Lecture-24_(12-10-09)

Lecture-24_(12-10-09) - APPH 4200 Physics of Fluids Review...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: APPH 4200 Physics of Fluids Review December 10, 2009 23 Lectures > 700 pages of text 1 Lecture 3 • Velocity gradient tensor, strain, rotation 2 Deformation and Flow: Translation, Stretching, Pinching, and Rotating 3 Simple Comments about Velocity Gradient Tensor 4 Stretching along one Axis 5 Rotation 6 Bending, Distorting, Shearing 7 Example Shearing 8 Lecture 4 • Navier-Stokes Equation 9 Continuity Mass 10 Newton’s Law 11 Momentum 12 Models for Stress 13 Stokesian Fluid 14 Navier-Stokes Equation 15 Navier-Stokes & Euler 16 Lecture 5 • “Equations of Fluid Dynamics” 17 Equations of Fluid Dynamics (Conservation Laws) 18 Navier-Stokes & Euler 19 Mechanical Energy Density for a Stokes Fluid 20 Summary of Fluid Dynamical Equations 21 Lecture 6 • Bernoulli’s principle • Co-rotating frame 22 23 ~ j; t ~ v ~ ~ ~ is u. ~ J.. :t .. ~~ ~, .. \J Q. ~ l' I:. \L CJ f tJ ~ .. 't - ~( Bernoulli’s Equation l J -; " Bernoulli’s Equation ~ It '" ~ ~ U l~ ~ \1 "~ 0 ~ ~ ~ ~ . (Conservation of Energy) i , I~ I.. ~ .. D , ~ ~ tU " tu /~ .. ¡. 0# ~ il ~ .. . 'l. 'J .. 1 V\ lllJ I .. a ~ t ~ /.. Q (Euler Equation) I: ~ Q. . :i i J ~ i ,. ~ -l lr ~ ~ .. "\ , -. ~ r" ( ~ * I~ 'Q. '- t~ ~ I~ ~ 4- l! Q. (~ lii -" UJ ;. (l ~ ~ ~ II ~ Q.I~ ~ J~ ~ ~~ D l 1\ l :: ~ r) ~ ~lo. £ Il -C 1 ,~ f. ~ l) ~ J~ 'e) ~ ~ t~ '" 't J " 1 r /~ \ t :i ~ ~ ~ t'1 rl :J .. r& ~ ~ ). .. '1 ~ l ~ \o '" .. r I t ~ . î (~ 1- t jl t: ! 'U ~i o~ .~ ~-J .J .. i :J . ~ i. ~ ~ ". 0 ~ t I~ , ~ V i; ") ~ Vl ~ 1 l ri ~ l-: It ~~ ~ ( :i ~ \~ -i + a. l 0" ). VJ ~~ Ql ~ ~ ~~ tt , II S0 ~~ t: ,) ). '" \ù ~ ~ A~ 'J ~ 0 If ~ + ( lu /' ,. u "" -f ~ ~ . ~ l"l :r v ~ 'l) .. . ~ ~ - ,~ . ~ h ( , .. II .. u ~ '~ :: -1~ (L Ll L. l\: i- .. ,. ~ -tÑ . 'j ru II \U ø rl J ~ ui .. ~ " 00 ~ oJ ~ + ~ y. t:! ~ l': ~ ~ -. + .. , tu U ~ ~ -,~ (t rI ~ ~ ~ ;¿ .J ~ /~ ~ \( f. \J \1 , 'l ~ ! "" t ~l ~ Vi ) ~ ~~ \1 -1~ Vl + ~ '\, ~ ~ i (~ n-~ c; + lL ~\ ci ~~ rJ ~ri --~ ;: '1,. L \l ',. .. \ll C' , '3 (.. ~ $ "J ~ a\a ~ V\ + ~ '" ~ Q 'C \U ~ - b ~ 0 Ir 0 1- \! '.. - l~ "l V\ ~ .. id "" (. ~ I L UJ ~v O\~ ~ uJ ~) )- ~ IJ .. (-: (tJ i u Q0 ~~ ll ~ 'v (.) l ~ n :: i~ -(N tV ï.. t '- -£ L -. \h "\ ~\~ " ~ r" ~ :l ~ to ~ ~ Q (J \)\~ q. ~ 'b . ~ ..\!\ L ~ -i ~ 0 (t Hi l~ " ~ F ~ CJ ~ j ~ 3 ~ ~ ~ ~ \t ~ .. rt VI ~ li ) ~ ~~~ +- 1:1 \ ~ n (\ ~, to '; ~ ': t. D ( ~ ~ ~ .. ~ l! î l :i ( :: f -\ ~ Q .£ (~ \. (- + t- \ (b ~ \U (:1 \~ ~ ,," Cl "6 t. w I" '- ~ L ~\~ Q ~ '\ J.i\,U rt tb l.. \U '" Q ~ \f "" J0~ u- - 24 ~ 25 ~ " ~ I t: Incompressible Navier-Stokes in Co-Rotating Frame ,~ ~ ~ ~ b l :i 'o "'~ ~ , ( .. :; I~ 'Q l~ ¡ .. 1l i & , ~ ~(~ '- ~ ~ b(~ L rv ~ \l ~ oT .. ~ 'S l(" i' " . \~ ( "" l. ,:4 l .J CV i ~ l (l \. 'l ~ ( (ï + l~ Ii ~ - a ~~ c: d: I~ I .. c; r \: ;. '~(~ ~ \ \\) -J 0 li • Vorticity • Kelvin’s Theorem ~ ~\~ il :~ Lecture 7, 8 ~ "" \J ~ I~ t: 26 27 ! J i :J r¡r- -i \ Vorticity Dynamics (Ch. 5) ../ i~ -If' "t . ~ (9 ,. r. \: w J t (U f -( ': () L- .j LL f Kelvin’s Theorem ~ 0 ~ .j ~ vA 'Û ~ , Il\ ~ I :: (' ~ ~ ~ I. I 'ì 'J '\ C\ f- ~ L- r ! ~1 VI -i (V I :: ~ l/ + ~ , ~~ (\ I': '* 'J .() ~: \l ~ r~ l~ . I) i l ~~ ~ Il , -. ~~ \r 'J '0 v X 0 _ V' \l \~ '-,f' () lÙ '.. ~ ~ L 'X ~ ~ ~ ~ -l l. l=- 1 V Q l~ G 1).. ~ ~V)~ ~ \i (( (~ ~ .. ~ ~ ~ ~ VI '- \f t -- v \J I~ 10 '0 ~ ç .. ~ VI ,.. iJ. :i )- t~ 1: , t \J - F- ~ ~ ,J Q I lL II "= I\: I~ F i /" 'J lrJ ù ~ .J -. II . -l-a I tr 1:5 b. I :J Z /' y. \\ J ?$ \L rl~ "y. '\ ~ ~V) ~\~ ~ Vl "- ~ "- (~ (: -: VI .. J ~ ~ \. ~- .. lJ l. w j t '1~ X ~ 'fT 1 ~ ) ,. t- ~ ~ v .. y. \J ~ 1- L. 0 )1.. ,.. 13' . 