ME02203C - Integral de Riemann unidimensional 87 Cap tulo 8...

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Unformatted text preview: Integral de Riemann unidimensional 87 Cap tulo 8. Integral de Riemann unidimensional Sea f una funcion de nida en el intervalo a b] y x0 2 a b] de manera que : ( 1 si x = x0 f (x) = 0 si x 6= x0 R Demostrar que f es R-integrable en a b] y que ab fdx = 0. 1.- Dada la funcion real de variable( de nida por: real 0 si x 2 Q f (x) = 1 si x 2 IR ; Q Demostrar que f no es R-integrable en a b] 8a b 2 IR a < b. 2.- 3.- Justi car que la funcion y = sign(x) es Riemann-integrable en cualquier intervalo real compacto. Hallar su integral de nida en ;1 x] con x 2 ;1 1]. Nota: La funcion \signo de x" se de ne 8x 2 IR por: 8 > 1 si x > 0 < sign(x) = > 0 si x = 0 : ;1 si x < 0 Dada la funcion real de variable real de nida por: 8 sen2 x x 2 0 ) > > ;1 x = < f (x) = > cos2 x x 2 ( 2 ) > : 0 x=2 >Es R-integrable en el intervalo 0 2 ]? En caso a rmativo, calcular su integral de nida en el intervalo considerado. 4.- Sea f acotada en un intervalo a b]. Si jf j es Riemann-integrable en a b], >se puede asegurar que f tambien lo es? 5.- 6.- Demostrar que se veri can las siguientes igualdades: Zb Z a 0 ;b=a f (x)dx = Zb a f (b + ax)dx = f (a + b ; x)dx Z b=a 0 f (b ; ax)dx © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 88 Justi car si son ciertas o falsas las siguientes a rmaciones: i) Toda funcion f : IR ! IR continua en a b] es R-integrable. ii) Toda funcion R-integrable en a b] es continua en a b]. iii) Si f 2 es R-integrable en a b], entonces f es R-integrable en a b]. iv) Si f 3 es R-integrable en a b], entonces f es R-integrable en a bR. R v) Si f y g son funciones tales que f (x) = g (x) 8x 2 a b] ; Q, entonces ab f = ab g . R vi) Si f es R-integrable en 0 ] y 0 f (x)dx = 0, entonces, f (x) = 0 en 0 ]. 7.- 8.- Demostrar que son ciertas las siguientes a rmaciones: Si f es una funcion par: f (x) = f (;x), entonces: Za ;a f (x)dx = 2 Za 0 f (x)dx Si f es una funcion impar: f (x) = ;f (;x), entonces: Za ;a f (x)dx = 0: R Justi car que si f (x) es una funcion impar, entonces ; (f (x))2 sen xdx = 0: 10.- Sea f : IR ! IR continua. Se de ne F : IR ! IR tal que: 8 1Zx < f (t)dt si x 6= 0 F (x) = 2x ;x : f (0) si x = 0 9.- Demostrar que F es continua en IR, y que si 9f 0 (0), entonces 9F 0 (0). Demostrar que F 2 C 1 (IR ; f0g). Dada f : 0 2] ! IR continua en 0,2] y derivable en (0,2), supongamos que 9k > 0 tal que jf 0(x)j k 8x 2 (0 2). Demostrar que se veri ca: 11.- e;2k < 12.- 1 0 Z e;f (t) dt 2 1 ef (t)dt < e2k Calcular la derivada de las siguientes funciones (en un intervalo donde exista): Z x 1+t x 2 t4 Z x2 et 1 13.- Z t dt dt Z 2 Z dy y3 + 1 Zx x sen t 3 t " dt Calcular los l mites siguientes: R 2 x x et dt lim+ R x t02 x!0 0 e sen tdt sen2 x Ze 0 x 0 2 e;t dt dt Z e ln (x + 1) dx x Z t 1 1 1 + t2 ;x R x sen tdt lim+ 0 R x t x! 0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 x 0 e dt t4 cos tdt Integral de Riemann unidimensional 89 Sean a b 2 IR con a < b, y f g : a b] ! IR dos funciones continuas tales que f es creciente y 0 < g (x) < 1 8x 2 a b]. Se de nen las funciones h k l: a b] ! IR como: 14.