ME02201C - Numeros reales y complejos 9 Calculo. Problemas...

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Unformatted text preview: Numeros reales y complejos 9 Calculo. Problemas y soluciones Cap tulo 1. Numeros reales y complejos 1.- >A que intervalos corresponden los siguientes subconjuntos de numeros reales?: fx 2 IR : x2 + x + 1 0g fx 2 IR : x < 0 y x2 + x ; 6 < 0g r2 fx 2 IR : x2 + 1 2 IRg x ;1 2x + 1 < 1g fx 2 IR : x + 2 fx 2 IR : (2x + 1)6(x ; 1) 0g fx 2 IR : x2 + 1 = 0g 2.- fx 2 IR : x2 + x < 2g fx 2 IR : x < x2 ; 12 < 4xg fx 2 IR : x ; 2 < 0g x+3 2; fx 2 IR : x ; 14 0g x fx 2 IR : (x2 + 1)(x2 + 4)(x3 ; 1) = 0g fx 2 IR : x2 ; 2x + 1 0g Demostrar que si a 2 IR+ , entonces se veri ca: i) ii) iii) jxj a () ;a x a jxj > a () x < ;a o x > a p p x2 a () ; a x a 8x 2 IR 8x 2 IR 8x 2 IR Encontrar los intervalos correspondientes a los siguientes subconjuntos de numeros reales: fx 2 IR : jxj 2g fx 2 IR : jx ; 5j < jx ; 1jg fx 2 IR : jx ; 2j 1g fx 2 IR : 1 < jx ; 2j 3g fx 2 IR : jxj > 4g fx 2 IR : jx + 2jjx ; 2j > 4g 3 ; 2x + 1j 0g fx 2 IR : jx fx 2 IR : jx ; 1j < jxjg fx 2 IR : jxj + jx + 1j < 2g fx 2 IR : jx2 ; 1j 5g 3.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 10 4.- Operar en el cuerpo de los complejos C, segun se indica: I (1 ; i)(1 + 2i)(1 ; 3i) 7 ; 4i 3 + 2i i3 (1 + i)2 ; (2i ; 1) p (1 ; i)3(p 3 + i) 1 ; 3i (6 ; 5i)(6 + 5i) 1 2;i (2 ; 3i)2 + (i + 5)2 i(7 + 3i) 3 ; 4i 5.- Expresar en forma trigonometrica y polar los siguientes numeros complejos: ;1 ;i p 1+i p 1 ; 3i 6.- 3+i Expresar en forma cartesiana los siguientes numeros complejos: 3ei =3 p ;i =4 2e 2ei e;i =2 p ei =6 5 7.- Calcular las ra ces complejas siguientes: p 5 1 p 3 ;1 i=2 p 4 1;i 8.- Calcular las siguientes potencias: p (1 ; 3i)4 (;1 + i)3 9.- p 4 (5 ; 12i)2 Encontrar las potencias n-esimas de la unidad imaginaria i, es decir, in n 2 IN. 10.- Si a es un numero real, demostrar que: ia ;ia cos a = e + e 2 ia ;ia sen a = e ;ie 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Numeros reales y complejos 11.- 11 Resolver las siguientes ecuaciones en el cuerpo de los complejos C : I x2 + 4x + 29 = 0 u4 ; 1 = 0 12.- z4 + z2 + 1 = 0 t3 + t2 ; t ; 1 = 0 Encontrar las ecuaciones de segundo grado cuyas ra ces son: p p p 3 + 5i 3 ; 5i ; 3 + i ;3 ; i p 2 + 3i 2 ; 3i ; 1 + 2i ;1 ; 2i Encontrar dos numeros complejos sabiendo que el producto de sus modulos es 9, el cociente de sus modulos es 1, el argumento del producto es 0 y el argumento del cociente es /2. 13.- Encontrar z1 z2 2 C tales que la suma de los cuadrados sea 3, el cociente sea I imaginario puro y el modulo de este cociente sea 2. 14.- Encontrar las ra ces del polinomio z 3 ; (1+3i)z 2 +(;2+ i)z = 0 siendo z numeros complejos. 15.- Determinar los numeros complejos z1 , z2 i z3 tales que z13 , z2 3 i z3 sean numeros reales, z3 = ;a (a 2 IR+ ), z1 + z2 + z3 = 0 y jz1 j = jz2j. 16.- Determinar el conjunto de todos los numeros complejos z que cumplen cada una de las siguientes condiciones: 17.- j2z + 3j < 1 jz ; ij = 2 jz + ij j2zj j2z + 1j Re 2 + Im 4 < 1 z z © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Numeros reales y complejos. Soluciones 13 Numeros reales y complejos. Soluciones 1.- 2.- (;1 +1) (;3 0) (;1 ;1) (1 +1) (;2 1) 1 +1) f; 1 g 2 (a a) (;2 1) (4 6) (;3 2) 2 +1) ;2 1) 1 1] 1 1] Utilizar la de nicion de la funcion valor absoluto y la propiedad ;jxj 3.- ;2 2] (;1 1] 3 +1) (;1 ;4) (4 +1) (;1 +1) pp ; 6 6] (3 +1) ;1 1) (3 5] p p (;1 ; 8) ( 8 +1) 1 ( 2 +1) (; 3 1 ) 22 4.- 61 2+i 55 19 ; 2i 9 ; 37 + 25 i 25 6 ; 8i 1 ; 2i 3 ; 2i 2 ; 2i © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 x j j. x Calculo. Problemas y soluciones 14 5.- 1 p 1 32 26 24 2 53 p 6.- (3 3 2 3) 2 (1 ;1) p ( 3 1) 22 (;2 0) (0 ;1) p ( 5 0) 7.- 8.- 9.- 1 4 + k2 k = 0 1 2 3: 1 ( p ) 8 + k2 k = 0 1 2 3: 4 2 10+ 2k k = 0 1 2 3 4: p5 6 2 7 2 + 2k3 k = 0 1 2: 1 ; 119 ; 120 20 2 + 2i 16ei 3 4k = 1 i4k+1 = i i4k+2 = ;1 i4k+3 = ;i i 10.- 2 IN. Usar la de nicion de la exponencial compleja: 11.- i 12.- w z 16.- z =0 z 2 e3 i 2 ; 4z + 7 = 0 2 z + 2z + 5 = 0 = 3 74 z 15.- ;3i e z 1 = ;2 z2 = i , o bien , z1 = 2 z1 = ;2 z2 = ;i. 14.