Lecture-17_(11-4-10)

Lecture-17_(11-4-10) - APPH 4200 Physics of Fluids Internal...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: APPH 4200 Physics of Fluids Internal Gravity Waves (Ch. 7) November 4, 2010 1.! ! Review of Surface Gravity Waves 2.! Linear gravity waves within a continuously stratified fluid (Buoyancy!) 1 Ripples 2 ~ ~ to ~ J ~ ~ r. ~ .J \ù 'I rt oJ ,J \: ~ ~ ~ \u Wave Equation ~ -. 4 E J 'l ~ () +l ~ ~ lI '\ l., .. '- \. l -0 ~ ) \- ;i 'tl ~ N ,~ ,~ ~ ~ ~ f? 'ij ~ '(l v ~ 11 ~ i. "" l .... ~ ~ ~ .. 'u ( ~ ~ 0 '" "- ~ J V\ ~ .. Q ') .. u. 't ) ~ ~ " ~ ~ .. 0 .. c. ~ Q t ., " .. \. \l ~ " '\ l- 0 J ii J t\ ~r ~ "" t" C' \. () tl X C\ ~((' tv Vi \J ~ "" lJ :? l; . ~ ~ \/ l \c u "- ~ t ( J t.l i- "' , tc: l J t ) '.I ~ VI \: l. A . 4-l~ (V 'k t" r\ ,. tJ *t ~ i- 3 ~\~ t) C\ (4 it ~ Q r ). ~ ": l/ ~ ~ I- ~ t ~ \U ~ C' '.. ~ l ~ i ~ ~ ~ " 'c Va V\ ~ ( ~ '- Q \ ~ ~ \. ~ it ~ :t tJ \. ( .. "\ I, \) ( \. ~ ., ~ ). ~ \A ~ :) ~ ~ \ () '- 1 3 G \2 ~ l: i ~ \& ~ .~ l) i ~ ~ ct J Review: Surface Gravity Waves " r l- ~ ~ '.; u ~ 'IJ ~ ~ t " "; I: .. "" -i .t ~ ~" t \il "' i/ t; r ¿) ~ ,i i J ~ ~ '" 't t, ~ f: ~ - 'l .. J: 'I " " .. " ~ ? t l~ ~ 't t.. .. V Q .. \J ~ " ~ D II I) IJ '- 1 o i.. t r; -Q ~ ~ .. 0. ., l .. ct V\ W ~ Q .. ") .. li (V ~ C\ t. \,V\ o ~ Q ~ i ~ ) ~ . fa , 'U " ~ II t" .. f. II 10 t "' \J ~ ~ '.. i .. " '" ~ ~r4 l-~ ~ -. '\ t" \ Cl '" 4 t '0 ~ -0 .. ~ II ~ ~ .. 1: V\ ~ , h .. ~ ~ '- ).. i~ o ~~ t- ~ \~ ~ ~ ~ ~t.u ~ .. ~ -t :l j ..\o . .. ~ l " ~ t ~ . '\ ~~ (l D Ii l~ . ~ Q \. ~" ~ .. '"' ~ f 'Q \" ~ " . "' .. \ ~ ¿ "'li ~~ ~ - Q ~~ ~ :t ~ VI ~ " -i \. "1 lJ , ~ Vt ii f: 'l t Cb '1 ~ ( t) -. t ~ ,y a ~ 'd 'J .. ~ ~ .! ~ ~~ ') -. 'l ti' ~ \: ~~ ~( ). ') .. "~ .." ~ I a: ~ ~ ,." ~' \1,1 ~ , ~. "' ~ '- I~ t .J 4 ') ~ o h '+ Ii '\ ~ " t "" ~ tv , ~ " 1ì (t i; I' r. ~ Q I, \f ~~ .. ~ ~ ~ ii~ ~ -r it :) " ~ Q l ~ '. .. ~ .z '0 ~ V\ 4 ~ tt f 14 U o -l .J ct u. ~ .. V\ \J tl \) .. \0 Õt C( J~ ". l. .. .. ¡.v. ~ ). l a~~t tc 40 0 t '3 ~ VI .. .. 