esto lo lograremos mediante el concepto de aplicaci´n medible. o Definici´n 7.6 Si X es un espacio medida e Y es un espacio topol´gico, una o o aplicaci´n f : X −→ Y es medible si las antiim´genes por f de los abiertos de o a Y son conjuntos medibles. Como las antiim´genes conservan las operaciones conjuntistas es muy f´cil a a probar que los conjuntos de Y cuyas antiim´genes son medibles forman una a σ -´lgebra, que en el caso de una funci´n medible contiene a los abiertos, luego a o contendr´ a todos los conjuntos de Borel, es decir, una aplicaci´n es medible si a o y s´lo si las antiim´genes de los conjuntos de Borel son conjuntos medibles. El o a siguiente caso particular nos interesar´ especialmente: a Teorema 7.7 Una aplicaci´n f : X −→ [−∞, +∞] es medible si y s´lo si lo o o son todos los conjuntos f −1 ]x, +∞] , para todo x ∈ R. ´ Demostracion: Ya hemos comentado que los conjuntos con antiimagen medible forman una σ -´lgebra A. Hemos de ver que A contiene a los abiertos a de [−∞, +∞]. Por hip´tesis contiene a los intervalos ]x, +∞], luego tambi´n a o e sus complementarios [−∞, x]. Todo intervalo [−∞, x[ es intersecci´n numerable o de los intervalos [−∞, x + 1/n], luego tambi´n est´ en A. De aqu´ se sigue que e a ı A contiene tambi´n a los intervalos ]x, y [ = ]x, +∞] ∩ [−∞, y [. Finalmente, todo e abierto de [−∞, +∞] se expresa como uni´n numerable de intervalos abiertos, o luego est´ en A. a Es claro que la composici´n de una funci´n medible con una funci´n continua o o o es una funci´n medible. Esto nos da, por ejemplo, que si f : X −→ [−∞, +∞] o es medible, tambi´n lo es |f | y αf para todo n´mero real α, as´ como 1/f si f e u ı no se anula. Para probar resultados an´logos cuando intervienen dos funciones (suma de a funciones medibles, etc.) usaremos la observaci´n siguiente: o Si los espacios topol´gicos Y , Z tienen bases numerables (como o [−∞, +∞] y sus subespacios) y u : X −→ Y , v : X −→ Z son aplicaciones medibles, entonces la aplicaci´n u × v : X −→ Y × Z o dada por (u × v )(x) = u(x), v (x) es medible. Basta observar que los productos de abiertos b´sicos A × B forman una base a numerable de Y × Z , luego todo abierto de Y × Z es uni´n numerable de estos o conjuntos, por lo que es suficiente que sus antiim´genes sean medibles, pero a (u × v )−1 [A × B ] = u−1 [B ] ∩ v −1 [C ]. Ahora, por ejemplo, si u, v : X −→ R son aplicaciones medibles, tambi´n lo e son f + g y f g , pues son la composici´n de u × v con la suma y el producto, que o son continuas. 7.2. Funciones medibles 259 Nos interesa extender este resultado a funciones u, v : X −→ [−∞, +∞], pero entonces tenemos el problema de que no es posible extender la suma y el producto de modo que sean continuas en los puntos (+∞, −∞), (−∞, +∞) en el caso de la suma y en los puntos (±∞, 0), (0, ±∞) en el caso del producto. Hacemos esto: definimos u + v de modo que +∞ − ∞ = 0 (por ejemplo) y ahora observamos lo siguiente: Sea u : X −→ Y una funci´n medible, A un subconjunto medible de o X e y ∈ Y . Entonces la funci´n v : X −→ Y que coincide con u o fuera de A y toma el valor y en A es medible. La raz´n es que o v −1 [B ] = / u−1 [B ] \ A si y ∈ B u−1 [B ] ∪ A si y ∈ B As´ dadas u, v : X −→ [−∞, +∞] medibles tales que donde una vale +∞ ı, la otra no vale −∞, las modificamos para que valgan 0 donde toman valores infinitos, las sumamos y obtenemos una funci´n medible, luego modificamos o la suma para que tome el valor ∞ adecuado donde deba tomar dichos valores (claramente en un conjunto medible), con lo que obtenemos una funci´n medible. o Igualmente con el producto. Otra consecuencia del teorema sobre el producto cartesiano de funciones medibles es que si tenemos dos funciones medibles u, v : X −→ [−∞, +∞], los conjuntos del estilo de x ∈ X | u(x) < v (x) son medibles (por ejemplo en este caso se trata de la antiimagen por u × v del abierto (x, y ) | x < y ). Dos operaciones definibles sobre todas las funciones f, g : X −→ [−∞, +∞] son las dadas por (f ∨ g )(x) = m´x f (x), g (x) y (f ∧ g )(x) = m´ f (x), g (x) . a ın Las funciones ∨, ∧ : [−∞, +∞] × [−∞, +∞] −→ [−∞, +∞] son ambas continuas, de donde resulta que si f, g : X −→ [−∞, +∞] son medibles, tambi´n lo e son f ∨ g y f ∧ g . (La continuidad de ∨, ∧ en los puntos finitos es consecuencia de las f´rmulas o m´x{x, y } = a |x| + |y | + |x − y | , 2 m´ {x, y } = ın |x| + |y | − |x − y | , 2 y sobre los puntos con una coordenada infinita se deduce f´cilmente usando a sucesiones. Otra posibilidad es modificar las funciones antes y despu´s de aplicar e ∨, ∧, como con el caso de la suma y el producto). En particular si f : X −→ [−∞, +∞] es una funci´n medible, definimos las o funciones f + = f ∨ 0 y f − = −(f ∧ 0), llamadas parte positiva y parte negativa de f , respectivamente. Tenemos que si f es medible tambi´n lo son f + y f − . El rec´ e ıproco es cierto porque claramente f = f + − f − . Adem´s |f | = f + + f − . a 260 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Seguidamente probaremos que la medibilidad se conserva al tomar l´ ımites. Si {an }∞ es una sucesi´n en [−∞, +∞], definimos sus l´ o ımites superior e inferior n=0 como l´ an = ´ sup an , l´ an = sup ´ an . ım ınf ım ınf n k≥0 n≥k k≥0 n≥k n En el cap´ ıtulo III demostr´bamos que el l´ a ımite superior de una sucesi´n es el o supremo de sus puntos adherentes. Igualmente se prueba que el l´ ımite inferior es el ´ ınfimo de sus puntos adherentes. Una sucesi´n converge si y s´lo si tiene un unico punto adherente (su l´ o o ´ ımite), por lo que {an }∞ converge si y s´lo si l´ an = l´ an y entonces o ım ım n=0 n n l´ an = l´ an = l´ an . ım ım ım n n n Si {fn }∞ es una sucesi´n de funciones fn : X −→ [−∞, +∞], definimos o n=0 puntualmente las funciones sup fn , ´ fn , l´ fn y l´ fn . Si la sucesi´n es ınf ım ım o n n n n puntualmente convergente las dos ultimas funciones coinciden con la funci´n ´ o l´ ımite puntual l´ fn . ım n Teorema 7.8 Si las funciones fn son medibles, tambi´n lo son las funciones e sup fn , ´ fn , l´ fn y l´ fn . ınf ım ım n n n n ´ Demostracion: Claramente ∞ −1 sup fn n x, +∞] = − fn 1 ]x, +∞] , n=0 es medible. Igualmente se prueba con ´ ınfimos y de aqu´ se deducen los resultados ı sobre l´ ımites superiores e inferiores. En particular, el l´ ımite puntual de una sucesi´n de funciones medibles es una funci´n medible. o o Si X es un espacio medida y E es un subconjunto medible, entonces los subconjuntos medibles de E forman una σ -´lgebra de subconjuntos de E y la a medida de X restringida a esta σ -´lgebra es una medida en E . En lo sucesivo a consideraremos a todos los subconjuntos medibles de los espacios medida como espacios medida de esta manera. Notar que si X = ∞ En es una descomposici´n de X en subconjuntos o n=0 medibles (no necesariamente disjuntos), entonces f : X −→ Y es medible si y s´lo si lo son todas las funciones f |En , pues si f es medible y G es un abierto o en Y , (f |En )−1 [G] = f −1 [G] ∩ En , luego (f |En )−1 [G] es medible, y si las f |En son medibles, entonces f −1 [G] = (f |En )−1 [G], luego tambi´n es medible. e Si E es un subconjunto de X , su funci´n caracter´ o ıstica χE es medible si y s´lo si lo es E . o Si extendemos una funci´n medible f : E −→ [−∞, +∞] asign´ndole el vao a lor 0 fuera de E , obtenemos una funci´n medible en X . Por ello identificaremos o 7.3. La integral de Lebesgue 261 las funciones medibles f : E −→ [−∞, +∞] con las funciones medibles en X que se anulan fuera de E . En particular identificaremos la restricci´n a E de o una funci´n f : X −→ [−∞, +∞] con la funci´n f χE . o o Los resultados que hemos dado son suficientes para garantizar que todas las funciones que manejaremos y los conjuntos definidos por ellas son medibles. No insistiremos en ello a menos que haya alguna dificultad inusual. 7.3 La integral de Lebesgue En todo espacio medida X podemos definir una integral que generaliza fuertemente a la integral de Riemann que estudiamos en el cap´ ıtulo anterior para el caso de la recta real. M´s adelante veremos que es posible definir una unica a ´ medida en R de modo que µ [a, b] = b − a. La integral asociada a esta medida coincide con la integral de Riemann sobre las funciones en las que ´sta est´ e a definida. La idea fundamental es que el papel que juegan los intervalos en la integral de Riemann lo juegan los conjuntos medibles en el caso general. Al considerar conjuntos m´s generales obtenemos muchas m´s funciones integrables, lo que a a se traduce en que la integrabilidad se conserva no s´lo por las operaciones alo gebraicas (como en el caso de la integral de Riemann) sino tambi´n por pasos e al l´ ımite. En lugar de dar una definici´n de integral que muestre estas ideas, o aprovecharemos las propiedades de convergencia para dar una definici´n r´pida. oa Definici´n 7.9 Una funci´n simple en un espacio medida X es una funci´n o o o medible s : X −→ [0, +∞[ que s´lo toma un n´mero finito de valores α1 , . . . , αn . o u Si llamamos Ai = s−1 [αi ], entonces los conjuntos Ai son medibles disjuntos y n s= αi χAi . i=1 La base de nuestra construcci´n de la integral ser´ el teorema siguiente: o a Teorema 7.10 Si X es un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] es una funci´n o medible, entonces existe una sucesi´n {sn }∞ de funciones simples en X tal o n=1 que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ f y f = l´ sn . ım n ´ Demostracion: Para cada n´mero nau tural n > 0 y cada t ∈ R existe un unico ´ k = kn (t) ∈ N tal que k/2n ≤ t < (k + 1)/2n . Sea fn : [0, +∞] −→ [0, +∞] dada por fn (t) = kn (t)/2 n n si 0 ≤ t < n si n ≤ t ≤ +∞ 2 f2 1 La figura muestra la funci´n f2 . Claramente o fn toma un n´mero finito de valores y u f1 ≤ f2 ≤ f3 ≤ · · · ≤ I, 1 2 262 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa donde I es la funci´n identidad I (t) = t. Como t − 1/2n < fn (t) ≤ t para o 0 ≤ t ≤ n, es claro que {fn }∞ converge puntualmente a I . n=1 u Sea sn = f ◦ fn . Claramente sn toma un n´mero finito de valores (a lo sumo los que toma fn ) y las antiim´genes de estos valores son las antiim´genes por f a a de los intervalos donde los toma fn , luego son conjuntos medibles. Adem´s a 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ f, luego las funciones sn son simples y, tomando l´ ımites, es obvio que la sucesi´n o converge puntualmente a f . n Definici´n 7.11 Sea X un espacio medida y s = o αi χAi una funci´n simple o i=1 en X . Definimos la integral de s en X como n αi µ(Ai ) ∈ [0, +∞], s dµ = X i=1 con el convenio de que +∞ · 0 = 0. Si E es un subconjunto medible de X , entonces s|E = n i=1 αi χAi ∩E , donde las funciones caracter´ ısticas se toman ahora sobre E . Por lo tanto n s|E dµ = E ai µ(Ai ∩ E ). i=1 n Por otro lado sχE = i=1 αi χAi ∩E (con las funciones caracter´ ısticas en X ), luego concluimos que n s dµ = E αi µ(Ai ∩ E ), sχE dµ = X i=1 es decir, que a efectos de integraci´n podemos adoptar consistentemente el cono venio explicado antes por el que identificamos la funci´n s|E con sχE . o Ahora necesitamos el siguiente resultado t´cnico, que despu´s generalizaree e mos notablemente. Teorema 7.12 Sea X un espacio medida. a) Sea s una funci´n simple en X . Para cada subconjunto medible E de X o definimos ν (E ) = E s dµ. Entonces ν es una medida en X . b) Si s y t son funciones simples en X se cumple (s + t) dµ = X s dµ + X t dµ. X 7.3. La integral de Lebesgue 263 n ´ Demostracion: a) Sea s = ∞ αi χAi . Claramente ν (∅) = 0. Sea E = i=1 Ej una uni´n disjunta de conjuntos medibles. Entonces o j =1 n ν (E ) i=1 ∞ n j =1 ∞ αi µ(Ai ∩ Ej ) = j =1 i=1 n ν (Ej ). j =1 m αi χAi y t = i=1 µ(Ai ∩ Ej ) αi i=1 = b) Sean s = ∞ n αi µ(Ai ∩ E ) = = βj χBj . Llamemos Eij = Ai ∩ Bj . As´ tanto ı, j =1 s como t son constantes en los conjuntos Eij (s toma el valor αi y t el valor βj ). Por lo tanto (s + t) dµ = (αi + βj )µ(Eij ) = αi µ(Eij ) + βj µ(Eij ) = Eij s dµ + Eij t dµ. Eij Como los conjuntos Eij son disjuntos dos a dos y su uni´n es X , la parte a) o nos da que la igualdad se cumple para integrales en X . En particular notamos que si s ≤ t son funciones simples en un espacio medida X , entonces t − s tambi´n es una funci´n simple y e o s dµ ≤ (t − s) dµ = s dµ + X X X t dµ. X En particular se cumple que s dµ | s es una funci´n simple, s ≤ t . o t dµ = sup X X Esto hace consistente la siguiente definici´n: o Definici´n 7.13 Sea X un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] una funci´n o o medible. Definimos la integral de f como s dµ | s es una funci´n simple, s ≤ f ∈ [0, +∞]. o f dµ = sup X X Observar que si E es un subconjunto medible de X , si s es una funci´n o simple en E por debajo de f |E , su extensi´n a X (nula fuera de E ) es una o funci´n simple bajo f χE , y la restricci´n a E de una funci´n simple en X bajo o o o f χE es una funci´n simple en E bajo f |E . De aqu´ se sigue que o ı f dµ = E f χE dµ, X pues ambas integrales son el supremo del mismo conjunto de n´meros reales. u Las propiedades siguientes son inmediatas a partir de la definici´n: o 264 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Teorema 7.14 Sea X un espacio medida y E un subconjunto medible de X . a) Si 0 ≤ f ≤ g son funciones medibles en X , entonces X f dµ ≤ X g dµ. b) Si f ≥ 0 es una funci´n medible en X y A ⊂ B son subconjuntos medibles o de X , entonces A f dµ ≤ B f dµ. c) Si f ≥ 0 es una funci´n medible en X y f |E = 0, entonces o (aunque sea µ(E ) = +∞). E f dµ = 0 d) Si f ≥ 0 es una funci´n medible en X y µ(E ) = 0, entonces o (aunque sea f |E = +∞). E f dµ = 0 El resultado siguiente es uno de los m´s importantes del c´lculo integral: a a Teorema 7.15 (de la convergencia mon´tona de Lebesgue) Sea X un o espacio medida y {fn }∞ una sucesi´n de funciones medibles en X tal que o n=1 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · ≤ f y f = l´ fn . ım n Entonces f es medible y f dµ = l´ ım n X fn dµ. X ´ Demostracion: Por el teorema anterior X fn dµ ≤ X fn+1 dµ. Toda sucesi´n mon´tona creciente en [0, +∞] converge a su supremo, luego existe o o α = l´ X fn dµ ∈ [0, +∞]. ım n Sabemos que f es medible por ser l´ ımite puntual de funciones medibles. De nuevo por el teorema anterior X fn dµ ≤ X f dµ, luego α ≤ X f dµ. Sea s una funci´n simple s ≤ f y sea 0 < c < 1. Definimos o En = {x ∈ X | fn (x) ≥ cs(x)}, para n = 1, 2, 3, . . . Claramente E1 ⊂ E2 ⊂ E3 ⊂ · · ·, son conjuntos medibles y, seg´n veremos u enseguida, X = En . n En efecto, si x ∈ X y f (x) = 0, entonces x ∈ E1 y si, por el contrario, u f (x) > 0 entonces cs(x) < s(x) ≤ f (x), luego x ∈ En para alg´n n. Claramente fn dµ ≥ X fn dµ ≥ c En s dµ. En Ahora aplicamos el teorema 7.12 y el hecho de que la medida de la uni´n o de una sucesi´n creciente de conjuntos es el supremo de las medidas, con lo que o obtenemos α = l´ ım fn dµ ≥ c l´ ım s dµ = c s dµ. n X n En X Como esto es cierto para todo c < 1 podemos concluir que α ≥ X s dµ para toda funci´n simple s ≤ f , luego tomando el supremo de estas integrales resulta o α ≥ X f dµ, con lo que tenemos la igualdad buscada. 7.3. La integral de Lebesgue 265 El teorema de la convergencia mon´tona permite en particular reducir proo piedades de la integral de funciones no negativas a propiedades de funciones simples. Por ejemplo, ahora es inmediato que si f : X −→ [0, +∞] es medible y α ∈ R, entonces αf dµ = α f dµ. X X En efecto, por el teorema 7.10 existe una sucesi´n mon´tona de funciones o o simples {sn }∞ convergente a f y, por el teorema anterior, n=1 f dµ = l´ ım sn dµ. n X X Pero para funciones simples es inmediato que X αsn dµ = α X sn dµ, luego tomando l´ ımites tenemos el mismo resultado para f . Otra aplicaci´n importante es que la integral conserva las sumas, incluso las o infinitas. Teorema 7.16 Sea X un espacio medida y sea {fn }∞ una sucesi´n de funo n=1 ciones no negativas medibles en X . Entonces ∞ ∞ fn dµ = X n=1 fn dµ. n=1 X ´ Demostracion: Probaremos en primer lugar que si f y g son medibles y no negativas, entonces (f + g ) dµ = X f dµ + X g dµ. X Tomamos dos sucesiones mon´tonas {sn }∞ y {tn }∞ de funciones simples o n=1 n=1 convergentes a f y g respectivamente (existen por el teorema 7.10). Por el teorema 7.12 sabemos que X (sn + tn ) dµ = X sn dµ + X tn dµ y, tomando l´ ımites, el teorema de la convergencia mon´tona nos da la igualdad o buscada. En el caso general sabemos, por lo que acabamos de probar, que k k fn dµ = X n=1 fn dµ n=1 para k = 1, 2, 3, . . . X k Las funciones fn forman una sucesi´n mon´tona de funciones medibles, o o n=1 luego por el teorema de la convergencia mon´tona o ∞ ∞ fn dµ = X n=1 fn dµ. n=1 Generalizamos ahora la primera parte del teorema 7.12. 266 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Teorema 7.17 Sea X un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] una funci´n o medible. Para cada subconjunto medible E de X definimos ν (E ) = X f dµ. Entonces ν es una medida en X . ∞ ´ Demostracion: Claramente ν (∅) = 0. Sea E = ∞ de conjuntos medibles. Es claro que f χE = f χEn . Aplicando el teorema n=1 ∞ anterior queda ν (E ) = En una uni´n disjunta o n=1 ν (En ). n=1 Despu´s necesitaremos el hecho siguiente: e Teorema 7.18 (Lema de Fatou) Sea X un espacio medida y sea {fn }∞ n=1 una sucesi´n de funciones medibles no negativas en X . Entonces o l´ fn dµ ≤ l´ ım ım X n n fn dµ. X ´ Demostracion: Sea gk = ´ fn . Entonces gk ≤ fn para n ≥ k , luego ınf g dµ ≤ ´ ınf Xk n≥k n≥k f dµ. Adem´s las funciones gk forman una sucesi´n mon´a o o Xn tona creciente que converge a l´ fn , luego por el teorema de la convergencia ım n mon´tona o l´ fn dµ = l´ ım ım X n k gk dµ ≤ sup ´ ınf gk dµ = sup k≥1 X X k≥1 n≥k fn dµ = l´ ım X n fn dµ. X Ahora extendemos la integral a funciones medibles no necesariamente mayores o iguales que 0. Definici´n 7.19 Sea X un espacio medida y f : X −→ [−∞, +∞] una funci´n o o medible. Entonces f + y f − son funciones medibles no negativas y f = f + − f − . Diremos que f es integrable Lebesgue en X si tanto X f + dµ como X f − dµ son finitas. En tal caso definimos la integral de Lebesgue de f como f − dµ ∈ R. f + dµ − f dµ = X X X Llamaremos L1 (µ) al conjunto de las funciones integrables Lebesgue en X respecto a la medida µ. Si una funci´n f es no negativa, entonces f − = 0 y su integral es la que ya o ten´ ıamos definida. Las propiedades siguientes son todas inmediatas a partir de los resultados que ya hemos demostrado. Teorema 7.20 Sea X un espacio medida y sean f , g : X −→ [−∞, +∞] funciones medibles. 7.3. La integral de Lebesgue 267 a) f es integrable si y s´lo si o X |f | dµ < +∞, y en tal caso f dµ ≤ |f | dµ. X X b) Si α, β ∈ R, y f , g son integrables, entonces αf + βg es integrable y (αf + βg ) dµ = α X f dµ + β X g dµ. X c) Si f ≤ g y ambas son integrables, entonces X f dµ ≤ X g dµ. d) Si E es un subconjunto medible de X y f es integrable en X , entonces f es integrable en E y E f dµ = X f χE dµ. e) Si E y F son subconjuntos medibles disjuntos de X , entonces la funci´n o f es integrable en E ∪ F si y s´lo si lo es en E y en F y, en tal caso, o f dµ = f dµ + E ∪F E f dµ. F f ) Si E es un subconjunto medible de X y f |E = 0, entonces g) Si E es un subconjunto nulo de X , entonces E E f dµ = 0. f dµ = 0. h) Si f es integrable en X , entonces el conjunto de los puntos donde f toma los valores ±∞ es nulo. (La propiedad e sale de aplicar el teorema 7.17 a las partes positiva y negativa de f .) Algunas consecuencias: por d) vemos que E 1 dµ = X χE dµ = µ(E ). Por a) tenemos que si |f | ≤ g y g es integrable entonces f tambi´n lo es. Toda e funci´n medible y acotada sobre un conjunto de medida finita es integrable. o Otra observaci´n de inter´s es la siguiente: si pasamos de una medida a su o e compleci´n, es claro que las funciones simples para la primera lo son tambi´n o e para la segunda y las integrales coinciden. El teorema de la convergencia mon´o tona implica entonces que toda funci´n positiva integrable para una medida o sigue si´ndolo para su compleci´n, y de aqu´ se sigue inmediatamente el resultado e o ı para funciones arbitrarias. De este modo la integral respecto a la compleci´n o extiende a la integral respecto a la medida de partida. Veamos ahora un teorema de convergencia v´lido para funciones medibles a arbitrarias. Teorema 7.21 (de la convergencia dominada de Lebesgue) Sea X un espacio medida y sean {fn }∞ funciones medibles de X en [−∞, +∞] que n=1 convergen puntualmente a una funci´n f . Si existe una funci´n integrable o o g : X −→ [−∞, +∞] tal que |fn | ≤ g para todo n, entonces f es integrable y f dµ = l´ ım X n fn dµ. X 268 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Se dice que las funciones fn est´n dominadas por g . a ´ Demostracion: Claramente |f | ≤ g , luego f es integrable. Puesto que |fn − f | ≤ 2g , podemos aplicar el lema de Fatou a las funciones no negativas 2g − |fn − f |, con lo que obtenemos que 2g dµ ≤ l´ ım n X (2g − |fn − f |) dµ = 2g dµ + l´ (−|fn − f |) dµ. ım X n X Es f´cil ver que el signo negativo sale del l´ a ımite, pero cambiando ´ste por un e l´ ımite superior, as´ − l´ X |fn − f | dµ ≥ 0, o sea, l´ X |fn − f | dµ ≤ 0. ı ım ım n n Pero es obvio que 0 ≤ l´ |fn − f | dµ ≤ l´ |fn − f | dµ = 0, luego los l´ ım ım ımites n n superior e inferior coinciden, luego l´ |fn − f | dµ = 0. Ahora aplicamos que ım n fn dµ − X (fn − f ) dµ ≤ f dµ = X X |fn − f | dµ, X de donde se sigue el teorema. Cuando una propiedad se verifica para todos los puntos de un espacio medida salvo los de un conjunto nulo se dice que la propiedad se verifica para casi todo punto, y lo abreviaremos p.c.t.p. Veamos un ejemplo: Teorema 7.22 Si X es un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] es una funci´n o medible tal que X f dµ = 0, entonces f = 0 p.c.t.p. de X . ´ Demostracion: Para cada natural n > 0 sea En = {x ∈ E | f (x) > 1/n}. Entonces 1 f dµ ≤ f dµ = 0, µ(En ) ≤ n En X luego µ(En ) = 0. La uni´n de los En es el conjunto E = {x ∈ X | f (x) > 0}, o luego f = 0 salvo en los puntos del conjunto nulo E . Cuando digamos que una funci´n f : X −→ [−∞, +∞] est´ definida p.c.t.p. o a esto significar´ que en realidad es f : X \ E −→ [−∞, +∞], donde E es un a conjunto nulo. Diremos que f es medible si lo es al extenderla a X tomando el valor 0 en E . En tal caso podemos hablar de X f dµ definida como la integral de dicha extensi´n. o Terminamos la secci´n con un importante teorema sobre integrales param´o e tricas: Teorema 7.23 Sea U abierto en Rn , K un espacio m´trico compacto, µ una e medida de Borel finita en K , sean f : U × K −→ R una funci´n continua y o g : K −→ R una funci´n medible acotada. Definamos F : U −→ Rn como la o funci´n dada por o F (x) = f (x, y )g (y ) dµ(y ), K 7.3. La integral de Lebesgue 269 donde dµ(y ) indica que la integral se realiza respecto a la variable y ∈ K , considerando constante a x. Entonces F es continua en U y si existe ∂f : U × K −→ R ∂xi y es continua en U × K , entonces existe ∂F = ∂xi K ∂f (x, y )g (y ) dµ(y ) ∂xi y es continua en U . ´ Demostracion: Tomemos x0 ∈ U y sea B una bola cerrada de centro x0 contenida en U . Sea M una cota de g en K . Como f es uniformemente continua en B × K , dado > 0 existe un δ > 0 tal que si x − x0 < δ , entonces |f (x, y ) − f (x0 , y )| < /M µ(K ), para todo y ∈ K . Por consiguiente, si x − x0 < δ se cumple |F (x) − F (x0 )| ≤ |f (x, y ) − f (x0 , y )| |g (y )| dµ(y ) ≤ . K Esto prueba que F es continua en x0 . Supongamos ahora la hip´tesis de derivabilidad respecto a xi y sea ei el o i-´simo vector de la base can´nica de Rn . Como ∂f /∂xi es uniformemente e o continua en B × K , existe un δ > 0 tal que si |h| < δ entonces ∂f ∂f (x0 + hei , y ) − (x0 , y ) < , ∂xi ∂xi M µ(K ) para todo y ∈ K. Si |h| < δ e y ∈ K , el teorema del valor medio nos da que existe un r ∈ R tal que |r| < |h| y f (x0 + hei , y ) − f (x0 , y ) = ∂f (x0 + rei , y )h. ∂xi (Notar que r depende de y .) Por consiguiente, f (x0 + hei , y )g (y ) − f (x0 , y )g (y ) ∂f (x0 , y )g (y ) − h ∂xi ∂f ∂f . (x0 + rei , y ) − (x0 , y ) |g (y )| < ∂xi ∂xi µ(K ) De aqu´ se sigue claramente que ı = F (x0 + hei ) − F (x0 ) − h K ∂f (x0 , y )g (y ) dµ(y ) < . ∂xi siempre que |h| < δ , luego existe ∂F F (x0 + hei ) − F (x0 ) (x0 ) = l´ ım = h→0 ∂xi h K ∂f (x0 , y )g (y ) dµ(y ). ∂xi Adem´s la derivada es continua por la primera parte de este mismo teorema. a 270 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa 7.4 El teorema de Riesz Hasta ahora no tenemos ninguna medida de inter´s a la que aplicar los ree sultados que acabamos de exponer. La construcci´n de medidas es el punto m´s o a delicado de toda la teor´ Puesto que el proceso es complicado cualquiera que ıa. sea el camino que tomemos, seguiremos uno que nos proporcionar´ un teorema a notable de la teor´ de la medida, el teorema de representaci´n de Riesz. Neceıa o sitamos unos preliminares topol´gicos sobre espacios localmente compactos. o Definici´n 7.24 Un espacio (de Hausdorff) X es localmente compacto si todo o punto de X tiene una base de entornos compactos. As´ pues, si p es un punto de un espacio localmente compacto X y V es un ı entorno abierto de p, existe un entorno compacto K ⊂ V . Por definici´n de o entorno existe un abierto W tal que p ∈ W ⊂ K ⊂ V y claramente W ⊂ K es un entorno compacto de p. En resumen, si X es localmente compacto, p ∈ X y V es un abierto tal que p ∈ V , existe otro abierto W con clausura compacta tal que p ∈ W ⊂ W ⊂ V . El teorema siguiente recoge un par de propiedades sencillas: Teorema 7.25 Sea X un espacio de Hausdorff. a) Si K ⊂ X es compacto y p ∈ X \ K , entonces existen abiertos disjuntos U y V tales que p ∈ U y K ⊂ V . b) Si X es localmente compacto, V es abierto en X y K ⊂ V es compacto, entonces existe un abierto W tal que K ⊂ W ⊂ W ⊂ V y W es compacto. ´ Demostracion: a) Por la propiedad de Hausdorff, para cada x ∈ K podemos encontrar abiertos disjuntos Ux y Vx tales que p ∈ Ux y x ∈ Vx . Entonces K est´ cubierto por los Vx , luego podemos tomar un subcubrimiento finito a Vx1 , . . . , Vxn . Basta tomar como U la intersecci´n de los Uxi y como V la uni´n o o de los Vxi . b) Para cada x ∈ K existe un abierto Wx de clausura compacta tal que x ∈ Wx ⊂ W x ⊂ V . Los abiertos Wx cubren a K . Tomamos un subcubrimiento finito y llamamos W a la uni´n de sus miembros. o Si X es un espacio localmente compacto y f : X −→ R, llamaremos soporte de f a la clausura del conjunto de puntos donde f toma el valor 0. Llamaremos Cc (X ) al conjunto de las aplicaciones continuas f : X −→ R con soporte compacto. Es claro que se trata de un subespacio vectorial de C (X ). Usaremos las notaciones K ≺ f y f ≺ V para indicar que f : X −→ [0, 1], f ∈ Cc (X ), K es compacto, V es abierto, f toma el valor 1 en K y f toma el valor 0 en X \ V . Teorema 7.26 (Lema de Urysohn) Sea X un espacio localmente compacto, sea V un abierto y K ⊂ V compacto. Entonces existe f ∈ Cc (X ) tal que K ≺f ≺V. 7.4. El teorema de Riesz 271 ´ Demostracion: Por el teorema anterior existe un abierto W0 de clausura compacta tal que K ⊂ W0 ⊂ W 0 ⊂ V . Sea W1 = X . Aplicamos de nuevo el teorema a W 0 ⊂ V , con lo que obtenemos un abierto W1/2 de clausura compacta tal que K ⊂ W 0 ⊂ W 0 ⊂ W 1/2 ⊂ W 1/2 ⊂ V ⊂ W 1 . Dos nuevas aplicaciones del mismo teorema nos dan K ⊂ W 0 ⊂ W 0 ⊂ W 1 /4 ⊂ W 1 / 4 ⊂ W 1 / 2 ⊂ W 1 / 2 ⊂ W 3 /4 ⊂ W 3 /4 ⊂ V ⊂ W 1 . Inductivamente vamos obteniendo una familia de abiertos {Wr }r∈R , donde R = {k/2i | i ∈ N, 0 ≤ k ≤ 2i }, de manera que si r < r < 1 son puntos de R, entonces K ⊂ W r ⊂ Wr ⊂ V . Definimos g : X −→ [0, 1] mediante g (x) = ´ {r ∈ R | x ∈ Wr }. As´ ınf ı g [K ] = {0} porque K ⊂ W0 y g [X \ V ] = {1} porque Ur ∩ (X \ V ) = ∅ si r < 1. Basta probar que g es continua, pues entonces f = 1 − g cumple lo pedido. Sea x ∈ X y > 0. Si g (x) = 0 y g (x) = 1, entonces existen r, r ∈ R tales que g (x) − < r < g (x) < r < g (x) + , luego U = Wr − W r es un entorno de x que cumple g [U ] ⊂ [r, r ] ⊂ ]g (x) − , g (x) + [ . Si g (x) = 0 tomamos 0 = g (x) < r < g (x)+ y U = Wr cumple lo mismo. Si g (x) = 1 tomamos g (x) − < r < g (x) y el U buscado es X \ W r . En cualquier caso obtenemos la continuidad de g en x. Teorema 7.27 Si X es un espacio localmente compacto, V1 , . . . , Vn son abiertos de X y K ⊂ V1 ∪ · · · ∪ Vn es compacto, entonces existen funciones hi ≺ Vi tales que h1 (x) + · · · + hn (x) = 1 para todo x ∈ K . Se dice que las funciones hi forman una partici´n de la unidad subordinada o a los abiertos dados. ´ Demostracion: Dado x ∈ K existe un i tal que x ∈ Vi . Existe un abierto Wx de clausura compacta tal que x ∈ Wx ⊂ W x ⊂ Vi . Los abiertos Wx cubren a K . Extraemos un subcubrimiento finito y llamamos Hi a la uni´n de todos o los abiertos del subcubrimiento cuya clausura est´ en Vi . De este modo los Hi a son abiertos de clausura compacta que cubren a K y H i ⊂ Vi . Por el teorema anterior existen funciones H i ≺ gi ≺ Vi . Definimos h1 = g1 , h2 = (1 − g1 )g2 , ... hn = (1 − g1 )(1 − g2 ) · · · (1 − gn−1 )gn . Es claro que hi ≺ Vi y una simple inducci´n prueba que o h1 + · · · + hn = 1 − (1 − g1 ) · · · (1 − gn ). Es claro entonces que la suma vale 1 sobre los puntos de K , pues una de las funciones gi ha de tomar el valor 1. Ya estamos en condiciones de demostrar el teorema de Riesz. 272 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Teorema 7.28 (Teorema de representaci´n de Riesz) Sea X un espacio o localmente compacto y sea T : Cc (X ) −→ R una aplicaci´n lineal tal que si o f ≥ 0 entonces T (f ) ≥ 0. Entonces existe una unica medida de Borel casi ´ regular µ en X tal que para toda funci´n f ∈ Cc (X ) se cumple o T (f ) = f dµ. X ´ Demostracion: Veamos primero la unicidad. Es claro que una medida casi regular est´ completamente determinada por los valores que toma sobre los a conjuntos compactos, luego basta probar que si µ1 y µ2 representan a T en el sentido del teorema entonces µ1 (K ) = µ2 (K ) para todo compacto K . Por la regularidad existe un abierto V tal que K ⊂ V y µ2 (V ) < µ2 (K ) + . Por el lema de Urysohn existe una funci´n K ≺ f ≺ V . Entonces o µ1 (K ) χK dµ1 ≤ = X ≤ f dµ1 = T (f ) = X f dµ2 X χV dµ2 = µ2 (V ) < µ2 (K ) + . X Por consiguiente µ1 (K ) ≤ µ2 (K ) e igualmente se prueba la desigualdad contraria. Para cada abierto V de X definimos µ(V ) = sup{T (f ) | f ≺ V }. Es obvio que si V1 ⊂ V2 entonces µ(V1 ) ≤ µ(V2 ), luego si definimos µ(E ) = ´ {µ(V ) | E ⊂ V, V abierto}, ınf para todo E ⊂ X, es claro que la medida de un abierto es la misma en los dos sentidos en que la tenemos definida. Aunque hemos definido la medida de cualquier conjunto, ´sta s´lo cumplir´ e o a las propiedades de las medidas al restringirla a una cierta σ -´lgebra que contiene a a la σ -´lgebra de Borel. Concretamente, definimos MF como la familia de a subconjuntos E de X tales que µ(E ) < +∞ y µ(E ) = sup{µ(K ) | K ⊂ E, K compacto}. Definimos M como la familia de todos los E ⊂ X tales que E ∩ K ∈ MF para todo compacto K . Probaremos que M es una σ -´lgebra que contiene a la a σ -´lgebra de Borel y que la restricci´n de µ a M es una medida casi regular. a o Veremos tambi´n que MF est´ formada por los conjuntos de M de medida finita. e a Dividimos la prueba en varios pasos. 1) Si {Ei }∞ son subconjuntos de X , entonces i=1 ∞ µ ∞ Ei i=1 ≤ µ(Ei ). i=1 7.4. El teorema de Riesz 273 Probamos primero que si V1 y V2 son abiertos µ(V1 ∪ V2 ) ≤ µ(V1 ) + µ(V2 ). Tomemos g ≺ V1 ∪ V2 arbitraria. Por el teorema 7.27 existen funciones h1 y h2 tales que hi ≺ Vi y h1 + h2 vale 1 sobre los puntos del soporte de g . Por lo tanto hi g ≺ Vi , g = h1 g + h2 g . T (g ) = T (h1 g ) + T (h2 g ) ≤ µ(V1 ) + µ(V2 ). Como esto se cumple para toda g ≺ V1 + V2 , concluimos la desigualdad buscada. Podemos suponer que µ(Ei ) < +∞ para todo i, o la desigualdad que queremos probar se cumplir´ trivialmente. Dado > 0 la definici´n ıa o de µ implica que existen abiertos Vi que contienen a Ei de modo que µ(Vi ) < µ(Ei ) + /2i . Sea V la uni´n de todos los Vi y tomemos f ≺ V . o Como f tiene soporte compacto en realidad f ≺ V1 ∪ · · · ∪ Vn para alg´n u n, luego ∞ T (f ) ≤ µ(V1 ∪ · · · ∪ Vn ) ≤ µ(V1 ) + · · · + µ(Vn ) ≤ µ(Ei ) + . i=1 Como esto vale para toda f ≺ V , resulta que ∞ µ(V ) ≤ µ(Ei ) + . i=1 Ahora bien, la uni´n de los Ei est´ contenida en V , y la funci´n µ es o a o claramente mon´tona por su definici´n, luego o o ∞ µ i=1 Como esto vale para todo ∞ Ei ≤ µ(Ei ) + . i=1 tenemos la desigualdad buscada. 2) Si K es compacto, entonces K ∈ MF y µ(K ) = ´ {T (f ) | K ≺ f }. En ınf particular los compactos tienen medida finita. Si K ≺ f y 0 < α < 1, sea Vα = {x ∈ X | f (x) > α}. Entonces K ⊂ Vα y si g ≺ Vα se cumple αg ≤ f . Por lo tanto µ(K ) ≤ µ(Vα ) = sup{T (g ) | g ≺ Vα } ≤ α−1 T (f ). Si hacemos que α tienda a 1 concluimos que µ(K ) ≤ T (f ) y es obvio que K est´ en MF . a Dado > 0 existe un abierto V tal que K ⊂ V y µ(V ) < µ(K ) + . Existe una funci´n K ≺ f ≺ V , luego o µ(K ) ≤ T (f ) ≤ µ(V ) < µ(K ) + , lo que prueba que µ(K ) = ´ {T (f ) | K ≺ f }. ınf 274 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa 3) MF contiene a todos los abiertos de medida finita. Sea V un abierto de medida finita y α un n´mero real tal que α < µ(V ). u Existe f ≺ V tal que α < T (f ). Si W es un abierto que contiene al soporte K de f entonces f ≺ W , luego T (f ) ≤ µ(W ), luego T (f ) ≤ µ(K ). As´ ı hemos encontrado un compacto K ⊂ V tal que α < µ(K ), lo que prueba que V ∈ MF . 4) Si {Ei }∞ son elementos disjuntos de MF , y E = i=1 ∞ Ei entonces i=1 ∞ µ(E ) = µ(Ei ). i=1 Si adem´s µ(E ) < +∞ entonces E ∈ MF . a Veamos primero que si K1 y K2 son compactos disjuntos µ(K1 ∪ K2 ) = µ(K1 ) + µ(K2 ). Dado > 0 existe K1 ≺ f ≺ X \ K2 . Por el paso 2) existe g tal que K1 ∪ K2 ≺ g y T (g ) < µ(K1 ∪ K2 ) + . Claramente K1 ≺ f g y K2 ≺ (1 − f )g , luego µ(K1 ) + µ(K2 ) ≤ T (f g ) + T (g − f g ) = T (g ) < µ(K1 ∪ K2 ) + , luego tenemos µ(K1 ) + µ(K2 ) ≤ µ(K1 ∪ K2 ) y el paso 1) nos da la otra desigualdad. Pasando al caso general, de nuevo por 1) basta probar una desigualdad. ´ Esta es trivial y µ(E ) = +∞, luego podemos suponer que E tiene medida finita. Fijado > 0, puesto que Ei ∈ MF existen compactos Hi ⊂ Ei tales que µ(Hi ) > µ(Ei ) − /2i . Sea Kn = H1 ∪ · · · ∪ Hn . Entonces n µ(E ) ≥ µ(Kn ) = n µ(Ei ) − , µ(Hi ) > i=1 i=1 lo cual nos da claramente la desigualdad buscada. La desigualdad anterior muestra tambi´n que µ(Kn ) tiende a µ(E ) cuando n tiende a ∞ (una vez e sabemos que la serie suma µ(E )), lo que implica que E ∈ MF . 5) Si E ∈ MF y > 0, existen un compacto K y un abierto V tales que K ⊂ E ⊂ V y µ(V \ K ) < . Por definici´n de MF y de µ existen K y V tales que o µ(V ) − 2 < µ(E ) < µ(K ) + . 2 Puesto que V \ K es abierto, por 3) tenemos que V \ K ∈ MF , luego 4) implica que µ(K ) + µ(V \ K ) = µ(V ) < µ(K ) + . 6) Si A, B ∈ MF entonces A \ B, A ∪ B, A ∩ B ∈ MF . 7.4. El teorema de Riesz 275 Aplicamos el paso anterior a los conjuntos A y B , lo que nos da conjuntos Ki y Vi , para i = 1, 2, de modo que K1 ⊂ A ⊂ V1 , K2 ⊂ B ⊂ V2 y µ(Vi \ Ki ) < . Entonces A \ B ⊂ V1 \ K2 ⊂ (V1 \ K1 ) ∪ (K1 \ V2 ) ∪ (V2 \ K2 ), luego el paso 1) implica µ(A \ B ) ≤ + µ(K1 \ V2 ) + y K1 \ V2 es un subconjunto compacto de A \ B , luego esto prueba que A \ B ∈ MF . Ahora, A ∪ B = (A \ B ) ∪ B , luego el paso 4) implica que A ∪ B ∈ MF y como A ∩ B = A \ (A \ B ), tambi´n A ∩ B ∈ MF . e 7) M es una σ -´lgebra que contiene a la σ -´lgebra de Borel. a a Si A ∈ M y K es un compacto en X , entonces (X \ A) ∩ K = K \ (A ∩ K ), luego (X \ A) ∩ K es diferencia de dos elementos de MF , luego est´ en a MF , luego X \ A ∈ M. Sea A = ∞ una uni´n de elementos de M. Si K es un compacto en X , o i=1 tomamos B1 = A1 ∩ K y Bn = (An ∩ K ) \ (B1 ∪ · · · ∪ Bn−1 , con lo que cada Bn ∈ MF y son disjuntos dos a dos. Por 4) tenemos que A ∩ K (la uni´n de los Bn ) est´ en MF , luego A ∈ M. Esto prueba que M es una o a σ -´lgebra. a Si C es un cerrado de X y K es compacto, entonces C ∩ K es compacto, luego est´ en MF , luego C ∈ M. Por lo tanto M contiene a todos los a cerrados, luego a todos los abiertos, luego a todos los conjuntos de Borel. 8) MF est´ formado por los conjuntos de M de medida finita. a Si E ∈ MF , los pasos 2) y 6) implican que E ∩ K ∈ MF , luego E ∈ M. Rec´ ıprocamente, si E ∈ M tiene medida finita, dado > 0 existe un abierto V que contiene a E y tiene medida finita. Por 3) y 5) existe un compacto K ⊂ V con µ(V \ K ) < . Como E ∩ K ∈ MF , existe un compacto H ⊂ E ∩ K con µ(E ∩ K ) < µ(H ) + . Puesto que E ⊂ (E ∩ K ) ∪ (V \ K ), resulta µ(E ) ≤ µ(E ∩ K ) + µ(V \ K ) < µ(H ) + 2 , luego E ∈ MF . Tras estas comprobaciones ya estamos en condiciones de probar el teorema. Consideremos la restricci´n de µ a la σ -´lgebra de Borel. Los pasos 4) y 8) juso a tifican que esta restricci´n es una medida. Hemos probado que µ es finita sobre o los compactos, por definici´n se aproxima por abiertos y por 8) se aproxima por o compactos en los conjuntos de medida finita. El argumento de 3) prueba de hecho que los abiertos de medida infinita contienen compactos de medida arbitrariamente grande, luego µ se aproxima por compactos en todos los abiertos. As´ pues µ es casi regular. ı 276 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa Falta probar que µ representa a T . Dada f ∈ Cc (X ), basta probar que T (f ) ≤ f dµ, X pues aplicando esto mismo a −f obtenemos la desigualdad opuesta. Sea K el soporte de f . Entonces f [X ] ⊂ f [K ] ∪ {0} es compacto, f [X ] ⊂ [a, b], para ciertos n´meros reales a y b. Sea > 0 y tomemos n´meros u u y0 < a < y1 < · · · < yn = b tales que yi+1 − yi < . Sea Ei = {x ∈ X | yi−1 < f (x) ≤ yi } ∩ K . Como f es continua, f es medible respecto al ´lgebra de Borel, luego los conjuntos Ei son conjuntos de a Borel disjuntos cuya uni´n es K . Existen abiertos Vi tales que Ei ⊂ Vi , o µ(Vi ) < µ(Ei ) + n y f (x) < yi + para todo x ∈ Vi . Por el teorema 7.27 existen funciones hi ≺ Vi que suman 1 sobre K . Por lo tanto f = h1 f + · · · hn f y de 2) se sigue que µ(K ) ≤ T (h1 + · · · + hn ) = T (h1 ) + · · · + T (hn ). Como hi f ≤ (yi + )hi e yi − < f (x) en Ei , tenemos que n T (f ) n T (hi f ) ≤ = i=1 n (yi + )T (hi ) i=1 n (|a| + yi + )T (hi ) − |a| = i=1 n ≤ (|a| + yi + )(µ(Ei ) + i=1 n T (hi ) i=1 n ) − |a|µ(K ) n (yi − )µ(Ei ) + 2 µ(K ) + = i=1 ≤ n (|a| + yi + ) i=1 f dµ + (2µ(K ) + |a| + b + ). X Como es arbitrario, tenemos la desigualdad buscada. Recordemos que el teorema 7.5 implica que si el espacio X es σ -compacto entonces las medidas que proporciona el teorema de Riesz son regulares. Una aplicaci´n interesante del teorema de Riesz nos da que en espacios razonables o (como Rn ) toda medida razonable es regular: Teorema 7.29 Sea X un espacio localmente compacto en el que todo abierto sea σ -compacto. Si µ es una medida de Borel en X tal que todo compacto tiene medida finita entonces µ es regular. 7.4. El teorema de Riesz 277 ´ Demostracion: Definamos el operador T : Cc (X ) −→ R dado por T (f ) = f dµ. Notemos que si f tiene soporte K y M es una cota de f en K entonces X |T (f )| ≤ |f | dµ ≤ M µ(K ) < +∞, X luego T est´ bien definido y claramente cumple las hip´tesis del teorema de a o Riesz. Por lo tanto existe una medida de Borel regular ν tal que para toda funci´n f ∈ Cc (X ) se cumple o f dν = f dµ. X X Basta probar que µ = ν . Si V es un abierto, por hip´tesis lo podemos expresar o como uni´n de compactos {Kn }∞ . Tomemos funciones Kn ≺ fn ≺ V y sea o n=1 gn = m´x{f1 , . . . , fn }. Entonces gn ∈ Cc (X ) y es claro que la sucesi´n {gn }∞ a o n=1 es mon´tona creciente y converge puntualmente a χV . Por el teorema de la o convergencia mon´tona resulta que o ν (V ) = l´ ım n gn dν = l´ ım n X gn dµ = µ(V ). X As´ pues, µ y ν coinciden en los abiertos. ı Dado un conjunto de Borel B , cort´ndolo con una familia creciente de coma pactos cuya uni´n sea X podemos expresarlo como uni´n creciente de conjuntos o o de Borel de medida finita para µ y ν , luego basta probar que ambas medidas coinciden sobre los conjuntos de Borel de medida finita. Por la regularidad de ν es f´cil ver que existen un abierto V y un compacto K tales que K ⊂ B ⊂ V y a ν (V \ K ) < , para un prefijado. Como V \ K es abierto, esta ultima igualdad ´ vale tambi´n para µ. Por consiguiente: e µ(B ) ≤ µ(V ) = ν (V ) ≤ ν (B ) + , ν (B ) ≤ ν (V ) = µ(V ) ≤ ν (B ) + , luego |µ(B ) − ν (B )| ≤ para todo > 0. Terminamos la secci´n con un teorema importante sobre aproximaci´n de o o funciones medibles por funciones continuas. Teorema 7.30 (Teorema de Lusin) Sea µ una medida de Borel regular en un espacio localmente compacto X y f : X −→ R una funci´n medible tal que o f = 0 salvo en un conjunto de medida finita. Dado > 0 existe una funci´n o g ∈ Cc (X ) tal que f = g salvo en un conjunto de medida menor que . Adem´s a podemos exigir que sup |g (x)| ≤ sup |f (x)|. x∈X x∈X ´ Demostracion: Sea A = {x ∈ X | f (x) = 0}. Supongamos primero que A es compacto y que 0 ≤ f ≤ 1. Sea {sn }∞ la sucesi´n mon´tona o o n=1 278 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa creciente de funciones simples construida en el teorema 7.10. Definimos t1 = s1 y tn = sn − sn−1 para n > 1. Entonces sn (x) = kn (f (x))/2n y es f´cil ver que a kn (f (x)) = 2kn−1 (f (x)) o bien kn (f (x)) = 2kn−1 (f (x)) + 1, con lo que 2n tn toma s´lo los valores 0 y 1. En otros t´rminos sn = χTn , para ciertos conjuntos o e medibles Tn ⊂ A. Adem´s a ∞ f (x) = tn (x), para todo x ∈ X. n=1 Sea V un abierto de clausura compacta que contenga a A. Por regularidad existen compactos Kn y abiertos Vn de manera que Kn ⊂ Tn ⊂ Vn ⊂ V y µ(Vn \ Kn ) < 2−n . Sea Kn ≺ hn ≺ Vn . Definimos ∞ g (x) = 2−n hn (x). n=1 Por el criterio de Weierstrass tenemos que g es continua. Adem´s su soporte a est´ contenido en la clausura de V , luego es compacto. Como 2−n hn (x) = tn (x) a excepto en Vn \ Kn , tenemos que f = g excepto en (Vn \ Kn ), que es un n conjunto de medida menor que . Del caso anterior se deduce el teorema para el caso en que A es compacto y f est´ acotada. Para probar el caso general tomamos Bn = {x ∈ X | |f (x)| > n}. a Estos conjuntos forman una familia decreciente con intersecci´n vac´ y todos o ıa tienen medida finita, luego µ(Bn ) tiende a 0 con n. La funci´n f coincide con la o funci´n acotada h = (1 − χBn )f salvo en Bn y, por otra parte, podemos tomar o un compacto K ⊂ A tal que µ(A \ K ) sea arbitrariamente peque˜o, luego basta n aproximar hχK por una funci´n continua, lo cual es posible por la parte ya o probada. Por ultimo, sea K el supremo de |f |. Si K es finito consideramos la funci´n ´ o h : R −→ R dada por x si |x| ≤ K h(x) = Kx si |x| > K |x| Claramente h es continua, g1 = g ◦ h sigue cumpliendo el teorema y adem´s a su supremo no excede al de f . 7.5 La medida de Lebesgue La medida de Lebesgue en R es la compleci´n de la medida que proporciona o el teorema de Riesz cuando tomamos como aplicaci´n lineal a la integral de o Riemann. As´ pues, la integral de Riemann y la integral de Lebesgue coinciden ı sobre las funciones continuas en R con soporte compacto. Es f´cil ver que de a hecho coinciden sobre toda funci´n continua f sobre un intervalo [a, b]. Para ello o 7.5. La medida de Lebesgue 279 extendemos f a una funci´n fn como indica la figura. Es claro que las funciones o fn son continuas en R, tienen soporte compacto y convergen puntualmente a f . Adem´s est´n dominadas por una funci´n de la forma a a o fn cχ[a−1,a+1] , para una constante c, luego por el teorema de la convergencia dominada tenemos que las integrales de las funciones fn (Riemann y Lebesgue) tienden a la a− 1 a 1 b b+ n n integral de lebesgue de f . Por otra parte, la integral de Riemann de fn es la integral de Riemann de f m´s las integrales de Riemann a en los intervalos [a − 1/n, a] y [b, b + 1/n], que est´n acotadas en m´dulo por a o una expresi´n de la forma K/n, luego tienden a 0. As´ pues, las integrales de o ı fn convergen tambi´n a la integral de Riemann de f . e Puede probarse de hecho que todas las funciones integrables Riemann son integrables Lebesgue. Desde un punto de vista geom´trico la integral de Lee besgue no aporta nada a la integral de Riemann, pues todas las funciones de inter´s son continuas o tienen un n´mero finito de discontinuidades y siempre e u son integrables Riemann, pero desde un punto de vista t´cnico la integral de e Lebesgue es mucho m´s potente. Los teoremas de convergencia y en general a todos los resultados importantes sobre la integral de Lebesgue son falsos para la integral de Riemann. Veamos ahora una construcci´n r´pida de la integral de Riemann en Rn y oa de ella obtendremos la medida de Lebesgue en Rn . Definici´n 7.31 Una celda en Rn es un conjunto de la forma o W = {x ∈ Rn | αi < xi < βi , i = 1, . . . , n}, o cualquier conjunto obtenido reemplazando algunos de los signos < por ≤ para algunos valores de i. El volumen de una celda es n (βi − αi ). Vol (W ) = i=1 Si a ∈ Rn y δ > 0 llamaremos cubo de v´rtice a y lado δ a la celda e C (a, δ ) = {x ∈ Rn | ai ≤ xi < ai + δ }. Para cada natural k > 0 llamaremos Pk el conjunto de puntos de Rn cuyas coordenadas son de la forma t2−k , para t ∈ Z. Sea Ck el conjunto de todos los e o cubos de lado 2−k con v´rtices en Pk . Sea C la uni´n de todos los conjuntos Ck . Teorema 7.32 Se cumplen las propiedades siguientes: a) Rn es la uni´n disjunta de los cubos de Ck , para un k fijo. o b) Si C ∈ Ck y C ∈ Cr con r < k entonces C ⊂ C o C ∩ C = ∅. c) Si C ∈ Ck , entonces Vol (C ) = 2kn y si r > k el conjunto Pr tiene exactamente 2(r−k)n puntos en C . 280 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa d) Todo abierto no vac´ de Rn es una uni´n numerable de cubos disjuntos ıo o de C. ´ Demostracion: La unica propiedad que no es obvia es la ultima. Si V ´ ´ es un abierto, es claro que cada x ∈ V est´ en un cubo de C contenido en V . a De entre todos los cubos de C contenidos en V tomamos todos los que est´n a en C1 , a˜adimos los de C2 que no est´n contenidos en ninguno de los de C1 , n a a ı a˜adimos los de C3 que no est´n contenidos en ninguno de los anteriores y as´ n sucesivamente. El resultado es una familia numerable de cubos disjuntos de C cuya uni´n es V . o Si f : Rn −→ R es una funci´n con soporte compacto (no necesariamente o continua) definimos Tk (f ) = 2−nk f (x). x∈Pk Claramente la suma tiene todos los sumandos nulos salvo un n´mero finito u de ellos. Si f ∈ Cc (Rn ) tomamos una celda W que contenga a todos los cubos de C que cortan a su soporte. Como f es uniformemente continua (por 2.36), dado > 0 existe un natural N tal que si x − x ∞ < 2−N entonces |f (x) − f (x )| < . ınfimo y el supremo de f en C (son todos Para cada C ∈ CN sean mC y MC el ´ nulos salvo un n´mero finito de ellos). Sean g y h las funciones que en cada u cubo C toman respectivamente los valores mC y MC . Es claro entonces que g ≤ f ≤ h y h − g ≤ . Si k > N , la propiedad c) del teorema anterior implica que TN (g ) = Tk (g ) ≤ Tk (f ) ≤ Tk (h) = TN (h), luego los l´ ımites superior e inferior de la sucesi´n {Tk (f )}∞ difieren a lo sumo o k=1 en TN (h − g ) ≤ Vol (W ). Esto implica que existe T (f ) = l´ Tk (f ). ım k La aplicaci´n T : Cc (Rn ) −→ R as´ definida es obviamente lineal (se trata o ı de la integral de Riemann) y tambi´n es claro que se encuentra en las hip´tesis e o del teorema de Riesz. Teorema 7.33 Existe una unica medida de Borel m en Rn tal que a cada celda ´ le hace corresponder su volumen. ´ Demostracion: Tomamos como m la medida que proporciona el teorema de Riesz a partir del operador T que acabamos de construir. Consideremos una celda abierta W , es decir, un producto de intervalos abiertos. Sea Ek la uni´n o ´ a de todos los cubos de Ck cuyas clausuras est´n contenidas en W . Estos son un n´mero finito y su uni´n Ek es una celda cuya clausura E est´ contenida en W . u o a Tomemos E k ≺ fk ≺ W y sea gk = m´x{f1 , . . . , fk }. Es claro entonces que a Vol (Ek ) ≤ T (fk ) ≤ T (gk ) ≤ Vol (W ). 