ME02202C - Calculo diferencial para funciones reales de...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Calculo diferencial para funciones reales de variable real 47 Cap tulo 6. Calculo diferencial para funciones reales de variable real 1.- Estudiar la derivabilidad y calcular la derivada de las siguientes funciones reales: p f (x) = jxj + xjxj g (x) = x 1 + x2 pp r(t) = sen(cos2t) + cos(sen2 t) s(t) = (t ; 1)(t ; 2) t + 3 3 t ; 4 x2 z(x) = (sen2x + 1)e f (t) = (1 + 1=t)t x g (x) = jx2; 11j (; h(u) = 1 ;uu u 0 e; u>0 y (x) = j cos xj p h(t) = t t x+1 f (x) = ejx2 ;;11 (2 j f (x) = x sen(1=x) 0 x 6= 0 x=0 Dada la funcion real de variable real : 81 2 < f (x) = : 4 (x ; 1)(x + 1) si jxj 1 jxj ; 1 si jxj > 1 Estudiar la derivabilidad en los puntos x = 1 y x = ;1. 2.- Sea f : IR2 ! IR A = Domf y (0 1) 2 A . De nimos g (x) def f (x 1 ; x). = Demostrar que si existe g 0(0) , entonces existe lim f (x y ) en la direccion de la (x y )!(0 1) recta y = 1 ; x. 3.- 4.- Sea f : (0 +1) ! IR derivable. Se de ne la funcion: 8 < jxjf 1 x 6= 0 jxj g(x) = : 0 x=0 i) Estudiar la derivabilidad de g . ii) Demostrar que g es derivable en x = 0 , 9 x!+1 f (x) = 0. lim © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 48 5.- Sea f : IR ! IR, y g : IR2 ! IR de nida por: ) g (x y ) = f (yy ; f (x) si x 6= y ;x i) Probar que si 9 lim g (x y ) = l, entonces f es derivable en a y f 0 (a) = l. (x y )!(a a) ii) Considerar la funcion: h(x y) = ( g(x y ) si y 6= x f 0 (x) si y = x Si f 2 C 1(IR), probar que h es continua en IR2 . 6.- Consideremos la funcion f : IR2 ! IR de nida por: 8 > xy ;x y x2 x 0 > >x > > x > 0 y > x2 <y f (x y) = > 2 2 > x +y x 0 y > > x;y > y < 0 y < ;x : x+y Si h es la restriccion de f sobre los puntos de la recta x = ;1, es decir, h(y ) = f (;1 y) 8y 2 IR, entonces: Estudiar el dominio de derivabilidad de h y calcular la funcion derivada. Demostrar que h es inyectiva en todo su dominio de de nicion. 7.- Resolver los siguientes ejercicios: i) Hallar los puntos en los que la tangente a la curva y = 3x4 + 4x3 ; 12x2 + 20 es paralela al eje de abscisas. ii) >En que punto (x0 y0) 2 IR2 de la curva y 2 = 2x3 es perpendicular la tangente a la recta 4x ; 3y + 2 = 0? iii) Hallar los valores de x para los que la recta tangente a la curva y = x ; 1=x es paralela a la recta 2x ; y = 5. iv) Hallar los valores de x para los que la recta tangente a la curva y = (x + 2)2 pasa por el origen de coordenadas. v) Hallar la parabola y = x2 + bx + c (b c 2 IR) que es tangente a la recta y = x en el punto (1 1). Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones: i) Toda funcion derivable es continua. ii) Toda funcion continua es derivable. iii) Si f (x) es una funcion real continua en IR tal que f (x0 ) = x0 para x0 2 IR, entonces f 0 (x0) = 1. iv) Si f : IR ! IR es continua en IR y derivable en IR ; fag, entonces la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a es horizontal. 8.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones reales de variable real 49 Sea f : A ! IR, A IR, A abierto, y f derivable en A. Demostrar que si x0 es un punto de acumulacion de ceros de f , entonces x0 es un cero de f 0 . 9.- Demostrar que cada una de las siguientes funciones, satisface la ecuacion diferencial ordinaria correspondiente: 10.- y = xe;x y = 1 x2ex 2 y = C1e;x + C2e;2x satisface xy 0 = (1 ; x)y satisface y 00 ; 2y 0 + y = ex satisface y 00 + 3y 0 + 2y = 0 (8C1 C2 2 IR) Si f es una funcion de IR en IR derivable, calcular la derivada primera y la derivada segunda de g en cada una de las situaciones siguientes: 11.- g(x) = f (x2) g(x) = f (f (x)) g(x) = ln(f (x2 + 1)) g(x) = f (sen2 x) + f (cos2 x) g(x) = f (x)ef (x) g (x) = cos(f (x2)) + (f (x))2 + 1 Sean g (t) = f (sen t) + ef (t)+1 y h(t) = ln(2 + f (t)) + f (ln(1 + t)), donde f (t) es una funcion real derivable tal que f (0) = ;1 y f 0 (0) = 1. Probar que g 0(0) = h0 (0). 12.- 13.- Un barco navega paralelamente a una costa recta a una velocidad de 12 millas por hora y a una distancia de 4 millas. >Cual es la velocidad de aproximacion a un faro de la costa en el instante en que la distancia al faro es de 5 millas? Un recipiente tiene la forma de un cono circular con el vertice en la parte superior. La altura es de 10m y el radio de la base es de 4m. Se introduce agua en el recipiente a una velocidad constante de 5 m3 por minuto. >A que velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad de esta es de 5m? 14.- La ecuacion x3 + y 3 = 1 de ne una funcion impl cita y = y (x). i) Suponiendo que existe la derivada y 0, y sin resolver la ecuacion respecto a y , demostrar que y 0 satisface la ecuacion: x2 + y 2 y 0 = 0. ii) Suponiendo que existe la derivada segunda y 00, demostrar que siempre que y 6= 0 se veri ca que y 00 = ;2xy ;5 . 15.- La ecuacion x sen(xy ) + 2x2 = 0 de ne y = y (x), funcion impl cita derivable. Demostrar que y 0 satisface la ecuacion: 16.- y0x2 cos(xy ) + xy cos(xy) + sen(xy) + 4x = 0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 50 Las siguientes ecuaciones de nen impl citamente una funcion derivable y = y (x) en un entorno del punto indicado. Hallar la ecuacion de la recta tangente y de la recta normal a la curva y = y (x) en el punto correspondiente: 2 ; y = yx en (0 1) y = x ; ln y en (1 1) 17.- x2 + y2 = 1 a2 b2 en (0 b) 18.- Se considera una funcion f : IR ! IR derivable tal que f (1) = 0. Demostrar que la recta tangente a la curva x2 ; (f (x))2 + sen(xf (x)) + ef (x) = 2 en el punto (1,0) es perpendicular a la recta y = x. Demostrar que las curvas de ecuaciones 2x2 + 3y 2 = 5 y y 2 = x3 se cortan en el punto (1,1) y que sus tangentes en este punto son perpendiculares. (Nota: se supone que localmente, en un entorno del punto (1,1), las curvas anteriores son la representacion gra ca de una funcion y = y (x)). 19.- La ecuacion x2y 2 + xey ; 2x + y = ;1 de ne impl citamente y = y (x) derivable en un entorno del punto (1,0). Probar que la recta tangente a y = y (x) en el punto (1,0) es paralela a la recta x = 2y . 20.- Demostrar que un error relativo de un 1% al determinar la longitud del radio da lugar a un error relativo aproximado de un 2% al calcular el area del c rculo y la super cie de la esfera. 21.- >En cuanto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera ( V (R) = 4 R3 ) 3 si su radio R = 15 cm se alarga 2 mm? 22.- 23.- A partir de la ley de Ohm: I = E=R, demostrar que una variacion en la intensidad de la corriente debida a una variacion de la resistencia puede calcularse de manera aproximada por I ;I R=R. Sea la funcion f : (0 +1) ! 0 1] derivable tal que 8x 2 (0 +1), jf 0 (x)j < 1. Demostrar que si (xn )n2N es una sucesion de (0 +1) estrictamente creciente, entonces la sucesion (f ( x1n ))n2N es convergente en 0,1]. 24.- Sea la funcion f : (a +1) ! IR a > 0 derivable tal que x!+1 f 0 (x) = lim Demostrar que existe x!+1(f (x + 1) ; f (x)) y calcularlo. lim Aplicar este resultado para calcular: 25.- 1 2 IR. 1 lim1((1 + x)1+ x+1 ; x1+ x ) x!+ A pesar de que la funcion f (x) = j sen xj veri ca que f (; =2) = f ( =2) = 1 y es continua en ; =2 =2] , no existe ningun a 2 (; =2 =2) tal que f 0 (a) = 0 . >Acaso este hecho contradice al teorema de Rolle? 26.