4 ~~~! ~ L "" ~ IL CJ Ii ci ": ~ .. J \I VI c: . 41 . _ ~ t i " 1 .. ~ ~~ ~~ 'u \I l ') ~ "('c ~l~~ , .. 't l' ~ ~ 'E , ~ (. ~ . 'l \( ~.. It l~ 1 l- I:. " . , ~ I~ \, \4 ~ . ~~;'~ ~ tv ~ VI 'Q \L e¡ 'òF- Q " ~ .. Ç) u. " ~ l ~ ~' ( ~ r: r ~ ~ v ~ ~~ l ~ .. I. ~ .. ~'w ~ ~ ij i ~ '\.; VI ~ ~ ct ~ .. ~ ~ ~ ')..:.0 i t.(Ír w 9", r I ": ~ .3 .. .. 4: ~~ ~ 4 ~ ~ ~ ~ i.E ~ ~ 1 ~ ~ ~ .. i~ 3.. i ~ ~ ~ ll .~ "'c ìi. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ .- i L. !~~~ ~ l" q\ '0 ') "" , tl ~~~âtJ ". '- t ~ '- $ J,oi.~"2 ~. , ~ (\ I: .. ~ l -- . . '0 ~ \) ~ ~ .. ". ~ J .. ~ " E. \.' '- \, \. \ \ , \ .. ~-~ iI. "r '" ~ \ 1' -e .. l ~,.~,. 1. q 1 o d (t l t .. ": Va ~ ~ ~ ~ ct t ) '~ t. F \. "" ltJ ) Surface Gravity Wave: The Equations Cb ). \c .J "; ". 0 l/ ~ 1\ ~ ~ ~. ~i tv ~ ') ,. J ~4 (. Surface Gravity Wave 5 r I~ ~ t' ~ ~r . v ct \L '\ l, i ~ 'l 1U ~ 0 0. ..I, w i: 1- "" 1 \U "" 'u Lt Cl ~ \U ~ Vt \l 'U q c: l . ~ .. oy 0 ~ "' r .. c: - ... b l-: ~ 1t ~ L) . t) Q I, " iI ox 0f 4: ~ ~ .. .. \' ~i- ). t v '0 .. ~ II ~~ ~ ~ 'i 0 Il )( l"j ~ .J .. . 1: l. ') .. \- ~ tO' C: . . ci l -- .l i "" ,. ~ ?' trJ ~ ~ .. i " ;: ~ ii '0 II "" ~ t I.. ët \I ~ ~ \L V 'w ' t ~ t' ~ "l. II r 't " ,. \ j.' "- '+ .. cu \U . , . 'u \J t '4 , rf (" C' i- ': ,. (" ~ t ~\~ QI~ + ~ -:~ + \, t1 Cl ~i.. ~(~ C' C1 1i 0 .. \J \ '" a tJ 'l ~ \l i .. l" '( .. ll \U ~ ~ a ~~~ ... .. i " \ .. ~ 'J .. .. .. i .. 1 ~ a 'i ). .. .. ~ 0 \I .. V' ") l 0 + ~ - 'l ~ ct I- (.. ~ . ~ - b ci 7 1 \I ~ " t H 0. l~ '. (~ " t) ~ \ ~ ~ :: .fl l " t.. )( o I~ -)~ V I '- l; 0' t) i II 1': . I () '" .. I'J '- i' \ '" r( l' l1 (3 r- \\ -' '0 ' ., l~ ~ . .. ~ ") ct \. ~ r 1I f\ ~ -. \. -, ~\o. I b I" r4 ~ .. .. + J :s "" '" (" ~ "' b q.\~ , \. r' ~ ~ :-'" '- + ~ ~\.u (" i) L '?