Lecture-10 - APPH 4200 Physics of Fluids Potential Flow...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: APPH 4200 Physics of Fluids Potential Flow (Ch. 6) 2D Irrotational, Incompressible Flow Oct 11, 2011 1.! ! Irrotational Flow 2.! Potential Flow in 2D (incompressible) 3.! Complex Variables (quick review) 4.! Examples 1 Irrotational Flow (Ch.6) ➡ Potential Flow ➡ Complex potential (and working with complex representation of 2D flow) - Blasius Theorem/Kutta-Zhukhovsky Theorem - Numerical Solution (finite difference) Axisymmetric Flow 2 ~ t r J t 0 H ~ ~ J ~ ~ ~ fl ~ a LL .,j ~ \/ -. ~ .. :) 3 ,\) li i .. ~ ~ Q .. tE ~ "C .. J J-- dv '- ~ " \\ i"3 \~ t \l ~ iI ~ l .. ~ V\ Q ~ ~ '- V) /" V\ .. ~ t 'l v- ~ .. ~ .. ~ V\ ~ l .. oJ\¡ ~ ~ i :i 0 ~ IA v J \J Vi S tc ~ IU t j "" ~ \J ) \J () ~ 1; )~ ~ \J . 1'- ~ lJ- t "" ~ ~ l. ~ ~ ~ tc . \L ',- ~ ~ /Ë i :5 ~ ~ It . I.. \Ù ~ \c ~~ \f I~ ~ ~ ~, jt -J 1lS I.J \) ~~ ~ ~ ( l\ -t " \) U: J J~ j t ~ i 1I ~ ~ ~ - ~ '\ ~ 0- ""- JI ~ ~ '\/ II ~ ~.. 1\J ) () Cl ~ t- r , ~ ~~ .. V\ -- \f F '0 ~ t J \) ~ 'v t t ~ '- II ~ V\ '; Vi f \; ~ \L CJ ~ llj ~ ~ ~ ~ 'l F ~ "" .~ \J 0 .. \J ( "5 -Ì i. ,~ ~ lc: t il CJ I~ ~ '\ (~ Ii c. " .. ) C, t (~ - ~t ~ , Irrotational Flow is Commonplace 3 0J ) t LA' I~ ~ "- .J ff '! (f. t: ~ l~ v~ .. ~~ ~~ ~~ t to \J ~ (:: t '- .. -J l~ ~ '- \t ~ L~ '- t\ "t II l~ r )( ~ ~~ vl L~ ~~ ~ oJ '- ~ ~ . I\ tJ ~ ~ t~ \\ ~ )( h ~ l- ~ l~ v \) ~ .J \: fj -i lL V\ ~r t '" :r ~ J ~ Z~ () t ... ~ .. ~~ v ~ 1 t \I r; :: (~ f! ~ ~ tc " ~ ~ (~ ~ .:= ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ F t LL -J ~ V\ Irrotational Flow Consequences . ~ '- ( " -~ f " V) ~ ~ ( t ~ l '0 l: ~ ~ ~ L li I :J () (l ~ ~ cv r6 C1 ':\ ~ ~ t: ~ ~ + -tri :: -i ~ "' ~\~ 'X i :s \ '1rJ r. ~ ~ ~ l~ i: -+ J( ~ ~~~ lL ~\ (ò L S .. :: lJ1 Q ~ \~ ~ ~ (l t~ jQ~ t Lf'-t l¡ ~ '\ ~ ('- .. J ~" ~ l( t t li \J 1 ~ IW t "" \J .