't ,~ :i 'j -: tL. ~ b- I~ lY oJ n ~ V' .. l~ + 1"3 \-. l f- ~ - )~ ~ ~ J ~ ~ .. el ~ ~ t: .) ~ (. 'C J IU 1- r~~ 10 '0 ~ "' -~ .. ( ~ J \tit: ~( ~ '5 II ~~ t' VI ~ ~ Q 'I ~ j- ~ + (" ~ L J~ ~ II 'C ~ I~\~ . I.. )- ~ t G \J - '- \ c: X -1/ \~\ .u ~ (ò C' -"" (. -. ") .. X W 28 29 ~ .. ~ i , 0 F * 'f 0 ¡:.. The Importance of Viscosity Simple Fluid Rotation 1: .. :i ~ ~ tJ "" Ç) ~ .. lL )l ~ 'i tl Q~ .. ~ y r- II Q .~ ~ " ~ ~ \1 ) 0 w -i ~ - r~ c\ ~ \i ~ II .~ ~ J i j ,'- ~~ ~ '"- rv j, ,. r , l. ~ ~ V\ J \D Jl . ~" \I -; \J ,.. :, - - L. ~k - ~ , l( '- j ,~ J ~ \l t' 1 1 iv '- II S , " 'i fi I:. -~ ~ ~ to .. a '; L- t CJi ~ 0' -- r. l\ ~ 0 .. ~ .. I~ ~ ~ ~ Oö ~ () (J v ) \) ~ '- ~ \p " c -l~ J '0 \I - \I "- F- ~ ~ -0 ~ ~ 0 d ~ 0 Q, ~ ? rÇ) ai ) Ll ./ --...~ (- 0 - ) ). "0 l U- .. () Hr ~ 1- ~ -. .. ~ ~ ~ i t. 3 ~ ~ lo Ql lL I\ ,: t ~, :) \. \) .. (' ~ ~ ~ -( ~ C Q U V\ i. .- .. '" -( , v ~ "C \I r: ~ -~ 3 Il .Cl ~ .J l¡ ~ ~~ ( V' \ , "' t )-. ~~ VI ~ i 1~ /3 :J ~ CJ ~ \. 'X \~ - \J (j il ~ \f 0 oJ Q ri CJ \I ~ 0 ~ r- I-' g \... - oJ II C: ~ .s 0 ~ \t .. -' l~ ~ ev 30 31 ~ Two Counter-Directed Line Vorticies ~F .. o: \! Q VI \i ¿ r:\ .. ~ ~ -i W LL ~ :¿ t ~ ~~ ~ ~ 0 Q. l~ vi lc Q: .. "- i 0 r ~ ~ * J '- 0 i lJ ~ 1 r 0 Q i= ; ll Uj '5 :J t,- 't ~ ~ ~ .. \J I:: L ! J( -r ~ c: 3~ ~ (J .J ~ ~~ ~ ~ t ~ ~ "- 'G \J ( .j 0 ~ ~ • 2D Potential Flow • Blasius Theorem ~ \J .. ~ .J 0 t ~ F Lectures 9, 10, & 11 ~ ~ ~ 32 33 Irrotational Flow Consequences (.. ~ ll Potential Flow in 2D GJ ~ ! ': "\ \'; ~ ~ LA' I~ "- ~ V) 0J .. I~ .) \~ ~ .J ~ .. ~ '- , () ~ Ii II d U 0 l) ~ ~ l\. ~ ~\ ~ rl )"'" ~ ~ u w ~ ~ S i v ~ ~ ~ ~ Q ".. l '! (f. t: ff v~ ~ l~ ~~ t to \J ~ ~~ ~ ~ ~~ . ~ (l t~ ~ ~ '- jQ~ t Lf'-t l¡ ~ J ~" ~ l( t ~~ fj .. v '\ .. L ~ ~. Y. ~ \l , :: l:: ~ æ X l) I D 'j Ç\:r ~ ~ Ci c\ v ')r' ' 'l ~ f1 \ :) \ i( t- ~ k I. lJ .J () VI '1 .. (:: t '- I\ ~ .. -J ... ~ o. 'h ~ C" l) ~\ iVJ ~ ~ ~~ II t l. ~ r S l' r: ~ ~ J Z~ (lj () t ~ \"' l~ ~ l- ~ l~ \) ~ .J \: v tJ -- ~ i ~ ( " ~ V) ~ ~ f " li () t ('- (l I :J IW t "" \J .~ ) ") ~ ~ \J 1 ~ ~ "' ~\~ l'- ~ 'X l ~\('t ~~ C' VI li ~ ~ t '" \t ~ ~ '- )( h i :s -i ~~ ~ \. ~ ~ :r ~ J Q ~ cv X- a C: :) ~ u \ .. (i ~ )- \ .. c- lÕ . c6 ). ~ \ '1 (l r- t ~ l- ~ '" L~ '- .. V\ -i ~r ')l~ ~ fò t1 t\ "t ~ ~ ~ ~ \l ~ ~ ~ ( t l ~ ~ ~ ~ ) lL -J II V\ i: i- \ cv :: \A r IV ~ r. -tri '1rJ '0 + \\ l~ ~ l~ r ~ l~ ~ ~ - .j qJ b 'lL IÇ J ~ 0 Ci ~ 1:J L :J (. \. ti II a l h ~ ~ ~ t ~ F ~ ~ .- h ~\~ ~ " C1.C\ \I LL )1- .. .j '\ \~ ~ -i tt l :: r; :: (~ f! ~ ~ tc " 1 t \I F ~ t~ )( ~ l: i: -+ J( ~~ ~ ~ (~ vl L~ r6 C1 ':\ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t\J t' t \) ": 'l \l '.. )~ ') -l~ l- ~1-l ~\ "6 "" ~~~ lL ~\ (ò ~ .:= ~ ~ ~ oJ ~ ~ '- ~ ~ L ~~ ~ ,~ S .. :: V\ t: t L ~ lJ1 t~ ~ ~ ~ - ~ . Q 34 35 It l ~ ~ Ì\ J ~ Complex Velocity Potential Cõ x ~l Cã ~ :J~ .U . -. (e ,).. '.. ~\J-S X + * ) ~ \J u. \) ~ ~ ( ~ ~ .. ~ XL i " ~ J ~ ~ G :: ,J \ ~ (i' .. ~\~ l. ~ .. , \ () (òa :J ~\ x 3 x 'v \.C, ~L:; J :J~ ~ i r¡ Vi lA \/ .. - ... ~ 'J l~ t: ~ \) r t ~ \~ ~ .J .~ ~ I. \I I. \ 1 (/ IJ U-J ') ~ f') ~ J 'oJ VI ~ .. ~ f Il Mass Source J -J \ rL ~~ ~~ ~Uj ~ r- ~ () . l. t)-f .. J~ ~ \ -! ., ..~ f.. ~ ~ ( G J. ~X 0 V\ )( ~ tN ~ "- lli ~~ lJ i- ~ ~ ~~ ~ ~~ I \J ~ t ~ \.\ '\ Vl ). .0 0 ~~ ~ ~ \f \. ~~ (': .. '0 II -- ~ l ;) I ~ .. ~ ~ ~ ~ II .i \J " .. 'i I, r.. \J l~ 'J ~ ì ~ J 1= X 0 ci ,v "- ~ Q 'v ), Lrl t7-l ~w T '- ~ ~ ~ Ç) 1\ f '. ~ ~ ~ -J ~ ~ t. ~ ,~ ~ v" .. .t ~ ~ " i. 't -. l1 J 't V) ~ ~. ~I ~ -+ ~ ~ ~\ i ~ '- .J V' ~ ! ii V' ii \; c ~\.~ ~ 0 ~~ l/ ~~ ~ )- ~ ~ '.3 () i", 1-'-' 3 l -i ~ ~ ~ Ii " l" t ?l ~ lL I\ \. l~ 1 ll ~ \l ) l)II '" \: ~ l j\(' ~, ~ ~ t ~ ~ -l '£ (cl ~ ~ \J II J t t \: "- ? J "" .. ~ t\ \. ~\~ 1.