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones reales de variable real 51 Sea f : 0 1] ! (0 1) continua en 0,1] y derivable en (0,1) tal que f 0(x) 6= 1 8x 2 (0 1) . Demostrar que existe un unico punto x0 2 0 1] tal que f (x0 ) = x0 . 27.- Demostrar que la ecuacion funcional x2 = 18 ln x tiene una unica solucion en el intervalo 1 e]. 28.- 29.- Demostrar que la ecuacion senh t ; jt ; 1j = 0 tiene una unica ra z real. Sea la funcion f : (0 +1) ! IR derivable tal que f (2) = 0 x!+1 f (xx) = 1 lim y 8x 2 (0 +1) f 0 (x) > 2=x. Demostrar que la ecuacion f (x) ; ln(x2) = 0 tiene exactamente una ra z real. 30.- Sea f : IR ! IR continua tal que x!+1 fx(n ) = x!;1 fxn ) = 0. Demostrar que si lim x lim (x n es impar, entonces existe a 2 IR tal que f (a) + an = 0. 31.- Sean f y g dos funciones continuas en a b] y derivables en (a b). Demostrar que si 8x 2 (a b) f 0(x) g 0(x), y 9x0 2 (a b) tal que f (x0) = g (x0), entonces 8x x0 f (x) g(x) y 8x x0 f (x) g(x). 32.- 33.- a) Sea P (x) un polinomio tal que P 0 (x) tiene k ra ces reales. Demostrar que P (x) tiene a lo sumo k + 1 ra ces reales. b) Sean p q 2 IR , n 2 N . Demostrar que el polinomio P (x) = xn + px + q tiene como maximo dos ra ces reales si n es par y tres si n es impar. def Sea f : IR ! IR se de ne: x es un punto jo de f () f (x) = x. i) Demostrar que si f es derivable y f 0(x) 6= 1 8x 2 IR, f tiene a lo sumo un punto jo. 1 ii) Probar que la funcion f (x) = x + 1+ex no tiene puntos jos a pesar de cumplir que 0 < f 0 (x) < 1. iii) Demostrar que si 9K < 1 tal que jf 0 (x)j K 8x 2 IR, entonces f posee un punto jo. iv) Probar que la ecuacion x = cos x tiene una unica solucion en el intervalo 0 3 ]. 34.- Sea f : (0 +1) ! IR derivable tal que x!+1 f 0 (x) = 0. Se de ne la funcion lim g(x) = f (x + 1) ; f (x) demostrar que x!+1 g(x) = 0. lim 35.- Demostrar que la ecuacion funcional x2 = x sin x +cos x se satisface exactamente para dos valores de x. 36.- 1 Probar que la ecuacion ex;1 ; x+1 = 0 tiene una unica ra z real, y hallarla de forma aproximada. 37.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 52 Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado 0 2a] y tal que f (0) = f (2a) . Demostrar que 9c 2 0 a] tal que f (c) = f (c + a). 38.- Sean f y g dos funciones continuas y derivables en un intervalo acotado I , veri cando que f (x)g 0(x) ; f 0(x)g (x) 6= 0. Demostrar que entre dos ceros consecutivos de f (x) existe a lo sumo un cero de g (x). 39.- Sea f : a b] ! IR, a b 2 IR , tal que 8x y 2 a b] , jf (x) ; f (y )j para > 1 y M > 0 . Demostrar que f es constante en a b]. 40.- M jx ; yj , Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones: i) Existe a 2 (;1 1) con f 0 (a) = 0, para f (x) = x + 1=x. ii) Existe a 2 (;1 1) con f 0 (a) = 0 , para f (x) = x4 + jxj. iii) La ecuacion ex = 1 + x tiene una unica ra z real. iv) La ecuacion x3 ; 3x + 1 = 0 tiene tres ra ces reales. v) La ecuacion 3 ln x = x tiene dos ra ces reales. vi) Si f : IR ! IR es una funcion continua y derivable, cuya gra ca corta al eje de abcisas en exactamente tres puntos, entonces existen al menos dos puntos en los que la recta tangente a y = f (x) es horizontal. 41.- 42.- Calcular los siguientes l mites aplicando, si es posible, la regla de l'H^pital: o lim+ ln x ln(x ; 1) lim+ xx x!1 x!0 ln x lim lim x x!+1 x lim (cot x ; ln x) x!0+ lim1 x ; sin x x!+ x + sin x ln lim+ 1 ;1=x x e lim xe;x x!+1 x!0 lim+ (1 + x) x!0 43.- ln x x!+1 ex lim (tan x)cos x x! =2 lim sin x ; x x!0 x2 2 lim0 x sin(1=x) x! sin x 1 lim+ (x) ln x x!0 1 lim (x) x x!+1 Sea f : IR ! IR f 2 C 2(Br (0)) r > 0, tal que f 0 (0) 6= 0. Demostrar que: 0( ) 1 f 00 9 x!0( f (xf ;xf (0) ; x )= 2f 0(0) lim ) (0) Calcular el polinomio de Taylor de cuarto grado, que localmente aproxima a cada una de las siguientes funciones en un entorno del punto x = 0: f (x) = e;x2 g(x) = ln(x2 + 1) 1 r(t) = sen(t2) h(t) = 1 + t2 44.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones reales de variable real 53 1 Se desea aproximar el valor de f (x) = 1;x para x = 1=4 haciendo uso del desarrollo de Taylor de f alrededor del origen de coordenadas con resto de Lagrange: n+1) x n) f (x) = f (0) + f 0(0)x + : : : + f n(0) xn + f(n +(1)!) xn+1 0 < < 1 ! i) Hallar un n tal que el error cometido al despreciar el resto sea menor que 0.01. ii) Hallar directamente el m nimo n tal que el error cometido al despreciar el resto sea menor que 0.01. iii) Calcular el valor de para este ultimo valor de n, y explicar a que se debe la diferencia entre los valores de n hallados en los apartados (i) y (ii). 45.- Sea f : IR ! IR 2-veces derivable y tal que f (1) ; f (0) = 7 y jf 00(x)j 3 8x 2 0 1]. Demostrar que f es monotona creciente en un entorno del cero. Indicacion: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero. 46.- Sea f : ;1 1] ! IR 3-veces derivable en (-1,1) y tal que f (;1) = 0 f (0) = 0 f (1) = 1 f 0 (0) = 0. Demostrar que f 3)(x) 3 para algun x 2 (;1 1). Sugerencia: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero, y evaluar la funcion en 1 y -1 para demostrar que existen 2 (0 1) y 2 (;1 0) tales que: f 3) (s)+ f 3) (t) = 6. 47.- 48.- Calcular los extremos de las siguientes funciones: y(x) = j sin xj z(x) = jx2 ; 4j r(t) = 3t ; (t ; 1)3=2 s(t) = jtj 1 ; t2 t v (t) = 1 + t2 u(t) = t2 + 2 ( (2 9;x x 3 ;t + 4t ; 4 f (x) = 2 h(t) = x ;3 x> 3 e2t Hallar los extremos relativos y absolutos de las siguientes conjunto indicado: f (x) = sen x ; cos x en 0 ] 2 g(x) = 1 + j9 ; x j en ;5 1] h(x) = 1=x en fx 2 IR : jxj y(x) = j6 ; 4xj en fx 2 IR : jxj 8 1=x ;2 x ;1 > < jxj jxj < 1 f (x) = > en : 1 ; (x ; 1)2 1 x 2 49.- ( x3 + 2x + 2 h(x) = 2 x ; 3x + 2 x<0 x0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 t>1 t1 funciones sobre el 1g 3g ;2 2] en ;2 2] Calculo. Problemas y soluciones 54 50.- Probar que se veri can las siguientes desigualdades: 8x 2 0 2 ] 1 ; x cos x 8x 2 0 2 ] 2 ln x x 8x > 0 1 8x > 0 x+ x 2 1 + x < ex < 4x + 1 8x 2 (0 1) x 8x 0 1 + x ln(1 + x) sen x x 2 51.- Sea la funcion h: IR ! IR de nida por: (p 1 + z 2 sen(z 3) h(z) = zjz j z0 z<0 i) Demostrar que h 2 C 1(IR), es decir, h es derivable con continuidad en IR. ii) Estudiar la monoton a de h en (;1 0], y hallar los extremos de h en -1,0]. 52.- Sea f : 0 +1) ! IR de nida por: f (x) = (1 + x) 1 + xp p 8x 2 0 +1) p > 0 i) Calcular los extremos de f en 0 +1) segun los valores de p. ii) Demostrar que se cumplen las siguientes desigualdades: 2p;1 (1 + xp ) (1 + x)p 1 + xp 1 + xp (1 + x)p 2p;1(1 + xp ) 0<p<1 p>1 Estudiar cuales de las funciones de nidas impl citamente en el ejercicio 17 tienen un maximo o m nimo en los puntos indicados. 53.- >Cual es la recta tangente a la curva y = 2x ln x + x3 =6 ; 3x2=2 ; 2x que en 1,5] tiene menor pendiente? >y la que tiene mayor pendiente? 54.- Hallar los puntos de la semicircunferencia x2 + y 2 = 80 para y 0 mas cercanos y mas alejados del punto (1,2). (Nota: Hallar los extremos de una funcion f monotona y positiva es equivalente a hallar los extremos de f 2 ). 55.- Cada lado de un cuadrado tiene longitud L. Calcular el lado del cuadrado de area maxima que puede circunscribirse al cuadrado dado. 56.- Dada una esfera de radio R, calcular el radio r y la altura h del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en dicha esfera. 