Lecture-18_(11-16-10)

Lecture-18_(11-16-10) - APPH 4200 Physics of Fluids More...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: APPH 4200 Physics of Fluids More Fluid Waves (Ch. 7) November 16, 2010 1.! ! Phasors 2.! Surface Tension 3.! Capillary Waves 4.! Rayleigh-Taylor Instability 5.! Sound 6.! Organ Pipes 7.! HW 4 1 e "" ~ ¡ "" J (l ~, ~ \f ~ 'l ~ 'I ~J.J ! 1 ~~J l q: ~ Q, .. I.. ~.~ u. y. .. '- ~ r vi ~ .. '- 'X ) +i ~ /' VI r. Plane Waves T ,. ,. ¥ ... "- 't Ii "I I- \I i '4 J Q t :i i' (\ 1: '- ~ 1 , ta v '" \l ') ", '" v ~ t \) '" (j 0 '" '" ei t ~ \i ~ i \i ~ .t i 'c il t ~ ,. ~ t \c ~ .ø L - :r ..'J \Q ~ 0 \1 ~ ~ ~ t " \l .. (J i ,'" i ~ t \l S- v: '- "" '" Ul ' ;\~ ~ tJ~ ~ \. ii ~ \& .. " é ~ .. .. "Q l ~ cY\~ \t1 \1 ~ " ). u \ 'l ') Q \A ù: .. t u .. Q .) i4 '4 ~ ct \1 tj 2 ~ w oJ ~ ~ -- - t ~ j ) ( \) h tI l- l) .J\ .y a.-i rI C' t' , \) ~ I II '" '0/ l ~ ~~i I~~ l~ ~ ") '" , ( t l... q, ~ ! ct ~ ~ S~4S ~ \ Q II \I C 11 t" ~ ~I~ 1- ~~ C" t" çfltf ~~~j l -- c.-i ') f1 (\ I " ti~ ~\~ tt ~~ íî Q. D i ~ q "l t ~ 1 ~ ¡: ") oJ ~ Vl ;Q D l~ r: i- . li \i l:s J~ i 4J ~\~ \" C" ~ \! "' '" - .. . ¿J Q ~ ~ Q. \) ~ (1 J ci + -S C) Linearized Gravity Waves r ~ I. ~ ( ~ C4 ~ .. ~ ': ~ ': l' ~ 'l oj ::.. 'j .. '- ti .. ~ ,. ,I Q¿ \V .. .. ct ~ ~ o \I ~-. L/ ~ l ') , "" J '- .. I ~ "' i ) '" ~ \q ,Q ~ \ l. l t ~rl \ ~ L )( l~ ~t ~' .. iJ \ ., (~ ~ VJ ~ ,~ J ~ 3 i , ~ ~ ~ vt ~ \ ~~ ~ ~~ 3 ~ t~ q .J I" " J i i: ~ J j ,l~ ~ to ( ~ l r: ;) ~ ~ \I ll ) ct ) \ \c: ~ ¿ ct Plane-Wave Equations for Complex Wave Amplitude o II ::t\ ~tl + ~ ~~ l () II 51 t\ N c1 a. "" . '" ~ i \J i ~ Ie ": rl ~ .~ J \ 1ì Q. - "" ci(ô i \) a: i ,. II + -:\~ ti (\ ~ ~, ~ \11 ~ a. - ~ , "" I i' ~ 't ~ J .~ , ~ ~-\.. t\ ~ I II ': \c\ C'~ .. Q2 lJ \1 ~1: f' ~ -\ ~ J .~ \ 1ì .. Q ~) Cl r6 "' ': ft .. (" (\ Q. l .. ": rl ~ ,& ~r~ ~ ~ ~~ J .. .. ( r ~ \l" : t' rt .; "'I J rl ~~ ~ , .. .. t ,-' ~ , .. v ~ 'C ~ Vl - (. .~ () 1: tl l3 ~ u .. - 1 I. ? F :: ~~ J~ lU i l (t .