Lecture-16_(10-28-10)

Lecture-16_(10-28-10) - APPH 4200 Physics of Fluids Waves...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: APPH 4200 Physics of Fluids Waves (Ch. 7) October 28, 2010 1.! ! Waves 2.! Linear gravity waves at a free surface 1 ~ ) "\ "" .) ~ " X '- ~ cl i: '0 ~ .. ~ 1 ~ l- .. Wave (Helmholtz) Equation '41 N ~ 'J "" t' r" V II (' l" n~ '-I'" 'P ", tJ lt X '- 4Ii ,. ~ ~~ "- 'l .. 'l . .. l- ") J o ln " '; .. " '- It " ~''K "" .. ~,~ ~C\ .. \n .. (J '- '..'l U +1 ." \J\ -P ~ .l C" (\ rw \.. .. t\ _l 1 ,. u1 1 ~ ~~ ~~Q ': t .. i (J 1 Q· ~ i~- ~ .. ~ \t \l 3 ~ e~" ~ ~ eta ~ ) '1 t ei .. 'U r" ') J ~ .. "" ,. .. oq .. 'I'" '- 'l .., .. . \ 2 e ~, ~ t ¡ "" J (l "" ~ \f ~ 'l 'I ~! ~J.J 1 ~~J ~ .. l q: ~ Q, .. I.. ~.~ u. y. .. '- ~ r vi '- 'X ) +i ~ /' VI r. Plane Waves T ,. 't ,. ¥ ... "- Ii "I Ita \I i '4 J t :i ", v '" i' (\ 1: '- ~ 1 , Q v '" \l ~ ii ' ;\~ ~ ~~ tJ~ ~ \. \& " é .. ') .. .. "- l Q ~ cY\~ \t1 \1 ~ " '" Ul \ ). u t i \) '" ~ (j 0 '" '" ei t ~ t \c ~ ,. ~ .t i 'c ~ \Q ~ .ø L - :r ..'J t ~ 0 \1 il ~ ~ \i ~ i \i t " \l .. (J i ,'" ~ t \l S- "" ') Q 'l v: '\A ù: .. t u Q .. .) i4 '4 ~ ct \1 tj 3 ~ A nV\ \ ,. 1~ ~~ ui , J 'c ~a L( ~ 1 \o .. ! Wave Eq in Multiple Dimensions y. tV tv ~ lJ il ~ i' ~" ¥I~ l r- '. x a: "I J "" ~ i': .. '- .. ,, ~ \o '0 :, .. " ¥ 1 ", ,. i . \~ ~ \. ~ ~ r: "~ .¡ i: 1r+\ I, .. l~ e: .. ~ .A 'l .. ~ '" Ql ~ 'c ~ - , .. "Q \l ~ ~ '- ) 'ë .J 0 it . ~ '" \, ~ 3 \\ P \ il t1 '-~ C'\~ ~ ). '" \~ A. N (~ t: Q. "" C1 ~ ~l '" .. i. .. ~\~). ') ~(~ '1 .. V c: II r ~ ~\ , J- Yo .. i~ , r .. " 'Q .. 'e ~ ~ I '- II /" ~ l~ 'I (0 "" \e l " j l )\~ " " '" \ ~ Vi tv -- -i ~. 1 ~ S ~ .. ': ~ \: \Ò "' , ':~ .. .. "~ '\ ",'-J .; a '1 .. ~U i -l r t ,.~ ñ ;t J L~ i .. ~ 4 ~ Ì ~ i ~ ~ i v .. ~ 1 l .. ~ .) ~ 'I 'i li -- .. ro t" " -i fl ~ (" " -l ~ '\J ,L ~ 0 II Cl ~ -l r~ tV C" "\ -l t"\~ ~ '- 4- \ ( + ~ ~l ~ + rc\~ í '" .. . ~ t '- y~ Q ~ ,. U If ~ (' ~ ~ \N ~ \I ~ ~ .) \\ (J ~ .. -r ~ .. -i Q i r: ~ , i .. Wave Eq in Cylindrical Coordinates "" ~ .. 't ~ ') "Q u. . L l r: 't ~ ~ Vl ~ ,. "' Q) ti . .. ( .. ." 