7.5. La medida de Lebesgue 281 Tambi´n es f´cil comprobar que cuando k → ∞ el volumen de Ek tiende al e a de W , luego l´ T (gk ) = l´ ım ım n n gr dm = Vol (W ). X Por otro lado, {gk }∞ es una sucesi´n creciente que converge puntualmente o k=1 u o ımite anterior es a χW , luego seg´n el teorema de la convergencia mon´tona el l´ tambi´n m(W ). e Una celda cerrada se expresa como intersecci´n decreciente de celdas abiero tas, luego las propiedades elementales de las medidas nos dan que m tambi´n e asigna su volumen a cada celda cerrada. Puesto que m toma el mismo valor en una celda abierta que en su clausura, lo mismo vale para cualquier tipo de celda que est´ comprendida entre ambas. e La unicidad es clara: dos medidas de Borel que asignen a cada celda su volumen toman valores finitos sobre los compactos (pues todo compacto est´ a contenido en una celda), luego por el teorema 7.29 ambas son regulares. Puesto que todo abierto es uni´n numerable de cubos disjuntos (teorema 7.32), ambas o medidas coinciden sobre los abiertos y por regularidad coinciden sobre cualquier conjunto de Borel. Definici´n 7.34 La medida de Lebesgue en Rn es la compleci´n de la unica o o ´ medida de Borel que a cada celda le asigna su volumen. La representaremos por m. La medida de Lebesgue se corresponde con el concepto geom´trico de ´rea y e a volumen en el caso de R2 y R3 . En efecto, todas las figuras planas que aparecen en geometr´ (pol´ ıa ıgonos, elipses, etc.) tienen una frontera sin area, por lo que ´ a efectos de calcular su ´rea podemos considerar indistintamente su interior o a su clausura. Si trabajamos con su interior, sabemos que puede expresarse como uni´n numerable de cubos disjuntos, por lo que el area debe ser la suma de las o ´ a ´reas de estos cubos, que es precisamente el valor de la medida de Lebesgue. Lo mismo vale para figuras tridimensionales. Es importante notar que todos los argumentos cl´sicos para el c´lculo de areas de figuras curvil´ a a ´ ıneas presuponen de un modo u otro este principio de que el area se puede calcular a partir de ´ descomposiciones infinitas numerables. Veamos ahora como se comporta la medida de Lebesgue frente a transformaciones afines. Teorema 7.35 Sea m la medida de Lebesgue en Rn . Entonces: a) m es invariante por traslaciones, es decir, si x ∈ Rn y A ⊂ Rn es medible, entonces x + A es medible y m(x + A) = m(A). b) Si f : Rn −→ Rn es una aplicaci´n lineal de determinante ∆ y A ⊂ Rn es o medible, entonces f [A] es medible y m f [A] = |∆|m(A). 282 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa ´ Demostracion: a) Es claro que el conjunto de los trasladados x + B de los conjuntos de Borel forma una σ -´lgebra que contiene a los abiertos, luego cona tiene a todos los conjuntos de Borel. Razonando igualmente con −x concluimos que los trasladados de los conjuntos de Borel son exactamente los conjuntos de Borel. Si definimos µ(B ) = m(x + B ) tenemos claramente una medida de Borel y es f´cil ver que a cada celda le asigna su volumen. Por consiguiente se trata a de la medida de Lebesgue, es decir, tenemos que m(x + B ) = m(B ) para todo conjunto de Borel B . Teniendo en cuenta la definici´n de la compleci´n es f´cil o o a extender este hecho a todo conjunto medible. b) Supongamos primero que f es biyectiva. Puesto que tambi´n es continua, e el mismo razonamiento que en el caso de las traslaciones implica que cuando B recorre los conjuntos de Borel de Rn , lo mismo sucede con f [B ], as´ como que ı µ(B ) = m f [B ] define una medida de Borel regular. La linealidad de f y el apartado anterior implican que µ es invariante por traslaciones. Sea C un cubo cualquiera de lado 1 y sea c = µ(C ). Si C es un cubo de lado 2−k , entonces C se expresa como uni´n disjunta de 2nk trasladados de C , todos con la misma o medida µ(C ), luego µ(C ) = c2−nk = c m(C ). Como todo abierto V es uni´n o numerable de cubos disjuntos de lado 2−k , concluimos que µ(V ) = c m(V ), y por regularidad lo mismo vale para todo conjunto de Borel B , es decir, m f [B ] = c m(B ). A partir de la definici´n de compleci´n se concluye que esta relaci´n es cierta o o o para todo conjunto medible Lebesgue. Si f no es biyectiva entonces su imagen es un subespacio propio de Rn . Basta probar que los subespacios propios de Rn tienen medida nula, con lo que la relaci´n anterior ser´ cierta con c = 0. A trav´s de un automorfismo, todo o a e subespacio propio se transforma en un subespacio de V = {x ∈ Rn | x1 = 0}. Por la parte ya probada basta ver que V es nulo. Ahora bien, V es uni´n o numerable de cubos degenerados de la forma {0} × [−k, k ] × · · · × [−k, k ], luego basta ver que estos cubos son nulos, pero cada uno de ellos es intersecci´n o numerable de cubos [−1/r, 1/r] × [−k, k ] × · · · × [−k, k ], cuya medida tiende a 0. Falta probar que la constante c es exactamente |∆|. Si f no es biyectiva es evidente, pues hemos visto que c = 0. En caso contrario sabemos que c es la medida de la imagen por f de un cubo cualquiera de lado 1, por ejemplo n C = [0, 1[ . Es conocido que todo automorfismo de Rn se descompone en producto de u automorfismos que sobre la base can´nica {e1 , . . . , en } act´an de una de las tres o formas siguientes: 1) f (e1 ), . . . , f (en ) es una permutaci´n de (e1 , . . . , en ), o 2) f (e1 ) = αe1 , f (ei ) = ei , para i = 2, . . . , n, 3) f (e1 ) = e1 + e2 , f (ei ) = ei , para i = 2, . . . , n. Teniendo en cuenta adem´s que el determinante de la composici´n de dos a o automorfismos es el producto de sus determinantes, es claro que basta probar el teorema cuando f es de uno de estos tipos. 7.5. La medida de Lebesgue 283 Si f es del primer tipo tenemos ∆ = ±1 y f [C ] = C , luego c = 1 y se cumple n−1 el teorema. Si f es del segundo tipo entonces ∆ = α y f [C ] = I × [0, 1[ , donde I = [0, α[ o I = ]α, 0], seg´n el signo de α, luego c = |α| como quer´ u ıamos probar. En el ultimo caso ∆ = 1 y f [C ] es el conjunto de los x ∈ Rn tales que ´ x1 ≤ x2 < x1 + 1, 0 ≤ xi < 1 si i = 2. Sea S1 el conjunto de x ∈ f [C ] con x2 < 1 y S2 = f [C ] \ S1 . Entonces C = S1 ∪ (S2 − e2 ), y la uni´n es disjunta. Por lo tanto o c = m(S1 ∪ S2 ) = m(S1 ) + m(S2 ) = m(S1 ) + m(S2 − e2 ) = m(C ) = 1, luego el teorema est´ probado. a Con esto hemos obtenido una interpretaci´n del m´dulo del determinante o o de una aplicaci´n lineal f . Por ejemplo, si |∆| = 3 esto significa que f triplica o el volumen de los conjuntos. Recordemos que el signo del determinante ya lo interpretamos en el cap´ ıtulo II. De momento no estamos en condiciones de calcular integrales de funciones de varias variables. Los resultados que nos permitir´n trabajar c´modamente a o con tales integrales los veremos en los pr´ximos cap´ o ıtulos, especialmente en el siguiente. De momento vamos a ver un ejemplo interesante de integral en R: Definici´n 7.36 La funci´n factorial1 es la funci´n Π : ]−1, +∞[ −→ R dada o o o por +∞ Π(x) = tx e−t dt. 0 Recordemos que tx = ex log t . Vamos a probar que el integrando es realmente una funci´n integrable en ]0, +∞[ para todo x > −1. Probamos por separado o que es integrable en ]0, 1] y en [1, +∞[. Si x ≥ 0 entonces tx e−t es una funci´n continua en [0, 1], luego es integrable. o Si −1 < x < 0 entonces (si 0 ≤ t ≤ 1) se cumple 0 ≤ tx e−t ≤ tx , y la funci´n tx o es integrable: su integral es 1 1 tx dt = l´ ım 0 n tx dt = l´ ım 1/n n tx+1 x+1 1 = 1/n tx+1 x+1 1 = 0 1 . x+1 La primera igualdad se sigue del teorema de la convergencia mon´tona. Siempre o que tengamos una integral de una funci´n no negativa definida sobre un intervalo o y de modo que restringida a intervalos menores sea continua y acotada podemos aplicar esta t´cnica (aplicar la regla de Barrow en intervalos menores y tomar e 1 La funci´n factorial fue descubierta y estudiada por Euler, aunque fue Gauss quien la o expres´ en la forma que aqu´ usamos como definici´n. Legendre introdujo el cambio de o ı o variable Γ(x) = Π(x − 1), que inexplicablemente ha prevalecido sobre la notaci´n de Gauss o y actualmente la funci´n es m´s conocida como “funci´n Gamma”. Nosotros respetamos la o a o notaci´n de Gauss pues, como veremos, resulta mucho m´s natural. o a 284 Cap´ ıtulo 7. Teor´ de la medida ıa el l´ ımite). En situaciones similares pasaremos directamente del primer t´rmino e al tercero sobrentendiendo el l´ ımite. Consideremos ahora el intervalo [1, +∞[. Observemos que tx e−t l´ ım = l´ tx+2 e−t = 0, ım t→+∞ 1/t2 t→+∞ (acotamos x + 2 por un n´mero natural n y aplicamos n u veces la regla de l’Hˆpital.) o Esto implica que existe un M > 0 tal que si t ≥ M entonces tx e−t ≤ 1/t2 . La funci´n tx e−t es continua en el o intervalo [1, M ], luego es integrable, luego basta probar que tambi´n lo es en [M, +∞[ y a su vez basta que lo sea 1/t2 , e pero +∞ +∞ 1 1 1 dt = − = . t2 tM M M Π(x) 8 6 4 2 -1 0 1 2 3 Con esto tenemos probada la existencia de la funci´n Π. La figura muestra o su gr´fica. a El teorema siguiente recoge las propiedades m´s importantes de la funci´n a o factorial, entre ellas la que le da nombre: Teorema 7.37 La funci´n factorial o +∞ Π(x) = tx e−t dt. 0 es continua en ]−1, +∞[ y cumple la ecuaci´n funcional o Π(x + 1) = (x + 1)Π(x). Adem´s Π(0) = 1, de donde2 Π(n) = n! para todo n´mero natural n. a u ´ Demostracion: Para probar que Π es continua basta probar que lo es en un intervalo I = ]−1 + , M [. En este intervalo el integrando de Π est´ mayorado a por la funci´n g (t) = t−1+ e−t + tM e−t , que es integrable en ]0, +∞[, pues su o integral es Π(−1 + ) + Π(M ). Si llamamos n Πn (x) = tx e−x dt, −1+1/n el teorema 7.23 garantiza que Πn es continua en I y basta probar que Πn converge uniformemente a Π en I . Ahora bien, si x ∈ I tenemos que +∞ 1/n |Π(x) − Πn (x)| ≤ g (t) dt + 0 g (t) dt, n 2 Con la notaci´n de Legendre las propiedades de la funci´n factorial quedan distorsionadas. o o Por ejemplo, la funci´n gamma cumple Γ(x + 1) = xΓ(x), Γ(n) = (n − 1)! o 7.5. La medida de Lebesgue 285 y es claro que el segundo miembro tiende a 0 con n. La ecuaci´n funcional se obtiene integrando por partes. En efecto: o +∞ tx+1 e−t dt = −tx+1 e−t Π(x+1) = 0 +∞ +(x+1) 0 +∞ tx e−t dt = (x+1)Π(x). 0 +∞ Claramente Π(0) = 0 e−t dt = [−e−t ]+∞ = 1 = 0!, luego por inducci´n o 0 tenemos la igualdad Π(n) = n! Puede probarse que Π es de clase C ∞ en su dominio. La funci´n factorial o tiene numerosas aplicaciones en an´lisis real y complejo, desde la estad´ a ıstica hasta la teor´ de n´meros. Nosotros no iremos m´s all´ en su estudio, aunque ıa u a a m´s adelante veremos alg´n ejemplo adicional en torno a ella. a u Cap´ ıtulo VIII Teor´ de la medida II ıa En este cap´ ıtulo profundizaremos en la teor´ de la medida hasta obtener ıa los principales resultados necesarios para trabajar con integrales de funciones de varias variables. Los resultados m´s importantes ser´n el teorema de Fubini, que a a reduce el c´lculo de la integral de una funci´n de n variables al de n integrales a o sucesivas de funciones de una variable, y el teorema de cambio de variable, que generaliza al que ya conocemos para funciones de una variable (integraci´n por o sustituci´n). o 8.1 Producto de medidas Aqu´ vamos a definir un producto de medidas, de modo que, por ejemplo, ı a la medida de Lebesgue en Rn ser´ el producto de la medida de Lebesgue en R consigo misma n veces. Despu´s probaremos el teorema de Fubini, que reduce e el c´lculo de una integral respecto a la medida producto al c´lculo de integrales a a respecto a los factores. Definici´n 8.1 Sean X e Y dos conjuntos y A, B dos σ -´lgebras de subcono a juntos de X e Y respectivamente (a cuyos elementos llamaremos conjuntos medibles). Un rect´ngulo medible en X × Y es un conjunto de la forma A × B , a donde A ∈ A y B ∈ B. Llamaremos figuras elementales a las uniones disjuntas de rect´ngulos medibles. Llamaremos A × B a la σ -´lgebra generada por a a los rect´ngulos medibles. Cuando hablemos de conjuntos medibles en X × Y a entenderemos que nos referimos a los de A × B. Si E ⊂ X × Y , x ∈ X , y ∈ Y , definimos las secciones de E determinadas por x e y como Ex = {y ∈ Y | (x, y ) ∈ E }, E y = {x ∈ X | (x, y ) ∈ E }. Teorema 8.2 En las condiciones anteriores, si E es medible en X ×Y , entonces Ex y E y son medibles en Y y en X respectivamente. 287 288 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa ´ Demostracion: Sea C el conjunto de todos los E ∈ A × B tales que Ex ∈ B para todo x ∈ X . Si E = A × B entonces Ex = B para todo x ∈ X , luego todos los rect´ngulos medibles est´n en C. Ahora vemos que C es una σ -´lgebra, de a a a donde se sigue que A × B ⊂ C, lo que prueba el teorema (para Ex , el caso E y es an´logo). a a) Obviamente X × Y ∈ C. b) Si E ∈ C, entonces (X × Y \ E )x = X \ Ex ∈ B, luego X × Y \ E ∈ C. c) Si {Ei }∞ ⊂ C y E = i=1 E ∈ C. ∞ Ei , entonces Ex = i=1 ∞ Eix ∈ B. Por lo tanto i=1 Vamos a dar una caracterizaci´n de A × B que nos ser´ util despu´s. Para o a´ e ello definimos una clase mon´tona M en un conjunto X como una colecci´n o o de subconjuntos de X tal que si {Ai }∞ es una familia creciente de conjuntos i=1 de M (es decir, Ai ⊂ Ai+1 ) entonces (Ai+1 ⊂ Ai ) entonces ∞ ∞ Ai ∈ M y si la familia es decreciente i=1 Ai ∈ M . i=1 Es claro que la intersecci´n de clases mon´tonas es de nuevo una clase o o mon´tona, por lo que podemos hablar de la clase mon´tona generada por un o o conjunto, es decir, la menor clase mon´tona que lo contiene. o Teorema 8.3 En las condiciones anteriores, A × B es la clase mon´tona geo nerada por las figuras elementales. ´ Demostracion: Sea M la clase mon´tona generada por las figuras eleo mentales. Claramente A × B es una clase mon´tona que contiene a las figuras o elementales, luego M ⊂ A × B. Las igualdades (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) = (A1 × B1 ) \ (A2 × B2 ) = (A1 ∩ A2 ) × (B1 × B2 ) (A1 \ A2 ) × B1 ∪ (A1 ∩ A2 ) × (B1 \ B2 ) muestran que la intersecci´n de dos rect´ngulos medibles es un rect´ngulo meo a a dible y que su diferencia es la uni´n de dos rect´ngulos medibles disjuntos, luego o a una figura elemental. De aqu´ se sigue claramente que la intersecci´n y la diı o ferencia de figuras elementales es una figura elemental. Lo mismo vale para la uni´n, pues P ∪ Q = (P \ Q) ∪ Q, y la uni´n es disjunta. o o Para cada conjunto P ⊂ X × Y definimos MP como el conjunto de todos los Q ⊂ X × Y tales que P \ Q ∈ M, Q \ P ∈ M y P ∪ Q ∈ M. Las propiedades siguientes son obvias: 1) Q ∈ MP si y s´lo si P ∈ MQ . o 2) MP es una clase mon´tona. o 8.1. Producto de medidas 289 Si P es una figura elemental, hemos probado que toda figura elemental est´ a contenida en MP , de donde 2) implica que M ⊂ MP . Fijemos ahora Q ∈ M. Si P es una figura elemental, por 1) tenemos que P ∈ MQ , luego por 2) resulta que M ⊂ MQ . Con esto hemos probado que la diferencia y la uni´n de dos elementos de M o est´ en M. Al a˜adir esto a la monoton´ concluimos que M es una σ -´lgebra. a n ıa a En efecto, ciertamente X × Y est´ en M, luego el complemento de un elemento a de M est´ en M. Si {Ai }∞ es una familia de elementos de M, entonces las a i=1 uniones Bi = A1 ∪ · · · ∪ Ai est´n en M, pero la uni´n de los Ai es la misma que a o a ıa. la de los Bi , que est´ en M por monoton´ Puesto que las figuras elementales est´n en M, concluimos que A × B = M. a Veamos ahora la relaci´n entre la medibilidad de funciones en un producto y o en los factores. Siempre en las mismas condiciones, si f : X × Y −→ Z , x ∈ X , y ∈ Y , definimos fx : Y −→ Z y f y : X −→ Z como las aplicaciones dadas por fx (y ) = f (x, y ), f y (x) = f (x, y ). Teorema 8.4 Si f : X × Y −→ Z es una funci´n medible, entonces fx es o medible para todo x ∈ X y f y es medible para todo y ∈ Y . − ´ Demostracion: Si V es un abierto en Z , claramente fx 1 [V ] = f −1 [V ]x , luego es medible. Por lo tanto fx es medible. Igualmente se razona con f y . Con esto estamos casi a punto de definir el producto de medidas. La definici´n se apoyar´ en el teorema siguiente. o a Teorema 8.5 Sean X e Y espacios medida con medidas σ -finitas µ y ν . Sea E un subconjunto medible de X × Y . Entonces las aplicaciones ν (Ex ) y µ(E y ) son funciones medibles de x e y respectivamente. Adem´s a µ(E y ) dν. ν (Ex ) dµ = X Y ´ Demostracion: Notar que por el teorema 8.2 los conjuntos Ex , E y son medibles, luego tiene sentido considerar ν (Ex ) y µ(E y ). Llamemos C a la familia de todos los subconjuntos medibles de X × Y para los que se cumple el teorema. Vamos a probar que C tiene las propiedades siguientes: a) C contiene a los rect´ngulos medibles. a b) Si {Qn }∞ ⊂ C es creciente entonces Q = n=1 ∞ Qn ∈ C. n=1 c) Si {Qn }∞ ⊂ C son disjuntos dos a dos entonces Q = n=1 ∞ Qn ∈ C. n=1 d) Si {Qn }∞ ⊂ C es decreciente y Q1 ⊂ U × V , con µ(U ), ν (V ) < +∞, n=1 entonces Q = ∞ n=1 Qn ∈ C. 290 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa En efecto, si U × V es un rect´ngulo medible, entonces a V ∅ (U × V )x = si x ∈ U si x ∈ U. / Por lo tanto ν (U × V )x = ν (V )χU , que es una funci´n medible. Igualmente o µ (U × V )y = µ(U )χV . Las integrales valen ambas µ(U )ν (V ), luego U × V est´ en C. Esto prueba a). a Para demostrar b) observamos que Qx = ∞ (Qn )x , y la sucesi´n es creciente, o n=1 por lo que ν (Qx ) = l´ ν (Qn )x . Como los conjuntos Qn est´n en C, las ım a n funciones ν (Qn )x son medibles, luego su l´ e ımite puntual ν (Qx ) tambi´n lo es. Igualmente ocurre con µ(Qy ). El teorema de la convergencia mon´tona da la o igualdad de las integrales, luego Q ∈ C. La prueba de c) es similar, usando ahora que ν (Qx ) es la suma de las funciones ν (Qn )x en lugar del l´ ımite. En el caso d) tenemos tambi´n n(Qx ) = l´ ν (Qn )x , pero ahora la sucesi´n e ım o n no es mon´tona creciente. La unica diferencia es que en lugar del teorema de o ´ la convergencia mon´tona usamos el teorema de la convergencia dominada. La o hip´tesis ν (V ) < +∞ garantiza que las funciones ν (Qn )x est´n dominadas o a por la funci´n integrable χV . o Estamos suponiendo que las medidas en X y en Y son σ -finitas, lo cual significa que podemos expresar X = ∞ Xn e Y = n=1 ∞ Yn para ciertos conjuntos n=1 medibles de medida finita que adem´s podemos suponer disjuntos dos a dos. a Sea ahora E un conjunto medible en X × Y . Definamos Emn = E ∩ (Xm × Yn ) y sea M la familia de todos los conjuntos E tales que los Emn as´ definidos est´n ı a en C. las propiedades b) y d) muestran que M es una clase mon´tona, mientras o que a) y c) muestran que contiene a las figuras elementales. El teorema 8.3 implica ahora que M contiene a todos los conjuntos medibles de X × Y . As´ pues, para todo conjunto medible E , los conjuntos Emn est´n en C, pero ı a claramente E es uni´n disjunta de los Emn ,luego por c) tenemos E ∈ C, es decir, o todo conjunto medible E cumple el teorema. Definici´n 8.6 Sean X e Y espacios con medidas σ -finitas µ y ν . Definimos o la medida producto λ × µ como la dada por (µ × ν )(Q) = µ(Qy ) dν (y ). ν (Qx ) dµ(x) = X Y Con el teorema 7.16 se prueba f´cilmente que µ × ν es realmente una medida a en la σ -´lgebra producto. Adem´s es claro que sobre los rect´ngulos medibles a a a tenemos (µ × ν )(A × B ) = µ(A)ν (B ) (con el convenio 0 · ∞ = 0). Conviene dar una caracterizaci´n de la medida producto que no dependa del o teorema anterior: 8.1. Producto de medidas 291 Teorema 8.7 Dados dos espacios X e Y con medidas σ -finitas µ y ν , la medida producto es la unica que cumple que (µ × ν )(A × B ) = µ(A)ν (B ) para todo ´ rect´ngulo medible A × B . a ´ Demostracion: Supongamos que dos medidas λ1 y λ2 se comportan sobre los rect´ngulos medibles como la medida producto. Descompongamos X = a ∞ Xn e Y = n=1 ∞ Yn , para ciertos conjuntos medibles de medida finita disjuntos n=1 dos a dos. Sea M la familia de los conjuntos medibles E de X × Y tales que λ1 E ∩ (Xm × Yn ) = λ2 E ∩ (Xm × Yn ) para todo m, n. Es claro que M es una clase mon´tona que contiene a las figuras elementales, luego por el teorema o 8.3 tenemos que M contiene a todos los conjuntos medibles. De aqu´ se sigue ı que las dos medidas coinciden sobre cualquier conjunto medible. Veamos ahora que toda esta teor´ es aplicable a la medida de Lebesgue en ıa Rn . Primero probemos un hecho general: Teorema 8.8 Si X e Y son dos espacios topol´gicos con bases numerables, o entonces el producto de las σ -´lgebras de Borel es la σ -´lgebra de Borel del a a producto. En particular el producto de medidas de Borel es una medida de Borel. ´ Demostracion: Si U y V son conjuntos de Borel en X e Y respectivamente, entonces U × Y es un conjunto de Borel en el producto, pues es la antiimagen de U por la proyecci´n en X , que es continua, luego medible. Igualmente X × V o es un conjunto de Borel, y tambi´n lo es U × V por ser la intersecci´n de ambos. e o De aqu´ se sigue que todas las figuras elementales son conjuntos de Borel, luego ı tambi´n lo son todos los conjuntos medibles en X × Y . Rec´ e ıprocamente, los productos de abiertos b´sicos U × V forman una base numerable de X × Y , a luego todo abierto de X × Y es uni´n numerable de estos abiertos b´sicos, luego o a todo abierto de X × Y es medible, luego todo conjunto de Borel es medible. Teorema 8.9 La medida de Lebesgue en Rm+n (restringida a los conjuntos de Borel) es el producto de la medida de Lebesgue en Rm por la medida de Lebesgue en Rn (restringidas ambas a los conjuntos de Borel). En efecto, es claro que las celdas son rect´ngulos medibles, y la medida a producto coincide sobre ellas con la medida de Lebesgue, luego es la medida de Lebesgue. Ahora probamos el teorema principal de esta secci´n: o Teorema 8.10 (Teorema de Fubini) Sean X e Y dos espacios medida con medidas σ -finitas µ y ν y sea f : X × Y −→ [−∞, +∞] una funci´n medible. o a) Si f ≥ 0, entonces las funciones fx dν Y (como funci´n de x) o e fy dµ X (como funci´n de y ) o 292 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa son medibles, y se cumple X ×Y b) Si X Y f d(µ × ν ) = fx dν X dµ = Y fy dµ Y dν. X |f |x dν dµ < +∞, entonces f ∈ L1 (µ × ν ). c) Si f ∈ L1 (µ × ν ), entonces fx ∈ L1 (ν ) p.c.t. y , fy ∈ L1 (µ) p.c.t. x, y las funciones definidas en a) p.c.t.p. est´n en L1 (µ) y L1 (ν ) respectivamente a y sus integrales coinciden (seg´n se afirma en a). u ´ Demostracion: a) Por el teorema 8.4, las funciones fx y fy son medibles, luego tienen sentido sus integrales. Si f = χQ , para un cierto conjunto medible Q ⊂ X × Y , entonces a) se reduce al teorema 8.5 y a la definici´n de la medida o producto. De aqu´ se sigue que las igualdades de a) son v´lidas cuando f es una ı a funci´n simple. En general existe una sucesi´n creciente de funciones simples o o {sn }∞ que converge puntualmente a f . Entonces es claro que {(sn )x }∞ n=1 n=1 converge puntualmente a fx y, por el teorema de la convergencia mon´tona o concluimos que l´ ım n (sn )x dν = Y fx dν. Y Como las funciones simples cumplen a) tenemos que las funciones son medibles y X ×Y sn d(µ × ν ) = Y (sn )x dν (sn )x dν dµ. X Y Consecuentemente el l´ ımite Y fx dν es medible y aplicando el teorema de la convergencia mon´tona a los dos miembros de la igualdad anterior queda o X ×Y f d(µ × ν ) = l´ ım X n (sn )x dν dµ = Y fx dν dµ. X Y La otra igualdad se prueba an´logamente. a Las hip´tesis de b) implican por a) que |f | es integrable, luego f tambi´n lo o e es. Para probar c) descompongamos f = f + − f − . Tenemos que f + y f − son integrables. Por a) la integrabilidad de f + significa que X ×Y f + d(µ × ν ) = + fx dν dµ < +∞, X Y + luego Y fx dν ha de ser finita salvo a lo sumo en un conjunto nulo, y lo mismo − el v´lido para Y fx dν . Salvo para los puntos x en la uni´n de los dos conjuntos a o nulos, tenemos que la integral − fx dν + fx dν − fx dν = Y Y Y 8.1. Producto de medidas 293 est´ definida y es finita, es decir, que la funci´n a o X ×Y f d(µ × ν ) = X ×Y f + d(µ × ν ) − X fx dν es integrable. Adem´s a X ×Y f − d(µ × ν ) − fx dν dµ = + fx dν dµ − = Y Y X Y fx dν dµ. X Y La otra parte de c) es an´loga. a En el caso de la medida de Lebesgue en Rn sustituiremos dm por dx1 · · · dxn . En estos t´rminos el teorema de Fubini (por ejemplo para dos variables) se e expresa como sigue: f (x, y ) dxdy = R2 f (x, y ) dx dy = R R f (x, y ) dy dx. R R Si trabajamos con funciones continuas sobre un compacto no hemos de preocuparnos de la integrabilidad. Ejemplo Vamos a calcular el ´rea de la elipse E de semiejes a, y b, formada a por los puntos que cumplen x2 y2 + 2 ≤ 1. a2 b Dicha area viene dada por ´ R2 χE (x, y ) dxdy = R R χE (x, y ) dy dx. La funci´n χE (x, y ) (como funci´n de y para un x fijo) es nula salvo si o o −a ≤ x ≤ a, en cuyo caso vale 0 salvo si −b 1 − (x/a)2 ≤ y ≤ b 1 − (x/a)2 , y en este caso vale 1. Por consiguiente la ultima integral es ´ √ a b 1−(x/a)2 a x2 dy dx = 2b 1 − dx √ a −b 1−(x/a)2 −a −a El cambio x/a = sen t transforma la integral en π /2 π /2 cos2 t dt = 2ab 2ab −π/2 −π/2 1 + cos 2t t sen 2t dt = 2ab + 2 2 4 π /2 = πab. −π/2 En particular, el area de un c´ ´ ırculo de radio r es πr2 . Ejemplo Calculemos ahora el volumen de una esfera de radio r. Concretamente, sea S = {(x, y, z ) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 }. Hemos de calcular r R3 χS (x, y, z ) dxdydz = −r R2 χS (x, y, z ) dydz dx. 294 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa Fijado x ∈ ]−r, r[, la funci´n (y, z ) → χS (x, y, x) es la funci´n caracter´ o o ıstica √ de un c´ ırculo de radio r2 − x2 y la integral interior es el area de este c´ ´ ırculo, ı o sea, vale π (r2 − x2 ). As´ pues, el volumen de la esfera es r −r Ejemplo πx3 3 π (r2 − x2 ) dx = π r2 x − r = −r 43 πr . 3 Vamos a generalizar el c´lculo anterior. Sea a n Br = {x ∈ Rn | x1 + · · · + x2 ≤ r}. 1 n n Vamos a probar que m(Br ) = vn rn , para una cierta constante vn que tambi´n e calcularemos. Razonaremos por inducci´n sobre n. El ejemplo anterior es el o caso n = 3, para el cual vn = (4/3)π , Claramente v2 = π . En general, si χn n es la funci´n caracter´ o ıstica de Br y fijamos x1 ∈ ]−r, r[, la funci´n (χn )x1 es la o o funci´n caracter´ o ıstica de una bola en Rn−1 de radio r2 − x2 . Por hip´tesis de 1 inducci´n o r n m(Br ) = −r vn−1 (r2 − x2 )(n−1)/2 dx1 . 1 Hacemos el cambio de variable x1 = r sen θ, con lo que π /2 n m(Br ) = vn−1 rn cosn θ dθ. −π/2 π /2 n Si llamamos κn = −π/2 cosn θ dθ, hemos probado que m(Br ) = vn−1 κn rn , luego el resultado es cierto para n con vn = vn−1 κn . π/2 Con la notaci´n del ejemplo de la p´gina 147 tenemos que κn = [I0,n ]−π/2 . o a Si suponemos n ≥ 2 los c´lculos de dicho ejemplo nos dan que a κn = n−1 κn−2 . n Una simple inducci´n nos da ahora que o κn κn−1 = 2π . n En efecto, basta usar la relaci´n anterior y tener en cuenta que o π /2 κ0 = π /2 dθ = π, −π/2 κ1 = cos θ dθ = 2. −π/2 Por consiguiente vn = vn−1 κn = vn−2 κn κn−1 . As´ llegamos a las relaciones ı v1 = 2, v2 = π, vn = 2π vn−1 , n que nos permiten calcular f´cilmente vn para cualquier valor de n. a 8.2. Espacios Lp 8.2 295 Espacios Lp En las secciones posteriores vamos a necesitar algunos resultados abstractos referentes a ciertos espacios de funciones integrables que estudiaremos aqu´ ı. Introducimos primero una noci´n elemental del an´lisis de una variable que nos o a va a ser de gran ayuda: Definici´n 8.11 Una funci´n f : I −→ R definida en un intervalo abierto es o o convexa si cuando x, y ∈ I y 0 < λ < 1 entonces f (1 − λ)x + λy ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y ). La interpretaci´n geom´trica es clara: la gr´fica o e a de f ha de quedar por debajo del segmento que une los puntos x, φ(x) e y , φ(y ) . Llamando z = (1 − λ)x + λy y despejando λ vemos que la condici´n de convexidad equivale a que o si x < z < y entonces (y − x)f (z ) ≤ (y − z )f (x) + (z − x)f (y ), (1−λ)x+λy x y lo cual a su vez equivale a f (z ) − f (x) f (y ) − f (z ) ≤ . z−x y−z Por el teorema del valor medio, de aqu´ se sigue que si f es derivable y f es ı una funci´n mon´tona creciente, entonces f es convexa. El rec´ o o ıproco tambi´n e es cierto y f´cil de probar, pero no lo necesitaremos. a Diremos que dos n´meros reales positivos p y q son conjugados si u 11 + = 1. pq Es obvio que cada p > 1 tiene un unico conjugado q > 1. El caso p = q = 2 es ´ especialmente importante. Como los pares de conjugados aparecen normalmente como exponentes, es frecuente llamarlos “exponentes conjugados”. Teorema 8.12 (Desigualdad de H¨lder) Sean p y q exponentes conjugao dos. Sea X un espacio medida y sean f, g : X −→ [0, +∞] funciones medibles. Entonces 1/p f g dµ ≤ X 1/q f p dµ X g q dµ . X ´ Demostracion: Llamemos A y B a los dos factores del segundo miembro. Si A = 0 entonces el teorema 7.22 implica que f = 0 p.c.t.p., luego f g = 0 p.c.t.p. y la desigualdad es clara. Si A > 0 y B = +∞ de nuevo es obvio. 296 Cap´ tulo 8. Teor´ de la medida II ıa Podemos suponer, pues, 0 < A < +∞ y 0 < B < +∞. Llamemos F = f /A, G = g/B . Entonces F p dµ = Gp dµ = 1. X (8.1) X Supongamos que x tal que 0 < F (x) < +∞, 0 < G(x) < +∞. Entonces existen n´meros s y t tales que F (x) = es/p , G(x) = et/q . Como 1/p + 1/q = 1 y la u funci´n exponencial es convexa, concluimos que o es/p+t/q ≤ p−1 es + q −1 et . Por consiguiente, F (x)G(x) ≤ p−1 F (x)p + q −1 G(x)q . Esta desigualdad es trivialmente cierta si G(x) = 0 o G(x) = 0, luego vale para todo x. Integrando y usando (8.1) resulta F G dµ ≤ p−1 + q −1 = 1. X De aqu´ se sigue inmediatamente la desigualdad de H¨lder. ı o Teorema 8.13 (Desigualdad de Minkowski) Sea X un espacio medida y f, g : X −→ [0, +∞] funciones medibles. Para todo p ≥ 1 se cumple 1/p 1/p ≤ (f + g )p dµ f p dµ X 1/p g p dµ + X X ´ Demostracion: Podemos suponer que p > 1, que el primer miembro es mayor que 0 y que el segundo en menor que +∞. Como la funci´n xp es convexa o en ]0, +∞[ tenemos que p f +g 2 ≤ 1p (f + g p ), 2 con lo que el primer miembro tambi´n es finito, es decir, las tres integrales son e finitas. Sea q el conjugado de p. Escribimos (f + g )p = f (f + g )p−1 + g (f + g )p−1 . Aplicamos la desigualdad de H¨lder junto con que (p − 1)q = p (porque p y q o son conjugados). El resultado es 1/p f (f + g )p−1 dµ ≤ X 1/q f p dµ (f + g )p dµ X . X Intercambiando los papeles de f y g y sumando las desigualdades resulta 1/q (f + g )p dµ ≤ X 1/p (f + g )p dµ X f p dµ X 1/p g p dµ + . X Dividiendo entre el primer factor del segundo miembro y teniendo en cuenta que 1 − 1/q = 1/p tenemos la desigualdad buscada. 8.2. Espacios Lp 297 Definici´n 8.14 Sea X un espacio medida, 1 ≤ p < +∞ y f : X −→ R una o funci´n medible. Sea o 1/p f p |f |p dµ = . X Llamaremos Lp (µ) al conjunto de todas las funciones medibles f tales que f p < +∞. Notemos que L1 (µ) es el conjunto de todas las funciones integrables, tal y como ya lo ten´ ıamos definido. Por la desigualdad de Minkowski tenemos que si f , g ∈ Lp (µ) entonces f + g p ≤ f p + g p . En particular f + g ∈ Lp (µ). Por otra parte es claro que αf p = |α| f p , con lo que αf ∈ Lp (µ). En particular vemos que Lp (µ) es un espacio vectorial sobre R. p No es cierto que p sea una norma en L (µ), porque existen funciones no nulas f tales que f p = 0 (las que son nulas p.c.t.p.). Ahora bien, es claro que las funciones de “norma” nula forman un subespacio vectorial de Lp (µ). Usaremos tambi´n la notaci´n Lp (µ) para referirnos al espacio vectorial e o cociente. Si dos funciones f y g est´n en la misma clase entonces f = g + h, a donde h p = 0, luego f p ≤ g p + 0 e igualmente tenemos la desigualdad contraria, luego f p = g p . Podemos definir la norma de una clase de funciones como la norma de cualquiera de sus miembros. Al considerar clases de equivalencia s´ tenemos un ı espacio normado, pues las funciones de norma 0 forman una unica clase. ´ Teorema 8.15 Sea X un espacio medida y 1 ≤ p < +∞. Entonces Lp (µ) es un espacio de Banach. ´ Demostracion: Sea {fn }∞ una sucesi´n de Cauchy en Lp (µ). Basta o n=1 probar que tiene una subsucesi´n convergente. Extrayendo una subsucesi´n o o podemos suponer que fn+1 − fn < 2−n . Sea ∞ k |fn+1 − fn |, gk = n=1 |fn+1 − fn |. g= n=1 p Claramente gk p < 1 y aplicando el lema de Fatou a {gk }∞ concluimos k=1 ı que g p ≤ 1. En particular g (x) < +∞ p.c.t.x. As´ pues, la serie ∞ fn+1 (x) − fn (x) f (x) = f1 (x) + n=1 converge absolutamente p.c.t.x. Definamos f (x) = 0 en los puntos donde no converja. Teniendo en cuenta qui´nes son las sumas parciales de la serie, es e claro que f (x) = l´ fn (x) p.c.t.x. ım n Veamos que f ∈ L (µ) y que es el l´ ımite para la norma de la sucesi´n dada. o Dado > 0 existe un k tal que si m, n > k entonces fn − fm p < . Por el p 298 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa lema de Fatou tenemos |f − fm |p dµ ≤ l´ ım n X |fn − fm |p dµ ≤ p . X Esto significa que f − fm p ≤ , de donde f p ≤ fk + y por lo tanto f ∈ Lp (µ). Tambi´n es claro ahora que f es el l´ e ımite en Lp (µ) de la sucesi´n o dada. En la prueba del teorema anterior hemos visto lo siguiente: Teorema 8.16 Toda sucesi´n que converge en un espacio Lp (µ) a una funo ci´n f , tiene una subsucesi´n que converge puntualmente a f . o o En el caso de los espacios L2 (µ) todav´ podemos decir m´s: ıa a Teorema 8.17 Sea X un espacio medida. Entonces L2 (µ) es un espacio de Hilbert con el producto escalar dado por fg = f g dµ. X ´ Demostracion: La integral que define el producto escalar es finita, pues por la desigualdad de H¨lder cumple en realidad que |f g | ≤ f 2 g 2 . Clarao mente es bilineal y la norma que induce es precisamente la de L2 (µ). Ejercicio: Sea µ la medida en {1, . . . , n} en la que cada punto tiene medida 1. Probar que Lp (µ) = Rn y que las normas ıtulo I. 1y 2 son las definidas en el cap´ Terminamos el estudio de los espacios Lp (µ) con dos teoremas de densidad: Teorema 8.18 Sea X un espacio medida. Sea S la clase de las funciones simples que son nulas salvo en un conjunto de medida finita. Entonces S es un subconjunto denso de Lp (µ) para 1 ≤ p < +∞. ´ Demostracion: Es claro que S ⊂ Lp (µ). Tomemos primero una funci´n o f ≥ 0 en Lp (µ). Sea {sn }∞ una sucesi´n mon´tona creciente de funciones o o n=1 simples que converja a f . Como 0 ≤ sn ≤ f es claro que sn ∈ Lp (µ), luego sn ∈ S . Como |f − sn |p ≤ f p , el teorema de la convergencia dominada implica que f − sn p converge a 0, luego f est´ en la clausura de f . Para el caso general a aplicamos la parte ya probada a f + y f − . Teorema 8.19 Sea µ una medida de Borel regular en un espacio localmente compacto X . Entonces Cc (X ) es denso en Lp (µ) para 1 ≤ p < +∞. ´ Demostracion: Consideremos la clase S del teorema anterior. Basta ver que toda funci´n s ∈ S puede aproximarse por una funci´n de Cc (X ). Sea > 0 o o y K el supremo de s, que claramente es finito. Por el teorema de Lusin existe una funci´n g ∈ Cc (X ) tal que g = s salvo en un conjunto de medida menor o que . Por consiguiente g − s p ≤ 2K 1/p . 8.3. Medidas signadas 8.3 299 Medidas signadas Para enunciar m´s adecuadamente los pr´ximos resultados conviene que moa o difiquemos nuestra definici´n de medida o, con m´s exactitud, que introduzcao a mos otro tipo de medidas distintas de las medidas positivas. Aunque pronto veremos la utilidad del nuevo concepto desde un punto de vista puramente matem´tico, quiz´ ahora sea m´s conveniente motivarlo mediante un ejemplo f´ a a a ısico: la funci´n que a cada regi´n del espacio le asigna la cantidad de materia que o o contiene es un ejemplo de medida positiva (que podemos suponer finita), sin embargo, la aplicaci´n que a cada regi´n del espacio le asigna la carga el´ctrica o o e que contiene ya no se ajusta a nuestra definici´n de medida, porque puede tomar o valores negativos, y pese a ello puede tratarse de forma muy similar. Definici´n 8.20 Sea A una σ -´lgebra en un conjunto X . Una medida signada o a (finita) en A es una aplicaci´n µ : A −→ R tal que µ(∅) = 0 y si {En }∞ es o n=1 una familia de conjuntos de A disjuntos dos a dos entonces ∞ µ ∞ En n=1 = µ(En ). n=1 Observar que en la definici´n est´ impl´ o a ıcita la hip´tesis de que las series o de medidas de conjuntos disjuntos son convergentes (en el caso de las medidas positivas donde admit´ ıamos el valor +∞ esto era evidente). M´s a´n, la serie au ha de converger absolutamente. En efecto, la serie (finita o infinita) formada por los t´rminos correspondientes a los conjuntos En con medida negativa ha e de converger a la medida de su uni´n, y obviamente la serie de los valores o absolutos converge al valor absoluto de la suma, es decir, los t´rminos negativos e convergen absolutamente. Lo mismo vale para los t´rminos positivos, luego la e serie completa tambi´n converge absolutamente. e Conviene saber que toda la teor´ que vamos a exponer sobre medidas sigıa nadas se generaliza con cambios m´ ınimos a medidas con valores complejos, pero no vamos a necesitar nada al respecto. Con esta definici´n, la medidas signadas o sobre una σ -´lgebra fija en un conjunto X forman un espacio vectorial real con a las operaciones dadas por (µ + ν )(E ) = µ(E ) + ν (E ), (αµ)(E ) = αµ(E ). En particular, las medidas signadas de Borel en un espacio topol´gico X o forman un espacio vectorial real. Ejemplo Sea X un espacio topol´gico y x ∈ X . Definimos la delta de Dirac o de soporte x como la medida de Borel dada por δx (E ) = 1 si x ∈ E . 0 si x ∈ E / Claramente se trata de una medida signada positiva. Si una regi´n del o espacio est´ ocupada por part´ a ıculas puntuales en las posiciones x1 , . . . , xn con 300 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa cargas el´ctricas q1 , . . . , qn , entonces la distribuci´n de carga viene dada por la e o medida signada n µ= qi δxi . i=1 Tambi´n podemos considerar la medida positiva e n |µ| = |qi |δxi , i=1 que a cada regi´n del espacio le asigna la cantidad total de carga que contiene, o haciendo abstracci´n de su signo. Vamos a probar que a toda medida signada o µ le podemos asignar una medida positiva |µ| con una interpretaci´n an´loga a o a la de este ejemplo. Definici´n 8.21 Sea µ una medida signada en un conjunto X . Llamaremos o variaci´n total de µ a la aplicaci´n definida sobre la misma σ -´lgebra que µ o o a dada por ∞ |µ|(E ) = sup |µ(En )|, n=1 donde el supremo se toma sobre todas las particiones {En }∞ de E en conjuntos n=1 medibles disjuntos dos a dos. Tomando la partici´n formada unicamente por E obtenemos la relaci´n o ´ o |µ(E )| ≤ |µ|(E ). Es inmediato comprobar que la medida |µ| construida en el ejemplo anterior es la variaci´n total de µ en el sentido de la definici´n anterior. o o Teorema 8.22 La variaci´n total de una medida compleja es una medida poo sitiva finita. ´ Demostracion: Obviamente |µ|(∅) = 0. Sea {En }∞ una partici´n de un o n=1 conjunto medible E en conjuntos medibles disjuntos dos a dos. Sea rn < |µ|(En ). o Entonces cada En tiene una partici´n {Enm }∞=1 de modo que m ∞ |µ(Enm )|. rn < m=1 La uni´n de todas las particiones forma una partici´n de E , con lo que o o ∞ ∞ rn ≤ n=1 |µ(Enm )| ≤ |µ|(E ). m,n=1 Tomando el supremo en todas las posibles elecciones de {rn }∞ resulta que n=1 ∞ |µ|(En ) ≤ |µ|(E ). n=1 8.3. Medidas signadas 301 Sea ahora {Am }∞=1 una partici´n de E en conjuntos medibles disjuntos dos o m a dos. Entonces {En ∩ Am }∞ es una partici´n de Am y , {En ∩ Am }∞=1 es o n=1 m una partici´n de En , luego o ∞ ∞ ∞ ∞ |µ(Am )| = m=1 ∞ µ(Am ∩ En ) ≤ m=1 n=1 ∞∞ |µ(Am ∩ En )| m=1 n=1 ∞ |µ(Am ∩ En )| ≤ = n=1 m=1 |µ|(En ). n=1 Como esto vale para toda partici´n de E , tenemos o ∞ |µ|(E ) ≤ |µ|(En ). n=1 Falta probar que |µ| es finita. Supongamos que existe un conjunto medible E tal que |µ|(E ) = +∞. Sea t = 2 1 + |µ(E )| . Puesto que |µ|(E ) > t, por definici´n de variaci´n total existen conjuntos medibles En contenidos en E y o o disjuntos dos a dos tales que k |µ(En )|. t< n=1 Sea P la suma de los t´rminos |µ(En )| tales que µ(En ) ≥ 0 y sea N la e suma de los |µ(En )| tales que µ(En ) < 0. Por la desigualdad anterior tenemos t < P + N , luego t < 2P o bien t < 2N , seg´n si N ≤ P o P ≤ N . Sea A la u uni´n de los En correspondientes a P o N seg´n el caso, de modo que A ⊂ E y o u t < 2|µ(A)|, luego |µ(A)| > t/2 > 1. Sea ahora B = E \ A. Entonces |µ(B )| = |µ(B ) − µ(A)| ≥ |µ(A)| − |µ(E )| > t − |µ(E )| = 1. 2 As´ pues, hemos partido E en dos conjuntos disjuntos A y B tales que ı |µ(A)| > 1 y |µ(B )| > 1. Obviamente |µ|(A) = +∞ o bien |µ|(B ) = +∞. Supongamos ahora que el espacio total X tiene variaci´n total infinita. Por o el argumento anterior podemos partirlo en dos conjuntos medibles disjuntos X = A1 ∪ B1 tales que |µ|(B1 ) = +∞ y |µ(A1 )| > 1. Aplicando el mismo razonamiento a B1 obtenemos B1 = A2 ∩ B2 con |µ|(B2 ) = +∞ y |µ(A2 )| > 1. Procediendo de este modo construimos una familia numerable de conjuntos medibles disjuntos {An }∞ tales que |µ(An )| > 1 para todo n. Deber´ cumplirse ıa n=1 ∞ ∞ An µ n=1 µ(An ), = n=1 pero la serie no converge, porque su t´rmino general no tiende a 0. Esta cone tradicci´n prueba que |µ|(X ) < +∞ y por lo tanto |µ| es una medida finita. o 302 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa Ejercicio: Probar que el conjunto de todas las medidas signadas sobre una σ -´lgebra a en un conjunto X es un espacio normado con la norma dada por µ = |µ|(X ). Definici´n 8.23 Si µ es una medida signada en un conjunto X , llamaremos o variaci´n positiva y variaci´n negativa de µ a las medidas (definidas sobre la o o misma σ -´lgebra) dadas por a µ+ = |µ| + µ , 2 µ− = |µ| − µ . 2 Claramente son dos medidas positivas finitas y cumplen las relaciones µ = µ+ − µ− , |µ| = µ+ + µ− . Por ejemplo, si µ representa la carga el´ctrica contenida en una regi´n del e o espacio, µ+ y µ− representan, respectivamente, la carga positiva y la carga negativa que contiene dicha regi´n. o Diremos que una funci´n f : X −→ R es integrable respecto a una medida o signada µ si lo es respecto a µ+ y µ− , y definimos su integral como f dµ− . f dµ+ − f dµ = X X X Es f´cil ver que el conjunto L1 (µ) de las funciones integrables es un espacio a vectorial y la integral determina sobre ´l una aplicaci´n lineal. Adem´s se e o a cumple la desigualdad f dµ ≤ X |f | d|µ|. X Tambi´n es claro que la aplicaci´n dada por ν (E ) = e o signada en X . E f dµ es una medida Nos encaminamos a probar ahora uno de los teoremas m´s importantes de a la teor´ de la medida. Para ello necesitamos algunos conceptos y resultados ıa previos. Definici´n 8.24 sea µ una medida positiva en un conjunto X y λ una medida o arbitraria (positiva o signada) en la misma σ -´lgebra. Diremos que λ es absoa lutamente continua respecto a µ, y lo representaremos por λ µ, si todos los conjuntos nulos para µ son nulos para λ. Si existe un conjunto medible A tal que para todo conjunto medible E se cumple λ(E ) = λ(A ∩ E ) se dice que λ est´ concentrada en A. Esto equivale a a que λ(E ) = 0 siempre que E ∩ A = ∅. Diremos que dos medidas arbitrarias (sobre una misma σ -´lgebra) son mua tuamente singulares, y lo representaremos por λ1 ⊥ λ2 , si existen conjuntos medibles disjuntos A y B tales que λ1 est´ concentrada en A y λ2 est´ concena a trada en B . 8.3. Medidas signadas 303 Ejemplo Si admitimos como principio que toda masa ocupa un volumen, entonces la medida µ que a cada regi´n del espacio le asigna la masa que contiene es o absolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue m. Por el contrario, a veces es m´s conveniente trabajar con masas puntuales, es decir, suponi´ndolas a e ´ localizadas en puntos del espacio sin volumen. Este ser´ el caso de una distriıa k buci´n de masas de la forma µ = o mn δxn . Es f´cil ver que entonces µ ⊥ m. a n=1 He aqu´ algunas propiedades elementales: ı Teorema 8.25 Sean λ, λ1 y λ2 medidas arbitrarias en un conjunto X y µ una medida positiva, todas ellas con los mismos conjuntos medibles. Entonces a) Si λ est´ concentrada en un conjunto medible A, tambi´n lo est´ |λ|. a e a b) Si λ1 ⊥ λ2 entonces |λ1 | ⊥ |λ2 |. c) Si λ1 ⊥ µ y λ2 ⊥ µ entonces λ1 + λ2 ⊥ µ. d) Si λ1 e) Si λ f ) Si λ1 g) Si λ µ y λ2 µ entonces λ1 + λ2 µ, entonces |λ| µ. µ. µ y λ2 ⊥ µ entonces λ1 ⊥ λ2 . µ y λ ⊥ µ entonces λ = 0. ´ Demostracion: a) Si E ∩ A = ∅ y {En }∞ es cualquier partici´n de E , o n=1 entonces λ(En ) = 0 para todo n, luego |λ|(E ) = 0. b) Es consecuencia inmediata de a). c) Existen conjuntos disjuntos A1 y B1 tales que λ1 est´ concentrada en a A1 y µ est´ concentrada en B1 e igualmente existen conjuntos disjuntos A2 y a B2 tales que λ2 est´ concentrada en A2 y µ est´ concentrada en B2 . Entonces a a a a λ1 + λ2 est´ concentrada en A = A1 ∩ A2 y µ est´ concentrada en B = B1 ∩ B2 . d) Obvio. e) Si µ(E ) = 0 y {En }∞ es una partici´n de E en conjuntos medibles o n=1 disjuntos, entonces µ(En ) = 0 para todo n, luego λ(En ) = 0 y |λ|(E ) = 0. f) Tenemos que λ2 est´ concentrada en un conjunto A tal que µ(A) = 0. a Como λ1 µ ha de ser λ1 (E ) = 0 para todo conjunto medible E ⊂ A. Por a consiguiente λ1 est´ concentrada en X \ A. g) Por f) tenemos λ ⊥ λ, pero esto implica que λ = 0. Ahora probamos dos hechos elementales sobre medidas positivas que nos har´n falta a continuaci´n. a o Teorema 8.26 Si µ es una medida positiva σ -finita en un conjunto X , entonces existe una funci´n w ∈ L1 (µ) tal que 0 < w(x) < 1 para todo x ∈ X . o 304 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa ´ Demostracion: Sea {En }∞ una partici´n de X en conjuntos disjuntos o n=1 de medida finita. Definamos wn (x) = La funci´n w = o ∞ 1 2n (1+µ(En )) 0 si x ∈ En si x ∈ X \ En wn cumple lo pedido. n=1 Teorema 8.27 Sea µ una medida positiva finita, f ∈ L1 (µ) y C ⊂ R un conjunto cerrado. Si 1 PE (f ) = f dµ ∈ C µ(E ) E para todo conjunto medible E no nulo, entonces f (x) ∈ C p.c.t. x ∈ X . ´ Demostracion: Sea I = [x − r, x + r] un intervalo cerrado disjunto de C . Puesto que R \ C es uni´n de una familia numerable de tales intervalos, basta o probar que E = f −1 [I ] es nulo. En caso contrario |PE (f ) − x| = 1 µ(E ) (f − x) dµ ≤ E 1 µ(E ) |f − x| dµ ≤ r, E lo cual es imposible, pues PE (f ) ∈ C . Finalmente podemos probar: Teorema 8.28 (de Lebesgue-Radon-Nikod´m) Sea µ una medida positiva y σ -finita en un conjunto X y sea λ una medida signada sobre la misma σ -´lgebra. a Entonces a) Existe un unico par de medidas signadas λa y λs tales que ´ λ = λa + λs , λa µ, λs ⊥ µ. Si λ es positiva (y finita) tambi´n lo son λa y λs . e b) Existe una unica h ∈ L1 (µ) tal que para todo conjunto medible E ´ λa (E ) = h dµ. E La parte a) se conoce como Teorema de Lebesgue. La parte b) es el Teorema de Radon-Nikod´m. y ´ Demostracion: La unicidad de a) es clara a partir de 8.25, pues si λa , λs es otro par que cumpla lo mismo, entonces λa − λa = λs − λs , λa − λa µy λs − λs ⊥ µ, luego λa − λa = λs − λs = 0. La unicidad de h en b) (como funci´n de L1 (µ), es decir, p.c.t.p.) es f´cil de o a probar: si existe otra h en las mismas condiciones entonces f = h − h tiene 8.3. Medidas signadas 305 integral nula sobre todo conjunto. Tomamos E = {x ∈ X | f (x) > 0} y, como f tiene integral nula sobre E , por el teorema 7.22 concluimos que f = 0 p.c.t.p. Supongamos primero que λ es positiva (y finita). rema 8.26. Sea ν la medida positiva finita dada por ν (E ) = λ(E ) + Sea w seg´n el teou w dµ. E En otros t´rminos, si f = χE se cumple e f dν = x f dλ + f w dµ. X X Claramente, la misma relaci´n vale cuando f es una funci´n simple y, en conseo o cuencia, para funciones medibles no negativas. Si f ∈ L2 (ν ) la desigualdad de H¨lder implica o 1 /2 f dλ ≤ X |f | dλ ≤ X |f | dν ≤ |f |2 dν X ν (X )1/2 = ν (X )1/2 f 2. X Seg´n el teorema 2.37, esto significa que u f→ f dλ X es una aplicaci´n lineal continua de L2 (ν ) en R. Como L2 (ν ) es un espacio o de Hilbert, el teorema 2.44 implica que existe g ∈ L2 (ν ) tal que para toda f ∈ L2 (ν ) se cumple f dλ = X f g dν. (8.2) X Si aplicamos esto a una funci´n caracter´ o ıstica f = χE , donde ν (E ) > 0 el miembro izquierdo es λ(E ) y as´ ı 0≤ 1 ν (E ) g dν = E λ(E ) ≤ 1. ν (E ) Seg´n el teorema 8.27, resulta que g (x) ∈ [0, 1] p.c.t.x (respecto a ν ). Puesto u que g s´lo est´ determinada como elemento de L2 (ν ), podemos modificarla en o a un conjunto nulo y suponer que 0 ≤ g (x) ≤ 1 para todo x ∈ X . Entonces (8.2) puede reescribirse como (1 − g )f dλ = X f gw dµ. X Sean A = {x ∈ X | 0 ≤ g (x) < 1}, B = {x ∈ X | g (x) = 1}. Definimos las medidas λa y λs mediante λa (E ) = λ(A ∩ E ), λs (E ) = λ(B ∩ E ). (8.3) 306 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa Haciendo f = χB en (8.3) el miembro izquierdo es 0 y el derecho es y como w > 0 concluimos que µ(B ) = 0, luego λs ⊥ µ. Ahora aplicamos (8.3) a (1 + g + · · · + g n )χE , con lo que tenemos (1 − g n+1 ) dλ = E B w dµ, g (1 + g + · · · + g n )w dµ. E El integrando de la izquierda es nulo en B y converge a 1 en A, luego la integral de la izquierda converge a λ(A ∩ E ) = λa (E ). Por otra parte, el integrando de la derecha converge a una funci´n medible no negativa h (quiz´ con valores o a infinitos), luego tomando l´ ımites en n resulta que λa (E ) = h dµ. E En particular esto vale para E = X , lo que prueba que h toma valores finitos p.c.t.p., luego modific´ndola si es necesario en un conjunto nulo podemos a suponer que h ∈ L1 (µ). Esto prueba el teorema cuando λ es positiva. Si es una medida signada arbitraria basta aplicar la parte ya probada a λ+ y λ− . Definici´n 8.29 Si µ una medida positiva σ -finita en un conjunto X y λ es una o medida signada sobre la misma σ -´lgebra tal que λ a µ, entonces la funci´n o h cuya existencia afirma el teorema de Radon-Nikod´m se llama la derivada y de Radon-Nikod´m de λ respecto a µ. La relaci´n que expresa el teorema se y o representa tambi´n por dλ = h dµ. e Veamos una aplicaci´n del teorema de Radon-Nikod´m. Una interpretaci´n o y o del teorema siguiente es que si µ representa la distribuci´n de carga el´ctrica en o e el espacio, entonces el espacio puede dividirse en dos regiones, una ´ ıntegramente ocupada por cargas positivas y otra por cargas negativas. Teorema 8.30 (Teorema de descomposici´n de Hann) Sea µ una medio da signada en un conjunto X . Entonces X se descompone en uni´n de dos o conjuntos medibles disjuntos A y B tales que para todo conjunto medible E se cumple µ+ (E ) = µ(A ∩ E ), µ− (E ) = −µ(B ∩ E ). ´ Demostracion: Obviamente µ |µ|, luego existe una funci´n h ∈ L1 (|µ|) o tal que dµ = h d|µ|. Veamos que h toma los valores ±1 p.c.t.p. Dado un n´mero u real r, sea Ar = {x ∈ X | |h(x)| < r}. Para toda partici´n {En }∞ de Ar se o n=1 cumple ∞ ∞ ∞ |µ(En )| = n=1 h d|µ| ≤ n=1 En r|µ|(En ) = r|µ|(Ar ). n=1 Para r < 1 esto implica que |µ|(Ar ) = 0, luego |h| ≥ 1 p.c.t.p. Por otra parte, si |µ|(E ) > 0 tenemos que 1 |µ|(E ) h d|µ| = E |µ(E )| ≤ 1, |µ|(E ) 8.3. Medidas signadas 307 luego el teorema 8.27 implica que |h| ≤ 1 p.c.t.p. Modificando h en un conjunto nulo podemos suponer que h = ±1. Ahora basta definir A = {x ∈ X | h(x) = 1}, B = {x ∈ X | h(x) = −1}. En efecto, por definici´n de µ+ tenemos que para todo conjunto medible E o se cumple µ+ (E ) = 1 2 (1 + h) d|µ| = E ∩A E h d|µ| = µ(E ∩ A). Igualmente se razona con la variaci´n negativa. o Se dice que el par (A, B ) es una partici´n de Hann de µ. Como aplicaci´n o o obtenemos un par de hechos de inter´s sobre la derivada de Radon-Nikod´m de e y una medida signada: Teorema 8.31 Sea µ una medida positiva σ -finita en un conjunto X y f ∈ L1 (µ). Sea λ la medida signada determinada por dλ = f dµ. Entonces |λ| = |f | dµ y si g ∈ L1 (λ) entonces gf ∈ L1 (µ) y g dλ = X gf dµ. X ´ Demostracion: Claramente λ µ, luego |λ| µ, luego λ+ µy µ. Por el teorema de Radon-Nikod´m existen funciones f+ , f− ∈ L1 (µ) y λ tales que dλ+ = f+ dµ, dλ− = f− dµ. Si (A, B ) es una partici´n de Hann para o λ, podemos exigir que f+ se anule en B y f+ se anule en A. Es claro que f = f+ − fm p.c.t.p., luego |f | = f+ + f− p.c.t.p. Por consiguiente d|λ| = (f+ + f− ) dµ = |f | dµ. − La segunda parte del teorema es obvia si g es una funci´n simple. Si g es o positiva tomamos una sucesi´n creciente {sn } de funciones simples 0 ≤ sn ≤ g o que converja puntualmente a g . Entonces sn |f | dµ = X sn d|λ|. X Por el teorema de la convergencia mon´tona concluimos que o g |f | dµ = X g d|λ| < +∞, X luego gf ∈ L1 (µ). Tambi´n tenemos e sn dλ− = sn dλ+ − X X sn f dµ X Aplicando el teorema de la convergencia mon´tona a la izquierda y el de la o convergencia dominada a la derecha llegamos a la igualdad del enunciado. Si g no es positiva aplicamos la parte ya probada a g + y g − . 