~ ) ") ~ l'- ~ l ~\( C' ~ \. VI 't ~~ ~~ ~ IV i: i- \A r -l~ l') )~ ~1-l ~\ "6 t \J t' t \) \l 'l ": '.. "" ~~ ,~ V\ t~ 4 e 1 Vi lo ~ ~ L,l II .j ~t ~~ r t \ J 'J .. Ll t "" Vi C\ .. ~ r v CJ ~ .. ~ t ~ 'l: r: ~ ~ .i 0 C, ') 1- ~ ~~ rt ~~ ct .;. Ll .. to ÇJ ~ Ll V) R- '- ~ ( ~ '\ Potential Flow: Incompressible in 2D (', ~ .l J \) \l -0 u. l~ l~ ~ u t. .. V\ Æ J~ L~ ~~ ~ì t: ~ ~ !L ~ ~ Ç) ~ ') \) ~ ~ \t - 3 l. ~ á .ß .-J \t \l \¡ 'L ~~ \) \J ~ --( \. l_ 1 ) "\ 1 Vi V' .~ \.L \) ~ ~ J t ~ L ~ ~ ~ ~ t ~ ~ "- Ú' ~~ , \. ~ ~ ~ ~ l \I ': ' \) ~ ~ '" ~ ~ ~ ~ ~ I~ ~ ~ 0 \j l- ~ .J 3 .J '\ ~ ~u "' ~~ ~~~ ) ~ '" '-. \l ~ rl ~ Lt ~ h ~ rl 'b l (i l~ VI ~ cE G \I l~ .. ~ J 4 ~ æ ~ Ç) t ~ G: \J t ~( l~ l~ t~ J~ ( lj V1 ~ II ci ~ () l¡ .. ~ f) ~ 'il ~ I /' ~ 6 . ~ ~ ~ ~ 1I ~ ~ !) )( . ~ '~ 5 GJ a ~ J ~ ~ ~ ~ F ~ 'lL IÇ ~ ~ Potential Flow in 2D ~ ~ ~ ~. o. l~ .j ~ (. \. ~ ~ t 0 Ci ~ .- ~ L :J II l h qJ X- C: :) l:: U 0 l) d , :: Y. 'h a ti 1:J h L () Ii (i cv u ~ .. ~ (.. ~ ll \'; "\ ! ': ~ , ~ '- ~ II ~ ~ Ç\:r ~ ~ b ~ Q ~ X ~ l) D 'j ~ ~ t ~ ~\ ~ rl )- ')r' ' Ci c\ ~ \l ~~ ~ )- \ .. c- lÕ . :) \ i( ~ f1 I II C" l) ~\ i- c6 ). ~ \ '1 (l ')l~ fò t1 ~ ~ ~ ~ ~ u w S i "~ 'l tv \ æ ~ l. t VJ t r- ~ ~ ~ )- \ " \~ ~ -i 1- C1.C\ .. .j '\ ~\~ ~ \I l :: .) V) .. I~ ".. v ~ '" l\. Q '1 () .J I. lJ r ~ J ~ (lj ~ l- l ~ ~ ~ k VI .. ~ S l' r: \"' i ~ ~ .. '" ~ ~ ~ \l 6 ø Complex Velocity Potential (!ÒVV¡?Lf~~ VELOciTY ,oD7C~Tfr1L P lY715 I' -- A F L Ò c. (Y A- IV Y C) ú) l=~ IL ( fVolJ E L \. If 50 LL/c.: c ò -'/ Lfi-. Tfl (err = tl2 rJv5 L(~ J (! A~Lw ~ tZ t: ((7 /I /4 A- ÌJ-l E A v+Îì c A-l- Ll A; (A-¿'LE~ \It) (+ ) ~ cp ro ¿ ~ LE-T .. ~ x-+ L 't 1H~N t¡J H c¿ ? (Zfù (w) ~ tf / TYk!lc¡/~~rL Lv) -= r- C A ucH 't_ (/ ( t:~ ¡,A. C? o~~ l fl ò.v-r G f- C i- c: ., 'AI é ç ri' Ç'F (£/ Fù/? LJ(~) (. (7-h S ritE~J f) 51 ( U ¡A( J vES O'F W (~') I Á- O¿;-rLfÎ~ ~L A-/'P Du A/O T You rY A fr (7 £~ t. r- iA --t= J7 IlL LuHiCff (: 1/2 IZ c (7 c) .. /2i- r¡ ¡O!