\ ~ ~ -: '-. \1 /" IV fJ" ... . U \) J 'u i( v \J ~ 3 --'- ç t Ii ~ l~ ~ ~ .. LL (.1 ~~ III () Ç) lJ J. ~ ~ ~ ~ Q X ~~ II li C' (V ~~ ~~ ) lij J ~ ~ +- ) a -.. ."0 ~ 'i ~ ~ )- "v c. l\ ~ t: v 0 3 , -. 't ~ lU ~ \\ i lL ~ ~ ii a ~ L- ~(~ II ~ ~\~ .. ) ~ X I QJ ~ \.~ t: /" tI ~ '\ r' G lr 0 çt 't .3 () \t ~ UJ ~ (.! t ~ i. v ).. J t I-= ili ~ f- NJ Li: \J L ~ l~ ~ ~ ~ ,. rli L, ~\~ 'b \J ~ .. Q. 0 t/ V\ ~ ~ J~ .) "i .. ~ '" .. S- ~ 0 "- \' IJ l, ~ '" ~ \¡ ~\~ ~~ ~" r' Ll .~ \J ~ "- s" ~~ \i L~ ~ .. \. '.. J. ~ .l \J ~ 0 v t l ~ t+ "- () fà :l ~~ .3 ( C' V" 0 36 G 37 ~ ~ .. \ & ~ ~ 'X 0- ~i ~ J lL Line Vortex ~ tJ L ~~ Blasius Theorem Î . .. Zß Ç) ~ VI l ~ 1- ~ v '\ .. ~ '- ~ -' t- t, i v . .. v ~ 'V ~ ~ Ql s: o J~ ¡. ~ rl \ /"). l ~j. 'v ,. )- ~S~ c '~ \1 .( rJ ", l1/ ~ ~ \!~ ~ II t ~ Q. Q. j -. t 3 t~ ~ ~ i c;1 ~~ \J L v ~~ i ti ~\t Il .. lQ ~" ~ .. \ I ( \1 .r ~J Li 1I c:l ~ '-h ! ,, ~~ '\ '\~ \ \' .Y ~ .. ( .. 'i ~ -J .v l L\J .v ~ Q. o rt ~~ 't \) \l 'c.). ~ :: ~ -t (' c: x ii ~ I,, , t1 . .. ~ o~ u 'v + 1rv~x ') "V 1' ~ ~~ -i ¡ -. \. I a. ~ tV \ ~ '.. ~ -- l\ ~ /" - ~ ~ 1 1\ ~ ~~ -\ f' -t l" ~ ~ \. " .. '.. ... )- ~ .r 2) 0. -tN -l '.. + ~ :: '- II \t C-i~ c:i ~ \ I ~ t' \ "\. X '-r. ~ .. ~~ 0 (' :: C- Y. C-(E NI L- \ \~ ~ ~ ~\ ~ .v ii li . C' r-\ £ \l ~ ~ L . '- ~ .. 'Ì ') Q l r" r- li .. 'b ~ ~" ~ 3- ~ II 1I '- ~,- Q ~ ~ ~ ). o V1 D :: " .( :: '- '-.) ~~ :: x t ~ :3 .'- \ ~ \~ --I l" -\ (' ~ .. ) '~ / (l. ~ )( 'V " ~") . "- t/~ (¡ a. / \1 '.. ~ r(I + \ ::J. .Iv to ,\ ~~ ~ ~ "- :: "1", Q, Ii + ~ "~ :i \ ~ "l\ \) iU. I Y. ~t f-~ .J ~- .v .J :t F .. II ~ ~ 'v .. J ~ "~ \ J. n- Ce t) ~~ ... 'v c:~ L- -\,\! ~ ~ ~~ ~~ ~ \ Nl :J "- '-IN I + . "- É 0 ~ "' ~ .0 \r .. 'L. -J c: ~ l "'.. i ~ (~i~ ::. \L i \J :) .. Çj \\ \1 'I o \ 38 39 r' ~ Flow Past a Rotating Cylinder ~ qj t.1 i Example: Flow Past a Cylinder rcv~ '-- ~ II ~~ '- .) I'" ~ -t f\ L a. '- ~ "\I ~ d ~ ~ \l 0 (( '- 0 II .\) ~ u -i ~ "' ~ ~ ~ l-r~ ~" l' It l + i ~ ~ ') t. ~ ~ .. "" ~~ \ ~ 'J t) '\\ ~ t /' .. ll ~ . ~ ~\l .. ~ ~ ~ ,l \l \Y ~ +, ~ :: t: ''- t:~ ~ ."' ~ -... x. :)~ :: \i L li ~ (Problem 6.9) ~~ ~\: ":~ l\ J L (' "" l~ ~ lo \/ ~ - ~ .. ) ~ ~ \. .'\ ~ li ~ c. \' 4:\~ r-- ~ '.v ~ + ('~ \ k: ~ =\~ "+ 0 \\ ~ ~ \L \ -~ t' ~ ~ ~ ~ ~ j 0 II ~ '-~ t: ~~ ',~ -11 ' '-v- .L ii cl \ \i -~\~ l f" :: ~ l- D ç: 0 ~ (' ,~ (i :J ~ J + Q ~ ¿ ~ ./ VI ~ t ~ , Q "" L-i ~ CJ ~ 0 lì \I l\ 'v II 0 f' ~ '- ~. ~ ). ,J J N ri ~~ ). \J "" .. :: 'i ~~ \ + 'i ~ \~ '- ~ -- \'\ c (. ).. '- 0 - ~ -+ L l/ -l ' -. \l N~ ci 't N ~ :s ~ I "j '\\ 0( c. + t \j (~ ~ \i ~ rV "r ! .V' :: -L¡ ~ l" "" l~ -. (. .. lII rt \ ~ ~ ~ CV 3" -i ri ~ t: Ji -' v \ f' i ~ldJ ) c: L!Y i W .. + 2) .: :: (i II ~ ,3 l\ 3\li ~~ r-~ (J ~ "t j\i\ "- ~ ~ ~ ": \:\~ :i r\ C' ~ ~ r- ~ ~ J r In - ct '- .:\ ~ \, ~ ': V' ~ .5 'i ~ ~\ ~ C' ~ 'V li k , 0 "' rv r l \ 0 ~ .: rv :J \I :5 ~ LL LL .. \) J J\~ ~~ ~'. ~~ .. ~ C" .. '-\. . I. ''" l ~ ~ ~ ~ ~ ê -. 0 3 ~ li '" ". 3~~ 0 \5~ ~ ~ V\ '= 0 - c: .. 40 Q 41 J~ Dimensional Variables (" ~ XL~ ~ ~ -l~ l~ ~ -t ~ ~ ~ f~ IJ . \) \l i~ i II .l Lecture 12 ~ ~ iJ "u i -1I ~ ~.-- ~ I~ .~ ll" ~ /J • Dimensional analysis ~ l I~ Th. A ~ II F i l:J CL ~ "- ~ '.,L t J ~ V u .. V1 t J r ~ ib .. A + l:j v V) ~ b\ ;. " T Q.\ ~ CO C' .. ~ 1'- v .. \, ~-. ~ ~ le- ~ C1 Cb i "' t" l ~ .. UJ -- t( l -1 ii t 0 ~ v(ß " LJ v ~ .. l~ ~ ~ .r :: LL CJ i t ~ v. i ~ v VJ ~ ~ ~ -i '~ t ~ Jl V' ~ \ ~ ~ ~ l V' ~ ~ \:' \/ J a ~ ~ io "- '- Ll. l "- Ii '\ VI ~ ~ \li 0 v ( ~ c. ~ LL ~ .. ~D t - 42 Dimensionless Equations l' ~ l:: (0 lJ ~ t 0 ~ v V) I~ .. l J VJ III :¿ .l " ~ - Figure 8.2 Drag coeffcient for a sphere, The characteristic area is taken as A = rrd2/4. The reason for the sudden drop of CD at Re '" 5 x 105 is the transition of the lamnar boundar layer to a turbulent one, as explained in Chapter 10. Prediction of Flow Behavior from Dimensional Considerations An interesting observation in Figure 8.2 is that CD ex 1 IRe at small Reynolds numbers. 