308 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa Para terminar probaremos una versi´n del teorema de Riesz para medidas o signadas. Sea K un espacio topol´gico compacto y C (K ) el espacio de todas o las funciones reales continuas sobre K . Sabemos que C (K ) es un espacio de Banach con la norma supremo. Sea C (K ) el espacio de las aplicaciones lineales continuas de C (K ) en R, que tambi´n es un espacio de Banach con la norma e dada por T = sup |T (f )| f ∞ ≤ 1 . Adem´s, para toda f ∈ C (K ) se cumple |T (f )| ≤ T f ∞ . Llamemos M (K ) a al conjunto de todas las medidas signadas de Borel en K , que claramente es un espacio normado con la norma µ = |µ|(K ). Teorema 8.32 (Teorema de representaci´n de Riesz) Si K es un espao cio compacto, a cada funcional lineal continuo T ∈ C (K ) le corresponde una unica medida signada µ ∈ M (K ) tal que para toda funci´n f ∈ C (K ) se cumple ´ o T (f ) = f dµ. K Adem´s esta correspondencia es una isometr´ C (K ) −→ M (K ). a ıa ´ Demostracion: Si T fuera positivo, es decir, si T (f ) ≥ 0 cuando f ≥ 0, la versi´n del teorema de Riesz que probamos en el cap´ o ıtulo anterior nos dar´ la ıa medida que buscamos. En el caso general vamos a descomponer T en diferencia de dos funcionales positivos. Sea C − (K ) = {f ∈ C (K ) | f ≥ 0} y definamos T + (f ) = sup{T (u) | u ∈ C + (K ), u ≤ f }, para f ∈ C + (K ). Notar que si 0 ≤ u ≤ f se cumple |T (u)| ≤ T u ∞ ≤ T f ∞ , luego T + es finito y |T + (f )| ≤ T f ∞ . Es claro que si α ≥ 0 se cumple T + (αf ) = αT + (f ). Adem´s T + (f + g ) = a + T (f ) + T + (g ). En efecto, si 0 ≤ u ≤ f y 0 ≤ v ≤ g entonces 0 ≤ u + v ≤ f + g , luego T (u)+ T (v ) ≤ T + (f + g ). Tomando supremos T + (f )+ T + (g ) ≤ T + (f + g ). Rec´ ıprocamente, si w ≤ f + g es claro que u = f ∧ w y v = w − u son funciones continuas y 0 ≤ u ≤ f , 0 ≤ v ≤ g , w = u + v , luego T (w) ≤ T + (f ) + T + (g ) y, tomando supremos, T + (f + g ) ≤ T + (f ) + T + (g ). Dada f ∈ C (K ) definimos T + (f ) = T + (f + ) − T + (f − ). Es f´cil probar a que T + : C (K ) −→ R es un funcional lineal continuo positivo. Lo mismo vale para T − = T + − T . Por el teorema de Riesz para funcionales positivos existen medidas positivas µ+ y µ− tales que T + (f ) = f dµ+ , K T − (f ) = dµ− . K Ambas medidas son finitas (basta aplicar las f´rmulas a f = 1). Por lo tanto o podemos definir µ = µ+ − µ− , que es una medida signada en K y claramente representa a T . 8.4. Derivaci´n de medidas o 309 Veamos que µ = T . Si f |T (f )| = ∞ ≤ 1 tenemos f dµ ≤ K |f | d|µ| ≤ |µ|(K ) = µ , K luego T ≤ µ . Dado > 0 consideramos una partici´n de Hann (A, B ) o para µ. Sean K1 y K2 conjuntos compactos tales que K1 ⊂ A, K2 ⊂ B , µ+ (A) − µ+ (K1 ) + µ− (B ) − µ− (K2 ) < . Es f´cil construir una funci´n continua a o f : X −→ [−1, 1] que valga 1 sobre K1 y −1 sobre K2 . Entonces dµ− ≤ dµ+ + µ= A B f dµ + = T (f ) + ≤ T + , K luego µ ≤ T . En particular tenemos que la correspondencia T → µ es inyectiva (su n´cleo es trivial) y obviamente es suprayectiva. u 8.4 Derivaci´n de medidas o Supongamos que µ representa la distribuci´n de la masa en el espacio y m o es la medida de Lebesgue. Si suponemos que µ m, es decir, si la materia ocupa un volumen, entonces tiene sentido hablar de la densidad de materia en un punto x del espacio, entendida como la cantidad de materia por unidad de volumen. Una aproximaci´n a dicha densidad es el cociente o µ(B ) , m(B ) donde B es un entorno de x. Sin embargo, si la distribuci´n de la materia no o es uniforme, dicho cociente no es exactamente la densidad, pero se parecer´ a m´s a ella cuanto menor sea el entorno considerado. Estas ideas nos llevan a la a definici´n siguiente: o Definici´n 8.33 Sea m la medida de Lebesgue en Rn y µ una medida de Borel o signada en Rn . Definimos los cocientes Cr µ(x) = µ(Br (x)) , m(Br (x)) donde las bolas las tomamos respecto a la distancia eucl´ ıdea. Definimos la derivada de µ en x como dµ (x) = l´ Cr µ(x). ım r →0 dm Probaremos que si µ m entonces la derivada existe p.c.t.p. Para ello nos apoyaremos en la funci´n maximal M , definida por o M µ(x) = sup 0<r<+∞ Cr |µ|(x). 310 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa Veamos que es medible usando para ello el teorema 7.7. Sea E la antiimagen por M µ de un intervalo ]t, +∞], es decir, E = {x ∈ X | M µ(x) > t}. Veamos que es abierto. Dado x ∈ E , existe un r > 0 tal que u = Cr |µ|(x) > t, luego µ(Br (x)) = um(Br (x)). Tomemos δ > 0 tal que (r + δ )n < rn u/t. As´ si ı, |y − x| < δ entonces Br (x) ⊂ Br+δ (y ), con lo que |µ|(Br+δ (y )) ≥ um(Br (x)) = u r r+δ n m(Br+δ (y )) > tm(Br+δ (y )). Esto prueba que y ∈ E , es decir, tenemos que Bδ (x) ⊂ E , luego E es abierto. Ahora necesitamos un par de hechos t´cnicos: e Teorema 8.34 Sea W la uni´n de una familia finita de bolas Bri (xi ) ⊂ Rn , o para i = 1, . . . , N . Entonces existe un conjunto S ⊂ {1, . . . , n} tal que: a) Las bolas Bri (xi ) con i ∈ S son disjuntas, b) W ⊂ i∈S B3ri (xi ), c) m(W ) ≤ 3n i∈S m(Bri (xi )). ´ Demostracion: Escribiremos Bi = Bri (xi ). Ordenemos las bolas de modo que sus radios sean decrecientes. Sea i1 = 1. Eliminemos todas las bolas que corten a Bi1 . Sea Bi2 la primera bola restante, si es que queda alguna, eliminemos las bolas que cortan a Bi2 y continuemos el proceso hasta que no queden bolas. Veamos que las bolas que hemos dejado cumplen el teorema. Ciertamente son disjuntas. Cada bola Bj de las que hemos eliminado est´ a contenida en una bola B3ri (xi ), para alg´n i ∈ S , pues si r ≤ r y Br (x ) corta u a Br (x) entonces Br (x ) ⊂ B3r (x). La parte c) es consecuencia inmediata de b). Teorema 8.35 Si µ es una medida signada de Borel en Rn y t > 0, entonces m {x ∈ Rn | M µ(x) > t} ≤ 3n |µ|(Rn ). t ´ Demostracion: Sea K un subconjunto compacto del abierto que aparece en el miembro izquierdo. Cada x ∈ K es el centro de una bola abierta B tal que |µ|(B ) > tm(B ). Estas bolas forman un cubrimiento de K , del cual podemos extraer un subcubrimiento finito al que a su vez podemos aplicar el teorema anterior, digamos {B1 , . . . , Bk } de modo que n m(K ) ≤ 3n m(Bi ) ≤ i=1 3n t n |µ|(Bi ) ≤ i=1 3n |µ|(Rn ). t 8.4. Derivaci´n de medidas o 311 La medida µ es regular porque lo son sus variaciones positiva y negativa, luego tomando el supremo sobre todos los compactos K obtenemos la desigualdad del enunciado. Si f ∈ L1 (Rn ) podemos aplicar el teorema anterior a la medida definida por |f | dm. µ(E ) = E En este caso M µ es la funci´n o M f (x) = 1 m(Br (x) 0<r<+∞ |f | dm sup Br (x) y la tesis del teorema es m {x ∈ Rn | M f (x) > t} ≤ 3n f t 1. (8.4) La existencia de la derivada de una medida se deducir´ de un teorema de a existencia de puntos de Lebesgue, que definimos a continuaci´n: o Definici´n 8.36 Sea f ∈ L1 (Rn ) (representaremos as´ al espacio L1 (m), para o ı la medida de Lebesgue en Rn ). Un punto de Lebesgue de f es un punto x ∈ Rn tal que 1 l´ ım |f (y ) − f (x)| dm(y ) = 0. r →0 m(Br (x)) B (x) r Notemos que si x es un punto de Lebesgue entonces, dado que 1 m(Br (x)) f dm − f (x) = Br (x) ≤ 1 m(Br (x)) 1 m(Br (x)) f (y ) − f (x) dm(y ) Br (x) |f (y ) − f (x)| dm(y ), Br (x) se cumple f (x) = l´ ım r →0 1 m(Br (x)) f dm. Br (x) Es claro que si f es continua en x entonces x es un punto de Lebesgue para f , pero necesitamos la existencia de puntos de Lebesgue de funciones integrables cualesquiera: Teorema 8.37 Si f ∈ L1 (Rn ), entonces casi todo x ∈ Rn es un punto de Lebesgue de f . 312 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa ´ Demostracion: Sea 1 m(Br (x)) Tr (f )(x) = |f − f (x)| dm Br (x) y sea T (f )(x) = l´ Tr (f )(x). ım r →0 Tenemos que probar que T f = 0 p.c.t.p. Fijemos un n´mero real y > 0 y un u n´mero natural k . Por el teorema 8.19 existe una funci´n g ∈ Cc (Rn ) tal que u o f − g − 1 < 1/k . Sea h = f − g . La continuidad de g implica que T (g ) = 0. Como 1 Tr (h)(x) ≤ |h| dm + |h(x)|, m(Br (x)) Br (x) tenemos que T (h) ≤ M h + |h|. Por otra parte, dado que Tr (f ) ≤ Tr (g ) + Tr (h), vemos que T (f ) ≤ M h + |h|. As´ pues, ı {x ∈ Rn | T (f )(x) > 2y } ⊂ {x ∈ Rn | M (h)(x) > y } ∪ {x ∈ Rn | |h|(x) > y } Llamemos E (y, k ) al miembro derecho de la inclusi´n anterior. Por 8.4 teo nemos que la medida del primero de los conjuntos de la uni´n es menor o igual o que 3n /(yk ). Respecto al segundo, llam´moslo A, observamos que e ym(A) ≤ |h| dm ≤ |h| dm = h 1 < Rn A 1 , k luego en total, m E (y, k ) ≤ (3n + 1)/(yk ). El conjunto {x ∈ Rn | T (f )(x) > 2y } es independiente de k y est´ contenido a en la intersecci´n de los conjuntos E (y, k ) para todo k , que es nula. Por la o completitud de la medida de Lebesgue concluimos que es medible Lebesgue y tiene medida nula. Como esto vale para todo y > 0 concluimos que T f = 0 p.c.t.p. Con esto llegamos al teorema principal de esta secci´n: o Teorema 8.38 Sea µ una medida signada de Borel en Rn tal que µ my sea f la derivada de Radon-Nikod´m de µ respecto a m. Entonces dµ/dm = f y p.c.t.p. y para todo conjunto de Borel E ⊂ Rn se cumple µ(E ) = E dµ dm. dm ´ Demostracion: El teorema de Radon-Nikod´m afirma que se verifica la y igualdad del enunciado con f en lugar de dµ/dm. Para cada punto de Lebesgue x de f se cumple f (x) = l´ ım r →0 1 m(Br (x)) f dm = l´ ım Br (x) r →0 µ(Br (x)) dµ = (x). m(Br (x)) dm 8.5. El teorema de cambio de variable 8.5 313 El teorema de cambio de variable En esta secci´n probaremos un teorema fundamental para el c´lculo de inteo a grales, junto con el teorema de Fubini. Se trata de la generalizaci´n a funciones o de varias variables de la regla de integraci´n por sustituci´n. El planteamiento o o es el siguiente: Supongamos que g : U −→ V es un difeomorfismo entre dos abiertos en Rn , el problema es relacionar la integral de una funci´n f : V −→ R o con la de g ◦ f . Seg´n el teorema 7.35, si g fuera una aplicaci´n lineal de deteru o minante ∆ se cumplir´ que m g (A) = |∆| m(A), para todo conjunto medible ıa A ⊂ U . En este caso no es dif´ deducir que ıcil f dm = |∆| V (g ◦ f ) dm. U En el caso general, sabemos que en un entorno de cada punto x la aplicaci´n g o se confunde con su diferencial dg (x), que es una aplicaci´n lineal de determinante o ∆g (x) = det Jg (x) (el determinante jacobiano de g en x). Esto se traduce en que si A es un conjunto medible contenido en un entorno de x suficientemente peque˜o, entonces m g (A) ≈ |∆g (x)| m(A). Esto es suficiente para llegar a un n resultado an´logo al caso lineal: a (g ◦ f )|∆g | dm. f dm = V U ´ Este es el contenido del teorema de cambio de variable. La prueba detallada no es trivial en absoluto, sino que depende de una gran parte de los resultados que hemos visto hasta ahora. Observemos que dg (x) es de hecho un isomorfismo, luego ∆g (x) = 0. Comencemos probando la relaci´n entre la medida de un o conjunto y la de su imagen para el caso de bolas abiertas: Teorema 8.39 Sea g : U −→ V un difeomorfismo entre dos abiertos de Rn y x ∈ U . Entonces m g [Br (x)] l´ ım = |∆g (x)|. r →0 m Br (x) ´ Demostracion: Puesto que la medida de Lebesgue es invariante por traslaciones, no perdemos generalidad si suponemos x = 0 y g (0) = 0. Sea φ = dg (0) y h = g ◦ φ−1 . Probaremos que m h[Br (0)] = 1. r →0 m Br (0) l´ ım El teorema 7.35 nos da que m h[Br (0)] = |∆g (0)|−1 m g [Br (x)] , luego la igualdad anterior implica la que figura en el enunciado. La aplicaci´n h cumple o h(0) = 0 y adem´s dh(0) es la aplicaci´n identidad. Por definici´n de diferena o o ciabilidad esto significa que l´ ım x→0 h(x) − x = 0. x 314 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa As´ dado 0 < < 1 existe un δ > 0 tal que ı, si x < δ entonces h(x) − x < x. (8.5) Como h es un difeomorfismo en particular es una aplicaci´n abierta, luego o podemos tomar δ de modo que adem´s Bδ (0) est´ contenida en la imagen de h. a a Veamos que si 0 < r < δ entonces B(1− )r (0) ⊂ h[Br (0)] ⊂ B(1+ )r (0). (8.6) En efecto, si y ∈ B(1− )r (0) ⊂ Bδ (0) entonces existe un x ∈ U tal que h(x) = y . La relaci´n 8.5 implica y − x < x . Entonces o x ≤ x−y + y < x + (1 − )r, luego (1 − ) x < (1 − )r y x < r. As´ y ∈ h[Br (0)]. Por otra parte, si ı y ∈ h[Br (0)], es decir, si y = h(x) con x < r, la relaci´n 8.5 implica que o y − x < r, luego y < (1 + )r, lo que nos da la otra inclusi´n. o Tomando medidas en 8.6 resulta (1 − )n ≤ m h[Br (0)] ≤ (1 + )n , m Br (0) para todo r < δ, y la conclusi´n es clara. o En las condiciones del teorema anterior la aplicaci´n g biyecta claramente o los conjuntos de Borel de U con los de V , por lo que podemos definir una medida de Borel en U mediante µ(A) = m g [A] . Si se trata de una medida finita el teorema afirma que dµ (x) = ∆g (x). dm En realidad no hay ning´n problema en definir la derivada de una medida pou sitiva, aunque no sea finita, pues se trata de un concepto local, y la igualdad anterior es cierta en cualquier caso. Necesitaremos probar que µ m, lo que se seguir´ del teorema siguiente: a Teorema 8.40 La imagen de un conjunto nulo por una funci´n diferenciable o es un conjunto nulo. ´ Demostracion: Sea g : U −→ V diferenciable y sea E ⊂ U un conjunto nulo. Si x ∈ E , la diferenciabilidad de g en x significa que para y = x g (y ) − g (x) = y − x dg (x) y−x y−x + E (y − x) donde E es una cierta funci´n continua en 0 con E (0) = 0. Como dg (x) est´ o a acotada en la bola unidad, existen naturales k y p tales que si y ∈ B1/p (x) entonces g (y ) − g (x) ≤ k y − x . 8.5. El teorema de cambio de variable 315 Sea Fkp el conjunto de todos los x ∈ E que cumplen esta relaci´n. Hemos o probado que E est´ contenido en la uni´n de estos conjuntos. Por consiguiente a o basta probar que g [Fkp ] es nulo. Sea M el cociente entre la medida de una bola de radio 1 y la de un cubo de di´metro 1. Una homotecia de raz´n r los transforma en una bola de radio r y a o un cubo de di´metro r, cuyas medidas difieren de las anteriores en la constante a rn , luego la raz´n entre ambas sigue siendo M , es decir, M es en realidad el o cociente entre la medida de una bola de radio arbitrario r y la medida de un cubo de di´metro r. a Sea > 0. Cubramos Fkp por un abierto W tal que m(W ) < /M . Por el teorema 7.32 podemos descomponer W en una uni´n numerable de cubos o disjuntos, que podemos tomar con di´metro menor que 1/p. Desechamos los a que no cortan a Fkp y as´ tenemos a ´ste cubierto por una familia numerable ı e de cubos Ci cuyas medidas suman menos de /M . Cubrimos cada cubo por una bola Bi = Bri (xi ) cuyo centro es un punto xi ∈ Fkp ∩ Ci y su radio es el di´metro de Ci (menor que 1/p). De este modo las bolas cubren a Fkp y la a suma de sus medidas es menor que . Si x ∈ Fkp ∩ Bi , entonces x − xi < 1/p y xi ∈ Fkp , luego g (x) − g (xi ) ≤ k x − xi < nri , luego g [Fkp ∩ Bi ] ⊂ Bkri g (xi ) . Esto prueba que g [Fkp ] est´ cubierto por las a bolas Bkri g (xi ) , luego ∞ ∞ m g [Fkp ] ≤ m Bkri g (xi ) = kn i=1 Como m(Bi ) < k n . i=1 es arbitrario, tenemos que m g [Fkp ] = 0. Es claro que todo conjunto medible Lebesgue se puede expresar como uni´n o de un conjunto de Borel con un conjunto nulo (el conjunto de Borel es la uni´n o de una sucesi´n de compactos que aproximen la medida del conjunto dado). o El teorema anterior prueba que si g : U −→ V es un difeomorfismo entre dos abiertos de Rn y E ⊂ U es medible Lebesgue, entonces g [E ] es medible Lebesgue. Veamos finalmente el teorema principal: Teorema 8.41 (Teorema de cambio de variable) Sea g : U −→ V un difeomorfismo entre dos abiertos de Rn y sea f : V −→ R una aplicaci´n integrable o Lebesgue. Entonces (g ◦ f )|∆g | dm. f dm = V U ´ Demostracion: Para cada natural k , sea Uk = {x ∈ U | g (x) < k }. Claramente Uk es abierto. Para cada conjunto medible E definimos µk (E ) = m g [E ∩ Uk ] . Claramente µk es una medida finita sobre la σ -´lgebra de los a conjuntos medibles Lebesgue en Rn . El teorema anterior prueba que µk m. 316 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa Ahora podemos aplicar el teorema 8.38, seg´n el cual existe dµk /dm p.c.t.p., u es integrable Lebesgue y para todo conjunto medible E se cumple µk (E ) = E dµk dm. dm En principio 8.38 prueba esto para conjuntos de Borel, pero la igualdad se extiende obviamente a conjuntos medibles arbitrarios. Del teorema 8.39 se sigue f´cilmente que si x ∈ Uk entonces a dµk = |∆g (x)|. dm En total hemos probado que si E es medible entonces m g [E ∩ Uk ] = χE |∆g | dm. Uk Por el teorema de la convergencia mon´tona concluimos que o m g [E ∩ U ] = χE |∆g | dm. (8.7) U Vamos a deducir de aqu´ que si A es un conjunto medible, entonces ı (g ◦ χA )|∆g | dm. χA dm = V U Basta tomar E = g −1 (A) ⊂ U . El comentario previo al teorema prueba que E es medible y claramente χE = g ◦ χA . Adem´s g [E ∩ U ] = g [E ] = A ∩ V , a luego (8.7) se convierte en la igualdad buscada. De aqu´ se sigue la f´rmula del enunciado para el caso en que f es una funci´n ı o o simple no negativa. Por el teorema de la convergencia mon´tona llegamos al o mismo resultado para funciones medibles no negativas y a su vez se extiende a toda funci´n integrable aplic´ndolo a f + y f − . o a ρ(θ) Ejemplo Consideremos una curva cerrada en R2 que rodee a (0, 0) y admita una expresi´n en coordenadas o θ polares ρ = ρ(θ) (es decir, que corte a cada semirrecta de origen (0, 0) en un unico punto). El recinto S limi´ tado por la curva estar´ formado por los puntos (ρ0 , θ0 ) a tales que 0 ≤ ρ0 ≤ ρ(θ0 ). Para calcular el area de S ´ efectuamos el cambio de variables x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, cuyo jacobiano es ρ. As´ el area se puede calcular como ı, ´ 2π ρ(θ ) dxdy = S 2π ρ dρdθ = 0 0 0 ρ2 dθ. 2 (Hemos aplicado el teorema anterior en el abierto {(ρ, θ) | 0 < ρ < ρ(θ), 0 < θ < 2π }. 8.5. El teorema de cambio de variable 317 El cambio de coordenadas lo transforma biyectivamente en S menos el radio θ = 0, que tiene area nula, por lo que no importa despreciarlo.) ´ Por ejemplo, el area de la cardioide ρ = (a/2)(1 + cos θ) viene dada por ´ a2 8 2π (1 + cos θ)2 dθ = 0 = a2 8 2π 1 + cos 2θ 2 1 + 2 cos θ + 0 a2 θ sen 2θ θ + 2 sen θ + + 8 2 4 2π = 0 dθ 3π 2 a. 8 Ejemplo En el cap´ ıtulo VI demostramos que los cuerpos sometidos a la acci´n o gravitatoria de una estrella o planeta describen trayectorias rectas o c´nicas, o pero no calculamos la posici´n del cuerpo en funci´n del tiempo. Ahora proo o baremos la segunda ley de Kepler, que aporta informaci´n a este respecto. Se o refiere a un cuerpo (un planeta, un cometa) que describe una trayectoria c´nica o alrededor (digamos) del Sol: El radio que une el m´vil con el Sol barre areas iguales en tiempos o ´ iguales. Tomemos como origen la posici´n del Sol y sea ρ(θ) la trayectoria del m´vil. o o Sea A el sector de c´nica que barre el radio que une al m´vil con el Sol entre o o un angulo θ0 y un angulo θ1 . El area de A es ´ ´ ´ dxdy = A 1 2 θ1 ρ2 dθ. θ0 Hacemos el cambio θ = θ(t), donde t es el tiempo. El resultado es 1 2 t1 t0 ρ2 (θ(t))θ (t) dt = 1 2 t1 t0 ρ2 (t)ω (t) dt = 1 2m t1 L dt = t0 L (t1 − t0 ). 2m As´ pues, el area barrida es proporcional al tiempo recorrido. ı ´ A su vez de aqu´ se deduce la tercera ley de Kepler, v´lida para m´viles ı a o que describen orbitas el´ ´ ıpticas alrededor de un mismo cuerpo. El per´ ıodo de revoluci´n de tal cuerpo es el tiempo que tarda en recorrer una orbita completa: o ´ Los cuadrados de los per´ ıodos de revoluci´n son proporcionales a los o cubos de los semiejes de las orbitas. ´ Seg´n vimos en el cap´ u ıtulo VI, la ecuaci´n de la orbita es o ´ ρ= L2 1 . GM m2 1 + cos θ 318 Cap´ ıtulo 8. Teor´ de la medida II ıa Los v´rtices mayores (los valores m´ximo y m´ e a ınimo de ρ) se corresponden con los ´ngulos θ = 0, π . Su semisuma es el semieje mayor: a a= Puesto que de la elipse es L2 1 GM m2 2 1 1 − 1+ 1− = 1 L2 GM m2 1 − 2 . √ es la excentricidad, el semieje menor es b = a 1 − 1− A = πab = πa2 2 = L4 π G2 M 2 m4 (1 − 1− 2 )2 2. El area ´ 2. Seg´n hemos calculado, el per´ u ıodo T cumple A = LT /(2m), luego √ 2π L3 1 − 2 T= 2 2 3 . G M m (1 − 2 )2 Reuniendo todo esto vemos que T2 4π 2 = , a3 GM luego tenemos la proporci´n buscada. o Ejemplo Vamos a probar que +∞ e−x dx = 2 √ π. −∞ Aparentemente se trata de un problema de an´lisis de una variable real, pero a el c´lculo es mucho m´s simple si nos apoyamos en una funci´n de dos variables. a a o 2 2 Concretamente consideramos f (x, y ) = e−x −y . Calculamos la integral de esta funci´n en la bola de centro 0 y radio r mediante el cambio a coordenadas o polares: −x2 −y 2 e Br (0) ∞ 2π dxdy = e 0 e−ρ ρ dρdθ = 2π − 2 2 −ρ2 0 r = π (1 − e−r ). 2 0 El teorema de la convergencia mon´tona implica que f es integrable en R2 o y adem´s a e−x 2 −y 2 dxdy = π. R2 Por otro lado podemos aplicar el teorema de Fubini, que nos da ∞ −∞ e−x dx 2 2 = π, 8.5. El teorema de cambio de variable 319 luego tenemos la igualdad que busc´bamos. De aqu´ se deducen varias integrales a ı de inter´s. En primer lugar e √ +∞ 2 π e−x dx = , 2 0 √ y haciendo el cambio x = t resulta +∞ Π(−1/2) = t−1/2 e−t dt = √ π. 0 Por la ecuaci´n funcional de la funci´n factorial concluimos que o o √ 1 π Π(1/2) = Π(−1/2) = . 2 2 Ejemplo Con el c´lculo que acabamos de hacer podemos dar una expresi´n a o expl´ ıcita para las constantes vn que calculamos en en ejemplo de la p´gina 294. a En efecto, ahora es inmediato que vn = π n/2 , Π(n/2) (8.8) pues esta funci´n coincide con vn para n = 1 y n = 2 y satisface la misma o ıtulo siguiente daremos una prueba m´s a relaci´n recurrente que vn . En el cap´ o elegante de esta f´rmula. o Cap´ ıtulo IX Formas diferenciales Despu´s de haber dedicado el cap´ e ıtulo anterior a la integral de Lebesgue y los teoremas fundamentales de la teor´ de la medida abstracta, nos ocuparemos ıa aqu´ de sus aplicaciones al an´lisis real en la l´ ı a ınea de los cap´ ıtulos previos. Los unicos conjuntos medibles que nos van a aparecer ser´n obviamente de Borel: ´ a abiertos, cerrados, un c´ ırculo menos un punto o menos un radio, rect´ngulos a semiabiertos como ]0, r] × ]0, 2π [, etc. Toda funci´n continua f en un conjunto o de Borel B (extendida como 0 fuera del mismo) es claramente medible y, si f est´ acotada y B tiene medida finita, entonces f es integrable. Este criterio a bastar´ en la mayor´ de los casos. Nuestro primer objetivo ser´ definir una a ıa a medida sobre las variedades diferenciables que se corresponda con el concepto de longitud, area y volumen cuando la dimensi´n sea 1, 2 y 3 respectivamente. ´ o De este modo podremos calcular, por ejemplo, el ´rea de una esfera o el area a ´ de un c´ ırculo en el plano proyectivo. Notemos que la longitud de una curva ya est´ definida. La definici´n general que daremos aqu´ coincidir´ con la que ya a o ı a conocemos para las variedades de dimensi´n 1. o 9.1 Integraci´n en variedades o Sea S ⊂ Rm una variedad diferenciable de dimensi´n n. Para definir una o medida sobre S definiremos primero medidas sobre sus planos tangentes. En general, si E n es un espacio vectorial eucl´ ıdeo de dimensi´n n (por ejemplo un o subespacio de Rm de dimensi´n n con el producto escalar inducido desde Rm ), o entonces existe una isometr´ φ : E n −→ Rn que es, de hecho, un homeomorıa fismo entre las topolog´ eucl´ ıas ıdeas. Definimos los conjuntos medibles de E n como las antiim´genes por φ de los conjuntos medibles Lebesgue de Rn y la a medida de Lebesgue en E n como la dada por m(G) = m φ(G) . Teniendo en cuenta que las isometr´ en Rn conservan la medida de Lebesıas gue (tienen determinante ±1), es inmediato comprobar que m as´ definida es ı una medida en E n que no depende de la elecci´n de φ. Claramente se correso ponde con la noci´n de longitud, area, volumen, etc. en E n . El teorema 7.35 o ´ puede enunciarse ahora en este contexto general: 321 322 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales Teorema 9.1 Sea φ : E n −→ F n una aplicaci´n lineal entre dos espacios o vectoriales eucl´ ıdeos de dimensi´n n y sea ∆φ el determinante de la matriz de o φ respecto a dos bases ortonormales cualesquiera. Entonces, para todo conjunto medible A ⊂ E n se cumple m φ(A) = |∆φ | m(A). ´ Demostracion: Sean f : Rn −→ E n y g : Rn −→ F n dos isometr´ ıas. Sea h = f ◦ φ ◦ g −1. Claramente el determinante de h es igual a ∆φ y φ = f −1 ◦ h ◦ g . Basta aplicar el teorema 7.35 y el hecho de que f y g conservan la medida. Sea ahora X : U −→ Rm una carta de la variedad S y sea V = X [U ]. Veamos c´mo definir una medida en V que se corresponda con la noci´n de o o a ´rea, etc. La idea b´sica es que alguien que “viva” en un entorno suficientemente a peque˜o de un punto p ∈ V podr´ creer (salvo que tome medidas de much´ n a ısima precisi´n) que “vive” en Rn (o mejor en p + Tp (S ), aunque a efectos pr´cticos o a podemos trabajar en Tp (S )), y queremos una medida en S que en dicho entorno se confunda con la medida de Lebesgue en Tp (S ). En particular deber´ tratarse a de una medida regular y completa definida al menos sobre todos los conjuntos de Borel (pues estas propiedades son locales). M´s expl´ a ıcitamente, si p ∈ V , digamos p = X (x) con x ∈ U , para cada conjunto de Borel B en un entorno de p, podemos considerar los conjuntos de Borel BX = X −1 [B ] y πp [B ] = dX (x)[BX − x]. As´ BX es la representaci´n ı, o en nuestro “mapa” del conjunto B y p + πp [B ] es el conjunto de p + Tp (S ) con el cual se confunde B . Si llamamos µ a la medida que queremos definir en S , la condici´n que debe cumplir es que µ(B ) se confunda con m(πp [B ]), pero no o en el sentido de que la diferencia de ambas tienda a 0 cuanto menor sea en el entorno en que tomemos B (eso es trivial, pues ambas medidas tender´n a 0), a sino en el sentido de que el error relativo µ(B ) − m(πp [B ]) m(πp [B ]) tienda a 0 cuanto menor sea el entorno en que tomemos B . Pensemos por ejemplo en una esfera del tama˜o de la Tierra y tomemos n como carta del hemisferio norte la proyecci´n sobre el plano del ecuador. Si B o es un c´ ırculo alrededor del polo norte (digamos de un metro de radio) entonces πp [B ] es tambi´n un c´ e ırculo de un metro de radio, s´lo que πp [B ] es plano y B o est´ ligeramente abombado. A pesar de ello, la diferencia es insignificante y el a error que cometer´ ıamos al tomar el ´rea de B como la de πp [B ] no ser´ del orden a ıa de un metro cuadrado, sino del orden de una cent´sima de micra cuadrada, es e decir, que el cociente anterior ser´ ciertamente muy peque˜o. ıa n Llamemos µX (BX ) = µ(B ). Es claro que las medidas µ y µX se determinan mutuamente, por lo que vamos a definir una medida µX en U que se ajuste a los requisitos que estamos exigiendo y a partir de ella definiremos µ. De este modo podremos aplicar los resultados del cap´ ıtulo anterior sobre medidas en Rn . Conviene suponer que V est´ acotado, con lo que las medidas µ y µX tendr´n a a que ser finitas. 9.1. Integraci´n en variedades o 323 Sea Br = Br (x). Tomando B = X [Br ], la condici´n que queremos exigir es: o µX (Br ) − m dX (x)[Br ] = 0. r →0 m dX (x)[Br ] l´ ım (9.1) Vamos a probar que existe una unica medida finita regular µX en U que cumple ´ esta condici´n. o Sea φ : Rm −→ Rm una isometr´ que transforme Tp (S ) en Rn × {0} y sea ıa o pn : Rm −→ Rn la proyecci´n en las primeras componentes. De este modo la ıa restricci´n a Tp (S ) de φ ◦ pn es una isometr´ del plano tangente en Rn , luego o por definici´n m dX (x)[Br ] = m (dX (x) ◦ φ ◦ pn )[Br ] . o Sean A y Pn las matrices de φ y pn en las bases can´nicas. Entonces la o matriz de (dX (x) ◦ φ ◦ pn ) es JX (x)APn y seg´n el teorema 9.1 tenemos que u m dX (x)[Br ] = ∆X (x) m(Br ), donde ∆X (x) = | det(JX (x)APn )|. Ahora usamos que para toda matriz cuadrada M se cumple | det M | = det(M M t ), con lo que t ∆X (x) = det(JX (x)APn Pn At JX (x)t ). t Pero JX (x)APn Pn At JX (x)t = JX (x)AAt JX (x)t . En efecto, el elemento (i, j ) de esta matriz es el producto de ei JX (x)APn por (ej JX (x)APn )t , donde o ei y ej son los vectores de la base can´nica de Rn , pero ei JX (x) ∈ Tp (S ), luego ei JX (x)A ∈ Rn × {0}, e igualmente ej JX (x)A ∈ Rn × {0}, luego el producto es el mismo aunque suprimamos Pn . Como A es la matriz de una isometr´ se ıa, cumple AAt = I , luego concluimos que ∆X (x) = det(JX (x)JX (x)t ) = det(gij (x)), donde gij son los coeficientes del tensor m´trico de S en la carta X . Con esto e hemos probado lo siguiente: Teorema 9.2 Sea X : U −→ S una carta de una variedad S . Sea X (x) = p. Para cada conjunto de Borel B ⊂ U se cumple m dX (x)[B ] = ∆X (x) m(B ), donde ∆X = det(gij ) y las funciones gij son los coeficientes del tensor m´trico e de S . La condici´n 9.1 se expresa ahora as´ o ı: µX (Br ) − ∆X (x) m(Br ) = 0, r →0 ∆X (x) m(Br ) l´ ım o equivalentemente dµX µX (Br ) (x) = l´ ım = ∆X (x). r →0 m(Br ) dm Es razonable exigir que µX µX venga dada por m, y entonces el teorema 8.38 obliga a que µX (B ) = ∆X dm. U 324 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales En definitiva, la medida µ en V ser´ por definici´n la dada por a o µ(E ) = ∆X dm, X −1 [ E ] donde ∆X (x) = det(gij (x)). Ahora es f´cil comprobar que si f es una funci´n integrable en V , entonces a o (X ◦ f )∆X dm f dµ = V U (se prueba primero para funciones simples y luego para no negativas). Con esto tenemos definida una medida de Borel regular sobre cada abierto acotado de S que est´ contenido en la imagen de una carta. Ahora hemos de e pegar todas estas medidas para obtener una unica medida sobre todo S . Para ´ ello hemos de probar primero que si un conjunto medible est´ contenido en las a im´genes de dos cartas, ambas le asocian la misma medida. Puesto que las a medidas son regulares basta probar que coinciden sobre los conjuntos abiertos. No perdemos generalidad si suponemos que tenemos dos cartas X : U1 −→ V e Y : U2 −→ V sobre el mismo abierto acotado V y probamos que ∆X dm = U1 ∆Y dm. U2 Esto se deduce del teorema de cambio de variable aplicado a f = X ◦ Y −1 . En efecto, se cumple que f : U1 −→ U2 es un difeomorfismo y, como f ◦ Y = X , tenemos Jf (x)JY (f (x)) = JX (x), luego ∆2 (x) = X = det(JX (x)JX (x)t ) = det Jf (x)JY (f (x))JY (f (x))t Jf (x)t det(Jf (x))2 ∆2 (f (x)) Y y por consiguiente ∆X (x) = ∆Y f (x) | det Jf (x)|. El paso siguiente es “pegar” las medidas correspondientes a un n´mero finito u de cartas. Aunque intuitivamente es obvio que esto puede hacerse, formalmente conviene simplificar las comprobaciones usando el teorema de Riesz. Supongamos que Xi : Ui −→ Vi , para i = 1, . . . , k son cartas de S con im´genes acotadas. Por el teorema 7.27 existe una partici´n de la unidad sua o bordinada a los abiertos Vi , es decir, una familia de funciones hi ≺ Vi tales que h1 + · · · + hk = 1. Sea V = V1 ∪ · · · ∪ Vk . Para cada f ∈ Cc (V ) definimos h1 f dµ1 + · · · + T (f ) = V1 hk f dµk , Vk donde µi es la medida asociada a la carta Xi . Claramente T es un operador lineal y positivo, luego existe una medida µ en V tal que para toda f ∈ Cc (V ) se cumple h1 f dµ1 + · · · + f dµ = V V1 hk f dµk . Vk 9.1. Integraci´n en variedades o 325 Si en particular tomamos f ∈ Cc (Vi ) entonces hj f ∈ Cc (Vi ∩ Vj ), luego hj f dµj = Vj Vi ∩Vj hj f dµj = Vi ∩Vj hj f dµi = hj f dµi , Vi luego (h1 + · · · + hk )f dµi = f dµ = V Vi f dµi . Vi Por la unicidad del teorema de Riesz esto prueba que la restricci´n de µ a Vi o es precisamente µi , y es claro que esta propiedad determina a µ. En particular la construcci´n de µ no depende de la partici´n de la unidad escogida. o o Finalmente “pegamos” todas las medidas asociadas a todas las cartas en una unica medida en S : ´ Teorema 9.3 Sea S ⊂ Rm una variedad diferenciable de dimensi´n n. Entono ces existe una unica medida de Borel regular m en S tal que si X : U −→ V es ´ una carta y f es una funci´n integrable en V , se tiene o (X ◦ f )∆X dm, f dm = V donde ∆X = det(gij ). U ´ Demostracion: Definimos un operador T : Cc (S ) −→ R. Para cada f ∈ Cc (S ) tomamos un n´mero finito de cartas con imagen acotada cuya uni´n u o cubra el soporte de f . Sea V la uni´n de las im´genes y µV la medida sobre U o a que acabamos de construir. Definimos T (f ) = f dµV . V Es claro que T (f ) no depende de las cartas con que cubrimos el soporte, pues si realizamos dos cubrimientos distintos V = V1 ∪ · · · ∪ Vk y V = V1 ∪ · · · ∪ Vk , entonces cada abierto Vi ∩ Vj es la imagen de dos cartas que inducen la misma ´ medida y T (f ) coincide con la integral de f en V ∩ V respecto a la unica medida que extiende a todas ellas. Teniendo esto en cuenta es f´cil probar que T es a lineal y positivo, con lo que existe una unica medida de Borel regular m en S ´ tal que f dm = T (f ). S Es claro que m extiende a la medida inducida por cualquier carta. El resto del teorema es ya inmediato. La compleci´n de la medida construida en el teorema anterior se llama a veces o medida de Lebesgue en la variedad S . Observemos que si tomamos S = Rn con la carta identidad, la medida del teorema es precisamente la medida de Lebesgue en Rn (pues ∆X = 1). Lo mismo es v´lido si S es un subespacio vectorial de a o Rm de dimensi´n n. Los razonamientos que han motivado la construcci´n de la medida de Leo besgue en una variedad se traducen en el teorema siguiente: 326 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales Teorema 9.4 Sea S ⊂ Rm una variedad diferenciable de dimensi´n n y sea o X : U −→ S ∩ V una carta alrededor de un punto p ∈ S . Sea x ∈ U tal que X (x) = p. Para cada conjunto de Borel E ⊂ S ∩ V sea Et = dX (x)[X −1 [E ]]. Entonces m(E ) l´ ım = 1, E →p m(Et ) donde el l´ ımite ha de entenderse como sigue: Para todo > 0 existe un entorno G de p en S ∩ V tal que si E ⊂ G es un conjunto de Borel no nulo en S entonces |m(E )/m(Et ) − 1| < . ´ Demostracion: Dado > 0, sea δ = ( /2)∆X (x). Por la continuidad de X −1 y ∆X en x existe un entorno G de p tal que si y ∈ X −1 [G] entonces |∆X (y ) − ∆X (x)| < δ . Si E es un conjunto de Borel no nulo contenido en G y EX = X −1 [E ] tenemos que m(EX )(∆X (x) − δ ) ≤ m(E ) = ∆X dm ≤ m(EX )(∆X (x) + δ ), EX luego m(E ) − ∆X (x) ≤ δ < ∆X (x) . m(EX ) Por consiguiente: m(E ) −1 < , ∆X (x)m(EX ) pero antes hemos probado que m(Et ) = m(dX (x)[EX ]) = ∆X (x)m(EX ), con lo que m(E ) −1 < . m(Et ) Ejemplo Si α : ]a, b[ −→ Rn es una curva parametrizada regular que no se corta a s´ misma (de modo que su imagen es una variedad S de dimensi´n 1 con ı o carta α) entonces Jα (t) = α (t), luego ∆α (t) = α (t) y por consiguiente b m(S ) = α (t) dt a es la longitud de α tal y como la ten´ ıamos definida. Si S es una superficie en R3 entonces el elemento de superficie se suele √ representar por dσ = EG − F 2 dm. Por consiguiente el area de una regi´n C ´ o de S cubierta por la carta puede calcularse como A= X −1 ( C ) E G − F 2 dudv. 9.1. Integraci´n en variedades o Ejemplo 327 Vamos a calcular el ´rea la superficie de revoluci´n determinada por a o X = (r(u) cos v, r(u) sen v, z (u) . Sabemos que E = r (u)2 + z (u)2 , G = r(u)2 . F = 0, Por lo tanto 2π u1 u1 r(u) r (u)2 + z (u)2 dudv = 2π A= 0 u0 r(u) r (u)2 + z (u)2 du. u0 Si en particular z (u) = u, la f´rmula se reduce a o u1 A = 2π r(u)|r (u)| du. u0 Por ejemplo, el area de la esfera ´ g (φ, θ) = (R sen φ cos θ, R sen φ sen θ, R cos φ), es φ ∈ ]0, π [ , θ ∈ ]0, 2π [ . π R2 sen φ dφ = 4πR2 . A = 2π 0 M´s detalladamente, si hacemos ρ = Rφ entonces ρ es la distancia del punto a (ρ, θ) al polo norte y las coordenadas x = R sen ρ cos θ, R y = R sen ρ sen θ, R z = R cos ρ , R son el an´logo esf´rico a las coordenadas polares en el plano. El area de un a e ´ c´ ırculo esf´rico de radio (esf´rico) r es e e r R2 sen Ar = 2π 0 r ρ dρ = 2πR2 1 − cos R R = 4πR2 sen2 r . 2R As´ si r = πR recuperamos el ´rea de la esfera 4πR2 , si r es peque˜o con ı, a n ´ respecto a R entonces sen(r/R) ≈ r/R y por consiguiente Ar ≈ πr2 , el area del c´ ırculo plano del mismo radio. *Ejemplo El ejemplo anterior particularizado a R = 1 nos da que el area de ´ un c´ ırculo el´ ıptico de radio r es 4π sen2 (r/2). En particular el area del plano ´ el´ ıptico completo es 2π . Es f´cil ver que el area de un bil´tero de ´ngulo α es a ´ a a 2α. Dado un tri´ngulo el´ a ıptico T de lados a, b, c y angulos α, β , γ , el plano ´ el´ ıptico es la uni´n de T y sus tres tri´ngulos adyacentes. Si llamamos Ta al o a tri´ngulo adyacente por el lado a, tenemos que T ∪ Ta forman un bil´tero de a a a ´ngulo α, luego m(T ) + m(Ta ) = 2α. 328 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales Sumando las ecuaciones an´logas para los otros dos tri´ngulos adyacentes a a llegamos a que 3m(T ) + m(Ta ) + m(Tb ) + m(Tc ) = 2α + 2β + 2γ. a Pero m(T )+ m(Ta )+ m(Tb )+ m(Tc ) = 2π , pues es el ´rea del plano completo, y por consiguiente m(T ) = α + β + γ − π. Esto nos da una demostraci´n anal´ o ıtica de que la suma de los ´ngulos de un a tri´ngulo el´ a ıptico es siempre mayor que π . *Ejemplo Consideremos ahora el plano hiperb´lico. Seg´n (4.6), el elemento o u de longitud hiperb´lica en coordenadas polares es o ds2 = dρ2 + senh2 ρ dθ2 , luego el elemento de ´rea es dσ = senh ρ. El area de un c´ a ´ ırculo hiperb´lico de o radio r es r r 2π senh ρ dρ = 2π (cosh r − 1) = 4π senh2 . 2 0 Consideremos ahora un tri´ngulo rect´ngulo como indica la a a figura. Tomemos como origen de las coordenadas polares el v´rtice A. Para hallar su area hemos de integrar dσ e ´ variando θ entre 0 y α y, para un θ dado, en virtud de la relaci´n trigonom´trica o e tanh b = cos θ tanh ρ. b argtanh tanh b . cos θ Por lo tanto el area es ´ argtanh(tanh b/ cos θ ) α senh ρ dρdθ = 0 0 1 1− 0 α = 0 α 0 tanh2 b cos2 θ − 1 dθ cos θ (cos2 θ − 1) + (1 − tanh b) cosh b cos θ 1 − (cosh b sen θ)2 2 − 1 dθ − 1 dθ = arcsen(cosh b sen α) − α = arcsen cos β − α = π − β − α = π − α − β − γ. 2 ρ a θ vemos que ρ ha de llegar hasta α c 9.1. Integraci´n en variedades o 329 Todo tri´ngulo hiperb´lico T se puede expresar como la uni´n o la diferencia a o o de dos tri´ngulos rect´ngulos, de donde es f´cil concluir que en general a a a m(T ) = π − α − β − γ. Esto prueba que la suma de los angulos de un tri´ngulo hiperb´lico es siempre ´ a o menor que π . El teorema siguiente nos conecta el teorema de Fubini con la integraci´n en o variedades: Teorema 9.5 Si S1 ⊂ Rm1 y S2 ⊂ Rm2 son variedades diferenciables, entonces la medida de Lebesgue en S1 × S2 (restringida a los conjuntos de Borel) es el producto de las medidas de Lebesgue de S1 y S2 (sobre los conjuntos de Borel). ´ Demostracion: Sean m, m1 y m2 las medidas de Lebesgue en S1 × S2 , S1 y S2 respectivamente. Basta probar que si A1 y A2 son conjuntos de Borel en S1 y S2 entonces m(A1 × A2 ) = m1 (A1 )m2 (A2 ). Es f´cil ver que A1 y A2 a se descomponen en una uni´n numerable disjunta de conjuntos de Borel, cada o uno de los cuales est´ contenido en el rango de una carta. Tambi´n es claro que a e si probamos la igualdad anterior para los productos de estos abiertos de ah´ se ı sigue el caso general. En definitiva, podemos suponer que A1 est´ contenido a en el rango de una carta X1 y A2 est´ contenido en el rango de una carta X2 . a Una simple comprobaci´n nos da que ∆X1 ×X2 = ∆X1 ∆X2 , luego aplicando el o teorema de Fubini concluimos que m(A1 × A2 ) = = − X1 1 [A1 ] − − X1 1 [A1 ]×X2 1 [A2 ] ∆X1 dx1 · · · dxn1 ∆X1 ∆X2 dx1 · · · dxn1 +n2 − X2 1 [A2 ] ∆X2 dxn1 +1 · · · dxn1 +n2 = m1 (A1 )m2 (A2 ). Terminamos la secci´n con una interpretaci´n de la curvatura de Gauss de o o una superficie. De hecho se trata de la definici´n de curvatura que adopt´ el o o propio Gauss. Teorema 9.6 Sea S una superficie y p un punto en el que la curvatura no sea nula. Sea n una determinaci´n del vector normal en un entorno de p. Entonces o |K (p)| = l´ ım E →p m(n[E ]) , m(E ) donde el l´ ımite se entiende en el mismo sentido que en el teorema 9.4. 330 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales ´ Demostracion: Por el teorema 5.29 sabemos que K (p) es el determinante de dn(p), luego ´sta diferencial es un isomorfismo. Sea g una carta alrededor de e p y sea h = g ◦ n. Es f´cil ver que h puede restringirse hasta una carta alrededor a de n(p) en la esfera unidad. Del teorema 9.4 se sigue que m(E ) = 1, E →p m(Et ) m(n[E ]) = 1, E →p m(n[E ]t ) l´ ım l´ ım y por otra parte n[E ]t = dn(p)[Et ], luego m(n[E ]t ) = |K (p)|m(Et ), de donde se sigue claramente el teorema 9.2 El ´lgebra exterior a Si comparamos el teorema de cambio de variable tal y como lo enunciamos en el cap´ ıtulo anterior con la f´rmula de una variable o t(b) b u(x) dx = a u(x(t)) x (t) dt t(a) observamos una diferencia: la derivada x (t) es el determinante jacobiano de la transformaci´n x = x(t), pero aparece sin valor absoluto, con lo que un o integrando positivo puede transformarse en un integrando negativo. Esto sucede cuando la funci´n x(t) es decreciente, pero entonces el intervalo [a, b] se o transforma en el intervalo [t(b), t(a)] y, como los l´ ımites de integraci´n aparecen o invertidos, la integral se interpreta como cambiada de signo, lo cual compensa la ausencia del valor absoluto. En el caso general tambi´n es posible eliminar el valor absoluto en el determie nante jacobiano que aparece en la f´rmula de cambio de variable, a condici´n de o o considerar orientados los dominios de integraci´n (exactamente igual que un ino tervalo [a, b] est´ orientado positivamente cuando a < b y negativamente cuando a b < a, y en este caso la integral se considera cambiada de signo). La ventaja de este otro enfoque es que permite emerger a una potente teor´ algebraica que ıa subyace en el c´lculo integral. a Para separar esta parte puramente algebraica conviene trabajar en un espacio vectorial vectorial arbitrario E de dimensi´n n, tal y como hicimos al o estudiar el tensor m´trico de una variedad en el cap´ e ıtulo V. Al igual que all´ en ı, la pr´ctica s´lo nos interesar´ el caso en que E es el espacio tangente Tp (S ) de a o a una variedad S en un punto p. Mantendremos la misma notaci´n que us´bamos o a entonces: los vectores (v1 , . . . , vn ) representar´n una base arbitraria de E y a (dx1 , . . . , dxn ) representar´ su base dual, es decir, la base de E ∗ determinada a por dxi (vj ) = δij . En la pr´ctica, cuando E = Tp (S ) la base considerada ser´ siempre la asociada a a a una carta X de S alrededor de p, es decir, la formada por las derivadas parciales D1 X (x), . . . , Dn X (x), donde X (x) = p, con lo que su base dual ser´ la formada a por las diferenciales dx1 (p), . . . , dxn (p), donde x1 , . . . , xn son las funciones en S que a cada punto le asignan sus coordenadas respecto a X . 9.2. El algebra exterior ´ 331 Definici´n 9.7 Sea E un espacio vectorial de dimensi´n n. Llamaremos parao o lelep´ ıpedos orientados de E a las n-tuplas F = (v1 , . . . , vn ) ∈ E n . A cada F le asociamos el paralelep´ ıpedo no orientado P (F ) dado por P (F ) = {α1 v1 + · · · + αn vn | α1 , . . . , αn ∈ [0, 1]} ⊂ E. Si los vectores de F son linealmente dependientes diremos que el paralelep´ ıpedo es degenerado. Habiendo fijado una base en E (y considerando positiva a su orientaci´n), o podemos dividir los paralelep´ ıpedos no degenerados en positiva y negativamente orientados, seg´n que sus vectores determinen una base con la orientaci´n del u o espacio o con la contraria (es decir, seg´n si la matriz de cambio de base respecto u a la base prefijada tenga determinante positivo o negativo). Si E es un espacio eucl´ ıdeo, es claro que la medida de Lebesgue de P (F ) se puede calcular como el valor absoluto del determinante de las coordenadas de los vectores de F en cualquier base ortonormal B de E (pues estas coordenadas son sus im´genes a trav´s de la isometr´ de E en Rn que transforma B a e ıa en la base can´nica). Si suprimimos este valor absoluto tenemos una “medida o orientada”, que ya no es funci´n de P (F ), sino del paralelep´ o ıpedo orientado F , y adem´s depende de la base ortonormal B seleccionada. En efecto, la medida a orientada es igual a la medida de P (F ) si los vectores de F forman una base de E con la misma orientaci´n que B y es dicha medida cambiada de signo en caso o contrario. Si elegimos B con la misma orientaci´n que la base (v1 , . . . , vn ) prefio jada, entonces podemos considerar que el signo de la medida orientada depende de esta base y, por consiguiente, de la orientaci´n que le hemos dado a E . El o inconveniente de que la medida dependa de la orientaci´n se ve compensado con o creces por el hecho de que la medida orientada sea esencialmente un determinante y, por lo tanto, una forma multilineal alternada de E n en R. Las formas multilineales alternadas en un espacio eucl´ ıdeo resultan ser el equivalente a las diferenciales de funciones en el caso de una variable. Definici´n 9.8 Sea E un espacio vectorial eucl´ o ıdeo de dimensi´n n. Llamao remos k -formas diferenciales (constantes) de E (o formas de grado k ) a las aplicaciones multilineales alternadas ω : E k −→ R. Multilineal quiere decir que ω (u1 , . . . , αui + βui , . . . , uk ) = αω (u1 , . . . , ui , . . . , uk ) + βω (u1 , . . . , ui , . . . , uk ) para todo i = 1, . . . , n y alternada quiere decir que al permutar dos vectores el valor de la forma cambia de signo o, m´s en general, que si σ es una permutaci´n a o de {1, . . . , k }, se cumple ω (uσ(1) , . . . , uσ(k) ) = sig σ ω (u1 , . . . , uk ), donde sig σ es la signatura de la permutaci´n. o Llamaremos Ak (E ) al conjunto de todas las k -formas de E . Claramente forman un espacio vectorial con la suma y el producto definidos puntualmente. 