Lecture-14_(10-21-10)

Lecture-14_(10-21-10) - APPH 4200 Physics of Fluids...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: APPH 4200 Physics of Fluids Stoke’s Flow (Ch. 9) October 21, 2010 1.! ! Viscous Decay of a Line Vortex 2.! Vortex sheet 3.! Stokes’ Solution for Viscous Flow around a Sphere 1 ~ ~ ~.. .. 'f - -i ~ -: ~ ~ y. ~~ " Q ~.. ( .. -. l \A 0 :l .. t. .~ ci 1:1 J c: ~ ~~ ") .i (! .. ~ .. ~ 'Q ~ y. ~. ~ ¿I 1\ Viscous Decay of Line Vortex r" ~ x .. 1 '\ ' \) 0 ~t\ ~ F ," ~ "0 ~ .. i \! .. ~ l.. ~ J. u t ~ ~ ~ ~ .. VI '\ " tI Q .. i ~r . '- '- v .\ . .. " ~ ,f ( L t ct "" lø "" ~ ~ u 'U ': .. ~ l. ~ '- VI ~ ~ 'i Q,\ t Q \ ti t' ~\" l! .. '- i- ~ i ~\~ C1 C\ ., ~ (\ l \. ct ~ )l ef ": ( l; C' ~ 0 rl ": ci .,~ u ~l~ l~ "- .. -l ( N (\ .:40\ ( J ~ IcJc. ~~ ~(1. ~ . ~ o'\~ "i ~ "- tl~ ii ri fl l' \~ -,~ /" i (. ~ ~ f ~ l'j '- ~ ct ~ iI "" .. oJ ~ ~\ c. .. ~, + ow ~4 i~". ~ ~ . rl t . .. l:i tI ~ " ~ ~ 1 . r" .. ~ -l ~ ~ \ u ~ '3 ~ . ~ '" .. .. t " .. \~ ~ ~ , , f! ~ .. ~ ~ 1 .. 'u a ~ ~ \J t - f ~ 0. (" Q - "" t \~ .1' '" i-l tu ~ /' ¿ )~ ~ Vl 3 :i ... .i ~ "" F -. i- ~ II J \. ¡: .. ,- c:i ~ a ~~ \b :i ~ 'I ) .. '0 \1 0 ~ () ~ U: 1 ct tJ 2 ~ l~ ~ ~ V\ L - -i ~ lI \) .. · f, ) Similarity Solution f ~ \A ~ ~~ ~~ i "~ .. -0 V\ 'b l' ~ i ') ~ r: I( "".. J \J '1 '" ~ 'å , va \I ¡ "l - i. , \I Gi ') L. r w -; ~ u: .. t: 'c i .. .. ¡ ui F '" i .. ~ 4 .. ~l '" \t 'C ~ () \A l ~t -~ ~ i) ~ ~ \ L t. N "' it .) .. tl ~ ~ ~ \J l \\ l 1 -l u. . l .. .~ ( "... ( ~ lt ~ - J "" \e \J ..' t' .. l 'l .J Q ·0 ~ ~ ,. \ ~ . Ul i: - .l, ·0 ~ Q. a l. L d t E 1: ~ ~ 0 i; ) .. ~ \I ~ .. l - .. .( .. (j ~ ~ l, ~ ~l G I" , 0 .~ ~ F J .. ~ l/ ! l.l I - Vl ~\~ t U 1:\ t -:\ ~ 1, l=\ t' ~ ,. :s) £. U- ~ ("l" 0 ~\1J ~'(' .. u. \I c.i ~ N ~ '",. .. i ,. :t ~ ~I~~ )o Co¡ J f:1 ( ~ (" '-" \i ?