- i 1 ;1 ;1 i 2 ; 6z + 14 = 0 2 z + 6z + 10 = 0 = 34 = cos a + i sin a. e i e3 e3 z z ia 4 ;2 5 1 ;1 ; i 13.- k i =i z p 1 = a + 23 ai 2 2 = i , o bien , z1 = 2 z = 1 + 2i. p 2 = a ; 23 ai 2 z 3 = ;a z © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 z 2= ; , o bien , i Numeros reales y complejos. Soluciones 15 Interior del c rculo de radio 1 y centro (; 3 0) 2 4 52 Circunferencia de centro (0 ; 3 ) y radio 3 Semiplano derecho de la recta x = ; 1 4 p Exterior de la circunferencia de centro (1,2) y radio 5. 17.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Topolog a 17 Cap tulo 2. Topolog a Probar que d: IR+ IR + ! IR+ , de nida por d(x y ) def j log (y=x)j , es una = 0 0 distancia en IR + (llamada distancia logar tmica), y calcular un entorno de centro 10 y 0 radio r = 1. 1.- 2.- Las aplicaciones d : IR IR ! IR+ k = 1 2 3 de nidas por: 8x = (x1 x ) 2 IR y 8y = (y1 y ) 2 IR n k n n vX u u d1 (x y ) = t (x ; y )2 n n n n i i =1 i d2 (x y ) = 1max jx ; y j X d3 (x y) = jx ; y j i i n i n =1 i i i son distancias en IR . Para cada una de ellas y en el caso n = 2, calcular un entorno de centro el origen de coordenadas y de radio r = 1. n Estudiar los siguientes subconjuntos de IR, IR 2 o de IR3 , segun el caso, con la distancia eucl dea, es decir, justi car si son abiertos o cerrados indicar la frontera, la adherencia y el interior justi car si son acotados e indicar el conjunto de puntos aislados y de puntos de acumulacion: 3.- A = (;1 1) p B = f;1 0 3=2 2 5g IN Q I C = ( 0 2] f3g fQ \ (4 5)g) ; f1g I © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 18 D = f(x y) 2 IR2 : jx ; yj < 1g E = f(x y) 2 IR2 : x2 1 y jy j < 2g F = f(x y z) 2 IR 3 : x2 + y2 + z2 4g G = fz 2 C : Re(z) = Im(z)g I H = fz 2 C : jz ; ij < 1g I Dado (IR d) espacio eucl deo, probar que todo subconjunto cerrado de un compacto de IR es tambien un compacto. 4.- n n 5.- Dado el conjunto A = fz 2 C : jz ; 3j < 2g calcular su interior, frontera, adherencia I y acumulacion. Estudiar si es un conjunto abierto, cerrado, acotado y/o compacto. 6.- Encontrar el lugar geometrico de los z 2 C que pertenecen al conjunto A = fz 2 I C : jz ; 1j = jz ; ijg. Calcular el interior, la frontera, la adherencia y los puntos de I acumulacion del conjunto A. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Topolog a. Soluciones 19 Topolog a. Soluciones 1.2.- 3.- (1,100) d1 : circunferencia de centro (0,0) y radio 1 d2 : cuadrado de vertices (1,1),(-1,1),(-1,-1) y (1,-1) d3 : cuadrado de vertices (0,1),(-1,0),(0,-1) y (1,0) fr(A) = f;1 1g A = A0 = ;1 1] A = A Aisl(A) = fr(B) = B = Aisl(B) = B B = B0 = fr(IN) = IN = Aisl(IN) = IN IN = IN0 = fr(I = Q = (I 0 = IR Q = Aisl(I = Q) I Q) I Q) fr(C ) = f0 1 2 3g 4 5] C = 0 2] f3g 4 5] C = (0 1) (1 2) Aisl(C ) = f3g C 0 = 0 2] 4 5] fr(D) = f(x y) 2 IR2 : y = x + 1g f(x y) 2 IR2 : y = x ; 1g D = D0 = f(x y) 2 IR2 : jx ; yj 1g D = D Aisl(D) = fr(E ) = rectangulo de vertices (-1,-2),(-1,2),(1,-2) y (1,2) E = E 0 = ;1 1] ;2 2] E = (;1 1) (;2 2) Aisl(E ) = fr(F ) = f(x y z) 2 IR3 : x2 + y2 + z2 = 4g F = F 0 = F F = f(x y z) 2 IR3 : x2 + y2 + z2 > 4g Aisl(F ) = fr(G) = G = G0 = G G = Aisl(G) = fr(H ) = f(x y) 2 IR2 : x2 + (y ; 1)2 = 1g H = H Aisl(H ) = H = H 0 = f(x y) 2 IR2 : x2 + (y ; 1)2 1g © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 20 4.5.- Indicacion: Todo subconjunto de un compacto esta acotado. A = f(x y) 2 IR2 : (x ; 3)2 + y2 < 4g A=A fr(A) = f(x y) 2 IR2 : (x ; 3)2 + y2 = 4g A = A0 = f(x y) 2 IR2 : (x ; 3)2 + y2 4g A abierto, no cerrado, acotado y no compacto. El lugar geometrico es la recta x = y . A = , fr(A) = A, A = A y A0 = A. 6.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Sucesiones 21 Cap tulo 3. Sucesiones 1.- Justi car si son o no acotadas las siguientes sucesiones: (cos(n ))n2N n2 ; 1 (2n)n2N 1 n n n2N n2N En el espacio eucl deo de los reales, demostrar que la convergencia de la sucesion (xn )n2N implica la convergencia de la sucesion (jxnj)n2N . >Es cierto el rec proco? Justi car la respuesta. 2.- 3.- Dado el espacio eucl deo (IR d) y el conjunto A IR de nido por: A = fx 2 IR : x = 1 + cos2n 4n n2 2 +n o x = n 5n 3 o x = n(21=n2 ; 1) n 2 INg Demostrar que A tiene un unico punto de acumulacion. Se considera el espacio eucl deo (IRn d) n 1, a 2 IR n y (an )n2N sucesion de terminos de A IRn . Justi car la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones: 1) Si 9 n!