332 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales Convendremos en que A0 (E ) = R. Definimos el ´lgebra exterior de E como la a suma directa ∞ Ak (E ). A(E ) = k=0 Es claro que una forma alternada se anula cuando dos de sus argumentos son iguales, luego tambi´n se anula al actuar sobre vectores linealmente depene dientes (al desarrollar uno como combinaci´n lineal de los dem´s la imagen de o a la forma se descompone en una combinaci´n lineal de im´genes de k -tuplas con o a dos componentes iguales). Esto implica que Ak (E ) = 0 para k > n y por lo tanto A(E ) tiene dimensi´n finita. Vamos a estudiar ahora la estructura de los o espacios Ak (E ) para k ≤ n. Es claro que A1 (E ) es simplemente el espacio de aplicaciones lineales de E en R, es decir, el espacio dual de E , y tiene dimensi´n n. Una base la forman o las diferenciales (du1 , . . . , dun ). Para obtener bases de los espacios de k -formas de orden superior introducimos el producto exterior de formas, definido como sigue: si ω ∈ Ak (E ) y ω ∈ Ak (E ), entonces ω ∧ ω es la (k + k )-forma dada por (ω ∧ω )(u1 , . . . , uk+k ) = σ ∈Σk+k sig σ ω (uσ(1) , . . . , uσ(k) )ω (uσ(k+1) , . . . , uσ(k+k ) ), k !k ! donde σ recorre las permutaciones de {1, . . . , k + k }. Es inmediato comprobar que ω ∧ ω es realmente una forma. Obviamente es multilineal y si τ ∈ Σk+k entonces (ω ∧ ω )(uτ (1) , . . . , uτ (k+k ) ) sig σ = ω (uστ (1) , . . . , uστ (k) )ω (uστ (k+1) , . . . , uστ (k+k ) ) k !k ! σ ∈Σk+k = sig τ σ ∈Σk+k = sig στ ω (uστ (1) , . . . , uστ (k) )ω (uστ (k+1) , . . . , uστ (k+k ) ) k !k ! sig τ (ω ∧ ω )(u1 , . . . , uk+k ). La definici´n de ω ∧ ω vale incluso si k = 0 o k = 0. Por ejemplo, si k = 0 o convenimos que ω ( ) = ω ∈ R, con lo que (ω ∧ ω )(u1 , . . . , uk ) = σ ∈Σk = σ ∈Σk sig σ ωω (uσ(1) , . . . , uσ(k ) ) k! 1 ωω (u1 , . . . , uk ) = ωω (u1 , . . . , un ). k! As´ pues, en este caso ω ∧ ω = ωω (e igualmente si k = 0). ı 9.2. El algebra exterior ´ 333 Teorema 9.9 El producto exterior tiene las propiedades siguientes (se entiende que ω , ω , ω son formas de los grados adecuados para que tengan sentido las operaciones): a) (ω ∧ ω ) ∧ ω = ω ∧ (ω ∧ ω ), b) ω ∧ (ω + ω ) = ω ∧ ω + ω ∧ ω , (ω + ω ) ∧ ω = ω ∧ ω + ω ∧ ω , c) α(ω ∧ ω ) = (αω ) ∧ ω = ω ∧ (αω ), para α ∈ R, d) ω ∧ ω = (−1)kk ω ∧ ω . ´ Demostracion: a) Supongamos que ω , ω y ω tienen grados k , k y k respectivamente. Entonces (ω ∧ ω ) ∧ ω = σ ∈Σk+k (u1 , . . . , uk+k +k ) sig σ (ω ∧ ω )(uσ(1) , . . . , uσ(k+k ) ) (k + k )!k ! +k ω (uσ(k+k +1) , . . . , uσ(k+k +k ) ) sig σ sig τ = ω (uστ (1) , . . . , uστ (k) ) (k + k )!k ! k !k ! σ ∈Σk+k τ ∈Σk+k +k ω (uστ (k+1) , . . . , uστ (k+k ) )ω (uσ(k+k +1) , . . . , uσ(k+k +k ) ). Si identificamos las permutaciones τ ∈ Σk+k con las permutaciones de Σk+k +k que fijan a los ´ ındices mayores que k + k la signatura es la misma y podemos escribir στ en todos los sub´ ındices. Entonces queda (ω ∧ ω ) ∧ ω = σ ∈Σk+k (u1 , . . . , uk+k +k ) sig στ ω (uστ (1) , . . . , uστ (k) ) (k + k )!k !k !k ! +k τ ∈Σk+k ω (uστ (k+1) , . . . , uστ (k+k ) )ω (uσ(k+k +1) , . . . , uσ(k+k +k ) ). Claramente, στ recorre (k + k )! veces cada permutaci´n de Σk+k +k , luego o tenemos que (ω ∧ ω ) ∧ ω = σ ∈Σk+k (u1 , . . . , uk+k +k ) sig σ ω (uσ(1) , . . . , uσ(k) )ω (uσ(k+1) , . . . , uσ(k+k ) ) k !k !k ! +k ω (uσ(k+k +1) , . . . , uσ(k+k +k ) ). Si partimos de ω ∧ (ω ∧ ω ) llegamos claramente a la misma expresi´n, luego o (ω ∧ ω ) ∧ ω = ω ∧ (ω ∧ ω ). Las propiedades b) y c) son inmediatas. Para probar d) supongamos que ω ∈ Ak (E ) y ω ∈ Ak (E ). Entonces ω ∧ ω = (−1)kk ω ∧ ω. 334 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales En efecto, sea τ ∈ Σk+k la permutaci´n dada por o i+k i−k τ (i) = si i ≤ k si i > k Es f´cil comprobar que sig τ = (−1)kk . Entonces a (ω ∧ ω )(u1 , . . . , uk+k ) = σ ∈Σk+k = σ ∈Σk+k = = (−1) sig στ ω (uστ (1) , . . . , uστ (k) )ω (uστ (k+1) , . . . , uστ (k+k ) ) k !k ! (−1)kk σ ∈Σk+k kk sig σ ω (uσ(1) , . . . , uσ(k) )ω (uσ(k+1) , . . . , uσ(k+k ) ) k !k ! sig σ ω (uσ(k +1) , . . . , uσ(k +k) )ω (uσ(1) , . . . , uσ(k ) ) k !k ! (ω ∧ ω )(u1 , . . . , uk+k ). Ahora extendemos el producto exterior hasta un producto en A(E ) mediante n ωi i=0 n ∧ j =0 ωj = n ωi ∧ ωj . i,j =0 Usando el teorema anterior se prueba sin dificultad que A(E ) es un anillo (no conmutativo) con la suma y el producto exterior. La propiedad c) vale para elementos arbitrarios de A(E ) (no necesariamente formas), lo que significa que el ´lgebra exterior es ciertamente un ´lgebra no conmutativa. a a Podemos comparar la construcci´n de A(E ) y su estructura de algebra con la o ´ construcci´n de los anillos de polinomios: las definiciones son las t´cnicamente o e necesarias para obtener las propiedades deseadas, pero una vez comprobados los hechos b´sicos estas definiciones pueden ser olvidadas y sustituidas por proa piedades algebraicas naturales. Por ejemplo, un polinomio termina siendo una combinaci´n de sumas y productos de indeterminadas sujetas a las propiedades o de los anillos; igualmente un elemento de A(E ) no es m´s que una combinaci´n a o de sumas y productos de diferenciales sujetas a las propiedades de un algebra ´ no conmutativa. Para ver que esto es as´ hemos de observar que el argumento ı con el que hemos probado la asociatividad del producto exterior se generaliza sin dificultad para dar una expresi´n sim´trica del producto de un n´mero aro e u bitrario de formas. S´lo nos interesa el caso en que los factores son 1-formas, o que queda como sigue: Teorema 9.10 Si ω1 , . . . , ωk ∈ A1 (E ), entonces su producto exterior es la k forma dada por (ω1 ∧ · · · ∧ ωk )(u1 , . . . , uk ) = sig σ ω1 (uσ(1) ) · · · ωk (uσ(k) ) = det ωi (uj ) . σ ∈Σk 9.2. El algebra exterior ´ 335 En particular (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )(u1 , . . . , uk ) = det dxir (uj ) . M´s concretamente, si i1 < · · · < ik , j1 < · · · < jk , entonces a (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )(vj1 , . . . , vjk ) = 1 si i1 = j1 , . . . , ik = jk 0 en otro caso, pues dxir (vjs ) = δir js y el determinante ser´ nulo en cuanto alg´n ir no figure a u a o entre los js o viceversa. Con esto ya es f´cil obtener la expresi´n general de una k -forma: Teorema 9.11 Toda forma ω ∈ Ak (E ) se expresa de forma unica como ´ αi1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , ω= con αi1 ···ik ∈ R. i1 <···<ik Concretamente αi1 ···ik = ω (vi1 , . . . , vik ) ∈ R. ´ Demostracion: Llamemos ω al miembro derecho de la igualdad. Para probar que ω = ω , por la multilinealidad es suficiente comprobar que ambas coinciden sobre los vectores b´sicos vj1 , . . . , vjk , y como son alternadas podea mos suponer adem´s que j1 < · · · < jk . La observaci´n anterior prueba que a o ω (vj1 , . . . , vjk ) = αj1 ···jk = ω (vj1 , . . . , vjk ). La unicidad es clara. o ´ Por consiguiente, la dimensi´n de Ak (E ) es n y la dimensi´n del algebra o k exterior A(E ) es 2n . Como ultima observaci´n general para operar en A(E ) ´ o observemos que dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi , luego en particular dxi ∧ dxi = 0. Ejemplo Tomemos E = R3 con la base can´nica. Entonces una base de o A1 (Rn ) la forman las tres diferenciales dx, dy , dz , y una 2-forma arbitraria es ω = a dx ∧ dy + b dx ∧ dz + c dy ∧ dz, con a, b, c ∈ R. Calculemos por ejemplo: ω ∧ (dx + dy ) = a dx ∧ dy ∧ dx + b dx ∧ dz ∧ dx + c dy ∧ dz ∧ dx + a dx ∧ dy ∧ dy + b dx ∧ dz ∧ dy + c dy ∧ dz ∧ dy = c dx ∧ dy ∧ dz − b dx ∧ dy ∧ dz = (c − b) dx ∧ dy ∧ dz. Vemos as´ que las formas se manipulan f´cilmente sin necesidad de recurrir ı a en ning´n momento a las definiciones de las operaciones, sino tan s´lo usando u o sus propiedades algebraicas. Para terminar con las generalidades sobre formas diferenciales demostraremos el teorema siguiente: 336 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales Teorema 9.12 Sea E un espacio vectorial de dimensi´n n y sean (v1 , . . . , vn ), o (v1 , . . . , vn ) dos bases de E . Sean (dx1 , . . . , dxn ) y (dx1 , . . . , dxn ) sus bases duales respectivas. Sea A la matriz de cambio de base (es decir, la matriz cuyas filas son las coordenadas de los vectores vi en la segunda base). Entonces dx1 ∧ · · · ∧ dxn = det A dx1 ∧ · · · ∧ dxn . ´ Demostracion: Sea A = (aij ). Entonces vi = ai1 v1 + · · · + ain vn , de donde dxj (vi ) = aij . Por el teorema 9.10 tenemos que (dx1 ∧ · · · ∧ dxn )(v1 , . . . , vn ) = det dxj (vi ) = det A (dx1 ∧ · · · ∧ dxn )(v1 , . . . , vn ). Esto implica que ambas formas son iguales. 9.3 El ´lgebra de Grassmann a En la secci´n anterior hemos estudiado las formas diferenciales en un espacio o vectorial. Ahora pasamos a definir formas sobre variedades diferenciables. La relaci´n entre unas y otras es la misma que la que hay entre vectores y camo pos vectoriales, s´lo que a los “campos de formas” se les llama simplemente o “formas”: Definici´n 9.13 Sea S una variedad diferenciable. Una k -forma diferencial en o S es una aplicaci´n ω que a cada p ∈ S le asigna una k -forma ω (p) ∈ Ak Tp (S ) . o Observar que una 0-forma es simplemente una funci´n f : S −→ R. o Si X : U −→ V ⊂ S es una carta de S y p ∈ V , entonces una base de Ak Tp (S ) est´ formada por las formas a dxi1 (p) ∧ · · · ∧ dxik (p), con 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n. Por consiguiente, para todo p ∈ V se cumplir´ que a αi1 ···ik (p) dxi1 (p) ∧ · · · ∧ dxik (p), ω (p) = (9.2) 1≤i1 <···<ik ≤n para ciertas funciones αi1 ···ik : V −→ R, llamadas coeficientes de la forma en la carta dada. Si consideramos otra carta alrededor de p con coordenadas y1 , . . . , yn , entonces podremos expresar dxi (p) = ∂xi ∂xi (p) dy1 (p) + · · · + (p) dyn (p). ∂y1 ∂yn Al sustituir en el miembro derecho de (9.2) y desarrollar los productos exteriores obtenemos que los coeficientes βi1 ···ik de ω en la carta Y se obtienen a partir de los coeficientes en X mediante sumas y productos por las derivadas parciales que aparecen en la igualdad anterior. De aqu´ se sigue que las funciones αi1 ···ik ı 9.3. El algebra de Grassmann ´ 337 son continuas, diferenciables o de clase C q en un punto dado si y s´lo si lo son o las funciones βi1 ···ik (suponiendo que las cartas sean suficientemente derivables). Una forma diferencial de una variedad S es continua, diferenciable o de clase C q si y s´lo si lo son sus coeficientes en todas las cartas. Por razones de simplicio dad en lo sucesivo sobreentenderemos que todas las variedades que consideremos tendr´n cartas de clase C ∞ y por “forma diferencial” entenderemos “forma dia ferencial de clase C ∞ ”. En realidad todos los resultados que probemos valdr´n a igualmente sin m´s que suponer que las cartas y las funciones consideradas son a suficientemente derivables, pero no entraremos en detalles al respecto. Si S es una variedad diferenciable, llamaremos Λk (S ) al conjunto de todas las formas diferenciales (de clase C ∞ ) en S . Es claro que se trata de un espacio vectorial con las operaciones definidas puntualmente. Definimos el ´lgebra de a Grassmann de S como la suma directa ∞ Λk (S ). Λ(S ) = k=0 El producto exterior de las algebras A Tp (S ) induce puntualmente un pro´ ducto exterior en el algebra de Grassmann, con el cual adquiere estructura de ´ a ´lgebra no conmutativa. Todas las propiedades del producto exterior que vimos en la secci´n anterior para algebras exteriores valen trivialmente para algebras o ´ ´ de Grassmann. Tenemos que Λ0 (S ) es el conjunto de las funciones de clase C ∞ definidas sobre S . Si f ∈ Λ0 (S ) y ω ∈ Λ(S ) escribiremos f ω en lugar de f ∧ ω . Notemos que (f ω )(p) = f (p)ω (p). Con la ayuda de estos conceptos podemos formular con precisi´n algunas de o las ideas que expon´ ıamos al comienzo de la secci´n anterior. Sea E un espacio o vectorial eucl´ ıdeo. Observemos que la n-forma dx1 ∧ · · · ∧ dxn asigna a cada paralelep´ ıpedo orientado F de E el determinante de las coordenadas de sus vectores en la base v1 , . . . , vn . Si ´sta es ortonormal y F no es degenerado e entonces (dx1 ∧ · · · ∧ dxn )(F ) es lo que llam´bamos la medida orientada de F , a es decir, la medida de P (F ) salvo un signo, que ser´ positivo o negativo seg´n a u la orientaci´n de F . o Si la base v1 , . . . , vn no es ortonormal (lo cual ser´ lo m´s frecuente, pues a a las bases asociadas a cartas en espacios tangentes casi nunca lo son) entonces el volumen de F no vendr´ dado por la n-forma b´sica, sino por un m´ltiplo suyo: a a u dm = a dx1 ∧ · · · ∧ dxn , donde a es el valor absoluto del determinante de la matriz de cambio de base entre una base ortonormal de E y (v1 , . . . , vn ). A esta n-forma se le llama elemento de longitud, area, volumen, medida de E (seg´n la dimensi´n). No´ u o temos que si hacemos actuar los dos miembros de la igualdad anterior sobre la base (v1 , . . . , vn ) vemos que a no es sino la medida del paralelep´ ıpedo que ´sta e determina. 338 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales En el caso en que E es un espacio tangente Tp (S ) y la base fijada es la asociada a una carta X , el teorema 9.2 prueba de hecho que dm(p) = ∆X (p) dx1 (p) ∧ · · · ∧ dxn (p). (9.3) En efecto, basta observar que ∆X (p) es la medida de la imagen por dX (x) del paralelep´ ıpedo asociado a la base can´nica, es decir, del paralelep´ o ıpedo (D1 X (x), . . . , Dn X (x)) que hemos tomado como base en Tp (S ). Ahora nos encontramos con un inconveniente: nos gustar´ definir el eleıa mento de medida de una variedad S como la forma diferencial dm que a cada punto p le asigna la medida orientada de Tp (S ). Sin embargo esto es ambiguo, pues en Tp (S ) hay dos medidas orientadas —de signo opuesto— correspondientes a las dos orientaciones posibles del espacio. M´s exactamente, si consideraa mos la expresi´n (9.3) para dos cartas distintas X e Y alrededor de un punto p, o las formas dm(p) correspondientes pueden ser iguales u opuestas seg´n lo sean u las orientaciones de las bases de Tp (S ) asociadas a las cartas. En otras palabras, depende de si dX (x) y dY (y ) transforman la base can´nica de Rn en bases con o la misma orientaci´n, y es f´cil ver que esto equivale a que d(X ◦ Y −1 )(x) cono a serve la orientaci´n, es decir, a que el determinante jacobiano de X ◦ Y −1 sea o positivo en x. Definici´n 9.14 Un atlas de una variedad S es un conjunto de cartas que o cubran todos los puntos de S . Un atlas orientado es un atlas de S tal que si X e Y son dos de sus cartas y ambas cubren a un punto p, entonces el determinante jacobiano de X ◦ Y −1 es positivo. Una variedad S es orientable si admite un atlas orientado. De este modo, si fijamos un atlas orientado en una variedad S y tomamos p ∈ Tp (S ), todas las bases de Tp (S ) inducidas por cartas del atlas tienen la misma orientaci´n, a la que llamaremos orientaci´n positiva de Tp (S ). En lo o o sucesivo, cuando hablemos de una variedad orientable se sobrentender´ que en a ella hemos seleccionado un atlas orientado y por consiguiente una orientaci´n o positiva en cada espacio tangente. Ejemplo Toda variedad cubrible por una sola carta es orientable, considerando el atlas formado unicamente por dicha carta. En particular todo abierto ´ de Rn es una variedad orientable, tomando como carta la identidad. En lo sucesivo consideraremos siempre esta orientaci´n en los abiertos de Rn , de modo o que la base can´nica ser´ una base orientada de cada espacio tangente. o a Teorema 9.15 Sea S una variedad orientable y X una carta de S con imagen conexa. Entonces, o bien las bases asociadas a X son todas positivas o bien son todas negativas. Seg´n el caso diremos que la carta es positiva o negativa. u ´ Demostracion: Sea U el dominio de X . Observamos que el conjunto de los puntos x ∈ U tales que la orientaci´n de la base de TX (x) (S ) es positiva es o 9.3. El algebra de Grassmann ´ 339 un abierto. En efecto, si x es uno de estos puntos e Y es una carta del atlas orientado alrededor de X (p), entonces el determinante jacobiano de X ◦ Y −1 es positivo en x, luego es positivo en un entorno de x, y en todos los puntos de dicho entorno la base asociada a X ser´ positiva. a Similarmente se prueba que el conjunto de puntos x ∈ U tales que la orientaci´n de la base de TX (x) (S ) es negativa es un abierto. Como U es conexo, uno o de los dos conjuntos es vac´ ıo. Casi todas las variedades que hemos considerado como ejemplos concretos son orientables. Las unicas excepciones son la banda de M¨bius, que describimos ´ o brevemente en el cap´ ıtulo V y el *plano el´ ıptico, que contiene una banda de M¨bius. Se puede probar que toda variedad de dimensi´n 1 es orientable. Es o o f´cil ver que tambi´n lo es toda superficie de revoluci´n, todo producto de a e o variedades orientables (tomando como cartas positivas los productos de cartas positivas) as´ como la esfera, lo cual se deduce f´cilmente a partir del teorema ı a siguiente: Teorema 9.16 Una variedad S ⊂ Rm de dimensi´n m − 1 es orientable si y o s´lo si existe una determinaci´n continua n : S −→ Rm del vector normal a o o Tp (S ) en cada punto p ∈ S . ´ Demostracion: Si S es orientable y p ∈ S definimos n(p) como el unico ´ vector unitario tal que si X es una carta positiva alrededor de p la base de Rm formada por n(p), D1 X (x0 ), . . . , Dm−1 X (x0 ) es positiva, donde x0 es el vector de coordenadas de p. Es claro que n(p) no depende de la elecci´n de X . o Veamos que n es diferenciable en un entorno de p, para lo cual probaremos que X ◦ n es diferenciable en un entorno de x0 . Consideremos un vector de indeterminadas n = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm y las siguientes m ecuaciones con variables x1 , . . . , xm−1 , y1 , . . . , ym : n D1 X = 0, . . . , n Dm−1 X = 0, n 2 = 1. Admitiendo que X es de clase C 2 , el teorema de la funci´n impl´ o ıcita nos da que en un entorno de x0 existe una funci´n diferenciable n tal que n(x) = n(p) o y n(x) es unitario y perpendicular a TX (x) (S ). En efecto, el determinante que ha de ser no nulo para ello est´ formado por los m − 1 vectores Di X (x0 ) y el a vector 2n(p), que forman una base de Rm . Hemos de comprobar que n(x) = n(X (x)) para todo x en el dominio de n. Basta ver que el determinante cuyas filas son n(x), D1 X (x), . . . , Dm−1 X (x) es positivo en todo punto x, pero ciertamente es una funci´n continua que no o se anula y en x0 es positivo, luego lo es en todos los puntos. Rec´ ıprocamente, si n es una determinaci´n continua del vector normal a o S , definimos las cartas positivas como aquellas cartas X tales que la base n(X (x)), D1 X (x), . . . , Dm−1 X (x) es positiva en todo punto x. Por el mismo argumento que en la implicaci´n anterior es claro que la orientaci´n de dio o cha base depende s´lo de X . Si una carta X es negativa, entonces la carta o X (−x1 , x2 , . . . , xm−1 ) es positiva y cubre los mismos puntos, luego todo punto de S se puede cubrir por una carta positiva. Es claro que si X e Y son dos 340 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales cartas positivas alrededor de un punto p, entonces sus base asociadas en Tp (S ) tienen la misma orientaci´n, luego las cartas positivas forman realmente un atlas o orientado de S . La prueba del teorema anterior muestra que las determinaciones continuas del vector normal son de hecho diferenciables (si las cartas son de clase C k , la aplicaci´n n es de clase C k−1 ). o Si una superficie encierra una regi´n del espacio (una esfera, un cilindro, o un toro, etc.) es costumbre tomar como orientaci´n positiva la inducida por la o determinaci´n del vector normal que apunta hacia fuera. o Definici´n 9.17 El elemento de medida de una variedad orientable S es la o forma diferencial dm que a cada punto p ∈ S le asigna la medida orientada en Tp (S ), entendiendo que los paralelep´ ıpedos positivamente orientados tienen medida positiva. Si X es una carta positiva alrededor de un punto p, el elemento de medida en p viene dado por la expresi´n (9.3), que prueba que efectivamente o es una forma de clase C ∞ . Esto nos da una caracterizaci´n de las variedades orientables en t´rminos de o e formas diferenciales: Teorema 9.18 Una variedad diferencial S de dimensi´n n es orientable si y o s´lo si existe una n-forma ω ∈ Λn (S ) tal que ω (p) = 0 para todo p ∈ S . o ´ Demostracion: Si S es orientable, entonces el elemento de medida dm es una n-forma en S que no se anula. Si existe una forma ω que no se anula, basta tomar como cartas positivas a las cartas X tales que para todo punto p cubierto por X se cumpla ω (p) = a(p) dx1 (p) ∧ · · · ∧ dxn (p), con a > 0. Notemos que si una carta es negativa, la carta que resulta de cambiar el signo a una funci´n coordenada resulta positiva, por lo que todo punto puede cubrirse o con una carta positiva, es decir, las cartas positivas forman un atlas. Por otra parte, si X e Y son dos cartas positivas alrededor de un punto p, tenemos que ω (p) = a(p) dx1 (p) ∧ · · · ∧ dxn (p) = b(p) dy1 (p) ∧ · · · ∧ dyn (p), donde a y b son funciones positivas. Por el teorema 9.12 resulta que ba−1 es el determinante de la matriz de cambio de base entre DX1 (p), . . . , DXn (p) y DY1 (p), . . . , DYn (p), luego ´ste es positivo y ambas bases tienen la misma e orientaci´n, luego las cartas positivas forman un atlas orientado. o Definici´n 9.19 Sea S una variedad orientable de dimensi´n n y sea ω una o o n-forma diferencial en S . Entonces ω = f dm, para cierta f ∈ Λ0 (S ). Diremos que ω es integrable en un conjunto de Borel B ⊂ S si lo es f respecto a la medida de Lebesgue, y en tal caso definimos ω= B f dm, B 9.3. El algebra de Grassmann ´ 341 donde el segundo miembro se entiende como la integral de f respecto a la medida de Lebesgue de S . Observar que si consideramos la integral de ω como funci´n de B , tenemos o que cada n-forma integrable induce una medida signada en S . Definimos el soporte de una forma en S como la clausura del conjunto de puntos de S donde ω no es nula. Es claro que las n-formas continuas con soporte compacto son integrables. Conviene comprender el significado geom´trico de la medida asociada a una e n-forma ω en una variedad S de dimensi´n n: es claro que ω determina una o medida en cada espacio Tp (S ), la unica medida que sobre los paralep´ ´ ıpedos act´a como ω (p). Entonces, la medida que ω induce en S es la unica medida u ´ que en un entorno de cada punto p se confunde con la medida correspondiente de Tp (S ), donde “se confunde” hay que entenderlo exactamente en el mismo sentido que al principio del cap´ ıtulo. Continuemos con las propiedades de las integrales de formas: Es claro que (αω + βω ) = α B ω+β B ω. B Observar que si B est´ cubierto por una carta positiva X , aplicando la a f´rmula (9.3) y el teorema 9.3 tenemos o f dx1 ∧ · · · ∧ dxn = B B f dm = ∆X X −1 [ B ] (X ◦ f ) dx1 · · · dxn , (9.4) donde la ultima integral es una integral usual en Rn respecto a la medida de ´ Lebesgue. En la pr´ctica, si expresamos f en funci´n de las coordenadas resa o pecto a X , los dos extremos de las igualdades anteriores se escriben igual (salvo por la supresi´n de los s´ o ımbolos del producto exterior), con lo que la teor´ que ıa subyace en dicha igualdad se vuelve “trasparente”. El ejemplo siguiente ilustra lo que queremos decir: Ejemplo Sea S la esfera de centro 0 y radio 1 (con la orientaci´n usual, es o decir, de modo que las bases positivas induzcan el vector normal que apunta hacia fuera). Sea B la semiesfera z > 0 y calculemos xy dx ∧ dy. B Para ello observamos que la carta de coordenadas (x, y ), es decir, la carta X (x, y ) = x, y, 1 − x2 − y 2 es positiva, pues Xx ∧ Xy = xy 1 , , 1 = (x, y, z ). zz z Por consiguiente xy dx ∧ dy = B xy dxdy, C 342 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales donde C = {(x, y ) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1}. As´ pues (una vez hemos comprobado ı que la carta est´ bien orientada) el c´lculo de la integral se reduce a considerar a a que xy no es la funci´n que a cada punto de S le asigna el producto de sus o coordenadas, sino simplemente la funci´n xy en R2 , y que ´stas var´ en el o e ıan conjunto en el que var´ las coordenadas de los puntos de la semiesfera, es ıan decir, en el disco unitario. Ejemplo Sea de nuevo S la esfera unidad. Veamos que dx ∧ dy = 0. S Llamemos B + y B − a las semiesferas z > 0 y z < 1. Teniendo en cuenta que el ecuador tiene medida nula, podemos escribir dx ∧ dy = S dx ∧ dy + B+ B− dx ∧ dy. Razonando como en el ejemplo anterior concluimos que la primera integral vale π , el ´rea del disco unitario de R2 . Para calcular la integral en la otra a semiesfera no podemos usar la carta X (x, y ) = x, y, − 1 − x2 − y 2 porque es negativa. En su lugar usamos X (y, x) = x, y, − 1 − x2 − y 2 , con lo que B− dx ∧ dy = − B− dy ∧ dx = − dydx = −π, C luego la integral total es nula. Para trabajar te´ricamente con transformaciones de integrales del estilo de o las que hemos empleado en los ejemplos anteriores conviene introducir un nuevo concepto. Teorema 9.20 Sea f : S −→ T una aplicaci´n diferenciable entre variedades. o Entonces f induce un homomorfismo de algebras f : Λ(T ) −→ Λ(S ) que a cada ´ ω ∈ Λk (T ) le asigna la k -forma dada por f (ω )(p)(v1 , . . . , vk ) = ω f (p) df (p)(v1 ), . . . , df (p)(vk ) . ´ Demostracion: Se comprueba inmediatamente que f (ω )(p) ∈ Ak Tp (S ) , o a con lo que f es una aplicaci´n de Λ(T ) en el ´lgebra de todas las formas de S (no necesariamente diferenciables). As´ mismo es claro que f es lineal y, a ı partir de la definici´n del producto exterior, se comprueba tambi´n sin dificultad o e que f (ω ∧ ω ) = f (ω ) ∧ f (ω ). Para probar que f (ω ) es diferenciable en un punto p tomamos una carta X : U −→ V alrededor de p y una carta Y : U −→ V alrededor de f (p). Podemos suponer que f [V ] ⊂ V . Basta ver que f (ω )|V es diferenciable en p, o pero como la definici´n de f depende s´lo de los valores que toma f alrededor o de p, dicha restricci´n coincide con (f |V ) (ω |V ). En resumen, que podemos o suponer que S y T son simplemente V y V . 9.3. El algebra de Grassmann ´ 343 En tal caso, las diferenciales dyi junto con las 0-formas generan toda el a ´lgebra de Grassmann, luego basta probar que f (dyi ) y f (g ) con g ∈ Λ0 (T ) son diferenciables. Esto es evidente: por la propia definici´n f (dyi ) = d(f ◦ yi ) o y f (g ) = f ◦ g . Una simple comprobaci´n nos da que (f ◦ g ) = g ◦ f . Si I es la identio dad en una variedad S , entonces I es la identidad en Λ(S ), luego si f es un difeomorfismo tambi´n lo es f y (f )−1 = (f −1 ) . e La aplicaci´n f recibe el nombre de retracci´n asociada a f . o o Cuando se emplea la notaci´n adecuada, las retracciones resultan “invisibles” o en la pr´ctica. Por ejemplo, la retracci´n de la inclusi´n i : S −→ T entre dos a o o variedades es i (ω )(p) = ω (p)|Tp (S )k , donde ω ∈ Λk (T ). En muchas ocasiones hemos usado la notaci´n dxi para deferirnos tanto a la diferencial en Rn de la o proyecci´n xi en la i-´sima componente como para referirnos a la diferencial o e de la restricci´n de xi a una variedad S . Ahora vemos que dicha restricci´n es o o i (xi ) y que la diferencial de la restricci´n es i (dxi ). o Otro ejemplo nos lo proporciona la f´rmula (9.4), que hemos usado para o calcular integrales en variedades. En t´rminos de retracciones se escribe como e ω= B X (ω ), X −1 [B ] donde X es un carta de una variedad y B es un conjunto de Borel en su rango. En efecto, notemos que las xi del segundo miembro de (9.4) son en realidad X ◦ xi (si entendemos que las xi son, como en el primer miembro, las coordenadas de X en la variedad), luego dxi (u)(v ) es en realidad dxi (X (u))(dX (v )), es decir, las diferenciales dxi que aparecen en el segundo miembro son en realidad X (dxi ), si entendemos dxi como en el primer miembro. Con rigor deber´ ıamos escribir X (i (ω )), donde i es la inclusi´n del rango de o X en la variedad. Usando particiones de la unidad podemos probar un resultado m´s general, pero primero necesitamos justificar que las particiones se pueden a tomar de clase C ∞ . Ello se debe al teorema siguiente, que es la versi´n del o Lema de Urysohn para funciones de clase C ∞ . Recordemos que la notaci´n o K ≺ f ≺ V en un espacio S significa que f : S −→ [0, 1] es una aplicaci´n o continua que vale 1 en K y se anula fuera de V . En lo sucesivo S ser´ una a variedad y K ≺ f ≺ V supondr´ tambi´n que f es de clase C ∞ . a e Teorema 9.21 Sea S una variedad diferenciable, sea K un subconjunto compacto de S y sea V un abierto de modo que K ⊂ V . Entonces existe f ∈ Λ0 (S ) tal que K ≺ f ≺ V . ´ Demostracion: Probamos primero que dados n´meros reales 0 ≤ a < b u n existe g : R −→ [0, 1] de clase C ∞ tal que g (x) = 0 1 si x ≤ a, si x ≥ b. 344 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales La construcci´n es sencilla a partir del teorema 3.32. En efecto, seg´n dicho o u teorema existe una funci´n f : R −→ R de clase C ∞ que es nula fuera del o b2 intervalo a2 , b2 y positiva en su interior. Sea M = a2 f (t) dt > 0. Definimos φ(u) = 1 M u f (t) dt. a2 As´ M φ(u) es una primitiva de f , luego es de clase C ∞ en R y φ tambi´n. ı, e Como f es mayor o igual que 0 es claro que φ es creciente. Tambi´n es obvio e que 0 si u ≤ a2 , φ(u) = 1 si u ≥ b2 . Ahora basta tomar g (x) = 1 − φ( x 2 ). Sea ahora p ∈ K . Tomamos una carta Xp : U −→ W ⊂ S que cubra a p, donde U es un abierto en un semiespacio H . Podemos suponer que 0 ∈ U , Xp (0) = p y W ⊂ V . Sea bp > 0 tal que Bbp (0) ∩ H ⊂ U . Sea ap = bp /2. − o o Componiendo Xp 1 con la funci´n que nos da la construcci´n anterior obtenemos una funci´n gp : W −→ [0, 1] de clase C ∞ en W tal que gp vale 1 en un entorno o de p en S (concretamente en Xp [Bap (0) ∩ H ]) y se anula fuera de Xp [Bbp (0) ∩ H ]. Es claro que podemos extenderla a una funci´n gp : S −→ [0, 1] de clase C ∞ sin o m´s que hacer gp (q ) = 0 para todo q ∈ S \ W . En particular gp se anula fuera a de V . Hemos dicho que gp vale 1 en un entorno de p. Estos entornos cubren K , luego por compacidad podemos extraer un subcubrimiento finito, con lo que tenemos k abiertos W1 , . . . , Wk que cubren K y k funciones gi : S −→ [0, 1] de clase C ∞ de modo que se anulan fuera de V y gi |Wi = 1. Ahora basta tomar f (q ) = 1 − (1 − g1 (q )) · · · (1 − gk (q )). Notemos que el teorema 7.27 es v´lido para variedades diferenciables, pues a ´stas son localmente compactas y adem´s, si en lugar de usar en la prueba e a el Lema de Urysohn usamos el teorema 9.21, resulta que las particiones de la unidad las podemos tomar de clase C ∞ , tal y como pretend´ ıamos. Ahora ya podemos probar: Teorema 9.22 Sea f : S −→ T un difeomorfismo entre variedades orientables de dimensi´n n y ω una n-forma en T con soporte compacto. Entonces o ω= T f (ω ). S ´ Demostracion: Cubrimos el soporte de ω con un n´mero finito de rangos u de cartas. Tomamos una partici´n de la unidad h1 , . . . , hr subordinada a tales o abiertos, es decir, h1 + · · · hr = 1 sobre los puntos del soporte de ω y cada hi tiene su soporte contenido en el rango de una carta. Entonces ω = h1 ω + · · · + hr ω y basta probar el teorema para cada forma hi ω . Equivalentemente, podemos suponer que el soporte de ω est´ contenido en el rango V de una carta X de a T . Entonces Y = X ◦ f −1 es una carta de S y es f´cil ver que el soporte de a 9.3. El algebra de Grassmann ´ 345 f (ω ) est´ contenido en su rango. Seg´n los comentarios previos al teorema, las a u integrales de la igualdad que queremos probar coinciden respectivamente con las de las formas Y (f (ω )) y X (ω ), definidas sobre el dominio (com´n) de las u dos cartas. Es claro que ambas formas son la misma. Veamos otro ejemplo de “invisibilidad” de las retracciones: Si S1 y S2 son dos variedades diferenciables, la retracci´n de la proyecci´n πi : S1 × S2 −→ Si o o es un homomorfismo πi : Λ(Si ) −→ Λ(S1 × S2 ). Supongamos que S1 y S2 son los rangos de las cartas X1 y X2 , de coordenadas x1 , . . . , xn1 e y1 , . . . , yn2 . Entonces las funciones coordenadas de X1 × X2 son a e las π1 ◦ xi y π2 ◦ yi , que en la pr´ctica podemos llamar tambi´n xi e yi , pero que con rigor son π1 (xi ) y π2 (yi ). Notemos que dπi (p1 , p2 ) : Tp1 (S1 ) × Tp2 (S2 ) −→ Tpi (Si ) es simplemente la proyecci´n. Teniendo esto en cuenta es f´cil ver que dxi , considerada como o a forma en S1 × S2 , no es sino la retracci´n π1 (dxi ), donde ahora dxi es la forma o ı o de S1 . As´ pues, la retracci´n de una forma arbitraria de Si expresada en t´rminos de las coordenadas de Xi es la forma que tiene la misma expresi´n e o pero interpretando las coordenadas y las diferenciales en el producto. M´s en general, es f´cil ver que si una k -forma ω (digamos de S 1 ) no se a a anula en un punto p, entonces π1 (ω ) no se anula en los puntos de la forma (p, q ) y an´logamente para i = 2, con lo que las retracciones πi son monomorfimos de a a ´lgebras y podemos identificar las formas de S1 y S2 con formas de S1 × S2 . Por ejemplo, con estas identificaciones tenemos que dm = dm1 ∧ dm2 , donde dm, dm1 y dm2 son los elementos de medida de S1 × S2 , S1 y S2 respectivamente. En efecto, una carta X1 × X2 alrededor de un punto (p, q ) de coordenadas (x, y ) induce la base de T(p,q) (S1 × S2 ) formada por los vectores (Di X1 (x), 0) y (0, Di X2 (y )). Adem´s a ui = dπ1 (p, q )(Di X1 (x), 0) = Di X1 (x), dπ1 (p, q )(0, Di X2 (y )) = 0, vi = dπ2 (p, q )(0, Di X2 (y )) = Di X2 (y ), dπ2 (p, q )(Di X1 (x), 0) = 0, o luego, al calcular π1 (dm1 )(p) ∧ π2 (dm2 )(q ) sobre esta base mediante la definici´n de producto exterior, se anulan todos los sumandos correspondientes a permutaciones que hacen actuar a π1 (dm1 )(p) sobre una vector de X2 y viceversa. Por consiguiente queda (σ,τ )∈Σn1 ×Σn2 sig(σ, τ ) dm1 (uσ(1) , . . . , uσ(n1 ) ) dm2 (vτ (1) , . . . , vτ (n2 ) ), n1 !n2 ! que claramente es igual a dm1 (p)(u1 , . . . , un1 )dm2 (q )(v1 , . . . , vn2 ) = ∆X1 (p)∆X2 (q ) = ∆X1 ×X2 (p, q ). Por otra parte es inmediato que ´ste es el valor que toma dm(p, q ) sobre la e misma base, luego ambas formas coinciden. 346 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales Ejemplo La aplicaci´n f : ]0, +∞[ × S n−1 −→ Rn \ {0} dada por f (r, x) = o rx es un difeomorfismo. Tomemos una carta X de S n−1 (de coordenadas x1 , . . . , xn−1 ) y la identidad como carta de ]0, +∞[ (con coordenada r). Entonces Y = (I × X ) ◦ f es una carta de Rn \ {0}. M´s detalladamente: a Y (r, x1 , . . . , xn−1 ) = rX (x1 , . . . , xn−1 ). De este modo, cada punto del rango de I × X tiene las mismas coordenadas que su imagen por f y la retracci´n f de una forma de Rn \ {0} expresada o en t´rminos de r, x1 , . . . , xn−1 , y sus diferenciales es la forma con la misma e expresi´n pero interpretada como forma de ]0, +∞[ × S n−1 . o En estas coordenadas, el elemento de medida en Rn \ {0} es X1 . . . D1 X1 . . . ··· Xn dm = r n−1 D1 Xn · · · Dn−1 Xn Dn−1 X1 . . . dr ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxn−1 . La retracci´n f (dm) viene dada por esta misma expresi´n. El determinante o o es la medida del paralelep´ ıpedo formado por los vectores X, D1 X, . . . , Dn−1 X . Como X es unitario y perpendicular a los otros vectores, es claro que dicha medida es tambi´n la medida n − 1-dimensional del paralelep´ e ıpedo determinado por los vectores D1 X, . . . , Dn−1 X . As´ pues, ı f (dm) = rn−1 dr ∧ dσ, donde dσ es el elemento de medida de S n−1 . Hemos probado esta relaci´n para o los puntos de ]0, +∞[ × S n−1 cubiertos por la carta que hemos tomado, pero como ´sta era arbitraria, la igualdad vale para todo punto. Por otro lado dr ∧ dσ e es el elemento de medida de ]0, +∞[ × S n−1 . Con esto hemos probado en general que si h es una funci´n integrable en o Rn , entonces Rn h(r, x1 , . . . , xn−1 ) dm = +∞ = 0 S n−1 0,+∞[×S n−1 h(r, x1 , . . . , xn−1 )rn−1 dm h(r, x1 , . . . , xn−1 )rn−1 dσ dr. Por otra parte, si h es positiva y existe la integral doble del miembro derecho, el teorema de la convergencia mon´tona implica que h es integrable en Rn . En o otras palabras, las funciones pueden integrarse “por capas”. M´s en general, si a identificamos Rn con ]0, +∞[×S n−1 entonces la medida de Lebesgue se identifica con el producto de la medida dada por rn−1 dr y la medida de Lebesgue en S n−1 , con lo que podemos aplicar el teorema de Fubini. Veamos un par de aplicaciones: Teorema 9.23 La funci´n 1/ x o s´lo si α < n. o α es integrable en un entorno de 0 en Rn si y 9.3. El algebra de Grassmann ´ 347 ´ Demostracion: Con la notaci´n del ejemplo anterior: o 1 dm = xα D ( ,R) r−α rn−1 dm = m(S n−1 ) R rn−1−α dr. ,R[×S n−1 Si α < n, una primitiva del integrando de la derecha es rn−α /(n − α) y podemos concluir que B 1 Rn−α dm = m(S n−1 ) . xα n−α Es f´cil ver que si α ≥ n el miembro derecho tiende a ∞ cuando a tiende a 0. Ejemplo Sea σn la medida de Lebesgue de S n . Vamos a calcularla. Para ello 2 consideremos la funci´n g (x) = e− x , definida en Rn+1 . Calculamos de dos o formas su integral. Por una parte (ver el final del cap´ ıtulo anterior) e−t dt 2 g (x) dm = Rn+1 n+1 = π (n+1)/2 . R Por otra parte la integral se puede calcular como +∞ Sn rn e−r drdσ = 2 0 σn 2 +∞ tn/2 e−t t−1/2 dt = 0 σn n − 1 Π( ). 2 2 Por consiguiente σn = (n + 1)π (n+1)/2 2π (n+1)/2 = . n−1 Π( 2 ) Π( n+1 ) 2 En el cap´ ıtulo anterior obtuvimos una expresi´n para la medida de Leo besgue de la bola unidad en t´rminos de la funci´n factorial. Tambi´n poe o e demos deducirla de la expresi´n anterior, pues a trav´s de la identificaci´n o e o Rn = ]0, +∞[ × S n−1 la bola unidad se identifica con ]0, 1[ × S n−1 y su medida de Lebesgue es el producto de la medida rn−1 dr por la medida de Lebesgue en la esfera. La medida del intervalo es 1 0 rn−1 dr = 1 , n luego la medida de la bola es vn = como ya sab´ ıamos. σn−1 π n/2 = , n Π(n/2) 348 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales 9.4 Algunos conceptos del c´lculo vectorial a En esta secci´n introduciremos algunos conceptos que ilustren las aplicacioo nes de las formas diferenciales. Comenzamos con la integral curvil´ ınea y sus aplicaciones. Sea γ : [a, b] −→ Rn un arco regular. Si γ no se corta a s´ mismo ı (sin excluir que sus extremos coincidan) podemos considerar a su imagen como una 1-variedad con γ como unica carta y dotada de la orientaci´n ´sta le in´ oe duce. Sea F : γ [a, b] −→ Rn un campo continuo de vectores. A este campo le asociamos la 1-forma en γ dada por F dr = F1 dx1 + · · · + Fn dxn , que formalmente puede interpretarse como el producto escalar de F por el vector dr = (dx1 , . . . , dxn ). De hecho, la forma asigna a cada vector v ∈ Tp (γ ) el producto escalar F (p)v . Esto implica que F dr s´lo depende de la proyecci´n o o de F sobre la recta tangente a γ en cada punto. En particular, si F es el vector tangente unitario T entonces (T dr)(v ) = ± v , la longitud orientada de v , es decir, T dr = ds. En general podemos descomponer F = aT + N , donde T y N son ortogonales. Multiplicando por T vemos que a = F T . As´ pues ı F dr = (F T )T dr = F T ds. Se define la circulaci´n o integral curvil´ o ınea de F a trav´s de γ como la e integral b F dr = γ F1 γ (t) γ1 (t) + · · · + Fn γ (t) γn (t) dt F T ds = γ a b = F γ (t) γ (t) dt. a Observemos que F dr es en principio una forma continua, no necesariamente diferenciable, pero nuestra definici´n de integral vale igualmente en este caso. o Notemos tambi´n que la ultima integral tiene sentido aunque γ se corte a s´ e ´ ı misma, por lo que la noci´n de integral curvil´ o ınea es ligeramente m´s general. a En la pr´ctica conviene considerar incluso el caso en que γ es derivable salvo en a un n´mero finito de puntos, lo cual tampoco afecta a la integral. u Definici´n 9.24 Un arco singular es una aplicaci´n continua φ : [a, b] −→ Rn o o tal que existe una partici´n a = t0 < t1 < · · · < tn = b de modo que φ|[ti ,ti+1 ] es o o de clase C 1 (en el sentido de que se extiende a una funci´n de clase C 1 en un abierto que contiene a [ti , ti+1 ]). Observar que no exigimos que la derivada no se anule. Si F : φ[a, b] −→ Rn tenemos definida la integral curvil´ ınea de F sobre φ mediante n ti i=1 ti−1 F dr = φ F φ(t) φ (t) dt. Si φ : [a, b] −→ Rn y ψ : [c, d] −→ Rn son dos arcos singulares tales que φ(b) = ψ (c), definimos su uni´n como el arco φ ∪ ψ : [a, b + d − c] −→ Rn dado o 9.4. Algunos conceptos del c´lculo vectorial a 349 por (φ ∪ ψ )(t) = φ(t) ψ (t − b + c) si a ≤ t ≤ b si b ≤ t ≤ b + d − c Claramente φ ∪ ψ es el arco que resulta de recorrer φ y seguidamente recorrer ψ . Observemos que aunque φ y ψ fueran derivables en todo su dominio, su uni´n o ´ no tiene por qu´ serlo en el punto de enlace. Esta es una de las razones por las e que conviene trabajar con arcos derivables a trozos. Dado un arco singular φ : [a, b] −→ Rn , definimos su inverso como el arco −φ : [−b, −a] −→ Rn dado por (−φ)(t) = φ(−t). Se trata del arco que recorre la misma trayectoria pero en sentido inverso. Las propiedades siguientes son inmediatas: F dr = φ∪ψ F dr + φ F dr, −φ ψ F dr = − F dr. φ En este contexto, el segmento que une dos puntos x, y ∈ Rn es el arco dado por [x, y ](t) = (1 − t)x + ty , para 0 ≤ t ≤ 1. Una poligonal es una uni´n finita o de segmentos. Un arco φ : [a, b] −→ Rn es cerrado si φ(a) = φ(b). La interpretaci´n m´s importante de la circulaci´n de un campo a lo largo o a o de una trayectoria proviene de la f´ ısica: Ejemplo Supongamos que γ (t) es la posici´n en cada instante t de un m´vil o o de masa m, de modo que cuando se encuentra en la posici´n p la fuerza total que o act´a sobre ´l es F (p). La circulaci´n W de F a trav´s de γ recibe el nombre u e o e de trabajo realizado por F sobre el m´vil. Para entender el significado f´ o ısico del trabajo observemos en primer lugar que ´ste depende unicamente de de la e ´ componente tangencial de F , que ser´ de la forma Ft = maT , donde T es el a vector tangente unitario de γ y a es la derivada del m´dulo v de la velocidad o del m´vil. As´ o ı dW = F dr = maT dr = ma ds = mav dt = mv dv. Nos gustar´ integrar ambos miembros, pero para ello necesitar´ ıa ıamos considerar a v como variable independiente, lo que equivale a tomarla como par´metro a de γ y esto no siempre ser´ posible. Pese a ello, el resultado que se obtiene de a integrar formalmente la igualdad anterior es correcto. Para probarlo definimos E= Entonces 1 mv 2 . 2 dE dW (t) = mva = , dt dt donde W (t) representa a la circulaci´n de F en el intervalo [a, t]. De aqu´ se o ı sigue que W = W (b) = ∆E = E (b) − E (a). 350 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales La magnitud E recibe el nombre de energ´ cin´tica del m´vil, y lo que ıa e o hemos probado es que el trabajo que ejerce una fuerza sobre un m´vil es igual o al incremento de la energ´ cin´tica que ´ste experimenta bajo su influencia. ıa e e Notar que podemos definir el trabajo realizado por cualquier fuerza sobre un m´vil dado, no necesariamente la fuerza total que act´a sobre ´l. Entonces el o u e trabajo realizado por una suma de fuerzas es la suma de los trabajos realizados por cada una de ellas. El trabajo y la energ´ se miden en Julios. Un Julio es ıa el trabajo que realiza una fuerza de un Newton cuando act´a tangencialmente u sobre un m´vil que recorre una trayectoria de un metro. o Existe una versi´n de la regla de Barrow para integrales curvil´ o ıneas. Teorema 9.25 Sea f : U −→ R una aplicaci´n de clase C 2 en un abierto U de o Rn y sea γ : [a, b] −→ U es un arco de extremos p = γ (a) y q = γ (b). Entonces df = f (q ) − f (p). γ ´ Demostracion: Observemos que df = ∂f ∂f dx1 + · · · + dxn = ∇f dr. ∂x1 ∂xn Entonces b df ∇f dr = = γ ∇f (γ (t))γ (t) dt γ a b = a d(γ ◦ f ) dt = f γ (b) − f γ (a) = f (q ) − f (p). dt (Si hay puntos donde γ no es derivable se razona separadamente en cada intervalo donde s´ lo es y se llega a la misma conclusi´n). ı o Vemos as´ que cuando integramos un campo de la forma ∇f sobre un arco, ı la integral s´lo depende de los extremos del mismo. Este hecho tiene gran o importancia: Definici´n 9.26 Diremos que un campo F : U ⊂ Rn −→ Rn definido en un o abierto U es conservativo si la circulaci´n de F a lo largo de cualquier arco o singular contenido en U depende unicamente de sus extremos. ´ Hay que entender que en la dependencia de los extremos se incluye el orden de los mismos, pues γ y −γ tienen los mismos extremos, pero las integrales respectivas son opuestas. Notar que si φ y ψ son arcos con los mismos extremos, la condici´n o F dr = F dr φ ψ es equivalente a F dr = 0. φ∪−ψ 9.4. Algunos conceptos del c´lculo vectorial a 351 Es claro entonces que un campo F es conservativo si y s´lo si las integrales de o F a lo largo de los arcos cerrados son todas nulas. El teorema anterior prueba que los campos de gradientes, es decir, los campos de la forma F = ∇f , donde f es una funci´n de clase C 2 , son conservativos. o Ahora probamos que ´stos son los unicos campos conservativos: e ´ Teorema 9.27 Un campo F : U −→ Rn de clase C 1 en un abierto U ⊂ Rn es conservativo si y s´lo si existe una funci´n V : U −→ R tal que F = ∇V . Si U o o es conexo, la funci´n V est´ determinada salvo una constante. o a ´ Demostracion: Ya sabemos que los campos de gradientes son conservativos. Supongamos que F es un campo conservativo. No perdemos generalidad si suponemos que U es conexo. Entonces es conexo por poligonales. Fijamos un punto x0 ∈ U y para cada x ∈ U existe una poligonal φx : [a, b] −→ U tal que φx (a) = x0 y φx (b) = x. Definimos V (x) = F dr. φx Como F es conservativo, V (x) no depende de la elecci´n de la poligonal. Veamos o que ∇V = F , lo que en particular probar´ que V es una funci´n de clase C 2 . a o Tomemos x ∈ V y sea ei el i-´simo vector de la base can´nica de Rn . Sea φx e o una poligonal que una x0 con x y consideremos la poligonal φx ∪ [x, x + hei ], que n une x0 con x + hei , donde h = 0 es suficientemente peque˜o para que x + hei est´ en U . Entonces e V (x + hei ) − V (x) h = 1 h F dr = [x,x+hei ] 1 h 1 F (x + thei )hei dt 0 1 = Fi (x + thei ) dt 0 La funci´n Fi es uniformemente continua en el segmento [x − h0 ei , x + h0 ei ], o para un h0 fijo. Por lo tanto, dado > 0, existe un δ > 0 tal que si |h| ≤ δ y 0 ≤ t ≤ 1 entonces |Fi (x + f hei ) − Fi (x)| < /2. Por consiguiente V (x + hei ) − V (x) − Fi (x) = h 1 Fi (x + thei ) − Fi (x) dt 0 1 ≤ 1 |Fi (x + thei ) − Fi (x)| dt ≤ 0 2 dt < . 0 Esto prueba que existe ∂V (x) = Fi (x). ∂xi La unicidad de V es clara: si V1 y V2 cumplen el teorema entonces V1 − V2 es una funci´n de clase C 1 con gradiente nulo, luego su diferencial es nula y (si o U es conexo) V1 − V2 es constante. 