- h(x) = Zx a g (t)dt Zx k(x) = f (t)g (t)dt a l(x) = Za +h(x) a f (t)dt: i) Demostrar que h es creciente y que h(x) x ; a 8x 2 a b]. ii) Demostrar que l0(x) k0(x) 8x 2 (a b). Dada f : IR ! IR derivable con f 0 (t) > 0 8t 2 IR, y tal que f (t) = 0 () t = 0 estudiar la existencia de extremos de la funcion: 15.- Z x2 ; x 5 +6 F (x) = 0 f (t)dt Dada la funcion g : IR ! IR continua en IR, se pide: i) Si g es derivable en x0 y g (x0) = 0, hallar: 1 Z x g (t)dt lim x!x0 (x ; x0 )2 x0 ii) Si g es derivable en 0 y g (0) = 0, hallar: 16.- lim x!0 17.- x Z x2 1 2n+4 tn g (t)dt 0 Sea la funcion f : 0 1] ! IR de nida por: f (x) = Z xe 2(t+1) t+1 0 x2 dt 0 1] i) Demostrar que f 2 C 1((0 1)) y que existe la inversa f ;1 continua en 0 f (1)]. ii) Demostrar que la ecuacion f (x) + x2 = 1 tiene una unica ra z real en 0 1]. 18.- Sea F : IR ! IR de nida por: F (x) = Z 2 ;t e 1+x t 1 8x 2 IR dt Demostrar que F 2 C 2 (IR) y calcular el polinomio de Taylor de grado 2 que aproxima a F en un entorno de x = 0. 19.- Demostrar que existe el siguiente l mite y hallar una cota superior: lim+ x!0 20.- Z x 1 1 te; t2 sen(1=t)dt Estudiar, segun el valor de p, la convergencia de las siguientes integrales impropias: Z + a 1 dx xp Z a dx 0 + xp © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 a>0 Calculo. Problemas y soluciones 90 21.- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias: Z Z 1 sen2 x dx x2 1 Z +1 ln x dx x2 1 Z +1 1 dx x2 + 1 Z;1 1 xe;x dx + Z Z 1 x p 1 ; x2 Z ln x p dx 0 2 0 7 2 e;x =2dx 1 1 p dx dx ; Z 2 dxx sen (1=x)dx 1 1 Z 2 + 0 0 22.- 1 + 1 ;1 (x + 1) 3 Z 1 sen x p dx ;1 1 + x Z1 e;x cos xdx dx x 0 Sea f : (0 +1) ! IR de nida por: 8 e;x >p < x+x f (x) = >p 1 : 3 1 + x2 0<x<1 x 1 i) Justi car que f es Riemann-integrableRen a b] 8a > 0 8b > a. ii) Estudiar la convergencia de la integral 0+1 f (x)dx. 23.- Sea la funcion f : 0 +1) ! IR de nida por: f (x) = Zx 0 2 e;t sen(t2 ; 1)dt t2 + 1 x2 0 +1) i) Demostrar que 9 x!+1 f (x) y hallar una cota superior para este l mite. lim ii) Considerar la funcion F : IR + IR ! IR de nida por F (x y ) = f (x) + y 2 + 3. Calcular la variacion de F (x y ) en el punto (1 1) a lo largo de la curva x2 + y 2 = 2y . © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Integral de Riemann unidimensional 91 Anexo 24.- Z Calcular las siguientes integrales inde nidas: Z ln x dx x Z p 3x dx 2 Z x2x; + 1 1 dx 2+1 Zx Z Z dx 4 + x2 Z ln xdx x 2 Z ex dx Z x+2 dx x+1 Z x ; 3x 4 Z Z Z x(x ; 1)(x ; 2) dx cos x sen xdx Z 1 + sen x 1 ; sen x dx 4 Zp x (1 ; x ) dx Z dx 23 px + px 3 Z dx Z Z Z 2 sen x cos xdx x2 sen x3 dx cos(ln x)dx ex cos xdx dx x + 10x + 13 3x + 5 dx 2 + 2x + 2)2 (x 2 cos xdx 2 sen x cos xdx Z cos x sen2 x dx Z px2 + 1 dx 2 3 Z px x Zp x x + 1dx Z sen x 9 ; x2dx dx Z cosexx 2 x dx Z 1 ; 3e x sen xdx Z x arcsin x p dx 1;x Z dx 2 Z Z Z dx x3 + 1 x3 (x2 + 1)2 dx sen3 xdx cos3 x sen xdx Z sen t 1 + cos2 t dt Z 3 x2 + 1 p2 dx x + 2x + 4 Zp ;x2 + x + 1dx Hallar el area de las siguientes regiones en el plano: 1) Region comprendida entre la parabola x2 = 2y y el c rculo x2 + y 2 = 8. 