'C )-1- I~ ") .. i. lQ ~ '0 ~ v Q. )' " " l~ l~ ,,~ '- .. I~ ~ i :: , I) j i- a ß lè t Drag Force on Sphere 5. Nondimensional Parameters and Dynamic Similarity ~ ') ~ '- i ~ '" '- Q. " ,~ti i. \ .: -\ , :: Q. ~ l:: \ \- " rc n \l Q "- ". i :: lb I~ -i II N J 'i '\ "- "v -)~ ~ "- I:J "- ~ -L ~ ~ F t u :r ~ t \A t .J \I .. ~~ H CD= (12) pu2A \L \l ~ '- lW \/ Jv ~ ~ L~ Q. ~ ~ "t ~ \. Q "- i.. ¡ ~ ( l. ~ ~ VI v - Q. ~ ~ ~ ~ '- -A "- N c' \L sl G. .: 1\ I \I ~ ~ ~ !. 100 Q .. \. f' " ~. ~~ ~ ~\~ -1æ ~ ~ "-J ~~ h + t~ 1m 1 i J "- \~ ::.ri ~ çi Ç) \~ ~ ~ " Q. '- l:: ).. ~ CQ C) D 10 1 " "- '- . 1:: l'\ l~ I l/ L S 'l ~ 2- lL c¿ ~ 43 271 0.1 10-1 l(Y¡ 101 102 103 104 l()5 106 Re= pUd J. 44 G) J ~~ ~s iì lJi lI 'l l '" " ll .. i. 45 Drag Force on a Sphere G) J ~~ l. ~ "V' ~ "- I- ~s iì lJi lI 'l l '" " ll .. i. t I"- .j -~ t, 0 \. V' l. ~ "tA ~ ~ ~ ~ q: VI -' ~ l" 'II ¿ -J 0). Ul t, 0 \. ~\~ 0 ). () '"- ~ (V ~ .. " ~ ~ q: \l ~ ~ ¿ -J Lecture 13 & 14 0). Ul tv \: \. '; .. J ~ ''l :: ~\~ l" tA ). (V () '"- ~ ~ .. " II ~~ ) VI .. '- 0 tv \: \. '; .. J ~ '\l ~ ~ ~ ~ 't ~~ V- .. ) ... 'v' 'l ~ ~ r~ V) :: ~ 't ¡. ~ ~ V- ... ,'1 ~ r~ V) ~ VI ~ 'v' ¡. t ? t ~ i. ~ -l 0 .. ¿ ( li ~ l. .. ~ t ,'1 ? t ~ VI ¿ ( li ~ l. i. ~ \9 .. .. :¿ i , ~ .. \9 ~ .. :¿ J -l 0 .. i , .. J ,- )- 1- - VI ~ VI 1- ~ \f ,- ~ ~ l. IU ~t \J ~ ~ ~ \. - i- ~ ~ "- C) ~ ~ 'IS r- q: ~ ii ~~ (V~ "~ \j .. t- l: , ~ ¿ ~ ~ -l"" -E -1 f' C\ ~ ~ '- ~\~ ~ -l ~ c+ \J \. ,. 7 u. ~ ~ t "" 't Ò ).. C' çt .. C) ~ l. VI ~ .. ) ': t l: ~\C 'u ~ II ~ I. ~ i: L: IS l.\ is ~ D iii " .. a~ ~ ~ \: t --\~ ~ ~ ~ :: ~ ~ 'IS r- q: ~ ~ C\ -E -1 f' II ~ l. ~ ~ ii ~~ t(V~ u. VI ~ .. ': ¿ t t -l"" 'u ~ ~ ).. c. £: ~ ~ ~ ~ '- ~ ~0 t V\ ~ .0 ~ ~ ~ c. £: ~ ~ iii l: ~\C ~ I. ~ i: L: IS l.\ is ~ D " .. a~ ~ ~ \: t ).. ~ ~ '- ~ ~0 t V\ ~ • Viscosity • Steady flow J ~ J \f ,)- ,- ~ .~ ,. \1. 'l ~ l: , "~ \j .. ~ l. IU ~t ~ \. - i- ~ .~ ,. \1. 'l ~ ~ "- ~ ~ -l ~ '~\~ c+ \J \. ,. 7 \J ~ ~ ~ "" 't Ò ).. C' çt .. ~ ) --\~ ~ :: ~ ~ ~ .0 ~ ~ ~ 46 t .j -~ ~ -' 47 G if 't ~ n Steady Laminar Flow in a Pipe ~ ~ ~ 0 f. .. '" ~ ~ N \" 'J N J --" ), Q) Steady Flow (Cont.) \. 4 F1 'G ~ .J -( .. \. fJ I ~ ~ ~l\ 0 .. tJ ~ .. , v ~ '\ tL "" ". .. t' \J ~ 0.\ ii ~ t ~ - ~ q ~~ l '" -i J (' l \. '" ~ 'l ~ ~ ). l ltJ '\ .: L h ., 1'3 .. Ib .. t I:; "" c: .. x ~- , ~ ~ r( tl ~ J ~ 9 Ii ~ ~ li 'l i ~ \)' i .. ,l ~ At .. ~ ~ ~ ~ ~ ~ .. ) ~' "- ~ ""fi vt ''- ~ ~ ~ \t't (' l\ -;,- ~ t. \t .. ,. t".. ~ , "" .. ::~ " ~ \~ oJ IU t' VJ, :t () .. '" ; ~, o ., ~ \.. '=\ ~ I ~ ~ 0 'c ~ \ " \i ~ /' 'i .. .. IV ~t: ~ '" 3 ~ () ii ~ ::it 'b ~ ~ r "' \. .. ~J ;. I~ II '" " ~ -( L a. \ .. t 'i "" Vt '" ~ .. .. "~ Q. \ ~ il '\ .. u. t1 , ~ \ '\ \ " \1 ') - " .. ~ ~ .. :¡ L ~ C" ci ~ ~ - ~ "- C" -" t' U ," .. , l" ~ () \ t1 Q. ~ '\ ~ ri C1 ~\IU ~(~ \ '~+ \1 ~ l' .. ~ f -i l ~ 'X t'\~ ,r ~.L\ * \i " t" ~ ,tit. \ l ,J, L-Q ~(~ i ~ i 3 ~ I W t 'I J tI .. \~ ,'1 /' ~ :: "' It' lJ .. \. r-~ ~ 1 ri .. \I Û C' 'l c. 't t d \I Q. \ 1- \' ") (' l' ~ -; t. "" J ~"" " r: :: ~~ ~ ti '" -. .. " "- ~ i ". n C1 -J i .. ~ .. ~ ~ .. ". i- ~~ ~ iU ~ b' '" , I': ' . :t ~ ": .. .I " i .. () \l .. i: ow -(~ ". 1 .. .. 'q l. ~ .l ( ~ .. ~ 1 VI \l - N \c a' '~ \t 11 ., ~ ~ '- .l 'l ~ .. ~ l: ~ ~ t \1 r: t ~ -t '" ~ ": ~ '. 3 \l \- ,~ I' \l oJ ~ .. '" t \J .. '1 W ~ t= V) :: (.t .. ~ ~(b 'rW ~ - ~ .. ~ - ~ V\ ~ t ). Q ~ ') ~ c: 0 n.. ! ~ ~ ') .. ., .. :t 1 0 \A -0: ~ ~ \I '\ , ., ~ ~, \' .. J l ~ å "; 'Æ CJ oJt \= \U 3i 48 49 Cb ~ 14 Surface Gravity Wave tt U f ct .J .. \0 o -l .. 