+1 an = a, entonces a 2 A. lim 2) Si 9(ank ) ` (an ) tal que (ank ) es convergente en A, entonces (an ) es convergente en A. 3) Si 9(ank ) ` (an ) tal que (ank ) es convergente en A, entonces A es un compacto. lim lim 4) Si 8(ank ) ` (an ) 9 n!+1 ank = a, entonces 9 n!+1 an = a 2 A. 4.- Se considera el espacio eucl deo (IRn d) n 1. Justi car la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones: 1) Toda (xn )n2N sucesion convergente de IR n es acotada y viceversa. 2) Toda (xn )n2N sucesion de IRn monotona y acotada es convergente. 3) Toda (xn )n2N sucesion de IRn convergente es monotona. 5.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 22 4) Toda (xn )n2N sucesion de Cauchy es convergente. 5) 8(xn )n2N sucesion de IRn convergente, entonces A = fan gn2N es un conjunto in nito. Se considera el espacio eucl deo (IR d) y (an )n2N una sucesion de IR monotona creciente. Justi car la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones: 1) (an )n2N es acotada inferiormente. 2) (an )n2N es de Cauchy. 3) Si (an )n2N es acotada superiormente con supremo en 0 y (bn )n2N es sucesion de IR, tal que 8n 2 N , 0 < a < bn < b con a b 2 IR , entonces 9 n!+1 an bn = 0. lim 6.- 7.- Calcular el l mite de las sucesiones numericas que tienen por termino general: 1 + 1=2 + + 1=n ln n p 1+ 2+ n p + nn 1 + 2 + + n;1 n2 n2 n2 p 21 + p 21 + : : : + p 21 n +2 n +4 n + 2n 8.- Calcular los siguientes l mites: lim (n) lim n2 (21=n ; 1) n!1 p lim ( n2 + n ; 2n) n!1 lim (1 + (;1)n ) n!1 lim n(e1=n ; 1) n!1 + lim n ; 1 ; n3n 1 n!1 n n lim 2 n!1 1 + 2n n; n lim 3 5n 2 n!1 n!1 1=n lim n ln n n!1 n lim 2n n lim 10n n!1 2 1 lim 1 + ln 1 + n n!1 2 +n lim n4n2 1 n!1 n!1 lim n2 n 1 n!1 + 2 5n ; 1 ;n lim n!1 3n n lim (5 ; 2n ) n!1 1=n © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 2n Sucesiones 23 lim (ln(n2 + 1) ; n) n!1 lim (n + 1) p p lim ( n + 1 ; n) n!1 n lim (;1) n!1 n! n 2 lim 1 ; n n!1 lim cos n n!1 n!1 2 1=(n+1) lim ln(n2 ; n + 1)1=n n!1 2 lim n ! n!1 n lim ln n n!1 n lim n!1 n2 lim n sen n l!1 n sen n im 2n n lim n!1 n!1 lim n!1 1 n ; (2n 1)=n2 n2 1=n n+1 sen n + 1 n2 2 n4 9.- En el espacio eucl deo de los reales se considera la sucesion numerica (an )n2N tal que nlim (an+1 ; an ) = 2 IR. Demostrar : !1 1) nlim an = : !1 n 2) nlim a1 + : :2: + an = : !1 n 2 Dadas las siguientes sucesiones, (xn )n2N , de nidas por recurrencia en (IR d) eucl deo, demostrar que son convergentes y calcular su l mite: 10.- i) x1 = 3 ii) x1 = 2 + xn+1 = xn 2 5 1 xn+1 = 2 xn + x2 n Sean a0 b0 2 IR tales que a0 > b0 > 0. En el espacio eucl deo de los reales se consideran las sucesiones (an )n2N y (bn )n2N de nidas recurrentemente por : p an+1 = an + bn bn+1 = anbn 2 Demostrar las siguientes a rmaciones : 1) an bn 8n 2 IN. 2) (an )n2N es decreciente y acotada inferiormente. 3) (bn)n2N es creciente y acotada superiormente. 4) (an )n2N y (bn )n2N convergen hacia el mismo l mite. 11.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 24 En el espacio eucl deo de los reales, se considera la sucesion (xn )n2N de numeros racionales, (es decir, xn 2 Q 8n 2 IN ), de nida de manera recurrente por: I 12.- 2 (0 1) \ Q I +x = 1 + x n 8n 2 IN x1 = xn+1 n 1) Demostrar que (xn )n2N es una sucesion acotada. 2) Demostrar que (xn )n2N es una sucesion monotona. 3) Estudiar la convergencia de (xn )n2N . >Es convergente en Q? I 4) Considerar (I d) con la distancia eucl dea inducida de los reales, >es (I d) un Q Q espacio metrico completo? Justi car la respuesta. En el espacio eucl deo (IR d) se consideran (xn )n2N y (yn )n2N dos sucesiones numericas tales que, 8n 2 IN xn 0 y 9a b 2 IR tales que 8n 2 IN 0 < a < yn n b. < De nimos zn = (;1) xn yn 8n 2 IN. Demostrar: 13.- (zn )n2N es convergente () lim xn = 0: n!+1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Sucesiones. Soluciones 25 Sucesiones. Soluciones 1.- No S S No 2.- Indicacion: jjxn j ; jxjj < jxn ; xj. El rec proco es falso. 3.- A0 = f0g 4.- 1) F 2) F 3) F 4) V 5.- 1) F 2) F 3) F 4) V 5) F 6.