- I, ~i ~ .. \i .. ~ '\ ). .. I"" 'l Q ~ ~ ~ - '- ~ Ii 1 .. h. J f- 1 4 i \:. \ .. \L .. l .. '0 v li \d ~ c: .. '.. f' t" ,, t, \\ ~ i n" ~I ( -r c. l .. r- '- ~\~ II ~ .. .. \U I . .. ~ ~ 'i .. t: \I l~ t V\ :rliJ ~I"t t1 t\ t . C" t :: \A -, ~ I r;(~ ~ ,. t' "' ~\lr u- .. .. .. ": ( ~\ iJ ~ fl N ~ c" l' .1 ~r~ r' II .. ~ c.1 ~ ~ l.. (~ .t '" . ri Ii " -. -:tl \l N .. c.1 J ll t: "" ,- ~ ~ 1 ~ ~ oJ ;:. -- \J ~ '" 0. ~ \1 V .. .. - ~ oJ ~ ~ ~ t- Similarity Solution '" ~~ ~~ L \A # q, ~ i. ~ .. Q ii .. "" .i -t IJ r" ". ~ l' 4i () l t! ~ '- ~ u. Y ~ i "" 'lt ~ s ., t- l J t .. ~ " ". ~ F- \L r '- '\L ~ .t ~ 'd .. i: J ~ ~Q .. ~ '" ~ , II 1 ¿ ~( ~ ~ ¿ ~ t-'" ~ '- ~ U t ow \l \l ~ c; a- ~ rJ , ~ ~ - - ~ /' C\ ~ ~ - r "t i t .. u 4 tt VI .. \e ~ r- ~ Q \f ~ ~ iJ Q "" 1c \J ~ V\ .. .. ) oJ Ie J .. ~ (. ~ J J ~ .. - , ) 4 .. ~ ~ \l. \L - 0 ( - "" 3 ~ \ \\ I' (; ,~ '9 'u. \l \1 - ~ v. Q) i: 1 ti '" \) ù: ~ ~ .. ~-- t: \L J: '" It ,, ~ .. \L l. - ~ .. \ 'l F- + t. - í\ \L .." .. 11 , h -- .. '-\~ (i C" 4 (t i ~ 0 t' \- v - .. ~ Q - \L \L. ~ VI .. '= Vorticity Diffusion -- ~ .. ro~ ). ~ J~ 'r.\ ~ ii /" ~ l ~' ~if .. \ ', :s . .. ~ " .. .. "" "" o ~ ~.o .. ~ ~ .. ~ ~~ ~ ,. t" ~ I (\, -l )i ,. ~ .. .p rl ~ t' ,. l d r-\ ~ i1 i X ~ ~ , ~ ~ 0\ ~ "" t.\~ rl\~ i -l ~ " :i £ II C) .. . t" .. (- 'Q ~ ': t í ~ 9 Ui .. Cl ~ '" ~ 3 :r .. -i n \& \4 J ct 't l . ~ G- o~ .. " ~ .. ~ \A tL ~ \. Q .. A t' 5 ~ f' . ~ l. ~ i: J ~ J' - ~ ~ l: '; i: V What is a Vortex Sheet? ~ .. ~ ~ ~ ,¡ :: .. "' 'f .. v .. ,. 'Y \6 5 l , -. ~ 'l ~ oJ ".. ~ ~ .. ~ .. .J ~ t ~ L. 1 1f .. tQ l9 ) -~- IE :: lt ~ cJ ~ ~~ l - ':- .. 0# t: A ~ - '" v~~ ie ~ . I~ ''t ~ ~ ~ i\ l": l~ II r. ~ I. ~ 4 ~ i .¡ tI ~ .- (J :rll ¡¡ 1 ,~ ~ ~ ~ i -l :: tl ~ ~ II ~~ ~ '- - ~.. :r ,0 ~' ,-, i. '-~ ': .. u (~ .3 F .- ')\t" ~ 1- r" c1 Il ;: :s \ l' C" C\ .. VI ~ ll I': vi I ~ .. ) l 4C ~ 'Q i: '0 .. ~ \. ~ .. .. i .. .. ( - ~ f, tf i: .i ll ~ i. f. Ca ~ ,, ~ ). ~ u. It ~ i..' '- .. .. f\ i. \; Q " ~ ,. ~ l ~ ~ ~ '" .. ~ "" 0 IU ti i- .) l" . ~ c: \i ~ P- ~ -- ... - "1 i. 