~ , ( ~ rl ri ci\t\ . "" ~ 1.1 , II ~- ,¿ ~I~ C' f) \pl~ \J .. '" 1. ~i i 't ~ \u ~ 'Û \T \~ c- 't1 Q!l lN "" C)Q¡ ~Æ ~ .. N\ -~ ~ i -: ~ II , '- f' 3 ti I ~~., '" ti -- II ~ - 0' \ oJ ;Li~ -I (J ~ ~ .. n rl ~,t\ II l- oJ ~i~ ': x Q. 0 ji~ u e-- 4 ~ ~ f .. "v ~ \\ 1I Q r :r ~ \) ~ Ii CD \1 \\ II r. () v' 1 ~ Cl ':r t; 0 ~ ~ 't /' 't "- li -irJ l/ r" l J ~ "\/ l" \) ~ t-~ \ ;: ~ \: (' ~Q U ~ ~ -J I '" ~ () "- r~ '- VI 0 '-- N If \D r+- 'i :) L x ~ \) 'V \. /' '\ i j '" ~ ~ C: \) ~ 1~ ~'t \l V\ _....- tJ .¡ c: cIl) c; ... ~ I~ ~ "" ~ -;rJ c. Il - 2$ ~ - ct -- ( "" '0 ~~~ 0 ~ ~ -- .. I J '+ /' \. ~ '- ~ '" l J ./ i' 1I Q i. -\ (' II ~ ~ " ~ ~ ~ ~ F QJ cr.. \l "" iC " j ~ \. ~ ~ 0 '- ~\~ f' ~ ~o '~o ~ \ " r:~o t' 'i \ ~ 0 ~ ~fv (C "" ~ 'i I -v ". j ~ ~(~ ~'J ~ '~ y. J ii ~ + -; \ J .. .. () 'J ~ "- ( .. ,J '.~ \ .. ' o. ~ \J \\ l ') lJ ~ ./ x ~ l -L ~ ~ " l \) IJ L ~\\ ~ 0- .. 'l j J \ 0 ~ \f ~ \. ~ "Î 'i ~ "- c: ~ \. ./ "- v- c: () ~ ~ ~~ Y. /" ~ '\ ~ Î \ ~ "- "" c' "\ \j 'U l \j Q l "' ~ '", ~ 1: D- ,,~ ,. . .. ~ "' J ". ~ (~ Phasors, Sine, Cosine 5 G ~ () -- en. ") q: \. ~ \J \u \- ~ il VJ ? .. v, l ~ t * c: :J Vi ~ tt "t -i ~ c ~ '- '- ~ .. O' 0 J ~ -Q C ~i¿ ~ .. ~ ~ r v -' ~ \, '': ~ tj 'i- ~it ('- l Q-= "Z CL J u \ 0- ~ (LV J \J \0 I Ct J L2 ~ -- 0çt 5 V ~\U ./ (.. t Surface Tension ~ * J ¡ ~ " ~ ~~ V\ l r- J ~ :? t lL "j ~ ~ J0 . \J 0 t ii li '- L J o Q. \y Ç) ~ ~~ ~ ü~ \J 't t~ c~ '- ~ '4 '" rj (j -\ ~ ~ ~ ''0' " 7.~ ~ N o .. ,Q~ Iò '- '- ~ 0 ~ \~ ~tt~ j l- li- ~ :t \W ~ L- 2- -lE!: ~ -- .. -t" ") 1 ~ i1 'Q ~ ~ () \P ~f t- ß- ~ \u ~ ~ tt ~~ ~ ~ (Jl ~ ~~t~t/ ~ 0 t~ ~~ Vì .l \L 6 ~ ~ l s y il '( ~ -. ~ ~ .~ ~ ~ ~ \; :J CL V) g ~ ,. t eJ ,"" i ~ l Example: Water Suspended in a Capillary Tube ~¡~ lJ ¡, '; ~l\ l ~ (L- "; r. Q. () ~ -£ ~ it If t ¡ l ~"~,j ,j :)1J t VJ ~ _J ~ _ ¡. J t t \6 T (J t. G . tl eV \1 \ c; \.1 -\~ c -- \i (1 0. Û. ~\~ \\ ~ a.t~ ¿~ ¡Ç- ~~\ (,- ~ V' l ~ ~ J- i J .. l u iiJ \J li J ~ ~ 0 L\ \. G , Cl Q: J rV '-\n ~ b- ~~ ~ "- II 00 /) 0 '0 Q ~ ll t- J~ ~ T r ~ tI 3.9 mm 7 8 N ~ :J q: ~ '- j).