- 1) V 2) F 3) V © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 26 7.- 1) 1 2) 1 3) 1=2 4) 1 8.- 1 +1 ;1 no existe 1 2 3 1 0 1 0 0 e;2 0 0 9.- +1 0 +1 e2 0 1 0 +1 ;1 0 0 0 1 1 0 Indicacion: Criterio de Stolz. 10.- i) (xn)n2N es monotona creciente: l = 5 p ii) (xn)n2N es monotona decreciente: l = 2 12.- 1) 2) 3) 4) 0 < xn < 1 (xn )n2N es monotona creciente. l = +p No Indicacion: El l mite de una sucesion producto de una sucesion que tiende a cero por una que esta acotada vale cero. 13.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Series numericas 27 Cap tulo 4. Series numericas En el espacio eucl deo de los reales, razonar si es cierta o falsa la siguiente a rmacion, con unP contraejemplo en caso de falsedad: P P Si an y (;an ) son convergentes, entonces, jan j es convergente. 1.- n 1 n n 1 1 En el espacio eucl deo de los reales, sea (an )n2N una sucesion yP supongamos que ;M , 8n 2 IN, y 9k 2 IN tal que 9M > 1 tal que janj M n (bk ; bk ) es nn 2.- convergente. Demostrar que P n 1 an bn n es convergente. +1 1 1 P Se consideran el espacio eucl deo (IR d) y la serie numerica a convergente. nn Justi car la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones: 1 P 1) an es absolutamente convergente. n 2) La serie de terminos positivos y la de terminos negativos son convergentes. n P 3) La sucesion de sumas parciales jakj no es convergente, pero esta k n2N acotada. 4) La sucesion (jan j)n2N es convergente hacia cero. 3.- =1 =1 =1 1 P Se consideran el espacio eucl deo (IR d) y la serie numerica a convergente. nn Justi car la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones: 1 P 1) Si 9 n! 1 an = l 2 IR , entonces lim an es convergente. 4.- =1 + n P n =1 es de Cauchy () 1 P a es convergente. nn n2N P 1 1 P 3) Si 8n 2 IN 0 an bn y bn es divergente, entonces a es divergente. n nn 2) (sn )n2N = k =1 ak =1 =1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 =1 Calculo. Problemas y soluciones 28 En el espacio eucl deo (IR d), veri car las siguientes a rmaciones: 5.- 1 P a 1) Si a 2 IR a > 1 , entonces 9 n! 1 1 + a + a2 + + an = an = a; : lim n 1 P 2) 8n 1 ln n n , luego es divergente. nn 3) Si (an )n2N es una sucesion monotona creciente y n! 1 an = +1 entonces lim ; 1 1 1 + 1 1 =0 1 =2 1 P n + ; n es convergente. an ( =1 ln 1) 1 P Se consideran el espacio eucl deo (IR d) y la serie numerica a convergente, nn con an > 0 8n 2 IN: Veri car que: 6.- =1 1) La serie 2) La serie 3) La serie 1 P n1 =1 (;1)n an es convergente y la serie a es convergente. Pn n n1 =1 P n =1 1 P es divergente. n an 1 =1 3 ln(1 + an ) es convergente. 1 P 1 P Se consideran el espacio eucl deo (IR d) y las series numericas an y b b> n nnn 0: Justi car la veracidad o falsedad de las siguientes a rmaciones: 1 1 P P 1) Si an es convergente, entonces an es convergente. 7.- =1 n1 2 =1 2) Si P n1 =1 1 P =1 an y an es convergente y n =1 n bn son divergentes, entonces 1 P 1 P n =1 an bn =1 es divergente. 1 Pn a es divergente. n n n bn 8.- En el espacio eucl deo de los reales se consideran las sucesiones (an )n2N y (bn )n2N . P P Demostrar que si las series numericas an y bn son convergentes, entonces la serie n n P a b es convergente. n nn 3) Si P =1 =1 es divergente, entonces bn 2 1 2 1 1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 =1 Series numericas 29 En el espacio eucl deo (IR d), estudiar la convergencia de las siguientes series y, si es posible, calcular la suma: X2 X + (;1)n n n! 1 n n! n Xn X 1 n 2n ; 1 n n +5 X X 1 p1 p (2n ; 1)(2n + 1) n n n+1 n X 3n n! X n n n nn n (2 + n ) X X 1 1 + 21n n n(n + 1) n X 2n + 3n X n n 5 n n (n + 1)! X (;1)n n! + 3n X 1 3n n! n n n(n + 1)(n + 2) X 2n + 3 X 1 2n + 3 () n n n(n + 1) 3 n n + 5n + 8n + 4 9.- 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 +1 1 0 1 1 3 ( ) Nota: 1 P = n n2 1 =1 2 2 =6. 10.- En el espacio eucl deo de los reales, estudiar la convergencia de las siguientes series numericas segun el valor de la constante real a : i) 11.- que: X n 0 an n +1 3n a 2 IR: 2 ii) X n an + n + n an n(n + 1) 2 +1 1 a > 0: Si (xn )n2N es una sucesion convergente en el espacio eucl deo de los reales, probar ln (1 + n )n (1 + n)] 1 n ) = 2 ln 2 n (n ln n) ln ((n + 1) 1 X 1 ( +1) =2 En el espacio eucl deo (IR d) se considera la sucesion (xn )n2N de terminos estrictamente negativos, es decir, 8n 2 N xn < 0, con x = ;1 y 8n 1, 12.