¿i l- rl? i t. £ I) Ld ( :l) I ~ rJ~ /f/J '( 7?c F(. ~c 7? d"- cJ;= 7((2 )C C o/T /T Jr--9" LA., -rfL, ! ) 7 e ì 1= Cõ x ~l Cã ~ :J~ .U . -. .. , \ )( \J ~ J 'J ~ X (òa :J ~\ x 3 x (/ Il ~~ J -- J \ rL ~~ ~ - l 'v ), Lrl t7-l 3 ~ ~ -i 1 ll ~w Q )- ~ T '- l~ Example Derivatives \) ~ ~ 1 ~ ~ ~ .. l It i " XL ~ Ì\ J ~ ( ~ * -. lA ~ ( .. f.. i- ~ lli ~ ~~ J 'oJ ., Vi r¡ \/ u. ,).. ) ~ \J (e i V\ r- 0 ') ~ -! f- ') ~ VI :J~ ~ 'v ~\J-S X + ~L:; J \ IJ t)() . l. -f .. J\~ ~~ ~ ,v t ~ Ii l" ~ '.3 J ~ ~ ~ '.. t: \) () ~ \.C, ~ 'J l~ .. ~ f ~ \J lJ ~~ ~ "- I '. ~ 1\ \: ~ j\(' ~X II .. ~ \.\ J. :: I II -,J \ ~ ~ ~ " i. 't ). ~~ ~~ ~~ .t v" .. ~ ~ 8 ~ ~ '- ~ Q) ''' ( '~ + \) Q) VI II q: ~ qj 'v ~ of 1I 'X ).. i.. + 1 .. (I ~ .. !. lw ( 0 (j rl ~ .. Complex Variables .J , .. -. .) ... , )( '- , "- X 1/ ri , l- i'l¡ "' 'X I (I . . ~~ II II "- 1- ' .. 1\ N- \: "- rt lr- "- ~\l" II ~~~ \.'~ (' tl~ ~ '" (j ~~ ~'II CD ~ \U ': ,3 \J ~ ~ ~ ~ f\ t \, V) '\, (I i ~ rJ rJ -). '-" (I C' ci '\ \) "- ~ 'J \: Cj " ~ ' .. ~ ., NJ Ii - -l (' iI ~~ m .Q II ii + rJ X ~¡J t: VI ~ II ~ ~ (l li ('~ It (' ~ N J) '-. i: (V .. ).J '-7- Il Y- \. N (i 9 'lc: .. ~ ~ .. l ~ )0 l.C! t. .. ~ 0 v ~ ~ ~ '\I ..v + Q) U o \l '\ . IV "CD "o ~ \ l/ ). ..) + x: \l rl )J .. '0, ). x Analytic Function ~ ) f v ¡: , ~ ';J l1 -- 1vi l- t ~ lU lL J -- ~ Q VI ") ~ ~ i I:: 'V \i ~ VI ) - 0 \! .j l I ~ \U 1- iU c: -' C ~ ¡\ \- rt ~ 't ç' v ~ 0 .. 1 z ~ ; .. ~ 't l( ci :: J ~ .. \~ r' r\ \. :3 " 00 1 t v ~ J \. lL J. ~ -. 'Ì :( a: ti IJ ~ /' v j ~~ ~ (: V ~ ~ lL \I (: y .. 't :2 ~ :¿ a. Q. ~ ~ .. ~ '\1 r0 \ /' )- J- ~ () '" (J I.. 'J + NJ \I ~ ri /' X ~ + tW 'o II 3\ ~ ~ \$ ~- "," I ''i II l- N- v ,J ~ .. ~ '1 .. lù II r- :i Lè ). 'v 'X \ .. ~ -l I l( \ -. ", J. 'v 'i \. \ ~ .) '0 . .. I )' .. I "'- V Il J. J.. )-- Jl~ 3l ~ ~~ ~~ \I 0 x ~ + . ., ).. I ~ '- l V F ). .. 't ~ 't \ ~\ ct () \l \f .j ~ ~ 't .