352 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales Si un campo es de la forma F = ∇V , se dice que la funci´n V es una funci´n o o potencial para F . Seg´n hemos calculado, la circulaci´n de F a lo largo de un u o arco singular es la diferencia de potencial entre sus extremos. De nuevo la f´ ısica nos proporciona ejemplos de esta situaci´n: o Ejemplo El campo gravitatorio que produce una masa puntual es conservativo. Recordemos que si el cuerpo tiene masa M y elegimos el sistema de referencia de modo que sus coordenadas sean nulas, la fuerza que ´ste ejerce e sobre un cuerpo de masa m situado en la posici´n x es o F =− GM m x. x3 Puesto que la fuerza depende s´lo de ρ = x lo mismo ha de suceder con o el potencial. Si planteamos el problema en una variable (y x > 0) la soluci´n o es simple: buscamos una funci´n cuya derivada sea −GM m/x2 , luego nos sirve o GM m/x. En tres dimensiones la soluci´n es o GM m . x Si un cuerpo de masa m se encuentra en la posici´n x, definimos su energ´ o ıa potencial respecto a la masa M como Ep = − GM m . x A˜adimos el signo negativo de modo que si el cuerpo se desplaza desde un n punto x hasta un punto y por cualquier trayectoria, el trabajo que sobre ´l e realiza el campo gravitatorio de M es −∆Ep = − Ep (y ) − Ep (x) . Si el cuerpo se mueve sobre una trayectoria γ y sobre ´l act´a otra fuerza F distinta de la e u gravitatoria, el trabajo total realizado sobre ´l es e F dr − ∆Ep . γ Seg´n hemos visto antes, este trabajo es igual al incremento de la energ´ u ıa cin´tica del cuerpo ∆Ec . Si llamamos energ´ total del cuerpo a E = Ep + Ec e ıa concluimos que ∆ E = ∆E p + ∆E c = F dr. γ En resumen: el trabajo realizado sobre un cuerpo por las fuerzas distintas del campo es igual al incremento de la energ´ total del cuerpo. En particular, ıa si un cuerpo se mueve sometido unicamente a la acci´n del campo su energ´ ´ o ıa total permanece constante. Toda la teor´ se desarrolla m´s c´modamente sin particularizar a un cuerpo ıa ao m en concreto. Para ello se definen el vector intensidad de campo y el potencial gravitatorio como GM GM E=− x, V = − , 3 x x 9.4. Algunos conceptos del c´lculo vectorial a 353 respectivamente, de modo que la fuerza gravitatoria que act´a sobre un cuerpo u de masa m es mE y la energ´ potencial de un cuerpo de masa m es mV . La ıa relaci´n entre ambos es E = −∇V . o Retomemos los c´lculos que hicimos en el cap´ a ıtulo VI sobre un cuerpo que sigue una trayectoria c´nica sometido a la fuerza gravitatoria. Puesto que los o sumandos de (6.1) son ortogonales deducimos que el cuadrado del m´dulo de la o velocidad es v 2 = ρ 2 + ρ2 ω 2 . (Notemos que en el cap´ ıtulo VI llam´bamos v al vector velocidad y aqu´ a su a ı m´dulo). La energ´ total del m´vil ser´ o ıa o a E = Ec + E p = 1 GM m m(ρ 2 + ρ2 ω 2 ) − . 2 ρ Por otro lado la ecuaci´n de la trayectoria es o ρ= L2 1 GM m2 1 + cos θ donde es la excentricidad de la c´nica. Puesto que la energ´ total es constante, o ıa podemos calcularla en el punto que nos resulte m´s conveniente. Por ejemplo a cuando θ = 0, que corresponde con el valor m´ ınimo de ρ, luego ρ = 0. Entonces Ec = 1 L2 G 2 M 2 m3 mρ2 ω 2 = = (1 + )2 , 2 2 2mρ 2L2 Ep = − G 2 M 2 m3 (1 + ), L2 luego G 2 M 2 m3 (1 + )2 − 2(1 + ) , 2L2 y, en definitiva, la energ´ del m´vil es ıa o E= E= G 2 M 2 m3 ( 2L2 2 − 1). Notamos que la trayectoria es el´ ıptica, parab´lica o hiperb´lica seg´n si o o u E < 0, E = 0 o E > 0. Ejemplo Veamos otra interpretaci´n de la circulaci´n de un campo, ahora en o o el contexto de la hidrodin´mica. Supongamos que V es el campo de velocidades a de un fluido. Esto significa que si liberamos una part´ ıcula de masa despreciable en un punto p el fluido la arrastrar´ con velocidad V (p) (no excluimos que V a pueda depender del tiempo adem´s de hacerlo de la posici´n). Supongamos a o ahora que en el fluido situamos una bolita sujeta por una varilla r´ ıgida a un eje, respecto al cual puede girar a lo largo de una circunferencia de radio r.1 Es claro 1 En esta clase de situaciones suponemos siempre que los objetos que introducimos son instrumentos de medida ideales, es decir, que son afectados por el fluido pero ellos no afectan al mismo. 354 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales que si la bolita se encuentra en el punto p el fluido la har´ moverse con velocidad a igual a la proyecci´n de V (p) sobre la recta tangente a la circunferencia en p, o pues la componente normal de la velocidad ser´ cancelada por las fuerzas que a mantienen r´ ıgida a la varilla que sujeta la bola. ¯ V ¯ V Imaginemos ahora que el eje sujeta a la varilla por V el centro y que ´sta tiene una bolita en cada brazo. e V Si ´stas se encuentran en los puntos p1 y p2 , entone p1 p ces su velocidad (que en m´dulo ha de ser la misma 2 o para ambas a causa de la rigidez de la varilla) estar´ a determinada por los vectores V (p1 ) y V (p2 ). Al igual ¯ que en el caso anterior en realidad depender´ s´lo de las proyecciones V (p1 ) y ao ¯ (p2 ) de dichos vectores sobre las rectas tangentes respectivas. Por ejemplo, en V ¯ ¯ el caso indicado en la figura, donde V (p1 ) = 2 y V (p2 ) = 1, la velocidad 2 a resultante ser´ el promedio de ambas: la varilla girar´ en sentido contrario a a las agujas del reloj con velocidad (2 − 1)/2 = 1/2. Supongamos ahora que en vez de una varilla tenemos un molinillo con n aspas. Entonces el m´dulo de la velocidad resultante ser´ o a 1 1 V (p1 )T (p1 ) + · · · + V (pn )T (pn ), n n donde T es el vector tangente a la circunferencia. Equivalentemente podemos escribir 1 2πr 2πr V (p1 )T (p1 ) + · · · + V (pn )T (pn ) , 2πr n n donde r es el radio de la circunferencia. Esto equivale a considerar la circunferencia dividida en n partes iguales de longitud ∆s = 2πr/n, multiplicar la longitud de cada parte por el valor de V T en uno de sus puntos, sumar y luego dividir el resultado entre la longitud completa de la circunferencia. Finalmente, si en lugar de un molinillo ponemos una ruedecita de radio r, la velocidad que le imprimir´ el fluido vendr´ dada por a a v= 1 2πr V T ds = C 1 2πr V dr. C La velocidad v corresponde a una velocidad angular ω = v/r. As´ pues, ı ω= 1 2πr2 V dr. C 2 Se trata de un problema de conservaci´n de la cantidad de movimiento. De hecho es o equivalente al siguiente: dos cuerpos de la misma masa se aproximan frontalmente de modo que sus velocidades son v1 y v2 . Si tras el choque se mueven conjuntamente, ¿a qu´ velocidad e lo hacen? La respuesta es que la cantidad de movimiento del sistema es mv1 + mv2 al principio y 2mv al final. Igualando resulta que v = (v1 + v2 )/2. El fluido comunica una cantidad de movimiento a las bolitas y la varilla s limita a unificar las velocidades sin alterar la cantidad de movimiento. 9.4. Algunos conceptos del c´lculo vectorial a 355 Estudiemos ahora la noci´n de flujo de un campo a trav´s de una variedad. o e A cada campo F : U ⊂ Rm −→ Rm , donde U es un abierto en Rm , podemos asociarle la m − 1-forma m (−1)i+1 dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm . dΦ(F ) = i=1 Supongamos que S ⊂ U es una variedad orientable de dimensi´n m − 1, o sea n la determinaci´n del vector normal que induce su orientaci´n, tomemos o o p ∈ S y v1 , . . . , vm−1 ∈ Tp (S ). Vamos a probar que dΦ(p)(v1 , . . . , vm−1 ) es el determinante de la matriz A cuyas filas son F (p), v1 , . . . , vm−1 . En efecto, desarroll´ndolo por la primera fila tenemos que a m (−1)i+1 Fi (p) det Ai , det A = i=1 donde Ai es la matriz que tiene por filas a los vectores v1 , . . . , vm−1 sin su i-´sima e componente. Teniendo en cuenta el teorema 9.10 resulta que det Ai = dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm (v1 , . . . vm−1 ) y tenemos la relaci´n buscada. Notemos que para este c´lculo no necesitamos o a que F est´ definido m´s que sobre los puntos de S . En particular podemos e a aplicarlo al vector normal n, pero entonces el determinante de la matriz cuyas filas son n(p), v1 , . . . , vm−1 es la medida (orientada) del paralelep´ ıpedo determinado por estos vectores, y como n(p) es unitario y perpendicular a los restantes, es claro que coincide con la medida orientada de (v1 , . . . , vm−1 ) en Tp (S ). As´ ı pues, si llamamos dσ al elemento de medida de S , hemos probado que m (−1)i+1 ni (p)dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm . dσ (p) = i=1 Volviendo al campo F , sobre los puntos de S podemos descomponerlo como F = (F n)n + t, donde t ∈ Tp (S ). Esto nos permite descomponer el determinante de A en dos t´rminos, pero el sumando correspondiente a t es nulo (pues sus e filas son m vectores de Tp (S )), luego en definitiva m (−1)i+1 ni (p)dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm dΦ(F ) = (F n) i=1 es decir, dΦ(F ) = (F n) dσ . Ejercicio: En particular, si S es una superficie en R3 tenemos que dσ = n1 dy ∧ dz + n2 dz ∧ dx + n3 dx ∧ dy. Calcular a partir de aqu´ el ´rea de la esfera. ıa , 356 Cap´ ıtulo 9. Formas diferenciales Definici´n 9.28 Sea F : U ⊂ Rm −→ Rm un campo de clase C 1 en un abierto o U ⊂ Rm . Se llama flujo de F a trav´s de una variedad orientable S ⊂ U de e dimensi´n m − 1 a la integral o m Φ(F ) = (−1)i+1 dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxm (F n) dσ = S S . i=1 donde n es el vector normal de S . En resumen, as´ como la circulaci´n de un campo a trav´s de una curva ı o e era la integral del m´dulo orientado de la componente tangencial del campo en o cada punto de la curva, el flujo de un campo a trav´s de una variedad es la e integral del m´dulo orientado de su componente normal. La hidrodin´mica nos o a proporciona una imagen m´s concreta del flujo de un campo. a Ejemplo Supongamos que V es la velocidad de un fluido en cada punto. Sea S una superficie en el seno del fluido y p ∈ S . Consideremos un entorno paralelogramo (u, v ) en Tp (S ) suficientemente peque˜o como para que p + P (u, v ) n se confunda con un subconjunto de S . Tambi´n podemos suponer que la vee locidad del fluido en un entorno de p en R3 que contiene al paralelogramo es aproximadamente igual a V (p). Nos preguntamos cu´l es el volumen de fluido a que atraviesa el paralelogramo por unidad de tiempo. Observamos que el fluido que en un instante dado se encuentra en el paralelogramo, al cabo V de una unidad de tiempo se encontrar´ en otro n a paralelogramo similar trasladado del primero mediante el vector V = V (p). El volumen de fluido v que ha atravesado el paralelogramo ser´ igual al a volumen del paralelep´ ıpedo (u, v, V ). Una simple u aplicaci´n del teorema de Fubini muestra que el volumen del paralelep´ o ıpedo es igual al area de su base multiplicada por su altura (medida perpendicu´ larmente a la base), es decir, el volumen que atraviesa el paralelogramo es (V n)(p)dσ (p)(u, v ) = dΦ(V )(u, v ), entendiendo que el volumen es positivo si el fluido atraviesa el paralelogramo en la direcci´n de n y negativo en caso o contrario. La aplicaci´n que a cada regi´n de S le asigna el volumen de fluido que lo o o atraviesa es una medida en S que en un entorno de cada punto debe confundirse con dΦ(V ). Por consiguiente dicho volumen es precisamente Φ(V ). Si en lugar de hablar de vol´menes queremos hablar de masa habremos de u considerar la densidad ρ del fluido en cada punto, es decir, ρ es la derivada de la medida que a cada regi´n del espacio le hace corresponder la masa de fluido o que contiene, de modo que dicha masa se recupera integrando ρ en la regi´n en o cuesti´n. Si en lugar de trabajar con V trabajamos con el campo A = ρV , el o razonamiento anterior nos da claramente que la cantidad de masa que atraviesa una superficie S es el flujo de A a trav´s de S . e Cap´ ıtulo X El teorema de Stokes En el cap´ ıtulo anterior hemos visto el teorema 9.25, que es la versi´n para 1o formas de la regla de Barrow. Existe una versi´n general del teorema de Barrow o para n-formas, la cual constituye el ultimo de los resultados fundamentales del ´ c´lculo integral de varias variables. Se trata del llamado teorema de Stokes a generalizado, del que nos ocuparemos en este cap´ ıtulo. Aunque todav´ no ıa tenemos definidos algunos de los conceptos que involucra, conviene anticipar su aspecto. Se trata de la f´rmula: o dω = S ω. ∂S Aqu´ ω es una n − 1-forma definida en una variedad S de dimensi´n n. En este ı o cap´ ıtulo extenderemos el concepto de diferencial —que hasta ahora s´lo tenemos o definido para 0-formas— de modo que la n − 1-forma ω tendr´ asociada una a n-forma dω , que es la que aparece en el primer miembro de la f´rmula anterior. o Tambi´n hemos de introducir el concepto de frontera de una variedad S . Por e ejemplo, si S es una bola abierta en R3 , entonces ∂S ser´ la esfera del mismo a centro y el mismo radio (que es una variedad de una dimensi´n menos). El o teorema de Stokes afirma en este caso que la integral de la forma dω sobre la bola puede obtenerse integrando ω sobre la esfera. Es importante que la noci´n de frontera de una variedad que vamos a introo ducir no siempre coincide con la frontera topol´gica. Por ejemplo, si S es una o semiesfera en R3 , todos sus puntos son puntos frontera desde el punto de vista topol´gico, mientras que su frontera como variedad la formar´n los puntos del o a ecuador, donde la superficie “termina”. 10.1 Variedades con frontera Definici´n 10.1 Un semiespacio en Rn es un subconjunto de la forma o H = {x ∈ Rn | u(x) ≤ a}, donde u : Rn −→ R es una aplicaci´n lineal y a ∈ R. o 357 358 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Obviamente H es cerrado en Rn y su frontera topol´gica es o ∂H = {x ∈ Rn | u(x) = a}. Cuando hablemos de un subespacio abierto U de un semiespacio H ⊂ Rn entenderemos que U es abierto respecto a la topolog´ de H , no necesariamente ıa abierto en Rn . Llamaremos frontera de U al conjunto ∂U = U ∩ ∂H . Es claro que ∂U es la intersecci´n de U con su frontera en Rn , por lo que no depende de o H . Adem´s el conjunto U es abierto en Rn si y s´lo si ∂U = ∅. Los puntos de a o U \ ∂U los llamaremos puntos interiores de U . Notemos que estos conceptos de interior y frontera no coinciden con los topol´gicos. o Sea U un subespacio abierto de un semiespacio en Rn . Diremos que una aplicaci´n f : U −→ Rm es diferenciable (de clase C k , etc.) en un punto p ∈ U o si existe un entorno abierto W de p en Rn y una aplicaci´n g : W −→ Rm o diferenciable (de clase C k , etc.) en el sentido usual y de modo que g |W ∩U = f . Notemos que si p ∈ ∂U entonces podemos tomar W ⊂ U y la condici´n / o equivale a que f sea diferenciable (en el sentido usual) en un entorno de p, es decir, a que f sea diferenciable en p en el sentido usual. Si f : U −→ V es un difeomorfismo de clase C 1 entre subespacios abiertos de semiespacios de Rn , entonces f [∂U ] = ∂V . En efecto, si p ∈ ∂U existe W ⊂ U / entorno abierto de p en Rn tal que f |W es diferenciable en el sentido usual, luego f [W ] ⊂ V es abierto en Rn , luego f (p) ∈ ∂V . / Sea f : U −→ Rm una aplicaci´n de clase C 1 definida en un subespacio o abierto de un semiespacio y p ∈ ∂U . Para i = 1, 2 sea gi : Wi −→ Rm una extensi´n de clase C 1 tal que Wi es abierto en Rn y gi |Wi ∩U = f . Entonces o o dg1 (p) = dg2 (p). En efecto, la aplicaci´n g = g1 − g2 es de clase C 1 en W = W1 ∩ W2 y es nula en todos los puntos del abierto W ∩ (U \ ∂U ). Sus derivadas parciales ser´n nulas en dicho abierto y por continuidad tambi´n lo ser´n en p. a e a Por consiguiente dg (p) = 0 y as´ dg1 (p) = dg2 (p). ı En consecuencia podemos definir df (p) = dg (p), donde g es cualquier extensi´n de f a un entorno de p en Rn . En particular podemos hablar de las o derivadas parciales sucesivas de f en los puntos frontera de su dominio, las cuales est´n completamente determinadas por f . a A partir de aqu´ todos los resultados v´lidos para funciones f : U −→ Rm de ı a clase C k donde U es un abierto en Rn se extienden trivialmente al caso en que U es un abierto en un semiespacio. Ahora podemos modificar nuestra definici´n o de variedad para admitir puntos frontera: Definici´n 10.2 Un conjunto S ⊂ Rm es una variedad diferenciable (con frono tera) de dimensi´n n ≤ m y de clase C q si para cada punto p ∈ S existe un eno o torno V de p, un abierto U en un semiespacio de Rn y una funci´n X : U −→ Rm de clase C q de modo que el rango de la matriz JX sea igual a n en todo punto y X : U −→ S ∩ V sea un homeomorfismo. 10.1. Variedades con frontera 359 En el resto de la secci´n la palabra “variedad” har´ referencia a variedades o a con frontera. Veamos en primer lugar que el teorema 5.4 vale tambi´n para e variedades con frontera, es decir, que si X : U −→ S es una carta de una variedad S de clase C q y u0 ∈ U , entonces existe un entorno G de u0 en Rn , un entorno V de X (u0 ) en Rm y una aplicaci´n g : V −→ G de clase C q tal que o (X |G∩U )−1 = g |V ∩S . En efecto, tenemos que JX (u0 ) tiene rango m´ximo, luego n de sus filas a tienen determinante no nulo. Por simplicidad podemos suponer que son las primeras. Entonces X (u) = X1 (u), X2 (u) , donde X1 tiene las n primeras coordenadas de X y X2 las restantes, de modo que JX1 (u0 ) tiene determinante no nulo. La funci´n X se extiende a una funci´n de clase C q en un entorno de o o ¯ u0 en Rn , luego lo mismo le ocurre a X1 . Sea X1 una extensin. Por el teorema o de inyectividad local y el teorema de la funci´n inversa obtenemos un entorno o ¯ ¯ G de u0 en Rn de modo que W = X1 [G] es abierto en Rn , X1 |G : G −→ W es ¯ biyectiva y (X1 |G )−1 es de clase C q . Sea V un abierto en Rm tal que X [U ] = V ∩ S , sea π : Rm −→ Rn la proyecci´n en las n primeras componentes, sea V = π −1 [W ] ∩ V y sea o ¯ o g = π ◦ (X1 |G )−1 , que es una funci´n de clase C q . Claramente X (u0 ) ∈ V . Si p ∈ V ∩ S ⊂ V ∩ S entonces p = X (u), para un cierto u ∈ U , adem´s a X1 (u) ∈ W , luego u ∈ G ∩ U y as´ p ∈ X [G ∩ U ]. ı Rec´ ıprocamente, si X (u) ∈ X [G ∩ U ], entonces X1 (u) ∈ W , luego tenemos X (u) ∈ V ∩ S y ¯ g X (u) = (X1 |G )−1 X1 (u) = u = (X |G∩U )−1 X (u) . As´ concluimos que (X |G∩U )−1 = g |V ∩S . ı Con esto la prueba del teorema 5.5 se adapta f´cilmente para probar la a versi´n para variedades con frontera: o Teorema 10.3 Sea S ⊂ Rm una variedad de dimensi´n n y de clase C q . Sea o p ∈ S y X : U −→ S ∩ V , Y : U −→ S ∩ V dos cartas alrededor de p. Sean V0 = V ∩ V , U0 = X −1 [V0 ], U0 = Y −1 [V0 ]. Entonces U0 y U0 son abiertos en o semiespacios de Rn y la aplicaci´n X ◦ Y −1 : U0 −→ U0 es biyectiva, de clase C q y con determinante jacobiano no nulo, con lo que su inversa es tambi´n de e clase C q . Definici´n 10.4 Sea S una variedad con frontera. Un punto p ∈ S es un punto o frontera de S si cuando X : U −→ S es una carta alrededor de p entonces las coordenadas X −1 (p) son un punto frontera de U . Por el teorema anterior esto no depende de la elecci´n de la carta. Llamaremos frontera de S al conjunto ∂S o de puntos frontera de S . Es claro que ∂S es cerrado en S (quiz´ vac´ y que S \ ∂S es una variedad a ıo) en el sentido del cap´ ıtulo V. De este modo las variedades sin frontera coinciden con las variedades con frontera cuya frontera es vac´ ıa. A partir de aqu´ toda la teor´ de variedades diferenciales se generaliza sin ı ıa dificultad para el caso de variedades con frontera: podemos definir los espacios 360 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes tangentes, la diferenciabilidad y la diferencial de aplicaciones entre variedades, etc. todo sin cambio alguno. S´lo hay una salvedad: podemos definir el proo ducto de una variedad con frontera por una variedad sin frontera, pero no el producto de dos variedades con frontera. La raz´n es que el producto de un o abierto en un semiespacio de Rm por un abierto en Rn es un abierto en un semiespacio en Rm+n , mientras que el producto de dos abiertos en dos semiespacios no es necesariamente un abierto en un semiespacio. Por ejemplo, el producto de dos semirrectas cerradas es un cuadrante cerrado en R2 , que no es un abierto en ning´n semiplano. Para admitir productos de variedades con u frontera tendr´ ıamos que definir variedades con esquinas. Por otra parte no es necesario generalizar el c´lculo integral al caso de variea dades con frontera. Si el lector se molesta en hacerlo demostrar´ que la frontera a de una variedad siempre tiene medida nula, luego en la pr´ctica podemos intea grar en el conjunto de puntos interiores. Ejemplo Una bola cerrada en Rn es una variedad cuya frontera coincide con su frontera topol´gica. En efecto, consideremos por ejemplo la bola B de centro o 0 y radio 1. Para cubrir los puntos interiores tomamos como carta la identidad en la bola abierta. Veamos ahora una carta que cubre los puntos frontera de la semiesfera xn > 0. Similarmente se cubren los puntos restantes. Definimos X : Rn−1 × ]0, 1] −→ B mediante X (u, r) = (ru, r) . (u, 1) Claramente el dominio U = Rn−1 × ]0, 1] es un abierto en el semiplano xn ≤ 1 y X puede extenderse hasta el abierto Rn−1 × ]0, +∞[ mediante la misma expresi´n, y ciertamente es de clase C ∞ . o Podemos ver X como sigue: dados (u, r) construimos el punto (u, 1) que est´ a en el plano tangente a la esfera por su polo norte, dividimos por su norma, con lo que pasamos a un punto de la esfera (distinto para cada valor de u) y luego multiplicamos por r, con lo que pasamos a un punto de la esfera de radio r. Teniendo esto en cuenta es claro que X es inyectiva. Concretamente su inversa es x1 xn−1 X −1 (x) = ,..., ,x , xn xn que es diferenciable, por lo que las diferenciales de X y X −1 son mutuamente inversas, luego JX tiene rango n. Ejercicio: Probar que una corona esf´rica cerrada (es decir, una bola cerrada menos e una bola abierta conc´ntrica) es una variedad con frontera. e Ejercicio: Probar que un casquete esf´rico cerrado es una variedad con frontera. e Ejercicio: Probar que un cuadrado cerrado menos sus cuatro v´rtices es una variedad e con frontera. (Con los v´rtices ser´ una variedad con esquinas.) e ıa 10.1. Variedades con frontera 361 Ejercicio: Definimos el toro s´lido de radios r y R (tales que 0 < r < R) como la o imagen de R2 × [0, r] por la aplicaci´n o X (u, v, ρ) = (R cos v + ρ cos u cos v, R sen v + ρ cos u sen v, ρ sen u). Probar que es una variedad cuya frontera es igual al toro de radios r y R. Vamos a probar que la frontera de una variedad S es a su vez una variedad (sin frontera) de una dimensi´n menos. Para ello probamos el teorema siguiente, o que adem´s nos permitir´ relacionar las orientaciones de S y ∂S . a a Teorema 10.5 Sea S una variedad de dimensi´n n > 1 y sea p ∈ ∂S . Entonces o n−1 p puede cubrirse por una carta X : U −→ V ∩ S tal que U = ]−1, 0] × ]−1, 1[ , los puntos de V ∩ ∂S son exactamente los puntos de V ∩ S tales que x1 = 0, los puntos de V ∩ S \ ∂S son los puntos de V ∩ S tales que x1 < 0 y p = X (0, . . . , 0). Si S es orientable la carta puede tomarse positiva. ´ Demostracion: En principio podemos tomar una carta cuyo dominio sea un abierto en un semiespacio de modo que los puntos de la frontera tengan coordenadas en un cierto hiperplano af´ de Rn . Componiendo la carta con una ın aplicaci´n af´ (que es de clase C ∞ ) podemos exigir que dicho hiperplano sea o ın au x1 = 0 y que el semiespacio de coordenadas sea x1 ≤ 0. M´s a´n, podemos exigir que las coordenadas de p sean nulas. El dominio de la carta ser´ un a entorno de 0, luego contendr´ un semicubo de centro 0. Componiendo con una a homotecia podremos conseguir que contenga el semicubo U del enunciado y restringiendo la carta a U tenemos una carta en las condiciones pedidas. Si S est´ orientada y la carta que hemos obtenido es negativa basta tomar la carta a ¯ X (x1 , . . . , xn ) = X (x1 , . . . , xn−1 , −xn ) y pasamos a tener una carta positiva (aqu´ usamos que n > 1). ı Teorema 10.6 Sea S una variedad de dimensi´n n y clase C q con frontera no o vac´ Entonces ∂S es una variedad (sin frontera) de dimensi´n n − 1 y clase ıa. o C q . Basta tomar como cartas las de la forma Y (x2 , . . . , xn ) = X (0, x2 , . . . , xn ), donde X es una carta del tipo dado por el teorema anterior (con lo que Y est´ a n−1 definida sobre el cubo ]−1, 1[ ). Si S es orientable y tomamos s´lo cartas o positivas obtenemos un atlas orientado para ∂S . ´ Demostracion: Por el teorema anterior todo punto de ∂S es cubrible por una de estas cartas. Claramente son de clase C q y JY (x2 , . . . , xn ) se obtiene e quitando la primera fila a JX (0, x2 , . . . , xn ), luego su rango es n − 1. Tambi´n n−1 es evidente que Y : ]−1, 1[ −→ V ∩ ∂S es un homeomorfismo. Supongamos ahora que S es orientable y que tenemos dos cartas positivas Y1 e Y2 que cubran a un mismo punto, obtenidas a partir de cartas X1 y X2 . − Consideremos la aplicaci´n g = X1 1 ◦ X2 . Tenemos que g1 (0, x2 , . . . , xn ) = o 0 para todas las coordenadas (x2 , . . . , xn ), pues g hace corresponder puntos frontera de U1 con puntos frontera de U2 . Por lo tanto Di g1 (x2 , . . . , xn ) = 0 362 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes para todo i > 1, luego la matriz jacobiana de g es de la forma D1 g1 ∗ · · · ∗ 0 Jg (0, x2 , . . . , xn ) = . . . A 0 Sea h = Y1−1 ◦ Y2 . Claramente h = ι ◦ g ◦ π , donde ι(x2 , . . . , xn ) = (0, x2 , . . . , xn ) y π (x1 , . . . , xn ) = (x2 , . . . , xn ). Considerando las matrices jaı cobianas concluimos f´cilmente que Jh(x2 , . . . , xn ) = A. As´ pues a |Jg (0, x2 , . . . , xn )| = D1 g1 (0, x2 , . . . , xn ) |Jh(x2 , . . . , xn )|. Como las cartas X1 y X2 son positivas tenemos que primer determinante es positivo. Si probamos que D1 g1 (0, x2 , . . . , xn ) > 0 tendremos que el determinante de Jh ser´ positivo tambi´n, y esto probar´ que Y1 e Y2 tienen la misma a e a orientaci´n. Ahora bien, o g1 (r, x2 , . . . , xn ) . r →0 r D1 g1 (0, x2 , . . . , xn ) = l´ ım Si r < 0 estamos en las coordenadas de un punto de S , luego g (r, x2 , . . . , xn ) es la primera coordenada de dicho punto en la carta X2 , luego g (r, x2 , . . . , xn ) < 0, luego el cociente es positivo y el l´ ımite (que ciertamente es no nulo) es tambi´n e positivo. En lo sucesivo, cuando S sea una variedad orientada sobreentenderemos que ∂S tiene la orientaci´n dada por el teorema anterior. o Xu Xv Ejemplo Consideremos la variedad con frontera S indicada en la figura dotada de la orientaci´n usual. Eno tonces ∂S queda orientada de modo que al recorrerla en sentido positivo giramos en sentido contrario a las agujas del reloj. En efecto, dado un punto p en la frontera de coordenadas (0, v0 ), sea X una carta positiva que lo cubra. La curva X (u, v0 ) est´ dentro de S cuando u < 0 y fuera de S cuando u > 0 (recordemos que las a coordenadas se pueden extender un poco fuera de S ). Por consiguiente el vector Xu apuntar´ hacia fuera de S . Como la base (Xu , Xv ) ha de ser positiva, el a o vector Xv ha de marcar la direcci´n de giro antihoraria. En el teorema anterior hemos adoptado los convenios necesarios para que esto sea as´ ı. En cambio, si la variedad tiene un agujero, la frontera del mismo quedar´ orientada en sentido horario (el vector a Xu apuntar´ hacia el interior del agujero). Es f´cil ver a a en general que si V ⊂ Rm es una variedad de dimensi´n o m con la orientaci´n natural en Rm (la dada por la base o can´nica), entonces la orientaci´n en ∂V es la inducida por el vector normal que o o apunta hacia fuera de V . 10.2. La diferencial exterior 10.2 363 La diferencial exterior Recordemos que nos dirigimos hacia la prueba del teorema de Stokes generalizado, que nos da una relaci´n de la forma o dω = S ω. ∂S Ahora ya sabemos qu´ debemos entender por ∂S , pero nos falta definir la e diferencial de una k -forma arbitraria ω , que ha de ser una k + 1-forma. La idea b´sica es muy simple: la diferencial de la n-forma f dx1 ∧ · · · ∧ dxk ser´ la a a k + 1-forma df ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxk . Sin embargo, esto no nos sirve como definici´n, o pues hemos de justificar que el resultado no depende del sistema de coordenadas con el que trabajamos. Como al diferencial perdemos un grado de derivabilidad, para evitar cuestiones t´cnicas al respecto a partir de ahora supondremos que e todas las variedades y funciones que consideremos ser´n de clase C ∞ . El lector a puede entretenerse relajando las hip´tesis de derivabilidad en cada caso hasta o las estrictamente necesarias. Todos los resultados valen para variedades con frontera. Teorema 10.7 Si S es una variedad diferenciable existe una unica aplicaci´n ´ o lineal d : Λ(S ) −→ Λ(S ) que cumple las propiedades siguientes: a) Si f ∈ Λ0 (S ), entonces df es la diferencial de f en el sentido usual. b) Para cada ω ∈ Λk (S ) se cumple que dω ∈ Λk+1 (S ). c) Si ω1 ∈ Λk (S ) y ω2 ∈ Λ(S ), entonces d(ω1 ∧ ω2 ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 . d) d2 = d ◦ d = 0. e) Si ω ∈ Λ(S ) se anula en un abierto V ⊂ S entonces dω tambi´n se anula e en V . ´ Demostracion: En primer lugar probaremos que la ultima propiedad es ´ consecuencia de las anteriores. Para cada p ∈ V existe una funci´n {p} ≺ f ≺ V . o Entonces la forma f ω es nula, y como la diferencial es lineal ha de ser 0 = d(f ω ) = df ∧ ω + f ∧ dω, luego dω (p) = (f ∧ dω )(p) = −df (p) 0 = 0. Notemos que la propiedad e) junto con la linealidad de la diferencial prueba que si dos formas coinciden en un abierto de S entonces sus diferenciales tambi´n e coinciden. Ahora probamos que si existe la diferencial es unica. Tomemos un punto ´ p ∈ S y sea X : U −→ V ⊂ S una carta alrededor de p. Tomemos un entorno de p cuya clausura K sea compacta y est´ contenida en V . Sea K ≺ f ≺ V . e 364 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Si ω ∈ Λk (S ) entonces ω |V se expresa como ωi1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , (10.1) 1≤i1 <···<ik ≤n para ciertas funciones ωi1 ···ik de clase C ∞ en V . La forma f ω coincide con ω en un entorno de p y sus coeficientes son las funciones ωi1 ···ik = f ωi1 ···ik . Estas funciones se anulan fuera de un compacto ¯ contenido en V , luego podemos extenderlas a funciones de clase C ∞ en S haciendo que tomen el valor 0 fuera de V . Similarmente, las funciones yi = f xi extendidas como 0 fuera de U son de clase C ∞ en S y coinciden con las xi en un entorno de p. Por consiguiente dyi coincide con dxi en un entorno de p. As´ ı pues, la forma f ω (y por consiguiente ω ) coincide con la forma ωi1 ···ik dyi1 ∧ · · · ∧ dyik ¯ ω= ¯ 1≤i1 <···<ik ≤n en un entorno de p. Ahora calculamos dωi1 ···ik ∧ dyi1 ∧ · · · ∧ dyik , ¯ dω = ¯ 1≤i1 <···<ik ≤n pues una simple inducci´n prueba a partir de c) y d) que d(dyi1 ∧ · · · ∧ dyik ) = 0. o Teniendo en cuenta que la diferencial depende s´lo del comportamiento local de o las formas llegamos a que dωi1 ···ik (p) ∧ dxi1 (p) ∧ · · · ∧ dxik (p). dω (p) = (10.2) 1≤i1 <···<ik ≤n Ahora bien, por la propiedad a) tenemos que el miembro derecho de la igualdad anterior es el mismo cualquiera que sea la funci´n d que cumpla las o propiedades del enunciado. En consecuencia la diferencial exterior es unica. ´ Veamos que toda variedad cubrible por una sola carta tiene una diferencial exterior. En tal caso toda k -forma ω se expresa de forma unica como (10.1). ´ Para cada punto p definimos dω (p) mediante (10.2). Claramente dω as´ defiı nida es una k + 1-forma (de clase C ∞ ) y la diferencial d es lineal. Las unicas ´ propiedades que no son evidentes son c) y d). Puesto que los dos miembros de la igualdad c) son lineales en ω1 y ω2 , basta probar que se da la igualdad cuando ω1 = f1 dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , ω2 = f2 dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr . Entonces ω1 ∧ ω2 = f1 f2 dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr , luego d(ω1 ∧ ω2 ) = (f2 df1 + f1 df2 ) ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr 10.2. La diferencial exterior 365 = f2 df1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr +f1 df2 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr = df1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ f2 dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr +(−1)k f1 dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ df2 ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 . Del mismo modo, basta comprobar que d) se cumple para una forma de tipo ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . Entonces dω = df ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik y basta ver que d2 = 0 al actuar sobre 0-formas, pues una inducci´n usando la o propiedad c) ya demostrada nos da el caso general de d). Veamos, pues, que d(df )) = 0. En efecto, sabemos que n df = i=1 ∂f dxi . ∂xi En consecuencia n d(d(f )) = d i=1 ∂f ∧ dxi = ∂xi 2 = 1≤i<j ≤n n n i=1 j =1 ∂2f dxj ∧ dxi ∂xi ∂xj ∂f ∂2f − ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi dxj ∧ dxi = 0. Consideremos finalmente una variedad arbitraria S . Si p ∈ S y V es la imagen de una carta que cubre a p, entonces tenemos definida una diferencial exterior dV en Λ(V ). Para cada forma ω ∈ λ(S ), definimos dω (p) = dV (ω |V )(p). Veamos que la forma dω (p) no depende de la elecci´n de V . o Si tomamos dos cartas X e Y con im´genes V1 y V2 entonces V1 ∩ V2 tambi´n a e es la imagen de una carta, luego tambi´n tenemos definida una diferencial exe terior en Λ(V1 ∩ V2 ). Ahora bien, si ω |V admite la expresi´n (10.1), entonces o ω |V1 ∩V2 admite la misma expresi´n (restringiendo las funciones ωi1 ···ik y xij a o V1 ∩ V2 ). Por consiguiente dV (ω |V1 )(p) = dV1 ∩V2 (ω |V1 ∩V2 )(p), pues ambas vienen dadas por (10.2). Por otro lado dV (ω |V2 )(p) = dV1 ∩V2 (ω |V1 ∩V2 )(p). Ahora usamos que la diferencial en Λ(V1 ∩ V2 ) es la misma independientemente de la carta con la que se calcula (por la unicidad que hemos probado) y concluimos que dV (ω |V1 )(p) = dV (ω |V2 )(p), como quer´ ıamos probar. Con esto tenemos definida una aplicaci´n d : Λ(S ) −→ Λ(S ). Notemos que o dω es realmente una forma de clase C ∞ porque si p ∈ S y V es la imagen de e una carta que cubre a p tenemos que (dω )|V = dV (ω |V ) y ´sta es una forma de clase C ∞ . Esta misma relaci´n justifica tambi´n que d es lineal, as´ como que o e ı verifica las propiedades del enunciado. 366 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Si no suponemos que las formas son de clase C ∞ podemos definir igualmente la diferencial de una forma de clase C k como una forma de clase C k−1 y todas las propiedades del teorema anterior se cumplen igualmente con las restricciones obvias. Por ejemplo, para d(dω )) = 0 hemos de exigir que ω sea al menos de clase C 2 . Veamos algunos casos particulares de la diferencial exterior: Definici´n 10.8 Sea F : U ⊂ R3 −→ R3 un campo de vectores definido sobre o un abierto U . El rotacional de F es el campo rot F : U −→ R3 dado por rot F = e1 ∂ ∂x F1 e2 ∂ ∂y F2 e3 ∂ ∂z F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂ F3 − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = . Por supuesto que el determinante intermedio es s´lo una regla mnemot´cnica, o e que tambi´n puede abreviarse como rot F = ∇∧ F . La relaci´n con la diferencial e o exterior es la siguiente: seg´n vimos en el cap´ u ıtulo anterior, al campo F le podemos asociar la 1-forma F dr = F1 dx + F2 dy + F3 dz . La diferencial de esta forma es ∂ F3 ∂F2 d(F dr) = dF1 ∧ dx + dF2 ∧ dy + dF3 ∧ dz = − dy ∧ dz ∂y ∂z ∂ F1 ∂F3 ∂ F2 ∂F1 + − dz ∧ dx + − dy ∧ dz ∂z ∂x ∂x ∂y = dΦ(rot F )). Es decir, la diferencial del elemento de circulaci´n de F es el elemento de o flujo del rotacional de F . Si f : U −→ R es un campo escalar, es claro que df = ∇f dr, luego 0 = d2 f = d(∇f dr) = dΦ(rot ∇f )), de donde se sigue la relaci´n o rot ∇f = 0, para todo campo escalar f . Definici´n 10.9 Sea F : U ⊂ Rn −→ Rn un campo de clase C ∞ en un abierto o U . La divergencia de F es el campo escalar div F : U −→ R dado por div F = ∂F1 ∂Fn + ··· + . ∂x1 ∂xn Claramente n d(dΦ(F )) (−1)i+1 dFi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn = i=1 n (−1)i+1 = i=1 n = i=1 ∂Fi dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn ∂xi ∂Fi dx1 ∧ · · · ∧ dxn = div F dm. ∂xi 10.3. El teorema de Stokes 367 As´ pues, la diferencial del elemento de flujo de F es la divergencia por el ı elemento de volumen de Rn . En particular, si n = 3 y aplicamos esto a rot F resulta div rot F dm = d(dΦ(rot F )) = d(d(F dr)) = 0, luego div rot F = 0, para todo campo vectorial F . El teorema de Stokes, que probaremos en la secci´n siguiente, no s´lo nos o o permitir´ aprovechar estos conceptos que acabamos de introducir, sino que nos a dar´ interpretaciones geom´tricas de los mismos. a e Conviene observar que en algunos contextos usamos la letra d para indicar algo que no es una diferencial exterior. As´ por ejemplo, el elemento de medida ı dm no es la diferencial exterior de ninguna forma m, ni tampoco lo es en general el elemento de flujo de un campo dΦ(F ). En estos caso la d s´lo indica que la o medida se obtiene integrando dm o que el flujo se obtiene integrando dΦ(F ), pero ser´ incorrecto afirmar cosas como que d(dΦ(F )) = 0. ıa Terminamos la secci´n con una propiedad importante de la diferencial: o Teorema 10.10 Sea f : S − T una aplicaci´n de clase C ∞ entre variedades. o Entonces la retracci´n f : Λ(T ) −→ Λ(S ) conmuta con la diferencial exterior, o es decir, f (dω ) = df (ω ), para toda ω ∈ Λ(T ). ´ Demostracion: Es claro que el valor de ambas formas en un punto p depende unicamente de los valores que toma ω en un entorno de f (p), luego ´ no perdemos generalidad si suponemos que T es el rango de una carta Y de coordenadas y1 , . . . , yn . En tal caso basta probar que f d(g dyi1 ∧ · · · ∧ dyik ) = d f (g dyi1 ∧ · · · ∧ dyik ) . Ahora bien, ambos miembros son d(f ◦ g ) ∧ d(f ◦ yi1 ) ∧ · · · ∧ d(f ◦ yik ). 10.3 El teorema de Stokes Ahora ya tenemos todos los elementos necesarios para enunciar el Teorema de Stokes. Sin embargo debemos introducir algunos m´s que nos servir´n de a a ayuda en la demostraci´n. o Definici´n 10.11 Un n-cubo es un conjunto de la forma o S = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], donde ai < bi son n´meros reales. La frontera (topol´gica) de S en Rn est´ u o a formada por la uni´n de los 2n conjuntos o 0 Si = [a1 , b1 ] × · · · × {ai } × · · · × [an , bn ], 1 Si = [a1 , b1 ] × · · · × {bi } × · · · × [an , bn ], a los que llamaremos caras del cubo. i = 1, . . . , n, 368 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Una forma diferencial en un cubo S es simplemente una forma diferencial definida en un abierto de Rn que contenga a S . Consideraremos a dicho abierto como variedad orientada, tomando a la identidad como carta positiva (con lo que la base can´nica de Rn es positiva). En particular tenemos definida la o integral de una n-forma sobre un n-cubo. Si ω es una n − 1-forma en un cubo S , donde n > 1, vamos a definir la integral de ω sobre ∂S . Para ello comenzamos definiendo la integral sobre cada cara. Consideramos primero una forma de tipo ω (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn . k La integral de ω sobre la cara Sj (para j = 1, . . . , n y k = 0, 1) se define como igual a 0 si j = i y en caso contrario mediante ω C ω 1 Si f (x1 , . . . , ai , . . . , xn ) dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn , = 0 Si f (x1 , . . . , bi , . . . , xn ) dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn , = C donde C = [a1 , b1 ] × · · · × [ai−1 , bi−1 ] × [ai+1 , bi+1 ] × · · · × [an , bn ]. Una n − 1-forma arbitraria se descompone de forma unica en suma de n for´ mas del tipo anterior (en cada una de las cuales falta un dxi distinto). Definimos k su integral sobre la cara Si como la suma de las integrales de estas n formas. As´ tenemos definida S k ω para cualquier n − 1-forma sobre S . La integral es ı i obviamente lineal en ω . Finalmente definimos n (−1)i ω= ∂S i=1 0 Si ω− ω. 1 Si Conviene entender por qu´ es ´sta la definici´n coe e o Z rrecta de integral sobre ∂S . Pensemos por ejemplo en un cubo tridimensional. Seg´n la f´rmula las integrales u o sobre caras opuestas se suman con signos opuestos. Concretamente tienen signo positivo las dos que en la figura Y aparecen sombreadas m´s la situada sobre el plano XZ , a que no se ve. Nuestra intenci´n es tratar al cubo como o si fuese una variedad con frontera. No lo es a causa de X que la frontera tiene aristas donde no es diferenciable, pero a efectos de la integraci´n esto no va a afectar porque las aristas tienen area nula, y el teorema o ´ de Stokes va a ser cierto tambi´n sobre el cubo. La orientaci´n que debemos e o imponer a la frontera en analog´ con las variedades es la inducida por el vector ıa normal que apunta hacia fuera del cubo. Supongamos que queremos integrar una forma de tipo f (x, y, z ) dx ∧ dz . Es claro que s´lo van a influir las caras con o y constante, pues dx es nula en las caras con x constante y dz es nula en las caras con z constante. 1 Para integrar la forma sobre Sy (la cara que en la figura queda a la derecha) consideramos la carta X (x, z ) = (x, y0 , z ). La base asociada en el plano tangente 10.3. El teorema de Stokes 369 de cada punto es Xx = (1, 0, 0), Xz = (0, 0, 1), y por consiguiente Xx ∧ Xz = (0, −1, 0), que apunta hacia dentro del cubo, luego la carta es negativa y la integral es f dx ∧ dz = − 1 Sy f (x, y0 , z ) dxdz, C y el signo corresponde con el que hemos establecido en la definici´n. En cambio, o si la integral es sobre la cara opuesta, ahora el vector (0, −1, 0) s´ que apunta ı hacia fuera del cubo, luego la carta es positiva y no hay que cambiar el signo, tal y como indica la definici´n. o Mediante este tipo de razonamientos es posible justificar que la definici´n o que hemos dado hace que la integral sobre ∂S sea la correcta respecto a la orientaci´n de las caras inducida por la orientaci´n usual del interior del cubo, o o es decir, la que hace positiva una base de una cara si al a˜adirle como primer n vector uno que apunte hacia fuera del cubo obtenemos una base positiva de Rn . De todos modos esto no es muy importante, pues s´lo vamos a usar las o integrales sobre cubos como un paso previo a la prueba del teorema de Stokes sobre variedades orientadas. Ejercicio: Representar gr´ficamente la orientaci´n de la frontera de un cuadrado a o seg´n la definici´n que hemos dado. u o Si definimos la integral de una 0-forma sobre la frontera de un 1-cubo, es decir, de una funci´n f sobre los extremos de un intervalo S = [a, b], como o f = f (b) − f (a), ∂S el teorema siguiente tiene sentido para n = 1 y entonces no es m´s que la regla a de Barrow: Teorema 10.12 (Teorema de Stokes para un cubo) Sea S un n-cubo y ω una n − 1-forma en S . Entonces dω = S ω. ∂S ´ Demostracion: Seg´n acabamos de comentar, el caso n = 1 es simpleu mente la regla de Barrow. Supongamos, pues n > 1. Por la linealidad de la integral y de la diferencial es suficiente probar el teorema cuando la forma es ω (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn . k Por definici´n la integral de ω es nula sobre todas las caras de S excepto Si , o para k = 0, 1. As´ pues, ∂ S ω es igual a ı (−1)i f (x1 , . . . , ai , . . . , xn )−f (x1 , . . . , bi , . . . , xn ) dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn , C 370 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes donde C es el cubo que resulta de eliminar el i-´simo intervalo a S . Por otro e lado, dω = df ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn ∂f = dxi ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn ∂xi ∂f = (−1)i−1 dx1 ∧ · · · ∧ dxn . ∂xi As´ pues, ı dω = (−1)i−1 S S ∂f dx1 · · · dxn . ∂xi Por el teorema de Fubini podemos integrar primero respecto a dxi , para lo cual aplicamos la regla de Barrow y queda (−1)i−1 f (x1 , . . . , bi , . . . , xn )−f (x1 , . . . , ai , . . . , xn ) dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn , C que coincide con la integral sobre la frontera. Teorema 10.13 (Teorema de Stokes generalizado) Sea S una variedad diferenciable orientable de dimensi´n n > 1 y ω una n − 1-forma en S de soporte o compacto.1 Entonces dω = S ω. ∂S ´ Demostracion: Vamos a definir para cada punto p ∈ S un entorno Vp en S . Si p es un punto interior tomamos una carta positiva Xp : Up −→ S alrededor de p, donde Up es una bola abierta en Rn . Tomamos un cubo Cp ⊂ Up que contenga en su interior al vector de coordenadas de p y llamamos Vp a la imagen por Xp del interior de Cp (que obviamente es un entorno de p en S . Si p ∈ ∂S tomamos una carta positiva Xp : Up −→ S de modo que n−1 Up = ]−2, 0] × ]−2, 2[ , Xp (0, . . . , 0) = p y los puntos de ∂S en Xp [Up ] sean exactamente los que cumplan o x1 = 0 (una leve modificaci´n de la prueba del teorema 10.5 prueba la existencia de tal carta). Es claro que Xp induce una carta positiva en ∂S . Llamamos Cp = [−1, 0] × [−1, 1]n−1 , que es un entorno de 0 en Up y tomamos como Vp n−1 la imagen por Xp del interior de Cp , es decir, de ]−1, 0] × ]−1, 1[ , que es un entorno de p en S . Los abiertos Vp cubren el soporte de ω , que por hip´tesis es compacto, luego o existe un subcubrimiento finito formado por los abiertos Vp1 , . . . , Vpr . Por el teorema 7.27 existen funciones h1 , . . . , hr en S (que seg´n hemos comentado las u podemos tomar de clase C ∞ ) de modo que hi ≺ Vpi y h1 + · · · + hr toma el valor 1 sobre cada punto del soporte de ω . 1 Un an´lisis de la prueba muestra que basta exigir que S sea de clase C 2 y ω de clase C 1 . a 10.3. El teorema de Stokes 371 Sea ωi = hi ω , que claramente es una n − 1-forma (de clase C ∞ ) con soporte compacto contenido en Vpi . El complementario del soporte de ωi es un abierto e donde ωi se anula, luego lo mismo le ocurre a dωi , es decir, que dωi tambi´n tiene el soporte contenido en Vpi . Adem´s ω = ω1 + · · · + ωr , luego a r r dω = S r dωi = i=1 S dωi , i=1 r ω= Vpi ∂S ωi = i=1 ∂S i=1 Vpi ∩∂S ωi . Por consiguiente basta probar que dωi = Vpi Vpi ∩∂S ωi , es decir, hemos reducido el problema al caso local en que el soporte de la forma est´ contenido en el rango de una carta. Por simplificar la notaci´n eliminaremos a o los sub´ ındices, que son ya innecesarios. Hemos de probar que dω = ω, (10.3) Vp ∩∂S Vp donde ω es una n−1-forma con soporte compacto contenido en Vp . Por linealidad podemos suponer adem´s que a ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn . Llamemos ω ∗ = (Xp ◦ f ) dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn , que es una n − 1-forma definida en Up cuyo soporte es la antiimagen por el homeomorfismo Xp del soporte de ω , el cual estar´ contenido en la antiimagen a de Vp , que es el interior del cubo Cp . Como en teorema anterior, vemos que dω = (−1)i−1 ∂f dx1 ∧ · · · ∧ dxn . ∂xi Para calcular el primer miembro de (10.3) transformamos la integral mediante la carta Xp , con lo que obtenemos (−1)i−1 Xp ◦ Cp ∂f ∂xi dx1 ∧ · · · ∧ dxn . Teniendo en cuenta la definici´n de la derivada parcial de una funci´n en una o o variedad es claro que ∂f ∂ (Xp ◦ f ) Xp ◦ = , ∂xi ∂xi y al calcular igualmente dω ∗ obtenemos dω ∗ . dω = Vp Cp 372 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Con esto podemos probar (10.3) en el caso en que p es un punto interior de S . En efecto, entonces Vp no corta a ∂S , luego el segundo miembro es nulo. Por a otra parte, el soporte de ω ∗ est´ contenido en el interior del cubo Cp , luego ω ∗ es nula en ∂Cp , luego el teorema de Stokes para un cubo nos da que dω ∗ = dω = Vp Cp ω ∗ = 0. ∂ Cp As´ pues, en adelante supondremos que p ∈ ∂S . Para evaluar el segundo ı miembro de (10.3) usamos la carta positiva X (0, x2 , . . . , xn ). Notemos que en Vp ∩ ∂S la funci´n x1 es constante, luego dx1 = 0. Supongamos primero i = 1. o La carta transforma Vp ∩ ∂S en la cara (Cp )1 del cubo, luego 1 ω= Vp ∩∂S (Cp )1 1 f Xp (0, x2 , . . . , xn ) dx2 · · · dxn = ω∗ , (Cp ) 1 1 (la ultima igualdad por definici´n de integral sobre una cara). La igualdad ´ o ω∗ ω= Vp ∩∂S (Cp )1 1 es v´lida aunque sea i = 1, pues en tal caso ω es nula en Vp ∩ ∂S y el miembro a derecho es nulo por definici´n. En definitiva, la igualdad (10.3) que tenemos o que probar se reduce a dω ∗ = ω∗ . (Cp )1 1 Cp Por el teorema de Stokes para un cubo basta probar que ω∗ = ∂ Cp ω∗ . (Cp )1 1 Ahora bien, ω ∗ tiene el soporte contenido en la antiimagen por Xp de Vp , n−1 que es ]−1, 0] × ]−1, 1[ , lo que significa que ω ∗ es nula sobre todas las caras 1 de Cp salvo quiz´ (Cp )1 , y aplicando la definici´n de integral sobre la frontera a o de un cubo tenemos la igualdad anterior. El teorema anterior engloba a muchos casos particulares conocidos desde mucho antes, uno de ellos el Teorema de Stokes propiamente dicho, que se obtiene al aplicarlo al elemento de circulaci´n de un campo en R3 a trav´s de o e una curva. Teorema 10.14 (Teorema de Stokes) Sea S una superficie compacta orientable contenida en un abierto U ⊂ R3 y sea F : U −→ R3 un campo vectorial. Entonces (rot F )n dσ = S F dr, ∂S donde n es el vector normal a S que determina su orientaci´n. o 10.3. El teorema de Stokes 373 En otras palabras: el flujo del rotacional a trav´s de la superficie es igual a su e circulaci´n en la frontera. Es consecuencia inmediata de la relaci´n d(F dr) = o o dΦ(rot F ), que demostramos en la secci´n anterior. La compacidad de la supero ficie implica la del soporte de la forma. Consideremos ahora la relaci´n d(dΦ(F )) = div F dm, que demostramos en o la secci´n anterior. Al aplicarle el teorema de Stokes generalizado obtenemos o otro importante teorema cl´sico debido a Gauss: a Teorema 10.15 (Teorema de la divergencia) Sea V ⊂ Rm una variedad compacta de dimensi´n m contenida en un abierto U . Sea F : U −→ Rm un o campo vectorial. Entonces div F dm = V F n dσ, ∂V donde n es el vector normal a ∂V que apunta hacia fuera de V . En otros t´rminos, el flujo de un campo a trav´s de una superficie cerrada e e es igual a la integral de la divergencia sobre el recinto que limita. Ejemplo El campo F (x) = x cumple div F = n, luego el teorema de la divergencia nos da una f´rmula para el volumen n-dimensional V encerrado por o una superficie S : 1 V= dΦ(x). nS Destacamos los casos particulares n = 2 y n = 3. El area de una figura ´ plana limitada por una curva C es A= 1 2 x dy − y dx. C El volumen de una regi´n del espacio limitado por una superficie S es o V= 1 3 x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy. S Por ejemplo, la elipse de semiejes a y b admite la parametrizaci´n x = a cos t, o y = b sen t. Por consiguiente su area es ´ A= 1 2 2π (ab cos2 t + ab sen2 t) dt = πab. 0 Ejercicio: Calcular el ´rea de la cardioide mediante la f´rmula anterior. a o 374 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Consideremos el campo F : Rn+1 −→ Rn+1 dado por Ejemplo F (x) = x , r para un r > 0. Sobre los puntos de la esfera de centro 0 y radio r coincide con el vector normal unitario de la misma, luego F n = 1. As´ pues, el teorema de ı la divergencia nos da que el area de la esfera vale ´ dσ = S F n dσ = S div F dm = B B n+1 dm = (n + 1)vn+1 rn = σn rn , r donde B es la bola de centro 0 y radio r y vn+1 es el volumen de la bola unitaria de dimensi´n n + 1. Obtenemos de nuevo la relaci´n σn = (n + 1)vn+1 , que ya o o hab´ ıamos obtenido en el cap´ ıtulo anterior. 