1 'u ~ Lecture 16, 17, 18 ÕC(t J~ t '3 ~ VI V\ \J u. .. l. tl \) .. E. ~ .. .. ¡.v. ~ ). l a~~t ~ IL ~~ l ~ ". \I ~~ "- ') ~ ~ 'E ci "" tc 40 0 ": ~ .. ~ I~ \, \4 ~ CJ , ~ (. 4 L .. 't l' ~~~! , ('c ~ ~l~~ . 'l \( - Ii ~ "r '" iI. .. " ~ J \I c: VI ~ ~-~ . '0 ~ \) ~ ~ .. ". ~ J .. . 41 . _ ~ tv ~ VI 'Q \L e¡ 'òF- Q " . ~~;'~ ~.. It i " ~ .. Ç) u. " ~ l ~ ~' l~ , ". '- . 1 \ 1' -e .. l q\ '0 ') "" , tl ~~~âtJ ~4 (. \.' .. ( ~ r: r ~ ~ v ~ ~~ I:. ~ .. I. l- " ~ l L.~ !~~~ ~ l" ~ ~ ~ ~ .- i J \ ~ ') ,. , ). -- . \ '- ~ 3.. i ~ ~ ~ ll .~ "'c ìi. ~ ~ tv .. '\.; VI ~ ~ijct i ~ ~'w ~ ~ \ ~ l • Waves I: .. \. 4 ~ ~ ~ ~ i.E ~ ~ 1 ~ ~ i .. ~i ~,.~,. (\ \, ~ \c .J ~ t ~ l/ ~ 1\ ~ ~. t "; ". 0 '- $ J,oi.~"2 ~. , ~ ')..:.0 i t.(Ír w 9", r ~ ~ .. ~ ~~ ~~ ~ I ": ~ .3 .. 4: .. q 1. o d 1 50 51 ~ ~ Q 't ~ l~ ~ i Shallow Water (kh → 0) G ? t ~ o (l ~ t.. .. Review: Surface Gravity Waves r " . .. Q V '\ ~ l- ~ fa \J ) " Ii ~~ ~ "" ~ 1I tt¡ JI~ , ~ ¡. i. ') lJ ~ '.; ~ 'IJ ~ ~ Ii D '\ -. .. "" -i .t ~ ~" t " "; I: 'IJ ~ t u D l~ I) \. " o 1 Q II II ~ ~" ..\o . .. 10 II . ~ t . ~ ~ t ~ y ~ , ~ ,tv t \. ~ \il "' i/ " ~ '" '" 4 t '0 ~ -0 .. ~ II Cb '1 ~ ( t) l " "' f: 'd a .. 'l i ii ~ .! ~ t; r ¿) ~ .. '"' t t ~( ). ~ I a: ~~ ~' .. ~ 1ì 'J /" 'l J .. ~ ." ~ i ~~~ \ \ ~~ "" ~ .. Q~ ., \. ,i i.. ~ r; t ~ f -t \" ~ 'Q j f. t" .. -. :l ~ \: ~~ ti' ~~ ') -. " (t r. i; ,." .." I' .. 'l ~ '" ~ Q I, 'I \. , J i ~ ., . "' .. \2 J 'I " ~ .. ~ '" 't t, ~ f: ~ .. " ~ -Q ~ ~ ~ ~t.u ~ t- ~ \~ ~ .. ~ '\ t" \ Cl ~ ~r4 0. l: i 'l V\ l ~ ct ~ .. " .. ct J: Q .. Q ") ~ .. li (V W ~ -i \. "1 ~ 'li ¿ "- ~ \ 'U " , ~ ).. ~ '.. ~~ \J ~ i~ o ~~ ~ 'l-~ ~. "' ~ I~ ') .. "~ o ~~ r t ~ '0 ~t ¡ l. , h , J i i' ~ .. \. ~ \f '+ "I /' ~ Ii .. \1,1 V? - l) .~ i ~ " ~~ ~ ~ ':t .. .. ') ~ .J 4 ~ ii~ ~ " h 1: ~ \. ~ .. ~ ~ ~ ~ -i ~ "'~ Q\ () ~ J\~ V' "4 + - ~~ '. ~ '0 i I' u. .. f\ ~~ -\~ ;L ~ ~ \& ~ t. C\ \,V\ lJ , Vt ~ ~ VI V\ , ~ -r .. V\ it ~ :) " ~ ~ ~ .z '0 ~ Q l .J lJ It t( t( (( i: ~ ", "0 \ J .. ~ Q ~") ~ ) V' f" :: - \:J .. -- ~ '" .. q: 6ù ~t )i 11 ( 0' 52 ~ (8 r' 0 I.. ~ Wave Energy Density .~.. ~ 53 ~ o tl C1 t' \..~\'Ñ Deep Water (kh →!) ti V lf 0 ~ L~~ l ( '", '\ -l i' . ~ J\~ ~ ~ I "" . . r t. ! I\ ~ 9 CL ,( ~ ,. "" ~.. ~ .. ,\r~\.. a. D l C" 'l ~\ t' ~ '1 N i. ~ l~ ~ . l~ i ~~t~ J ~ ~~ i J (l t ~ .. .. ~~ .. '~ l b ~ 0. b i ~ l~ . Q. .. I, i, ~~ ~ I N \r \,.~ lt r' rl ~l q i, ~ ~ 1': -: ~ \ 'i '\ ~ ~ 'ù l .. ~ ~ .J -: ~ I ~ a~ \l i: _t r t: " cl \J ~~ ~ J\~ ~ '- ~ 3\~ J\~ ,. L" l.. .A ~ '- oJ r. Cb ~\~ lU .. ~ C) .. "" ( 'l i, "~ 1~ l ~ ~~f ( llI l ~ ~ ~ ¡; ca rI '" ~ .. ~ ~ /" ~ ~ \J ~ ~ t ~ "\ 'l f: '- ., ': ~ ~, G" j Jot ~ Q. ~ \ .. .. -: ~ ~~ ii l. ':1 \ 1- /" ~ t ~ ~ '- i ~ l( r ~ ~ 0 ~0 o~ -~ '. (' n c: l! ~ Y\ "ct(: ~~ -i "" ,. r" - ti \, ~ '" :: t. ~ \ ~ ¡: ~ \J '" .£ lJ to ~ u ~ ') \! '" i- d l- ~ -1° .~ ) (l \l V) .. ~ (t l\ , J tf ~ ~ VI ). 1 'U tr ~~ (\~~-l ~ ~ o 1- -\ $\ t ~~ v .. '" .- rl\ C' C\ ~\"' ~ )j ~ f' "" ~ ( \~ 7: ~ \1 ~ )\.. .- \f 4ø .. (C rl ~ ::~. ') (( lr l \:s ~ ts 0 \ t) .. 1\ II ~ ~~\~~~ \J "" I' ~ ~ N J .. ~ i; r; Q J. ~ -i '~ ') :J -- _ -\-¡ . .. :: a , ') '" :s \tl ~ .: X . 't ,.: " ~ a: ~ t' \ (\ Q. "Ì '\ ~l~ .. . ~ t\ i 1 ~ l. ~ ~ .. J\ - \1 ~ UJ ~ :l \C W :) ~ ~ .J :c JE ~ 0 \Y J ~ ~ 54 55 N \) Wave Kinetic Energy Density l\ N "" (' , t ).. I.Q ~ .l ~ ri~ ~ .. .0 ~ '" II Wave Energy Flux C" (\ ~l~ ~ft ~ '- ~ ..i' 'I "' ;. .. -~ ,. ~ J fil ~~.. ~ JI .. ~ ,. ~ l' rt Q li \. '" ~ \.1 .l ~ ~rl ,. :: i .. ~ ~ ~ ~,~ '- '~ t\ II "" ~ lI I - .. I . "' J Jrv~~ . "" ~ rl 1 ~ "' t~ ~~ Q. .. ~ ~"" 1- ~I=t rJ t\ ~~ ~ f\ ~ )( I ~-l~ ~ G" #' c; J~ --. -\ ~ . ~ .. ~~ J I ~$: (~ ~ t ,. ~ l- ~O ~ "" '00 -~ .. ~ 0.1 ~ "" Ii ~ 'i ~~ '- '" CO tv .c C'\,\~n ii ") .n (' V f\ i- ., L .l ( ,. ~ tl .. -, "". .. ~ +- f' ~ ~ U. \J ~ ~ ~ .. ~,. + ~ '0 l "s~ () (: L -- J~ t.cl Q. , ~ "'~¡ tv "'~ ~ ~ ~.i~ ~i~ Jl~ Jl~ .