57.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones reales de variable real 55 La base de un triangulo esta en el eje OX, un segundo lado se encuentra sobre la recta y = 3x, y el tercer lado pasa por el punto (1,1). Si se desea que el area del triangulo sea m nima, >cual debe ser la pendiente del tercer lado? 58.- Una viga de madera tiene una seccion rectangular de altura h y anchura p. Si la resistencia S de la viga es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la altura, >cuales son las dimensiones de la viga mas resistente que se puede cortar de un tronco de 24 pulgadas de diametro? 59.- 60.- Se trata de excavar un tunel en la roca para la conduccion de agua. La forma del tunel debe ser la de un semic rculo sobre un triangulo de seccion de K m2 . El coste de la excavacion es proporcional a la suma de la altura total en el punto donde esta es maxima, con el per metro de la semicircunferencia. Hallar las dimensiones del tunel que minimizan el coste total. Un concierto tendra lugar en un recinto deportivo S semicircular de radio R: S = f(x y) 2 IR2 : x2 + y2 R2 y 0g. Se trata de llevar un cable desde un punto A de coordenadas (R 0) hasta otro punto B de coordenadas (;R=2 0). Para ello existen 61.- dos posibilidades: a) llevar un cable sencillo por la semicircunferencia desde A hasta un punto C , y desde C , ir en l nea recta hasta B con un cable reforzado, o bien, b) llevar directamente un cable reforzado desde A hasta B en l nea recta. El cable sencillo cuesta una cantidad K1 por unidad de longitud, y el cable reforzado una cantidad K2 = 2K1. Estudiar cual de las dos posibilidades es la optima para que el coste sea m nimo. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones reales de variable real. Soluciones 57 Calculo diferencial para funciones reales de variable real. Soluciones 1.- Soluciones primera columna: f derivable 8x 2 IR ; f0g: r derivable 8t 2 IR: z derivable 8x 2 IR : f derivable 8t 2 IR ; ;1 0]: g derivable 8x 2 IR ; f;1 1g: h derivable 8u 2 IR: Soluciones segunda columna: g derivable 8x 2 IR: s derivable 8t 2 (;3 +1): y derivable 8x 2 IR ; fx = 2 + k h derivable 8t 2 IR+ : f derivable 8x 2 IR ; f;1 1g: f derivable 8x 2 IR : 2.- k 2 Z g: f es derivable en x = 1 y en x = ;1 discontinuidad de salto. Como g es derivable en x = 0 es continua en x = 0 y por tanto f es continua en el punto (0,1) en la direccion de la recta y = 1 ; x. 3.- 4.- Para que g sea continua en x = 0 f debe ser acotada. Indicacion: Aplicar la de nicion de derivada y la existencia de l mites direccionales cuando existe el l mite global. 5.- 8 2y y > 0 < 6.- Domh0 = IR ; f0g y h0 (y ) = 2 : (1 ; y) y < 0 2 h es inyectiva en IR ya que es estrictamente creciente. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 58 7.- i) x = 0, x = 1 y x = ;2 32 256 ii) ( 81 ; 243 ) iii) x = 1 y x = ;1 iv) x = 2 y x = ;2 v) b = ;1 y c = 1. 8.- i) V ii) F iii) F iv) F 9.- Indicacion: Aplicar la caracterizacion por sucesiones de punto de acumulacion y el criterio secuencial. 10.- y0(x) = e;x(1 ; x) y0(x) = xex(1 + x ) y00(x) = ex ( x22 + 2x + 1) 2 y0(x) = ;c1e;x ; 2c2e;2x y00(x) = c1e;x + 4c2e;2x. 11.- Indicacion: aplicar la regla de la cadena. 12.- g0(0) = h0(0) = 2. 36 13.- 5 millas/hora. 5 14.- 4 15.- Derivar implicitamente la ecuacion x3 + y 3 = 1. 16.- Derivar implicitamente la ecuacion xsen(xy ) + 2x2 = 0. 17.- rT : y = 0 rN : x = 1 rT : y = 1=2x + 1=2 rN : y = 3 ; 2x rT : y = b rN : x = 0 18.- Derivando la ecuacion y sustituyendo en el punto (1,0) obtenemos 2 + f 0 + f 0 = 0. 19.- La recta tangente a 2x2 + 3y 2 = 5 es y ; 1 = ; 2 (x ; 1). 3 20.- La ecuacion de la recta tangente a y = y (x) en el punto (1,0) es y = 1 (x ; 1). 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones reales de variable real. Soluciones 21.- Indicacion: Utilizar la de nicion de diferencial de una funcion en un punto. 22.- 180 . 23.- Indicacion: Utilizar la de nicion de diferencial de una funcion en un punto. 24.- Teorema del valor medio y ver que 25.- Aplicar el teorema del valor medio 59 1 xn es convergente. lim (f (x + 1) ; f (x)) = y x!+1 1 1 lim ((1 + x)1+ x+1 ; x1+ x ) = 1 x!+1 26.- No contradice porque f no es derivable en el intervalo. 27.- Aplicar Bolzano a la funcion g (x) = f (x) ; x. 28.- Aplicar los teoremas de Rolle y Bolzano. 29.- Aplicar los teoremas de Rolle y Bolzano. 30.- Aplicar los teoremas de Rolle y Bolzano. 31.- Aplicar Bolzano. 32.- Ver que h(x) = f (x) ; g (x) es creciente y h(x0 ) = 0. 33.- Rolle. 34.- i) De nir g (x) = f (x) ; x 1 ii) Ver que 1+ex no puede valer 0. iii) Aplicar el teorema del punto jo. iv) Ver que f (x) = cos x veri ca el apartado iii). 35.- Aplicar el teorema del valor medio. 36.- Aplicar Rolle y Bolzano. 37.- Aplicar Rolle y Bolzano. x 2 (0 1). 38.- De nir g (x) = f (x) ; f (x + a) y aplicar el teorema de Bolzano. x Aplicar el teorema de Rolle a la funcion h(x) = f ((x)) para estudiar la existencia y g g a h(x) = f ((x)) para comprobar la unicidad. x 39.- 40.- Probar que f 0(x) = 0. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 60 41.- i) F ii) F iii) V iv) V v) V vi) V. 42.- 43.44.- 0 0 +1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 e 1 Indicacion: aplicar la regla de l'H^pital. o Tf (x) = 1 ; x2 + x 2 2 4 Th(t) = 1 ; t + t Tg (x) = x2 ; x 2 2 Tr (t) = t 4 4 45.- i) n = 4. ii) n = 3. iii) = 0:2 . La diferencia entre los valores de n hallados en los apartados (i) y (ii) se debe a que en (i) hemos tomado = 1, que es el peor valor posible para . 46.- Indicacion: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero y ver que f 0 (0) > 0. Indicacion: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero, y evaluar la funcion en 1 y -1 para demostrar que existen 2 (0 1) y 2 (;1 0) tales que: f 3) (s)+ f 3) (t) = 6. 47.- 48.- z tiene m nimos absolutos en x = ;2 y en x = 2 y maximo relativo en x = 0. s tiene m nimos absolutos en t = 0. h tiene un maximo absoluto en t = 1 y un maximo relativo en t = 2. 49.- h tiene un maximo absoluto en x = 1 y un m nimo absoluto en x = ;1. y tiene un maximo absoluto en x = ;3 y un m nimo absoluto en x = 3 . 2 x = 3 es un maximo relativo. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones reales de variable real. Soluciones 61 Indicacion: Usar la formula de Taylor y estudiar el signo del resto, o bien, estudiar la monoton a de la funcion diferencia de los dos terminos de la desigualdad. 50.- 51.- ii) h es creciente y tiene un maximo en z = 0 y un m nimo en z = ;1. 52.- i) Si p > 1 x = 0 m nimo y x = 1 maximo. Si 0 < p < 1 x = 1 m nimo y x = 0 maximo. ii) Evaluar la funcion en los extremos. Indicacion: derivar impl citamente, ver si la derivada se anula, y en caso a rmativo estudiar el signo de las derivadas sucesivas (siempre suponiendo condiciones de derivabilidad.) 53.- La recta de menor pendiente es la tangente en x = 2 y la de mayor pendiente la tangente en x = 5. 54.- p 55.- (4,8) es el punto mas cercano y (; 80 0) el mas alejado. 56.- lado= L 2. 57.- El radio r = 58.- La pendiente del tercer lado es m = ;3. 59.- La altura h = 8 6 y la anchura p = 8 3. 60.- K K El radio del semic rculo R = p1+ y la altura del triangulo h = K ; 2 R = p1+ . R 61.