# sol4 - ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê...

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê À ½ µ ÂÁÆ Ä Á¸ ÎÁ ÊÇË Æ Ê ´½µ ´ µ ÓÖ Ò ¸ÐØ ¸Ò º ´ µ ÓÖ ¸Ð Ø ¸Ò º ÓÖ Ú ÖÝ ÓÖ Ø Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ø Ò ÒÙÑ Ö Ð ×× ¸ Ò ÓÖ Ø Ð ×× Û Ø ÓÙØ Ø ÝÔÓØ × × º ´ µF × Ð ×× Ó ÙÒ Ø ÓÒ× f (x) : X → R¸ Ò Ü Ý Ø × Ø {t ∈ R : |t − a| ≤ M }º 0<M<∞ a∈R f (x, t) = |x − t| F = {f (x, t) : |t − a| ≤ M } a∈R g (x, t) = |x − t| − |x − a| G = {g (x, t) : |t − a| ≤ M } N1,B (ε, P, F ) < ∞ ε>0 F E |X | < ∞ G E |X | < ∞ t ÒÚ ÐÓÔ Ó F × Ø Ì ÙÒ Ø ÓÒ F (x) = sup |f (x)| = f ∈F sup ft (x) {t:|t−a|≤M } ÁØ³× Ó Ú ÓÙ× Ý Ô ØÙÖ Ø Ø F (x) = |x − a| + M º À Ö ³× Ò Ð Ö ÔÖÓÓ • ∀t : |t − a| ≤ M, ft (x) = |x − t| ≤ |x − a| + |a − t| ≤ |x − a| + M • ∀x ≤ a¸ fa+M (x) = |x − (a + M )| = M + a − x = |x − a| + M • ∀x > a¸ fa−M (x) = |x − (a − M )| = x − a + M = |x − a| + M Ì Ù× Ø ÒÚ ÐÓÔ × |x − a| + M º Ë Ò |x| − |a| ≤ |x − a| ≤ |x| + |a| Ø ÒÚ ÐÓÔ × L1 (P ) E |X | < ∞º Ì Ò ε/2 ÓÚ Ö Ó Ø ÒØ ÖÚ Ð [a − M, a + M ] Ù× Ò m = 2M ÔÓ ÒØ×º ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ε ε ε ε Ø ti = a−M +iε− 2 ¸ ÓÖ i = 1, . . . , mº Ò giL (x) = |x−ti |− 2 Ò giU (x) = |x−ti |+ 2 º L U ×ÛØ Ø ÒÚ ÐÓÔ ÙÒ Ø ÓÒ¸ gi Ò gi Ö Ò L1 (P ) × Ò E |X | < ∞º Ï Ð×Ó Ú ÆÓÛ ÓÖ ÒÝ ft (x) ∈ F ¸ Ô U L E |gi (X ) − gi (X )| = E |ε| = ε ε ti ×ºØº |t − ti | ≤ 2 º Ì Ò ε U = gi (x) 2 ε L ft (x) = |x − t| ≥ |x − ti | − |ti − t| ≥ |x − ti | − = gi (x) 2 ft (x) = |x − t| ≤ |x − ti | + |ti − t| ≤ |x − ti | + ËÓ (giL , giU )m × Ò ε¹ Ö Ø Ò ¸ Ò Ø Ù× N1,B (ε, P, F ) ≤ i=1 ´ µÌ ÒÚ ÐÓÔ Ó G × Ø ÙÒ Ø ÓÒ G(x) = sup |g (x)| = ¸Ò g (x, t) = |x − t| − |x − a| À Ö ³× Ò Ð Ø Å Ö Ö ÔÖÓÓ ½ ¸ ¾¼¼ º 2M ε g ∈G sup {t:|t−a|≤M } |gt (x)| ≡ M º G = {g (x, t) : |t − a| ≤ M } ½ < ∞º ¾ Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á¸ ÎÁ ÊÇË Æ Ê • ∀t : |t − a| ≤ M, gt (x) = ≤ −gt (x) = ≤ Ì |x − t| − |x − a| = |x − a + a − t| − |x − a| |x − a| + |t − a| − |x − a| = |t − a| ≤ M |x − a| − |x − t| = |x − t + t − a| − |x − t| |x − t| + |t − a| − |x − t| = |t − a| ≤ M • ∀x ≤ a¸ ga+M (x) = |x − (a + M )| − |x − a| = (M + a − x) − (a − x) = M • ∀x > a¸ ga−M (x) = |x − (a − M )| − |x − a| = (x − a + M ) − (x − a) = M ÒÚ ÐÓÔ G(x) ≡ M × Ò L1 (P )¸ × Ò P × Ò Ø Ñ ×ÙÖ º × Ò Ô ÖØ ´ µ¸ Ð Ø t1 , . . . , tm Ò ε/2 ÓÚ Ö Ó Ø ÒØ ÖÚ Ð [a − M, a + M ] Ù× Ò 2M ε ε L m = ε ÔÓ ÒØ×º Ò hi (x) = |x − ti | − |x − a| − 2 Ò hU (x) = |x − ti | − |x − a| + 2 º i ×ÛØ Ø ÒÚ ÐÓÔ ÙÒ Ø ÓÒ¸ hL Ò hU Ö Ò L1 (P )º Ï Ð×Ó Ú i i E |hU (X ) − hL (X )| = E |ε| = ε i i ε ÆÓÛ ÓÖ ÒÝ gt (x) ∈ G ¸ Ô ti ×ºØº |t − ti | ≤ 2 º Ì Ò gt (x) = |x − t| − |x − a| ≤ |x − ti | + |ti − t| − |x − a| ≤ hU (x) i gt (x) = |x − t| − |x − a| ≥ |x − ti | − |ti − t| − |x − a| ≥ hL (x) i ËÓ (hL , hU )m × Ò ε¹ Ö Ø Ò ¸ Ò Ø Ù× N1,B (ε, P, G ) ≤ i i i=1 2M ε < ∞º ´¾µ Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ× Ò D[0, 1] Ö ÓÙÒ º ÓÒ× Ö ÒÝ ÙÒ Ø ÓÒ f ∈ D[0, 1]º Á f × ÙÒ ÓÙÒ ¸ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø× × ÕÙ Ò x1 , x2 , . . . ∈ [0, 1] ×ºØº |f (xi )| ↑ ∞ × i → ∞º Ë Ò [0, 1] × ÓÑÔ Ø¸ Ø Ö Ü ×Ø× ÓÒÚ Ö ÒØ ×Ù × ÕÙ Ò xaj → x ∈ [0, 1]º È ÖØ Ø ÓÒ Ø × ÕÙ Ò xaj ÒØÓ Ø Ó× Ð Ñ ÒØ× Ø Ø Ö < x Ò Ø Ó× Ø Ø Ö ≥ xº Ø Ð ×Ø ÓÒ Ó Ø × Ô ÖØ Ø ÓÒ× × Ò Ò Ò Ø ×Ù × ÕÙ Ò Ó {xaj }∞ Ø Ø ÓÒÚ Ö × ØÓ x¸ Ø Ö ÖÓÑ Ø Ð Ø ÓÖ ÖÓÑ Ø Ö Øº j =1 Ï ³ÐÐ ÒÓØ Ø × ×Ù ¹×Ù × ÕÙ Ò Ý {xbj }∞ º Ë Ò f × ÓØ Ö Ø Ò Ð Ø Ð Ñ Ø×¸ j =1 limj →∞ f (xbj ) Ü ×Ø×º Ì × ÓÒØÖ Ø× Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø |f (xi )| → ∞º ´¿µ ´Ú Ò Ö Î ÖØ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ¸ Ôº¾ ¼µ ËÙÔÔÓ× Ø Ø X , ..., X Ò Y , ..., Y Ö Ò Ô Ò ÒØ × ÑÔÐ × ÖÓÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ× F Ò G¸ Ö ×Ô Ø Ú ÐÝº Ì ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ ×Ø Ø ×Ø ÓÖ Ø ×Ø Ò Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × × H : F = G ˆ ˆ × Ø ×ÙÔÖ ÑÙÑ ×Ø Ò K = ||F − G || ØÛ Ò Ø ÑÔ Ö Ð ×ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ø ØÛÓ × ÑÔÐ ×º ´ µ Ò Ø Ð Ñ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó K ÙÒ Ö Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × ×º ´ µ Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ Ø ×Ø × ×ÝÔØÓØ ÐÐÝ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò×Ø Ú ÖÝ ÐØ ÖÒ Ø Ú F = Gº ´ µ Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ ÔÓÛ Ö ÙÒ Ø ÓÒ × ÙÒ Ø ÓÒ Ó ´ ¸ µ ÓÖ ÐØ Ö¹ Ò Ø Ú × (F , G ) ÐÓÒ Ò ØÓ ×ÑÓÓØ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ð× θ → F Ò θ→G º 1 m 1 n 0 m,n m n∞ m,n √ g/ m θ √ h/ n θ Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ´ µ ÍÒ Ö Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × ×¸ Û ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê À ½ µ Ú ˆ ˆ ˆ ˆ Fm − Gn = (Fm − F ) − (Gn − G) mn ˆ n√ˆ ˆ m(Fn − F ) − ⇒ (Fm − Gn ) = m+n m+n √ˆ √ˆ ÆÓØ Ø Ø Ø ØÛÓ ÔÖÓ ×× × m(Fm − F ) Ò n(Gn − G) Ö Û ÐÝ ØÓ GF Ò GG Ö ×Ô Ø Ú ÐÝ¸ Û Ö GH × Ø ÖÓÛÒ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ H º Ä Ø am,n = mn n ¸ bm,n = mm n ¸ Ø Ò a2 + b2 = 1º m,n m,n + + ÒØ Ù×× Ò Ú Ö Ð ×¸ Ø × ¿ m√ˆ n(Gn − G). m+n Ò Ô Ò ÒØ Ò ÓÒÚ Ö ÒÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÓ ÝØ ×Ý ØÓ Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò Ô Ò¹ d am,n GF + bm,n GG = GF , ÓÖ ÐÐ n¸ ÔÖÓÚ Ø Ø F = Gº Ì Ò Ù× ÅÌ Û Ø Ò Ò ÁØ × ÓÙÐ ÒÓØ mn ˆ d ˆ (Fm − Gn ) → GF , m+n mn ˆ d ˆ ||Fm − Gn || → ||GF ||. m+n Ø Ø Ñ ÔÔ Ò (G1 , G2 ) → am,n G1 + bm,n G2 ÖØ (m, n)¸ ÙØ Ø × ÇÃ × Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ×º ÓÖ ÕÙ ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò ´ µ ÍÒ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú F = G¸ Ù× Ø mn ˆ ˆ (Fm − Gn ) − m+n Ë Ò Û Ô Ò × ÓÒ Ú ÓÖ Ø Ø Ð Ñ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØ Ó ×ØÓ ×Ø ÐÐ ×Ù Ñ ÔÔ Ò × Ú Ø × Ñ Ö ÓÖÓÙ× ÔÖÓÓ ¸ ÓÒ Ò Ó Ø ÖÓÙ Ø ÓÒÚ Ö Ò º ×Ñ Ú mn d (F − G) → am,n GF − bm,n GG = OP (1). m+n mn →∞ m+n Ú Ö ÙÑ ÒØ × Ò ´ µ¸ Û × m, n → ∞, mn (F − G) → ∞. m+n ÌÒ ⇒ lim inf m,n mn ˆ ˆ ||Fm − Gn || ≥ lim inf m,n m+n mn (F − G) − OP (1) → ∞ m+n mn ˆ ˆ ||Fm − Gn || → ∞. m+n ⇒ Û ÑÔÐ × Ø Ø Ø Ø ×Ø × ÓÒ× ×Ø ÒØº ´ µ ´ÆÇÌ ÇÅÈÄ Ì ËÇÄÍÌÁÇÆ µ ÓÖ Ò ØÓ Ü ÑÔÐ ½ ÓÒ ÈÓÐÐ Ö º Î¸ Ôº ¸ ×ÙÔÔÓ× Fθ ´ Ò Gθ µ Û Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ö ÒØ Ð Ò Ø ×ØÖÓÒ × Ò× ½º ÓÖ × ÑÔÐ ØÝ Ó ÒÓØ Ø ÓÒ¸ Ð Ø Fm = Fθ+ √gm ¸ Gn = Gθ+ √n Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ× Ó h ˆ ˆ ˆ ˆh Ø mØ Ò nØ × ÑÔÐ Ò ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ¸ Ö ×Ô Ø Ú ÐÝ¸ Ò Fm = Fθ+ √gm ¸ Gn = Gθ+ √n ½ÇÒ ÔÒ Ü ÑÔÐ ÓÒ tº ×Ø Ø ˙ Fθ+h (t) = Fθ (t) + hFθ (t) + o(|h|) ÓÖ ÐÐ t¸ Û Ö Ø Ø ÖÑ o(|h|) Ó × ÒÓØ Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á¸ ˆ Fm Ø ´½µ ÝØ ÎÁ ÊÇË Æ Ê ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÑÔ Ö Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒ×º ××ÙÑ m → c¸ Û n ˆ Ò Gn Ö × ÓÒ × ÑÔÐ × ÖÓÑ Fm Ò Gn ¸ Ö ×Ô Ø Ú ÐÝµ = Ú ´ÒÓØ Ø Ø ÒÓÛ mn ˆ ˆ g ||Fθ+ m − Gn || m+n mn ˆ ˆ ||(Fm − Fm ) + (Fm − F ) − (Gn − Gn ) − (Gn − G) + (F − G)||. m+n ´×ØÖÓÒ µ Ð ØÝ Ó Fθ Ò Gθ ¸ Ö ÒØ √ ˙ m(Fm − F ) → hFθ , Á Û ÙÖØ Ö Ú √ ˆ m(Fm − Fm ) ´¾µ Ø ÊÀË Ó ´½µ ÛÓÙÐ ÓÑ OP (1) + ˜ GF,g , √ ˙ n(Gn − G) → g Gθ . √ ˜ GG,h , ˆ n(Gn − Gn ) mn (F − G) → ∞ m+n Ï ÑÔÐ × Ø Ø Ø Ø ×Ø × ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò×Ø Ø Ï Ò F = G¸ Ø ÊÀË Ó ´½µ × Û ÐÑØ × m, n → ∞. ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Ø F = Gº 1 1 ˜ ˜ ˙ ˙ (1 + c)− 2 GF,g + g Fθ − (1 + c−1 )− 2 GG,h − hGθ , Û × ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð¸ º º¸ Ø ×ÝÑÔØÓØ ÔÓÛ Ö Ó ØÛÓ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ Ø ×Ø × ÙÒ Ø ÓÒ Ó g ¸ h × Û ÐÐ × Ø Ñ ÔÔ Ò × θ → (Fθ , Gθ )º ÀÓÛ ØÓ Ú Ö Ý ´¾µ ÁØ × ÒØÙ Ø Ú ÐÝ ØÖÙ ¸ ÙØ ÒÓØ ×Ó ×Ý ØÓ Ú Ö ÓÖÓÙ× ÔÖÓÓ º Ä Ø³× Ù×Ø Ó Ù× ÓÒ Ø Ö×Ø ÓÒÚ Ö Ò ´Ø × ÓÒ ÓÒ × ×× ÒØ √ Ø × Ñ Ø Ò µº ÐÐÝ ,∞ ˆ ÓÒ× Ö Ø ÖÖ Ý (Gm,k )∞=1,k=1 ¸ Ò Ü Ý (m, k)¸ Û Ö Gm,k = k(Fm,k − Fm )¸ Ò m ˆ Fm,k ÒÓØ × Ø ÑÔ Ö Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ÖÓÑ k × ÑÔÐ ÔÓ ÒØ× Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ Fm º Ì Ò ÓÙÖ ÙÖÖ ÒØ ÒÓÛÐ Ø ÐÐ× Ù× √ ˆ k (Fm,k − Fm ) GFm , × k → ∞, × m → ∞. GFm GF , ÀÓÛ Ó × Ø × ØÛÓ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ð Ø ØÓ ´¾µ Ä Ø³× ÛÖ Ø ÓÙØ Ø ÖÖ Ý × ÓÐÐÓÛ Ò G1,1 G2,1 º º º G1,2 G2,2 º º º Gm,1 Gm,2 º º º º º º ··· , ··· , ··· , ··· , · · · , → GF1 · · · , → GF2 ··· ··· ··· º º ··· ··· ··· º · · · , Gm,m · · · , → GFm º º º ↓ GF ÀÓÛ Ú Ö¸ ´¾µ × × Ò ÓÖ Ø ÓÒÚ Ö Ò ÐÓÒ Ø ÓÒ Ð Ó Ø × ÖÖ Ý¸ Û × ÒÓØ Ù Ö ÒØ º ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ó × ÓÒÚ Ö ÐÓÒ Ø ÓÒ Ð¸ Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø ÒÓØ GF ¸ Ø Ñ Ø Ô Ò ÓÒ g º ÇÒ Ñ Ø Ø Ò Ó Ù× Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ Ó ÓÒÚ Ö Ò Ò ×ØÓ ×Ø ÕÙ ÓÒØ ¹ ÒÙ ØÝ¸ ÙØ × Á ØÖ ¸ Ø ØÙÖÒ× ÓÙØ × ØÙ Ø ÓÒ Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÖÖ Ý ÓÚ º × ÑÔÐ ÖÓÑ Ø ´ µ ´Ú Ò Ö Î ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ º½ ¸ Ôº µ Ä Ø X , ..., X N (θ, 1) ×ØÖ ÙØ ÓÒ¸ Û Ö Ø × ÒÓÛÒ Ø Ø θ ≥ 0º Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ 1 n Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê À ½ µ Ð Ð ÓÓ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÒÓØ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ Ð ÙÒ Ö θ = 0º Ï Ý Ó × Ø × ÒÓØ ÓÒØÖ Ø Ø Ø ÓÖ Ñ× Ó Ø × ÔØ Ö ˆ θÅÄ Ö Ñ Üθ∈[0,∞) exp{− = 1 2 n 1 (Xi − θ)2 } ¯ = max(0, X ). ÌÒ √ ˆ n(θ − 0) → max(0, N (0, 1))¸ Û −1) = 0¸ ÙØ P (N (0, 1) ≤ −1) > 0º d × ÒÓØ ÒÓÖÑ Ð¸ × Ò P (max(0, N (0, 1)) ≤ Ì × Ó × ÒÓØ ÓÒØÖ Ø Ø Ø ÓÖ Ñ× Ò Ø × ÔØ Ö¸ Ù× Ø Ø ÓÖ Ñ× Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø ØÖÙ θ ØÓ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ ÙØ Ö θ = 0 × ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó [0, ∞)º ´ µ ÓÒ× Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÐÓ Ø ÓÒ ÑÓ Ð× 1 ´ µ pθ (x) = π 1+(x1−θ)2 ´ µ pθ (x) = 1 exp(−|x − θ|) 2 ÓÖ Ó Ø × ÑÓ Ð× ÓÑÔÙØ Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ò Ö Ú Ø Ú Ò Ø × Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ´ µ À Ö Ø Ñ ÔÔ Ò θ → pθ (x) × ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ö ÒØ Ð ÓÖ Ú ÖÝ x¸ Ý Ø ÓÖ Ñ º ÓÒ Ú Ò Ö Î ÖØ¸ Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ò Ö Ú Ø Ú × pθ /pθ º ËÓ Û ˙ Ú l˙θ (x) = Ò Iθ ∂ 2(x − θ) pθ (x) pθ (x)−1 = , ∂θ 1 + (x − θ)2 ∞ = −∞ = = x=tan u = = = u=v/2 = = v =w/2 = = 4 π 4 π 4 π 4 π 1 π 1 2π 1 2π 1 8π 1 . 