~ j j t ~ S \) .~ Gravity Waves with Surface Tension ./ -j J I 'j ~ l/ ~ 't) f: I l -. .. V) (J 1: ~ 0 '," \/ -, .. Z- ~ ~ \) ¡ ~ ~ 0 tL '\ J f if ¡I\ 'l ~ -. V' -i :i ~ "" , \J \I \i \i 't ~ ~ C¥ ~ \6 (\ &~ '" ~ r; 'J ~ (: ~ vi \L \l ~ C: \f ~ -\~ \i ¡C \' C' \Õ ~ \\ ~a'- "' '\ ." J .. .i \.. ) t J V ~- ~ '~ ': V- -~ 3 I 'j '( .. ~ \. .. ~ i J '~ y ~ 'i '- " S- () U s(\ \: . .J C2 ~ .( ') ~j b0 II ( :s ~ ~ 't ~ ~ VJ -+ ~ -l Çt f tI () 4 ' "" i ~ /J ~~ l ~'" V (' :: IN iCì ~ ., C" Cb 0 I¡ ct '¡ ~ ~ 0" i (' tõ \' ~ i "'" \:I~ II ~ .. \' \ \l l-l' ~ Cl () \) r- ~ ~~ " \ '1 iJ (C ~ ~\ "i \. \-. ~ 't ~ ~ VI '0 ~ oJ \c u. ~ ~ ~ J V\ ~ " -ì 8 G ~ i \1 ~ Q. "- '£ ~ ) t I: \J ~ ~ f'- -l ~ * ~ J "- u V rl ~ 0 ~ ~ r0 c- ~ -¡ \( ri ~\~ i, a c\ :s I, ~ ~ 1ì Cà \b '3 ) r\ 1\ ~\~ l:\ ~ \!I~ ~ (l ~ 'V I ~ ~ 1f 3 y- \I L ~ N~ ~ , \. '-i~ ~ ~ cr ~ '( (J I~ "' l- ~ ~ ": vi ~ l~ .0 ~ '1 l. q t a ~ J (j 1".. r, " \ II t¿ ;: () rt ~ '- t' ~ 'l a ~ Gravity/Capillary Wave ? () "- ? '\ ~t .J ~~ V1 Q 02 ~ ~ \91~ -t \J -. ~ \I (V ~ t~ :J ~ (i - & t, ~~~ \1 í\ 1\ ~ ( ~~ 0 ~ ~ F- ;t ~ J ~ 4:' ~ VI " "J J r t ~ () ~ '= \J\ ~ ljj N t: :J f' l\ r- r: t ~ (V~ '- \ ~ (' l\ \J -: l¡ ': -3 '-\ \. \A. ~ 0 p r -.j .. ~ t; -' - ~ ~ \. J t~ t- ~ r- '-1~ ~ \J \i t ~ M ~ lJ ~ 0 () ~ ~ J" -' )'" ' l 'l J~ r (' -: ~ \J Ç\ .( çt 9 2 ': v .. t ,J i \J ~ t .. " G -. ~ ~ Gravity/Capillary Dispersion c: \ ç \~ .~ . \'~ ~\ ~ ir ~_J ,~ J\~ __rv )- rl~ ~ .. __ '"' j -.' ( .? \\ \ \ ) ) J '" i "' (L tI j J\~ i ~\ 7t , ~v~ ! "- , \ ~Q ..~ i. - '- " '- ê' ~ \I ~~ ~ ~l~ \9i~ +- l" l~ (j C' 'J J\~ Ij ~~ ~ '- \ ~ + \j .J 10 .. .. l \t ~ ). \l .. ~ I~ \) J t ~ ~ ~ tI J " ~? Ç) ,. J -J lL ~ ~ .. -J i ~ ~ t 'P I J 'f ~ 0 V) ~ ~ lJ .. .. y: .. F- \S cy ~ 7 .3 )-- I.. v J '~ c: Gì \i \j .. ~ ~ Ii - ~ 3- l~ p ~ C'~ 'J lJ 0 ( r\ "( Â (' ~ ~ t -- ~ ~j "- ~ ., ct'" '- \. rL '- ~~ ~~ i 't J "- vO $ \f ~ "(: ~ I:: V IJ 1 Lt ~ ot J ~ " l ~ \) t .. \/ ~ Q Q V1 W ll; ~0 J ') l¡ e G: t ~ l~ j ) j LL ~ :J çl ., II . =t., ~ -- -. Q ~ 0 t ~ Heavy Fluid on Top of Light Fluid It I V\ ~ '\ ~ .. ~ l 'f f$ -P J .