2) Region comprendida entre las circunferencias x2 + y 2 = 9 y (x ; 3)2 + y 2 = 9. 3) Region limitada por las parabolas x = ;y 2 + 2y x = y 2 ; 2y + 2 y el eje OX. 25.- Calcular el area de la region plana comprendida entre las curvas y = xe;x y y = x2e;x , y calcular el volumen que aquella genera al girar en torno del eje OX. 26.- Calcular el volumen de los siguientes solidos de revolucion : 1) Solido generado al girar la region comprendida entre las curvas y = e;jxj x = 1 x = ;1 y el eje OX: a) en torno del eje OX b) en torno del eje OY. 2) Solido generado al girar en torno al eje OX, el trozo de c rculo x2 + (y ; 1)2 1 comprendido entre las rectas y = 0 y y = 1. 3) Solido generado al girar alrededor del eje OX la super cie que es interior a x2 + y 2 = 4 y exterior a x2 + y 2 = 4x. 27.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Integral de Riemann unidimensional. Soluciones 93 Integral de Riemann unidimensional. Soluciones 1.- Usar la de nicion de integral de Riemann o el teorema de Lebesgue. 2.- Usar la de nicion de integral de Riemann o el teorema de Lebesgue. Zx 3.- ;1 sign(y)dy = ( ;1 ; x si x 0 x ; 1 si x > 0 4.- f es R-integrable en el intervalo 0 2 ] y su integral de nida en el intervalo considerado vale . 5.- No 6.- Aplicar los cambios de variable y = a + b ; x y y = ;x respectivamente. 7.- i) V ii) F iii) F iv) V v) V vi) F 8.- Aplicar cambios de variable. Demostrar que la funcion g (x) = f (x)2 sen x es impar y aplicar el problema anterior. 9.- 10.- Indicacion: Aplicar los teoremas del valor medio para el calculo integral y diferencial. 11.- 12.- 1 + x2 ; x3 1 1 + ex (2ex ; 1) sen 3x x x x4 2 sen x cos xe; sen4 x ex 1 + e2x © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 ln (et + 1) x4 cos(;x) Calculo. Problemas y soluciones 94 2y1 2 14.- Indicacion: i) Demostrar que h0 (x) > 0 8x 2 a b] y utilizar g (x) < 1 ii) De nir (x) = k(x) ; l(x) y ver que 0 (x) 0 8x 2 (a b). 13.- 15.- x = 2 y x = 3 son m nimos relativos y x = 5 maximo relativo. 2 16.- 1 i) 2 g 0(x0) ii) 2n2+4 g 0(0) 17.- i) Ver que f 0 es una funcion continua, f 0(x) > 0 8x 2 0 1] y relacionar con inyectividad. ii) Aplicar el teorema de Bolzano. 18.- P2(x) = 1 x2 e Para demostrar que existe el l mite, integrales impropias. Una cota superior es 19.- aplicar los criterios de comparacion para 1 e;1 . 2 20.- R +1 dx converge si p > 1 y diverge si p 1. xp a R a dx converge si p < 1 y diverge si p 1. 0+ xp 21.- converge converge a 1 converge a 1 converge a 1 converge converge converge a 1 converge a -4 p converge a 2 2 converge a 6 converge converge a 1/2 22.- i) Aplicar el teorema de Lebesgue. ii) Es divergente. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Integral de Riemann unidimensional. Soluciones 95 23.- i) 2 ii) 2 24.