'l .. . ~ ~ ~ "" ~ 0 ~ - ~ I ~ ~ .. lt .) ~ 'V \I .. .. 'I i. .. "- li , /' ~ ~ i. '- i f '- ~ I .: ': ~ ~ .. "" h ~~ Q ~ i. '- -. ~ "\ \1 ~ "1 4l 6 ~ .. ~ .. ~ ~ 1 ': "" "" ~ l1 tl - Q w ,.. \l. i: V ') ~ c: ~ ,: ~ t, F: III .. ~~ ¿~ L- ).. "\ ~ .)~ "" ~ cJ ')1 ), t" M t" )li n 'l ': It) /' v ~' l. ,-, .. "' 11 ': "1:J .. U- ~(~ -l (I (i F( 'i t" C' \L .. " .. -lt II ~ U- .. ~ f:(~ -I~ \ cC \ ).. t" l\ \L .. II :ri il- ~ o l' ~\ l' , ~ ~ V\ ). '.. F: lL I (" \L - ti .. , () 'l , -\t ~ \L ~ h (0 ~ 0 ~ ~ (l ~"" ~ '" ¡: ~ ~ C' \ U :: l. N d "I I ~ 'J \ ). t. " II .. ~ Fe , .. 1 "' õ) "' ~ ~l ~~ i: ... ~~ ~ CJ F í\ fì .) ~ -. II '- L ~~ t: -~ N It ~i~ II " - )\J - 1- ~ .0 \- ~ .. ~ N\~ II 1 .. It \1 ~. ~ .f i :: ,~ '" ~ \l ~ ~ .. . t. ~ \L ~ ~ \~ i: .. .. l ~ tv \t ~ :c ~ .¿ '" ). ,c \ ).. \L t" l\ ~ "" 1I C" ~ "J t" cv i)- ~ .. . x2 2 Π Out[3]= D Erf x , x In[3]:= 5 4 3 2 1 All ; "Erf x ", PlotRange x, 0, 5 , PlotLabel Plot Erf x , In[2]:= Vortex Sheet Diffusion 7 Error Function 1 Erf x 0.8 0.6 0.4 0.2 8 (g .. fl\ " I~ )( 4 I l(I ~ It: ~ 0 H \) ~~ (t Ie: . l~ ~ ~~ LI ~ - .. .. l ~ ~ .. .1 "" ¿ .. ~ \J l. .J ~ 10 (l ). 1 ~ ! Analogous to Magnetic Diffusion ~ .. ) .. ~ ") ~ Q \) ~ .. "" tJ ~ v I'" ~ \U Il \0 lh \! If , \! (" n Q1\ .u II UJ )( ~ i- -i 0 ~ ld 't ib \. )( l~ i "l~ If rh 'A "" , c: ~ (I ~ \Ø(~ .. I " b \ \J o f\ 'c ~ la ( Il ~ t J ". .. lL è .. ~ 0 V .. va J \I ¡: 't ~ C ~ .. ~ ).. ,. ~ .. " l- ~ l r ( (ò ~\~ (h 0 \1 ~ ~ \) 1 'Q ~ ~ ~ .. 1 ~ ~ ) .. '" 'l 1 ~ .. Q 'V " It ~ \) ~ ~ ~ 'V 1 .. ~ .. ": .. u. '\. a ~ " "' ~ V' v J . 9 Stokes Flow 10 ~ ~ ~ I\ ~ ~ ~ c: l 3 ~ ". l: ll ~~ l\ (:r tV l) ., ~ ~; ~ t: . ~ l~ II , t) \) ~ (l ... J .. "" ~ \: ~ ). tL .. ø, ~ rl ~ 1 ~~ r'" ~ ~ .. .3 æ. ~ c: l. l- l' .¿ .. .. - ~ 'C' i :i .j t .I '0 't 'C 1: ~ ~~ '- .. . . 3: 0. ~ (l JI lu '\ ~ \L ~ (~ ~ i~ ~ t: ' ~ ~ '- l ). 'l "' .. 1 ~ '\ ~ ;( ~ t" ?0 .