~ J () qJ ~ 0 r: J \) '+ -- 0 ti ~ ~ ~ ~ ~ Ii L ':\ Ï' \6 M- f: \ .l ê n (' ~ v ~ ~ ~ J \/ . .. i~ ~ -+¡ \) -3 t\ 3 C\ Ii ( ~ ~ f; \J -l .~ + t=~ \1 \ò ~ 'j\ -\ )"' J.. .. 'c; ~ VJ -- ~ 11 4 "' ~ L ~ IV " US t ~ j Q :-i ~ -~..."..: ~ y ') ;) æ Rayleigh-Taylor with Surface Tension ~ ~ ~ ~ ~ ~ çC ~ ~ ~ tJ)l N ri\\6 ~~ 1 to \\ f: \ -l ~d U 'Õ \ì ~~ ~\~ \ (' L '- I (Ç ~ \i ~ " ~ \I /" ~ ~" ~j u \ "" ~ l~ If ~ rj -- i ~~ (' J J-' , v' -- (J .J "t c: ~ ~ ~ ~ "' \. - ~ OJ (\ rv i tIC '-\~ V\ rv - ~ I4 r- \ ... ~ t l :J Jì "-- t ~ ~ V) ~ 't I~ ':t S tt~ k \J (\ \ì ~ (J -J (" \~ ~ -. -~ '- ( c- 12 § ~ VJ () 1 Sound ~ J .J IL ~ (¿ ') Q "' ) -i ~ "" ~ "- l. ~ J Q 1. 'J () C/ ~ (JJ c: 'J ø t~ ~ I:: J ~ cl u. ~ V' t .r l. .. ~ 1 " .. /- 't J â \. \) ~ ~ 't 0 Ii t) . .. ~~ \. ~ l( " ~ ~ l(, l 0 '- Q. ~ l * 1- .. ~ t + ~\ v ~ C' ) ~ '4 tL ~ ~ .. J v. - c: ~ i JJ L'j \ ~ Qn .. ~ ~ lL .c 2 I) i2: ì ~ ~ l11 -i ). ~ .J ;) ,J t ~ 0 '- ~ r -(.c ~ j ÇI L a V) v 'v (( \. ~. ~ ¡: ~ \t (~ t- '\ 't ~ II '\ 't v, l~ ¡. 1. '0 ~ U ~ ~ "" J Q. ~ ,. J "' ~ t ~ ~ ~ .. (u I .. 1: ~ , J v '- .J L, \J ) ~ .. I,L \. .~ 1 .. o " '- 't ( l~ ~ , i t- ~o '" lr ~ ~ ~ a. II ~ li Q- 0: /" q ~ "G- J l~ ~ i ~ ~ i. ( -- 13 ~ \JJ '- 'Ç ') ~ -J ~ - l (1 '- ê ¡ \\ J ") Linearized Sound Waves (J \) 1:5 . b ~ T \L ~ / - Ii b \V - c: rb ~ ç¿ Q. ) .. a (Õ v t J ~ lJ" 'ù Ç\ 11.. lU ~ lL '0 S ~ :) ø Vi ii tv ") tJ llj ~ ~ ~ Q\~ tç \: ì k .) ~ .. '~ )ø~ It ti ': \ VI iiJ (' "' o Q. \~ \I ni r: l~ (l \l_ - ~ ". t- a. \ Cçi n () (; /' c. "C- :i \'- ~ c:\ ~ r6 (i r: \I I :s ~ l.l t '" V) .- ") ~ t J ( Ç\ '~ ~ (1. _ ' ~~ ~ ...J \f ('! E -, ~ ~ iu ') iL.. ~ L~ '0 (~Q ll t "6 l ~ ~ ~ I.. ~ l1J ~.. ~ VI ~ ~ '- ii 1. .. t "" J ~ t J ~ VI ~~ ~ () ,:: ¿ () 1 \. .J ~ l¡ a: ~ Ç\ ~() ~~ t\ ~ I; \L (' ~ ~ \1 L :: ~ ~ Vi I: \/ ~ ~ ~ t- ~ ~ j) ~ 1-: II ~ ~ ~v \l VI (V V" ~ ~ ~/" ~ (I o.