- 0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 30 xn ; xn P = xn; . Demostrar que la serie numerica xn es convergente y calcular su n suma. Asimismo, demostrar la convergencia de las series: 2 1 1 X n 13.- 2 1 (;1)n xn 1 X y 2 n =1 sen(xn ) cos(xn ) 2 2 =1 Calcular los numeros reales a b c d que veri can la igualdad: x 3 Probar que = ax(x ; 1)(x ; 2) + bx(x ; 1) + cx + d 1 P 1 n3 = 5e si se conoce que P = e: nn nn =0 1 ! =0 ! En el espacio eucl deo de los reales, se considera (an )n2N sucesion de numeros n P reales positivos y (sn )n2N la sucesion de sus sumas parciales: sn = ak . Demostrar k que la siguiente serie es convergente y calcular su suma: 14.- =1 X n 2 an sn sn; 1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Series numericas. Soluciones 31 Series numericas. Soluciones 1.- F 2.- Indicacion: Utilizar el criterio de comparacion. 3.- 1) F 2) F 3) F 4) V 4.- 1) F 2) V 3) F 5.- 1) V 2) V 3) V 6.- Indicaciones: 1) Condicion necesaria de convergencia. 2) Aplicar el criterio de comparacion. 3) Aplicar el criterio de comparacion. 7.- 1) F 2) F 3) F 8.- Indicacion: 0 j 2an bn j an 2 + bn 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 32 9.- 2(e ; 1) divergente divergente convergente 1 1 3( 1 + e) 4 2 ;3 64 convergente convergente convergente divergente divergente 13 6 1 4 1 10.- i) Convergente para jaj < 3 ii) Convergente para a > 1 11.- Indicacion: 1 ln (1 + n )n (1 + n)] 1 1 = nlnn ; (n + 1)ln(n + 1) (n ln n) ln ((n + 1)(n+1) ) 12.- P xn n 1 2 es telescopica y su suma vale 1. 1 P (;1)nxn converge absolutamente. 2 n=1 1 P sen(xn) cos(xn) Indicacion: aplicar el criterio de comparacion y el criterio de comparacion por paso al l mite. 2 2 n=1 13.- a = 1, b = 3, c = 1, d = 0. 14.- Indicacion: P n 2 an sn sn;1 es telescopica. P an = S P a = ss a n n P an es divergente; P Si Si 1 n 1 2 n nn 1 1 1 n 2 ;S 1 an sn sn;1 = a11 . © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Funciones: L mites y continuidad 33 Cap tulo 5. Funciones: L mites y continuidad 1.- Estudiar el dominio de de nicion de las siguientes funciones: h(t) = e1=t ; e2t f (x) = cos(x2 ; ln(x + 1)) r3 u;1 g(u) = ln u + 2 g(u) = u2u; 1 q f (x y) = x ; (y ; 1)2 ; 1 s(t) = sen(1=t) t3 ; 1 u+v g(u v) = p f (x y) = ln(y ; x2) 2u ; v tz 2 4 h(t z ) = 2 r(t s) = ln(t + s ) (t + 1) + (z ; 2)2 sen(ts) 2=t + r(t) = ln jtp 1j t2e ; 1 tt 2.- p t ;4 cos(2t) 2 Calcular la composicion de los siguientes pares de funciones: p x+ g(x) = x ; 1 f (x) = 2x + 13 h(t) = sen(t2 ; 2) s(t) = e1=t 2 p ;2 g(x y) = x ; y + 3 f (x y ) = x xy y x + y r(t) = (sen t cos t t) g(u v z ) = u2 + v2 + z 2 f (x y z) = (x + z y ; x) h(x y ) = sen(x + y) Representar gra camente algunas curvas de nivel de las siguientes funciones reales de variable vectorial y estudiar de manera aproximada la super cie que generan en el espacio: p f (x y) = x2 + y2 h(s t) = s2 + t2 z(x y) = xy f (t z ) = t2 ; z 2 g(a b) = 9a2 + 4b2 w(u v) = 2u ; v 3.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 34 Encontrar el valor que toman las siguientes funciones sobre las curvas indicadas: (funcion restringida a los puntos de una curva) 2 2 p g(x y) = sen(x + y ) sobre el trozo de circunferencia y ; =2 ; x2 = 0: 4.- y2 3z h(x y z) = x2 + 2y 2 sobre el paraboloide z = x2 + 2y2: 5.- Calcular los siguientes l mites de funciones de variable real: 2 p p ;+ lim2 x x2 6x 4 8 1+t; 1;t x! lim ; t!0 t 1=t 1+t 1 lim lim t!0 1 ; t x!0 1 + e1=x ax bx lim0 jxj lim0 e ; e x! x x! x 1=x x lim (ln x) lim x x!+1 x!0+ lim x(ln(x + 1) ; ln x) lim1 (ln(t2 ; 2t + 1))1=t x!+1 t!+ lim (sen t ; 1) tan t lim (x ln(1=x))x t! =2 lim (sen x) x! =2 tan ;x x ex e lim x!