~ t: ~ 1 V) "0 i '\ I J ~ \) "\ c: 1 ~ '" ~ J~ l .. o t "" b~ (I t' II ¥I (L i~ /~ .. tJ l\ ~ .. ~ .. " '" ~ ~ ~ o ~~~ \) ~ 1I ~ () ~ ) lt ~ .. 4 ~ 1 .. lL ~ .. 1: '& b V\ I~ Q. ~ (I j l -( f. ~ .. (~ J tv~ ~ , ~ tL .. J ~ ,i ~ ~ ~" tL .. ~ ~ ~ ¡r ~ r ~ ') .. ~ "' ~ o 'j .\ ~ ,~ tV' VI L/ -. Q (: "i L l ": .. Vl ~ \J i -. tL 1 \) ~ ~ i: t~ ~ v Stokes’ Solution for Viscous Flow Around a Sphere (1851) . .. \) ¡ ,. ). ! ) ~ !~~ ~~i b f' I': i~ ~i ) ~ ~ ~ \~ \l "'" tl. (( ~ ~ ~ VI ~ i,. i .. l-- ~ txJ i:" u. il ~., t b ~~lI (O ~ - ~ -\ri ~ ': ~~ ~ \A () Q .. 1 i"" ~ '3 j tV 't ~ ~ 1; ..,. ~ li q, II " , ~3 :i l.. ~..~ ~ ~ '- :) ~ \"~ ~ ~( :j t ~ I~ t II ~ ~ I) ( 1 ~~ I\: .l .. ~ .. · 0 , ~ ti \A , I -. ~~ ~ I~ ~ r: '. ~ t \A '* :t .. ~ 4: ~ ~ Vl ~ ot l. '" ~ ".. .. ).. " .. J \J c: '.0 \u ~ .: -i 'l ~ .. Steady, “Creeping”, Flow Around an Object 11 Ç' . ~~ \I ~ .. " ~" i ~l ~~ i: VI '- t J _. Il ~ "t ~~ :r \o.. \l -~ F~ t ~ ~ ,. '1\ " ~ '- x ~ \ ~ ~ ~ I ~ '4l /" J~ 3 l~ " \.) ~ ~t" (\ \) I~ II i~ ) ~ h I ': l"tJ )! () ~ ). .. \l - ., l - '" t "' ~ .. ~ ~ "3 ~ ~ v .. ~ ~~ l. \. \) ~ '" t( I~ ':= /' ,. J VI ~ .. to t ;; .. 'l! to (£ r ~ ~b ~i lJ , 1: ~ V\ ~ .. 12 Stokes Flow (1-3) 13 Stokes Flow (4-5) 14 ~ ~ 1 ~ \I .i r; :) "3 .) ~ Vl ~ '0 ~ :J ~ 'i ~ Stokes’ Solution (some algebra...) r~' i-\ b ~" ~ -I ~ ~ N\~ -\~~ .. ., " 'C ~\J --~ .. )( ~ l c; L -. -l .t l U l:~ ~'\ ~ ~ ~ \ l\ i r- _\ l" ~ t'\ ~ -I! ~ cJ\~ ~ , ~~ ~~ ~ ri\~ ~~ -; \ i ,~"~ l.. rJ l- ( 1 ~ ~\~ b ci ,~ -l ! "'.. ~ 1 \ .l ~~ + T .. -i ~ \ I\~ l \ II -\( ~ l- ci ") '\ ~ .. Q) \I ~ ? ~ )( -1 /' Ii ~\~ Lr ~ '-lt rl\~ ~ ~ -\ ~ \t. li l~ ~ ~ rr- 1 ~ ~ \\ t V. ~ tl\~ C) t\ (" \ \\ l I.. \; 1\ ~ ,. ~ ~ r N t" ~ -i l "" ~ "" ·.. , l i ~ " ~ ~\~ \I .. ~ ~ rl\~ ~ l -iì "- ~ ~ 'i ~ /'l ~ , '" -. \b .. i _. i~ ,. --, ~ti . -' ~ \\ ~ f\ ~ :) -i cl\~ i -l~ ~ r(\~ iI \I '\ ~iJ VI T .. , Ñ\~ N .. L II I.. l3 \: U\ ~ ~ Vi ~ ~ ~ X ~ \\ r ~ "" \ -H ~~ ~ ¿ cL 15 Stokes Flow (6-7) 16 ~ .. \l ~ ll t. "" \I ~ -l ') r: ~ () b ~ t' \\ ':t ob Ñ \,i rI . (l LJ T ~rt .: cJ \ ~ -\ V\ ~ '- cJl~ r) ~ r' Stokes’ Solution (some algebra...) rJ C) q ~ ". ~.. .. -) I\ t'l~\ ( r C) u ~ 'h t' '" ~ ':t \ :: ~ + (' \ tI" ~ '- tl \,. .. ~ I .. NI~ .. , l' )..