1 . "' ~ -; 0 ve 2: tJ '\ ~ ~ ,, (I '-t' ~ '\ I" ,. "- "- "'~ l .. .. I.. ~ td \U \t 0 " -. r- t ". i ~ .. -" II i ~ ) ~ .. V\ it L. '1 - ~ ~ 'l \\ g a ~ v V\ 'ò .. W "- ~ \\ '-(" ,. n( -~ ~ ~ '". ~ ~ .J v T -\ ~ ci\~ ~ t'\J /' .. \ IV i , i , fi .. oJ \.. (~ '+ (O J , ii +N ~\ ~ Vl - tl " "' .. .- ~Ml~ \I , N( .t \ "" ~, ~.. ''- ) ~ D J ~ tJ 5 ~ \J I: .. .. i t ~ :3 a- ( ~ V ~ \( ~ c ,. .. J 'ii Q Wave Packets and Group Velocity J ~ '" 1- 0 '" ~ oJ ~ t Vt ~ ~ ~ I- .. - ~ tv i .. ~ r. :i "" ~ .) ,:. ') .. 0 ~ ~ 3," "" t ~ rl ~ ~ ~ t ~ ~ ( "' ~ -- i'" ..i~ J" , J.l 'l l: \i ~ "" ~ Cc '1 t II ( V .~ \l ~ :; W \. ~ ~ u tJ~ tJ J\ ~ ~i~ " V ~ , 'u C /' .~ '0 l ~~, ~ ( "- ~I/ - tt 1 0 J ~ t \0- '" ~ i (\" "j ~ .3 J i ~ '" .. 'ii ~ 0 ') 'l ~ 'l ~ t ~ lC \L ~ ~- - -t 3'" ". T (l ~ il t\ 1: l1~~ ~ :i II i I.. :f ( )t "" :k .. "' () ~ V tI ~ 11 .. ~ ~ ~ ,. 31n ''" -- Jil , X ~ ., ~ ~ .. V \. '-.- ~ .. ~ /' l' I :i~ , '- '- 4- .. II ,. ;i.. ~ \. ~ ~.. ø:" ~ )( J. iJ of '" ,. f ~ .¡" \j" '- - .~ ~~ QW ,. 1 . .. ~ t. l) .. ,. , '" '¥ ~ 4 -l.. ~ '- I- ') t.- ~ t ) \U ~q \L -- \! 6 ~ l; ) ~ V\ ~ ~ D - V' ~ - \\1 J Wave Dispersion ~ ~ ~ t i .. ,. , \A ') ~ '~ n .. u t- " \. .. .. ~ \! l ) t '. ~ .. vt ~ "" .. '" v~ .. i '0 ~J ~ .. ~ .J -a \J r \J ~ ~ ~ a- ~~ )." ~~ ~ .. ~ ;; "" \I ') J ~ 'e ~ .. \A \J ~ t4 ") q s ~ ~ \l \l - :e ~ 1; Q. P i- 'l ~ 0 \0 .. . j '" V' .. , '. . li ., ~ ( "" '\ 't J l .l ~ ~ i~ ~ 'i: t -- ! i l'" VI \l 0 '" "" ~ '\l~ i 1 ~\ ( ~ "; '0 l: ~ \I 3i'" q. \0 ~ ~ "" ~~~ v .. ~ ~~~ i. ~ ~ I': l ~ ~1 ~~~ ii~ .~~ l o V\ \ ~ ~ ¡. ~ J C: J t ) \i .. ~ \L \J l- ~ ~ ~~ '" '" ) Q ~ "\ o ~\ \; , ~ ~ .3 ~ .. ~ ~ ') ~ " \i ") ~ i- ~ ~ ") .. t ~J (. 'Q :i J 7 Cb 14 ~ f U tt o -l u. ~ tl \) .. V\ \J .J ct .. \0 ÕC(t J~ t '3 ~ VI l. .. .. ¡.v. ~ ). l a~~t tc 40 0 E. ". ~~~! ~ L "" .. 4 Ii ci ~ IL CJ ~ .. J \I VI c: . 41 . _ ~ l ~ -- . i 1 .. ~ ~~ ~~ \I 'u l ~ ') "- , ('c . ~l~~ ~ .. 't l' ~ ~ 'E 'l \( , ~ (. It ~.. l~ ~ l ~ .. I. l- " I:. 1 . , ~ I~ \, \4 ~ . ~~;'~ ~ tv ~ VI 'Q \L e¡ 'òF- Q " ~ .. Ç) u. " ~ l ~ ~' ~ ')..:.0 i t.