10.4 Aplicaciones del teorema de Stokes El rotacional en hidrodin´mica El teorema cl´sico de Stokes nos da una a a interpretaci´n importante del rotacional en hidrodin´mica. Supongamos que o a V es el campo de velocidades de un fluido tal y como consider´bamos en el a cap´ ıtulo anterior. Supongamos que en su seno situamos una peque˜a rueda que n pueda girar en torno a un eje fijo. Formalmente, sea S un disco cerrado de centro p y radio r (contenido en el dominio de V , o sea, en R3 , con cualquier inclinaci´n). Sea C la circunferencia que lo bordea y sea n un vector unitario o normal al mismo. Dado > 0, existe un entorno U de p tal que |(rot V )(p)n − (rot V )(x)n| < para todo x ∈ U . Si tomamos r suficientemente peque˜o para que la rueda est´ n e contenida en U , entonces (rot V )(p)n − πr2 ≤ (rot F )n dσ ≤ (rot V )(p)n − πr2 . S Por otra parte, vimos en el cap´ ıtulo anterior que V dr = 2πr2 ωr , C donde ωr es la velocidad angular que el fluido transmite a la rueda. Aplicando el teorema de Stokes llegamos a que |(rot V )(p)n − 2ωr | ≤ , para todo r suficientemente peque˜o, es decir, n (rot V )(p)n = 2 l´ ωr . ım r →0 As´ pues, la velocidad angular que adquirir´ la rueda es (aproximadamente) ı a la mitad de la proyecci´n del rotacional sobre el eje de giro. Claramente el o rotacional indica la direcci´n en que hemos de situar el eje para que la velocidad o de rotaci´n sea m´xima. o a 10.4. Aplicaciones del teorema de Stokes 375 La ecuaci´n de continuidad Sea V el campo de velocidades de un fluido o y sea ρ su densidad (ambos dependen de la posici´n y del tiempo). Sea p un o punto cualquiera y S una esfera de centro p. En el cap´ ıtulo anterior vimos que el flujo del campo A = ρV a trav´s de S se interpreta como la masa de fluido e que sale de S por unidad de tiempo. La cantidad de fluido contenida en S en un instante dado es la integral de ρ sobre la bola B de frontera S , luego la variaci´n o de esta masa es d ∂ρ dm. ρ dm = dt B B ∂t Sea r el radio de B y ψr (p) = 1 m(B ) B ∂ρ dm + ∂t div A dm . B As´ ψr (p)m(B ) es el aumento de la masa de fluido en B por unidad de ı, tiempo menos la cantidad de masa que entra en B a trav´s de S por unidad de e tiempo. Por consiguiente ψr (p) es la cantidad de masa que se crea en B por unidad de tiempo y de volumen (la masa que aparece en B sin entrar por su frontera). El mismo argumento que hemos empleado en la interpretaci´n del o rotacional nos da ahora que ψ (p) = l´ ψr (p) = ım r →0 ∂ρ (p) + div A(p), ∂t donde ψ (p) representa la cantidad de fluido que se crea alrededor de p por unidad de tiempo y de volumen. La ecuaci´n o div A = ψ − ∂ρ . ∂t (10.4) se denomina ecuaci´n de continuidad de la hidrodin´mica, y expresa la consero a vaci´n de la masa. o Los puntos donde ψ > 0 se llaman fuentes (son puntos donde aparece fluido) y los puntos donde ψ < 0 se llaman sumideros (en los cuales desaparece fluido). Si ρ es constante el fluido se llama incompresible y entonces la ecuaci´n o fundamental se reduce a que ρ div V en un punto p es igual a la cantidad de fluido que se crea alrededor de p por unidad de masa y de volumen. Si no hay fuentes ni sumideros la conservaci´n de la masa se traduce en la o ecuaci´n div V = 0. o La ecuaci´n de Euler Veamos ahora la versi´n hidrodin´mica de la segunda o o a ley de Newton. Recordemos que ´sta afirma que F = ma, donde F es la fuerza e total que act´a sobre un cuerpo de masa m y a es la aceleraci´n del mismo. u o Vamos a aplicarla a un elemento infinitesimal de fluido. Si llamamos V (x, t) a la velocidad del fluido en el punto x y en el instante t, entonces una part´ ıcula de fluido sigue una trayectoria X (t), de modo que X (t) = V (X (t), t). La aceleraci´n a(x, t) ser´ o a a(x, t) = X (t) = ∂V ∂V dx ∂V dy ∂V dz ∂V + + + = + (∇V )V. ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t 376 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes (Se entiende que ∇V se toma respecto a (x, y, z ), pero no respecto a t). La segunda ley de Newton para el elemento de fluido es dF = ρa dm, donde dm es el elemento de volumen y ρ la densidad, de modo que ρ dm es el elemento de masa. Si Ω es un volumen de fluido se ha de cumplir F= ρ Ω ∂V + (∇V )V ∂t dm, donde F es la fuerza total que act´a sobre Ω. Podemos descomponer esta fuerza u en dos partes. Por un lado tenemos la fuerza exterior que act´a sobre el fluido u (por ejemplo la gravedad), cuya intensidad por unidad de masa representaremos por G, es decir, la fuerza exterior que act´a sobre Ω es Ω ρG dm. u Adem´s sobre Ω puede ejercerse una presi´n. Esta puede deberse al fluido a o´ circundante, al recipiente (que impide que el fluido se derrame), a la presi´n o atmosf´rica (si el recipiente est´ abierto por la parte superior), etc. Una carace a ter´ ıstica de la presi´n es que se ejerce en todas direcciones. M´s precisamente, o a la presi´n que el fluido ejerce sobre un cuerpo sumergido en el mismo (o sobre o una porci´n del propio fluido) act´a en cada punto perpendicularmente a su o u superficie y hacia el interior. Si llamamos p (magnitud escalar) a la intensidad de la presi´n por unidad de superficie, entonces la presi´n total sobre V es o o − S pn dσ , donde S es la superficie que limita a Ω y n es el vector normal a S que apunta hacia fuera de Ω. La componente i-´sima de esta integral es el flujo e del campo pei . Por el teorema de la divergencia equivale a la integral en Ω de la derivada de p respecto a xi , y al reunir las tres igualdades queda − pn dσ = − ∇p dm. Ω S Tenemos, pues Ω ∂V + (∇V )V ∂t ρG dm − dm = Ω ∇p dm. Ω Como esta igualdad ha de darse para todo volumen Ω, necesariamente los integrandos han de ser iguales, es decir, ∂V 1 + (∇V )V = G − ∇p. ∂t ρ ´ Esta es la ecuaci´n de Euler, que expresa la conservaci´n de la cantidad de o o movimiento de un fluido. Por ejemplo, si el fluido est´ en reposo, su densidad es constante y est´ a a sometido a un campo gravitatorio dirigido hacia abajo y de intensidad constante g , entonces la ecuaci´n de Euler se reduce a o ∇p = −ρge3 , de donde se sigue f´cilmente que p = ρgh, donde h es la profundidad en el fluido a (suponiendo que la presi´n en la superficie es nula). o 10.4. Aplicaciones del teorema de Stokes 377 Ejercicio: En las condiciones anteriores, suponer un cuerpo c´ bico sumergido en el u fluido con dos caras paralelas a la superficie. Probar que experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido que desplaza (principio de Arqu´ ımedes). Veamos una aplicaci´n. Sea C una curva cerrada contenida en el fluido. Sea o X (u) una parametrizaci´n. Sea X (u, t) la posici´n en el instante t de la part´ o o ıcula de fluido que en un instante t0 estaba en X (u), es decir, X (u, t0 ) = X (u) y la derivada de X respecto de t es V (X (u, t), t). Sea b γ (t) = V (x, t) dr = C V (X (u, t), t) a ∂X du. ∂u Entonces dγ = dt b a dV ∂X du + dt ∂u b V a ∂ ∂X du = ∂u ∂t C dV 1 dr + dt 2 d(V V ). C Como C es una curva cerrada, la segunda integral es nula. En la primera aplicamos la ecuaci´n de Euler: o dγ = dt G− C 1 ∇p ρ dr. Si suponemos que el campo de fuerzas exteriores es conservativo, entonces la integral de G a lo largo de C es nula y queda dγ =− dt C 1 ∇p dr = ρ C dp . ρ Finalmente, si suponemos que la densidad en cada punto y en cada instante depende s´lo de la presi´n, la ultima integral es nula (si f (p) es una primitiva o o ´ de 1/ρ(p) entonces el integrando es df ). Con esto hemos probado: Teorema de Lord Kelvin En un fluido sometido a un campo de fuerzas conservativo y en el que la densidad en cada punto e instante dependa s´lo de la presi´n, el flujo de la velocidad a lo largo de o o cualquier curva cerrada permanece constante cuanto ´sta se desplaza e siguiendo la trayectoria del fluido. El gradiente de un campo escalar tiene una interpretaci´n muy simple que o no requiere el teorema de Stokes: dado un campo escalar φ en Rn y un punto p donde ∇φ(p) = 0, entonces para cada v ∈ Rn de norma 1 tenemos que dφ(p)(v ) = ∇φ(p)v = ∇φ(p) cos α, donde α es el ´ngulo entre v y ∇φ(p). Esta cantidad es, por otra parte, el a aumento que experimenta φ por cada unidad que nos desplazamos en la direcci´n o de v y obviamente se hace m´xima cuando v tiene la misma direcci´n y sentido a o que ∇φ(p). Por consiguiente ∇φ indica en cada punto la direcci´n en la que φ o crece m´s r´pidamente. aa 378 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Definici´n 10.16 Sea φ : U −→ R un campo escalar en un abierto de Rn . Se o llama laplaciano de φ a ∆φ = div ∇φ = ∂2φ ∂2φ + ··· + . ∂x2 ∂x2 n 1 Si S es una variedad n − 1-dimensional orientable contenida en U y n es su vector normal, se define la derivada direccional de φ respecto a n como dφ = (∇φ)n. dn (Notar que efectivamente se trata de la derivada direccional de φ en el sentido usual y en la direcci´n que marca n.) Aplicando a ∇φ el teorema de la o divergencia obtenemos: Teorema 10.17 Sea V ⊂ Rn una variedad compacta de dimensi´n n contenida o en un abierto U . Sea φ : U ⊂ Rn −→ R un campo escalar. Entonces ∆φ dm = V ∂V dφ dσ, dn donde n es el vector normal a ∂V que apunta hacia fuera de V . En otras palabras, el flujo del gradiente de un campo a trav´s de una sue perficie cerrada es igual a la integral de su laplaciano sobre el recinto que ´sta e encierra. Esto nos relaciona el laplaciano con los campos conservativos, que se expresan como gradientes de campos escalares. El campo gravitatorio Consideremos de nuevo el campo gravitatorio generado por un cuerpo puntual de masa M situado en un punto y . Sabemos que su intensidad (es decir, la fuerza que ejerce por unidad de masa) viene dada por la ley de Newton: GM E (x) = − (x − y ), x−y 3 suponiendo al cuerpo en el origen de coordenadas, y que adem´s puede exprea sarse de la forma E = −∇V , donde V (x) = − GM . x−y Un c´lculo elemental muestra que ∆V = div E = 0. Esto significa que el a flujo de E a trav´s de una superficie cerrada S que rodee a un punto dado y no e contenga a y es nulo (es la integral del laplaciano de V ). No ocurre lo mismo si la superficie contiene a y en su interior (notar que si y est´ en S el flujo no a est´ definido). En efecto, en tal caso podemos tomar una bola B de centro y a contenida en la regi´n G rodeada por S . Entonces G \ B es una variedad con o frontera, la cual es igual a S ∪ ∂B . La orientaci´n positiva en S es la misma o respecto a G y respecto a G \ B , mientras que la orientaci´n positiva en ∂B o 10.4. Aplicaciones del teorema de Stokes 379 como parte de la frontera de G \ B es la dada por el vector normal que apunta hacia dentro de B , es decir, la opuesta a su orientaci´n positiva como frontera o de B . El teorema de Stokes nos da que el flujo de E por la frontera de G \ B es nulo, luego el flujo a trav´s de S es igual al flujo a trav´s de ∂B . Por otra e e parte, el campo E es normal a ∂B , de m´dulo constante sobre la superficie y o apunta hacia el interior, luego dicho flujo es Φ = − E m(∂B ) = − GM 4πr2 = −4πGM, r2 donde r es el radio de B . Resulta orientador pensar en el campo gravitatorio generado por una masa puntual M como si fuera el campo de velocidades de un fluido incompresible. El hecho de que el flujo a trav´s de las superficies cerradas que contienen a y sea e −4πGM se interpreta como que tales superficies “se tragan” una cantidad de fluido proporcional a M . No podemos decir con propiedad que y sea un sumidero en el sentido que dimos a este t´rmino, pues sobre ´l no est´ definido el campo, e e a pero esto m´s bien debe llevarnos a pensar que dicha definici´n de sumidero es a o demasiado particular, y que debemos admitir como tales a los puntos alrededor de los cuales desaparece fluido en el sentido que acabamos de ver. Por otra parte, donde no hay masa la divergencia del campo es nula y, efectivamente, no se crea ni se destruye fluido (el flujo es nulo). Todo esto se generaliza de forma inmediata al caso del campo producido por n part´ ıculas puntuales de masas M1 , . . . , Mn . Basta aplicar el principio de superposici´n, en virtud del cual la fuerza que estas masas ejercen sobre un cuerpo o dado es la suma de las fuerzas que cada una de ellas ejercer´ por separado. Es ıa claro entonces que el potencial del campo es la suma de los potenciales asociados a cada uno de ellos. El flujo a trav´s de una superficie cerrada es igual a −4πG e por la suma de las masas que contiene. Los modelos de masas puntuales son v´lidos para estudiar el movimiento de a los planetas, pero no sirven para dar cuenta, por ejemplo, de la interacci´n entre o la Tierra y los objetos pr´ximos a ella. En tal caso debemos tener en cuenta la o forma geom´trica del espacio que ocupan las masas. En lugar de tener uno o e varios puntos de masa tenemos una medida que asigna a cada regi´n del espacio o la masa que contiene. Si admitimos que una regi´n de volumen 0 no puede o contener masa (es decir, negamos la existencia de masas puntuales) entonces dicha medida estar´ determinada por una funci´n de densidad ρ, de modo que a o la masa contenida en un volumen V vendr´ dada por a M= ρ dm. V Para calcular una aproximaci´n de la intensidad del campo gravitatorio geneo rado por la distribuci´n de masas ρ en un punto x podemos dividir el espacio o en regiones peque˜as de volumen ρ dm, calcular la intensidad correspondiente n a esta masa y sumar las fuerzas as´ obtenidas. Con ello estamos calculando una ı 380 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes aproximaci´n de la integral o E (x) = −G V ρ(y ) x−y 3 (x − y ) dm(y ), donde V es un volumen que contiene a toda la masa que influye (el dominio de ρ) y la integral de una funci´n vectorial se interpreta como el vector formado o ´ por la integral de cada componente. Esta debe ser la expresi´n exacta de la o citada intensidad del campo. Un razonamiento similar con los potenciales nos lleva a que el potencial gravitatorio en el punto x debe ser V (x) = −G V ρ(y ) dm(y ). x−y No obstante, todo esto nos plantea varios problemas. En primer lugar hemos de justificar que las integrales existen, pues si x ∈ V el integrando tiende a infinito en x. Por otra parte no es evidente que estas funciones cumplan E = −∇V , que es la relaci´n que debe darse para que V sea una funci´n potencial o o de E . Los resultados que vamos a obtener pueden darse en un contexto general: Definici´n 10.18 Sea Ω ⊂ Rn (con n ≥ 3) un abierto acotado y f una funci´n o o medible acotada en Ω. Llamaremos potencial newtoniano asociado a f a la funci´n o f (y ) Vf (x) = dm(y ), para x ∈ Rn . n−2 Ω x−y El teorema 9.23 garantiza que el integrando es realmente integrable en Ω, por lo que Vf est´ bien definido. Sea g (x, y ) = x − y 2−n . Es claro que g es a de clase C 1 en (Rn \ Ω) × Ω, luego el teorema 7.23 nos garantiza2 que Vf es de clase C 1 en Rn \ Ω y sus derivadas valen ∂Vf (x) = −(n − 2) ∂xi Ω f (y ) x−y n (xi − yi ) dm(y ), (10.5) Vamos a probar que esta expresi´n vale igualmente en Ω. Por lo pronto o observemos que el integrando del segundo miembro es ciertamente integrable. Basta tener en cuenta que |xi − yi | ≤ 1, x−y con lo que el integrando est´ mayorado por la funci´n integrable K/ x − y n−1 . a o Para cada natural k ≥ 1 consideremos la funci´n ak : [0, +∞[ −→ R dada o por 1 + n−2 r− 1 si r < 1/k k n−2 k n−3 k ak (r) = si r ≥ 1/k rn−2 2 Admitimos que ∂ Ω es nula, luego la integral puede tomarse en el compacto Ω. 10.4. Aplicaciones del teorema de Stokes 381 Claramente ak es de clase C 1 en su dominio y adem´s no se anula, pues la a derivada es positiva en [0, 1/k ]. Definimos las funciones Vk (x) = Ω f (y ) dm(y ). ak ( x − y ) La funci´n ak ( x − y )−1 es de clase C 1 en Rn × Rn , por lo que podemos o aplicar el teorema 7.23. Si probamos que las funciones Vk convergen uniformemente a Vf y sus derivadas convergen al segundo miembro de (10.5), el teorema 3.28 nos dar´ que a dicha igualdad es v´lida en todo punto. a Puesto que los integrandos de Vf (x) y Vk (x) difieren s´lo sobre B1/k (x), o tenemos que B1/k (x) 1 x−y B1/k (0) |Vf (x) − Vk (x)| 1 y ≤M =M n−2 n−2 − − 1 dm(y ) ak ( x − y ) 1 dm(y ). ak ( y ) La ultima integral, como funci´n del dominio de integraci´n, es una me´ o o dida finita en B1 (0) por el teorema 7.17, luego el ultimo miembro tiende a 0 ´ con k , por el teorema 7.2. Esto prueba la convergencia uniforme de Vk . El mismo argumento vale para las derivadas. Observar que no es necesario calcular expl´ ıcitamente la derivada del integrando de Vk . Basta tener en cuenta que consta de f (y ) multiplicada por una funci´n continua, luego integrable. o Notemos que las derivadas de Vf en los puntos de Ω son el l´ ımite uniforme de una sucesi´n de funciones continuas (las derivadas de Vk ), luego Vf es una o funci´n de clase C 1 en Rn . o En particular tenemos que el campo y el potencial gravitatorio determinados por una distribuci´n de masa ρ est´n bien definidos y satisfacen la relaci´n o a o E = −∇V , como ha de ser. Sigamos en el caso general y vamos a calcular el laplaciano de Vf . El teorema 7.23 nos permite concluir directamente que Vf es de clase C ∞ en Rn \ Ω. M´s a a´n, es f´cil comprobar que ∆x g = 0, con lo que tambi´n ∆Vf = 0. Para u a e los puntos de Ω no podemos emplear la misma t´cnica que hemos usado para e calcular las primeras parciales, pues las derivadas segundas del integrando no son integrables. Consideremos un punto x0 ∈ Ω tal que f es de clase C 1 en una bola B2 (x0 ) ⊂ Ω. Descomponemos Vf = V1 + V2 , donde ambos sumandos tienen la misma definici´n que Vf salvo que el dominio de integraci´n es B (x0 ) en el caso de V1 o o y Ω \ B (x0 ) en el caso de V2 . Es claro que V2 es de clase C 2 en B (x0 ). Sus parciales segundas se pueden calcular derivando el integrando. Adem´s ∆V2 = 0. Por lo tanto para probar a 382 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes que Vf es de clase C 2 en B (x0 ) basta probar que lo es V1 , y adem´s tendremos a ∆Vf (x0 ) = ∆V1 (x0 ). Ya sabemos que ∂V1 (x) ∂xi = f (y ) B (x0 ) =− 1 x−y ∂ ∂xi B (x0 ) ∂ ∂yi =− B (x0 ) 1 x−y ∂ ∂yi f (y ) f (y ) x−y dm(y ) n−2 dm(y ) n−2 1 x−y − n−2 n−2 ∂f (y ) dm(y ). ∂yi La integral del segundo t´rmino es el potencial newtoniano de la derivada e de f , luego sabemos que tiene derivada continua y viene dada por ∂ ∂xi B (x0 ) 1 x−y ∂f n−2 ∂y (y ) dm(y ) = i B (x0 ) 1 x−y ∂ ∂xi n−2 ∂f (y ) dm(y ) ∂yi Nos ocupamos ahora del otro t´rmino. Aplicamos el teorema de la divergene cia al campo F dado por F (y ) = f (y ) x−y n−2 ei , donde ei es el i-´simo vector de la base can´nica. La divergencia de F es nuestro e o integrando y su flujo a trav´s de la esfera de radio (precedido del signo negativo e de nuestra integral) es f (y ) x−y − ∂ B (x0 ) n−2 ei n(y ) dσ (y ), donde n es el vector unitario normal a la esfera y dσ es el elemento de medida de la esfera. A esta integral tambi´n le podemos aplicar 7.23, con lo que tiene e derivada continua respecto a xi y viene dada por f (y ) x−y (n − 2) ∂ B (x0 ) n (xi − yi )ei n(y ) dσ (y ). En este punto ya tenemos que V1 es de clase C 2 en B (x0 ). Teniendo en cuenta que n(y ) = (y − x0 )/ x0 − y , al particularizar en x0 tenemos en total ∂ 2 V1 (x0 ) ∂x2 i f (y )(x0i − yi )2 = −(n − 2) n+1 ∂ B (x0 ) + B (x0 ) 1 x−y ∂ ∂xi n−2 (x0 , y ) dσ (y ) ∂f (y ) dm(y ). ∂yi Por consiguiente: ∆Vf (x0 ) = ∆V1 (x0 ) =− n−2 n−1 f (y ) dσ ∂ B (x0 ) n + i=1 B (x0 ) ∂ ∂xi 1 x−y n−2 (x0 , y ) ∂f dm. ∂yi 10.4. Aplicaciones del teorema de Stokes 383 Como el miembro izquierdo no depende de , podemos tomar el l´ ımite cuando tiende a 0. El ultimo sumatorio tiende a 0, luego queda ´ ∆Vf (x0 ) = −(n − 2) l´ ım 1 f (y ) dσ. →0 n−1 ∂ B (x0 ) Llamemos σn−1 a la medida de ∂B1 (0). Entonces la medida de ∂B (x0 ) es σn−1 . As´ ı n−1 1 n−1 f (y ) dσ − σn−1 f (x0 ) = ∂ B (x0 ) ≤ 1 n−1 1 n−1 f (y ) − f (x0 ) dσ ∂ B (x0 ) |f (y ) − f (x0 )| dσ. ∂ B (x0 ) Dado η > 0, existe un δ > 0 de manera que si y − x0 < δ entonces |f (y ) − f (x0 )| < η/σn−1 . Para todo < δ la expresi´n anterior est´ acotada o a por η , luego concluimos que ∆Vf (x0 ) = −(n − 2)σn−1 f (x0 ). Si extendemos f a Rn con el valor 0 fuera de Ω, hemos probado que Vf es de clase C 2 all´ donde f es de clase C 2 (lo cual incluye a todos los puntos de ı Rn \ Ω) y en tales puntos ∆Vf = −(n − 2)σn−1 f . El an´lisis que hemos hecho de a las parciales de Vf puede usarse inductivamente para probar que si f es de clase C k alrededor de un punto, lo mismo vale para Vf . Resumimos en un teorema lo que hemos obtenido: Teorema 10.19 Sea Ω un abierto acotado en Rn , para n ≥ 3, y sea f una funci´n medible acotada que se anula fuera de Ω. Entonces el potencial newtoo niano f (y ) Vf (x) = dm(y ), para x ∈ Rn x − y n−2 Ω es una funci´n de clase C 1 en Rn y de clase C k en todos los puntos donde f es o de clase C k . Adem´s a ∇Vf = −(n − 2) Ω f (y ) x−y n (x − y ) dm(y ), y en los puntos donde f es de clase C 2 satisface la ecuaci´n de Poisson asociada o a f , es decir, ∆Vf = −(n − 2)σn−1 f , donde σn−1 es la medida de la esfera unitaria de dimensi´n n − 1. o Ejercicio: Probar un teorema an´logo para n = 2 definiendo a f (y ) log x − y dy. Vf (x) = Ω Si n = 3 queda ∆Vf = −4πf . En particular, si V es el potencial gravitatorio generado por una distribuci´n de masa ρ, entonces ∆V = 4πGρ. Equivalenteo mente, si E es la intensidad del campo, se cumple div E = −4πGρ. En este caso 384 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes podemos decir con propiedad que los puntos donde hay masa se comportan como sumideros de un “fluido gravitatorio”. Adem´s tenemos un importante teorema a de Gauss: El flujo del campo gravitatorio a trav´s de una superficie cerrada que e encierra una masa M es igual a −4πGM . Por ejemplo, sea B una esfera homog´nea de densidad ρ y radio R. Es f´cil e a ver que el campo gravitatorio que origina tiene simetr´ esf´rica, es decir, ıa e E (x) = − K( x ) x, x para una cierta funci´n K . Consideremos una superficie esf´rica S cuyo centro o e coincida con el de B y de radio r < R. El flujo de E a trav´s de S es −4πr2 K (r), e luego por el teorema de Gauss 4 −4πr2 K (r) = −4πGρ πr3 . 3 En definitiva, E (x) = − 4πGρ GM x = − 3 x. 3 R Si tomamos r ≥ R entonces queda −4πr2 K (r) = −4πGM , luego E (x) = − GM x, x3 es decir, el campo generado por la esfera en un punto exterior a la misma coincide con el que generar´ una masa puntual situada en su centro. ıa La ecuaci´n del calor La materia, en cualquiera de sus estados, est´ como a puesta de part´ ıculas diminutas, sean part´ ıculas subat´micas sueltas, ´tomos con o a enlace met´lico o mol´culas con diferentes estructuras. En todos estos casos, dia e chas part´ ıculas tienen una cierta libertad de movimiento y a nivel microsc´pico o pueden moverse a velocidad considerable. Esta velocidad no puede medirse directamente, pero la velocidad media de las part´ ıculas de un cuerpo determina lo que llamamos su temperatura T . Por otra parte, la suma de la energ´ cin´tica ıa e de cada part´ ıcula es lo que llamamos la cantidad de calor Q del cuerpo (y se mide en Julios, como corresponde a la energ´ Puesto que T es un promedio de ıa). velocidades, ya no es cierto que Q sea proporcional al cuadrado de T , sino que la experiencia establece que la proporci´n es lineal y la constante depende de las o caracter´ ısticas qu´ ımicas de cada sustancia. Concretamente cada sustancia tiene asociado un calor espec´ ıfico c, de modo que la cantidad de calor de un cuerpo de masa m, calor espec´ ıfico c y temperatura T es Q = mcT . Aqu´ suponemos que T y c son constantes. Si c y T dependen de la posici´n ı o entonces Q = V cρT dm, donde ρ es la densidad del cuerpo (funci´n de la o posici´n) y dm es el elemento de volumen (no de masa). Por consiguiente cρT es o 10.5. Las f´rmulas de Green o 385 la densidad de calor de un cuerpo de calor espec´ ıfico c, densidad ρ y temperatura T . Podemos suponer que c y ρ s´lo dependen de la posici´n, mientras que Q o o y T depender´n tambi´n del tiempo, y se plantea el problema de determinar a e esta dependencia, esto es, de determinar la forma en que se transmite el calor a trav´s de un cuerpo. e El modelo m´s simple al respecto postula que el calor es como un fluido a que se mueve hacia el punto m´s fr´ posible, es decir, teniendo en cuenta el a ıo ejemplo en el que hemos introducido la ecuaci´n de continuidad as´ como la o ı interpretaci´n del gradiente: A = −k ∇T , donde k > 0 es una constante. La o ecuaci´n de continuidad (10.4) se convierte en este caso en o k ∆T + ψ = cρ ∂T , ∂t donde ψ refleja las fuentes y sumideros de calor. Esta ecuaci´n se conoce como o ecuaci´n del calor. o 10.5 Las f´rmulas de Green o Vamos a deducir varias f´rmulas cl´sicas a partir del teorema de Stokes. o a Partimos de dos funciones f, g : U −→ R de clase C 2 en un abierto U ⊂ Rn . Una simple comprobaci´n nos da la identidad o div(g ∇f ) = ∇f ∇g + g ∆f. Sea V ⊂ U una variedad compacta orientable de dimensi´n n contenida en U . o Aplicando el teorema de la divergencia obtenemos la llamada primera f´rmula o de Green: df g ∆f dm + ∇g ∇f dm = g dσ, dn V V ∂V donde dσ es el elemento de medida en ∂V y n su vector normal. Intercambiando los papeles de f y g y restando las f´rmulas correspondientes obtenemos la o segunda f´rmula de Green: o (g ∆f − f ∆g ) dm = V g ∂V df dg −f dn dn dσ. Supongamos n ≥ 3, fijemos un punto x interior a V y apliquemos la f´rmula o anterior a la funci´n g (y ) = 1/ x − y n−2 y a la variedad V que resulta de o quitarle a V una bola abierta de radio suficientemente peque˜o para que est´ n e contenida en V . Observamos que ∆g = 0. En efecto: ∂g xi − yi = (n − 2) , ∂yi x−y n ∂g 2 n−1 (xi − yi )2 =− + n(n − 2) , 2 ∂yi x−y n x − y n+2 y al sumar sobre i queda 0. Si llamamos S a la esfera de centro x y radio f´rmula de Green nos da que o la 386 V Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes ∆f (y ) dm(y ) x − y n−2 = ∂V + S 1 df d 1 dσ (y ) −f x − y n−2 dn dn x − y n−2 d 1 1 df f − dσ (y ). n−2 n−2 dn dn x − y x−y Observar que hemos cambiado el signo en el segundo integrando porque la orientaci´n positiva de S es la contraria a la que tiene como parte de la frontera o de V . Puesto que f es de clase C 2 , tenemos que ∆f es continua en V , por lo que el integrando del primer miembro es integrable en V (es el potencial newtoniano de ∆f ), luego existe el l´ ımite cuando → 0 de ambos miembros de la igualdad, luego tambi´n del ultimo t´rmino. Vamos a calcularlo. e ´ e Notemos que sobre los puntos de S es n(y ) = (y − x)/ x − y , luego los c´lculos que hemos hecho antes muestran que a d 1 dn x − y n−2 =− n−2 x−y n−1 . El ultimo t´rmino es, pues, ´ e − (n − 2) n−1 1 f (y ) dσ (y ) − S S n−2 df dσ (y ). dn Si llamamos σn−1 a la medida de Lebesgue de la esfera unitaria de dimensi´n o n − 1, entonces σ (S ) = n−1 σn−1 , y es claro que la segunda integral est´ acotada a por Kσn−1 , donde K es una cota de la derivada direccional de f en un entorno de x. Por consiguiente este t´rmino tiende a 0. El l´ e ımite del primer sumando lo calculamos al estudiar los potenciales newtonianos (ver las f´rmulas precedentes o al teorema 10.19). Recordemos que vale −(n − 2)σn−1 f (x). Con esto obtenemos la tercera f´rmula de Green o f (x) = + 1 ∆f (y ) − dm(y ) n−2 (n − 2)σn−1 V x−y 1 df d 1 −f n−2 dn x−y dn x − y n−2 ∂V dσ (y ) . Esta f´rmula nos dice que el valor de una funci´n de clase C 2 en un punto o o x est´ completamente determinado por ∆f en un entorno de x y las funciones a f y df /dn sobre una superficie que rodee a x. Hay un caso particularmente interesante donde esta expresi´n se simplifica mucho: o Definici´n 10.20 Se dice que una funci´n f de clase C 2 es harm´nica en un o o o abierto V si cumple ∆f (x) = 0 para todo x ∈ V . Por ejemplo, el potencial newtoniano de una funci´n f es una funci´n harm´o o o nica en los puntos exteriores al soporte de f . 10.5. Las f´rmulas de Green o 387 La tercera f´rmula de Green para una funci´n harm´nica f se reduce a o o o f (x) = 1 (n − 2)σn−1 ∂V 1 x−y n−2 df d 1 −f dn dn x − y n−2 dσ (y ), donde V es un abierto en Rn cuya clausura sea una variedad compacta y en el cual f sea harm´nica (con n ≥ 3). o Esta f´rmula nos dice en principio que una funci´n harm´nica f en V est´ o o o a completamente determinada por los valores que f y df /dn toman sobre ∂V . Podemos ir m´s lejos y concluir que una funci´n harm´nica en V est´ complea o o a tamente determinada por los valores que toma en ∂V . En efecto, supongamos que f1 y f2 son funciones continuas en V , harm´nicas en V y que coinciden o en ∂V . Entonces la funci´n h = f1 − f2 es harm´nica en V y se anula en ∂V . o o Aplicando la primera f´rmula de Green a las funciones f = g = h resulta o ∇h 2 dm = 0 V y, como el integrando es positivo, ha de ser ∇h = 0 en V , lo que implica que h es constante en V y, como se anula en ∂V , ha de ser h = 0, es decir, f1 = f2 . Si suponemos ahora que V es la bola de centro x y radio r, entonces la tercera f´rmula de Green para una funci´n harm´nica nos da que o o o f (x) = 1 rn−2 (n − 2)σn−1 ∂V df 1 dσ + n−1 dn r σn−1 f dσ, ∂V Por el teorema de la divergencia ∂V df dσ = dn ∇f n dσ = ∂V ∆f dm = 0, V luego se cumple el llamado teorema del valor medio de Gauss: f (x) = 1 σ (∂Br (x)) f dσ. ∂ Br (x) Esta f´rmula afirma que el valor que toma una funci´n harm´nica en un o o o punto x es la media aritm´tica de los valores que toma en cualquier esfera con e centro en x. De aqu´ se sigue f´cilmente que una funci´n harm´nica no puede ı a o o tomar valores m´ximos o m´ a ınimos en ning´n abierto en el que est´ definida. u e Tambi´n es claro que si una funci´n harm´nica tiende a una constante en ∞ e o o entonces es constante. Ejemplo Si f , g : Rn −→ R, usaremos la notaci´n f = O(g ) para indicar que o existen constantes M y R tales que si x ≥ R entonces |f (x)| ≤ M |g (x)| (se dice entonces que f es una funci´n del orden de g ). o Si f : Rn −→ R es una funci´n de clase C 2 con soporte compacto, donde o n ≥ 3, es f´cil ver que su potencial newtoniano Vf cumple Vf = O(1/ x n−2 ) a 388 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes y ∇Vf = O(1/ x n−1 ). Por ejemplo, en el caso de la gravedad esto significa que el campo gravitatorio se aten´a en proporci´n inversa al cuadrado de la u o distancia. Adem´s sabemos que satisface la ecuaci´n ∆Vf = −(n − 2)σn−1 f . a o Vamos a probar que Vf es la unica funci´n que cumple estas condiciones. ´ o Supongamos que u : Rn −→ R es una funci´n de clase C 2 tal que o u = O(1/ x ), ∇u = O(1/ x 2 ), ∆u = −(n − 2)σn−1 f. Veamos que necesariamente u = Vf . Basta aplicar la tercera f´rmula de Green o a la bola Br de centro 0 y radio r: u(x) = + f (y ) dm(y ) x − y n−2 Br 1 1 (n − 2)σn−1 ∂ Br x−y n−2 du d 1 −u dn dn x − y n−2 dσ (y ) Si r es suficientemente grande como para que se cumplan las estimaciones de u y ∇u que estamos suponiendo, el m´dulo del integrando del ultimo t´rmino o ´ e est´ acotado por K/rn , luego la integral est´ acotada por K /r, luego tiende a a a 0 cuando r tiende a +∞. Consecuentemente u(x) = Rn f (y ) x−y n−2 dm(y ). El dominio de integraci´n se puede reducir a cualquier abierto que contenga o al soporte de f . As´ pues, u = Vf . ı Ejercicio: Deducir la tercera f´rmula de Green y sus consecuencias para el caso en o que n = 2, tomando para ello g (y ) = log x − y en lugar de x − y 2−n . 10.6 El teorema de Stokes con singularidades Observemos que el teorema de Stokes para un cubo (teorema 10.12) no es un caso particular del teorema de Stokes generalizado, pues un cubo no se ajusta a la definici´n que hemos dado o de variedad con frontera (a causa de sus aristas). El hecho de que el teorema de Stokes valga para cubos hace sospechar que vale para variedades (en alg´n sentido de la palabra) m´s geneu a rales que las que estamos considerando aqu´ Efectivamente, es frecuente que ı. en aplicaciones a la f´ ısica se haga uso del teorema sobre —por ejemplo— un cilindro de altura finita, que tampoco es una variedad con frontera a causa de las dos circunferencias que bordean sus “tapas”. Podr´ ıamos considerar como variedad con frontera al cilindro menos dichas circunferencias, pero esto no ayuda en mucho, pues si tenemos una 2-forma definida en un entorno del cilindro su restricci´n al cilindro menos las circunferencias no tiene necesariamente soporte o compacto (y nos gustar´ pese a ello, justificar la f´rmula de Stokes en este ıa, o caso). Conviene introducir algunos conceptos. 10.6. El teorema de Stokes con singularidades 389 Definici´n 10.21 Sea S ⊂ Rm una variedad de dimensi´n n sin frontera. Sea o o F (S ) = S \ S . Diremos que un punto p ∈ F (S ) es un punto frontera regular de S si existe una carta X : U −→ V de Rn alrededor de p (de coordenadas x1 , . . . , xm ) de modo que S ∩ V est´ formado por los puntos de coordenadas a xn+1 = · · · = xm = 0, xn < 0, mientras que los puntos de F (S ) ∩ V son los de coordenadas xn = xn+1 = · · · = xm = 0. Llamaremos ∂S al conjunto de puntos frontera regulares de S . Obviamente S ∪ ∂S es una variedad con frontera. El conjunto F (S ) \ ∂S es cerrado en Rm . Sus puntos se llaman puntos frontera singulares. Por ejemplo, si S es un cilindro abierto en R3 , sus puntos frontera singulares son los de las dos circunferencias que limitan sus tapas. Nuestra intenci´n es o probar el teorema de Stokes para una variedad S cuyos puntos frontera singulares formen un conjunto peque˜o en el sentido de la teor´ de la medida. A n ıa su vez, la idea es modificar cada forma en un entorno suficientemente peque˜o n del conjunto de puntos singulares para hacer aplicable el teorema de Stokes que conocemos y despu´s hacer un paso al l´ e ımite. Una sucesi´n fundamental de entornos de un cerrado E ⊂ Rm es una familia o de abiertos {Wk }∞ que contienen a E tal que si V es un abierto y E ⊂ V , k=1 entonces Wk ⊂ V para todo k suficientemente grande. Supongamos que E es el conjunto de puntos singulares de una variedad S y que {Wk }∞ es una sucesi´n fundamental de entornos de E . Para cada k , o k=1 tomemos una funci´n gk que se anule en un entorno de E y valga 1 fuera de Wk . o De este modo, si ω es una n − 1-forma definida en un entorno de S , la forma gk ω coincide con ω salvo en Wk y tiene soporte compacto en S ∪ ∂S , luego podemos aplicarle el teorema de Stokes: gk ω = ∂S d(gk ω ) = S dgk ∧ ω. gk dω + S (10.6) S El paso siguiente es tomar l´ ımites cuando k tiende a infinito, y el punto m´s a delicado es estudiar el comportamiento del ultimo t´rmino. Recogeremos en una ´ e definici´n todo lo que necesitamos: o Definici´n 10.22 Sean E y S subconjuntos cerrados de Rm . Diremos que E o es despreciable para S si existe un abierto W en Rn que contiene a E y una sucesi´n fundamental {Wk }∞ de entornos de E tales que W k ⊂ W y una o k=1 sucesi´n {gk }∞ de funciones de clase C 1 en W tales que o k=1 a) 0 ≤ gk ≤ 1, gk se anula en un entorno de E y vale 1 fuera de Wk . b) Si ω es una n − 1-forma de clase C 1 en W , entonces dgk ∧ ω es integrable en W ∩ S y, si llamamos µk a la medida signada en S definida por su integral, entonces l´ |µk |(W ∩ S ) = 0. ım k Con esta definici´n es f´cil probar: o a 390 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Teorema 10.23 Sea S ⊂ Rm una variedad de dimensi´n n sin frontera. Sea o ω una n − 1-forma de clase C 1 en un abierto de Rm que contenga a S y tal que la intersecci´n con S del soporte de ω sea compacta. Supongamos: o a) Si E es la intersecci´n del conjunto de puntos frontera singulares de S con o el soporte de ω , entonces E es despreciable para S . b) Las formas dω en S y ω en ∂S son integrables. Entonces dω = S ω. ∂S ´ Demostracion: Sean W , {Wk }∞ y {gk }∞ seg´n la definici´n de conu o k=1 k=1 junto despreciable. Notar que las funciones gk se pueden considerar definidas en Rm . Entonces gk ω es nula en un entorno de E , de donde se sigue f´cilmente a que el soporte de su restricci´n a S ∪ ∂S es compacto. Aplicando el teorema de o Stokes a esta variedad con frontera obtenemos (10.6). Ahora notamos que ω− ∂S (1 − gk )ω ≤ gk ω = ∂S ∂S Wk ∩∂S d|µω | = |µω |(Wk ∩ ∂S ), donde µω es la medida definida por la integral de ω . Puesto que la intersecci´n o de los conjuntos Wk ∩ ∂S es vac´ y las medidas son finitas, el teorema 7.2 nos ıa da que l´ ım k gk ω = ∂S ω. ∂S (Podemos suponer que los conjuntos Wk son decrecientes.) Igualmente se llega a que l´ ım k gk dω = S dω. S Finalmente: dgk ∧ ω ≤ S S ∩W d|µk | = |µk |(W ∩ S ), y por la definici´n de conjunto despreciable el ultimo t´rmino tiende a 0. Too ´ e mando l´ ımites en (10.6) obtenemos la f´rmula del enunciado. o Evidentemente, este teorema es de escaso valor sin una caracterizaci´n acepo table de los conjuntos despreciables. Es claro que todo subconjunto cerrado de un conjunto despreciable para una variedad S es tambi´n despreciable. e Teorema 10.24 Sean E y F dos subconjuntos compactos despreciables para una variedad S ⊂ Rn sin frontera. Entonces E ∪ F tambi´n es despreciable. e ´ Demostracion: Sean W , {Wk }∞ , {gk }∞ seg´n la definici´n de conu o k=1 k=1 junto despreciable (para E ) y sean W , {Wk }∞ , {gk }∞ los an´logos para F . a k=1 k=1 Basta tomar W =W ∪W , Wk = W k ∪ Wk , gk = gk gk . 10.6. El teorema de Stokes con singularidades 391 Es claro que estos conjuntos y funciones prueban que E ∪ F es despreciable. Para la ultima condici´n observamos que ´ o d(gk gk ) ∧ ω = gk dgk ∧ ω + gk dgk ∧ ω. Enunciamos el teorema siguiente en el caso en que la variedad S es un abierto e a en Rn porque es el de mayor inter´s en la pr´ctica, pero afinando un poco el argumento se generaliza a abiertos en variedades arbitrarias. Teorema 10.25 Sea S un abierto en Rn y E un subconjunto compacto de Rn tal que3 existe un cubo cerrado Q de dimensi´n m ≤ n − 2 y una aplicaci´n o o h : U −→ Rn de clase C 1 , donde U es un entorno de Q y h[Q] = E . Entonces E es despreciable para S . ´ Demostracion: En primer lugar observamos que podemos suponer que m = n − 2, pues en caso contrario la aplicaci´n f se puede componer con la o proyecci´n desde un cubo de dimensi´n superior. As´ mismo, componiendo con o o ı una aplicaci´n lineal podemos suponer que Q = [0, 1]n−2 o Un sistema fundamental de entornos de E lo forman los conjuntos Wk = {x ∈ Rn | d(x, E ) < 2/k }, k = 1, 2, . . . n Consideramos concretamente la distancia inducida por ∞ en R . Tomen ∞ mos una funci´n φ : R −→ [0, 1] de clase C que se anule sobre los puntos con o x ∞ ≤ 1/2 y valga 1 sobre los puntos con x ∞ ≥ 1. Para cada natural k > 0 sea φk (x) = φ(kx). Si C es una cota de las derivadas parciales de φ en Rn , es claro que para todo x ∈ Rn se cumple Di φk (x) ∞ ≤ kC . Observar que la cota C s´lo depende de n. o Sea I = {l ∈ Zn | d(l/2k, E ) ≤ 1/k }. Claramente se trata de un conjunto finito. Definimos l gk (x) = φk x − . 2k l∈I ∞ La funci´n gk es de clase C . Veamos que se anula en un entorno de E , o concretamente en el de los puntos x ∈ Rn tales que d(x, E ) < 1/4k . Dado uno de estos puntos x, existe l ∈ Zn tal que d(x, l/2k ) ≤ 1/2k (la coordenada li es la parte entera de 2kxi ). Claramente d(l/2k, E ) < 1/k , luego l ∈ I y ıamos probar. φk (x − l/2k ) = 0, y en consecuencia gk (x) = 0, como quer´ Veamos ahora que gk vale 1 fuera de Wk . En efecto, si d(x, E ) ≥ 2/k y l ∈ I , es decir, d(l/2k, E ) ≤ 1/k , entonces d(x, l/2k ) > 1/k , luego φk (x − l/2k ) = 1 y as´ gk (x) = 1. ı El motivo de toda esta construcci´n es garantizar que las funciones gk cumo plen una condici´n adicional, y es que sus derivadas parciales est´n acotadas o a por C1 k , donde C1 es una constante que s´lo depende de n. En efecto, tomemos o 3 En el caso n = 2 el teorema se cumple si E consta de un solo punto. Algunos razonamientos han de ser sustituidos por otros m´s simples. a 392 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes un punto x ∈ Rn alrededor del cual las derivadas de gk no sean id´nticamente e nulas, lo que implica que x − l0 /2k ∞ ≤ 1/k para un cierto l0 ∈ I . De los a factores que componen gk , todos ser´n nulos en un entorno de x excepto a lo sumo los correspondientes a vectores l ∈ I tales que x − l/2k ∞ ≤ 1/k , pero entonces l − l0 ∞ ≤ 4, y es f´cil ver que hay a lo sumo 9n puntos as´ Al derivar a ı. e gk obtenemos una suma de 9n t´rminos, cada uno de los cuales es un producto de la derivada de una funci´n φk (x − l/2k ) por otras funciones de este tipo sin o ´ derivar. Estas est´n acotadas por 1 y la primera por Ck , luego cada derivada a de gk est´ acotada por C1 k , donde C1 es una constante que s´lo depende de n. a o o o Tomando W = Rn tenemos comprobada la condici´n a) de la definici´n de conjunto despreciable. Consideremos ahora una n − 1-forma ω de clase C 1 en Rn . Ser´ de la forma a n fj dx1 ∧ · · · ∧ dxj −1 ∧ dxj +1 ∧ · · · ∧ dxn . ω= j =1 Entonces dgk ∧ ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn , donde la funci´n o n (−1)j +1 fj Dj gk f= j =1 est´ acotada por C2 k , y la constante C2 s´lo depende de n (las funciones fj se a o acotan en W 1 ). Puesto que f tiene soporte compacto, la n-forma dgk ∧ ω es integrable en Rn y determina la medida dada por µk (A) = A f dm. Entonces |µk |(Rn ) = Rn |f | dm ≤ C2 k m(Wk ). (10.7) Ahora estimaremos la medida de Wk para concluir que la expresi´n anterior o tiende a 0 cuando k tiende a infinito. Dividimos el cubo Q en k n−2 cubos de lado 1/k . Como las normas en Rn son equivalentes, la distancia eucl´ ıdea entre dos puntos del mismo cubo est´ acotada por C3 /k , para una cierta constante k . a Aplicando el teorema del valor medio a cada funci´n coordenada de h concluimos o que si u y v est´n en el mismo cubo, entonces h(u)−h(v ) ∞ ≤ C4 /k . Si x ∈ Wk , a entonces x dista menos de 2/k de un punto de E , el cual dista menos de C4 /k a de la imagen del centro de uno de los k n−2 cubos, luego Wk est´ contenido en la uni´n de k n−2 bolas de radio C5 /k (para cualquier norma, por ejemplo la o eucl´ ıdea), luego C6 C6 m(Wk ) ≤ k n−2 n = 2 , k k donde las constantes C3 , . . . , C6 dependen de n, f y ω , pero no de k . Conectando esto con (10.7) llegamos a que |µk |(Rn ) ≤ C7 /k , que tiende a 0 con k . En vista de lo anterior tenemos la versi´n siguiente del teorema de Stokes, o que incluye como caso particular el de los cubos que ya hab´ ıamos probado: Teorema 10.26 (Teorema de Stokes con singularidades) Consideremos un abierto S en Rn tal que el conjunto de puntos singulares de su frontera 10.7. Ap´ndice: Algunas f´rmulas vectoriales e o 393 sea uni´n de un n´mero finito de variedades compactas de dimensi´n menor o u o o igual que n − 2. Sea ω una n − 1-forma definida en un entorno de S tal que la intersecci´n con S de su soporte sea compacta y las formas ω y dω sean o integrables en S y ∂S respectivamente. Entonces dω = S ω. ∂S Evidentemente, todas las consecuencias del teorema de Stokes que hemos visto en las secciones anteriores valen ahora en el contexto de este teorema. 10.7 Ap´ndice: Algunas f´rmulas vectoriales e o Aunque el contenido de esta secci´n no tiene que ver directamente con el teoo rema de Stokes, hemos preferido posponer hasta aqu´ los resultados que siguen ı para exponerlos una vez estamos familiarizados con las principales operaciones vectoriales: gradiente, divergencia y rotacional. Los resultados principales ser´n a las expresiones de estas operaciones en sistemas de coordenadas distintas de las cartesianas, pero antes recogemos algunas f´rmulas de inter´s. o e El operador nabla Muchas f´rmulas del c´lculo vectorial se recuerdan m´s o a a f´cilmente si definimos el “vector” nabla como a ∇= ∂∂∂ , , ∂x ∂y ∂z . Naturalmente, esto no tiene ning´n significado en s´ mismo, pero formalu ı mente el gradiente de una funci´n f puede pensarse como el producto del vector o ∇ por el escalar f , lo que concuerda con la notaci´n ∇f . Similarmente, la dio vergencia de un campo vectorial V puede interpretarse como el producto escalar del vector ∇ por el vector V , lo que nos permite escribir tambi´n div V = ∇V . e Por ultimo, el rotacional de V es el producto vectorial de ∇ por V , o sea, ´ rot V = ∇ ∧ V . En estos t´rminos, las f´rmulas siguientes quedan de forma m´s sim´trica: e o a e ∇(f g ) = g (∇f ) + f (∇g ) ∇(f V ) = (∇f )V + f (∇V ) ∇ ∧ (f V ) = (∇f ∧ V ) + f (∇ ∧ V ) ∇(V ∧ W ) = W (∇ ∧ V ) − V (∇ ∧ W ) (10.8) (10.9) (10.10) (10.11) Todas ellas se comprueban sin dificultad a partir de las definiciones, aunque algunas resultan algo laboriosas. Notar que las relaciones rot grad f = 0, div rot V = 0 tambi´n se recuerdan e m´s f´cilmente en la forma ∇ ∧ (∇f ) = 0, ∇(∇ ∧ V ) = 0, pues formalmente son aa propiedades v´lidas para vectores y escalares cualesquiera. a 394 Cap´ ıtulo 10. El teorema de Stokes Coordenadas curvil´ ıneas ortogonales Sea X : U −→ S una aplicaci´n de o clase C 1 entre dos abiertos de R3 . Podemos considerar a S como una variedad diferenciable y a X como una carta de S . Entonces X −1 es un sistema de coordenadas que a cada punto p = (x1 , x2 , x3 ) ∈ S le asigna unas coordenadas u = (u1 , u2 , u3 ). Supondremos que X es ortogonal, en el sentido de que los e coeficientes gij del tensor m´trico son nulos cuando i = j . Recordemos que gij (u) = Di X (u)Dj X (u). Abreviaremos hi (u) = gii (u) = Di X (u) . La ortogonalidad de X equivale a que los vectores Di X (u) forman en cada punto p = X (u) una base ortogonal de Tp (S ). Por consiguiente los vectores vi (u) = h−1 (u)Di X (u) forman una base ortonormal, a la que nos referiremos i simplemente como la base asociada al sistema de coordenadas dado. Si llamamos u = X −1 , su matriz jacobiana es Ju(p) = JX −1 (u(p)). Puesto que (gij ) = (JX )(JX )t es una matriz diagonal, lo mismo le sucede a su inversa, luego (Ju)(Ju)t es diagonal en cada punto. M´s concretamente: a ∇u i ∇u j = − gii 1 0 si i = j si i = j De aqu´ podemos obtener las coordenadas de los gradientes ∇ui en la base ı (v1 , v2 , v3 ). En efecto, si ∇ui = αi1 v1 + αi2 v2 + αi3 v3 = αi1 αi2 αi3 D1 X + D2 X + D3 X, h1 h2 h3 aplicando la base dual duj resulta que αij (p) = duj (p)(∇ui (p)) = ∇uj (p)∇ui (p), hj (p) con lo que ∇u i = 1 vi . hi (10.12) Consideremos ahora una funci´n f : S −→ R de clase C 1 . Llamaremos o tambi´n f a su composici´n con X . Mediante la regla de la cadena se comprueba e o f´cilmente que a 3 3 ∂f 1 ∂f ∇f = ∇ui = vi , (10.13) ∂ui h ∂ui i=1 i=1 i que es la expresi´n del gradiente en en sistema de coordenadas considerado. o Consideremos ahora un campo vectorial en coordenadas curvil´ ıneas A = a1 (u1 , u2 , u3 )v1 + a2 (u1 , u2 , u3 )v2 + a3 (u1 , u2 , u3 )v3 . Vamos a calcular su divergencia. Supondremos que las coordenadas est´n a ordenadas de modo que la base (v1 , v2 , v3 ) es positiva. Entonces v1 = v2 ∧ v3 , v2 = v3 ∧ v1 y v3 = v1 ∧ v2 . Teniendo en cuenta (10.12) podemos escribir A = a1 h2 h3 (∇u2 ∧ ∇u3 ) + a2 h1 h3 (∇u3 ∧ ∇u1 ) + a3 h1 h2 (∇u1 ∧ ∇u2 ). (10.14) 10.7. Ap´ndice: Algunas f´rmulas vectoriales e o 395 Calculamos div A aplicando (10.9), (10.11) y el hecho de que el rotacional de un gradiente es nulo. El resultado es ∇(a1 h2 h3 )(∇u2 ∧ ∇u3 ) + ∇(a2 h1 h3 )(∇u3 ∧ ∇u1 ) + ∇(a3 h1 h2 )(∇u1 ∧ ∇u2 ). Ahora aplicamos (10.13) teniendo en cuenta que un producto mixto con dos vectores iguales es nulo. Obtenemos div A = ∂ a1 h2 h3 ∂a2 h1 h3 ∂a3 h1 h2 + + ∂u1 ∂u2 ∂u3 (∇u1 , ∇u2 , ∇u3 ). Finalmente observamos que (v1 , v2 , v3 ) = 1, lo que juntamente con (10.12) nos da 1 ∂ a1 h2 h3 ∂a2 h1 h3 ∂a3 h1 h2 div A = . + + h1 h 2 h 3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 Para calcular el rotacional de A partimos de (10.14) y aplicamos (10.10) junto con el hecho de que el rotacional de un gradiente es nulo. As´ pues, ı rot A = ∇(a1 h1 ) ∧ ∇u1 + ∇(a2 h2 ) ∧ ∇u2 + ∇(a3 h3 ) ∧ ∇u3 . Aplicamos (10.13) junto con el hecho de que el rotacional de un gradiente es nulo. rot A = = = ∂a1 h1 ∇u2 ∧ ∇u1 + ∂u2 ∂a2 h2 ∇u1 ∧ ∇u2 + ∂u1 ∂a3 h3 ∇u1 ∧ ∇u3 + ∂u1 ∂a1 h1 ∇ u 3 ∧ ∇u 1 ∂u3 ∂a2 h2 ∇ u 3 ∧ ∇u 2 ∂u3 ∂a3 h3 ∇ u 2 ∧ ∇u 3 . ∂u2 Por ultimo aplicamos (10.12) y agrupamos los coeficientes de cada vi . El ´ resultado se recuerda mejor mediante la regla mnemot´cnica e 1 rot A = h1 h 2 h 3 h1 v1 h2 v2 h3 v3 ∂ ∂u1 ∂ ∂u2 ∂ ∂u3 . h1 a1 h2 a2 h3 a3 Notemos que las f´rmulas anteriores se reducen a las o usuales en el caso de las coordenadas cartesianas, para las cuales h1 = h2 = h3 = 1. Existen varios sistemas de coordenadas que ayudan con frecuencia en los c´lculos a con vectores. Citaremos por ejemplo el caso de las coordenadas esf´ricas, definidas sobre el abierto e S = {(x, y, z ) ∈ R | x + y = 0}. 