\ C' ~ "J () ~ J~ \~ .. ~ if ~ ~ 'U \~ 6 ~ ) ~ ') 4- 1 ~ -i . "' ~ '11 ~ J r 1M ~ J ). .. ~ ~ t ~ .. ~ ~ ~ "'. ~~ -- '" . ~ 1= r: ~ ~ è .; .J ~ oJ t ~ of , VI ~ II kl + 'tt ~ ,-~ ri ~ ~\~ ~ (.. + "0 1~ tl \I -~ 1\ \) '" ~\~ n ~ "' ~ I~ ~ ") r'~ \f' ti ~ ~ t ~ ~~ u .. F (.1 ~ \. t\ v \~ '" + 0~ Q" ''',' \4 ~ l- t" ~ ,,_ .c ~ 1- ~ t' ~\~ 4- .. ~ ~ C' t" ~ ~., ~\i"O t " ::fl " ~ rl ~\ r. Ii II ~ ~, ~l ~ r: ~ .. ,q ". () ~ ~ ~ ~ "' ': .. \ l1 'a. 1l ~ ,. +- C' t) II ~G .. ~ ) ~ j tJ:: t 'l \I ~~ J.l 7: -l .3 x i l . ., ~-. 9 ~ , f ? tJ ~ '" le L l :i 3 ~ (g i=, i ~ 1 '0 ~ .. 0 è t' t ~ J ct ~ J iJ l '1 0 i1 le \L. W 0 ~ ~ '" '" '" ~ ~ J i( i ~ \. 1 .. Vl "" .~ ., .l ~ t ~ 0 ~ "l ~ I J ~ ~ fJ '" ~ ~ ~ W ~ " C' (\ ~\4i I) " - --~ , (J u aO ,. \ ~ '" CJ " ~ ~ ~ r\ ~\ (l \t ~ t' ~\.L .. . F '" ~ '" , J fa .. ~ '- ,. ~o \. '" ~ Plane Wave Solution l/ .. .. 0 l t c: ~ /' ß ~ ~ "' , .. f rl lI q, 'i \l C' " ~\~ ) .. . '0 (r ') ~ . "l ~ f\ ~ ~ rJ~ 4-f NI . \, .. .. (\ ~ .s '- i () __ t u" ': -I .\ II ~ .t __ rt d ,. + t. '- .~ \J + .t ",~ tt ' ~ .. +~ ii h tJ '- , ,. l; .. ~ '- .. 40 'i ~~ r ~ \\ .. ("" .. - n \ "" ..\ ~ C' ~ .. ~ ' q, -4 1 ~ .. va I' " ~ '4 ~ '\ .. .. ., ( i. C- C' (i + (\ (' N (Wn ~ "'C ~ ll ~ ~ \0 y: 'S- .i u \. ~ î ~ tU .. o, t( \I ct ~ (! Review Waves (Small Amplitude) Linear 7 8 () ~ c: ft I tJ fi ,+ (J'" tJ - "II "' .. o -t ~ N .3 ., ,rl '" - ~ t. '- 3 .J ~ .. ~ .. ': L ~ ø ~ l.. l ,. C' C\ c: \ .l o .. .. - "' ~ .. i\~ 't ~ t.rJ ii v.. \~ -. o " .. c: t I 11 tJ '.. -t' l .. I~ q~ f"" ~ ~ I' ~~ ci J t: " /' , ~ lV ." "c: '\ \. ~ .l s g\~ u cr\~ ~ rl ~ t t~ v, ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~) 0. oJ \A a ~~ i a: '" \A · ~ -- ~ 'l ij ~ .L , (y tV , .. ~ ~ ~ ~~0 \~ · · .. ~ i: '" o n ~ ~3 ii "-L l. _ tJ ~ cO GI ( t .. ( .. o ~ !. ~ Ie .. 'l ') ~t ~ '- :\ t \A .. t- ~ i ~ .. (~ ! IA t~l ~ ~ i: .. ll l~ )~~ u .. " '\ L ") .i Q .J Q \Q (': ¡ f i .I .. J IV \1 :i " .J ~ i~ v. -3 t '" \: t" oi " ~ , i f ~ ~ .. .. J' ci Review E) ~ l i": ~ v ~ . r: ~ ~ \j ~ t ~ J: \J ¿ .. ~ Q '" ~ ~ .. ~ ~ O oJ ~ rI 0 ,i -I t' .J II QJ .. ~ ~ ,. ~ .. r\ ~ '" J 31~ ~ Ii ~ ~ Q ~ -- .. -~ w 1 ta ~ .. .. () ': 3 \- ~(' " Cl i ~ ~ ~ '- 1 , t. ~ u !