(Ír w 9", r ~ ~ .. ~ .. ~ .3 .. 4: ~~ ~ I ": ~~ 4 ~ ~ ~ ~ i.E ~ ~ 1 ~ ~ i .. 3.. i ~ ~ ~ ll .~ "'c ìi. ~ ~ .. '\.; VI ~ ~ijct i ~ ~'w ~ ~ L.~ !~~~ ~ l" ~ ~ ~ ~ .- i q\ '0 ') "" , tl ~~~âtJ ( ~ r: r ~ ~ v ~ ~~ ". '- " . '0 ~ \) ~ ~ .. ". ~ J .. " - ~-~ iI. "r '" ~ \ 1' -e .. l .. ": ~ .. \.' \ '- (\ I: .. t ~ ~ o d 1 1. q t '- $ J,oi.~"2 ~. , \, \. \ , J .J \c "; ". 0 l/ ~ 1\ ~ ~ ~. ~i tv ~ ') ,. \ ~,.~,. ). ~4 (. Surface Gravity Wave 8 Ripples 9 (t ~ .. ~ ~ J ): '" j ~ (Transform dynamic problem to static one…) i Slow Long (Linear) Waves ~.l ~ .j Ú" a¿ ~ " - LJj ,-' .. J l~ ~ ~ (. - a ~ '~ \. 0 'U J lU * J \I ~ .. ( \J "\ 0 ') l.. 1 j l. Q v I. .. t.y ~ II t~ ~ CL ~ !. J 'jt \. ~ (J ~ lN i J Î ~ io LJ j 'ù ... ~ J i) II ~ l. J ~ '- vi t 'I - J~ ~ l~ v LL \r ~ J \¡ , r ~. ~~ ~ e \. .J ~ l~ \ ~~ J 't S5 \ v. \ .( " ) '- ~ ~ ~ s 'J ~ 'U ~ :: ~ /' '- V\ ~ "t + ~ Vi /) f\ -+ () l :s :~ \) j\ '- (( '0 ~ o j '-. ~~ ~ L:: u '\ J ~~ l- It ). ~ /,. 3 1I V I' Ii ~ va ~~ ~ I' 'i ~ V -t li I ¡ ~~ \r '- l. C .. Y. :t () ~ ~ :: \ ~~ - '- \ lIi \i \ ~ \J ¿ ~ i \ \) J lt '\ .J ì .J _ '- '- i. l' "0 .. r \ \) j\ ~ J LIi ~ \ '-co :: .\ ~ ~~ o~ lty o 't .) ~ o \. VI .. t ci\~ ~ 3 0 -J VJ ~ VI ~ - .i 0 "0 10 e ~ ~ \J ~ "- .. ~ d.. J -ì 1 0 .¿ ~ c: ~ .. ~ y -i ~ ~ d: :J "' ~ ,.7' t) l- i ~ vi S H J y J .. I.. ~ .. ') 0 ~ 0 (. ~ \I ') 00 () Ii ~~ -l ~ \P ri 0\~ rv l\ ~ ~ J !~ t .3 u. '\ ~ ~ lf ~ ~ \¡ "" () :5 I' t ( V' 'v ¿ Ç\ ~ Lv\~ /\ ": 'V i II l" "" :: ~~ ~ "' :: ~ V '/' /\ ": ~ 'v ': ~ '~ u~ (J \J ~ ~ J \) ~ .J t It l! a (f\ I~ '- Ll ": r~ ~ Ö~ .. ~ ) :j ~ 1 .. 't 't (i~ .. .i '" J ~j '" '" .. lo' ~ llJ ~ ~ k. v (~ ~~ l jJ i ~ 3 Ù v, .0 ~ I. ) :) ~ ) I. '- ~ \' Ie . -. ~ l. ~ i ri J ~ ~ ~1 ~, Q ( "' ~ \. (~ !.I. t: ~ (,~ ~ ~ l- ~ V\ l~ 0t a ll '" Lt '" ~ S l~ VI "t J ~ lc ~ JJ fQ c: ~ \) \ '- \ \ " .. ~'" ~ ~ 't if ~ '~ ~ "" (t l t .. ": Va ~ ~ ~ ~ ct t ) '~ t. F \. "" ltJ ) Surface Gravity Wave: The Equations + sLv ;j /\ 'V c' 1- 1- (' I' rA j~ H .0 r- /" ~ ;3 "" :: k' en + -t ~ 7J .. N cv 'v \)ii :J ~ lt: ç 1 ~ tj ~ ~ \J l ~ ~ -= ': -\ r- V '\ t' .l . ,: '-IN .: (' 1- "\) /" ~ ~ ~ Applying Bernoulli 11 r I~ ~ iI ox . v ct \L '\ l, ~ i 'l 1U ~ 0 0. ..I, w i: "" 1- 1 \U "" 'u Lt Cl ~ \U ~ Vt \l 'U q . ~ .. oy ~ "' c: l 0 r .. c: - ... b l-: ~ 1t ~ L) . t) Q I, " t' ~ ~r 0f 4: ~ ~ .. .. \' ~i- ). t v '0 .. ~ II ~~ ~ ~ 'i 0 Il l"j )( ~ .. .J . 