- \ -L \' ~ ~ ( II I:: rIJ (' \\ r~o lL 14 o What is the energy density of a sound wAve? w ¡- A' ! S. /ì ! F t-C/ '7 7' ,¿ E /V ç i -- "'ç r c C' ( I' '" '- ( fr S' ¿)J ",.0 ) EIVEII,'r OF rLC.Jt 0 + lf'U( pE f :: l' TH i£ Gl ~( J/ ! cH~(C Â c. I A. Î'S/ - AL ~ A. /£ S r r=". is 12 '9 '1 W l4 c.E t=A.I~ r OerJ ç (T -C - ,4J Lr t- A-u j £. tJEJUj r Pt S )"OC ( ""~ ,i IF c ('-(A-¿ C .~( ç/LE/ f r l. l "' - C N ;4A/e¡ IF S To I A-/'.-..L E )'¡£ ,.. f,A '-! VI a (' (- "t"..AC AL E --.J '5 '7 =- ,¡ Po U ~ ,i rtS~6C.(rA-r!J ~ (fl.. OSCl '-LA7/~'7 Cò~¡?ES;! fO,pv W ¡A i.n / ~ T1 "- vf ~p. 7 r i ~ i :1 (rpE)1 (p E) ~ Po r=o -+ i TH( ç ( 5 o ,-lJCITUo1 ¿~j: £_~.,'f P ;;P D ~ J P( ~ _J. '7 (p E) ) T';;f 2. fr I 5 c.~ /i IHr l Tll S t-( (. '- /' l- ~ "- A- ,4v' ~ 70 t-¿"" 0 () G¡. ~ l 1\ e) 6r-G'1 r - - Fa'1 I'"" 1\0 ( If i: "',( FL U ( 0" E ,vTlJoP1 ,5 r'¿)~G/t_7 OuVè' ~ ~ S OJr- os. U L LA-'?) --.I ;; (p E"') ftl'v0 dE:-PJV == ;Jr i 50 dl P E+f I :J '(1£) p -=-;l - :l L(f~) .; p ~l c2tJ.p L C.s / l 15 Q r J. N :: ~ '"i (' i- ~~ '- 'J (' '- ~ -\(\ lJ 1- ¡. .. 1 14 r: i~ .. :J ~ -~ ~' " \I "- ~VJ ~ ). v. C' :: -i I~ \l l~ ~ rl f\ ~ I:J\ .L U L D Q. lt Ci 0 ci\~ -l,. . ~~ ~ 'v 1~ ~ ~ (i. 4d Q ~ J. ~ ~ (1. l\. J 't j Q II \1 .i \t ~ ~ lJ ~ I. i v .. -. ,) , ~l: ~ l~ \. l t ~ '0 1- ~ t~ .( ~~ r: ~ .. lu ~ .. Q l I: ~ a u 1. '" ') â t- I. ~ I. ie lN ~ VI lJ ~ ~ '" ri I ~\V 'õ fb -: ~ çJ i Q t' )/.. ~ (' ~ rV (I ~ ~ '- (\ V) \1 '" ~ ~J ~ ~IJ ~ ~ ~ 0 V, \ :J ~ ~ C\ tI"U .J L 1\ '" ~ J S' l~ il ~ ì l. ') ~ ~~ -l ~ ~ If ~ ~ l. VI Sound Wave Energy Density ,. l~ .. ~ "Ii L ~ - -L C1\ ~ N ~ ~ ~ ~~ ~ Q.I~ -~~ f) ~ 0-\ tc\, ~ -lcQ l II . l~ ~ l) D ~ \~ .. t Cl J 'U tu ~ ~ ;n ì- Q (-4 l 'v .. ~ -I " ~ \i ~ ,~ (" VJ ~ Q. - -T ct ~ ~ 'J ~0 ~ (j -. \( -- ': ~ c. I~ -~ 0' ct\ t Jl~ N~ -. ~id \I ~(' '- ~ C" -tcV N .. ~ (\ v1 v \\ ~ ~ ~ .. V' .: 16 (2 Ç\ ~ ~ -U iLI ': lL 1; Ç) ) \J ~ ~ l. t ~ "- .. '" 1. l\ -- lU l- .. '- ~ .. "X .. ,. 'v Q. ~ '- ~ I J .. Close-up of Sound i:r D L ~ ti C- \ iJ C' . 