+1 x x2 + 1 2x lim x!1 x2 ; 1 t+1 lim1 e t2 ;;11 t!; lim+ ln(cos x) x2 x!0 lim t sen 1 t!0 t 2 l!;1 sen(x+ ; 1) im x x1 arctan(x ; 4) lim x!4 ln(x ; 3) lim senj t t!0 jt j2 lim1 2x ; 1j x! x + x ; 2 x!0+ lim x arcsin(1=x) lim 1 ; cos x x!1 x!0 x2 x x;1 x2 ; 1 x!1 lim sen(t ; =4) 4t ; t! =4 lim ln(1 +xsen x) x!0 2 x+1 x lim x!1 2x + 1 ; ;x lim0 1 senex x! x lim ln(1 ; e ) x!;1 x x;1 lim x!1; jx ; 1j lim+ ln(2jttj+ 1) t!0 lim+ © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Funciones: L mites y continuidad 35 Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones, justi cando las verdaderas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) La suma de funciones discontinuas es discontinua. ii) El producto de funciones discontinuas es continuo. iii) Toda funcion continua es monotona. iv) Toda funcion monotona es continua. v) Si existen los l mites laterales de una funcion en un punto, entonces la funcion es continua en este punto. 6.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes a rmaciones, justi cando las verdaderas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) Una funcion de dos variables que es continua respecto de cada una de ellas, es continua respecto de las dos. ii) Rec procamente, si es continua respecto de las dos variables, lo es respecto de cada una de ellas. iii) Una funcion f (x y ), continua en la direccion de todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, es continua en (0 0). 7.- 8.- Las siguientes funciones estan de nidas en IR ; f0g. >Que valor ha de tomar f en x = 0 para que sea continua en todo IR? f (x) = sen(2x) x f (x) = x sen( =x) x ;x f (x) = e ; e x 1 ; cos x f (x) = x Demostrar que la funcion de nida por : ( q ( x) = 1 x 2 Q 0 x 62 Q es discontinua en todo IR. 9.- 10.- Demostrar que f , funcion real de variable real de nida por 8 > 1=x x 2 Q ; f0g < f (x) = > 0 x = 0 : x x 2 IR ; Q es continua en unicamente 2 puntos. Sea f : a b] ! IR continua (a 6= b) tal que f (x) 2 Q que f es constante. 11.- 8x 2 a b]. Demostrar Sea f : IR ! IR una funcion tal que f (xy ) = xf (y ) 8x y 2 IR. Demostrar que f (x) es continua 8x 2 IR. 12.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 36 Sea f : IR ! IR funcion. i) Si jf (x)j jxj 8x 2 IR, demostrar que f es continua en x = 0. ii) Sea g : IR ! IR continua en x = 0 , g (0) = 0 y 8x 2 IR jf (x)j jg (x)j. Demostrar que f es continua en x = 0. iii) >Es cierto el apartado (ii) si g (0) 6= 0? Buscar un contraejemplo en caso negativo. 13.- (E d) y (F d0 ) espacios metricos y la funcion f : A E ! F uniformemente continua en A. Demostrar que si (xn )n2N es una sucesion de Cauchy de A , entonces (f (xn ))n2N es una sucesion de Cauchy de F . 14.- Sean Dados (IRn d) eucl deo y K subconjunto compacto de IRn , considerar la funcion f : K ! K tal que: 8x y 2 K x 6= y 0 < kf (x) ; f (y)k < 1=2: 15.- kx ; yk Justi car que 9z 2 K tal que f (z ) = z . 1 1 1 Sea A = f 1 2 1 : : :: : :g = f(;1)n n 8n 2 IN g f(;1)n;1 n 8n 2 IN g y 3 g: IR ! IR la funcion de nida por: ( 1 si x 2 A g(x) = 0 si x 62 A 16.- 1 i) Calcular los l mites, si existen, de la funcion g para x = 3 x = 4 x = 0. 8 ii) Estudiar la continuidad de g . 1 Considerar el conjunto A = fx 2 IR : x = (;1)n + n 8n 2 IN g y la funcion g: IR ! IR de nida por: ( 1 x2A g(x) = 2 2x x 62 A Estudiar la existencia del l mite de la funcion g en los puntos: -1, -2/3, 0, 1/2, 1 y 2 y calcularlo en caso de que exista. Estudiar la continuidad de g . 17.- En el espacio euclid deo (IR d), se considera el conjunto A = fx 2 IR : x = 8n 2 N g y las funciones f : IR ! IR y g: A IR ! IR de nidas por: ( ( 0 x2A 0 x<0 8x 2 IR f (x) = ;x2 8x 2 A g(x) = ;x2 e x 2 IR ; A e x0 18.- (;1)n =2n i) Estudiar si A es un conjunto acotado. Calcular el interior, la acumulacion y el conjunto de puntos aislados de A. ii) Estudiar la continuidad de f y la continuidad de g . © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Funciones: L mites y continuidad 37 Calcular el valor de las constantes para que las siguientes funciones reales de variable real sean continuas en todo IR: 8 1=x 8 2x2 + b si x 0 > 2 + a si x < 0 < < 2 si x = 0 f (x) = : ex ; 1 g (x) = > 0 : b1=x si x > 0 si x < 0 x2 19.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones e indicar el tipo de discontinuidad que presentan : 2 x+ h(t) = sen(t;+11) f (x) = x 2; 2x ; 21 2 jt j x+ j e2y f (x) = pxj2+ 1 g(y) = ln(y2; 11) ( 1=(t+ 1) ( x1=(;;1 ; t 1) t 6= 1 t<1 s(t) = e r(t) = e 0 t=1 0 t=1 8 > sen(2u) u > 0 >u > < (u) = > ln j1 + uj u < 0 u 6= ;1 > 1=2 u=0 > :0 u = ;1 20.- 21.- Calcular los siguientes l mites de funciones de variable vectorial: lim x y)!(0 0) ( lim x y)!(1 0) ( lim x y)!(0 0) ( lim x y)!(1 1) ( lim x y)!(0 1) ( lim x y)!(0 2) ( lim x y)!(0 0) ( lim x y)!(0 0) ( xy x2 + y 2 sen((x ; 1)y ) y x5 ; 2x2y 3 (x2 + y 2)2 x;y x+y;2 ex=y ; 1 x sen(xy ) x xy ; 1 e p2 2 x +y ;1 (2 + xy ) x2 y2 lim x y)!(0 0) ( lim x y)!(0 0) ( lim x y)!(0 0) ( lim x y)!(1 0) ( lim x y)!(0 0) ( xy2 x2 + y4 1 xy sen x2 + y 2 ln(x2 ; y 2 + 1) x+y (x ; 1)3 x2 ; 2x + y2 + 1 ln(xy + 1) x2 + y2 x2 ; y2 (x y )!(1 ;1) ex+y ; 1 3 lim x2 (x y )!(0 0) y 1 lim (1 + sen(x2y )) x2 +y2 (x y )!(0 0) lim © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 38 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones e indicar el tipo de discontinuidad que presentan : 22.- f (x y ) = jx + y j h(u v) = e;1=u2 v2 g(x y) = arctan(xy+ y) r(t x) = sen(tx) 2; 2 x t (p 1 ; x2 ; y 2 x2 + y 2 1 g (x y ) = 0 x2 + y 2 > 1 8 > ln(1 + x2 y 2) xy 6= 0 > < xy z (x y) = > 0 x=0 > : B1 y = 0 x 6= 0 ( 1 0 < x y2 B h(x y) = 0 x 0 o x > y2 (2 6 r(s t) = st sen(1=t) t = 0 0 t=0 23.- Sea la funcion : IR2 ! IR tal que: p2 2 (x y ) = x + y sen(xy ) si x 6= 0 x De nir la funcion en los puntos de x = 0 para que sea continua en IR2 . 24.- Considerar la funcion de dos variables f : IR2 ; f(0 0)g ! IR de nida por 82 > x sen y si y 0 >2 2 < f (x y) = > xy3+ y > e ; 1 si y < 0 >2 2 : x +y i) Comprobar que el dominio de f puede extenderse a IR2 de forma continua. ( ) jz;2ij p2 . Si f es la extension ii) Considerar el conjunto A IR2 , A = z 2 C : jz+ij I continua de f en IR2 , estudiar la existencia de extremos absolutos de f jA (restriccion de f al conjunto A ). © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Funciones: L mites y continuidad 25.- 39 Considerar la funcion real de variable vectorial f : IR2 ! IR de nida por: 8 > xy ;x y x2 y x > 0 > >x > > x > 0 y y > x2 <y f (x y ) = > 2 2 > x +y x 0 y > x;y > > : x + y y < 0 y y < ;x i) Representar gra camente en IR2 los distintos dominios de de nicion de f ii) Estudiar la continuidad de f en IR 2 iii) Si h es la restriccion de f sobre los puntos de la recta x = ;1 , es decir, h(y) = f (;1 y ) 8y 2 IR , estudiar el dominio de continuidad de h >Donde podemos asegurar que la funcion inversa, h;1 , es continua? Resolver las siguientes cuestiones: i) Buscar un ejemplo de una funcion que toma valores positivos y negativos en un intervalo a b], y que no se anula en ningun punto. ii) Buscar un ejemplo de una funcion continua en un abierto A, que no alcanza ningun extremo en dicho conjunto A. iii) Probar que si f (x) es continua en el intervalo ;1 2], f (;1) = ;3 y f (2) = 18, entonces 9t 2 (;1 2) tal que f (t) = 7. 26.- Dadas las siguientes ecuaciones, indicar un intervalo en el que pueda asegurarse que existe alguna solucion (ayudaos gra camente): 27.- x3 ; 3x + 1 = 0 x ; 1 = sen x t2 + ln t = 0 et = 2 ; t2 x4 + 2x2 ; x ; 1 = 0 x3 = arctan x 1 et;1 = t + 1 t ln t = 1 28.- Se considera la funcion f : IR ! IR continua y acotada. Demostrar que la ecuacion f (x) ; x3 = 0 tiene al menos una ra z real. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y soluciones 40 Sin necesidad de la de nicion, justi car si las siguientes funciones alcanzan un maximo y un m nimo absolutos en los conjuntos indicados: 29.- f (x) = x2 ; 2x + 3 y(x) = 1=x h(t) = sen t r(t) = et ln jt2 ; 1j 8 sen x < x 6= 0 g(x) = : x x x=0 f (x y ) = ex+y cos(xy ) en 2 x+y g(x y ) = sen(xy) en '(z ) = Re(z) +2Im(z) en jzj ( 2u + 1 u 0 F (u v) = 1 + u2v u < 0 30.- en el intervalo ;1 0] en fx 2 IR : jxj 1g en ft 2 IR : j2t ; 3 j < g en el intervalo ;1 2] en fx 2 IR : jxj 1g f(x y) 2 IR : jx ; yj 1 i jxj 2g f(x y) 2 IR : jxj 1 ; y g 2 2 2 fz 2 C : 1 < jzj 2g I en f(u v ) 2 IR2 : u2 + v 2 1g 0 +1) IR2 ! IR tal que, 8 ex;y ; 1 > > > x + 2y < 0 H (x y ) = > > 1 > (x ; y ) cos : Sea la funcion H : IR para x 2 IR y 0 x2 ; y2 y jxj (x y) 6= (0 0) (x y ) = (0 0) y < jxj i) Estudiar la continuidad de la funcion H . ii) Se consideran los conjuntos C1 = f(x y ) 2 IR 0 +1) : jxj y 1g y C2 = 1=2 1] 1=2 1]. >Se puede asegurar que H alcanza un maximo y un m nimo absolutos en C1? >Y en C2? Justi car las respuestas. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Funciones: L mites y Continuidad. Soluciones 41 Funciones: L mites y Continuidad. Soluciones 1.- IR ; f0g (;1 ;2) (1 +1) f(x y) 2 IR2 : x y2 ; 2y + 2g f(u v) 2 IR2 : 2u vg f(t s) 2 IR2 : ts 6= k k 2 Z g (;1 +1) (;1 0] (1 +1) IR ; f0 1g f(x y) 2 IR2 : y > x2g IR 2 ; f(;1 2)g 2 +1) ; ft 2 IR : t = 2 + k 2.- rx + 2 (g f )(x) = x + 1 1 (s h)(t) = e ; sen(t2 s 2) k 2 Zg p (f g )(x) = 2p x ; 1 + 3 x;1+1 (h s)(t) = sen(e2=t ; 2) 2; 2 (g f )(x y ) = x xy y ; x ; y + 3 no existef g (g r)(t) = 1 + t2 (r g )(u v z ) = (sen(u2 + v 2 + z 2) cos(u2 + v 2 + z 2 ) u2 + v 2 + z 2 ) (h f )(x y z ) = sen(z + y ) no existef h 3.- paraboloide de revolucion paraboloide hiperbolico paraboloide el ptico cono paraboloide hiperbolico plano © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y Soluciones 42 4.- g(x) = =2 1 x2 ; h(x y) = 3 5.- ;1 2 2 e 1 no existe no existe 1 1 0 1 1 1 ;1 2 ;1 2 0 ;2 1 no existe no existe a;b 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 0 1 0 ;1 1 2 6.- i) ii) iii) iv) v) F F F F F 7.- i) F ii) V iii) F © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Funciones: L mites y Continuidad. Soluciones 43 8.- 2 0 9.- 2 0 Indicacion: Aplicar el criterio secuencial. 10.- x= 1 Indicacion: Demostrar por reduccion al absurdo y aplicar el teorema de los valores intermedios. 11.- 12.- Indicacion: Demostrar que f (xx) es constante y aplicar la de nicion de continuidad. 13.- i) Indicacion: f (0) = 0 y aplicar la de nicion de continuidad. ii) Indicacion: Observar que i) es un caso particular de ii). iii) Falso. 14.- Indicacion: Demostrar usando las de niciones. 15.- Indicacion: Aplicar el teorema del punto jo. 16.- i) lim g (x) = lim g (x) = 0 x!0 g (x) no existe. lim x! x! ii) Si x0 62 (A f0g), g es continua en x0 . Si x0 2 A, g tiene una discontinuidad evitable en x0 . Si x0 = 0, discontinuidad esencial en x = 0. 3 8 1 4 17.- Si x0 2 A, g tiene una discontinuidad evitable en x0. Si x0 62 (A A0), g es continua en x0. Si x0 2 A0 , discontinuidad esencial en x0.(Ej. 1,-1). 18.- i) A es un conjunto acotado. A = , A0 = f0g, Aisl(A) = A. ii) f es continua en IR ; (A f0g) y g es continua 8x 2 A. 19.- Para f : b = 1, y para g : a = 0 b 2 (0 1). © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Calculo. Problemas y Soluciones 44 20.- h presenta discontinuidad esencial en t = 1 y de salto en t = ;1 f presenta discontinuidad esencial en x = ;2 y evitable en x = 1 f es continua en IR ; ;1 1] g presenta discontinuidad esencial en y = 0 r es continua 8t 2 Domr s presenta discontinuidad esencial en t = 1 es continua en IR ; f0 ;1g 21.- no existe 0 0 no existe 1 2 0 0 no existe 0 0 0 no existe 2 no existe 1 22.- f es continua 8(x y ) 2 IR2 g es continua 8(x y ) 2 IR2 ; f(b ;b) (a a)g h presenta discontinuidad evitable en u = 0 y en v = 0 r presenta discontinuidad evitable en t = 0 g es continua 8(x y ) 2 IR2 z presenta discontinuidad esencial en (x y) 2 IR2 : y = 0 x 6= 0 h es continua en IR2 ; fx = y2 g fx = 0g] r es continua 8(s t) 2 IR2 23.- 8 px + y < (x y ) = : x sen(xy) y jyj 2 2 si x 6= 0 si x = 0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 Funciones: L mites y Continuidad. Soluciones 24.- i) 45 8 x sen y > > x +y > < 0 f (x y ) = > > ey ; 1 > : x +y 2 2 2 3 2 2 si y > 0 si y = 0 si y < 0 ii) f jA alcanza extremos absolutos en A. (aplicar el teorema de Weierstrass). 25.- f es continua en IR2 ; f(fy = x2 x 0g ; (;1 0))g. 0g ; (1 1)) fy = ;x x 0g fx = 0 y 0g (fy = 0 x 26.- i) Observemos que no se cumple el teorema de Bolzano. ii) f (x) = x de nida en A = (1 2). iii) Aplicar el teorema de Bolzano a h(t) = f (t) ; 7. 27.- 28.- (1 (1 (0 (0 (;1 1) (2 2) (0 1) (1 2) 2) ) 1) 1) Aplicar el teorema de Bolzano. Razonar, si es posible, aplicando el teorema de Weierstrass. (S , No, No, No, No, S , No, No, S ). 29.- i) H es continua 8(x y ) 2 DomH ; f(;a a)g. ii) En C1 no podemos asegurar nada porque no estamos en condiciones de aplicar el teorema de Weierstrass sin embargo, en C2 podemos asegurar la existencia de extremos absolutos. 30.- © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000 ...
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