sol4 - ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏÃ ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏà ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê À ½ µ ÂÁÆ Ä Á¸ ÎÁ ÊÇË Æ Ê ´½µ ´ µ ÓÖ Ò ¸ÐØ ¸Ò º ´ µ ÓÖ ¸Ð Ø ¸Ò º ÓÖ Ú ÖÝ ÓÖ Ø Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ø Ò ÒÙÑ Ö Ð ×× ¸ Ò ÓÖ Ø Ð ×× Û Ø ÓÙØ Ø ÝÔÓØ × × º ´ µF × Ð ×× Ó ÙÒ Ø ÓÒ× f (x) : X → R¸ Ò Ü Ý Ø × Ø {t ∈ R : |t − a| ≤ M }º 0<M<∞ a∈R f (x, t) = |x − t| F = {f (x, t) : |t − a| ≤ M } a∈R g (x, t) = |x − t| − |x − a| G = {g (x, t) : |t − a| ≤ M } N1,B (ε, P, F ) < ∞ ε>0 F E |X | < ∞ G E |X | < ∞ t ÒÚ ÐÓÔ Ó F × Ø Ì ÙÒ Ø ÓÒ F (x) = sup |f (x)| = f ∈F sup ft (x) {t:|t−a|≤M } ÁØ³× Ó Ú ÓÙ× Ý Ô ØÙÖ Ø Ø F (x) = |x − a| + M º À Ö ³× Ò Ð Ö ÔÖÓÓ • ∀t : |t − a| ≤ M, ft (x) = |x − t| ≤ |x − a| + |a − t| ≤ |x − a| + M • ∀x ≤ a¸ fa+M (x) = |x − (a + M )| = M + a − x = |x − a| + M • ∀x > a¸ fa−M (x) = |x − (a − M )| = x − a + M = |x − a| + M Ì Ù× Ø ÒÚ ÐÓÔ × |x − a| + M º Ë Ò |x| − |a| ≤ |x − a| ≤ |x| + |a| Ø ÒÚ ÐÓÔ × L1 (P ) E |X | < ∞º Ì Ò ε/2 ÓÚ Ö Ó Ø ÒØ ÖÚ Ð [a − M, a + M ] Ù× Ò m = 2M ÔÓ ÒØ׺ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ε ε ε ε Ø ti = a−M +iε− 2 ¸ ÓÖ i = 1, . . . , mº Ò giL (x) = |x−ti |− 2 Ò giU (x) = |x−ti |+ 2 º L U ×ÛØ Ø ÒÚ ÐÓÔ ÙÒ Ø ÓÒ¸ gi Ò gi Ö Ò L1 (P ) × Ò E |X | < ∞º Ï Ð×Ó Ú ÆÓÛ ÓÖ ÒÝ ft (x) ∈ F ¸ Ô U L E |gi (X ) − gi (X )| = E |ε| = ε ε ti ׺غ |t − ti | ≤ 2 º Ì Ò ε U = gi (x) 2 ε L ft (x) = |x − t| ≥ |x − ti | − |ti − t| ≥ |x − ti | − = gi (x) 2 ft (x) = |x − t| ≤ |x − ti | + |ti − t| ≤ |x − ti | + ËÓ (giL , giU )m × Ò ε¹ Ö Ø Ò ¸ Ò Ø Ù× N1,B (ε, P, F ) ≤ i=1 ´ µÌ ÒÚ ÐÓÔ Ó G × Ø ÙÒ Ø ÓÒ G(x) = sup |g (x)| = ¸Ò g (x, t) = |x − t| − |x − a| À Ö ³× Ò Ð Ø Å Ö Ö ÔÖÓÓ ½ ¸ ¾¼¼ º 2M ε g ∈G sup {t:|t−a|≤M } |gt (x)| ≡ M º G = {g (x, t) : |t − a| ≤ M } ½ < ∞º ¾ Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á¸ ÎÁ ÊÇË Æ Ê • ∀t : |t − a| ≤ M, gt (x) = ≤ −gt (x) = ≤ Ì |x − t| − |x − a| = |x − a + a − t| − |x − a| |x − a| + |t − a| − |x − a| = |t − a| ≤ M |x − a| − |x − t| = |x − t + t − a| − |x − t| |x − t| + |t − a| − |x − t| = |t − a| ≤ M • ∀x ≤ a¸ ga+M (x) = |x − (a + M )| − |x − a| = (M + a − x) − (a − x) = M • ∀x > a¸ ga−M (x) = |x − (a − M )| − |x − a| = (x − a + M ) − (x − a) = M ÒÚ ÐÓÔ G(x) ≡ M × Ò L1 (P )¸ × Ò P × Ò Ø Ñ ×ÙÖ º × Ò Ô ÖØ ´ µ¸ Ð Ø t1 , . . . , tm Ò ε/2 ÓÚ Ö Ó Ø ÒØ ÖÚ Ð [a − M, a + M ] Ù× Ò 2M ε ε L m = ε ÔÓ ÒØ׺ Ò hi (x) = |x − ti | − |x − a| − 2 Ò hU (x) = |x − ti | − |x − a| + 2 º i ×ÛØ Ø ÒÚ ÐÓÔ ÙÒ Ø ÓÒ¸ hL Ò hU Ö Ò L1 (P )º Ï Ð×Ó Ú i i E |hU (X ) − hL (X )| = E |ε| = ε i i ε ÆÓÛ ÓÖ ÒÝ gt (x) ∈ G ¸ Ô ti ׺غ |t − ti | ≤ 2 º Ì Ò gt (x) = |x − t| − |x − a| ≤ |x − ti | + |ti − t| − |x − a| ≤ hU (x) i gt (x) = |x − t| − |x − a| ≥ |x − ti | − |ti − t| − |x − a| ≥ hL (x) i ËÓ (hL , hU )m × Ò ε¹ Ö Ø Ò ¸ Ò Ø Ù× N1,B (ε, P, G ) ≤ i i i=1 2M ε < ∞º ´¾µ Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ× Ò D[0, 1] Ö ÓÙÒ º ÓÒ× Ö ÒÝ ÙÒ Ø ÓÒ f ∈ D[0, 1]º Á f × ÙÒ ÓÙÒ ¸ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø× × ÕÙ Ò x1 , x2 , . . . ∈ [0, 1] ׺غ |f (xi )| ↑ ∞ × i → ∞º Ë Ò [0, 1] × ÓÑÔ Ø¸ Ø Ö Ü ×Ø× ÓÒÚ Ö ÒØ ×Ù × ÕÙ Ò xaj → x ∈ [0, 1]º È ÖØ Ø ÓÒ Ø × ÕÙ Ò xaj ÒØÓ Ø Ó× Ð Ñ ÒØ× Ø Ø Ö < x Ò Ø Ó× Ø Ø Ö ≥ xº Ø Ð ×Ø ÓÒ Ó Ø × Ô ÖØ Ø ÓÒ× × Ò Ò Ò Ø ×Ù × ÕÙ Ò Ó {xaj }∞ Ø Ø ÓÒÚ Ö × ØÓ x¸ Ø Ö ÖÓÑ Ø Ð Ø ÓÖ ÖÓÑ Ø Ö Øº j =1 Ï ³ÐÐ ÒÓØ Ø × ×Ù ¹×Ù × ÕÙ Ò Ý {xbj }∞ º Ë Ò f × ÓØ Ö Ø Ò Ð Ø Ð Ñ Ø׸ j =1 limj →∞ f (xbj ) Ü ×Ø׺ Ì × ÓÒØÖ Ø× Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø |f (xi )| → ∞º ´¿µ ´Ú Ò Ö Î ÖØ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ¸ Ôº¾ ¼µ ËÙÔÔÓ× Ø Ø X , ..., X Ò Y , ..., Y Ö Ò Ô Ò ÒØ × ÑÔÐ × ÖÓÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ× F Ò G¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ Ì ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ ×Ø Ø ×Ø ÓÖ Ø ×Ø Ò Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × × H : F = G ˆ ˆ × Ø ×ÙÔÖ ÑÙÑ ×Ø Ò K = ||F − G || ØÛ Ò Ø ÑÔ Ö Ð ×ØÖ ¹ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ø ØÛÓ × ÑÔР׺ ´ µ Ò Ø