~ ~ ~ \U '-i ll 10 ~ ~ ~ ~ 2 /' J~ ~ ,v .L ,, J- -l' '- 0 l¡ rtt "' J ~ ¿, ~ ~i ci ~~ + 'v v (: J\ )( .. )v t " C1 /\ )( .~ J ~ ,. ~~ ~ \ lõ ~ J+ :SI ~ ci l' ''' \ Ii ~ ~ ',J ~ J \ rl ~.~ 10 .. l,N ~ ~ ~ \.~ ~ ~ F -- ~ \ù ~ 't ~ D l- fi -. \- -J il ~ ~ .:J 1-- j F lL v J i f\J ~ '- J\ le; :: ~ ) ø ~ :) ~ ~ Analytic Functions have Unique Properties '). ri . I: -- t ~ ~ l ~ ut ~ 1" N- \. J ? ~t ).. '; t '\ J t \L I( \J r= 1' JoJ '.. ~~ '3 \ :i L\ l C' ~ ~ \ci ~ \N \J ~~ l... ~ .. ~ it ~ '- .J \) ~ 't V ~ J \ )r- (" \l :J \ -, l\ C" 11 '\ t k "1 " ~ ~ v i2 v r= j. l ~ l. () r; t~ )- 1 "- () ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ 1 "' 1 ~ G Vì .~ -l J 0 1 ./ l .. '1 '- ~ zS ~ Real and Imaginary Parts of w(z) are Solutions to Laplace’s Equation 0 \j t\ C" Cò ~\ )- .+ )\~ \l g (' n C) -- :J \ )_ C1 n II I \& ~ ~ \ rb ~ :J\ J- N (' rl ~ ! \~X ~ ri rt ev l" (\ )~ \ '/ N It S \ oJ (' ~ "1 \\ r rC l' ~ \)l\ :J\ ~ ~ cb G J \/ c: Q 1I ~ \1- cv l' C) +- ~\~ II . 'X c- nJ r- cJ (' N (' ~\~ 1I (' l\ , ~ N ~ il ~ tv ) II 0 \J J ~ )'" v '0 ~ ~ l ~ IjJ '" ~ ~ rJ ~\ -, t' C\ L\ :s l) C\ )- f"C\ '" ~\ .. ,~ ~ C" 12 1'" J- \, "- ~ ~ ~ -- l~ ~ - ~ IS ~ è3 ~ Q 't \. t t J ~ t Line Integral Around Singularity .l. u .J ~ ... V t \) q 11 ~ \D . .., 'V ~ C" ci \ I ii ~ \: ~ ... -. t\ \ '\ ~ .~ ~ '- .t- - C1 t ~ .j ~ -0 ~ l" . 1I ~lri Li ,v k: C\ \I tb F~ l" ~Q . '(I ~(~ ~ \l " ~ Ç) 0 II ~ ~~ N . 'v ~ ~ \ \) ~l ~ ~~ , \J P- ~ t- It J uJ ~ 0 \i " .. () l .. J'- "- \~ /" -~ I. ~ (J .J ~ ~" VI ¡-~ ~ ~ liv ::~ '" '\ ~ ~~ li "- ~ Q! IN ~ ~ 't c ~~ ~ ~o . .. \ ~ il ¡lIN ~ ~ ~ri ~ ~ ti \I . '- cV ~ ~~ -- 13 t ~ ~ a ~ ) "V ~ \. ~ l v r: ),. r l \L ~ v" ~ ~ ~ ~ 1 iO ~ ~ \U ~ uJ ~ -l 0 \t h ~) t ~~ ~ :J Line Integrals do not Depend upon Path ~ u -- ~ rl ~ 'l L \L ~ f' ~ tL rL'- (I /' ~~'- I" I. -J ~ ~~ ~~ Ill ~ (. l" ~0t~ ¡t \\ \4 '-.( * ~ !~ l~ IU' ~~cËQ ö Q. "r.. It 'ò ~ ~ -~t \. VI (' VI l ¡, I.