2 l˙θ (x)2 pθ (x)dx ∞ −∞ ∞ (x − θ)2 dx (1 + (x − θ)2 )3 x2 dx (1 + x2 )3 −∞ π /2 1 tan2 u du 2 3 cos2 u (1 + tan u) −π/2 π /2 sin2 u cos2 udu −π/2 π /2 sin2 (2u)du −π/2 π sin2 vdv −π π −π 2π 1 (1 − cos(2v ))dv 2 −2π (1 − cos w)dw Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á¸ ÎÁ ÊÇË Æ Ê ´ µ À Ö pθ (x) × Ö ÒØ Ð Ü ÔØ Ø θ = x¸ Ø Ø ÓÖ Ñ Û Ù× Ò ´ µ × ÒÓØ ÔÔÐ Ð º ÄÓÓ Ò Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö Ø Ñ Ò Ö Ú Ø Ú º º¸ l˙θ (x)¸ ×Ù Ø Ø 1√ √ √ [ pθ+h − pθ − hl˙θ pθ ]2 dµ = o(|h|2 ), 2 ÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ø ÛÓÙÐ Ç Û ×Ø ÐÐ Ù× pθ /Pθ × l˙θ ¸ × Ò pθ × Û ÐÐ ˙ ˙ Ò Ø ÓÒº ÙØ ÓÖ × Ò Ð Ú ÐÙ Ó xº Ì Ò Û Ø Ö×Ø Û ÛÖ Ø x<θ 1 ˙θ (x) = 0 x=θ l −1 x > θ Ì ÒÛ Ú ÖÝÛ Ö Ú 1√ √ √ [ pθ+h − pθ − hl˙θ pθ ]2 dµ 2 2 1˙ p θ +h − 1 − hlθ pθ dµ pθ 2 2 = θ = Ò h exp(− ) − 1 + 2 −∞ A + ∞ h pθ dµ + 2 2 θ +h θ h exp(x − θ − ) − 1 − 2 B 2 h pθ dµ 2 h h exp( ) − 1 − pθ dµ. 2 2 θ +h C Ý Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ¸ Ø × ×Ý ØÓ Ò Ø Ö ÒØ Ö Ð Ö o(|h|2 ) ´ Ù× Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ θ ÓÖ xµº Ì Ò Û ÐÓÓ Ø Ø × ÓÒ ÒØ Ö |x = θ| ≤ |h|º Ï ÒÓÛ Ø Ø pθ (x)¸ × ÓÒ ÒØ Ö Ð × Ø Ø ÓØ A Ò C Ö o(|h|)¸ Ò Ø Ö×Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ×ÙÖ ÓÒ R1 ¸ Û Ð A Ò C pθ × Ð¸ Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ × ÓÛ× Ø Ø B × O(|h|)¸ × Ò × ÙÒ Ø ÓÒ Ó x¸ × ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÙÒ ¸ ×Ó Ø θ +h θ O(|h|)2 pθ dµ = O(|h|) · O(|h|)2 = o(|h|2 ). ËÓ Û Ú × ÓÛÒ Ø Ø l˙θ ÖÚ ØÚ º Ì × Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ò Iθ = × ÓÚ Ñ Ø× Ø 2 l˙θ pθ dµ = 1pθ dµ = 1. Ò Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö Ø Ñ Ò ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Ask a homework question - tutors are online