'i ~ ~ '- lI iJ '" t. (V V' V\ ~ ~ 1 Y. ~ "' l J ~ .. .3 'l l ") ~ ~ '- VJ ~ Jl~ ',~ ~)~ 'li -- II ~ Cd ~ .. ''- '-i y ")' ':: r ~ )-i. l- ~ .. \J ~ :i r ~c~ 0. -a \, '" r t ~ :; ~ t V\ CI ~ I. 11 "'4)'" i ~ u. l ¡ 'Á ~ C; ~ 17 Q t~1 ~ ~ Q. -i Sound in a Pipe k "" ) ~ "" l ~ t~ w l~ ~ t, ~~ \n Vi ~ d: Y' I~ ., * ~ (I i -i C. fi .. 'k :J .. J ~ J Vi \ \t ~ '.. + 'J P 'P ) 0') \: J -J J "¡ \L \J N g ~ ~ (' Cl J lJ ~~ .l .. 3\~ II -. .. 'J ~ i: \).. ~~j \( \ 'j ~'" . I \) ~ ., l Q; ~~ . -, ~ +' G l C4 Ç\ y \J ~ J .C" U ( Il -0-\ -J r- "~ -' ~ 'V ~ ~\;! - 'ÇL ~ ~ \. ~~ '-. l ~ ~'\- ~ )J Ç\ ~ ~~ 'r; N :: '. "- ~ .. /" \¡ tu- ~ J "- ~t () ~)'t ') + ~ 'V ~? ~ () ~ '~ ú. \I 0 - ~ JW ~ 0') "t IN ') 't () q: J~ V" t- \.~ Q q: ~ il 1Z' ~ :: \. l~ ~ . '" :3 Ql5 ~ ~.. ~ ~~ 't ~ ~ j ~~ ~ ~¿: "- .. I. t '\. \L ~ '- t.'\ :: VI '; \0 -J Vì J l.. 18 ~ -- () -. ~ 0 1I .'\ .. .. l\ (.: \) lU ~ ~ (l ~ ~ ". ') v,. 'Cl t Ii 4J '- :: ::f; l¡ - V 1I .( t ~ \t\ ~ ~ ¡ '" lc ~, ~ '¡ -- ~ "' ~ VI ft ¿ U :t .. V' .( ~ '" ~ ~ ~ \J .. ~ "' lc: Matching Tube Boundaries -i ~ . -~ .. . 'ì ~ () H \) tl (J - ~ ."' -i ~ '+ Q ~ .. 4 ~ ~ l' \J .. ~ .. ~ re -i ~ II N v ~ .. l .. ~ '" ".~ \ ,. .. ¡ ~ ~ . 'î ~ + ~~ .. 'J "" -+.. l: ~ u. .. ~ ./ i .. ') '- '& 4 ~ l. 'U '- "- ~ '" ~ i. .. .J ~ \l J ~ 't \ J \J ~ V) '\ i ì ~ S\ 1- l S ~ l,~ ~ ./ -1 Vl 0 ~ c: '- \. .. 0 \: iv ~~ .. ~ V" u .. ~ Le: -: \~ L- lj '0 ... 4: ~ - ~ ': ct "- .. l. .. II ~ l. d: 'Á t- l.~ LL :0 "' 11 \~ :! ~ -- \ -. ~ rb ~ l\ \~ :J ~ o VI .., ~ '') vi ~ \W ~ - V' ~ 19 HW 1: Ch 7, Prob 1 20 HW 2: Ch 7, Prob 2 21 HW 3: Ch 7, Prob 4 22 Summary • Surface tension acts to flatten short ripples on a fluid. • Surface tension is a restoring force that can stabilize instability. • Sound obeys Helmholtz Equation, with the speed of sound related to the √(∂P/∂ρ). • Organ pipes amplify resonant sound waves! 23 ...
View Full Document

This document was uploaded on 10/18/2011.

Ask a homework question - tutors are online