~ - -l l" i .. '" rJ ,. "'I~ I .. Oo~ 1 /' ~ \ri ,-\ ~ " I ~ ~ (~ 3" \ ., \ Cõ l- L ~ Ii òo '\ I .. (~ .. + "\ l" ~\ '\ - .. .. .. \. , ~ \,J ~ ,, ~ ~ ~ iJ ~i t. -,'" ~ ;. '" "" .. r -i J W(~ '" .. l/\ t M'\ t\ Q) I ~ l , ~ " tv ~ ..1,J II -. ~ . . ~ '- .. l: '" tI "3 "" " tlN .. ~ l- C' 't ~ ., ~; i- r" IJ 1\ ~ ( ~ ~~ ff \ ~~ ,. ,. " ~.. -i~ l\ r- j- , ~ ~ .. .. Q ~ 17 Stokes Flow (8-9) 18 Stokes’ Law Stokes, G. G. "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums." Cambridge Philos. Trans. 9, 8-106, 1851. CGS unit for µ is “poise” (Pl) and for µ/ρ is “stokes” (St) 19 Problem 9.1 20 # "" .. ~ ~ o ~ l:i 'b l' .. I (l" ~ Ii .. ~ l:s C1': ¡ '~ - i ~ ;it l"~ rc ~ "l 4) ~ .. ~ .. '" \( i. ,. . ~ \). t\N I ,) l. .. '\ 1. 'J Q 1; 'l , ti " ~\). '0 '" ~ t ., t. - c l '" \ ~ \I f~ ~\l II ~tj ~ J.1.c i ~~t ~). ~ L ~.. \ ,. ~ ~ .. Ii -c \J /' GJ ~ '- ~ tf r\.. r n fi i I' II -i ~)-\ .. ~ i-' .. ~\~ *~~ ~ I Irl ~ , 6'\). Ñ '- '" ~ \\ va ~ " . , . ~ i: ~ l/ 3 ~ t: Vi ~~ë ii (I ~ --\,i ~ i, II t.. 1,J II .. _oJ .; ($\ ). ~ \)", '- t , C'" J. ii ~ ~ \ ~\rIC1 t1 II .. ë. ~ i. .\ )~ Q .s .. ~"' ~ ,. . . .. \A ~ 1 '4 C) ~.. ~ \\ i. ~ VI It h :: Q t~ -: tJ .), '- li ~ ~ .i () í .. ) i , t o i tl t('C \I ~ v~ 9 F .. L ~ tI ,.. l 1 Y Q ø Viscous decay of a line vortex Stream lines and vortex lines Leap-frog vortex rings Viscous relaxation towards steady flow • • • • Problem 9.1 21 HW #3 22 Summary • Viscosity causes vorticity diffusion and decreases velocity gradients. • For strong viscosity, viscous forces balance pressure forces. Drag coefficient scales inversely with Reynolds number as expected. 23 ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Ask a homework question - tutors are online