- b). p p 8 3 R R y la altura h = 43 . p p p 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 p 2 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 63 Cap tulo 7. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 1.- Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones reales de variable vectorial: p f (x y) = x3 + y3 ; 3axy g(x y) = xy + x=y + x2 + y 2 2 r(u v ) = e; vu h(r s t) = erst + jtj y2 x+1 y h(x y z ) = x + cos z(x y ) = ln py z Calcular, anal ticamente y geometricamente, las derivadas parciales en el origen de coordenadas de las siguientes funciones reales de variable vectorial: ( 1 xy 6= 0 f (x y) = 3x + 5y xy = 0 (2 g(x y ) = x =y y 6= 0 0 y=0 (22 x +y x0 z(x y) = p 2 2 x +y x<0 ( 2xy + x y0 h(x y ) = x ; x2 ; y 2 y < 0 (2 2 r(x y) = x + y + 1 xy 6= 0 x;y xy = 0 81 < sen(xy ) x 6= 0 u(x y) = : x y x=0 2.- 3.- Calcular la derivada en el origen de coordenadas y en la direccion del vector v = (1 ;1) para cada una de las funciones del ejercicio anterior. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 64 Para las funciones de los ejercicios 1 y 2, estudiar la diferenciabilidad y, si es posible, calcular la diferencial en (0,0). Analogamente, para las siguientes funciones de variable vectorial: (2 g(x y) = x (y + 1) sen(1=x) x 6= 0 0 x=0 8 x2 ; y 2 < h(x y ) = : xy x2 + y2 (x y ) 6= (0 0) 0 (x y ) = (0 0) 4.- Sea f : IRn ! IR tal que jf (x)j kxk2 8x 2 IRn . Probar que rf (0) = 0 y que f es diferenciable en 0. 5.- Sea f : E ! IR diferenciable en E abierto conexo de IR n . a) Demostrar que si D1 f (x) = 0 8x 2 E , entonces f solo depende de las variables x2 x3 : : : xn . b) Demostrar que si df (x) = 0 8x 2 E , entonces f es constante en E . 6.- Estudiar si son ciertas o falsas las siguientes a rmaciones, razonando las respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) Toda funcion real de variable vectorial f (x y ) continua en un punto (a b), es diferenciable en (a b). ii) Toda funcion real de variable vectorial f (x y ) para la cual existe rf (a b) (a b) 2 Domf , es continua en este punto (a b). iii) Toda funcion real de variable vectorial f (x y ) continua en un punto (a b) y para la cual existe rf (a b) , es diferenciable en (a b) y df (a b) = rf (a b). iv) Toda funcion real de variable vectorial f (x y ) para la cual existen Dv f (a b) 8v 2 IR2 (a b) 2 Domf , es diferenciable en (a b). 7.- Sean a = 10cm y b = 24cm los lados de un rectangulo. >Cuanto variara la diagonal d de este rectangulo si el lado a se alarga 4mm y el lado b se acorta 1mm? Calcular el valor aproximado de esta variacion y compararlo con el valor exacto. 8.- Una caja cerrada de dimensiones 10cm, 8cm y 6cm, esta hecha de madera de 2mm de grueso. Determinar el volumen aproximado del material utilizado para construirla. 9.- Demostrar que el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la suma de los errores relativos de los factores. 10.- 11.- Calcular la derivada direccional de las siguientes funciones, en el punto y segun el vector que se indica: p z(x y) = ln x2 + y 2 en (x y ) = (1 1) v = (2 1) f (x y z) = xy + xz + yz en (x y z ) = (;1 1 7) v = (3 4 ;12) x g(x y z) = z ; e sen y en (x y z ) = (ln 3 3=2 ;3) v = (1 1 2) © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 12.- Dada la funcion real: 8 x2 + y 2 < f (x y ) = : xy x+y 65 xy 6= 0 xy = 0 Calcular las derivadas parciales de f (x y ) en (0,0). Razonar si son ciertas o falsas las siguientes a rmaciones: i) Existe rf (0 0) = (1 1). ii) 8v = (v1 v2) 2 IR 2 amb kv k = 1 Dv f (0 0) = v1 + v2 . Dada la funcion f (x y ) = x3 + y 3 ; xy + x + y , calcular la variacion de f (x y ) en el punto (1,0) y en la direccion del vector (-1,1). 13.- Calcular la variacion de la funcion r(u v ) = u2 ; v 2 en el punto (1,1) y en la direccion que forma un angulo de 60 con la direccion positiva del eje OX. 14.- Dada la funcion de densidad (x y ) = 48 ; 4x2=3 ; 3y 2 , calcular su coe ciente de variacion: i) En el punto (1,-1) y en la direccion de maxima variacion de esta densidad. ii) En el punto (1,2) y en la direccion del eje de abcisas. iii) En el punto (2,2) y en la direccion de la bisectriz. 15.- 16.- Estudiar la diferenciabilidad de las siguientes funciones vectoriales de variable vectorial, y calcular la matriz jacobiana en el punto indicado: f (x y ) = (x2 + y2 exy ) g(x y ) = (xy sen x x2y) h(x y) = (ex+y ln x) F (x y z) = (xyz x2z ) H (x y z ) = (xy xz yz) en en en en en (1 ( (1 (2 (1 1) =2) 0) ;1 ;1) 1 ;1) Un lado de un rectangulo de 20m aumenta con una velocidad de 5m/s, y el otro lado de 30m disminuye a una velocidad de 4m/s. >A que velocidad var an el per metro y el area del rectangulo? 17.- 18.- Calcular las siguientes derivadas: dz siendo z = f (t cos t et ) f diferenciable. dt du siendo u = x2 + y 2 + z 2 con x = f (t) y = tf (t) z = f (t2) f derivable. dt @z @z siendo z = f (x y ) f diferenciable, con x = uv y = u=v: @u @v © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 66 19.- Calcular dz dt en las situaciones siguientes: z = x+y p z = x2 + y 2 z = xy + xu + yu con x = 4(t2 ; 1) y = ln t con x = et y = sen t con x = t y = cos(2t) u = sen(2t) p Sea la funcion real f (x y z ) = x2 + y 2 + z 2 . Consideremos el cambio a coordenadas cil ndricas y el cambio a coordenadas esfericas de nidos respectivamente por las ecuaciones: 8 8 > x = r cos > x = r sen cos ' < < > y = r sen > y = r sen sen ' : z=z : z = r cos 20.- En ambos casos, calcular el jacobiano del cambio y la expresion de la funcion f en las nuevas variables. Demostrar que si z = f (x + ay ) donde f es derivable y a 2 IR , entonces se veri ca la siguiente relacion: @z = a @z @y @x 21.- Demostrar que la funcion z = yf (x2 ; y 2 ) , siendo f una funcion derivable, satisface la ecuacion: 1 @z + 1 @z = z 22.- x @x y @y y2 Demostrar que la funcion z = f (x2 + y 2 ) , siendo f una funcion derivable, satisface la ecuacion: @z y @x ; x @z = 0 @y 23.- Comprobar que si u(x y z ) = f (xyz ) , siendo f una funcion 3-veces derivable en IR , se veri ca : @ 3u = F (xyz ) 24.- y hallar la funcion F . @x@y@z Sea la funcion f (x y z ) = xy + x2z + 3yz , donde x(s t) = s2 + t2 2 ; t2 y z (s t) = 2st son tales que de nen una funcion F (s t). Calcular s 25.- y (s t) = dF (s t). Sea f : IR2 ! IR2 tal que f (x y ) def (ex+2y sen(y +2x)), y sea g : IR3 ! IR2 tal que = def (u +2v 2 +3w3 2v ; u2). Calcular df (x y ) dg (u v w) y d(f g )(1 ;1 1). g(u v w) = 26.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 67 Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones, razonando las respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) La derivada direccional de h(x y ) = y 2=x en cualquier punto de la elipse 2x2 + y 2 = 1 y en la direccion de la normal a la misma es igual a cero. ii) Dada la funcion f (x y ) = x + jy j , un vector normal a la super cie z = f (x y ) en el punto (0,0,0) es vN = (1 1 ;1). iii) La super cie z = f (x y ), donde f se de ne: ( xy xy 6= 0 f (x y ) = 1 xy = 0 27.- tiene un plano tangente horizontal en el punto (0,0,1) de ecuacion z = 1. iv) El paraboloide 3x2 + 2y 2 = 2z + 1 y la esfera x2 + y 2 + z 2 ; 4y ; 2z + 2 = 0 se cortan en el punto (1,1,2) formando un angulo recto. 28.