~ '~ ~ l '\\ .. - .. ~ ~~ Finding the Velocity Potential \C ... 't ~ i '! \U ~ t: \ .. ~ I tV ,V i i ~ '" ~ .. ~ -l qJ "" I If ~ .. ~ ~ ,. ,. f "' .. '9. re iJ .1 - ~ ~ ~ '\ ~ J~ ~L ~ 0 vt ~ ~ ri ~ /' "V .. .. ~ (. - \ ,r -" .. -4 tl '- ~ 'l ,. l ) ~. " -i I q .. ~~ I ~ VJ 1 ~ '\ + I~ ~ .. tl '.q j~ ~ ii~ ~ ~ U . ..,... 'C " -i ~ i' v, .. ~ ~ ~ i J ~ /' ,.. .. ,. /" '- -C J\-( v, "- ~ -r ~ ~~ -i "' () ~ ~ ~ \J ~ - ( Review Solution (cont.) 9 10 e ~ ~ ~ ~ \J V) ~ ~ ~ \l -l '- i .. j . ~ Surface Gravity Waves (Cont.) .. . J t'¡ ~ ~ \l t .. 0 .J ~ J ~ ~ .. J ). i. ) ~ ~ \! It \J ~ 'l ~ ~ (j J Ii .l ~ .. .£ ,. ~ g f ~ -r ~~ ~ ti .. '- ~ ~ ''- .. J: .. c: ': () ~ .. .. \ Q. ~ 1 :\ " ,J ..~ l'" f 1; Qj ~ ,. V\ ~~ ~ ~ t\ 'l. l- ~ ~ ~ ~ ~ , J' l '" ~ It ~ i\ ~ \y \. ~ tt ~J F '\ .u \l ~ " ~ ). .. '" ~" ~~ t. l.! \1 \ .. .. \ \l i h j ~ r .. D ~ ~ f ~ .. -c ~ ~ ~ ~~ .. ~ -C ~~ ~ i-~ ,. J \1 Q l1~ . .. (~ ~ '- ~ ~ i. ~ '" v - ~ ~ V) 0 '" c; ~ ~ "; ~ ~ 'i ~ ~ ~ \l ) ~ \1 ""I" ~ ti ~ ~ " l~ ~ "" .~ .. ~ #~ 'e ~ ~ I ~ r fl ri ~ (.I .. ~ ,. ~ .. ~( .. "' ~ ~, -/~ l( t: () .J l~ ~1 J'~ t il .o ~ ~o tJ ,r\ '"+ ~ Jl~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ -" tJ ~ 'J ~ '"- ~ (" .l ~ ''- '\ .t rP .. ~ ~ ~ 11 Streamlines 12 Pathlines 13 Wave Motion http://faculty.gvsu.edu/videticp/waves.htm 14 ~ 1I JI~ lJ ~ i. ') ¡. .. ~ ." ~ ~~ "" ~ .. Q~ , ~t ¡ l. ~ -i Q\ It "'~ lJ J .. i' J i "I V' ~ /" 'l J i 'I ~ '" ~ .. V? /' ~ Ii + - () ~ J\~ "- ~ 4 t( ~ t( f" ~") ~ ~~~ \ \. \. , \. \ \. tt¡ , I' f\ -\~ (( ~ '" :: - \:J .. -- ~ i '0 .. u. ~~ ;L ", "0 i: ~ \ )i 11 6ù ~t ( 0' 15 ., (8 ~ ~ ~ 0 \Y UJ t\ J t ~ ~ '- ~ Deep Water (kh →") ~ r '0 ~ V' q: .. .. ~ Q ) .J ~ ~ ~ \. .. Shallow Water (kh → 0) Review L~~ l J\~ (l .. t ~ ~ .J I -: ~ ~~ cl \J \l i: _t a~ i \f (C ~ ~ N r ~ t: " 0 r' V ~ ti -l "" I ~ L" l.. i' r l J oJ "\ ~ ''l ~ ~ 0 3\~ ~0 J\~ rI '" ~ .. ~ ~ /" /" ~ \J ~ .A ~ .. ~~ .. '- i ~ '\ ", ( '- ,. ~ ~ ~ ~ lr ') ~ ::~. (( J\~ ~ '- ~ ~ l( r 4ø .. rl )\.. .