- '" rt ~ ') ~~(V ~ -. ~ i. ,. ~.. L1 '- 'l l~- "("" f' """ tV _I C\O (~ Q. ~ "Ii .. t( tL "' I ~ tv ~.. tI ~ 31').. I'" ~ iN ~ tD ~ G. Q J \-l \J Q i: i. ci 0 -i ~ (\ O:(1J ~ ~ ~ r: \I Jr 'l -l r" -i~ L "" - ~~ ~ ,.~ 11 tl - \J .. " L ti 4N ~ tv ~ Ie ~ -" i" lc \~ (I I' ~~ ~ ¡ i :;If lI ~ ~ ~ l ~ 0-'l ': ~~ '" ,- "'.. "" cl j. .. ~'\ :: "'3 i Me( :: II 'I ~ 1 .. '" Q.' l~ ~o ~ '"' ~ .)\~ .. ~ r- ~ \\ ~ ). \r ~ ') tI \i (I / :: P) ~ ~ll' · i: \C ( \1 ~ .. ~ i UJ .. ~rL l- ~\U -: ,~ .. fC fi It ~ 14 t') c: cc I': :s '" V\ - ~ .. :r J t :r C\ '" 0 E= f: '; 0 t- ~ .3 56 ~ ~ Example: Water Suspended in a Capillary Tube ~ ¡ l ~"~,j ,j :)1J t VJ ~ _J ~ _ If t ¡. J t t \6 T (J it Gravity Waves with Surface Tension 8 .. 57 l -. -, ~ V) .. 3.9 mm i ~ l t. G . tl eV \1 \ c; (J 1: '," ~ ~ 0 Z- ~ \) ~ tL ,"" ~ ¡ 0 '\ eJ r. "; t Q. () \.1 ./ -j \/ J &- f if ¡I\ 'l -~ 3 I 't ~ ~ 0 VJ ~ () I¡ ct 'j \) '¡ r- 4 J .~ ~ ~ ~ r; ~ '" ~ \6 (\ ~ C¥ l ,. ~ tI ~ (,- ~ l/ '~ 'j I ~ (: ~ vi \L \l ~ C: V' -. ~ ~ S \) f: t) -i :i 't ~ ~ ~ \. .. '( .. () ~ '~ 0" tI i " \ '1 ~~ ~ \f ~ 'J f i g ~ s ~¡~ lJ '; ~l\ -£ (1 0. Û. ~\~ \\ -\~ l ~ ~ V' Çt J (' tõ \' ~ i "'" iJ ~ CL V) ~ \; ¡, :J a.- ~ c -- \i i u J- ~ .. J ~ y ~ Q: -l 'i '- " S- \:I~ (C ~ ~\ "i /J ~~ ' "" II i l ~ ~ (L- ~ ¿~ ¡Ç- ~~\ t~ l iiJ r J~ t- J \J li J t ~ T Cl ~'" V N l ~ j ~ ll "" , ~ .. \' \ \l \-. ~ 't () \J ¡C \' C' \Õ ~ \\ .. .i \. -+ U l-l' VI ~ (' '-\n 0 '0 Q , rV ~ j ~ "0 \.. \I \i .~ ~ -. ~ ~ y il '( ~ ~ G \. L\ ~~ /) b- 00 ~ j).~ II I ~a'- -\~ \i \i :J q: "' J '\ t ~- ) (\ s- :: ~ \: ~ '~ V IN Cl ~ ~ '0 \c i- ~ ~j b0 II . .J Cì ~ ., ') C" Cb -ì ~ " V\ ~ J u. ~ oJ .( ~ '- ." J ': V- ( :s C2 ~ 58 Heavy Fluid on Top of Light Fluid ~ 59 .. ? ~ .. \) J \) t J i ot ~ " cy ~ 't -J lL \t ~ ,. J I~ Ç) "- ~ \l .. vO l ~ l Lt ~ J 7 J ~~ ~~ r\ () . .. Rayleigh-Taylor with Surface Tension ~ ~ tI J " 'f f$ Â -3 "( i~ ~ -+¡ ~ \i çC ~ " ~ (' qJ "' J .~ 4 -P ~ ~ ~ ~ tJ)l N ri\\6 \) 1 IJ -J ~ ~ .. t ~ ). J \/ I:: V 'P t ~ "(: ~ .. ~ Ii 'f ~ Q I ~ ~ .. ~ rL '- \j t -0 \i ( ~ ~ r: t\ J.. ~ )'c; ~ ~ .. "' f: \ -l i V) ~ ~ W V1 ~ Q 0 ~ \) $ \f ~ ti J ~ ~ 0 ( Ii C\ ~ y: .. l¡ ') It I t ll; .. .. e G: lJ ~0 J "- ~ ., ct'" '- \. '+ ~j V\ '\ ~ -- ~ ~ 3 L VJ ~ IV ~ ~~ 1 to ~d \\ U /" ~ ~" ~j ~ -- (' \I ~ '- I (Ç tt~ ~ US " L k ~~ ~ ~ ~ "" , \J \ ~~ ~\~ 'Õ \ì \ (' u J F- ~ 0 ~ t .3 lJ 0 Q LL -- ) ~ -. l~ j C'~ 'J 3- ~ :J \S j )-- f: \ .l ê n (' l Ii ~ .. ~ ~ J \/ ~ v ~ ~ ~ ':\ Ï' \6 ML t ~ j f; .~ + t=~ \1 .J "t c: ~ ~ ~ l~ If ~ rj -- i -J J-' ~ (J \ì (J ~ \J -l :-i I4 r- \ ... ~ (" Q t l æ ~ :J "-- i Jì V\ - ~ rv ~ v' -- "' '- ( c- -~ (\ \~ ~ -. OJ çl J '~ I.. v ~ Gì 'j\ -\ \ò ~ c: ;) ') I~ ~ 't t l~ p -~..."..: rv tIC '-\~ ~ ~ y S ':t (\ II . ., ~ ~ V) \. - =t., 60 e 61 - Equilibria can be Stable or Unstable .. '0 ,-..'* 'u '" '- .. t" Lecture 19-21 l- ~~ "" .~ ~ ~ ~ -i " , \I ~ ~~ ~ .. ~ v J -- - lU \U ~ "' \ 'l Q " ~ ~ l(. ~ ~ " • Instability \. 't ~ t ~ ~ '0 .i .. ,J ~ t- \. \i ~~ \. ~ ~ i ~ ~ 62 63 Bénard Thermal Instability 1\ ,~ ~,. ~ ~ ~ l-¡ ~ ~ v "" \J ~ .~ C- ~ ßl ~ q: l- \l II. ~ r C! ~t l:i "'b Equations of Fluid Dynamics t "'~ , -l ? .. :i .~ (~ !0 ~ ~ ~ ~ .. 1 ~ ~ L I J? 'e u (.. .. 3~ \. f-Q (-Q tQ \\ Q Q ~ (.i .. l .. .. 1 ). "" a oW q: I- ~ ~ r/'l (~ ~i ll (I ~~ æ ~ J (\ ~ Q ~ ~ .. (l ~ ~ I:. \, , ~ ~ V(.J \. i Iu~~tt ~ '1 -i .. " ~ ~ _u o lt .