- Calcular el plano tangente y la recta normal a las siguientes super cies en el punto indicado: x2y2 + xz ; 2y3 = 10 P = (2 1 4) z = sen(xy) P = (1 0) z = y + ln(x=z) P = (1 1 1) 29.- Calcular la recta tangente y el plano o recta normal, segun el caso, a las siguientes curvas en el punto indicado: x2y + y3 = 10 ln(2x ; y 2) + 3x2 y = 3 8 > x = t2 + 1 < > y = 2t3; 1 : z = 4t x2 + y2 + z 2 = 9 xy + z = 0 P = (1 2) P = (1 1) P = (2 1 4) P = (2 1 ;2) 30.- Calcular la derivada direccional de f (x y z ) = 3x ; 5y + 2z en el punto (2,2,1) y en la direccion de la normal exterior a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 9 en el mismo punto. Calcular la variacion de f (x y z ) = x2 + y 2 ; z 2 en el punto (3,4,5) y a lo largo de la curva interseccion de las super cies z 2 = x2 + y 2 y 2x2 + 2y 2 ; z 2 = 25. 31.- Calcular como var a f (x y z ) = x2 ; y 2 en el punto (1,0,2) y en la direccion del vector normal al cono de revolucion z 2 = 4(x2 + y 2 ) en el mismo punto. p2 2 2 x + y + z en el 33.- Calcular la derivada direccional de la funcion f (x y z ) = 2 ;2t4). punto (1,2,-2) y a lo largo de la curva r(t) = (t 2t 32.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 68 34.- Dada la funcion: f (x y) = ( 2xy + x x ; x2 ; y2 y0 y<0 i) Estudiar la diferenciabilidad de f en (0,0). ii) Calcular la variacion de f en (0,0) y a lo largo de la recta y = ;2x. iii) Probar que el plano tangente a la super cie z = f (x y ) en el punto (0,0,0) proyectado sobre el plano y = 0 forma un angulo de 45 con el eje OX. Demostrar que los planos tangentes a la super cie xyz = a3 forman con los planos de coordenadas tetraedros de volumen constante, y calcular este volumen. 35.- 36.- Demostrar que la suma de las distancias al origen de las intersecciones con los ejes p pp de un plano tangente a la super cie x + py + z = a es independiente del punto de tangencia. Sea la funcion f (x y ) = (sen(x + y 3 ) cos x ; ey ). Justi car que f es localmente inversible en (0,0). Calcular df ;1 (0 0). 37.- Sea la funcion g (x y z ) = (e2y + e2z e2x ; e2z x ; y ). Justi car que en un entorno de cada punto de IR3 , g admite una funcion inversa diferenciable y que, ademas, g es globalmente inversible. 38.- Sea f (x y ) = (x cos y x sen y ) de nida en A = IR+ IR. Justi car que f es 0 localmente inversible en cualquier punto de A , pero no lo es globalmente. 39.- Estudiar si cada una de las siguientes ecuaciones de ne localmente una funcion impl cita y = y (x) en un entorno del punto (a b) indicado. En caso a rmativo, calcular y0(a): x2y + 3y3x4 = 4 en (1 1) 3 + 4y sen(xy ) = 0 x en (0 ) 40.- Probar si la ecuacion x + y + z + cos(xyz ) = 0 de ne localmente una funcion impl cita z = f (x y ) en un entorno del punto (0,0,-1). En caso a rmativo, calcular D1f (0 0) y D2f (0 0): 41.- 42.- Probar si, localmente, el sistema de ecuaciones ( x = u2 ; v2 y = 2uv de ne en un entorno del punto (x y u v ) = (0 2 1 1) dos funciones impl citas u = u(x y) v = v(x y ). En caso a rmativo, comprobar si los vectores normales a las super cies u = u(x y ) y v = v (x y ) son ortogonales en el punto (0,2,1). © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 43.- 69 Probar si el sistema de ecuaciones ( u + v + x2 ; y2 + z2 = 0 u2 + v 2 + u ; 2xyz = 0 de ne en un entorno del punto (x y z u v) = (0 0 0 ;1=2 1=2), dos funciones impl citas u = u(x y z ) v = v (x y z ). En caso a rmativo, calcular du y dv en el origen de coordenadas. 44.- Supongamos que la ecuacion F (x y z ) = 0 de ne tres funciones impl citas x = x(y z) y = y(x z) z = z(x y ) . Demostrar que se veri ca la relacion: @x @y @z = ;1 @y @z @x 45.- Probar si el sistema de ecuaciones (t 2 2 e ;x +y =1 t ; xy = 1 de ne impl citamente dos funciones x = x(t) y = y (t) en un entorno del punto (t x y ) = (0 ;1 1). En caso a rmativo, dicho sistema de ecuaciones de ne localmente una curva C IR3 , expresada en coordenadas parametricas por r(t) = (t x(t) y (t)). Calcular la variacion de f (t x y ) = txy ; x + y en el punto (0,-1,1) y a lo largo de esta curva C . La ecuacion f (y=x z=x) = 0 de ne impl citamente a z como una funcion z = z(x y). Demostrar que se veri ca: 46.- @z x @x + y @z = z @y 47.- Demostrar que la funcion z = arctan(y=x) satisface la ecuacion de Laplace: @ 2z + @ 2z = 0 @x2 @y2 Demostrar que la funcion u = A sen(a t + ') sen( x) A a satisface la ecuacion de las vibraciones de cuerda: 48.- @ 2u = a2 @ 2u @t2 @x2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 ' constantes, Calculo. Problemas y soluciones 70 Sea z = f (x + ay ) ; g (x ; ay ) , donde f y g son funciones dos veces derivables de una variable, y a es una constante. Demostrar que se veri ca: 49.- 2 @2 a2 @xz = @ z = a2 (f 00(x + ay) ; g00(x ; ay)) 2 @y 2 Probar que la funcion z = ;x2 y + f (xy ) + g (x) , donde f y g son funciones derivables de IR en IR, satisface la relacion: 50.- @ 2z @2 y @yz ; x @y@x + @z = x2 2 @y Calcular el polinomio de Taylor de grado 2 asociado a cada una de las siguientes funciones, en un entorno del punto indicado: 51.- f (x y ) = x3 + y2 + xy 2 g (x y z ) = x3 + y3 + z 3 ; 3xyz z(r t) = sen(r2 + t2 ) h(x y z ) = ex+y+z P = (1 P = (1 P = (0 P = (0 2) 1 1) 0) 0 0) 52.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones, razonando las respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) Si (a b) es un punto estacionario de una funcion real f (x y ) , entonces existe el plano tangente a la super cie z = f (x y ) en el punto (a b f (a b)) y es horizontal. ii) Si (a b) es un punto de ensilladura de una funcion real f (x y ) , entonces no puede existir un plano tangente a la super cie z = f (x y ) en el punto (a b f (a b)) . iii) Una funcion real f (x y ) que no es diferenciable en un punto (a b) 2 Domf no tiene extremos. iv) Una funcion real f (x y ), diferenciable en (a b) 2 IR 2 y para el cual rf (a b) = ~ , 0 tiene un extremo local en (a b). v) Una funcion real f (x y ), tal que 8(x y ) 2 Domf se veri ca que rf (x y ) 6= ~ , 0 no puede alcanzar ningun extremo en su dominio. 53.- Calcular los puntos estacionarios y estudiar los extremos locales y puntos de ensilladura, si existen, de las siguientes funciones: f (x y) = x2 + xy + y2 ; 6x + 2 g(x y ) = 4x + 2y ; x2 + xy ; y2 > En que punto la derivada de la funcion f (x y ) = x3 + 3y 3 ; x2 + y 2 segun la direccion del vector (1,2) alcanza un extremo? >De que tipo de extremo se trata? >Cual es el valor de la derivada direccional en este punto? 54.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 71 Encontrar el volumen maximo de un paralelep pedo rectangular contenido en el primer octante con un vertice en el origen y el vertice opuesto en el plano x + y + z = 1. 55.- 56.- Un pentagono esta compuesto por un rectangulo y un triangulo isosceles con la base sobre uno de sus lados. Sabiendo que el per metro del pentagono tiene un valor jo p, encontrar las dimensiones de sus lados para que el area sea maxima. Comprobar si la funcion z = z (x y ), de nida impl citamente por la ecuacion xyz + sen(z ; 3) ; x2y2 ; x ; y = 0, tiene un maximo o un m nimo en el punto (x y ) = (1 1). 57.- Dada la ecuacion x2 + y 2 ; z 2 + 2z = 0, determinar los puntos en cuyo entorno z es funcion impl cita de x y de y, y estudiar los extremos relativos de esta funcion z(x y). 