- p p 3x dx = 3 x2 + 1 + C x2 Z p +1 3 x x2 + 1dx = 1 (x2 + 1) 2 + C 3 Z sen x 1 +C cos2x dx = cos x Z 1 x2 sen x3dx = ; 3 cos x3 + C Z ln x dx = 1 (ln x)2 + C 2 Zx sen2 x Z Z Z Z cos(ln x)dx = x (cos(ln x) + sen(ln x)) + C 2 x2exdx = ex(x2 ; 2x + 2) + C Z x2 ; 1 x2 + 1 dx = x ; 2 arctan x + C Z x+2 x + 1 dx = x + ln jx + 1j + C Z 3 5 sen2 x cos3 xdx = sen x ; sen x + C 3 5 5 x (1 ; x2)3dx = ; 1 (1 ; x2) 2 + C 5 Zp sen x cos xdx = +C 2 Z dx 1 x 2 = 2 arctan ( 2 ) + C Z 4+x Z Z ln xdx = x ln x ; x + C x sen xdx = ;x cos x + sen x + C x ex cos xdx = e (sen x + cos x) + C 2 e dx = ; 1 ln j1 ; 3exj + C x Z 1 ; 3e x 3sen 2x cos2 xdx = 2 + 4 + C x Z sen3 xdx = ; cos x + 1 cos3 x + C 3 Z cos x 1 2 x dx = ; sen x + C sen p Z dx 1 1 ln jx2 ; x + 1j + 3 arctan( 2x ; 1 ) + C p x3 + 1 = 3 ln jx + 1j ; 6 3 3 Z x4 ; 3x 2 x (x 2) dx = + 3x + 2 ln jx ; 1j + 5 ln jx ; 2j + C Z xdx ; 1)(x ; 1 + sen x2 1 Z Z Z Z Z cos x = 2 ln j 1 ; sen x j + C 3 sen4 xdx = 8 x ; sen 2x + sen 4x + C 4 8 3x + 5 x ; 1=2 2 + 2x + 2)2 dx = arctan (x + 1) + x2 + 2x + 2 + C (x 1 + sen x dx = 2 tan x + 2 ; x + C 1 ; sen x cos x 2+1 p 3 + 1 p 3x dx = ( 2 x ; 9 ) x2 + 2x + 4 ; 2 arg sinh( xp 1 ) + C 2 + 2x + 4 2 3 x px ; 3 px + 6 px ; 6 ln j px + 1j + C 3 6 6 px dx px = 2 +3 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 96 25.- 4 1) 2 + 3 p 2) 9( 23 ; 23 ) 3) 2 3 26.- A = 3 ; 1 y V = 4 (16e;2 ; 2) e 27.- 1) a) (1 ; e12 ) 2) 2 ; 4 3 3) 22 3 b) (3 ; 5 ) e © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Integral multiple de Riemann 97 Cap tulo 9. Integral multiple de Riemann 1.- R Calcular el valor de la integral R f (x y )dxdy , en los casos siguientes: f (x y) = xy(x + y) y R = 0 1] 0 1] f (x y) = x + y ; 3xy2 y R = 0 1] 1 3] ( 1 x=y f (x y) = y R = 0 1] 0 1] 0 x 6= y (2 2 2 2 x +y x +y 1 f (x y) = y R = ;1 1] ;1 1] 0 x2 + y 2 > 1 Calcular el area limitada por las curvas x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x, y = x y y = 0. 2.- Una piramide esta limitada por los tres planos de coordenadas y el plano x + 2y + 3z = 6. Calcular su volumen. 3.- 4.- Calcular el volumen del solido limitado por el paraboloide hiperbolico los planos z = 0, x = 1 y x = 3. z = x2 ; y2 y Calcular el volumen del solido limitado por el paraboloide hiperbolico z = xy , los cilindros x2 + y 2 = 1 y (x ; 1)2 + (y ; 1)2 = 1, y el plano z = 0. 5.- 6.- Calcular el volumen del solido limitado por los cilindros z = x2 y z = 4 ; y 2 . 7.- Aplicar un cambio a coordenadas polares para resolver las siguientes integrales: Z a Z pa2;y2 0 0 Z aZ x 0 0 (x + y )dxdy (x + y 2 2 2 2 );1=2 dydx Z a Z pa2;x2 p 0 0 Z Zx 1 0 x2 a2 ; x2 ; y2dydx (x2 + y 2);1=2 dydx Considerar en el primer octante de IR3 el solido A limitado por los planos de coordenadas y el plano x + y + z = 1 (tetraedro unidad). Calcular Z 1 dxdydz A (x + y + z + 1)3 8.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 98 9.- Z Calcular R 3xydxdy siendo R la region limitada por las rectas x ; 2y = 0, x ; 2y = ;4, x + y = 4 y x + y = 1. 10.