~ ~ ~ '- (- ~.J .. ~ .. "~t ,~ ~I ( ., 4.tt (Q. " "" l'- ~ ~ ~i 'l v t ~ ~ ,,~ ~~ : Ir~ vi' ~ ~' 1 ~:i ~ ~ ~ ~~ ~~ )~ (Q. UJ \'- ~ u. "" '1 .. .. (1- ' f- " ~ -0 V\ l~ ~ " '- .. ~ ~ ~ .. " ~ \i ~ t Q Il \-- t~ ~ oJ l 'l 'Q I :( æ .. "' \t :J -) q: t ~ tn ll- ' ~. 1 I ~ o ," V' J \ \ " ~ '" t " ~ ~~ . ~ ~ t. ~ ~ i l~ ~ '~ 1nJ Ji) ~ È~ i iJ r-' J-' l ,. '" t 'l "" .. t ~~ ~ ~ "" .~ L t . .. VI l~ l~ l': .... ~ h \"- ~ :t '\ V\ ~ l '" ~ ~ .. '\ \d "" ø '0 ~ ~ ll o0 ~) ) it 1' V\ Q "" \L ~ t II bi"" II q ~~ '- - ': ') .. ~ VI oi t. ., \t 1cO .. \c ¡: ~ \a l) J~ Q ~ l \I QA \J l- \ .¡ ~ J 11 QQ IJ ~ . ~ ~ Qt ~I4i .j l(l (i , " 1 .. J-' J.. y: ~ ~ ~ \! ! 't J ~ ~ , Q \I + + ~ :i ~ ~ ~ j~~ of '" '" \. ~ , ~ ,~ ~\r' ii 1\ - .~~ "- tU ç: l- 0" C' " ~ \1' l () c! J ~ J j ,. .. -. .. .. . ~ ~ ~ V' ~ " ~ \- b Q \I \l S' i WI ~ - l l; ~ "' ~ l .. . ~ ~ \L' .. c; .. l6 "" l ~ '" J ~ 'Q l~ (\J ~.. '- i\- ~ ,- L \I i ~~ ~ 'Q .~ -~ .. ~ 0 I Q. i.. ~ ~~ \I " :: .J ~ .. ~ A- t' ~ ~~ l .) u. .. ~ ~ 0 J ~ l J t l G) \~ 1 - ei ) '\ - ~ C ~ ,. l: t 4 ~' . . .. :) ~ 0 64 \Q 65 l .. , Nonlinear Equations for Perturbations t ~rf l\ Two Coupled PDEs forms a Linear Eigensytem . .. J~ ~ ~ F: 1 Z 0: l' N ,. \ IV ~ ¿l.. ~l-i tu '4f ~ '~ "~ is tr \A J " (\ I c: ~ ) ~ "' ~ ~ + ~ f, ~ "' ~ \1 ~ 'I .. ~ ~ ~i\0 V l f ') ~~ ~ .. t. ~ )o ~ ~ '" J" Q ~ q \r \T ?1tvl) -: nI ~ i~ ~llQ, "\ 1( '0 ::). 1 l ~ ~ t) ~ i- '.. l ~ ~ .. ~ f) ~ 0 )0.1 ~ + '" "0 N :: , (Jj IV -r '" i D 1I ~ ~ ~ ~, '. ~ ~ ~ ~l- . 1J rll ": 'I J.. .. \l ~ ~ Q II II F ~ l) l l j Q Il 1 f1 tl .i \ 'A ~ a: l , -1~ , (\ l Cl t' -i~ -,~ C" rl l~ \ l- ~ 'Jil rII tl ~ ~I- ~ .¡ i. \. L "- ~ \I ~ ~ \, ~ Q 'l i, r' l~ . i~ . l"j "" ': :: ~ , t1 l( \.. "l '" 1 \1 (3" ~ t ~ )J Q '" (~ -l i: l"" 0 l' oj \ .¡ + .( \ .i ~ ~ ,~ ~ L :: t\ ~ ~l. C1 '\ -\ Sp. C1 t' T- "~ l :: '.. l\-' ~ '- ~ .. 1 ~ .: ~ 1 Q l ~ ~ (V (: (1- '- '~ tI I~ ¿q. '\ "''" Q ~ &. '" ': ~ .. "' 4æ 1 "" '1 ~ )-\4J (" + l ') u. " a. q. w ti\ tt ~ ~ u- V ~ ól ~ rl .. " ), \( 1-' '- ~ ~ ~ ~ ~ tl tt ~~ Q ~. \) .. ~ C1 ~ () Cl ~( ~ C' Cl ll- i ~ C" n i Q i .i ~ '.t "~ ~ ~ \I ") l ~ ~ ~ .. ~ F t. Q tI .. c:r ,.. lo Q~ - ~ .. ~ '1) \ù 6: ~ ~ ., ., ~+l q ~ .l i ~ ; .. i: ~:, \\ ~ ~ i. tU 0 Q. .. ~¡~ \tJ tt \ ~ a \. ~ ~ 66 ~ t: Kelvin-Helmholtz Instability ¡. Ii l V, AJ f-( II úA ,. iJ i. -1 l.. S' TV i .. , 1' éJ "" ~ U" .P, ~ ii :. t: J( ~ U-z p , (. k e ,-V.N - H i!h-~Hó(.n- I N ,n+fZIi..., T" DlffT~J L.'~/""'7 t:rc'f.a t:F -l" ç'7Yßt '" i i-K -, l=tÁo(-q a l!t! I ~ ~MIFA. (Hit S" tl ¡SM 0'" E4C'ò""&.( Sr/lAr l ¡:~c.+7ì. ~. 67 -~ IIU S ~, L. i ìT / r i-~ I l./ Il l!r.".~ ,171 l::V ~ Instability/Stability irat (~~ -l ll~= .l - )L( 4J - )¡ c.,J + .. i) r (R,--lT w:: ~(p, £/1 +~ Pc + (Ji. Condition :! y.4, (Ml.) - J.ip'p~ ri.4- ~ + Pl. I At ~ r It 4,( I. C 7' ~H.' øV I i~~r.. ~L.' rr ~ \. -- \r ¡Ot f 68 lJy s r kG' c.c 1-1 A- S I-Æ~ tl-c ~ rlløt71 f&.. c ~7(.,,J 69 Energetics of Fluctuations in Shear Flows ~ J( ~ q. Centrifugal Instability ~~ ': ~ CJ t \ -- ~ \\'1 :: ~ \ r -1-- -I \. ~ ,~ I~ J Q. If) ~ , i I i: l'\ I~\ .+- r, ~ "" ") ~ '" t ~ i~ ~ ~ ~ \( .0 ~ E ~ tI ~ l .. ~ ~ c..... -----. "" ~~ ~ (J IL. ~ t) ~ \t -J 0 .. ~~ -I~ ). ~~ ¿~ () "~ ) ~ J.. ;) t \l \i .l " ~ Q ~ \J t: 'l F ~ l- -l '-( .l= 0 -i "\ ,, ~ ~ .. i () .. ~ ). ~ ~ ~ l\ t: i ......" ~ 1~ ~- \\iJ r ~ o LL \ '1 i \ ~ \ /_ - - - - _I ~ \ I 0- .J -l \~ ~:) '- \\ tJ ~ t~ ~ el \~i F ~~ t 4 . \~\~ Ii · J-l rl W . l~ 1 " I:. '" \ ~ ") - ~ VI \, ;/ (:3 i ..l o .....~, "' t ~~ C\ r ~ "": Q l V ~ (' \-lo ¿\~ "' ~ " ~ V\ t '" \t ~ ~ .. ~ (~ .. .. ~ " c. ¡. 'a ). "" - ~ .. ') ~ " c: L 't II ~ '- ~ :t . "" ~ t: ~ fl fW ,. H OL ~ '" ~ ,. ~ .. ~ ~ c. /" c_:~ ~ + "' ç J V\ ~~ ~ L ~~ ~ (V ¿-: t. \, .. . ~ ') \J t. "" I=' ~ - ~ w t) 0 .. ~ .i \i l i: VI ~ ( \l \l i" .. \0 .. VI V' ') ') \l ~ l:_ ~ C- ~ 0" ~ V\ .. 