3 2 z θr y 2 x φ En un entorno de cada punto vienen dadas por X (r, θ, φ) = (r sen θ cos φ, r sen θ sen φ, r cos θ). Es f´cil ver que constituyen un sistema de coordenadas ortogonales positivaa mente orientado con hr = 1, hθ = r y hφ = r cos θ. Cap´ ıtulo XI Cohomolog´ de De Rham ıa La regla de Barrow reduce el problema de calcular la integral de una funci´n o continua cualquiera al c´lculo de una primitiva. En la pr´ctica existen funciones a a para las cuales la determinaci´n de una primitiva puede ser muy complicado, e o incluso puede ocurrir que dicha primitiva no admita una expresi´n en t´rminos o e de funciones “conocidas”, como senos, exponenciales, etc. y que por consiguiente la citada regla, aunque pueda ser de utilidad, no resuelve completamente el problema. No obstante, contamos con el hecho de que toda funci´n continua en o un intervalo tiene primitiva o, lo que es lo mismo, que toda 1-forma continua f dx en un intervalo puede expresarse como dg , para una cierta 0-forma g . La situaci´n es distinta en el caso general: no es cierto que toda k -forma ω o sea la diferencial de una k − 1-forma, ni siquiera en el caso de 1-formas sobre 1-variedades distintas de los intervalos. El teorema de Stokes hace que sea interesante determinar bajo qu´ condiciones una forma es la diferencial de otra. e Adem´s, bajo este planteamiento caben problemas muy variados. Por ejemplo, a un campo F en Rn es conservativo si y s´lo si es el gradiente de una funci´n, lo o o cual equivale a que la 1-forma F dr sea la diferencial de una 0-forma. Definici´n 11.1 Diremos que una k -forma ω es exacta si ω = dω , para una o cierta k − 1-forma ω . Diremos que ω es cerrada si dω = 0. Es obvio que una condici´n necesaria para que una forma sea exacta es que o sea cerrada, pues si ω = dω entonces dω = d(dω )) = 0. Sucede que en muchos casos esta simple condici´n es tambi´n suficiente. En este cap´ o e ıtulo veremos lo m´s b´sico de una importante teor´ que nos permite determinar bajo qu´ aa ıa e condiciones esto es as´ ı. 11.1 Grupos de cohomolog´ ıa Nota En las secciones siguientes, cuando hablemos de variedades diferenciables entenderemos que tienen cartas de clase C ∞ y cuando digamos que una funci´n o una forma es diferenciable entenderemos que es de clase C ∞ . o 397 398 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa Comenzamos con unas definiciones algebraicas que que se ajustan a la estructura de las algebras de Grassmann: ´ Definici´n 11.2 Un m´dulo graduado sobre un anillo A es una suma directa o o de A-m´dulos C = o Ck . k∈Z Los elementos de cada subm´dulo Ck se llaman homog´neos de grado k . o e Un subm´dulo graduado de C es un m´dulo graduado D tal que Dk = Ck ∩ D. o o Un homomorfismo graduado f : C −→ D (de grado d) entre m´dulos grao duados es un homomorfismo de m´dulos tal que fk = f |Ck : Ck −→ Dk+d para o todo entero k . Un complejo es un par ordenado C = (C, ∂ ), donde C es un m´dulo graduado o y ∂ : C −→ C es un homomorfismo de grado ±1 tal que ∂ ◦ ∂ = 0. Si ∂ tiene grado −1 el complejo se dice directo y si el grado es 1 se dice inverso. Un complejo directo puede verse tambi´n como una sucesi´n de m´dulos y e o o homomorfismos: ∂k+2 ∂k+1 ∂ ∂k − 1 k · · · −→ Ck+1 −→ Ck −→ Ck−1 −→ · · · de modo que ∂k+1 ◦ ∂k = 0 para todo k . Un complejo inverso es igual pero cambiando el sentido de las flechas. Ejemplo Si S es una variedad diferenciable, el algebra de Grassmann ´ Λk (S ) Λ(S ) = k∈Z es un espacio vectorial graduado (tomando Λk (S ) = 0 para k < 0). Adem´s la a diferencial exterior d es un homomorfismo de grado 1 en ΛS que lo convierte en un complejo inverso. Notemos que todo complejo directo puede verse como un complejo inverso sin m´s que cambiar los ´ a ındices, por lo que todo lo que vale para complejos directos vale para complejos inversos. La diferencia la marca unicamente la pr´ctica: ´ a del mismo modo que resultar´ artificial tratar al algebra de Grassmann como ıa ´ un complejo directo, hay otros complejos que resultar´ artificial tratarlos como ıa complejos inversos. Es costumbre usar t´rminos distintos para referirse a los conceptos correse pondientes a los complejos directos y a sus an´logos en los complejos inversos. a Para empezar, los m´dulos homog´neos de un complejo inverso se suelen repreo e sentar con super´ ındices C k en lugar de con sub´ ındices Ck . Dado un complejo C = (C, ∂ ), el homomorfismo ∂ recibe el nombre de operador frontera en un complejo directo y operador cofrontera en un complejo inverso. 11.1. Grupos de cohomolog´ ıa 399 Los elementos de Ck (en un complejo directo) se llaman cadenas de dimensi´n o k y los de C k (en un complejo inverso) se llaman cocadenas de dimensi´n k . o u Los elementos de Zk = N(∂k ) (el n´cleo de ∂k ) se llaman ciclos de dimensi´n k . Respectivamente, los elementos de Z k = N(∂ k ) se llaman cociclos o de dimensi´n k . o Los elementos de Fk = Im(∂k+1 ) (resp. F k = Im(∂ k−1 )) se llaman fronteras (resp. cofronteras) de dimensi´n k . o La condici´n ∂ ◦ ∂ = 0 implica que Fk ⊂ Zk (resp. F k ⊂ Z k ). El m´dulo o o cociente Hk (C) = Zk /Fk (resp. H k (C) = Z k /F k ) recibe el nombre de grupo de homolog´ (resp. grupo de cohomolog´ ) de dimensi´n k . Dos (co)ciclos son ıa ıa o (co)hom´logos si pertenecen al la misma clase de (co)homolog´ o ıa. Una vez entendida la cuesti´n de notaci´n, en lo que sigue desarrollaremos o o la teor´ en t´rminos de cohomolog´ pues las algebras de Grassmann son comıa e ıa, ´ plejos inversos. Si C es un complejo, definimos H (C) = H k (C), k∈Z que es obviamente un m´dulo graduado. o Definici´n 11.3 Sea S una variedad diferenciable. El grupo de cohomolog´ o ıa de dimensi´n k del algebra de Grassmann Λ(S ) recibe el nombre de grupo de o ´ cohomolog´ de De Rham de dimensi´n k de la variedad S y se representa por ıa o H k (S ). Llamaremos H k (S ). H (S ) = k∈Z Notemos que las cocadenas de dimensi´n k son las k -formas, los cociclos son o las k -formas cerradas y las cofronteras son las k -formas exactas. Los grupos de cohomolog´ son en este caso espacios vectoriales sobre R. ıa Si S es una variedad de dimensi´n n es evidente que H k (S ) = 0 para k < 0 o y k > n. Los 0-cociclos son las funciones en S cuya diferencial es nula. Si S es conexa son exactamente las funciones constantes y como F 0 = 0, concluimos que H 0 (S ) ∼ R. M´s en general, es f´cil ver que si S tiene p componentes a a = conexas entonces H 0 (S ) ∼ Rp . = El objetivo de la teor´ que estamos desarrollando es calcular los grupos de ıa cohomolog´ H k (S ) para 1 ≤ k ≤ n, pues si probamos que H k (S ) = 0 entonces ıa sabemos que las k -formas exactas coinciden con las cerradas y tenemos as´ una ı caracterizaci´n sencilla de las primeras. o Definici´n 11.4 Un homomorfismo de complejos φ : C −→ C es un homomoro fismo de grado 0 tal que φ ◦ ∂ = ∂ ◦ φ, o equivalentemente, tal que los diagramas 400 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa siguientes conmutan: ∂ k −1 ∂k · · · −→ C k−1 −→ C k −→ C k+1 −→ · · · k−1 k k+1 φ φ φ · · · −→ C k−1 ∂ k −1 −→ C k∂ k −→ C k+1 −→ · · · Es claro que un homomorfismo φ env´ ciclos a ciclos y fronteras a fronteıa ras, luego induce homomorfismos φk : H k (C) −→ H k (C ) o, equivalentemente, induce un homomorfismo de grado 0 φ : H (C) −→ H (C ). Es inmediato que la composici´n de homomorfismos de complejos es un hoo momorfismo de complejos as´ como que φ ◦ ψ = φ ◦ ψ . Si φ es un isomorfismo ı entonces φ tambi´n lo es y (φ)−1 = φ−1 . Si f : S −→ T es una aplicaci´n difee o renciable entre variedades, la retracci´n f : Λ(T ) −→ Λ(S ) es un homomorfismo o de complejos, que a su vez induce un homomorfismo f : H (T ) −→ H (S ). Por simplificar la notaci´n escribiremos f en lugar de f . o Ejercicio: Sea S = Si una uni´n disjunta de variedades (entendiendo que cada o i∈I una de ellas es abierta y cerrada en S ). Probar que H (S ) ∼ = H (Si ). i∈I Los difeomorfismos entre variedades inducen isomorfismos entre los grupos de cohomolog´ de De Rham. Esto era de esperar. Sin embargo, vamos a probar ıa que hay aplicaciones mucho m´s generales que los difeomorfismos y que tambi´n a e inducen isomorfismos entre los grupos de cohomolog´ lo que nos permitir´ ıa, a reducir el c´lculo de unas variedades a otras m´s simples. Dedicamos a ello la a a secci´n siguiente. o 11.2 Homotop´ ıas Recordemos que tenemos definido el producto de una variedad sin frontera por una variedad con o sin frontera. Claramente, el producto de una recta y una circunferencia nos da una superficie cil´ ındrica, mientras que el producto de una recta y un c´ ırculo nos da un cilindro s´lido (con o sin frontera, seg´n si o u el c´ ırculo es cerrado o abierto). En general, dada una variedad S , llamaremos cilindro de S a la variedad producto R × S . Conviene pensar en R × S como en infinitas copias de S “apiladas” una encima de otra, cada una a una altura t. Concretamente, la copia de altura t ∈ R es St = {t} × S . Es claro que St es una variedad difeomorfa a S . Cuando trabajemos con un cilindro R × S consideraremos unicamente cartas ´ ¯ de la forma X = I × X , donde I es la identidad en R y X es una carta en S . ¯ De este modo, X (t, u) = t, X (u) . En particular vemos que el primer vector de la base can´nica est´ en todos los espacios tangentes: o a ¯ e1 = D1 X (t, u) ∈ T(t,p) (R × S ). 11.2. Homotop´ ıas 401 Definici´n 11.5 Dos aplicaciones f, g : S1 −→ S2 diferenciables entre dos o variedades son homot´picas si existe H : R × S1 −→ S2 diferenciable de modo o que para todo p ∈ S1 se cumpla H (0, p) = f (p), H (1, p) = g (p). Se dice que la aplicaci´n H es una homotop´ entre f y g . o ıa Es decir, dos aplicaciones son homot´picas si una se puede transformar en o la otra mediante una gradaci´n diferenciable. o Ejemplo Sea S1 la bola abierta de centro 0 y radio 2 en Rn menos su centro 0. Se trata de un abierto en Rn y por lo tanto es una variedad. Sea f : S1 −→ S1 la aplicaci´n identidad y sea g : S1 −→ S1 la aplicaci´n dada por g (x) = x/ x . o o Ambas son homot´picas. Basta considerar la homotop´ o ıa H (t, x) = tx + (1 − t)x. x Si fijamos x y hacemos variar t entre 0 y 1 vemos que H (t, x) recorre el segmento radial que va desde x hasta la circunferencia unidad. As´ H transı, S1 /2 forma S0 en todo S0 (es la identidad), al llegar a 1/2 cada punto ha recorrido S0 la mitad de su camino hasta la circunferencia, por lo que la imagen de S1/2 es la corona sombreada en la figura, y finalmente la imagen de S1 es la circunferencia. La homotop´ H aproxima paulatinamente la imagen de cada punto ıa por la aplicaci´n f hasta su imagen por la aplicaci´n g . o o S1 El objetivo de esta secci´n es probar que dos aplicaciones homot´picas eno o tre variedades inducen la misma aplicaci´n entre los grupos de cohomolog´ o ıa. La prueba es una generalizaci´n de un teorema de Poincar´ y necesita varios o e conceptos previos. La evaluaci´n Sea S ⊂ Rm una variedad y V un campo de vectores tangentes o en S , es decir, V : S −→ Rm es una funci´n diferenciable y para cada p ∈ S o o se cumple V (p) ∈ Tp (S ). Entonces V induce una aplicaci´n lineal de grado −1 i(V ) : Λ(S ) −→ Λ(S ) que a cada k -forma ω le asigna la k − 1-forma dada por i(V )(ω )(p)(v1 , . . . , vk−1 ) = ω (p)(V (p), v1 , . . . , vk−1 ). Convenimos que i(V )(f ) = 0 para toda f ∈ Λ0 (S ). Es claro que i(V )(ω )(p) ∈ Ak−1 (Tp (S )), pero falta ver que i(V )(ω ) es diferenciable. En principio i(V ) es una aplicaci´n lineal de Λ(S ) en el algebra o ´ 402 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa de todas las formas en S , no necesariamente diferenciables. Una comprobaci´n o rutinaria nos da que si ω1 ∈ Λk (S ), ω2 ∈ Λ(S ), entonces1 i(V )(ω1 ∧ ω2 ) = i(V )(ω1 ) ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ i(V )(ω2 ). Las aplicaciones lineales que cumplen esta relaci´n se llaman antiderivacioo nes. Otro ejemplo de antiderivaci´n es la diferencial exterior. o Para probar que i(V )(ω ) es diferenciable en un punto p tomamos una carta X alrededor de p. Si W es el rango de X , notamos que i(V |W )(ω |W ) coincide con i(V )(ω )|W , luego basta probar que la primera es diferenciable. Ahora bien, una forma en W se expresa en funci´n del producto exterior a partir de 0-formas y o las diferenciales de las coordenadas dxi y al ser una antiderivaci´n i(V |W )(ω |W ) o quedar´ en funci´n de las im´genes por i(V |W ) de estas formas en particular, a o a luego basta ver que i(V |W )(dxi ) es diferenciable (para las 0-formas es obvio, porque la imagen es nula). Ahora bien, i(V |W )(dxi )(p) = dxi (p)(V (p)) = Vi (p), n donde V (X (x)) = Vi (X (x)) Di X (x). El teorema de la funci´n impl´ o ıcita i=1 justifica que las funciones X ◦ Vi son diferenciables (luego las Vi tambi´n). e La antiderivaci´n i(V ) se llama evaluaci´n en V . o o En particular, en un cilindro R × S podemos considerar el campo constante igual a e1 . Si S se puede cubrir con una sola carta X y llamamos (t, x1 , . . . , xn ) a las coordenadas del cilindro, tenemos que i(e1 )(dt) = 1, i(e1 )(dxi ) = 0. Estas relaciones determinan a i(e1 ). Concretamente: i(e1 )(f dt ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , i(e1 )(f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) = 0. Las inclusiones Consideremos ahora las inclusiones jt : S −→ R × S dadas por jt (p) = (t, p). Obviamente son diferenciables, por lo que tienen asociadas las retracciones jt : Λ(R × S ) −→ Λ(S ), que son homomorfismos de grado 0. Si S se puede cubrir por una sola carta tenemos jt (f ) = jt ◦ f, jt (dt) = 0, jt (dxi ) = dxi , con lo que quedan completamente determinadas. 1 En la definici´n de ω ∧ ω separamos los sumandos correspondientes a las permutaciones o 1 2 que dejan a V (p) entre las k primeras componentes y las que lo dejan entre las siguientes. En el primer sumando sustituimos cada permutaci´n σ por permutaci´n σ que resulta de llevar o o¯ V (p) a la primera posici´n. El cambio de signo que sufre ω se compensa con el cambio de o signatura de σ a σ . As´ tenemos una suma sobre las permutaciones σ tales que σ (1) = 1. ¯ ı ¯ ¯ Identific´ndolas con las permutaciones de k + k − 1 elementos obtenemos i(V )(ω1 )(p) ∧ ω2 (p). a Con el segundo sumando razonamos igual, salvo que llevamos V (p) a la posici´n k + 1. Ahora, o al pasar de las permutaciones que cumplen σ (1) = k + 1 a la permutaci´n correspondiente de ¯ o k + k − 1 elementos la signatura var´ en (−1)k . ıa 11.2. Homotop´ ıas 403 El operador integral Finalmente, dados dos n´meros reales a < b, definimos u b una aplicaci´n lineal Ia : Λ(R × S ) −→ Λ(S ) de grado 0 que a cada ω ∈ Λk (R × S ) o le asigna b b Ia (ω )(p)(v1 , . . . , vk ) = jt (ω )(p)(v1 , . . . , vk ) dt. a Fijado un punto p ∈ S y una carta X a su alrededor, la restricci´n de ω al o rango de I × X se expresa como suma de k -formas de tipo η = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik , donde admitimos la posibilidad de que i1 = 0 con el convenio de que x0 = t. Si aparece dt, entonces jt (η ) = 0 y el t´rmino no contribuye en nada. En caso e contrario jt (η )(p)(v1 , . . . , vk ) = f (t, p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )(v1 , . . . , vk ), luego b f (t, p) dt (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )(v1 , . . . , vk ), b Ia (η )(p)(v1 , . . . , vk ) = a y en definitiva b f dt dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . b Ia (η ) = a b El teorema 7.23 implica que Ia (η ) es una forma diferenciable. En general (restringida al rango de I × X ) es una suma de formas de este tipo, luego b b efectivamente Ia (ω ) ∈ Λ(S ). Evidentemente Ia es lineal. Veamos que conmuta b b con la diferencial exterior, es decir: d ◦ Ia = Ia ◦ d. b Ia (ω ) Sea p ∈ S y X una carta alrededor de p. Es claro que el valor que toma en p la imagen de una forma por cualquiera de los dos miembros ser´ la misma a que la imagen de la restricci´n de dicha forma al rango de la carta I × X por el o operador integral en dicho abierto. As´ pues, podemos trabajar con una forma ı definida en el rango de I × X . Como ambos miembros son lineales podemos tomarla de tipo ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . Si i1 = 0, es decir, si ω contiene a dt, entonces dω se expresar´ como suma de a formas, todas ellas con dt, luego tanto si hacemos actuar primero la diferencial como el operador integral obtenemos la forma nula. Supongamos, pues, que ω no contiene a dt. Entonces, tanto en un orden como en otro, llegamos a b i=ij a ∂f dt dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . ∂xi 404 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa Ahora probamos una igualdad que relaciona todas las funciones que acabamos de introducir y a partir de la cual se deducir´ f´cilmente el resultado que aa queremos probar sobre homotop´ ıas. Veamos que b b jb − ja = d ◦ i(e1 ) ◦ Ia + i(e1 ) ◦ Ia ◦ d. (11.1) Puesto que el operador integral conmuta con la diferencial, podemos escribir b el segundo miembro como (d ◦ i(e1 ) + i(e1 ) ◦ d) ◦ Ia . Por el argumento habitual podemos restringirnos al rango de una carta y trabajar con una forma ω = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . A su vez hemos de distinguir si aparece dt o no. Si no aparece tenemos que d(i(e1 )(ω )) = 0 y ∂f i(e1 )(dω ) = dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . ∂t b Al aplicar Ia obtenemos b a ∂f dt dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = (jb ◦ f − fa ◦ f )dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = jb (ω ) − ja (ω ). ∂t Supongamos ahora que ω = f dt ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik . Entonces dω = − i=ij ∂f dt ∧ dxi ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik , ∂xi luego i(e1 )(dω ) = − i=ij ∂f dxi ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik ∂xi y d(i(e1 )(ω )) = i=ij ∂f ∂f dt ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik . dxi ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxik + ∂xi ∂t Al sumar estos dos t´rminos nos queda s´lo el ultimo sumando de la ultima e o ´ ´ b igualdad y, como tiene dt, al aplicar Ia queda la forma nula. As´ mismo es claro ı que jb (ω ) − ja (ω ) = 0. Ahora conviene introducir el concepto siguiente: Definici´n 11.6 Sean φ, ψ : C −→ C homomorfismos de complejos inversos. o Diremos que son homot´picos si existe un homomorfismo h : C −→ C de grado o −1 tal que φ − ψ = h∂ + ∂h. Equivalentemente, tal que φk − ψ k = ∂ k hk+1 + hk ∂ k−1 . En tal caso diremos que h es una homotop´ 2 entre φ y ψ . ıa 2 Las homotop´ entre homomorfismos de complejos directos tienen grado 1 ıas 11.2. Homotop´ ıas 405 Es evidente que si φ y ψ son homot´picos entonces ψ − φ transforma cociclos o es cofronteras, por lo que φ = ψ . Casi tenemos probado el teorema siguiente: Teorema 11.7 Si f, g : S1 −→ S2 son aplicaciones homot´picas entre variedao des, entonces f , g : Λ(S2 ) −→ Λ(S1 ) son homomorfismos homot´picos. o ´ Demostracion: Sea H : R × S1 −→ S2 una homotop´ entre f y g . Definiıa 1 mos h = H ◦ i(e1 ) ◦ I0 . Claramente h : Λ(S2 ) −→ Λ(S1 ) es un homomorfismo de grado −1. Componiendo con H en ambos miembros de (11.1) obtenemos 1 1 H ◦ (j1 − j0 ) = H ◦ d ◦ i(e1 ) ◦ I0 + H ◦ i(e1 ) ◦ I0 ◦ d. El primer miembro es (j1 ◦ H ) − (j0 ◦ H ) = g − f . Teniendo en cuenta que H conmuta con la diferencial, el segundo miembro es d ◦ h + h ◦ d, luego h es una homotop´ ıa. Definici´n 11.8 Sean S1 ⊂ S2 variedades diferenciables. Una retracci´n de S2 o o en S1 es una aplicaci´n r : S2 −→ S1 diferenciable tal que r|S1 sea la identidad. o En tal caso se dice que S1 es un retracto de S2 . Si la retracci´n es homot´pica o o a la identidad en S2 entonces se dice que la variedad S1 es un retracto por deformaci´n3 de S2 . o Informalmente, S1 es un retracto por deformaci´n de S2 si S2 puede deforo marse gradualmente hasta quedar aplastado sobre S1 y ello sin mover ninguno de los puntos de S1 . Por ejemplo, la esfera unitaria de dimensi´n n es un retracto de la bola o (abierta o cerrada) de dimensi´n n + 1 de centro 0 y radio 2 menos el origen, tal o y como muestra el ejemplo que hemos visto de homotop´ En realidad es claro ıa. que los centros y los radios son irrelevantes: cualquier bola menos su centro se puede retraer homot´picamente hasta cualquier esfera conc´ntrica contenida en o e ella. La deformaci´n consiste en agrandar paulatinamente el agujero que deja o el centro y contraer los puntos exteriores a la esfera. Una superficie cil´ ındrica puede retraerse hasta una circunferencia (sin m´s a que aplastar verticalmente sus paredes). Un toro s´lido puede “estrangularse” o hasta una circunferencia. Las variedades que pueden retraerse a un punto se llaman contractibles. Entre ellas se encuentran Rn , las bolas abiertas y cerradas y, m´s en general, a todas las variedades cubribles por una sola carta con dominio contractible. En cambio, una esfera no es contractible (como veremos enseguida). El inter´s de todo esto radica en que los retractos por deformaci´n tienen la e o misma cohomolog´ ıa: 3 Estos conceptos tienen inter´s para espacios vectoriales arbitrarios, considerando entonces e retracciones y homotop´ continuas, ya no diferenciables. ıas 406 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa Teorema 11.9 Sea S1 un retracto por deformaci´n de una variedad S2 . Eno tonces la inclusi´n i : S1 −→ S2 induce un isomorfismo i : H (S2 ) −→ H (S1 ). o ´ Demostracion: Sea r : S2 −→ S1 una retracci´n homot´pica a la identidad o o en S2 . Entonces i ◦ r = I |S1 , luego r ◦ i = I |H (S1 ) . Por otra parte, r ◦ i, es o decir, r vista como aplicaci´n de S2 en S2 , es homot´pica a la identidad, luego o el teorema anterior nos da que r ◦ i = I |H (S2 ) , luego i ◦ r = I |H (S2 ) . Estas relaciones prueban que i y r son biyectivas y mutuamente inversas. As´ pues, si queremos conocer la cohomolog´ de todas las variedades conı ıa tractibles no tenemos m´s que estudiar la m´s simple de todas: el punto. a a Teorema 11.10 Sea S una variedad contractible. Entonces H 0 (S ) ∼ R, = H k (S ) = 0 para k = 0. ´ Demostracion: Seg´n lo dicho basta estudiar la cohomolog´ de De Rham u ıa de la 0-variedad S formada por un punto. La variedad tangente es trivial, luego Λk (S ) = 0 para k > 0 y consecuentemente todos los grupos de cohomolog´ ıa (salvo el primero) son triviales.4 Para terminar la secci´n observamos que, tal y como hab´ o ıamos afirmado, las esferas no son contractibles. M´s en general, ninguna variedad compacta a orientable S sin frontera es contractible. En efecto, si S tiene dimensi´n n, o el teorema de Stokes implica que la diferencial de una n − 1-forma en S tiene integral nula, pero el elemento de medida de S es una n-forma cuya integral no es nula, luego no es la diferencial de ninguna n − 1-forma, y obviamente es cerrada, luego H n (S ) = 0. 11.3 Sucesiones exactas Ya hemos visto c´mo las homotop´ nos permiten relacionar los grupos de o ıas cohomolog´ de variedades distintas. Otra potente herramienta para relacionar ıa grupos de cohomolog´ son las sucesiones exactas: ıa Definici´n 11.11 Diremos que una sucesi´n de homomorfismos de m´dulos o o o φk−2 φk−1 φk φk+1 · · · −→ Mk−1 −→ Mk −→ Mk+1 −→ · · · es exacta en Mk si Im φk−1 = N(φk ). Diremos que es exacta si lo es en todos los m´dulos. o 4 Quiz´ el lector ponga en duda que los teoremas que hemos probado pensando en variedades a arbitrarias sean aplicables a un punto. Lo cierto es que as´ es, pero, de todos modos, si S es ı un espacio contractible entonces la identidad es homot´pica a una funci´n constante c, pero o o I = I |H (S ) y ck = 0 para k > 0, todo ello sin hacer referencia a 0-variedades. 11.3. Sucesiones exactas 407 Notemos que la exactitud en M de una sucesi´n de la forma o α N −→ M −→ 0 equivale a que α sea suprayectiva (en situaciones como ´sta se entiende que la e flecha sin nombre representa al homomorfismo nulo, pues no hay otra posibilidad). Igualmente, la exactitud en M de una sucesi´n o α 0 −→ M −→ N equivale a que α sea inyectiva. Por consiguiente, una sucesi´n exacta de la forma o 0 −→ M −→ N −→ 0 nos da que M y N son isomorfos. Las situaciones de este tipo son las que hacen utiles a las sucesiones exactas. El resultado principal de esta secci´n es un teo´ o rema que a partir de una sucesi´n exacta entre complejos nos permite construir o una sucesi´n exacta entre sus grupos de cohomolog´ Como aplicaci´n obteno ıa. o dremos la cohomolog´ de las esferas. Veamos primero un resultado auxiliar. ıa Teorema 11.12 Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de m´dulos o y supongamos que sus filas son exactas. φ ψ φ ψ Z 1 −→ Z 2 −→ Z 3 −→ 0 2 3 1 ∂ ∂ ∂ 0 −→ Z 1 −→ Z 2 −→ Z 3 Entonces existe un homomorfismo de m´dulos ∂ ∗ : N(∂ 3 ) −→ Z 1 / Im ∂ 1 tal que o la sucesi´n o φ ψ δ∗ ¯ φ ¯ ψ N (∂ 1 ) −→ N(∂ 2 ) −→ N(∂ 3 ) −→ Z 1 / Im ∂ 1 −→ Z 2 / Im ∂ 2 −→ Z 3 / Im ∂ 3 ¯ es exacta, donde φ y ψ son las restricciones de φ y ψ a N(∂ 1 ) y N(∂ 2 ) y φ, ¯ ψ son los homomorfismos inducidos de forma natural. ¯ ¯ ´ Demostracion: Es f´cil comprobar que las aplicaciones φ , ψ , φ y ψ a 2 2 2 est´n bien definidas, as´ como la exactitud de la sucesi´n en N(∂ ) y Z / Im ∂ . a ı o Para definir δ ∗ tomamos c3 ∈ N(∂ 3 ). Entonces existe c2 ∈ Z 2 tal que c3 = ψ (c2 ). Como ψ (∂ 2 (c2 )) = ∂ 3 (ψ (c2 )) = ∂ 3 (c3 ) = 0, existe un c1 ∈ Z 1 tal que φ(c1 ) = ∂ 2 (c2 ). Es claro que c2 es unico m´dulo N(ψ ) = Im φ , luego ∂ 2 (c2 ) es unico m´dulo ´ o ´ o φ[Im ∂ 1 ], luego c1 es unico m´dulo Im ∂ 1 . ´ o ı Por lo tanto podemos definir δ ∗ (c3 ) = c1 + Im ∂ 1 . Es claro que, as´ definido, es un homomorfismo de m´dulos. (Observar que en definitiva δ ∗ se calcula o eligiendo una antiimagen por ψ , su imagen por ∂ 2 y una antiimagen por ψ .) Es claro que Im ψ ⊂ N(δ ∗ ). Si c3 ∈ N(δ ∗ ) entonces c1 = ∂ 1 (c1 ), para un cierto c1 ∈ Z1 , luego ∂ 2 (c2 ) = φ(c1 ) = φ(∂ 1 (c1 )) = ∂ 2 (φ (c1 )), con lo 408 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa que c2 − φ (c1 ) ∈ N(∂ 2 ) y as´ c3 = ψ (c2 ) = ψ c2 − φ (c1 ) + ψ φ (c1 ) = ı ψ c2 − φ (c1 ) ∈ Im ψ . ¯ ¯ Tambi´n es claro que Im δ ∗ ⊂ N(φ). Si c1 + Im ∂ 1 ∈ N(φ) entonces tenemos e 2 2 2 que φ(c1 ) ∈ Im ∂ , digamos φ(c1 ) = ∂ (c2 ), con c2 ∈ Z . Sea c3 = ψ (c2 ). Es claro que c3 ∈ N(∂ 3 ) y por construcci´n δ ∗ (c3 ) = c1 + Im ∂ 1 , luego concluimos o que c1 + Im ∂1 ∈ Im δ ∗ . He aqu´ el resultado que quer´ ı ıamos probar: φ ψ Teorema 11.13 Si 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 es una sucesi´n exacta de o homomorfismos de complejos de grado 0 entonces existe un homomorfismo de m´dulos δ ∗ : H (C) −→ H (A) de grado 1 tal que la sucesi´n siguiente es exacta: o o φk (δ ∗ )k ψk φk+1 · · · −→ H k (A) −→ H k (B) −→ H k (C) −→ H k+1 (A) −→ H k+1 (B) −→ · · · Equivalentemente, tenemos el tri´ngulo exacto a δ∗ H (C) −→ H (A) ψ φ H (B) ´ Demostracion: Tenemos las sucesiones exactas φk ψk 0 −→ C k (A) −→ C n (B) −→ C k (C) −→ 0, para todo k ∈ Z. Basta comprobar que el diagrama siguiente se encuentra en las hip´tesis del o teorema anterior. φk ψk C k (A)/F k (A) −→ C k (B)/F k (B) −→ C k (C)/F k (C)−→ 0 ∂k ∂k ∂k 0 −→ Z k+1 (A) φk+1 −→ Z k+1 (B) ψ k+1 −→ Z k+1 (C) (donde Z y F representan los grupos de cociclos y cofronteras de los complejos.) Ciertamente la fila superior est´ bien definida, ψ k es suprayectiva y se cumple a Im φk ⊂ N(ψ k ). Si ψ k (u + F k B) = 0 entonces ψ k (u) ∈ F k (C), luego ψ k (u) = ∂ k−1 (v ), para un cierto v ∈ C k−1 (C), que a su vez es de la forma v = ψ k−1 (w) con w ∈ C k−1 (B). As´ pues, ψ k (u) = ∂ k−1 ψ k−1 (w) = ψ k ∂ k−1 (w) , con lo ı que u − ∂ k−1 (w) ∈ N(ψ k ). Por consiguiente existe un x ∈ C k (A) tal que u − ∂ k−1 (w) = φk (x), luego u + F k (B) = φk x + F k (A) . Esto prueba la exactitud de la fila superior. Es obvio que el diagrama conmuta, que φk+1 es inyectiva y que Im φk+1 ⊂ N(ψ k+1 ). 11.3. Sucesiones exactas 409 Supongamos por ultimo que x ∈ N(ψ k+1 ). Entonces x = φk+1 (y ) para un ´ y ∈ C k+1 (A) y hay que probar que y ∈ Z k+1 (A). Ahora bien, φk+2 ∂ k+1 (y ) = ∂ k+1 φk+1 (y ) = ∂ k+1 (x) = 0 (pues x es un ciclo). Como φk+2 es inyectiva resulta que ∂ k+1 (y ) = 0, luego y es un ciclo. El homomorfismo δ ∗ recibe el nombre de homomorfismo de conexi´n de la o sucesi´n exacta dada. Conviene recordar c´mo act´a: dado un cociclo de C, o o u tomamos cualquier antiimagen por ψ , calculamos la cofrontera de ´sta, calculae mos su antiimagen por φ y la clase del cociclo resultante es la imagen por δ ∗ de la clase del cociclo de partida. Veamos un ejemplo importante de aplicaci´n de este teorema: o Sea S una variedad diferenciable y U1 , U2 dos abiertos en S de modo que S = U1 ∪ U2 , U1 ∩ U2 = ∅. Claramente, U1 , U2 , U1 ∩ U2 son variedades diferenciables. Consideramos las inclusiones j1 : U1 ∩ U2 −→ U1 , j2 : U1 ∩ U2 −→ U2 , i1 : U1 −→ M, i2 : U2 −→ M. A partir de ellas construimos una sucesi´n de aplicaciones lineales o α β 0 −→ Λ(S ) −→ Λ(U1 ) ⊕ Λ(U2 ) −→ Λ(U1 ∩ U2 ) −→ 0. (11.2) Definimos α(ω ) = i1 (ω ), i2 (ω ) y β (ω1 , ω2 ) = j1 (ω1 ) − j2 (ω2 ). Representaremos las diferenciales de Λ(S ), Λ(U1 ), Λ(U2 ) y Λ(U1 ∩ U2 ) mediante d, d1 , d2 y d12 respectivamente. Es claro que Λ(U1 ) ⊕ Λ(U2 ) es un complejo con el operador cofrontera dado por (d1 ⊕ d2 )(ω1 , ω2 ) = (d1 ω1 , d2 ω2 ). Las aplicaciones α y β son homomorfismos de complejos (es decir, conmutan con las diferenciales), luego inducen aplicaciones lineales α : H (S ) −→ H (U1 ) ⊕ H (U2 ), β : H (U1 ) ⊕ H (U2 ) −→ H (U1 ∩ U2 ). Veamos que la sucesi´n (11.2) es exacta, con lo que podremos aplicarle el o teorema 11.13. En primer lugar probamos que β es suprayectiva. Fijemos una partici´n de la unidad p1 , p2 en S subordinada al cubrimiento U1 , U2 , es decir, o p1 + p2 = 1, p1 ≺ U1 , p2 ≺ U2 . Tomemos ω ∈ Λ(U1 ∩ U2 ). La funci´n i1 (p2 ) est´ definida en U1 y se anula o a en un entorno de cada punto de U1 \ U2 , luego la forma ω1 = i1 (p2 ) ω se puede extender a U1 haci´ndola nula en U1 \ U2 . Similarmente tenemos ω2 = e i2 (p2 ) ω ∈ Λ(U2 ). Es inmediato comprobar que ω = β (ω1 , −ω2 ). La inyectividad de α es obvia: si α(ω ) = 0 entonces ω se anula en U1 y en U2 , luego se anula en S . Es claro que α ◦ β = 0, luego Im α ⊂ N β . Tomemos ahora (ω1 , ω2 ) ∈ N β . Entonces ω1 (p) = ω2 (p) para todo p ∈ U1 ∩ U2 y consecuentemente podemos definir ω ∈ Λ(S ) que extienda simult´neamente a ω1 y a ω2 , pero esto equivale a a decir que α(ω ) = (ω1 , ω2 ). 410 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa As´ pues, el teorema 11.13 nos da la existencia de un homomorfismo δ ∗ de ı grado 1 que hace conmutativo el tri´ngulo a δ∗ H (U1 ∩ U2 ) −→ H (S ) β α H (U1 ) ⊕ H (U2 ) En otras palabras, tenemos una sucesi´n exacta o β α δ∗ · · · −→ H k (S ) −→ H k (U1 ) ⊕ H k (U2 ) −→ H k (U1 ∩ U2 ) −→ H k+1 (S ) −→ · · · Esta sucesi´n se conoce como la sucesi´n de Mayer-Vietoris de S respecto o o al cubrimiento (U1 , U2 ). Ejemplo Para n ≥ 1, sea S n = {x ∈ Rn+1 | x = 1}, es decir, la esfera de dimensi´n n. Vamos a calcular su cohomolog´ o ıa. Fijemos 0 < < 1 y consideremos los abiertos U = {x ∈ S n | xn+1 > − }, V = {x ∈ S n | xn+1 < }. Los puntos de S n+1 con xn+1 = 0 forman el ecuador de la esfera, el cual divide a la misma en dos hemisferios, correspondientes a xn+1 ≤ 0 y xn+1 ≥ 0 respectivamente. Los abiertos U y V cubren cada uno un hemisferio extendi´ndose e un poco m´s all´ del ecuador. Podemos formar la sucesi´n de Mayer-Vietoris a a o de S n asociada al cubrimiento (U, V ): · · · −→ H k (S n ) −→ H k (U ) ⊕ H k (V ) −→ H k (U ∩ V ) −→ H k+1 (S n ) −→ · · · Es f´cil ver que U y V son contractibles. Por ejemplo, para contraer U hasta a el polo norte basta acercar paulatinamente a 1 la coordenada xn+1 de cada punto. Por otro lado, U ∩ V se puede contraer hasta el ecuador disminuyendo paulatinamente la coordenada xn+1 hasta hacerla nula. Tambi´n es claro que e a el ecuador de S n es difeomorfo a S n−1 (entendiendo que S 0 est´ formada por dos puntos). Teniendo en cuenta estas consideraciones, la sucesi´n de Mayero Vietoris se reduce a · · · −→ H k (S n ) −→ H k (p) ⊕ H k (p) −→ H k (S n−1 ) −→ H k+1 (S n ) −→ · · · donde p representa a una variedad de dimensi´n 0 (un punto). El grupo H k (p) o es distinto seg´n si k = 0 o si k > 0. Para k = 0 tenemos u 0 −→ R −→ R2 −→ H 0 (S n−1 ) −→ H 1 (S n ) −→ 0, y para k > 0 tenemos 0 −→ H k (S n−1 ) −→ H k+1 (S n ) −→ 0. 11.3. Sucesiones exactas 411 A partir de la primera sucesi´n, un simple c´lculo de dimensiones nos da la o a relaci´n dim H 1 (S n ) = dim H 0 (S n−1 ) − 1, con lo que o dim H 1 (S n ) = 1 0 si n = 1 si n > 1 La segunda sucesi´n nos da o dim H k+1 (S n ) = dim H k (S n−1 ), para k > 1. A partir de aqu´ una simple inducci´n prueba que ı, o dim H k (S n ) = 1 si k = 0 o k = n 0 si 1 ≤ k ≤ n − 1 ´ Este es el mejor resultado que pod´ ıamos obtener, teniendo en cuenta que ya sab´ ıamos que H n (S n ) = 0. Ejercicio: Calcular la cohomolog´ de un toro. ıa Ejercicio: Calcular la cohomolog´ de un c´ ıa ırculo abierto con n agujeros. Probar que el grupo H 1 de R2 con infinitos agujeros tiene dimensi´n infinita. o Veamos un ultimo ejemplo m´s sofisticado. Sea J : S −→ S una involuci´n ´ a o en una variedad, es decir, un difeomorfismo tal que J ◦ J sea la identidad. El caso t´ ıpico es J : S n −→ S n dado por J (p) = −p. Entonces J : Λ(S ) −→ Λ(S ) es un automorfismo con la misma propiedad: J ◦ J = I . Podemos descomponer Λ(S ) = Λ+ (S ) ⊕ Λ− (S ), donde Λ+ (S ) = {ω ∈ Λ(S ) | J (ω ) = ω }, Λ− (S ) = {ω ∈ Λ(S ) | J (ω ) = −ω }. En efecto, basta tener en cuenta que ω= ω + J (ω ) ω − J (ω ) + . 2 2 Estos dos subespacios son estables para la diferencial, luego podemos verlos como complejos inversos, y es claro entonces que H (S ) = H+ (S ) ⊕ H− (S ), donde H+ (S ) = {α ∈ H (S ) | J (α) = α}, H− (S ) = {α ∈ H (S ) | J (α) = −α}. k k Ejemplo Vamos a calcular H+ (S n ) y H− (S n ). Obviamente son todos nulos excepto los correspondientes a k = 0, n. En cada caso, uno de los dos ser´ nulo a y el otro tendr´ dimensi´n 1. S´lo hemos de decidir cu´l es cu´l. Para k = 0 a o o a a es obvio: la aplicaci´n ant´ o ıpoda J deja invariantes a las funciones constantes, 0 0 luego H+ (S n ) = R y H− (S n ) = 0. Para k = n sabemos que el elemento de medida dm es un n-cociclo con integral no nula y por lo tanto no es una cofrontera. Por consiguiente la clase 412 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa n de cohomolog´ de dm es una base de H n (S n ). Hemos de ver si est´ en H+ (S n ) ıa a n n n n o en H− (S ). Dado p ∈ S y v1 , . . . , vn ∈ Tp (S ), calculamos J (dm)(p)(v1 , . . . , vn ) = dm J (p) dJ (p)(v1 ), . . . , dJ (p)(vn ) . o Podemos considerar a J definida en todo Rn+1 . La aplicaci´n J en S es la restricci´n de ´sta, luego dJ en S es la restricci´n de dJ en Rn+1 , pero J es o e o lineal, luego dJ (p) = J , para todo p ∈ Rn , luego en definitiva dJ (p)(v ) = −v . Por consiguiente J (dm)(p) = (−1)n dm J (p) . Notar que la igualdad anterior tiene sentido porque S n tiene el mismo espacio tangente en dos puntos ant´ ıpodas. Sin embargo, es f´cil ver que la orientaci´n a o de Tp (S n ) es la opuesta de la de TJ (p) (S n ), por lo que dm J (p) = −dm(p). En resumen obtenemos que J (dm) = (−1)n+1 dm, con lo que H+ (S n ) = R 0 si n es impar si n es par H− (S n ) = 0 R si n es impar si n es par El inter´s de estos grupos de cohomolog´ se debe a lo siguiente: e ıa Teorema 11.14 Sea π : S −→ P un difeomorfismo local entre variedades, es decir, π es diferenciable y suprayectiva y todo punto de S tiene un entorno abierto V tal que π [V ] es abierto en P y la restricci´n de π a V es un dio feomorfismo en su imagen. Sea J una involuci´n en S y supongamos que o para todo p ∈ P se cumple π −1 (p) = {q, J (q )}, para cierto q ∈ S . Entonces k H k (P ) = H+ (S ). ´ Demostracion: Basta probar que π : Λ(P ) −→ Λ+ (S ) es un isomorfismo. Puesto que J ◦ π = π , tenemos que π ◦ J = π , luego la imagen de π (que en principio estar´ en Λ(S )) est´ en Λ+ (S ). ıa a Para probar que es inyectiva tomemos ω ∈ Λk (P ) no nula y veamos que su imagen es no nula. Tenemos que existe p ∈ P y v1 , . . . , vk ∈ Tp (P ) de modo que ω (p)(v1 , . . . , vk ) = 0. Sea p = π (q ), con q ∈ S . El hecho de que π sea un difeomorfismo local se traduce en que dπ (q ) es un isomorfismo, con lo que existen vectores w1 , . . . , wk tales que dπ (q )(wi ) = vi . Es claro entonces que π (ω )(q )(w1 , . . . , wk ) = ω (p)(v1 , . . . , vk ) = 0, luego π (ω ) = 0. Tomemos ahora ω ∈ Λk (S ) y veamos que tiene una antiimagen. Fijemos un + punto p ∈ P . Sea q ∈ S tal que π (q ) = p. Sea V un entorno de q en el cual π sea un difeomorfismo. Sea ωp = (π |−1 ) (ω |π[V ] ), que es una k -forma en π [V ]. V Veamos que ωp no depende de ninguna de las elecciones que hemos hecho para construirla. Si p es cualquier punto en π [V ] y q es su antiimagen en V , entonces ωp (p )(v1 , . . . , vk ) = ω (q )(dπ (q )−1 (v1 ), . . . , dπ (q )−1 (vk )). (11.3) 11.4. Aplicaciones al c´lculo vectorial a 413 Esta expresi´n no depende m´s que de ω salvo por el hecho de que hemos o a escogido la antiimagen q de p . S´lo hay otra alternativa, pues p no tiene o m´s antiim´genes que q y J (q ). Ahora bien, si en (11.3) sustituimos q por a a J (q ) el miembro derecho se convierte en ω (J (q )) actuando sobre los vectores dπ (J (q ))−1 (vi ), pero se cumple que J ◦ π = π , y por consiguiente dπ (q ) = dJ (q ) ◦ dπ (J (q )), luego dπ (J (q ))−1 (vi ) = dJ (q ) dπ (q )−1 (vi ) y, en definitiva, el miembro derecho de (11.3) se transforma en ω (J (q )) actuando sobre los vectores dJ (q ) dπ (q )−1 (vi ) , pero esto es lo mismo que J (ω )(q )(dπ (q )−1 (v1 ), . . . , dπ (q )−1 (vk )), que da el mismo resultado, porque ω ∈ Λ+ (S ). De este modo, para cada punto p ∈ P hemos construido una forma ωp en un entorno que al actuar sobre un punto q cualquiera da un resultado que s´lo o depende de ω . Por lo tanto, dos formas ωp y ωp coincidir´n en su dominio a com´n, luego la familia de formas que hemos definido determinan una unica u ´ forma ω ∗ ∈ Λp (P ), que en un entorno de cada punto viene dada por (11.3). Es inmediato que π (ω ∗ ) = ω . *Ejemplo El espacio proyectivo Pn (R) puede identificarse con el espacio que ıpoda. Como ya hemos coresulta de identificar cada punto de S n con su ant´ mentado en el caso del plano, para considerarlo como variedad diferenciable necesitar´ ıamos un concepto m´s abstracto de variedad que no exija que las a variedades est´n contenidas en Rm . De todos modos, Pn (R) est´ localmente e a a contenido en Rn+1 , en el sentido de que una carta de S n que no cubra m´s de un hemisferio puede considerarse una carta de Pn (R), lo que nos permite definir el espacio tangente de cada punto y, en general, todos los conceptos asociados a las variedades diferenciales. No vamos a entrar en detalles, pero si aceptamos que la proyecci´n π : S n −→ Pn (R) que a cada par de puntos ant´ o ıpodas les asigna una misma imagen en el espacio proyectivo es un difeomorfismo local, entonces el teorema anterior nos proporciona la cohomolog´ de los espacios ıa proyectivos, que resulta ser: H 0 Pn (R) = R, H k Pn (R) = 0, 1 ≤ k < n, 0 si n es par R si n es impar Incidentalmente tenemos una prueba de que los espacios proyectivos de dimensi´n par no son orientables, pues si lo fueran, al ser compactos, deber´ o ıan cumplir H n = 0. H n Pn (R) = 11.4 Aplicaciones al c´lculo vectorial a Tras los resultados de las secciones anteriores podemos afirmar que los abiertos en Rn que cumplen condiciones como H 1 (U ) = 0 son bastante frecuentes. Vamos a describir con un poco m´s de detalle las consecuencias de que los grupos a de cohomolog´ sean triviales. ıa 414 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa Nota A la hora de dar aplicaciones, resulta conveniente observar que las hip´tesis de diferenciabilidad pueden relajarse considerablemente. En efecto, o en las secciones anteriores hemos trabajado unicamente con formas de clase C ∞ ´ para que las cuestiones t´cnicas sobre diferenciabilidad no ocultaran las ideas e fundamentales de la cohomolog´ No obstante, si S es una variedad de clase C ∞ ıa. (no vale la pena relajar esta hip´tesis) podemos tomar como Λ(S ) el ´lgebra de o a las formas diferenciales continuas y definir Z k (S ) como el espacio de k -formas de clase C 1 con diferencial nula, F k (S ) como el espacio de las diferenciales de k +1formas de clase C 2 y H k (S ) como el correspondiente espacio cociente. En estas condiciones Λ(S ) no se ajusta a la definici´n de complejo, pues la diferencial o s´lo est´ definida en un subespacio de cada Λk (S ), el formado por las k -formas o a de clase C 1 , pero si el lector repasa las pruebas anteriores se convencer´ de a que todos los resultados valen en este contexto.5 As´ pues, cuando H k (S ) = 0 ı podemos asegurar que las k -formas cerradas de clase C 1 son exactas. La aplicaci´n m´s elemental es la siguiente: o a Teorema 11.15 Sea U un abierto en Rn tal que H 1 (U ) = 0. Entonces un campo F : U −→ Rn de clase C 1 es de la forma F = ∇f para una cierta funci´n f : U −→ R si y s´lo si o o ∂Fi ∂Fj = , ∂xj ∂xi para 1 ≤ i < j ≤ n. ´ Demostracion: Consideremos la 1-forma ω = F1 dx1 + · · · + Fn dxn . El campo F es el gradiente de una funci´n f si y s´lo si ω = df . Por hip´tesis esto o o o equivale a dω = 0 y, como n dω = i=1 j =i ∂Fi dxj ∧ dxi = ∂xj 1≤i<j ≤n ∂ Fi ∂Fj − ∂xj ∂xi dxj ∧ dxi , la condici´n dω = 0 equivale a la del enunciado. o Observemos que el teorema anterior afirma esencialmente que la condici´n o necesaria que el teorema de Schwarz impone a los campos de gradientes es tambi´n suficiente (en los abiertos considerados). Conviene destacar los casos e particulares correspondientes a n = 2 y n = 3: Teorema 11.16 Sea U un abierto en R2 tal que H 1 (U ) = 0. Entonces un campo F : U −→ R2 de clase C 1 es conservativo si y s´lo si o ∂f1 ∂f2 = . ∂y ∂x 5 Las modificaciones son todas obvias. Por ejemplo, en la definici´n de homomorfismo de o complejos hemos de exigir que las formas de clase C 1 se transformen en formas de clase C 1 . Lo mismo sucede en la definici´n de homotop´ o ıa. Ahora, si h es una homotop´ entre dos ıa homomorfismos φ y ψ y ω es una k-forma de clase C 1 , entonces φ(ω ) − ψ (ω ) = d h(ω ) . Como el miembro izquierdo es de clase C 1 lo mismo le sucede al derecho, luego φ(ω ) − ψ (ω ) es b una cofrontera. Notar que las aplicaciones i(e1 ) e Ia conservan el grado de derivabilidad y la 1 . Esto nos permite probar igualmente el teorema f´rmula (11.1) vale para formas de clase C o 11.9, y observaciones similares se aplican a los resultados posteriores. 