- Resolver la siguiente integral aplicando un cambio de coordenadas: Z A dxdydz siendo A el solido limitado por dos esferas de radios 1 y 4 centradas en el origen. 11.- Dada la funcion continua f : (0 +1) ! IR, demostrar que: Z p B f ( x + y + z )dxdydz = 4 2 2 2 donde B = f(x y z ) 2 IR 3 : x2 + y 2 + z 2 2 Z 0 f (r)r2dr g 12.- Calcular el volumen del solido comprendido entre z2 x2 +y2 y x2 +y2 +z2 2z. Calcular el volumen del solido de IR 3 de nido por: A = f(x y z) 2 IR3 : x2 + y2 1 y 0 y x 0 z 1 ; x2 ; y2g. 13.- Calcular el volumen del solido limitado por una esfera centrada en el origen y de radio R, y un cilindro vertical de radio R=2 centrado en el punto (0 R=2 0). (Llamado: Boveda de Viviani). 14.- Sean la funcion f : IR2 ! IR de nida por f (x y ) = (x2 + y 2 );2 y el solido A IR3 , A = f(x y z) 2 IR3 : 1 x2 + y2 2y x + y 0 0 z f (x y)g. Hallar el volumen de A por integracion multiple de Riemann. 15.- Dada la funcion f : IR2 ! IR de nida por f (x y ) = ey (ex+y) . Calcular el valor de x R la integral A f (x y )dxdy siendo A el recinto cerrado por las rectas y = 1 ; x, y = 3 ; x, y = x + 1 y y = x ; 1. 16.- Calcular el volumen de los solidos siguientes: 1) Solido limitado por el paraboloide z = x2 + y 2 y el plano z = 2 + 2x + 2y . 2) Solido en z 0, limitado por las super cies x2 + y 2 + z 2 =p y x2 + y 2 = 4z . 5 2 2 3) Solido limitado por el cilindro x + y = 2x, el cono z = x2 + y 2, y z = 0. 4) Solido limitado por el paraboloide x2 + y 2 = 4z y el plano x + y + z = 2. 5) Solido limitado por las esferas x2 + y 2 + z 2 = 1 y x2 + y 2 + z 2 = 2z . p 6) Solido limitado por el paraboloide z = x2 + y 2 y el cono z = 2 ; x2 + y 2 . 7) Solido limitado por z + 1 = x2 + y 2 , z = ;1 y el cilindro x2 + y 2 = 4. 8) Solido limitado por z 2 = x2 + y 2 2z = x2 + y 2 z = 1 y z = 1=2. 17.- 18.- Demostrar que: Z1 0 e;x2 dx = p 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Integral multiple de Riemann. Soluciones 99 Integral multiple de Riemann. Soluciones 1.- 1 3 ;8 0 2 2.- 3 +6 4 3.- 6 4.5.6.- 80 3 3 ;8 12 8 7.- a4 a3 8 a3 6 8.9.- 6 p p 2 + ln(1 + 2)] p 2;1 ln 2 ; 5 2 16 164 9 10.- 84 11.- Aplicar un cambio de variable a coordenadas esfericas. 12.13.- 3 16 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 100 14.- V = 2 R3 3 15.- V 1 = 7 4 ; 8 (1 + 3) 2 16.- 1 1 2 ln 3 e ; e ] p © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Sucesiones y series de funciones. Series de potencias. Series de Fourier 101 Cap tulo 10. Sucesiones y series de funciones. Series de potencias. Series de Fourier Si (fn )n2IN y (gn )n2IN convergen uniformemente en (E d) , espacio metrico, demostrar que (fn + gn )n2IN converge uniformemente en (E d). 1.- 2.- Probar que se veri can las siguientes a rmaciones : a) Toda serie normalmente convergente es uniformemente convergente. 1 P fn (x) de nidas por: b) La serie de funciones n=1 8 < 0 si x 6= n fn (x) = : 1 n si x = n converge uniformemente pero no converge normalmente. Se de nen para cada n 1 n 2 IN las sucesiones de funciones (fn )n2IN y (gn )n2IN , fn gn : 0 1] ! IR por : f (x) = x 1 + 1 3.