- ') '- ~ -i ~ i; .. r; Q J. o~ -- ~ ~ I.. 0 lf ,( ~ ,. "" ~.. ~ i 1 ~ a \J "" ~ 'U ~ VI ~ Y\ c: l! '. l. ca t ¡; ~ ~ f: '- ~ . . . t. ! I\ ~ 9 CL .. :J :: -- _ -\-¡ , . Review 16 ~ ~ \r F= Ui ~ ~ 'U ~ q: 3 i- 0\ ~ a. Q ". r ~~ l- ~ .c :: "ii ~1 '-( v '" N ~. '- Q. " \t -\ N~ ti ; 'i. ~ ~ le ~ If ~ /' J i "l ~ "" ~ IV r- l: '0 t\c( " "" '- () fl N L _0 ~ -- ~ -\ l" '- ll ~ ~ I. ~ t1 '" ~ L 11 ': ' f:~i: f'"' ,,~ _ ~'iL ~ n. ~ ~/' ' i. ~~I~ W'l "I~", ~ ~\ci ~ i " \1 ~ ~:: \r ~() ,c~~ (¡ \1 ). -U ~ ~ LU \J \~ '" 1. ~ ~ cì '" "; .. a: ~ 1 .. \À /': ,. .. .. rr ,. ~ (. .. ~ -l ~ " . lJ -1 ,. () G" ~\~ fV ~ U\\.A t '\N ~ ' l" ~~ I' 0 4I .. ~ \r ~ ..'l~~r' ~ '" ..~.. l .. .. r' I ~ ~~ "'1 .. .. ~'. rl.. t" -0, tc "'-I ~J~ ~.r"'" J á+ (~ /\ l' '\~\~ ~ .; -. l\ 0 , ". C" !) ~t ~ '- ~ I' ~, -J L ~ tv .. \i -i \1 0" (( l" .: ci V' . .. ., ~ :i l 'il r: "t ~ ~ ~ .. '" "" .. t' -\~ .l r" l\ "" ~ ., "- Ti r-.. .ù ~ G" .. i ) -l ~~p ~ ,. \ '" .. ().. 4 \I ~ VI V .,\ .c 0' .: " ": fJ ~O ~f: "" \ ~ ~1: '- Review Wave Energetics 17 ~ .Q ~ .. ~~ t \A ( .. ~ \I ~ ~ l: \L t .. Gravity Waves in a Continuously Stratified Fluid ~ i' ": "~ ~ 1 .. q t \. ~~ ~~ ~ 0 3l Q q. -\~ i l~ fl b\~ aQ 'l ~~~ Q~ "J ~ t: VI ~ ~ .. '0 ~ -i I. i. l~ ') .~ .; \l () 0. \ v + l~ () . c. \1 ~ v ~~ ~~ t ~~ ~ ~ w ~ ~ .. l '0 ~ ~ II tJ l~ l ~ ~ \, ~ ~ r ') ~ :t Q ~ t 0i' "tJJ l- \l 1~ ¡l (. ~ \9 .. ~ v rL :J - .. l( ~ '-.. a. " ~". ~ \. ~ ~ .. 1- ct /' l 1\ "" " ~ ~ ~ (u .. ~ ') t, '- ~ " ~ Q c.~ " ~ - \0 Ii i " 1 ~ r( ~ ). ~ .0 J .. ~~.. -~ ": .. " 0... l. 0. ': \. 0- (~ ~ \l ") \U QS ": q; l- I~ ~~ '- ~ ~- ~- ~ 't ~ II ~ ~() +- J ~ '" .. \l, ~ L ~ ~ ~ ~ ~ j &. \ 1 " 'Q , ~ ~ t ~ CV ~ :) -. ~ 1 ~ "" L "" . '" Q. ~ t ~ L (f 11 ~ ~~ ~ ~ i ). v \U ~ '" ,~ ~~ .. i ., ~~ I~ ~t .. .. i ~ '1. ~ i\I - "" ~~ \t: 0 ~ VI ~ * ;: ~ ). ~ ': J "~ \t ~ .3 .. ;i 0 ~ ) 18 ~ ) oJ ~ ~ -- - t ~ j w ( \) h tI l- -S C) + .J\ .y . ~ l:s \i \) ~ (1 J ci l) Linearized Gravity Waves a.-i rI C' t' , \) I ~ II ") '" , ( '" '0/ l ~ ~ l~ ~ I~l...