11.4. Aplicaciones al c´lculo vectorial a 415 Teorema 11.17 Sea U un abierto en R3 tal que H 1 (U ) = 0. Entonces un campo F : U −→ R3 de clase C 1 es conservativo si y s´lo si rot F = 0. o Vimos en el cap´ ıtulo anterior que si F es un campo de clase C 2 , entonces div rot F = 0. El teorema siguiente nos da un rec´ ıproco parcial: Teorema 11.18 Sea U un abierto en R3 tal que H 2 (U ) = 0 y sea F : U −→ R3 un campo de clase C 1 . Entonces existe un campo G : U −→ R3 tal que F = rot G si y s´lo si div F = 0. o ´ Demostracion: Sabemos que d dΦ(F ) = div F dm, por lo que div F = 0 equivale a que dΦ(F ) = dω , para una cierta 1-forma ω = G dr, lo cual a su vez equivale a que F = rot G. De aqu´ se siguen algunos resultados importantes sobre unicidad de un ı campo: Teorema 11.19 Sea F : R3 −→ R3 un campo de clase C 1 tal que div F = rot F = 0 y F tienda a 0 en infinito. Entonces F = 0. ´ Demostracion: Como rot F = 0 tenemos que F = ∇φ, para cierta funci´n o φ : R3 −→ R de clase C 2 . Como ∆φ = div ∇φ = div F = 0, tenemos que φ es harm´nica. Es inmediato comprobar que si φ es cualquier funci´n de clase C 2 o o se cumple ∂ ∂φ . (∆φ) = ∆ ∂xi ∂xi De aqu´ se sigue en nuestro caso que las derivadas parciales de φ, es decir, las ı componentes de F son harm´nicas. Ahora bien, vimos en el cap´ o ıtulo anterior que una funci´n harm´nica que tienda a 0 en infinito ha de ser nula, es decir, o o F = 0. De aqu´ se sigue que si dos campos en R3 se anulan en el infinito y tienen ı la misma divergencia y el mismo rotacional, entonces son iguales. (En realidad basta con que la diferencia tienda a 0 en el infinito.) Es natural preguntarse ahora si las ecuaciones div F = G, rot F = H tienen soluci´n para dos campos o G y H prefijados. Si imponemos a G y H las condiciones necesarias para que F se anule en el infinito la respuesta es afirmativa. Antes conviene probar otro resultado: Teorema 11.20 Sea F un campo de clase C 1 en R3 tal que div F tenga soporte compacto. Entonces F puede descomponerse como F = V + U , donde rot V = 0 y div U = 0. ´ Demostracion: El campo V ha de ser de la forma ∇φ, para una cierta funci´n φ de clase C 2 . Adem´s ∆φ = div V = div F . Seg´n vimos en el cap´ o a u ıtulo anterior, esta ecuaci´n tiene como unica soluci´n el potencial newtoniano: o ´ o φ(x) = 1 4π R3 div F dm(y ). x−y 416 Cap´ ıtulo 11. Cohomolog´ de De Rham ıa Definimos, pues, φ de esta manera y V = ∇φ. Por lo tanto definimos U = F − V . Entonces div U = div F − div V = ∆φ − div ∇φ = 0. En las condiciones del teorema anterior tenemos que V = ∇φ y U = rot A, para una cierta funci´n φ : R3 −→ R y un cierto campo A : R3 −→ R3 . A φ o se le llama potencial escalar de F , mientras que A es el potencial vectorial de F . El primero est´ determinado salvo una constante, mientras que el segundo a lo est´ salvo un gradiente. Podemos determinar completamente A si exigimos a que div A = 0. Conviene definir el laplaciano vectorial de un campo A : R3 −→ R3 como ∆A = ∇ div A − rot rot A. Se comprueba que si A = (A1 , A2 , A3 ) entonces ∆A = (∆A1 , ∆A2 , ∆A3 ). Volviendo a nuestro caso, el potencial vectorial A de un campo F (determinado por la condici´n div A = 0) cumple ∆A = − rot rot A = − rot U = − rot F . o Concluimos as´ que los potenciales φ y A de un campo F con divergencia de ı soporte compacto est´n determinados por las ecuaciones a ∆φ = div F, ∆A = − rot F. Si rot F tiene tambi´n soporte compacto entonces la ultima ecuaci´n vectoe ´ o rial equivale a tres ecuaciones escalares an´logas a la primera, y las soluciones a son los potenciales newtonianos de las componentes del rotacional. En definitiva tenemos F (x) = − 1 ∇ 4π R3 div F 1 dm + rot x−y 4π R3 rot F dm. x−y Teorema 11.21 Dados dos campos D : R3 −→ R y R : R3 −→ R3 de clase C 2 y de soporte compacto de modo que div R = 0, existe un unico campo vectorial ´ F : R3 −→ R tal que div F = D y rot F = R. ´ Demostracion: Basta tomar ∆φ = D, ∆A = −R, F = ∇φ + rot A. Cap´ ıtulo XII Funciones Harm´nicas o Las funciones harm´nicas las introdujimos en el cap´ o ıtulo X, donde obtuvimos algunas de sus propiedades m´s importantes a partir de las f´rmulas de Green. a o Recordemos que una funci´n f de clase C 2 en un abierto de Rn es harm´nica si o o cumple la ecuaci´n ∆f = 0, conocida como ecuaci´n de Laplace. Las funciones o o harm´nicas aparecen en muchos problemas f´ o ısicos. Ya hemos visto su relaci´n o con los potenciales newtonianos. Por citar otro ejemplo, si V es la velocidad de un fluido incompresible (con densidad constante) sin fuentes ni sumideros (div V = 0) e irrotacional (rot V = 0, lo que equivale a que no forma remolinos), entonces V = ∇φ, para una cierta funci´n φ tal que ∆φ = div V = 0, es decir, o el campo de velocidades se deriva de un potencial harm´nico. o Es obvio que las funciones harm´nicas de una variable son exactamente o las de la forma f (x) = ax + b. M´s en general, todas las aplicaciones afines a son harm´nicas. Las propiedades b´sicas de las funciones harm´nicas pueden o a o verse como generalizaci´n de propiedades obvias de las rectas. Por ejemplo, o si conocemos los valores que toma una recta en los extremos de un intervalo conocemos tambi´n los valores que toma en el interior del mismo. Igualmente e sucede que una funci´n harm´nica en un abierto acotado est´ determinada por o o a los valores que toma en la frontera. Esto lo probamos en el cap´ ıtulo X, al igual que esta relaci´n m´s concreta: o a Teorema 12.1 (Teorema del valor medio de Gauss) Si x0 ∈ Rn y una o funci´n f : Br (x0 ) −→ R es continua en Br (x0 ) y harm´nica en ∂Br (x0 ), o entonces 1 f (x0 ) = f (x) dσ. σ (∂Br (x0 )) ∂ Br (x0 ) Esta propiedad generaliza al hecho obvio de que una recta toma en el centro de un intervalo la media aritm´tica de los valores que toma en sus extremos. e Paralelamente a estos resultados de unicidad, existen resultados de existencia, es decir, dada una funci´n continua sobre la frontera de un abierto Ω, ¿puede o extenderse a una funci´n harm´nica en Ω y continua Ω? Esta cuesti´n se conoce o o o 417 418 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o como problema de Dirichlet para Ω, y entre otras cosas probaremos que tiene soluci´n positiva en una familia muy amplia de abiertos. o 12.1 El problema de Dirichlet sobre una bola En esta secci´n resolveremos expl´ o ıcitamente el problema de Dirichlet para una bola, es decir, dada una funci´n continua sobre una esfera, veremos c´mo o o extenderla a una funci´n continua sobre la bola que limita y harm´nica en su o o interior. Primeramente demostramos un resultado b´sico sobre existencia de a funciones harm´nicas: o Teorema 12.2 Las unicas funciones harm´nicas en Rn de la forma g ( x ) son ´ o las de la forma A +B si n = 2 x n−2 f (x) = A log x + B si n = 2 ´ Demostracion: Sea f una funci´n de la forma indicada. La funci´n g es o o de clase C 2 en su dominio, pues f lo es y g (r) = f (r, 0, . . . , 0). Por consiguiente ∂f dg xi = , ∂xi dr x d2 g x2 dg ∂2f i 2 = dr 2 x 2 + dr ∂xi luego ∆f = 1 x2 − i3 x x , d2 g dg n − 1 + = 0. dr2 dr x Esta ecuaci´n se cumple para todo x = 0 en el dominio de f , de donde se o sigue claramente que d2 g dg n − 1 + =0 dr2 dr r para todo r = 0 en el dominio de g . En el ejemplo de la p´gina 247 vimos que a las unicas soluciones de esta ecuaci´n son las de la forma ´ o A +B si n = 2 rn−2 g (r) = A log r + B si n = 2 de donde se sigue que f tiene la forma indicada. Consideremos la bola abierta de centro 0 y radio r en Rn y una funci´n o o continua f : ∂Br (0) −→ R. Queremos extenderla a una funci´n continua que sea harm´nica en Br (0) (tomamos centro 0 por simplificar la notaci´n, pero o o todo vale igualmente para un centro arbitrario). Para ello nos valdremos de la funci´n o y 2− x 2 H (x, y ) = . x−y n 12.1. El problema de Dirichlet sobre una bola 419 Una comprobaci´n rutinaria muestra que, para cada y ∈ Rn fijo y todo o x = y se cumple ∆x H = 0, donde ∆x H representa el laplaciano de la funci´n o x → H (x, y ). Definimos uf (x) = 1 rσn−1 H (x, y )f (y ) dσ (y ), para x < r, y =r donde σn−1 es la medida de Lebesgue de ∂B1 (0). Como podemos derivar bajo la integral, es claro que ∆uf es harm´nica en Br (0). Vamos a probar que si o z ∈ ∂Br (0), entonces existe l´ uf (x) = f (z ). ım x→z Esto prueba que si extendemos uf a la frontera de la bola como uf (z ) = f (z ) obtenemos una extensi´n continua de f , que resuelve el problema de Dirichlet. o Consideremos primero el caso en que f = 1. Entonces u1 (x) = 1 rσn−1 y =r r2 − x 2 dσ (y ). x−y n Sea h el giro de centro 0 que cumple h( x e1 ) = x, donde e1 es el primer vector de la base can´nica. Aplicando el teorema de cambio de variable resulta o que r2 − h( x e1 ) 2 1 u1 (x) = dσ (y ) = u1 ( x e1 ), rσn−1 y =r h( x e1 ) − h(y ) n luego si llamamos g (r) = u1 (re1 ) hemos probado que u1 (x) = g ( x ), luego u1 tiene la forma indicada en el teorema anterior. Ahora bien, u1 est´ definida en a 0, luego la unica posibilidad es que u1 sea constante. Es f´cil ver que u1 (0) = 1, ´ a luego u1 = 1. Volvamos ahora al caso general. Fijemos un punto tal que z = r. Como f es continua en z , dado > 0 existe un δ > 0 tal que si y − z < δ entonces |f (y ) − f (z )| < /2. Tomemos x < r tal que x − z ≤ δ/2. Entonces uf (x) − f (z ) = uf (x) − f (z )u1 (x) = 1 rσn−1 y =r r2 − x 2 (f (y ) − f (z )) dσ (y ). x−y n Descomponemos en dos partes la integral. La primera sobre el conjunto de los puntos que cumplen y − z ≥ δ y la segunda sobre los que cumplen y − z < δ. En el primer caso tenemos δ ≤ y − z ≤ x − y + y − z ≤ x − y + δ/2, luego x − y ≥ δ/2. As´ pues, si M es una cota de f , ı |uf (x) − f (z )| ≤ ≤ 2M (r2 − x 2 ) rσn−1 2M (r2 − x 2 ) rσn−1 2 δ n 2 δ n + 2rσn−1 y =r r2 − x 2 dσ (y ) x−y n +. 2 Si tomamos x suficientemente pr´ximo a z podemos exigir que el primer o sumando sea menor que /2, con lo que obtenemos |uf (x) − f (z )| < . Con esto hemos probado el teorema siguiente: 420 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o Teorema 12.3 Sea f : ∂Br (x0 ) ⊂ Rn −→ Rn una funci´n continua. Entonces o existe una unica funci´n continua uf : Br (x0 ) −→ R que extiende a f y es ´ o harm´nica en Br (x0 ). En los puntos interiores de la bola uf viene dada por o uf (x) = 1 rσn−1 y −x0 =r H (x − x0 , y ) f (y ) dσ (y ). De aqu´ se desprenden muchas consecuencias. La unicidad de la extensi´n ı o nos da inmediatamente la siguiente propiedad de las funciones harm´nicas, que o generaliza al teorema de Gauss: Teorema 12.4 Sea f : Ω −→ R una funci´n harm´nica en un abierto de Rn , o o sea x0 ∈ Ω y r > 0 tal que Br (x0 ) ⊂ Ω. Entonces si x < r se cumple f (x) = 1 rσn−1 y −x0 =r H (x − x0 , y − x0 ) f (y ) dσ (y ). El teorema 7.23 puede aplicarse indefinidamente a esta integral, lo que prueba que las funciones harm´nicas son siempre de clase C ∞ . Las derivadas o parciales conmutan obviamente con el laplaciano, luego las derivadas parciales de cualquier orden de una funci´n harm´nica son funciones harm´nicas. La o o o f´rmula anterior nos da una informaci´n m´s precisa sobre las derivadas de una o o a funci´n harm´nica, de la que sacaremos consecuencias importantes: o o Teorema 12.5 Sea ω un abierto en Rn , sea f : Ω −→ R una funci´n continua o en Ω y harm´nica en Ω. Para cada punto x ∈ Ω sea d(x) = d(x, ∂ Ω). Entonces o ∂f n sup |f (y )|. (x0 ) ≤ ∂xi d(x0 ) y∈∂ Ω ´ Demostracion: Tomemos 0 < r < d(x0 ) y apliquemos el teorema anterior en la bola Br (x0 ). Derivando resulta ∂f 1 = ∂xi rσn−1 y −x0 =r −2(xi − x0i ) r2 − x − x0 2 −n (xi − yi ) f (y ) dσ, x−y n x − y n+2 luego ∂f (x0 ) ∂xi ≤ ≤ n |x0i − yi | |f (y )| dσ σn−1 rn+1 y−x0 =r n n sup |f (y )| ≤ sup |f (y )|. r y−x0 =r r y∈∂ Ω La ultima desigualdad se basa en que f no puede tomar un valor m´ximo o ´ a m´ ınimo en Ω, sino que los valores m´ximos y m´ a ınimos los toma en ∂ Ω, como se deduce f´cilmente del teorema del valor medio de Gauss. Si Ω no es compacto el a supremo puede ser infinito. Puesto que la desigualdad vale para todo r < d(x0 ), tambi´n se cumple para d(x0 ). e Como aplicaci´n probamos lo siguiente: o 12.2. Funciones holomorfas 421 Teorema 12.6 Sea Ω un abierto en Rn y {fn }∞ una sucesi´n de funciones o n=0 harm´nicas en Ω que converge uniformemente a una funci´n f . Entonces f es o o harm´nica en Ω. Adem´s la sucesi´n {Di fn } converge uniformemente a Di f . o a o ´ Demostracion: Tomemos un punto x ∈ Ω y apliquemos el teorema anterior a una bola cerrada de centro x contenida en Ω. Puesto que {fn }∞ n=0 converge uniformemente en la frontera, es claro que la sucesi´n {Di fn }∞ es o n=0 uniformemente de Cauchy en la bola cerrada, luego converge uniformemente a una funci´n g , que por el teorema 3.28 es Di f . As´ pues, f es de clase C 1 en o ı Ω. Como las funciones {Di fn } tambi´n son harm´nicas en la bola abierta, el e o mismo razonamiento prueba que Di f es de clase C 2 . Concretamente, las segundas parciales de f en la bola son el l´ ımite uniforme de las segundas parciales de las fn , luego ∆f es el l´ ımite de ∆fn , luego ∆f = 0. Otra aplicaci´n importante del teorema 12.5 es el hecho de que una funci´n o o harm´nica en todo Rn no puede estar acotada: o Teorema 12.7 (Teorema de Liouville) Si f : Rn −→ R es harm´nica y o acotada entonces es constante. ´ Demostracion: Aplicamos 12.5 en la bola de centro x y radio r, con lo que obtenemos ∂f nM ≤ , ∂xi r donde M es una cota de f . Como r es arbitrario concluimos que ∇f = 0, luego f es constante. 12.2 Funciones holomorfas Las funciones harm´nicas est´n estrechamente relacionadas con las funciones o a holomorfas, que son las funciones de variable compleja an´logas a las funciones a derivables en R. La definici´n que enlaza mejor con el c´lculo diferencial que o a estamos estudiando es la siguiente: Definici´n 12.8 Sea Ω ⊂ Cn un abierto. Una funci´n f : Ω −→ Cm es o o holomorfa si considerada como aplicaci´n f : Ω ⊂ R2n −→ R2m es de clase o C 1 y, para cada z ∈ Ω, la diferencial df (z ) : Cn −→ Cm es C-lineal. A partir de esta definici´n es obvio que la composici´n de funciones hoo o lomorfas es de nuevo una funci´n holomorfa. Tambi´n es f´cil ver que una o e a funci´n f : Ω −→ Cm es holomorfa si y s´lo si lo son sus funciones coordenadas o o fi : Ω −→ C. Por ello nos limitaremos a estudiar funciones con valores en C. Veamos qu´ ha de cumplir una aplicaci´n R-lineal g : Cn −→ C para que sea e o C-lineal. Si es C-lineal entonces g (z1 , . . . , zn ) = c1 z1 + · · · + cn zn , para ciertos n´meros complejos ci = ai + ibi . Si llamamos zi = xi + iyi entonces u g (x1 , y1 . . . , xn , yn ) = (a1 x1 − b1 y1 + · · · + an xn − bn yn , a1 y1 + b1 x1 + · · · + an yn + bn xn ), 422 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o luego la matriz de g es a1 −b1 . . . b1 a1 . . . an bn −bn an Rec´ ıprocamente, si la matriz de g es de esta forma —para n´meros reales u cualesquiera ai y bi — entonces g es C-lineal. Si aplicamos esto al caso en que g = df (z ) obtenemos el teorema siguiente: Teorema 12.9 Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y f : Ω −→ C una funci´n de o o clase C 1 . Entonces f es holomorfa en Ω si y s´lo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∂ Re f ∂Imf = , ∂xi ∂yi En tal caso df = ∂ Re f ∂Imf =− . ∂yi ∂xi ∂f ∂f dz1 + · · · + dzn , ∂z1 ∂zn donde usamos la notaci´n o ∂f ∂ Re f ∂ Im f = +i , dzi = dxi + idyi . ∂zi ∂xi ∂xi Las igualdades entre diferenciales han de entenderse como elementos del espacio Λ1 (Ω) de todas las aplicaciones de Ω en el espacio de aplicaciones Rlineales de Cn en C (con las operaciones definidas de forma obvia). Las llamaremos 1-formas complejas. Para el caso de funciones de una variable es costumbre escribir ∂f df f (z ) = (z ) en lugar de (z ). dz ∂z Notemos que la derivada parcial respecto de zi de una funci´n holomorfa f en un o punto (z1 , . . . , zn ) es la derivada de la funci´n z → f (z1 , . . . , zi−1 , z, zi+1 , . . . , zn ). o Ejemplo Recordemos que la funci´n exponencial compleja viene dada por o ez = ex+iy = ex (cos y + i sen y ). Ciertamente se trata de una funci´n de clase C 1 en C y o ∂ Re ez = ex cos y, ∂x ∂ Im ez = ex sen y, ∂x ∂ Re ez = −ex sen y, ∂y ∂ Im ez = ex cos y. ∂y Vemos que ez cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann y por consiguiente es una funci´n holomorfa en C. Su derivada es o dez ∂ Re ez ∂ Im ez = +i = ex cos y + i ex sen y = ez . dz ∂x ∂x 12.2. Funciones holomorfas 423 En general, si f es una funci´n holomorfa en un abierto de C que extiende o a una funci´n real g : I −→ R, para un cierto intervalo I , es decir, si Re f |I = g o e Im g |I = 0, para todo x ∈ I tenemos que f (x) = ∂ Im f ∂ Re f (x) + i (x) = g (x), ∂x ∂x es decir, si una funci´n holomorfa f extiende a una funci´n real g , entonces la o o derivada compleja de f extiende a la derivada real de g . Llamaremos H(Ω) al conjunto de todas las funciones holomorfas en el abierto Ω ⊂ Cn . Es claro que la suma de funciones holomorfas es holomorfa, as´ como el ı producto de un n´mero complejo por una funci´n holomorfa, m´s a´n, se cumple u o au la relaci´n d(α1 f + α2 g ) = α1 df + α2 dg , con lo que H(Ω) tiene estructura de o C-espacio vectorial. En el caso de una variable tenemos la regla de derivaci´n o (α1 f + α2 g ) = α1 f + α2 g . El producto de funciones holomorfas tambi´n es una funci´n holomorfa. Para e o probarlo consideramos la aplicaci´n f : C2 −→ C dada por f (z1 , z2 ) = z1 z2 = o x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ). Es claro que ∂ Re f ∂ Im f = x2 = , ∂x1 ∂y1 ∂ Re f ∂ Im f = −y2 = − , ∂y1 ∂x1 ∂ Re f ∂ Im f ∂ Re f ∂ Im f = x1 = , = −y1 = − , ∂x2 ∂y2 ∂y2 ∂x2 luego z1 z2 es holomorfa y d(z1 z2 ) = z2 dz1 + z1 dz2 . Usando la regla de la cadena deducimos que si f , g ∈ H(Ω) entonces f g ∈ H(Ω) y d(f g ) = f dg + g df . Esto implica que H(Ω) tiene estructura de algebra. En el caso de funciones de una ´ variable tenemos la regla usual de derivaci´n de productos. Ahora es evidente o que el anillo de polinomios C[z1 , . . . , zn ] est´ contenido en H(Cn ). a Ejercicio: Probar que la funci´n 1/z es holomorfa en C \ {0} y d(1/z ) = (−1/z 2 ) dz . o Concluir que si f : Ω ⊂ Cn −→ C es una funci´n holomorfa que no se anula, entonces o 1/f (z ) es tambi´n holomorfa. e Ejercicio: Probar que las funciones sen z y cos z son holomorfas, as´ como que ı (sen z ) = cos z , (cos z ) = − sen z . Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto. Toda 1-forma compleja en Ω es de la forma ω = Re ω + i Im ω , donde Re ω e Im ω son dos 1-formas reales en Ω. Si ω es de clase C 1 (es decir, si lo son sus partes real e imaginaria) definimos la 2-forma compleja dω = d Re ω + i d Im ω . Si f : Ω −→ C es una funci´n holomorfa o podemos considerar la 1-forma f (z ) dz = Re f (z ) dx − Im f (z ) dy + i Re f (z ) dy + Im f (z ) dx . Las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que d(f (z ) dz ) = 0. Por consiguiente, si H 1 (Ω) = 0 podemos concluir que existe una 0-forma compleja g = Re g + i Im g de clase C 1 en Ω de modo que Re f (z ) dx − Im f (z ) dy = ∂ Re g ∂ Re g dx + dy, ∂x ∂y 424 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o Re f (z ) dy + Im f (z ) dx = ∂ Im g ∂ Im g dx + dy. ∂x ∂y As´ pues, g cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann y es, por tanto, una ı funci´n holomorfa. Adem´s f (z ) = g (z ). M´s a´n, ∆ Re g = ∆ Im g = 0, o a au es decir, Re g e Im g son funciones harm´nicas, luego tambi´n lo son Re f e o e Im f . Si H 1 (Ω) = 0 las conclusiones siguen siendo v´lidas porque son locales, a es decir, podemos restringir f a una bola de centro un punto arbitrario de Ω y as´ obtenemos que f es de clase C ∞ en dicha bola, que las funciones Re f e ı Im f son harm´nicas y adem´s (una vez asegurada la derivabilidad de f ) las o a ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que f es holomorfa. M´s a´n, si f : Ω ⊂ Cn −→ C es holomorfa y z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Ω, podemos au aplicar el razonamiento anterior a las funciones que fijan todas las componentes de z menos una, con lo cual obtenemos: Teorema 12.10 Si f : Ω −→ C es una funci´n holomorfa en un abierto de o Cn , entonces f es de clase C ∞ en Ω, Re f e Im f son funciones harm´nicas y o las derivadas parciales de f son tambi´n holomorfas. e Vemos, pues, que las funciones holomorfas son infinitamente derivables. M´s a a´n, todas las propiedades de las funciones harm´nicas se traducen a propieu o dades an´logas de las funciones holomorfas. Por ejemplo, el teorema 12.6 nos a da: Teorema 12.11 (Teorema de Weierstrass) Si {fn }∞ es una sucesi´n de o n=0 funciones holomorfas en un abierto Ω ⊂ C que converge uniformemente en los subconjuntos compactos de Ω a una funci´n f : Ω −→ C entonces f es holomorfa o en Ω y {fn } converge a f uniformemente en los compactos de Ω. Basta observar que la convergencia uniforme de {fn } a f equivale a que {Re fn } converja uniformemente a Re f e {Im fn } converja uniformemente a Im f . La posibilidad de relajar la convergencia uniforme de 12.6 a la convergencia uniforme en compactos es clara, y de este modo el teorema es aplicable a las series de potencias (ver 3.26), de donde resulta que todas las funciones definidas por series de potencias son holomorfas. As´ tenemos otra prueba de ı que las funciones ez , sen z , cos z son holomorfas. Ejemplo El teorema de Liouville vale para funciones holomorfas en C, lo cual tiene una aplicaci´n cl´sica: el teorema fundamental del algebra. Si un o a ´ polinomio no constante P (z ) no tuviera ra´ complejas entonces 1/P (z ) ser´ ıces ıa una funci´n holomorfa y acotada en C, lo cual es imposible. o Vamos a dar un ultimo resultado sobre funciones de varias variables comple´ jas. Despu´s nos restringiremos al caso de una variable porque es el de mayor e inter´s y las ideas fundamentales se ven as´ m´s claramente. e ıa Teorema 12.12 Sea Ω un abierto en C tal que H 1 (Ω) = 0. Entonces toda funci´n harm´nica en Ω es la parte real de una funci´n holomorfa. o o o 12.2. Funciones holomorfas 425 ´ Demostracion: Sea f : Ω −→ R una funci´n harm´nica. Hemos de probar o o que existe una funci´n g : Ω −→ R de modo que f + ig sea holomorfa, es decir, o que sea de clase C 1 y cumpla ∂g ∂f =− , ∂x ∂y ∂g ∂f = . ∂y ∂x La existencia de g se sigue inmediatamente del teorema 11.15. Si dos funciones harm´nicas f y g cumplen que f + ig es una funci´n holoo o morfa se dice que son funciones harm´nicas conjugadas. Es f´cil ver que se trata o a de una relaci´n sim´trica y que dos conjugadas de una misma funci´n se difereno e o cian en una constante. El teorema anterior prueba que toda funci´n harm´nica o o en un abierto en C de cohomolog´ trivial tiene una funci´n harm´nica conjuıa o o gada. Vamos a necesitar algunos hechos elementales sobre integraci´n de funciones o complejas. Supongamos que C ⊂ C es una 1-variedad orientable (de hecho, toda 1-variedad es orientable). Si ω es una 1-forma compleja en C , diremos que es integrable si lo son Re ω e Im ω , y en tal caso definimos su integral como ω= C Re ω + i C Im ω. C Es f´cil ver que la integral as´ definida es C-lineal. Diremos que una funci´n a ı o f : C −→ C es integrable si lo es la 1-forma f (z ) dz , en cuyo caso definimos la integral de f como la de dicha forma. Antes hemos comprobado que si f es una funci´n holomorfa en un abierto o Ω, entonces d(f dz ) = 0, luego aplicando el teorema de Stokes a la parte real y a la parte imaginaria de la integral obtenemos el teorema siguiente: Teorema 12.13 Sea Ω un abierto acotado en C tal que Ω sea una 2-variedad con frontera. Sea f una funci´n holomorfa definida en un abierto que contenga o a Ω. Entonces f (z ) dz = 0. ∂Ω De aqu´ se desprenden propiedades muy importantes de las funciones holoı morfas. Para obtenerlas necesitamos algunos hechos b´sicos sobre integrales de a funciones complejas. Ante todo, a efectos de c´lculo es conveniente transformar a las integrales sobre 1-variedades en integrales sobre arcos. Supongamos que γ : [a, b] −→ C es una aplicaci´n de clase C 1 (en el sentido de que se extiende a o una aplicaci´n de clase C 1 sobre un intervalo que contiene a [a, b]) y de modo o que su restricci´n a ]a, b[ sea una carta de la 1-variedad C ⊂ C que cubra todos o sus puntos salvo a lo sumo un n´mero finito de ellos.1 Entonces es f´cil ver que u a b f (z ) dz = C 1 Todas f (γ (t))γ (t) dt, a las integrales sobre una 1-variedad se pueden reducir en la pr´ctica a integrales a sobre variedades en estas condiciones. El caso t´ ıpico es γ (t) = z0 + reit , con t ∈ [0, 2π ], que cubre a toda la circunferencia de centro z0 y radio r menos un punto. 426 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o donde la ultima integral se interpreta como el n´mero complejo que se obtiene ´ u integrando por separado la parte real y la parte imaginaria del integrando. Conviene observar que el miembro derecho tiene sentido aunque γ no sea la carta de ninguna variedad. Basta con que γ sea una aplicaci´n de clase C 1 (no o necesariamente inyectiva) y f una aplicaci´n continua sobre la imagen de γ . En o estas condiciones representaremos la integral por f (z ) dz. γ Como primer hecho importante notamos que el teorema 7.23 es aplicable para derivar integrales de funciones complejas: Si γ es un arco, K ⊂ C es su imagen y f : Ω × K −→ C es una funci´n tal que f ( , ζ ) es holomorfa en Ω para o cada ζ ∈ K , entonces la funci´n F (z ) = γ f (z, ζ ) dζ es holomorfa en Ω y o F (z ) = γ df (z, ζ ) dζ. dz Basta aplicar 7.23 para comprobar que F tiene derivadas parciales y ´stas e cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Si h : [a, b] −→ C es una funci´n continua se cumple la desigualdad o b b h(t) dt ≤ a |h(t)| dt. a En efecto: Si la integral de h es nula la desigualdad es obvia. En otro caso sea b a h(t) dt b a α= h(t) dt ∈ C. Entonces b b h(t) dt = α b h(t) dt = a a αh(t) dt, a pero como se trata de un n´mero real, en realidad ha de ser u b b a b Re(αh(t)) dt ≤ h(t) dt = a |h(t)| dt, a pues Re z ≤ |z | y |α| = 1. Aplicado a la integral de una funci´n f sobre un arco γ tenemos o b f (z ) dz ≤ γ |f (γ (t))| |γ (t)| dt. a 12.2. Funciones holomorfas 427 Ahora notamos que |γ (t)| dt es el elemento de longitud (no orientada) de γ , es decir, la medida de Lebesgue. Si convenimos en representarlo por |dz | la desigualdad anterior se escribe mejor de este modo: f (z ) dz ≤ γ |f (z )| |dz |. γ Si γ es una carta que cubre casi todos los puntos de una 1-variedad C , entonces la ultima integral es simplemente la integral de f respecto a la medida de Lebesgue ´ en C . Una consecuencia es que si {fn }∞ es una sucesi´n de funciones continuas o n=1 que convergen uniformemente en el rango de un arco γ a una funci´n f , entonces o f (z ) dz = l´ ım fn (z ) dz. n γ γ En efecto, dado > 0 existe un natural n0 tal que si n ≥ n0 entonces |fn (z ) − fn0 (z )| < /L(γ ), donde L(γ ) es la longitud de γ . Por lo tanto f (z ) dz − γ fn (z ) dz ≤ |f (z ) − fn (z )| |dz | ≤ . γ γ Una simple comprobaci´n muestra que la regla de Barrow es v´lida para o a integrales complejas, es decir, f (z ) dz = f γ (b) − f γ (a) . γ En particular, si γ (b) = γ (a) entonces f (z ) tiene integral nula sobre γ . Hemos visto que si H 1 (Ω) = 0 entonces toda funci´n f holomorfa en Ω tiene o una primitiva, luego γ f (z ) dz = 0, para todo arco cerrado γ en Ω. Esto se conoce como teorema de Cauchy. Por supuesto, la hip´tesis cohomol´gica es o o esencial, como muestra el ejemplo siguiente: Ejemplo Vamos a probar que si z0 ∈ C, r > 0 y n ∈ Z entonces |ζ −z0 |=r (ζ − z0 )n dζ = 0 si n = −1 2πi si n = −1 En efecto, se entiende que la integral se calcula sobre la circunferencia de centro z0 y radio r con la orientaci´n usual (en sentido antihorario), de modo o que una carta positiva es ζ = z0 + reit , para t ∈ [0, 2π ], luego |ζ −z0 |=r 1 dζ = ζ − z0 2π 0 ireit dt = 2πi. reit 428 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o Por otra parte, si n = −1 la funci´n (z − z0 )n tiene primitiva en C \ {0}, o concretamente la funci´n o (z − z0 )n+1 , n+1 luego la regla de Barrow implica que la integral es nula. En particular 1/z es un ejemplo de funci´n holomorfa en C \ {0} que no o tiene primitiva en dicho abierto. El resultado que acabamos de probar tiene consecuencias muy importantes. Para empezar tenemos lo siguiente: Teorema 12.14 (F´rmula integral de Cauchy) Sea f : Ω −→ C una funo ci´n holomorfa en un abierto Ω que contenga una bola cerrada Br (z0 ). Entonces, o si |z − z0 | < r y n es un n´mero natural se cumple u f n) (z ) = n! 2πi |ζ −z0 |=r f (ζ ) dζ. (ζ − z0 )n+1 ´ Demostracion: Probemos primero el caso n = 0 y z = z0 . En primer lugar observamos que el teorema 12.13 implica que la integral |ζ −z0 |=r f (ζ ) dζ ζ − z0 no depende de r, pues si tomamos dos radios distintos, las circunferencias que determinan (con orientaciones contrarias) son la frontera del anillo comprendido entre ambas, y el integrando es una funci´n holomorfa en la clausura de dicho o anillo. Sea > 0 y tomemos r suficientemente peque˜o para que si |ζ − z0 | = r n entonces |f (ζ ) − f (z0 )| < . Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, 1 2πi ≤ |ζ −z0 |=r 1 2π f (ζ ) 1 dζ − f (z0 ) = ζ − z0 2πi |ζ −z0 |=r |ζ −z0 |=r |f (ζ ) − f (z0 )| |dζ | ≤ r 2πr f (ζ ) − f (z0 ) dζ ζ − z0 |ζ −z0 |=r |dζ | = . Como esto se cumple para todo , concluimos que se da la igualdad buscada. Consideremos ahora un punto z tal que |z − z0 | < r y tomemos un radio s tal que Bs (z ) ⊂ Br (z0 ). Entonces el teorema 12.13 junto con la parte ya probada implica que 1 2πi |ζ −z0 |=r f (ζ ) 1 dζ = ζ −z 2πi |ζ −z |=s f (ζ ) dζ = f (z ), ζ −z pues las dos circunferencias constituyen la frontera del abierto Br (z0 ) \ Bs (z ). La f´rmula para n arbitrario se obtiene derivando ´sta. o e 12.2. Funciones holomorfas 429 Introducimos ahora un nuevo concepto que nos permitir´ generalizar notaa blemente estas f´rmulas. Consideremos una serie funcional de la forma o +∞ a−n , (z − z0 )n n=1 (12.1) donde a−n , z0 ∈ C. La funci´n h(z ) = 1/(z − z0 ) es un homeomorfismo de o C \ {z0 } en C \ {0} (su inversa es h−1 (z ) = z0 + 1/z ). Es claro que la serie anterior converge (absolutamente) en un punto z = z0 si y s´lo si la serie de o potencias ∞ a−n z n n=1 converge (absolutamente) en h(z ) (y la suma es la misma). Puesto que esta serie converge absolutamente en un disco de la forma B (0) (= C si = ∞) y diverge fuera de la clausura del mismo (teorema 3.26), concluimos que la serie original converge absolutamente en el abierto A = h−1 [B (0)] = {z ∈ C | |z − z0 | > r} (donde r = 1/ ) y diverge fuera de la clausura del mismo (supuesto > 0 y con el convenio 1/∞ = 0). M´s a´n, si K es un subconjunto compacto de A, la au serie de potencias converge uniformemente en h[K ], de donde se sigue f´cilmente a que la serie original converge uniformemente en K . El teorema de Weierstrass implica que (12.1) define una funci´n holomorfa sobre los n´meros z tales que o u |z − z0 | > r. Consideremos ahora una serie de potencias ∞ an (z − z0 )n . n=0 Si su radio de convergencia R es mayor que r, entonces podemos considerar la funci´n holomorfa o +∞ +∞ an (z − z0 )n = f (z ) = n=−∞ ∞ a−n + an (z − z0 )n , (z − z0 )n n=1 n=0 definida sobre el anillo A(z0 , r, R) = {z ∈ C | r < |z − z0 | < R}, donde quiz´ a R = +∞. Estas series dobles reciben el nombre de series de Laurent. Las series ∞ ∞ an (z − z0 )n , n=0 a−n , (z − z0 )n n=1 reciben el nombre de parte regular y parte singular, respectivamente, de la serie de Laurent. Los razonamientos anteriores muestran que si una serie de Laurent converge en un abierto (en el sentido de que lo hacen sus partes regular y singular) entonces converge en un anillo A(z0 , r, R). La convergencia es absoluta y uniforme en los compactos. Adem´s la serie diverge fuera de la clausura del anillo. a Ahora es f´cil ver que los coeficientes de una serie de Laurent convergente a en un anillo est´n completamente determinados por la funci´n holomorfa que a o determina: 430 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o Teorema 12.15 Supongamos que una serie de Laurent +∞ an (z − z0 )n n=−∞ converge en un anillo A(z0 , r, R) a una funci´n f . Sea r < ρ < R. Entonces o an = 1 2πi |ζ −z0 |=ρ f (ζ ) dζ. (ζ − z0 )n+1 ´ Demostracion: La serie de Laurent +∞ f (ζ ) = an (z − z0 )n−m−1 (ζ − z0 )m+1 n=−∞ converge obviamente en el mismo anillo que f , y la convergencia es uniforme en la circunferencia de radio ρ. Por lo tanto podemos intercambiar la integral con la suma: +∞ |ζ −z0 |=ρ f (ζ ) dζ = an (ζ − z0 )n+1 n=−∞ |ζ −z0 |=ρ (z − z0 )n−m−1 dζ = 2πiam , pues todos los sumandos son nulos excepto el correspondiente a n = m, seg´n u hemos visto anteriormente. Lo verdaderamente notable es que toda funci´n holomorfa en un anillo ado mite un desarrollo en serie de Laurent: Teorema 12.16 Sea f una funci´n holomorfa en el anillo A(z0 , r, R), donde o z0 ∈ C y 0 ≤ r < R ≤ +∞. Sea r < ρ < R y para cada n ∈ Z sea an = Entonces 1 2πi |ζ −z0 |=ρ f (ζ ) dζ. (ζ − z0 )n+1 +∞ an (z − z0 )n , f (z ) = para r < |z | < R. n=−∞ ´ Demostracion: El teorema de 12.13 implica que an es independiente de la elecci´n de ρ. Dado z ∈ A(z0 , r, R) tomamos r < ρ1 < |z | < ρ2 < R. Ahora o aplicamos el teorema 12.13 al anillo limitado por las circunferencias de centro z0 y radios ρ1 y ρ2 menos un disco de centro z y radio suficientemente peque˜o n para que su clausura est´ contenida en dicho anillo. Obtenemos que e f (z ) = = 1 2πi 1 2πi |ζ −z |= f (ζ ) dζ ζ −z |ζ −z0 |=ρ2 f (ζ ) 1 dζ − ζ −z 2πi |ζ −z0 |=ρ1 f (ζ ) dζ ζ −z 12.2. Funciones holomorfas = 1 2πi |ζ −z0 |=ρ2 1 = 2πi 431 f (ζ ) 1 dζ − (ζ − z0 ) − (z − z0 ) 2πi |ζ −z0 |=ρ2 f (ζ ) dζ 1 z −z0 + ζ − z0 1 − ζ −z0 2πi 1 2πi = 1 2πi + |ζ −z0 |=ρ2 f (ζ ) ζ − z0 |z −z0 |=ρ1 f (ζ ) z − z0 |ζ −z0 |=ρ1 f (ζ ) dζ (ζ − z0 ) − (z − z0 ) |ζ −z0 |=ρ1 f (ζ ) dζ ζ z − z0 1 − z−z0 −z ∞ n=0 ∞ n=0 0 z − z0 ζ − z0 n ζ − z0 z − z0 n dζ dζ. Para intercambiar las sumas con las integrales hemos de justificar que las series convergen uniformemente en las circunferencias. Esto se sigue del criterio de mayoraci´n de Weierstrass. Por ejemplo, para la primera tenemos o f (ζ ) ζ − z0 z − z0 ζ − z0 n ≤ M ρ2 |z − z0 | ρ2 n y la sucesi´n de la derecha es una progresi´n geom´trica de raz´n menor que 1, o o e o luego determina una serie convergente. Con la segunda serie se razona igualmente. As´ pues, ı ∞ f (z ) = 1 2πi n=0 |ζ −z0 |=ρ2 f (ζ ) dζ (ζ − z0 )n+1 ∞ + 1 2πi n=0 |ζ −z0 |=ρ2 f (ζ )(ζ − z0 )n dζ (z − z0 )n (z − z0 )−n−1 +∞ an (z − z0 )n . = n=−∞ Definici´n 12.17 Sea f : Ω −→ C una funci´n holomorfa. Diremos que un o o punto z0 es una singularidad aislada de f si Br (z0 ) \ {z0 } ⊂ Ω para cierto radio r > 0. Es decir, z0 es una singularidad aislada de f si f est´ definida alrededor de a z0 (pero tal vez no en z0 ). Puesto que Br (z0 ) \ {z0 } = A(z0 , 0, r), el teorema anterior implica que f admite un desarrollo en serie de Laurent +∞ an (z − z0 )n , f (z ) = para 0 < |z − z0 | < r. n=−∞ Los coeficientes an est´n un´ a ıvocamente determinados por f , luego podemos definir el orden de f en z0 como o(f, z0 ) = ´ {n ∈ Z | an = 0}, ınf 432 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o entendiendo que o(f, z0 ) = +∞ si an = 0 para todo n y o(f, z0 ) = −∞ si hay coeficientes a−n = 0 para n arbitrariamente grande. Veamos la informaci´n que nos da el orden de una singularidad aislada. Si o o(f, z0 ) ≥ 0 entonces la serie de Laurent es en realidad una serie de potencias, o definida tambi´n en z0 , por lo que f se extiende a una funci´n holomorfa en e Ω ∪ {z0 }. Concretamente f (z0 ) = a0 . M´s en general, la f´rmula de Cauchy nos a o da que si n ≥ 0 entonces an = 1 2πi |ζ −z0 |=r f (ζ ) f n) (z0 ) dζ = . n+1 (ζ − z0 ) n! Por consiguiente el desarrollo de Laurent de f es ∞ f (z ) = f n) (z0 ) (z − z0 )n , n! n=0 es decir, la serie de Laurent de f es precisamente su serie de Taylor. Ahora sabemos que la serie converge a f en todo disco abierto de centro z0 contenido en Ω. Cuando o(f, z0 ) ≥ 0 se dice que z0 es una singularidad evitable de f . En general, si o(f, z0 ) = n ∈ Z, podemos extraer un t´rmino (z − z0 )n de e la serie de Laurent, de modo que nos queda una serie de potencias con primer coeficiente no nulo, es decir, f (z ) = (z − z0 )n g (z ), donde g (z ) es una funci´n o holomorfa definida en un entorno de z0 y tal que g (z0 ) = 0. La unicidad de la serie de Laurent implica f´cilmente que esta descomposici´n es unica. a o ´ Si o(f, z0 ) = n > 0 se dice que z0 es un cero de orden n de f . Notemos que si f es un polinomio este concepto de orden de un cero coincide con la multiplicidad de una ra´ Si o(f, z0 ) = −n < 0 se dice que z0 es un polo de ız. orden n de z0 . Es claro que f (z ) tiende a infinito cuando z tiende a un polo. Finalmente, si o(f, z0 ) = −∞ se dice que el punto z0 es una singularidad esencial de f . Notemos que f no puede estar acotada en un entorno de una singularidad esencial. En efecto, si lo estuviera, tambi´n lo estar´ la parte e ıa singular de su serie de Laurent, es decir, tendr´ ıamos una funci´n o +∞ g (z ) = a−n (z − z0 )n n=1 convergente para 0 < |z − z0 | y acotada en un entorno de z0 . Entonces la funci´n o g (1/(z − z0 )) est´ definida por una serie de potencias que converge en C y tiene a que estar acotada en un entorno de ∞, luego est´ acotada en todo C. Por el a teorema de Liouville ha de ser constante, luego de hecho ha de ser nula, al igual que g , lo que nos da una contradicci´n. o Tampoco puede ser que una funci´n f tienda a ∞ cuando z tiende a una o singularidad esencial z0 , pues entonces 1/f tender´ a 0, luego z0 ser´ una ıa ıa singularidad evitable de 1/f (no puede ser un polo ni una singularidad esencial), digamos 1/f (z ) = (z − z0 )n g (z ), para una cierta funci´n g holomorfa en un o 12.2. Funciones holomorfas 433 entorno de z0 que no se anula en z0 . Por consiguiente f (z ) = (z − z0 )−n (1/g (z )), donde el segundo factor es una funci´n holomorfa en un entorno de z0 que no o se anula. Desarroll´ndola en serie de Taylor vemos que f tiene un polo en z0 , a en contra de lo supuesto. Como los casos que hemos considerado son todos los posibles y se excluyen mutuamente, hemos probado lo siguiente: Teorema 12.18 Sea z0 una singularidad aislada de una funci´n holomorfa f . o Entonces a) z0 es una singularidad evitable de f si y s´lo si f est´ acotada en un o a entorno de z0 . Adem´s en tal caso existe l´ f (z ) ∈ C. a ım z →z0 b) z0 es un polo de f si y s´lo si l´ f (z ) = ∞. o ım z →z0 c) z0 es una singularidad esencial de f si y s´lo si f no tiene l´ o ımite (finito o infinito) en z0 . Definici´n 12.19 Si z0 es una singularidad aislada de una funci´n holomorfa o o f se llama residuo de f en z0 al coeficiente a−1 de su serie de Laurent en z0 . Lo representaremos por Res(f, z0 ). El residuo de f es lo unico que influye al calcular una integral a lo largo de ´ una circunferencia que rodee a z0 y a ninguna otra singularidad de f . En efecto, si una funci´n f es holomorfa en BR (z0 ) \ {z0 } y 0 < r < R entonces o +∞ f (ζ ) dζ = |ζ −z0 |=r |ζ −z0 |=r n=−∞ an (z − z0 )n dζ +∞ = an n=−∞ = |ζ −z0 |=r (z − z0 )n dζ 2πiRes(f, z0 ). M´s en general, tenemos el siguiente resultado, que extiende al teorema de a Cauchy. Teorema 12.20 (Teorema de los residuos) Sea Ω ⊂ C un abierto acotado tal que Ω sea una variedad con frontera en las condiciones del teorema de Stokes 10.26. Sea f una funci´n holomorfa definida en un abierto que contenga o a Ω salvo a lo sumo un n´mero finito de sus puntos, ninguno de ellos en ∂ Ω. u Entonces f (ζ ) dζ = 2πi Res(f, z ). ∂Ω z ∈Ω ´ Demostracion: Para cada punto z ∈ Ω donde no est´ definida f tomamos e una bola cerrada de centro z y radio r suficientemente peque˜o como para que n el anillo A(z, 0, r) est´ contenido en Ω y no contenga ninguna singularidad de f e (no evitable). 434 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o Aplicamos el teorema de Stokes a la variedad formada por Ω menos las bolas abiertas. El resultado es que la integral de f en ∂ Ω es igual a la suma de las integrales de f a lo largo de las circunferencias, cuyo valor ya lo hemos calculado y es el que requiere el teorema. El teorema de los residuos tiene innumerables aplicaciones, especialmente al c´lculo de integrales y suma de series. Veamos una a modo de ejemplo. a Teorema 12.21 Consideremos una funci´n racional (cociente de polinomios) o R(x) = P (x) ∈ R(x), Q(x) de modo que grad Q(x) ≥ grad P (x) + 2 y Q(x) no tenga ra´ reales. Entonces ıces +∞ R(x) dx = 2πi −∞ Res(R, z ). Im z>0 ´ Demostracion: La funci´n R(z ) est´ definida sobre todo el plano complejo o a salvo en las ra´ ıces de Q(z ), que son un n´mero finito. Sea r un n´mero real u u mayor que el m´dulo de cualquiera de estas ra´ o ıces. Consideremos el semic´ ırculo Ω de centro 0 y radio r contenido en el semiplano superior. Est´ en las condicioa nes del teorema de Stokes, pues su frontera tiene tan s´lo dos puntos singulares o (±r). Al aplicar el teorema de los residuos obtenemos que R(z ) dz = 2πi ∂Ω Res(R, z ). Im z>0 La frontera de Ω menos sus dos puntos singulares es la uni´n de dos varieo dades: la semicircunferencia de carta reit , para t ∈ [0, π ], y el intervalo [−r, r], una carta del cual es la identidad. As´ pues, ı r R(z ) dz = π −r ∂Ω R(reit )eit dt. R(x) dx + ir (12.2) 0 Pongamos que R(z ) = a1 a0 − an + anz 1 + · · · + zn−1 + zn an z n + · · · + a1 z + a0 1 = m−n . b b0 b m z m + · · · + b 1 z + b0 z bm + bm−1 + · · · + zm1 1 + zm − z El ultimo t´rmino tiende a an /bm cuando z tiende a ∞, luego para valores ´ e grandes de |z | se cumple |R(z )| ≤ C C ≤ 2, |z |m−n |z | con C ∈ R. Por consiguiente π R(reit )eit dt ≤ ir 0 πrC πC , = r2 r 12.2. Funciones holomorfas 435 luego el ultimo t´rmino de (12.2) tiende a 0 cuando r tiende a +∞. Puesto ´ e que la expresi´n es constante (es la suma de los residuos de R(z )), tambi´n ha o e de existir el l´ ımite la integral sobre [−r, r]. Teniendo en cuenta que R(x) s´lo o puede cambiar de signo un n´mero finito de veces, el teorema de la convergencia u mon´tona puede aplicarse para justificar que R(x) es integrable en R. Al tomar o l´ ımites en (12.2) se obtiene la igualdad del enunciado. Ejemplo Vamos a calcular +∞ −∞ dx . 1 + x4 iπ/4 Si llamamos ζ = e , las ra´ ıces del denominador son ζ , ζ 3 , ζ 5 , ζ 7 , de las cuales tienen parte imaginaria positiva √ √ √ √ 2 2 2 2 3 ζ= +i y ζ =− +i . 2 2 2 2 Tenemos que R(z ) = (z − ζ )−1 g (z ), donde g (ζ ) = 0, luego ζ es un polo simple (de orden 1) del integrando R. El argumento que sigue es una t´cnica e general para calcular residuos de polos simples. Ha de ser R(z ) = Res(R, ζ ) + h(z ), z−ζ para cierta funci´n h holomorfa alrededor de ζ . Por consiguiente o (z − ζ )R(z ) = Res(R, ζ ) + (z − ζ )h(z ) y as´ el residuo puede calcularse como ı Res(R, ζ ) = l´ (z − ζ )R(z ). ım z →ζ En nuestro caso Res(R, ζ ) = = 1 1 = (z − ζ 3 )(z − ζ 5 )(z − ζ 7 ) (ζ − ζ 3 )(ζ − ζ 5 )(ζ − ζ 7 ) 1 ζ5 =, 3 (1 − i)(1 + 1)(1 + i) ζ 4 l´ ım z →ζ y del mismo modo llegamos a Res(R, ζ 3 ) = Por consiguiente +∞ −∞ (ζ 3 − ζ )(ζ 3 ζ7 1 =. 5 )(ζ 3 − ζ 7 ) −ζ 4 √ dx − 2i π ζ5 + ζ7 = 2πi =√ . = 2πi 4 1+x 4 4 2 436 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o 12.3 Funciones subharm´nicas o Recordemos que una funci´n real de una variable es convexa si y s´lo si su o o gr´fica en un intervalo queda por debajo de la recta que coincide con ella en a sus extremos. Si sustituimos “recta” por “funci´n harm´nica” y generalizamos o o a una dimensi´n arbitrara obtenemos el concepto de funci´n subharm´nica: o o o Definici´n 12.22 Sea Ω un abierto en Rn . Una funci´n continua f : Ω −→ R o o es subharm´nica (superharm´nica) si para toda bola cerrada B contenida en Ω o o se cumple que f |B ≤ h (f |B ≥ h), donde h es la funci´n (continua) harm´nica o o en (el interior de) B que coincide con f en ∂B . Es inmediato que una funci´n es harm´nica si y s´lo si es subharm´nica y o o o o superharm´nica al mismo tiempo, as´ como que una funci´n f es subharm´nica o ı o o si y s´lo si −f es superharm´nica y viceversa. Esto hace que todo teorema o o sobre funciones subharm´nicas se traduzca inmediatamente a otro an´logo sobre o a funciones superharm´nicas. Por lo tanto en lo sucesivo trabajaremos unicamente o ´ con funciones subharm´nicas. o No exigimos que las funciones subharm´nicas sean derivables, pero si son o al menos de clase C 2 entonces pueden ser caracterizadas en t´rminos de su e laplaciano: Teorema 12.23 Sea f una funci´n real de clase C 2 en un abierto Ω ⊂ Rn . o Entonces f es subharm´nica si y s´lo si ∆f ≥ 0. o o ´ Demostracion: Supongamos que ∆f ≥ 0 y tomemos una bola cerrada B de centro x0 contenida en Ω. Sea h la funci´n harm´nica en B que coincide con o o f en ∂B . Hemos de probar que f ≤ h, equivalentemente, que f |B − h ≤ 0. Por a continuidad y compacidad f |B − h ha de tomar un valor m´ximo en la clausura de B . Si ´ste es positivo lo tomar´ en un punto x1 ∈ B (pues en la frontera f e a coincide con h). Tomando c > 0 suficientemente peque˜o, la funci´n n o φ(x) = c x − x0 2 + f (x) − h(x) cumple φ(x1 ) > φ(x) para todo x ∈ ∂B . En efecto, si x ∈ ∂B se cumple φ(x) = cr2 , luego basta tomar c > 0 de modo que cr2 < f (x1 ) − h(x1 ). De nuevo por continuidad y compacidad, φ tomar´ su valor m´ximo en un a a punto de la clausura de B , pero seg´n lo dicho ha de ser en realidad un punto u interior x2 ∈ B . La funci´n que resulta de fijar todas las variables de φ menos o la i-´sima tiene un m´ximo en (x2 )i , luego2 e a ∂2φ (x2 ) ≤ 0. ∂x2 i Sumando las derivadas obtenemos que 0 ≥ ∆φ(x2 ) = 2nc + ∆f (x2 ) − ∆h(x2 ) = 2nc + ∆f (x2 ), 2 Si una funci´n real f de clase C 2 tiene un m´ximo en un punto x, entonces f (x) = 0 y o a f (x) ≤ 0, pues si f (x) > 0 tendr´ ıamos que f ser´ positiva a la derecha de x, con lo que f ıa ser´ creciente a la derecha de x y f (x) no podr´ ser un m´ximo. ıa ıa a 12.3. Funciones subharm´nicas o 437 luego ∆f (x2 ) ≤ −2nc < 0, en contra de lo supuesto. Por consiguiente el m´ximo a de fB − h es menor o igual que 0 y as´ f es subharm´nica. ı o Rec´ ıprocamente, si f es subharm´nica en Ω pero ∆f < 0 en alg´n punto, o u por continuidad existir´ una bola abierta B en la cual ∆f < 0, luego por la a parte ya probada −f ser´ subharm´nica en B , luego f ser´ subharm´nica y a o a o superharm´nica en B , luego ser´ harm´nica y en realidad cumplir´ ∆f = 0 en o a o a B , con lo que tenemos una contradicci´n. o La propiedad de ser subharm´nica es local. El teorema anterior lo prueba o para funciones de clase C 2 , pero es cierto en general, como se desprende del siguiente resultado: Teorema 12.24 Sea f : Ω −→ R una funci´n subharm´nica en un abierto de o o Rn . Si x0 ∈ Ω y Br (x0 ) ⊂ Ω, entonces f (x0 ) ≤ 1 rn−1 σn−1 f (x) dσ, x−x0 =r donde σn−1 es la medida de Lebesgue de la esfera unitaria de dimensi´n n − 1. o Rec´ ıprocamente, si f es continua y cumple la desigualdad anterior en cada punto x0 para una sucesi´n de radios rn > 0 convergente a 0, entonces f es o subharm´nica en Ω. o ´ Demostracion: Sea h la funci´n harm´nica en Br (x0 ) que coincide con f o o en la frontera. Entonces f (x0 ) ≤ h(x0 ) = 1 rn−1 σn−1 f (x) dσ. x−x0 =r Veamos el rec´ ıproco. Sea x0 ∈ Ω y sea R > 0 tal que BR (x0 ) ⊂ Ω. Sea h la funci´n harm´nica en la bola que coincide con f en la frontera. Hemos de probar o o que f ≤ h. Sea g = f − h y m su supremo en la bola cerrada. Hemos de ver que es menor o igual que 0. Supongamos, por el contrario, que m > 0. Como g es nula en la frontera de la bola, el conjunto E = {x ∈ BR (x0 ) | g (x) = m} es un subconjunto compacto de BR (x0 ). Sea x1 ∈ E tal que x1 − x0 sea m´ximo. a De este modo, para todo r suficientemente peque˜o, al menos media esfera de n centro x1 y radio r est´ fuera de E . Tomando como r uno de los valores para a los que se cumple la desigualdad del enunciado obtenemos: m = g (x1 ) = f (x1 ) − h(x1 ) ≤ < 1 rn−1 σn−1 1 rn−1 σn−1 x−x1 =r (f (x) − h(x)) dσ m dσ = m, x−x1 =r lo que prueba que m = 0, o sea, f ≤ h en la bola. As´ pues, f es subharm´nica. ı o 438 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o Ejemplo Si Ω es un abierto en C y f : Ω −→ C es una funci´n holomorfa, o entonces |f | es una funci´n subharm´nica. o o En efecto, tomemos una bola Br (z0 ) ⊂ Ω. Entonces la f´rmula integral de o Cauchy nos da |f |(z0 ) = 1 2πi |ζ −z0 |=r f (ζ ) 1 dζ ≤ ζ − z0 2πr |ζ −z0 |=r |f |(ζ ) dζ. Basta aplicar el teorema anterior. Veamos otra propiedad importante de las funciones subharm´nicas. Para o el caso particular del m´dulo de una funci´n holomorfa recibe el nombre de o o Principio del m´dulo m´ximo. o a Teorema 12.25 (Principio del m´ximo) Sea f una funci´n subharm´nica a o o no constante en un abierto Ω ⊂ Rn . Entonces a) Para todo x0 ∈ Ω se cumple f (x0 ) < sup f (x). x∈Ω b) Si Ω est´ acotado y f es continua en Ω, entonces para todo x0 ∈ Ω se a cumple f (x0 ) < m´x f (x). a x∈∂ Ω ´ Demostracion: Podemos suponer que Ω es conexo. Sea m = sup f (x) (quiz´ m = +∞). Descomponemos Ω como uni´n de los conjuntos a o Ω1 = {x ∈ Ω | f (x) = m}, x∈Ω Ω2 = {x ∈ Ω | f (x) < m}. La continuidad de f implica que Ω2 es abierto. Si probamos que Ω1 tambi´n e lo es, por conexi´n uno de los dos ser´ vac´ pero como f no es constante tendr´ o a ıo, a que serlo Ω1 y a) quedar´ demostrado. Para probar que Ω1 es abierto podemos a suponer que es no vac´ lo que implica que m es finito. ıo, Tomemos x0 ∈ Ω1 . Al ser f subharm´nica, para r suficientemente peque˜o o n se cumple 0≤ x−x0 =r f (x) dσ − σn−1 rn−1 f (x0 ) = x−x0 =r f (x) − f (x0 ) dσ Como f (x) − f (x0 ) = f (x) − m ≤ 0, la desigualdad anterior es una igualdad, y f (x) = m para todo x tal que x − x0 = r, para todo r suficientemente peque˜o, es decir, hay un entorno de x0 contenido en Ω1 . Esto prueba a). El n apartado b) es una consecuencia inmediata. Como aplicaci´n obtenemos la unicidad de la soluci´n del problema de Dio o richlet para abiertos con frontera no vac´ (no necesariamente acotados): ıa Teorema 12.26 Sea Ω un abierto en Rn distinto de ∅ y de Rn . Sea f : Ω −→ R una funci´n continua harm´nica en Ω y tal que f = 0 en ∂ Ω. Entonces f = 0 o o en Ω. 12.4. El problema de Dirichlet 439 ´ Demostracion: Basta probar que f es constante en Ω, pero si no lo fuera, por el teorema anterior deber´ ser f < 0 en Ω (porque f es subharm´nica) y ıa o f > 0 en Ω (porque −f es subharm´nica). o Veamos algunas propiedades adicionales que en la secci´n siguiente nos ayuo dar´n a probar que el problema de Dirichlet tiene soluci´n en una familia muy a o amplia de abiertos. Teorema 12.27 El m´ximo de dos funciones subharm´nicas es una funci´n a o o subharm´nica. o ´ Demostracion: Sean f1 y f2 dos funciones subharm´nicas en un abierto o Ω ⊂ Rn . Sea f (x) = max{f1 (x), f2 (x)}. Fijada una bola cerrada B contenida en Ω, sean h, h1 y h2 las funciones harm´nicas en en B que coinciden con f , o f1 y f2 respectivamente en la frontera. Entonces h − h1 ≥ 0 en ∂B , y al ser harm´nica la desigualdad vale tambi´n en B , es decir, f1 ≤ h1 ≤ h, e igualmente o e o f2 ≤ h2 ≤ h, luego f ≤ h. Por consiguiente f es subharm´nica. Similarmente se prueba: Teorema 12.28 La suma de dos funciones subharm´nicas es una funci´n subo o harm´nica. o Teorema 12.29 Sea Ω un abierto en Rn y B una bola cerrada contenida en Ω. o Sea f una funci´n subharm´nica en Ω y f la funci´n que coincide con f fuera o o de B y es harm´nica en B . Entonces f es subharm´nica en Ω. o o ´ Demostracion: Aplicaremos el teorema 12.24. Basta considerar puntos x0 ∈ ∂B . Notemos que f ≤ f en Ω. Entonces f (x0 ) = f (x0 ) = 12.4 1 σn−1 rn−1 x−x0 =r f (x) dσ ≤ 1 σn−1 rn−1 f (x) dσ. x−x0 =r El problema de Dirichlet Recordemos que el problema de Dirichlet para un abierto Ω ⊂ Rn consiste en determinar si las funciones continuas en ∂ Ω pueden extenderse a funciones continuas en Ω harm´nicas en Ω. El teorema 12.26 prueba que tales extensiones o son unicas cuando realmente existen (suponiendo ∂ Ω = ∅), pero hasta ahora ´ s´lo hemos probado que el problema tiene soluci´n para las bolas abiertas. o o Sea f : ∂ Ω −→ R una funci´n continua y acotada. Llamaremos familia o de Perron de f al conjunto P (f, Ω) de todas las funciones u continuas en Ω, subharm´nicas en Ω y tales que u|∂ Ω ≤ f . Si M es una cota de f , entonces el o principio del m´ximo prueba que toda funci´n u en estas condiciones cumple a o u ≤ M en Ω. Por consiguiente podemos definir la funci´n de Perron de f como o Pf (x) = sup{u(x) | u ∈ P (f, Ω)}, para x ∈ Ω. 440 Cap´ ıtulo 12. Funciones Harm´nicas o Ahora observamos que si el problema de Dirichlet tiene soluci´n para f y o Ω, entonces la soluci´n ha de ser Pf . En efecto, la soluci´n g est´ obviamente o o a o en P (f, Ω), luego g ≤ Pf . Por otra parte, si u