- n n 81 > < n si x = 0 o x 2 IR ; Q gn (x) = > 1 : q + si x = p fraccion irreducible n q Demostrar: 1) (fn )n2IN converge uniformemente en 0,1]. 2) (gn)n2IN converge uniformemente en 0,1]. 3) (fn gn )n2IN no converge uniformemente en 0,1]. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 102 4.- 5.- 1 Se de ne para cada n 1 , fn : (0 +1) ! IR por fn (x) = min(n x ). i) Calcular nlim fn (x) 8x > 0. !1 ii) Estudiar la convergencia uniforme de (fn )n2IN en a +1] (a > 0). iii) Estudiar la convergencia uniforme en (0,1]. Estudiar la convergencia uniforme y normal de las siguientes series: 1 X x n (1 + nx2 ) en a b] n=1 1 X xn n(1 + nx2 ) n=1 Estudiar si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes a rmaciones, razonando las respuestas: i) Toda serie de funciones convergente es absolutamente convergente. ii) Toda serie de funciones normalmente convergente es absolutamente convergente, y rec procamente. P iii) Si una serie de funciones , Pn , converge uniformemente a una funcion f , f 0 entonces la serie de sus derivadas, fn , converge a la derivada de la funcion f , f 0 . P iv) Si una serie de funciones, fn , converge a una funcion f , R entonces la serie de PR sus primitivas , fn , converge a la integral de la funcion f , f . P v) Una condicion su ciente para la convergencia de una serie de funciones fn , es que nlim fn (x) = 0. !1 P P vi) Si f (x) = an xn para jxj < , entonces, por extension, f (x) = an xn 8x 2 IR. 6.- 7.- Sea f : IR ! IR continua. De nimos gn : IR ! IR por 1 n Z x+ n f (t)dt gn (x) = 2 1 x; n i) Demostrar que (gn )n2IN converge puntualmente hacia f . ii) Si f (x) = ex , demostrar que la convergencia es uniforme en todo intervalo acotado. 1 1 iii) Calcular nlim n(ex+ n ; ex; n ). !1 8.- Estudiar la convergencia de la sucesion de funciones (fn )n2IN , donde: xn fn (x) = 1 + x2n 8x 2 IR © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Sucesiones y series de funciones. Series de potencias. Series de Fourier 103 Demostrar que las siguientes series de funciones son uniformemente convergentes en IR: 1 X sen (3n x) a) 2n 9.- n=0 1 X senn x b) 5=2 n=1 n 1 X cos (nx2 ) c) n! n=0 10.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes series de funciones: 1 X enx ; 1 2n enx en el intervalo 0 +1) n=0 1 X ln (1 + nx) nxn n=1 11.- en el intervalo (1 +1) Probar que la serie funcional : 2 2 3 (1 ; x) + (x ; x ) + ( x ; x ) + : : : 2 23 es uniformemente convergente en el intervalo -1,1]. 12.- Probar que la serie funcional (x ; xe;x2 ) + (xe;x2 ; 2xe;2x2 ) + : : : es uniformemente convergente en todo intervalo a b] que no contenga al cero y no es uniformemente convergente en todo intervalo cuya adherencia contenga al cero. 13.- Demostrar que la serie alternada: 1 X n=1 (;1)n;1 pn 1 x4 + es uniformemente convergente en toda la recta real pero no absolutamente convergente. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 104 14.