~ " l~ ~ ~ ~~ 0 ~ c .. Q ~ o r~ ~ li \. \S ~ o ~ l~ ¿ ctIJ ~ rf r r rC \. lL 1\ ~ ~ '- '- l\ \L IQ LJ rt ~ ,r Ni "' ~ ~ \ () ~ ~ ~ .~ ~ ltL l~ f ~ o ~ J (j '- ~ '" j t- ~ .~ (- ~ ;/ :) ~ ~ lu~ ( lt ~ '\ \u ~ ~ It ~ ~ ~ " )- -- '" t \. ~ ~ CJ .. iJ ,.. t u 14 Cã ~ :J~ x .U . -. (/ Il ~~ J -\ rL ~ T '3 -~ )( ~ \J J 'J ~ l v ), Lrl t7-l t J. ç ~ ~ ~ L~ .. ~ t 0 v X òa 3 x \ x :J .. , \ Complex Velocity Potential \) ~ ~ 1 ~ ~ .. ~ l It i " Ì\ J XL ~ ~ ( ~ * ') .. lA ~ - ... ( G ~ ~ ..~ f.. ~ t lli ~~ i- ~ ~ ~~ J 'oJ ., Vi r¡ \/ u. ,).. ) ~ \J (e i ~ VI :J~ ~ 'v ~\J-S X + ~L:; J \ IJ U-J f- -J 0 tN ~ f ~ ?l I\ ~ i", 1-- U \) ... II l~ J ~ ~ ~ '.. t: \) () ~ \.C, ~ 'J l~ .. ~ f ~ \J lJ ~~ ~ "- I '. ~ 1\ ~X II .. .. ~ .t v" ~ \.\ J. :: I II -. ~ ~ ~ .. .i " \J r.. .0 \. l1 J "- ~ t t II J ~ ~ )'-' l- v i( J lij ) -l -. (cl , ~ a G çt () V\ ~ ? J \: II '" ~ ~ ~ a ~ ~ lU .. ) UJ .) l~ ~ ~ .. ~ \¡ i 0 "- (.! i. \t - L- ~ 't '£ ~ ~ t ~ \J \J ~, ~ t. ,~ \f - -- ~ ,J \ ~ lJ Ç) ~ ~ ~ " i. 't ). ~~ ~~ ~~ l\ () \. \: ~ l j\(' ) lL J 'u li lr 0 't .3 C' (V ~~ ~ ~ ~~ ~~ III Ç) ~ ~ V\ r- 0 ') ~ -! ~ () . l. t)-f .. J~ ~ \ ~Uj ~ ~ "- 0 ~ ci ,v t ~ ~ Ii " l" ~ '.3 () \l fJ" . ~ Ii Q LL (.1 ~ .. l~ ~ X ~ ~ \. '.. J. ~ .l \J ~ IV +- ~ \\ i r' ~ ~ ~ ~ l '0 ;) (': .. '\ Vl 't V) "" t\ \. 3 ) "0 ~. ~I --'- -.. .0 L I-= J t 3 t: v ii ~ ~ lL v t ).. () fà Q. .. ili ~ f- ~ ~ ~ l 15 ~ '" ~ ~ ~ Example Complex Potential J- ~ Ii ~ r). ~ -j )I l( ~ ". .J v: '- ~ ~ ). IV 1- ") "- q: 1 ~ '0 t, II "t Li -: 'X ~ J- ~ "v ~ Lt a: II NI LI () tJ J- j "\ ~ )lNJ ti 'i l- rl '~ :i- ~ J- v' l -\ ~ tJ ~ "" ~ ~ '," ,J f t lV ~ Vi ,J \ \ 3 l- .l ~ u. \ iI Li l LL lt ~i '-'-\- r ( ,) ~ ( V' 5 t t Ii d (- 4 :i .. c: - ) tJ (I _ji."'()~ ~ ~, ,~~ 'co a. .. :J 16 ~ l\ "' J çt () ~ r- L ~ lD X l Another Example \i II Vi .. l~ t- VI \ lQ .. ~ .J ~ ~ VI ~,l l-- ~~ -. . " ~ ~ 'J Q J: l,J V\ 0 ~ .. .. , ~~ ''" le .j ~ f\ ~~ ~ \ (' (i C" çt ~ (I C" q: ~ \. +- , ''' J-- /" ~'X (I ~ ~ 'X ~~ I t¡ )( II "Y.. (J .) X' 8- \. .. "- 't f' lj ~ r" ~ v... '- ~ '0 (.. 