58.- 59.- Sea la distribucion de puntos: (;4 1) (;3 2) (;2 3) (;1 4) (0 4): Ajustar a esta distribucion una recta por el metodo de los m nimos cuadrados. 60.- Hallar los coe cientes que mejor ajusten los datos al utilizar el metodo de m nimos cuadrados en los siguientes casos: i) y (x) = ax2 + bx + c. ii) y (x) = aebx . Estudiar si son ciertas o falsas las siguientes a rmaciones, razonando las respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) Una funcion real f , continua en la region A = fz 2 C : jz + 1j 1g , alcanza un maximo y un m nimo absolutos en A. ii) Una funcion real f (x y ) continua en todos los puntos del rectangulo R = a b] c d] a b c d 2 IR tal que rf (x y ) 6= ~ 8(x y) 2 (a b) (c d), no alcanza 0 ningun extremo en R. iii) En caso de que existan el maximo y m nimo absolutos de la funcion real f (x y ) = x2 + (y ; 2)2 sobre el c rculo x2 + y2 1 , estos se alcanzan en la frontera. 61.- Calcular, si existen, el maximo y el m nimo absolutos de las siguientes funciones sobre el conjunto indicado: 62.- f (x y) = x2 + y 2 f (x y) = x2 + y 2 g(x y) = x3 + y 3 + 9xy + 27 z (x y ) = x + y r(x y z) = xyz sobre el segmento fx + y = 1 0 x 1g sobre la region fy + x2 1 y 0g sobre el cuadrado ;5 5] ;5 5] si x2 + y 2 1 y y 0 si x + y + z 1 x 0 y 0 z 0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 72 63.- Hallar los extremos de las siguientes funciones, sujetos a la condicion indicada: d(x y) = x2 + y2 z(x y) = xy u(x y) = xy2 g(x y z ) = xyz h(x y) = ex + ey sobre la hiperbola x2 ; y 2 = 1 sobre la elipse 2x2 + 9y 2 = 18 sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1 sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1 Calcular el maximo y el m nimo absolutos, si existen, de las siguientes funciones sobre el conjunto indicado: 64.- f (x y) = x2 ; y2 h(x y z) = x + y + z r(x y z) = xy 2z2 z(x y) = (x ; 1)2 + y2 sobre sobre sobre sobre x2 + y 2 1 x2 + y 2 + z 2 4 x+y+z =5 x 0 y 0 z 0 x2 + y 2 4 Hallar los puntos de la super cie de la esfera x2 + y 2 + z 2 ; 2x ; 2y ; 2z = 9 cuya suma de coordenadas es maxima. 65.- 66.- Calcular la distancia maxima y m nima del origen a la elipse 5x2 +6xy +5y 2 = 8. Hallar los extremos de la funcion f (x y ) = (x ; 1)2 + (y ; 1)2 sobre el conjunto A = f(x y) 2 IR 2 : x2 + y2 4 x 0 o y 0g. 67.- Estudiar los extremos de la funcion real f (x y x) = x2 y 2 z 2 sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = r2. 68.- 69.- Hallar los puntos de la curva (2 x ; xy + y2 + z 2 = 1 x2 + y 2 = 1 que estan mas cerca del origen de coordenadas. Se tiene que construir un deposito en forma de cilindro circular recto y base semiesferica de volumen constante dado V . Calcular las dimensiones que hacen el area m nima. 70.- Se desea hacer una construccion sobre un terreno T que cumple: T = f(x y ) 2 4x x2 ; y 2 5g. Un ingeniero pretende trazar dos l neas rectas de ferrocarril que vayan del punto (6,0) del plano al punto mas proximo y al punto mas alejado del terreno. >Que longitud de v a debera construirse ? 71.- IR2 : y 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 73 Anexo 72.- Demostrar que, localmente, el sistema de ecuaciones (2 x y + et = 2 xy + etx = 2 de ne x = x(t) y y = y (t), funciones impl citas derivables en un entorno del punto (t x y ) = (0 1 1). Sea r: IR ! IR 2 r(t) def (x(t) y (t)) tal que Imr de ne una curva C en el plano, = 2 ! IR de nida por f (x y ) = x2 + y 2 ; 3x + sen(xy ; 1). y sea la funcion f : IR i) Si la curva C es regular en t = 0, calcular la variacion de f en el punto (1,1) a lo largo de C . ii) Demostrar que la curva C y la curva de nivel -1 de f (x y ) se cortan en el punto (1,1) formando un angulo recto. 73.- Demostrar que, localmente, el sistema de ecuaciones ( 3 23 xz + y u = 1 2xy 3 + u2z = 0 de ne x = x(z u) y y = y (z u), funciones impl citas diferenciables en un entorno del punto (x y z u) = (0 1 0 1). Demostrar que la funcion F (z u) def (x(z u) y (z u)) = admite funcion inversa diferenciable en un entorno del punto (0,1). Considerar h: IR2 ! IR de nida por h(x y ) = x2 + y 3 + xy + x3 + ay a 2 IR . i) >Para que valores de a la ecuacion h(x y ) = 0 de ne impl citamente una funcion y = y(x) y 2 C 1 , en un entorno de (0,0)? >La ecuacion anterior de ne impl citamente x = x(y) derivable en un entorno de (0,0) para algun valor de a? ii) Sea y = f (x) la funcion impl cita determinada por h(x y ) = 0, de nida en cierto entorno abierto U de 0. Calcular el valor del parametro a para que el polinomio de Taylor de segundo grado de f en el origen tome el valor 1 en el punto x = 1. >Para que valores de a tiene f un extremo en x = 0? iii) Sea F : U IR ! IR2 de nida por F (x y ) = (ex+y + x2 ; 1 f (x) + y cos x), (U es el entorno de 0 donde f esta de nida). Demostrar que F admite funcion inversa diferenciable en un entorno de (0,0). Demostrar que la funcion G = F F + F ;1 es diferenciable en (0,0) y calcular dG(0 0). 74.- Considerar la funcion f : IR2 ! IR de nida por f (x y ) = x2 ; xy + y 2. i) Hallar los puntos de la curva de nivel f (x y ) = k k > 0 para los que el modulo del gradiente de f (x y ) toma sus valores maximo y m nimo respectivamente. ii) Sobre la curva de nivel del apartado anterior, dibujar el vector gradiente de f en los puntos hallados, y con la informacion obtenida dibujar de forma aproximada el mapa de curvas de nivel de f . 75.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 74 Sean A IR n un abierto y f : A IRn ! IR. Sea h: IR ! IR estrictamente creciente (o estrictamente decreciente), y considerar la funcion G = h f . i) Demostrar que los puntos de extremo relativo para f y G coinciden. ii) Si f es diferenciable en a 2 A y h es derivable en f (a), demostrar que a es un punto estacionario de G si y solo si a es un punto estacionario de f . iii) Determinar la distancia maxima y m nima del punto (-1,0) al conjunto del plano A = f(x y) 2 IR 2 : x2 + y2 2x y x ; 1g. 76.- 77.- Sea la funcion f : IR2 ! IR de nida por: (2 2 f (x y ) = x + 4y ; 1 jx ; 2yj ; 1 xy 0 xy < 0 i) Estudiar la continuidad de f en IR 2. ii) Calcular el gradiente de f en (0,0). Hallar la derivada direccional de f en (0,0) y en la direccion de la recta y = ;x . Deducir de los calculos anteriores que f no es diferenciable en (0,0) razonar la respuesta. iii) Hallar los puntos de la curva plana que resulta de la interseccion de la super cie z = f (x y) con el plano z = 0, para los que la suma de coordenadas es maxima o m nima. 78.- Sea la funcion f : IR2 ! IR de nida por: ( 22 2 2 f (x y) = x y ln(x + y ) 0 (x y ) 6= (0 0) (x y ) = (0 0) i) Estudiar la diferenciabilidad de f en IR2 . ii) Demostrar que la ecuacion f (x y ) + z 2 + ez+1 = 2 de ne impl citamente z = z(x y) en un entorno V Br (;1) del punto (1 0 ;1) y que (1 0) es un punto estacionario de z (x y ). iii) Considerar la funcion H : V IR2 ! IR2 de nida por: H (x y) = (xyz (x y ) x2 + y 2 + z2(x y)) (x y ) 2 V (donde V es el entorno de (1,0) del apartado anterior, y z (x y ) es la funcion impl cita local). Demostrar que H es localmente inversible en un entorno de (1,0) y calcular dH ;1(0 2) justi cando su existencia. Calcular el maximo de la funcion f (x1 : : : xn) = (x1 x2 xn )2 condicionado por x2 + + x2 = 1. n 1 Usar este resultado para demostrar la siguiente desigualdad, que es valida para a1 : : : an numeros reales positivos cualesquiera: 79.