1: l. ') .. \~ tO' C: . . ci l -- .l i "" ,. ~ ?' ~ trJ ~ .. i " ;: ~ ii '0 II "" ~ t I.. ët \I ~ ~ \L V 'w ' t ~ t' ~ "l. II r 't " ,. \ j.' "- '+ .. cu \U . , . 'u \J t (" C' (" ': ,. t ~ '4 , rf i- ~\~ QI~ + ~ -:~ + \, t1 Cl ~i.. ~(~ C' C1 1i 0 .. \J \ '" a tJ ~ 'l \l i .. l" '( .. ll \U ~ ~ a ~~~ ... i .. " \ .. ~ 'J .. .. .. .. i 1 ~ a 'i ). .. .. \I ~ 0 .. V' ") l 0 + ~ - 'l ~ ct I- (.. ~ . ~ - b ci 7 1 \I ~ " t H 0. (~ " ~ t) \ ~ ~ :: .fl l l~ '. " t.. )( o I~ -)~ V I '- l; 0' t) i II 1': . I () '" .. I'J '- i' \ '" r( l' l1 (3 r- \\ -' '0 l~ ' ., ~ . .. ~ ") ct \. ~ r 1I f\ ~ -. \. -, ~\o. I b I" r4 ~ .. .. + J :s "" '" (" ~ "' b q.\~ , \. r' ~ ~ :-'" '- + ~ ~\.u (" i) L '?\ C' ~ "J () ~ J~ \~ .. ~ ~ if ~ 'U \~ 12 ~ Waves (Small Amplitude) 1 ~ -i ') 4- ) ~ Linear . "' ~ '11 ~ "' .J ~ r'~ \f' ti + 'tt " Ii ~ rl ~\ r. ::fl " ~ ~ t ~ ~~ u .. F (.1 ~ \. t\ v \~ '" + 0~ Q" ''',' \4 ~ l- t" ~ ,,_ .c ~ 1- .. ~ ~ C' t" ~ ~., ~\i"O t 4- ~ t' ~\~ (g i=, i ~ 1 '0 l/ ~ .. 0 è t' t ~ J ct ~ iJ J l '1 0 i1 le \L. W 0 ~ ~ '" '" '" ~ ~ J i( i ~ \. 1 .. Vl "" .l ~ .~ ., t ~ 0 ~ "l ~ I J ~ ~ '" fJ ~ ~ ~ W ~ " C' (\ ~\4i I) " - --~ , (J u aO ,. \ ~ '" CJ " ~ ~ ~ r\ ~\ (l \t ~ t' ~\.L .. . F '" ~ '" , J fa .. ~ '- ,. ~o \. '" ~ Plane Wave Solution oJ t ~ of , VI ~ II kl ~ ,-~ ri ~ ~\~ ~ (.. + "0 1~ tl \I -~ 1\ \) '" ~\~ n ~ ~ C' t) +- ~ ,. .. \ l1 'a. 1l "' ': ~ II ~ ~ I~ ~l ~ r: ~ .. ,q ~, ") .. ~ ) ~ j tJ:: t 'l \I ~ ~ ". () ~ ~ 7: -l II ~G r J '" . ~ 1= r: ~ ~ è .3 x i l . ., ~-. 9 ~ , f ? tJ L 3 l :i le ~ '" .; J.l ~~ 1M ~ J ). .. ~ ~ t .. ~ ~ ~ ~ "'. ~~ -- 13 .. .. 0 l t c: ~ /' ß ~ ~ "' , .. f rl lI q, 'i \l C' " ~\~ . '0 ) .. ') ~ (r . "l ~ f\ ~ ~ rJ~ 4-f NI . \, .. .. (\ ~ .s '- i () __ t u" ': -I .\ II ~ .t __ rt d ,. + t. '- .