Ð Ñ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó K ÙÒ Ö Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × ×º ´ µ Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ Ø ×Ø × ×ÝÔØÓØ ÐÐÝ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò×Ø Ú ÖÝ ÐØ ÖÒ Ø Ú F = Gº ´ µ Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ ÔÓÛ Ö ÙÒ Ø ÓÒ × ÙÒ Ø ÓÒ Ó ´ ¸ µ ÓÖ ÐØ Ö¹ Ò Ø Ú × (F , G ) ÐÓÒ Ò ØÓ ×ÑÓÓØ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ð× θ → F Ò θ→G º 1 m 1 n 0 m,n m n∞ m,n √ g/ m θ √ h/ n θ Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏà ´ µ ÍÒ Ö Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × ×¸ Û ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê À ½ µ Ú ˆ ˆ ˆ ˆ Fm − Gn = (Fm − F ) − (Gn − G) mn ˆ n√ˆ ˆ m(Fn − F ) − ⇒ (Fm − Gn ) = m+n m+n √ˆ √ˆ ÆÓØ Ø Ø Ø ØÛÓ ÔÖÓ ×× × m(Fm − F ) Ò n(Gn − G) Ö Û ÐÝ ØÓ GF Ò GG Ö ×Ô Ø Ú Ðݸ Û Ö GH × Ø ÖÓÛÒ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ H º Ä Ø am,n = mn n ¸ bm,n = mm n ¸ Ø Ò a2 + b2 = 1º m,n m,n + + ÒØ Ù×× Ò Ú Ö Ð ×¸ Ø × ¿ m√ˆ n(Gn − G). m+n Ò Ô Ò ÒØ Ò ÓÒÚ Ö ÒÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÓ ÝØ ×Ý ØÓ Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò Ô Ò¹ d am,n GF + bm,n GG = GF , ÓÖ ÐÐ n¸ ÔÖÓÚ Ø Ø F = Gº Ì Ò Ù× ÅÌ Û Ø Ò Ò ÁØ × ÓÙÐ ÒÓØ mn ˆ d ˆ (Fm − Gn ) → GF , m+n mn ˆ d ˆ ||Fm − Gn || → ||GF ||. m+n Ø Ø Ñ ÔÔ Ò (G1 , G2 ) → am,n G1 + bm,n G2 ÖØ (m, n)¸ ÙØ Ø × ÇÃ × Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ׺ ÓÖ ÕÙ ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò ´ µ ÍÒ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú F = G¸ Ù× Ø mn ˆ ˆ (Fm − Gn ) − m+n Ë Ò Û Ô Ò × ÓÒ Ú ÓÖ Ø Ø Ð Ñ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØ Ó ×ØÓ ×Ø ÐÐ ×Ù Ñ ÔÔ Ò × Ú Ø × Ñ Ö ÓÖÓÙ× ÔÖÓÓ ¸ ÓÒ Ò Ó Ø ÖÓÙ Ø ÓÒÚ Ö Ò º ×Ñ Ú mn d (F − G) → am,n GF − bm,n GG = OP (1). m+n mn →∞ m+n Ú Ö ÙÑ ÒØ × Ò ´ µ¸ Û × m, n → ∞, mn (F − G) → ∞. m+n ÌÒ ⇒ lim inf m,n mn ˆ ˆ ||Fm − Gn || ≥ lim inf m,n m+n mn (F − G) − OP (1) → ∞ m+n mn ˆ ˆ ||Fm − Gn || → ∞. m+n ⇒ Û ÑÔÐ × Ø Ø Ø Ø ×Ø × ÓÒ× ×Ø Òغ ´ µ ´ÆÇÌ ÇÅÈÄ Ì ËÇÄÍÌÁÇÆ µ ÓÖ Ò ØÓ Ü ÑÔÐ ½ ÓÒ ÈÓÐÐ Ö º θ Ôº ¸ ×ÙÔÔÓ× Fθ ´ Ò Gθ µ Û Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ö ÒØ Ð Ò Ø ×ØÖÓÒ × Ò× ½º ÓÖ × ÑÔÐ ØÝ Ó ÒÓØ Ø ÓÒ¸ Ð Ø Fm = Fθ+ √gm ¸ Gn = Gθ+ √n Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ× Ó h ˆ ˆ ˆ ˆh Ø mØ Ò nØ × ÑÔÐ Ò ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݸ Ò Fm = Fθ+ √gm ¸ Gn = Gθ+ √n ½ÇÒ ÔÒ Ü ÑÔÐ ÓÒ tº ×Ø Ø ˙ Fθ+h (t) = Fθ (t) + hFθ (t) + o(|h|) ÓÖ ÐÐ t¸ Û Ö Ø Ø ÖÑ o(|h|) Ó × ÒÓØ Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á¸ ˆ Fm Ø ´½µ ÝØ ÎÁ ÊÇË Æ Ê ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÑÔ Ö Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒ׺ ××ÙÑ m → c¸ Û n ˆ Ò Gn Ö × ÓÒ × ÑÔÐ × ÖÓÑ Fm Ò Gn ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݵ = Ú ´ÒÓØ Ø Ø ÒÓÛ mn ˆ ˆ g ||Fθ+ m − Gn || m+n mn ˆ ˆ ||(Fm − Fm ) + (Fm − F ) − (Gn − Gn ) − (Gn − G) + (F − G)||. m+n ´×ØÖÓÒ µ Ð ØÝ Ó Fθ Ò Gθ ¸ Ö ÒØ √ ˙ m(Fm − F ) → hFθ , Á Û ÙÖØ Ö Ú √ ˆ m(Fm − Fm ) ´¾µ Ø ÊÀË Ó ´½µ ÛÓÙÐ ÓÑ OP (1) + ˜ GF,g , √ ˙ n(Gn − G) → g Gθ . √ ˜ GG,h , ˆ n(Gn − Gn ) mn (F − G) → ∞ m+n Ï ÑÔÐ × Ø Ø Ø Ø ×Ø × ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò×Ø Ø Ï Ò F = G¸ Ø ÊÀË Ó ´½µ × Û ÐÑØ × m, n → ∞. ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Ø F = Gº 1 1 ˜ ˜ ˙ ˙ (1 + c)− 2 GF,g + g Fθ − (1 + c−1 )− 2 GG,h − hGθ , Û × ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð¸ º º¸ Ø ×ÝÑÔØÓØ ÔÓÛ Ö Ó ØÛÓ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ Ø ×Ø × ÙÒ Ø ÓÒ Ó g ¸ h × Û ÐÐ × Ø Ñ ÔÔ Ò × θ → (Fθ , Gθ )º ÀÓÛ ØÓ Ú Ö Ý ´¾µ ÁØ × ÒØÙ Ø Ú ÐÝ ØÖÙ ¸ ÙØ ÒÓØ ×Ó ×Ý ØÓ Ú Ö ÓÖÓÙ× ÔÖÓÓ º Ä Ø³× Ù×Ø Ó Ù× ÓÒ Ø Ö×Ø ÓÒÚ Ö Ò ´Ø × ÓÒ ÓÒ × ×× ÒØ √ Ø × Ñ Ø Ò µº ÐÐÝ ,∞ ˆ ÓÒ× Ö Ø ÖÖ Ý (Gm,k )∞=1,k=1 ¸ Ò Ü Ý (m, k)¸ Û Ö Gm,k = k(Fm,k − Fm )¸ Ò m ˆ Fm,k ÒÓØ × Ø ÑÔ Ö Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ò ÖÓÑ k × ÑÔÐ ÔÓ ÒØ× Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ Fm º Ì Ò ÓÙÖ ÙÖÖ ÒØ ÒÓÛÐ Ø ÐÐ× Ù× √ ˆ k (Fm,k − Fm ) GFm , × k → ∞, × m → ∞. GFm GF , ÀÓÛ Ó × Ø × ØÛÓ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ð Ø ØÓ ´¾µ Ä Ø³× ÛÖ Ø ÓÙØ Ø ÖÖ Ý × ÓÐÐÓÛ Ò G1,1 G2,1 º º º G1,2 G2,2 º º º Gm,1 Gm,2 º º º º º º ··· , ··· , ··· , ··· , · · · , → GF1 · · · , → GF2 ··· ··· ··· º º ··· ··· ··· º · · · , Gm,m · · · , → GFm º º º ↓ GF ÀÓÛ Ú Ö¸ ´¾µ × × Ò ÓÖ Ø ÓÒÚ Ö Ò ÐÓÒ Ø ÓÒ Ð Ó Ø × ÖÖ Ý¸ Û × ÒÓØ Ù Ö ÒØ º ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ó × ÓÒÚ Ö ÐÓÒ Ø ÓÒ Ð¸ Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø ÒÓØ GF ¸ Ø Ñ Ø Ô Ò ÓÒ g º ÇÒ Ñ Ø Ø Ò Ó Ù× Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ Ó ÓÒÚ Ö Ò Ò ×ØÓ ×Ø ÕÙ ÓÒØ ¹ ÒÙ Øݸ ÙØ × Á ØÖ ¸ Ø ØÙÖÒ× ÓÙØ × ØÙ Ø ÓÒ Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÖÖ Ý ÓÚ º × ÑÔÐ ÖÓÑ Ø ´ µ ´Ú Ò Ö Î ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ º½ ¸ Ôº µ Ä Ø X , ..., X N (θ, 1) ×ØÖ ÙØ ÓÒ¸ Û Ö Ø × ÒÓÛÒ Ø Ø θ ≥ 0º Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ 1 n Ò Ð × ËÌ Ì ¾½¼ ÀÏà ËÇÄÍÌÁÇÆË ´ Í Å Ê À ½ µ Ð Ð ÓÓ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÒÓØ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ Ð ÙÒ Ö θ = 0º Ï Ý Ó × Ø × ÒÓØ ÓÒØÖ Ø Ø Ø ÓÖ Ñ× Ó Ø × ÔØ Ö ˆ θÅÄ Ö Ñ Üθ∈[0,∞) exp{− = 1 2 n 1 (Xi − θ)2 } ¯ = max(0, X ). ÌÒ √ ˆ n(θ − 0) → max(0, N (0, 1))¸ Û −1) = 0¸ ÙØ P (N (0, 1) ≤ −1) > 0º d × ÒÓØ ÒÓÖÑ Ð¸ × Ò P (max(0, N (0, 1)) ≤ Ì × Ó × ÒÓØ ÓÒØÖ Ø Ø Ø ÓÖ Ñ× Ò Ø × ÔØ Ö¸ Ù× Ø Ø ÓÖ Ñ× Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø ØÖÙ θ ØÓ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ ÙØ Ö θ = 0 × ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó [0, ∞)º ´ µ ÓÒ× Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÐÓ Ø ÓÒ ÑÓ Ð× 1 ´ µ pθ (x) = π 1+(x1−θ)2 ´ µ pθ (x) = 1 exp(−|x − θ|) 2 ÓÖ Ó Ø × ÑÓ Ð× ÓÑÔÙØ Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ò Ö Ú Ø Ú Ò Ø × Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ´ µ À Ö Ø Ñ ÔÔ Ò θ → pθ (x) × ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ö ÒØ Ð ÓÖ Ú ÖÝ x¸ Ý Ø ÓÖ Ñ º ÓÒ Ú Ò Ö Î Öظ Ø ÕÙ Ö Ø Ñ Ò Ö Ú Ø Ú × pθ /pθ º ËÓ Û ˙ Ú l˙θ (x) = Ò Iθ ∂ 2(x − θ) pθ (x) pθ (x)−1 = , ∂θ 1 + (x − θ)2 ∞ = −∞ = = x=tan u = = = u=v/2 = = v =w/2 = = 4 π 4 π 4 π 4 π 1 π 1 2π 1 2π 1 8π 1 . 