- (a1 an )1=n a1 + n + an © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 75 Sea f : IR ! IR funcion tal que f 2 C 1(IR) y 8t 2 IR jf 0 (t)j K < 1. i) Demostrar que la funcion F : IR2 ! IR2 F (x y ) def (x + f (y ) y + f (x)), admite una = inversa local 8(x y ) 2 IR2 . ii) Demostrar que f tiene un unico punto jo. iii) Suponed que f (0) = 0 , y considerar la funcion real h: IR ! IR de nida por h(x) = (f f )(x) + x 8x 2 IR. Demostrar que la ecuacion h(x) = 0 tiene una unica ra z real. 80.- Demostrar que u = x3 f (y=x z=x), donde f es una funcion diferenciable, satisface la ecuacion: x @u + y @u + z @u = 3u @x @y @z 81.- Sea f : IR2 ! IR diferenciable y sea g : IR3 ! IR 2 g = (u v ) tal que u(x y z ) = x2 + y 2 + z 2 y v(x y z ) = x + y + z. Considerar h = f g . Demostrar que: 82.- krh(x y z)k2 = 4u @ f 2 + 4v @ f @f + 3 @ f 2 @u @u @v @v Sea F : A IRn+1 ! IR F 2 C 2(A) A abierto. Sea (x y ) = (x1 : : : xn y ) 2 IR y (a b) = (a1 : : : an b) 2 A tal que F (a b) = 0 y @F (a b) 6= 0. Sea y (x) la @y funcion impl cita de nida por F (x y ) = 0 en un entorno de (a b) tal que y (a) = b. i) Demostrar que si y (x) tiene un extremo relativo en el punto a, entonces: 83.- n+1 @F (a b) = 0 1 i n @xi ii) Demostrar que los elementos de la matriz Hessiana Hy (a), siendo a el extremo relativo de y (x), son de la forma: @ 2y (a) = ; @ 2 F (a b) @ F (a b) ;1 1 i j n @xi@xj @xi @xj @y iii) Hallar los extremos relativos de y (x) para el caso particular: F (x y ) = x2 + xy + y2 ; 27 Sean f g : IR2 ! IR de nidas por (2 f (x y) = xy sen (1=y ) y 6= 0 0 y=0 1 ex+y + Z x p t2 dt g (x y ) = 0 t4 + 1 i) Calcular rf (a 0) y rg (a b), 8a b 2 IR. ii) Calcular la variacion de g en el punto (0,0) y en la direccion de la recta y = x . >En 84.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 76 que direccion es maxima la derivada direccional de g en (0,0), y cual es el coe ciente de maxima variacion? iii) Demostrar que la funcion F : IR2 ! IR 2 F def (f g ) , es diferenciable en (0,0). = Deducir que G = F F es diferenciable en (0,0) y calcular dG(0 0). iv) Si existen el plano tangente a la super cie z = f (x y ) en el punto (0,0,0) y plano tangente a z = g (x y ) en el punto (0 0 1= ), > son ortogonales? 85.- Sea la funcion f : ;1 1] ;1 1] IR2 ! IR de nida por: f ( x y ) = 1 + x3 + y 2 + 2 Z 3x p 0 1 + t2 dt + x Z y2 0 et2 =2dt i) Demostrar que f 2 C 2 ( ;1 1] ;1 1]). ii) Calcular el polinomio de Taylor de segundo grado, que aproxima a f (x y ) en un entorno del origen de coordenadas calcular el plano tangente a la super cie z = f (x y) en el punto (0 0 1) y comparar resultados. iii) Justi car la existencia de extremos absolutos de f en el subdominio: 0 1] 0 1], y hallar los puntos en los que f alcanza el maximo y el m nimo absoluto. iv) Demostrar que la ecuacion f (x y ) = z 2 + ln z de ne localmente una funcion impl cita z = z (x y ) en un entorno de (0,0,1), y comprobar si (0,0) es un punto estacionario de z (x y ). En el plano XY , se considera el recinto T triangular de vertices (0 0) (a 0) y (0 b) a > 0 b > 0. i) Dado un punto (x y ) 2 T , al unirlo con los vertices de T se obtienen tres triangulos. Si A1 A2 y A3 son las areas de los tres triangulos, demostrar que hay un unico punto (x y ) 2 T , que minimiza la suma de las areas al cuadrado, es decir, que es un m nimo de la funcion Q(x y ) = A2 + A2 + A2 . 1 2 3 ii) Hallar, si existen, los extremos absolutos de Q(x y ) en T . 86.- Probar que los puntos (1 1) y (;1 ;1) son dos m nimos para la funcion f (x y) = (x + 1)2+(y + 1)2 sobre la curva y = 1=x, mientras que son, respectivamente, un maximo y un m nimo para f (x y ) sobre la circunferencia x2 + y 2 = 2. Razonar geometricamente la a rmacion anterior e interpretar el resultado. 87.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 77 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 1.- @f (x y) = 3x2 ; 3ay @x @f (x y) = 3y2 ; 3ax @y @g (x y ) = y + 1 + p x @x y x2 + y 2 @g (x y) = x ; x + p y @y y2 x2 + y2 2.- D1f (0 0) = 3 D2f (0 0) = 5 D1g(0 0) = 0 D2g(0 0) = 0 no existe D1 z (0 0) D2z (0 0) = 0 D1h(0 0) = 1 D2h(0 0) = 0 D1r(0 0) = 1 D2r(0 0) = ;1 D1u(0 0) = 0 D2u(0 0) = 1 3.- p El valor de la derivada para la ultima funcion del ejercicio anterior es ; 22 . 4.- g es diferenciable 8(x y ) 2 IR 2 y rg(0 0) = (0 0), luego dg(0 0) = 0. h es diferenciable 8(x y) 2 IR2 y rh(0 0) = (0 0), luego dh(0 0) = 0. Probar que f (0) = 0 y usar la de nicion de derivada parcial y de diferenciabilidad en un punto. 5.- 6.- a) Indicacion: Demostrar que foi1 es constante. b) Se deduce de a). 7.- i) F © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 78 ii) F iii) F iv) F 8.- Valor aproximado = 0:0615385. Valor exacto = 0:064727. 9.- 75:2cm3. 10.- Usar la de nicion de diferencial de una funcion en un punto. 11.- 1) = p6 10 D( 13 13 ;13 )f (;1 1 7) = 48 12 34 13 3 ;3) = ; p sin 3 ; p cos 3 + p : 3 3 2 D( p16 p16 p26 ) g(ln 3 2 62 62 6 D( p25 1 p5 ) z (1 12.- i) V ii) F p ;2 2. p 14.- 1 ; 3. 13.- 15.- p97 i) 3194 ii) ; 8 3 p iii) ; 3522 16.- df (1 1) = 2 2 ee dg( 2 0 ) = @ ;1 2 2 1 0A 2 e dh(1 0) = e 0 1 1 dF (2 ;1 ;1) = ;4 ;2 ;2 04 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 01 dH (1 1 ;1) = @ ;1 79 1 10 0 1A 0 ;1 1 El per metro var a a una velocidad de 2m/s y el area del rectangulo a una velocidad de 70m2=s. 17.- 18.- dz = D f (cos t ; t sin t) + D fet 1 2 dt du = 2f (t)f 0(t) + 2tf (t) f (t) + tf 0(t)] + 4f (t2 )tf 0 (t2 ) dt @z = @f v + @f 1 @ z = @f u ; @f u @u @x @y v @v @x @y v 2 19.- dz = 8t + 1 dt t dz = p x et + p y cos t = p e2t + psen t cos t2 2t 2 2 2 2 2 dt e + sen t e2t + sen t x +y x +y dz = cos(2t) + sen(2t) ; 2t sen(2t) ; 2 sen2(2t) + 2t cos(2t) + 2 cos2(2t) dt El jacobiano del cambio a coordenadas cil p ndricas vale r y la expresion de la funcion f en las nuevas variables es f (r z ) = r2 + z 2 . El jacobiano del cambio a coordenadas esfericas vale r2 sen y la expresion de la funcion f en las nuevas variables es f (r ') = r. 20.- 21.- Derivar impl citamente. 22.- Derivar impl citamente. 23.- Derivar impl citamente. 24.- F (x y z ) = f 0(xyz) + 3xyzf 00(xyz ) + x2y2 z2 f 000(xyz) 25.- dF (s t) = (4s3 + 10s4t + 8s2t2 + 2t5 + 4s2t3 + 6s2 t ; 6t3 )ds + (6s3 ; 4t3 + 2s5 + 10st4 + 12s3 t2 ; 18st2 )dt 26.- ex+2y 2 x+2y df (x y) = 2 cos(y + 2x) cos(ey + 2x) 2 dg(u v w) = ;1 u 42v 9w 2 0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 80 0 9 d(f g )(1 ;1 1) = ;3 ;6 cos 9 18 cos 9 0 27.- i) ii) iii) iv) F F F V rn : x ; 2 = y ; 1 = z ; 4 Pt : 4x + y + z = 13 4 1 1 x;1 = y; = z rn : Pt : x + y + z + 2 = 0 ; rn : x ; 1 = y ; 1 = z;21 Pt : x + y ; 2z = 0 28.- La recta tangente a x2 y + y 3 = 10 en el punto P = (1 2) es 4x + 13y = 30 y la ; recta normal x;1 = y132 . 4 La recta tangente a la curva (x(t) y (t) z (t)) = (t2 + 1 2t ; 1 4t3) en el punto P = (2 1 4) es (x y z ) = (2 1 4) + (1 1 6) y el plano normal x + y + 6z = 27. 29.- 30.- ; 31.- 0 32.- 4 p 2 3 5 25 33.- 27 34.35.- V = 9 a3 2 Indicacion: Si (x0 y0 z0) es el punto de tangencia, las distanciasp origen de px (px + al + pz ) , las intersecciones con los ejes del plano p tangente son: x = 0 0 y0 0 y = py0(px0 + py 0 + pz0 ) , z = pz0 ( x0 + py0 + pz0). 