~q, ~i t ~ ! ct ~ ~ S~4S ~ \ Q II C" t" ~I~ q "l t ~ 1 ~ \I Vl - ~ \! "' '" .. ;Q oJ D ~ ~\~ \" C" i- . ~ r: ¡: ") C 11 t" ~ 1- ~~ çfltf ~~~j l -- c.-i ') f1 (\ I " ti~ ~\~ tt ~~ íî Q. D i Q. l~ li J~ i 4J ¿J Q ~ r ~ l' I. ~ ( ~ C4 ~ ': .. ~ ~ ': ~ 'j .. ::.. '- ti .. ~ ,. ,I Q¿ \V .. .. ct ~ ~ o \I ~-. L/ ~ l ') J '-"" , .. I ~ oj "' Q i '" ~ \q ) ,~ \ l. 'l l t ~rl \ ~ L )( l~ ~t ~' .. iJ \ ., (~ ~ VJ ~ J ,~ ~ 3 i ~ , ~ ~ vt ~ \ ~~ ~ ~~ 19 ~ t~ I" " q .J J i ~ i: J j , l~ ~ to ( l ~ ~ r: ;) ~ ct \I ll ) \ ) \c: ~ ¿ ct Plane-Wave Equations for Complex Wave Amplitude II o ::t\ ~tl + ~ ~~ l () II 51 t\ a. - "" ~ i . '" \J ~ i Ie ": rl ~ J .~ \ 1ì ci(ô Q. - "" i \) i a: II ,. N c1 + -:\~ ti (\ ~ ~, ~ \11 ~ a. - ~ I , "" i' ~ 't ~ J .~ , ~ I ~-\.. t\ ~ II ': \c\ C'~ .. Q2 lJ \1 ~1: f' ~ -\ ~ J .~ \ 1ì .. Q ~) Cl r6 "' ': ft .. (" (\ Q. l .. ": rl ~ ,& ~r~ ~ ~ ~~ J .. .. ( r ~ \l" : t' rt .; "'I J rl ~~ (. .~ 1 I. ? F :: ~~ J~ lU i l (t .~ , ( ci\t\ ~ rl ri ~ 1.1 , . "" II ~- ~ , .. t .. ,-' ~ , .. v ~ 'C ~ Vl - () - 1: .. u ~ l3 tl ,¿ ~I~ C' f) \pl~ \J .. 1. '" ~i i 't ~ \u ~ 'Û \T \~ c- 't1 Q!l lN "" C)Q¡ ~Æ ~ .. N\ -~ ~ i -: ~ II , 3 '- f' ti I ~~., '" ti -- II ~ 0' \ oJ ;Li~ -I (J ~ ~ .. n rl ~,t\ II l- oJ ~i~ ': x Q. 0 ji~ u e-- 20 ~ .. .Q ~ ~ Q "' t3 ~~ , ~ .(. :s 0 -' "' q. V' l) .. ') ~ .. 0 tL ~l t .. ì. l: r: , .. IL t fU oJ Dispersion Relation for Internal Gravity Wave .. Q ') ii ,3 it ~ ~ \I I~ " ~ ~ r l: ) t ~ ~ ie L 4 ~ "t .. 'C ~ '\ " - "" ~ ; "" .. (\ lJ ") N tY l~ ~lf 6~. .. . ~ 'r~.'4' rJ ~ t: C' c- ~ ~ ~+ ~ N (I ~ t" J \; ~ tv 0 ~ r. i: ~ \, '-. \I , ~ 1 ~ '" ,. ~ " " Q ') ~ I~ ~ , \\ C; ~ ~ qo t\ "" .. '" ~ \) ~ \ ~ t(i ~ )0 '~ 4 t~ ~ Q ~ \) ~ 'n 1: )l "' t :) ~ "' \~ ~ ~ ., , L 1~ .~ E rt Q ~~ , "; ~( ~ " ~ J t~ " ~~ I: 0 '; Q ~ ~ (\ co ~ ,. " :J '" ~, )'~ , '" h i (.0 \1 )i I .. ii . .. 'X,. ~ ") t; 21 ~ c( f~ u. .~ ~ ~ F "' ~ ~ .. '0 1~ ~ :) 1 Properties of Internal Gravity Wave r- ". II :: \) ~ -. .. ll ~ \) ~ ~ .. ~\ 'l ~ :r r' rJ~ ~ " \I . t" " ~ 'l "\ ~ \U ~ 'U " ~ ~ ~ .. 