~ \J + .t ",~ tt ' ~ .. +~ ii h tJ '- , ,. l; .. ~ '- .. 40 'i ~~ r ~ \\ .. ("" .. - n \ "" ..\ ~ C' ~ .. ~ ' q, -4 1 ~ .. va I' " ~ '4 ~ '\ .. .. ., ( i. C- C' (i + (\ (' N (Wn ~ "'C ~ ll ~ ~ \0 y: 'S- .i u \. ~ î ~ tU .. o, t( \I ct ~ (! 14 E) ~ l ~ \j () ~ ~ r: . ~ v i": Solution (cont.) ~ c: ft I tJ fi ,+ (J'" tJ - ""' .. II o -t ~ N .3 ., ,rl '" - ~ t. '- 3 ~ ~ .J .. .. ': L ~ ø ~ l.. l ,. C' C\ c: \ .l o .. .. - "' ~ .. i\~ 't ~ t.rJ ii v.. \~ -. o " .. c: t I 11 tJ '.. -t' l .. I~ q~ f"" ~ ~ I' ~~ ci J t: " /' , ~ lV ." "c: '\ \. ~ .l s g\~ u cr\~ ~ rl ~ t t~ v, ~ ~ ~~~ ~ ~) oJ \A !. ~ Ie .. 'l ') ~t ~ '- :\ t \A .. f i .I .. J IV \1 \: t" v. -3 t '" " i f ci J' ~ ~ .. .. ~ , oi i~ :i " .J ~ ¡ Q .J Q \Q (': L ") .i u .. " '\ ~ )~~ ~ ~ i: .. ll l- t~l 0. i ~ .. (~ ~~ t- ~ a ~ ~ ! IA i a: '" \A · ~ -- ~ 'l ij ~ .L , (y .. ~, tV ~ ~ ~~0 · · .. ~ \~ o i: '" n ~ ~3 ii "-L l. _ tJ ~ cO GI ( .. t .. o ( ~ 15 ~ t ~ oJ \J ¿ .. \C ~ Q '" ~ ~ .. ~ ~ O J: ~ rI 0 ,i -I .J II QJ r\ .. ~ ~ ~ '" J 31~ ~ Ii ~ ~ Q ~ -- .. -~ w 1 ta ~ .. () .. \- 3 ': ~(' " Cl i ~ t' ~ ~ '- 1 ~ ~ .. ,. t. ~ u !~ '~ , l '\\ .. - .. ~ ~~ Finding the Velocity Potential ... 't ~ i '! \U ~ t: \ .. ~ I tV ,V i i ~ '" ~ .. ~ -l qJ "" I If ~ .. ~ ~ ,. ,. f "' .. '9. re iJ .1 - ~ ~ ~ '\ ~ J~ ~L ~ 0 vt ~ ~ ri ~ /' "V .. .. ~ (. - \ ,r -" .. -4 tl '- ~ 'l ,. l ) ~. 1 -i I q .. ~~ I ~ VJ " ~ '\ + I~ ~ .. tl '.q j~ ~ ii~ ~ ~ U . ..,... 'C " -i ~ i' v, .. ~ ~ ~ i J ~ /' ,.. .. ,. /" '- -C J\-( v, "- ~ -r ~ ~~ -i "' () ~ ~ ~ \J ~ - ( 16 § Velocity -l 1" 3 , "' ~ o VI tJ /" iJ J, ~ '~ ~ ~ -C ,. oS + ~ "" + ~ .. ~ t:0 1\ t" =s ~ ~ ~ .. ~ uJ i .. 'i ~ ". .. I tJ ~ ,. ~ II ~"" 'ñ rl ~ I) 't 'jx -x ." .. ,. '0 ,~ ~ ~ , 3 , J J\~ l' ~~ ~ .. ;~ ~ .. ': 1 " ~ " "" æ t,7 ~1 ~\~ C. ~ ¡! M ~ ~ 1,= .Ii. _ J .: 19 if \':( ~ Q- .i ~ .\ li ~..L tit f~ .