- Estudiar la convergencia uniforme de la serie funcional : 1 X x2 2n n=0 (1 + x ) en el intervalo a 1) con a > 0 >Y en (0,1) ? 15.- Estudiar la convergencia de las siguientes series: 1 X x n=1 ((n ; 1)x + 1)(nx + 1) 1 X1 1 + xn n=1 1 X1 n 2 cos x n=1 n 1 X 1 ; cos(x=n) n=1 en el intervalo (;1 a] Sea fn : IR ! IR 8n 2 IN de nida por fn (x) = 1+x 2 . Se pide: nx 0 i) Calcular f = nlim fn y g = nlim fn . !1 !1 ii) Demostrar que f es derivable pero f 0 (0) 6= g (0). 0 iii) Estudiar la convergencia uniforme de (fn )n2IN y de (fn )n2IN . 16.- 17.- Se de ne fn : IR ! IR por 1 fn (x) = n e;n2 x2 si x 2 IR n 1 0 Demostrar que (fn )n2IN converge uniformemente pero que (fn )n2IN no converge uniformemente en un intervalo que contenga al origen. 18.- 19.- Calcular el siguiente l mite: Z 2 sen (nx) dx lim n!1 0 x2 + n2 Demostrar que la funcion suma de la serie 1 X n=0 1 (;1)n x + n en el intervalo (0 +1) es in nitamente derivable. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Sucesiones y series de funciones. Series de potencias. Series de Fourier 20.- 105 Dada la sucesion de funciones : i) Estudiar si la sucesion (fn )n2IN converge puntual y/o uniformemente en 0,2]. ii) Demostrar que la sucesion Z2 0 fn n2IN converge , sin calcular las integrales. iii) Sea (hn )n2IN una sucesion de funciones convergente uniformemente en un intervalo a b]. Sea ln la longitud de la gra ca de hn . Supongamos que hn converge uniformemente hacia h y sea l la longitud de h . >Podemos asegurar que lim (l ) = l ? En caso a rmativo demostrarlo. En caso negativo, dar un contraejemplo. n!1 n Comprobar que la serie para la cual Sn (x) = nxe;nx2 , (Sn denota la suma parcial n-esima), no puede integrarse termino a termino si se desea obtener la integral de la funcion suma , S (x) . >Que conclusion podemos sacar? 21.- Supongase que f es derivable. Demostrar que la funcion f 0 es el l mite puntual de una sucesion de funciones continuas. 22.- 23.- Consideremos la sucesion de funciones ffn gn2IN de nida de forma recurrente : f0(x) = 1 p fn (x) = xfn;1 (x) 8n 1: a) Demostrar que en el intervalo 0,1] la sucesion es puntualmente convergente. b) Demostrar que la convergencia es uniforme. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 106 24.- Determinar el radio de convergencia de las siguientes series funcionales : 1 X 1 X xn n=0 n + 1 1 X xn n(n + 1) n=1 1 X nn (;1) nx n=0 n=0 1 X n x2n+1 (;1) (2n + 1)! n=0 1 X n=0 25.- xn (n + 1)2 Determinar un numero 3n x n 1 X xn n+1 n=0 3 1 X 2n xn n=1 n 1 X n 2n (;1) x n=0 1 X xn n=0 (n + 2)! 1 X n=0 1 X n=0 1 X n=0 (;1)n x n n! nxn 2n x (;1)n (2n)! 1 X (;1)n x 2n n=0 2n + 1 2 1 3n X (;1) x ! n n=0 > 0 tal que para jxj < la serie : 1 X n! n n (x + 1=2) n=1 n sea convergente. 26.- >Como determinar el radio de convergencia de las series de la forma 1 X n=0 an xkn+h donde h y k son dos numeros naturales dados? 27.- Hallar las sumas de las siguientes series : 1 X 2n2 ; 2n + 1 n;1 x 2 n=1 2n ; n 1 X 1 2n 2n x jxj < 1 n=1 1 X p(p ; q ) : : : (p ; nq + q ) n x jxj < 1 n!qn n=0 Y todas las posibles del ejercicio 24. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Sucesiones y series de funciones. Series de potencias. Series de Fourier 28.- 107 Desarrollar las siguientes funciones en serie de potencias de x : sen (2x) x2 1 + x4 sen x ex=2 x 1 ; x2 ln 1 + x 1;x 1 (1 ; x)(2 ; x) ln (x + 1)1=x arctan x 1 ; cos x 2x sen2 x cosh x e;x2 3 (1 + x)e;x x2 x 1 + x ; 2x2 Usando el desarrollo en serie de potencias , calcular aproximadamente las siguientes integrales: Z 2 ex Z1 Z ;1 ln (1 ; x) Z 1 sen x 29.- 0 x dx 1 x dx ;1 e;x2 dx ;2 x dx Z 1 1 ; e;x=2 Z 1=2 Z1 Z1 p 2 )dx sen(x2)dx cos( x)dx x dx 0 arctan(2x 0 0 0 Razonar si las siguientes a rmaciones son verdaderas o falsas: i) Los coe cientes de Fourier correspondientes a los senos en el desarrollo de una funcion par en el intervalo ; ) son todos nulos. ii) Los coe cientes de Fourier correspondientes a los cosenos en el desarrollo de una funcion impar en el intervalo ; ) son todos nulos. iii) Una funcion puede ser desarrollada en el intervalo 0 ] en serie cosenoidal y tambien en serie senoidal. 30.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 108 Dibujar las gra cas de las siguientes funciones periodicas de per odo 2 , y escribir su desarrollo en serie de Fourier. f (t) = t si ; t< f (t) = jtj si ; t< f (t) = t2 si ; t< f (t) = j sen xj si ; t< f (t) = 1 ; t2 si 0 t < 2 f (t) = t + si ; t< f (t) = t si 0 t < 2 2 f (t) = t si 0 t < 2 f (t) = At2 + Bt + C donde A,B,C son constantes si ; t < f (t) = At2 + Bt + C donde A,B,C son constantes si 0 t < 2 ( f (t) = 0 si ; < t 0 1 si 0 < t 31.- 32.- Demostrar que se veri can : 1 X sen (nx) = ;x n 2 n=1 1 X cos (nx) 3x2 ; 6 x + 2 2 2= 12 n=1 n (0 < x < 2 ) (0 < x < 2 ) Nota: se pueden utilizar los desarrollos en serie de Fourier para calcular algunas sumas de series trigonometricas o numericas. 33.- 34.- Desarrollar en serie cosenoidal la funcion f (x) de nida por: 8 < cos ( x ) si 0 x l=2 l f (x) = : 0 si l=2 < x l Desarrollar en serie senoidal la funcion f (x) de nida por: ( x si 0 x l=2 f (x) = l ; x si l=2 < x l © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Sucesiones y series de funciones. Series de potencias. Series de Fourier 109 Dada la funcion f : 0 ] ! IR de nida por f (x) = k 8x 2 0 ] k constante real, se pide : i) Hacer la extension impar de f en el intervalo ; ] y calcular la serie de Fourier asociada. ii) Si llamamos S (x) a la suma de la serie de Fourier anterior, demostrar que S (x) es Riemann integrable en 0 ] y que Z 1 X1 S (x)dx = 8k 2 0 n=1 (2n ; 1) 35.- iii) Calcular la suma de la serie numerica : 1 X 1 2 n=1 (2n ; 1) Consideramos la funcion lineal que se obtiene al unir los puntos del plano ( 0) y (0 A) A > 0. i) Hacer la extension par de f y calcular su desarrollo en serie de Fourier. ii) Estudiar la convergencia de la serie de Fourier asociada a la funcion f y calcular la suma de la serie numerica: 1 X1 2 n=0 (2n + 1) 36.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 ...
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