1 "' ~ J oO t- r-~ 1 ~~...~) +~t I I ~ .. ~oI rI~l~ ., ~~ ~ t .~ u 1'3 x ~ tn ~ '' i~ )( ~ *' ~ f ~ .. \l tA ~ '- te 1 ~, ~~ ~ll + l . ~ "0 "\ U. ~" "; ~~ v .. ~ .. .. rt ~ G ~ .. ~~ .~ )( ~ u n ~ l (~ ") .. \i qi i~ l '" Q. ~ F ~ '(l \l ~ ~ ~ ~' a ~~ 1\ ~ 11 1:J . b ~ *- ~ 22 ~ (t ~ el . )- ,,. II J~ '1 \t l .. v " r: ~ .. Q t Ii ~.. .l '" ~ 3 \.. ~ ot ~'" t v .. ~ \J 3 \~ U \1 '- '- ~ ~ "" ~ ")~ ('~ ~ " ") +~ "" ~ ~", l " \¿ ~ ~¡~ ~ ~~ tl Az N Y. :J rI .¡ ~ ~ ., tv ,. ~ rJ c= (I ~ \V .3 'li J " .. t '\ .. 'Ii ~ '(Nt '* ,, I ~ t'~ t\ ~ ,. ~ ~l~ I~~ I~' '\ Ii t\ ¡ ": 'n . (~ ~ \1 t: '" ~ ~~ ~~ ') ~~ J" 3~ ~ ,\ ~ ~ -i .. ~ ~ " -'.. , ~ -. ~ 'N tI " ~ ~\~ t! S (~ l ~~ ~k ~)( II fb(L " \: ". + 3 \ ~.. ~ t" (. ') \J ~~ "" ,. (~ ~~ ~l~'\ J\~tl ~(~ a l) q" "5 ~ ~ v~ ~ c. J .. () I.. .. v t ~ ~ l~ ~ ~ Group Velocity/Phase Velocity 23 Measurement of Internal Waves 24 ~ ') '" \C ~ :l l. ~ :s b 0. i , G" ~~ ii (' n 1 ,. - o 1- a. l D l~ i l~ . 1': ~ti r" - :: tf \:s X .~.. l~ ~ . b \ ~ -: ~ Q. ~ \ \, ~ i. ~ ,\r~\.. ~~t~ J ~ ~~ ~ '\ ~ ~ ~~f j Jot ~ r' rl ~l q ~ r. Cb ~\~ ( ., -: ~ i- '" ~ '" ~ u N .. Q. .. ~ ~ N \r \,.~ lt i, .. ~ lU . .. . .- r- -\ $\ t ~~ v .. tr ~~ (\~~-l ~ I' " ~ ~ ~~\~~~ ts 0 \ t) 7: ~ l\ ~ ~l~ II ~ '" l\ , ). \ ~ ¡: ~ \J '" .£ lJ t. ~ ') \! to ~ (t J l \1 .. . 't ,.: ~ a: J JE J\ - :) .. W ~ ~ .J :c ~ \tl ~ .: -i "" "ct(: ~~ ':1 \ 1- Wave Energy Density ~ '1 ~ o tl C1 t' \..~\'Ñ C" 'l ~\ t' I l \l V) .~ )j \~ "" ~ ~ ~ ~ -1° ) (l "~ 1~ l llI 'ù l I, i, ~~ ~ 'i .. C) .. "" ( 'l i, ': ~ l.. d ~\"' C' C\ ~ f' ( 1\ Q. "Ì '\ t' \ (\ .. . ~ \1 ~ ~ ~ ~ 25 ~ \. '" \C V\ :r .. ~ - ~ .. ( · i: \J \.1 ~ ~ Wave Kinetic Energy Density (' , ).. t ~ I.Q Q li "" ~ lI '00 ") ~ .c \J ~ ~ +- f' ~ -l r" .l UJ L Jr .. \) l\ I . "' ~ .. ~ () "s~ ii .n (' V ~~ .. ~ 0.1 ~ Ii I . "" Jrv~~ .l ~ ri~ J C" (\ ~l~ ~ft - .. t\ O:(1J ~ (\ + ~,. C'\,\~n II 'i .. l C\ -: l- ~rL "" - L -i i. Q U. ~ '0 ~ ~ "" -~ ~ ti -i~ ci 0 ~ ~ ,. rl :: i .. ~ ~ ~ ~,~ '- '~ ~ i: \J 'l " ~ r: \I .. i ~ \1 t :r J N "" ~ '" II .. "' ;. '- ~ ..i' 'I J ~ .0 ~ CO tv "" Ie \U 1 .. ~ 4N ~ L -- .l ( ~~,. ~ L ,.