'v ~ "t 1 L! tf :ì ~ '~ '- \. J- r- ~ /' II J. .. r" Cl ).. ,. (V "X Q: "' (' I J. /" t' .. ,'-. 1- y. "çt ll t" r' çt li o r+ '.. /Î // .--./ .- V' '" l~~ :y 'l " ~\ \1 I~ t\ ) '\ ~ t 1- )~ ~ V\ V' t- ~ o 1 ~ t ~ t ~.~ .j \~ '0 ~ ~ 17 ~ '\ ~ y. I'" i 't ~~ r (c Yet Another Example ". .. t ? , ~ ., ~ '- t .. " .t ~ ( " "- .. .) c; '- ~ ~ ~ -l , v 'V + V) 0 ~ 'N ~ , \, II l; S ~ Q: -. .~ -. II .N ~ ~~ ~ v1 0 '-(. ~ ct II ,,' ". ~ '- ~ .. VI ... IJ ~ '~ '- ': ~ ~ "- \/ "t \ yN II ~ ~ ~ '0 '" ~ ii '\ "''1 c: C) N \~ ~\ ~ ) \ N' ~~ l/ c:\ t" It '- ~ ~ ~ ~ -\~ \( ~ l- ~ ~ J- / Òï i ~ '\ '~ ¡ ~ I ~ i 'Ç\" \\ - ¡ ~..~0 l "" -e ~ ~ x 18 G 0 t/ ~ ~ \J Li: Mass Source .~ -+ L, '" ~ ~ .. (i' r ~\~ l. .J ~ ~ ~ 'i I, ~ tI ~ ~ ~ t ~ \~ \I ~ V' 0 \1 \; c ~\.~ ~ ~~ .3 ( C' \i ~\~ IJ X ~/" I "v )- ~ l/ ~\ i ~ ~ ~ 1.\ ~\~ /" QJ c. ~ ~ \.~ t: li 'b S- '" "- .. ,. r\' ~\~ .. -: '-. ~ ~ 'i ~(~ II NJ ~ ~ J~ Ll r' t+ "- :l '\ ~\~ l, ~ ~" I. ~ I. '- .J ! ii V' ii ~~ ~~ \J \J .~ ~ "- ~~ s" ~~ 0 V" 19 G Y. ~ É 0 ~ "' F ') l 'Ì .. ~ Q ~ Line Vortex Î ~ . .. L .r Li c:l ~ '- II ~ ~ C-(E . 'L li r" r.. ~ \t ~\ ~ II .. 'b " \ ~ C-i~ \ 1I ~ " ~~ ~ 3- ~ ~ ~i ~ l ~ t' Zß c;1 ~~ v i 1I ,, .Y '-! X 'r. c:i ~ . C' .v I ii NI l\ L- \ \~ ~ VI Ç) tJ ~\t ti ~~ .. ~ "\. r-\ £ li ~") \' '\~ h ~~ 0 \l :: " ~ . "- II .0 ~ \ Nl ~~ J \ ~ & L ~~ 1~ '\ v ~ .. lQ \J ~" ~~ Il .. ~J ( .. .. ~ '\ \ 'i 20 Summary • Irrotational, incompressible, 2D flow is especially easy to describe using a “complex” velocity potential. • Streamlines do not close for irrotational flow. • The complex potential is defined on the complex z-plane (z = x + i y) and contains both the velocity potential, ϕ(x,y), and the streamfunction, ψ(x,y), or vector potential. 21 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online