¿ -bl~ ~\~ - \L ~ - ') s .. \f ~ . \A d ", "" . . eI oJ CI \. ~ ~ - .J ~ ~ a. ~ \J ~ ~ .... "- ;l " ,. ~ a ~ 'l i ti '- .. \. "" ~ Ci ~ \. -t , '- 'l '- " ~ .. ~ .. .. '" i 3 ~ Vt 3 Q ~ If f'~ u "J C\ C' ~\~ ~ \t'r\ f: ~ II -: F \J 17 ~ '0 ~ ~ 1I JI~ lJ ~ ¡. i. ') .. ~ ." ~ ~~ "" ~ .. Q~ , ~t ¡ l. ~ ~ \. -i It J lJ Q\ ~ V' q: .. .. ~ Q ) .J ~ "'~ .. r Shallow Water (kh → 0) i' .. i J "I ~ V' () ~ J\~ i /" 'l J 'I ~ '" ~ .. V? /' ~ Ii + - "4 f" t( ~~ t( ~") ~ , \. \ \. \. , \. ~~~ \ tt¡ f\ - I' -\~ (( ~ '" :: - \:J .. -- ~ i .. '0 u. ~~ ", "0 ;L \ i: ~ )i 11 6ù ~t ( 0' ., 18 L~~ l J\~ (l .. t ~ ~ .J I -: ~ ~~ cl \J \l i: _t a~ i \f ~ (C N ~ r ~ t: " )\.. .- -i ~ i; .. I.. r' 0 i' r o~ V lr ~0 ~ ,( ~ ,. "" ~.. ~ ~ 9 CL . '- t l. Y\ 1 ~ i a \J "" 'U ~ ~ VI ~ c: l! '. ca ¡; ~ ~ f: ~ . . t. ! I\ .. :J :: -- _ -\-¡ , . ~ ti ~ ", ~ J l oJ ~ ''l "\ ~ ~ J\~ ~ 0 (( ') ~ ::~. -- lf 0 "" -l I 3\~ rI '" ~ .. ~ ~ /" /" ~ \J ~ .A ~ ~ '- L" l.. ~ .. .. i ~ '\ ( '- ,. ~ ~ ~ l( r '~ ') rl 4ø .. J\~ ~ '- ~ ~ r; Q J. ~ ~ 'U 3 q: ~ ~ ~ \r F= Ui i- ~ 0\ a. Q ". r ~~ l- ~ .c :: "ii ~1 '-( v '" N ~. '- Q. " \t -\ N~ ti /' i J ~ "l ~ "" ~ IV r- l: '0 t\c( -- ~ -\ l" " '- () fl N L _0 ~ '" .. a: If L 11 ': ' '- '" ~ ~ t1 I. ll \~ '" 1. le ~ cì "; ~ ~ ~ \J LU ~ -U ~ \1 ). (¡ f:~i: f'"' ,,~ _ ~'iL ~ n. ~ ~/' ' i. ~~I~ W'l " ~ ~\ci ~ i ~:: \1 ~ r ~() ,c~~ "I~", "" \~ ; 'i. ~ ~ Wave Energetics (8 ~ ~ ~ \Y 0 UJ t\ J t ~ ~ '- ~ Deep Water (kh →") 19 1 ~ .. \À /': ,. .. .. rr ,. ~ (. " . lJ -1 ,. () G" ~\~ fV ~ ' l" ~~ I' 0 4I .. ~ \r ~ ..'l~~r' ~ '" ..~.. l ~ U\\.A t '\N -l ~ ~ .. ~'. .. r' I ~ ~~ "'1 .. .. ". ~, rl.. t" -0, tc "'-I ~J~ ~.r"'" J á+ (~ /\ l' '\~\~ .; -. l\ 0 .. C" !) ~t ~ '- ~ I' ~, -J L ~ .. \i -i \1 0" tv "t ~ ~ ~ .. '" "" .. t' -\~ .l r" l\ "" ~ ., "- Ti r-.. .ù ~ G" .. i ) -l ~~p ~ ().. 4 ,. \ '" .. " .: (( ci l" .: . .. ., ~ V' l 'il r: \I ~ VI V :i "" ": fJ ~O ~f: .,\ .c 0' \ ~ ~1: '- 20 Summary • Waves: phase fronts, phase velocity, wave packets, group velocity. • • Linear waves (vs. nonlinear) Surface gravity wave: - Velocity potential, Laplace’s Equation Assume top surface varies as η0cos(kx - ωt) Bernoulli’s Principle at surface No vertical flow at bottom Partition between Kinetic Potential Energy 21 ...
View Full Document

This document was uploaded on 10/18/2011.

Ask a homework question - tutors are online