36.- 37.- Aplicar el teorema de la funcion inversa. 0 df ;1 (0 0) = 1 ;1 0 38.- Aplicar el teorema de la funcion inversa y demostrar que g es inyectiva. 39.- Aplicar el teorema de la funcion inversa y demostrar que f no es inyectiva. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 40.- 81 y0 (1) = ; 7 5 No cumple las hipotesis del teorema de la funcion impl cita 41.- Aplicar el teorema de la funcion impl cita. D1 f (0 0) = ;1 y D2f (0 0) = ;1. El teorema de la funcion impl cita de ne en un entorno del punto (x y u v ) = (0 2 1 1), dos funciones impl citas u = u(x y ) v = v (x y ). Los vectores normales a las super cies u = u(x y ) y v = v (x y ) no son ortogonales en el punto (0,2,1) ya 1 que ru(0 2) = ( 1 1 ;1) y rv (0 2) = (; 1 4 ;1). 44 4 42.- 43.- Aplicar el teorema de la funcion impl cita. du(0 0 0) = 0 y dv (0 0 0) = 0. 44.- Derivar impl citamente la ecuacion F (x(y z ) y z ) = 0 respecto de y , la ecuacion F (x y(x z) z) = 0 respecto de z, y la ecuacion F (x y z (x y )) = 0 respecto de x. Aplicando el teorema de la funcion impl cita se demuestra que el sistema de ecuaciones de ne localmente la curva C , x0(0) = 1 y y 0 (0) = ; 3 . La variacion de 4 4 f (t x y ) = txy ; x + y en el punto (0,-1,1) y a lo largo de esta curva C es ; p826 . 45.- 46.- Derivar impl citamente la ecuacion f (y=x z=x) = 0. 47.- Derivar parcialmente la funcion z = arctan(y=x). Calcular las derivadas segundas de la funcion u = A sen(a t + ') sen( x) que aparecen en la ecuacion @ 2 u = a2 @ 2u @t2 @x2 48.- 49.- Aplicar la regla de la cadena y derivar dos veces. 50.- Aplicar la regla de la cadena. 51.- P2(f )(x y) = 9 + 7(x ; 1) + 8(y ; 2) + 3(x ; 1)2 + 4(x ; 1)(y ; 2) + 2(y ; 2)2 52.- i) ii) iii) iv) v) 53.- V F F F F (4,-2) es un m nimo local para f , y ( 10 8 ) es un maximo para g . 33 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 82 1 En el punto ( 1 ; 9 ) hay un valor m nimo de la derivada direccional y su valor es 3 5 ; 9p5 . 54.- 55.- 1 V = 27 56.- 1 (x y z ) = ( 23 p(2 ; 3) 1 p 2 p(2 ; 3)) 4 57.- z = z (x y ) tiene un m nimo local en el punto (x y ) = (1 1). p p p 8(x y z) 2 IR con z 6= 1, (0,0,0) maximo relativo y (0,0,2) m nimo relativo. 59.- y = x + 3 58.- 4 5 22 5 Indicacion para el apartado ii): Encontrar el punto (a b) que minimiza la funcion: n P f (a b) = (ln yi ; ln a + bxi ])2. 60.- i=1 61.- i) V ii) F iii) V El valor maximo absoluto de f (x y ) = x2 + y 2 sobre el segmento fx + y = 1 0 x 1g vale 1 y se alcanza en los puntos (0,1) y (1,0). El valor m nimo absoluto 1 1 vale 2 y se alcanza en ( 2 1 ). 2 62.- El valor maximo absoluto de f (x y ) = x2 + y 2 sobre la region fy + x2 1 y 0g vale 1 y se alcanza en los puntos (0,1), (1,0) y (-1,0). El valor m nimo absoluto vale 0 para (0,0). El valor maximo absoluto de g (x y ) = x3 + y 3 + 9xy + 27 sobre el cuadrado p ;5 5] ;5 5] vale 502 para (5 5). El valor m nimo absoluto vale ;30 15 ; 98 para p p los puntos (;5 15) y ( 15 ;5). valor maximo absoluto de z (x y ) = x + y si x2 + y 2 1 y 0 vale p Elp ( 22 22 ). El valor m nimo absoluto vale ;1 para (-1,0). p 2 para El valor maximo absoluto de r(x y z ) = xyz si x + y + z 1 x 0 y 1 0 z 0 se obtiene en ( 1 3 1 ), y el valor m nimo absoluto en los puntos (x y z ) con 3 3 x = 0 o y = 0 o z = 0 que cumplan la condicion x + y + z 1. La funcion d(x y ) = x2 + y 2 sobre la hiperbola x2 ; y 2 = 1 alcanza al valor m nimo en (1,0) y en (-1,0). 63.- p La funcion z (x y ) = xy sobre la elipse 2x2 +9y 2 = 18 p valor maximo 3 2 2 para tiene 3 3 3 los puntos ( p2 1) y (; p2 ;1), y valor m nimo ; 3 2 2 en los puntos ( p2 ;1), © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 83 3 (; p2 1). La funcion g (x y z ) = xyz sobre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 tiene valor maximo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p en los puntos ( p3 p3 p3 ), (; p3 ; p3 p3 ), ( p3 ; p3 ; p3 ), (; p3 p3 ; p3 ) y 33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 valor m nimo ; 3p3 en los puntos ( p3 ; p3 p3 ), (; p3 p3 p3 ), ( p3 p3 ; p3 ), 1 1 1 (; p3 ; p3 ; p3 ). 1 La funcion p (xpy ) = ex + ey sobre la circunferencia p 2 + yp = 1 tiene valor maximo h x2 absoluto en ( 22 22 ) y valor m nimo absoluto en (; 22 ; 22 ). El maximo absoluto de la funcion f (x y ) = x2 ; y 2 sobre x2 + y 2 1 se alcanza en los puntos (1,0) y (-1,0) y el m nimo absoluto en los puntos (0,1) y (0,-1). 64.- El maximo absoluto de z (x y ) = (x ; 1)2 + y 2 sobre x2 + y 2 4 esta en (-2,0) y el m nimo absoluto en (1,0). 65.- (3,3,3) La distancia maxima p origen a la elipse 5x2 + 6xy + 5y 2 = 8 vale 2 y se del p pp encuentra en plos puntos ( 2 ; 2) (; 2 2) y la distancia m nima vale 1 en p2 p2 p2 ( 2 2 ) (; 22 ; 2 ). 66.- El valor maximo de f sobre A se encuentra en los puntos (-2,0) y (0,-2) y el valor m nimo en el punto (1,1). 67.- El valor maximo absoluto de f es ( r32 )3 y se obtiene para (x y z ) : x2 = y2 = z2 = r32 . El valor m nimo absoluto de f es 0 y se obtiene en los puntos (x y z ) : x = 0 o y = 0 o z = 0. 68.- 69.- (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0) y (0,-1,0). 70.- r=h= q 3 3V 5 p Debera construirse una via de longitud 6 + 13, siendo (3,2), o bien, (3,-2) el punto mas proximo y (0,0) el punto mas alejado. 71.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 84 Anexo 72.- i) -3 ii) r0 (0) = (0 ;1) y rf (1 1) = (0 3). 73.- Aplicar los teoremas de la funcion impl cita e inversa. 1 0 JF (0 1) = ; 2 ; 3 0 2 74.- i) a 2 IR ; f0g. No ii) a = ;1, 8a 2 IR ; f0g. iii) dG(0 0) = 2 1 02 75.76.- i) Indicacion: utilizar la de nicion de extremo relativo y que h es estrictamente creciente. ii) Aplicar la regla de la cadena. iii) La distancia maxima del punto (-1,0) al conjunto del plano A = f(x y ) 2 IR2 : q 5+p2 pp 2 2 x + y 2x y x ; 1g es y se alcanza en (1 + 22 22 ). La distancia 2 m nima vale 1 y se obtiene en (0,0). 77.- i) f es continua en (IR2 ; fxy = 0g) f(0 0) (1 0) (;1 0) (0 1 ) (0 ; 1 )g. 2 2 ii) rf (0 0) = (0 0). La derivada direccional de f en (0,0) y en la direccion de la recta y = ;x no existe, luego f no es diferenciable en (0,0). 2 1 iii) Para el punto ( p5 2p5 ) la suma de coordenadas es maxima y para el punto 1 2 (; p5 ; 2p5 ) la suma de coordenadas es m nima. 78.- i) f es diferenciable en IR2 . ii) Aplicar el teorema de la funcion impl cita y comprobar que rz (1 0) = (0 0). iii) Aplicar el teorema de la funcion inversa. 02 dH ;1(0 2) = ;1 0 1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 85 El maximo de la funcion f (x1 : : : xn ) = (x1 x2 xn )2 condicionado por 1 x2 + + x2 = 1 se encuentra en los puntos (x1 : : : xn ) con x1 = pn = : : : = xn . n 1 79.- 80.- i) Aplicar el teorema de la funcion inversa. ii) Demostrar que f es una contraccion. iii) Demostrar que h es estrictamente monotona y h(0) = 0. 81.- Aplicar la regla de la cadena y derivar impl citamente. 82.- Derivar impl citamente h(x y z ) = f (x2 + y 2 + z 2 x + y + z ). 83.- i) Derivar impl citamente F (x y (x)) = 0 ii) Derivar impl citamente dos veces F (x y (x)) = 0 iii) (3,-6) m nimo y (-3,6) maximo. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online