2 l˙θ (x)2 pθ (x)dx ∞ −∞ ∞ (x − θ)2 dx (1 + (x − θ)2 )3 x2 dx (1 + x2 )3 −∞ π /2 1 tan2 u du 2 3 cos2 u (1 + tan u) −π/2 π /2 sin2 u cos2 udu −π/2 π /2 sin2 (2u)du −π/2 π sin2 vdv −π π −π 2π 1 (1 − cos(2v ))dv 2 −2π (1 − cos w)dw Ò Ð × ÂÁÆ Ä Á¸ ÎÁ ÊÇË Æ Ê ´ µ À Ö pθ (x) × Ö ÒØ Ð Ü ÔØ Ø θ = x¸ Ø Ø ÓÖ Ñ Û Ù× Ò ´ µ × ÒÓØ ÔÔÐ Ð º ÄÓÓ Ò Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö Ø Ñ Ò Ö Ú Ø Ú º º¸ l˙θ (x)¸ ×Ù Ø Ø 1√ √ √ [ pθ+h − pθ − hl˙θ pθ ]2 dµ = o(|h|2 ), 2 ÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ø ÛÓÙÐ Ç Û ×Ø ÐÐ Ù× pθ /Pθ × l˙θ ¸ × Ò pθ × Û ÐÐ ˙ ˙ Ò Ø ÓÒº ÙØ ÓÖ × Ò Ð Ú ÐÙ Ó xº Ì Ò Û Ø Ö×Ø Û ÛÖ Ø x<θ 1 ˙θ (x) = 0 x=θ l −1 x > θ Ì ÒÛ Ú ÖÝÛ Ö Ú 1√ √ √ [ pθ+h − pθ − hl˙θ pθ ]2 dµ 2 2 1˙ p θ +h − 1 − hlθ pθ dµ pθ 2 2 = θ = Ò h exp(− ) − 1 + 2 −∞ A + ∞ h pθ dµ + 2 2 θ +h θ h exp(x − θ − ) − 1 − 2 B 2 h pθ dµ 2 h h exp( ) − 1 − pθ dµ. 2 2 θ +h C Ý Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ¸ Ø × ×Ý ØÓ Ò Ø Ö ÒØ Ö Ð Ö o(|h|2 ) ´ Ù× Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ θ ÓÖ xµº Ì Ò Û ÐÓÓ Ø Ø × ÓÒ ÒØ Ö |x = θ| ≤ |h|º Ï ÒÓÛ Ø Ø pθ (x)¸ × ÓÒ ÒØ Ö Ð × Ø Ø ÓØ A Ò C Ö o(|h|)¸ Ò Ø Ö×Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ñ ×ÙÖ ÓÒ R1 ¸ Û Ð A Ò C pθ × Ð¸ Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ × ÓÛ× Ø Ø B × O(|h|)¸ × Ò × ÙÒ Ø ÓÒ Ó x¸ × ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÙÒ ¸ ×Ó Ø θ +h θ O(|h|)2 pθ dµ = O(|h|) · O(|h|)2 = o(|h|2 ). ËÓ Û Ú × ÓÛÒ Ø Ø l˙θ ÖÚ ØÚ º Ì × Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ò Iθ = × ÓÚ Ñ Ø× Ø 2 l˙θ pθ dµ = 1pθ dµ = 1. Ò Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ö Ø Ñ Ò ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/25/2011 for the course STAT 201b taught by Professor Michaeljordan during the Fall '05 term at Berkeley.

Ask a homework question - tutors are online