~ (: J~ f\ i- ., '- '" 0 '" .. -, "". .. t.cl tl "'~¡ tv "'~ ~ ~ tv -" i" lc 26 ~ Q. .. ~ rl ~"" 1- Q. , ~ )( ~ 11 tl - \~ (I '" .3 ~ ~ 14 ,~ ). \r 'l ': ~~ \\ Wave Energy Flux ~ ,. l' rt ~ ,. ~ N -- G" #' c; J~ ~-l~ ~ ~I=t J I ~$: fil ~~.. ~ JI .. ~ (~ I ~ ') ~ '"' ~ '" P) ~ ~ll' fi I': t- '; 0 tI / :: \i --. -\ ~ ~ .. ~~ t l- t( tL (I . ~'\ :: "'3 i Me( :: ~ 31').. I'" ~ iN ~ tD ~ "' I ~ tv ~.. tI f' """ tV _I C\O (~ Q. ~ "Ii .. ~O ~ 1 ~ "' t~ ~~ rJ t\ ~~ ~ f\ ,. ~ ~.. L1 '- 'l l~- "("" ,- "'.. "" cl j. .. II 'I Q.' l~ .. c: fC cc It :s f: ~ r- ~ ~~ ~ ¡ i :;If lI ~ ~ ~ l ~ 0-- Jl~ Jl~ ~ ~.i~ ~~(V ~ -. ~ i. .- '" rt ~ ') ~,. ~i~ G. Q J \-l I' '" ~ ~o .)\~ .. ~t') E= 27 ~ .p Q. - ¡ lr G.-I ~ \T ~ ~ N '" t1 ~ tV. I 0" -: rl ~I'Ñ ~I'" r- Q r- C' ,I ". N r" (V~ (\ :: I 'i ~ ~ ~O ~ it ~ ~ ~ -- &i Ii :$ '1 b -7 \. \. \. " \1 ~ \\ \. \, q . ç: ~ t ~ ~ .: .3 ~ L " What about a bounded fluid? l( ~ '- (' (' ~ "'i.i ('l~ ~ It i ~ ,L ::1 C\ ~~ ~ -;"'i di ~ t1 "-(l rliö .0 ('\~ '-~ '- N ,. .J tJ ~ N 1'1 (l \(\ (' l\ "' t1 , Q ~ ': I ') C) ~ r: co ~i (\ 'N (' ~\~ .. (V (\ r& l" ". (\ ~ ~"\c' .. (l i 'f .. r-~ (1 ,. \- '- J J ,c I. b- '- .r ~ 0 (ii~ ~I.L I ~~ II ~ it Q \. cS ~0 "'(\ I (' o.J ~ N C1 (\ to -\ Cb ~ l': c: ~J .. "' '+ fl, 'I .. '~~ Q ~~ .. 0 .J 'll ~ ~ ~ a. (. \L ~ " ~ ii. '" ¡: ~ ~ S ') W ~ 'o .J t ~ I~ N C\ r: i ~ ~ li ~ ~\~ -l .. ,. J rw\ ~ ~Ô C" /, ~ Ci\t' I (" -1 ~ 28 Summary • Surface waves • Internal gravity wave described by: - Linearized fluid dynamical equations - Assume plane-wave solution: ! ! ∝ cos(kxx + kzz - ωt) - Buoyancy frequency, #b, is maximum frequency - Phase and group velocities perpendicular - Conservation of wave energy density 29 ...
View Full Document

This document was uploaded on 10/18/2011.

Ask a homework question - tutors are online