3 (; ~ a \. ~ "3 V\ qO .i " ,). . ~ "' \L - C- /' u t' \' V\ G ~ J 1: .. t~ 1). '? \0. \ '" -l 1- ~~ L1 ~ ~,. t ~~ -. c. ~ 1; ~ ~ (- lU ~ ~ :) IJ -t r , t- Uj ù. ~ .V CJ ~ "" ~ ~ "~ "" \A v ~ 'o 0 - ~ N t I lU ~ ~l l. () ~ V" \- ~ . '- f: ~ i\6 Cë .. -r t~ \ J. (~ .. ib '- -l~ ~ i (~ ~ ¿~ .. J.~ It: II 't ~ ~ t (:: U1 ~ ( '" '\ ~ 'I J- F 1. -t J i fr ~û I. \\ cJ f" c: t ~ -L 1I f: ~ l. J- ~r .. " -\~ t:s "" VI t:: -l(\ ~ ~ ~ U \U ~ L\l .- ~ .- ~ l\ \ ~ ~ )~ 'i '- ~\~ ~ ~ .. J. d: a: Ët t- J ~\~ ~ (~ ~ J- .. 70 ~ 71 Reynolds Stress May Destabilize Shear Flow ~ ~ ~ 0 ~ ~ () oJ r: J lti ÇJ ~ tl \ì o '- -~ ") . ~ .. .J lL ~ \) 1- Q :) ~ r ~ '- ~ o~ ~ .. ~ Uj t ~ \J ": ~ i lL ": ... ~ j \i It. .j '" () 1 uJ Ql t ~ ~ ~ -0 lJ ì ~ v '" ~ ') (- \t l '- "' 1- ll :: ~ ~ F ~~ V\ 1 '0 '- ~ 't j \l CJ ~ \. l': 1- l.u u lL rt "- Q, '0 t ~3 r ti 't I. \j (¡ .. .. f ,J i. .. .J ~ ~ ) v ~ ~ ... ~ c: f\ ~ .. -- h 1 i r~: \J E ~ Q V' t~ \. \c 3 t3 0 "- t i ~ y. Q () V ~ ct (J Q J ~ ) ~ ~ ~ ~ì í ; ~ f ~ -- \L ¿ ~ -0 t -' .. .ø V' N 't J V\ LL -- y (l .. l ".. \) ( û 3 ~ ~~ )- ~ ) \~ !\ (~Y. .. )l ~~ pr~~~ \1 ~ vi l~ ). -~ ~ ~~ ). .. J; P Î~ t ~ ~ ? (.: '- J ~ l~ J~ -. Vl Q l: J e: ~ l1 Review of Waves/Instabilities ~ - 72 73 Energetics of Fluctuations in Shear Flows ~ J( ~ q. Review of Waves/Instabilities ~~ ': ~ CJ t \ -- ~ \\'1 :: ~ \ r -1-- -I \. ~ ,~ I~ J Q. If) ~ , i I i: l'\ I~\ .+- r, -I~ ). ~~ ¿~ \\iJ r ~ o LL \ '1 i \ ~ \ /_ - - - - _I ~ \ I 0- .J -l \~ ~:) '- \\ tJ ~ t~ ~ el \~i F ~~ t 4 . \~\~ Ii · J-l rl W . l~ 1 " I:. '" \ ~ ") - ~ VI \, ;/ (:3 i ..l o .....~, "' t ~~ C\ r ~ "": Q ~ + "' ç J V\ ~~ ~~ ~ (V ¿-: t. \, .. . ~ ') I=' ~ - V\ G ~ J .. t~ 1). '? \0. \ '" -l 1- ~~ L1 ~ t ~ 1; ~ ~ (- lU ~ ~ :) IJ -t r , t- Uj t I lU ~ ~l l. () ~ V" '- f: ~ i\6 Cë .. -r t~ \ J. (~ .. ib '- -l~ ~ i (~ ~ ¿~ .. J.~ It: II 't ~ ~ t (:: U1 ~ ( '" '\ ~ 'I J- F 1. -t J i fr ~û I. \\ cJ f" c: t ~ -L 1I f: ~ l. J- ~r .. " -\~ t:s "" VI t:: -l(\ ~ ~ ~ ~ L\l .- ~ .- ~ l\ \ ~ ~ )~ 'i '- ~\~ ~ ~ .. J. d: a: Ët t- J ~\~ ~ (~ ~ J- .. 74 t) 75 Three Size Scales for Turbulence How Big is the Reynolds Stress? \\ '4 DC \I ~ .. ~ ~ ~ ~ ~ 'S .. .. ~ ! l '" + t ~\~ VI J ~0 J \: 'l Ù \i ~ ~ ~ .. ~ ~ ~ 'l .. -- 0 \J vt ~ 40 (. ~ \l .. .. .J ~t J 'i \.tJ \ß "t " .. ,~L : i lJ ~ '" \w \f " .: ~ ~ t~ "- ~ .. J S~ l I~ .i 1\. ,J ~~ \£ t Q\ ~ 0 ., \u i. lw "" ~ .. ~ l ti ~~ ~ $ oQ ''" 0 ') ~ , \r t l\I i ~ I.. "' l tl ,. " r~ ~ .(~ ~ t 1 ~:i .. b\J 't:s ~~ ~ ~ tc' 1, 0 " \I ~ .. .. ~ ~ ~ l ~ ~ ~ li ), LI .\J Wl ( " ~ ~ .. " t "" V ~ ~ ~ "q .. .. \J ). .. -- ' .l .-V it L "" \ \n 1 ~~l ~~ "5 d ~ Il ~ .t ~ '" r ,~ 4 .) ~~p~~ :1 ~ l- 1 '- ll 3~ i \L ~ 't (. t 'U ~ ~ cr \L ~ \L ' .. f )w lt .. ~ i j ~\ CW et ~ ~ ~ ,. ~ \¡ ~ t= lI "" 'l 'l '"' ~ , " c) i= ~~ '; ol ). Q ~ e( .. ~ ~ ~ .t ~ t ~- o t: r (. V11 l \J ~ 1 't t if \() \A 'ò \I ). 4 l " .. ') ~ ~ ~ "- ct .. ~ "" .. .. i ~ ¿~Lj ~'~! l ~ 't ~ ~ ~.. ~ \t ~i ~ \& ~ ~ ". '" \i~ ~ i b\ ). t" ~ ~ \ l~\~" '), '" ~ r'~ II t -iU .. ~ \0 .. 0 v '" ~ '" .. V' i ( ~I F ( OJ'" .J \J 'l C! :1 - 6 \c ~ l:S-l \l~ l t: ~ ~ .... 'Q ~ to "" ~ t: i: ow ti - .. c3 \- ~ ': ~ ~ \J : ~cv 1~ ~~! ù J .. .. L. (\ \A ~ ""i ~ '0 Q. ~ 1= t/.3 L - \. r- ~ ~~ ~\) Ot' t V\ \e iL~ ~ t 1- \\ Q '- .. ~: "" "" " i 5 i. u. ( 0 .: 1 76 of ths range, for which i-I ~~ K ~~ ri-I, is caled the inertial subrange, as Both production and dissipation are small in the inertal subrange. only the range. transfer of energy by inertial forces (vortex stretching) takes place in this The production of Power-Law Spectrum of Fluctuation Intensity ~ equilbnum range .. k- inertial subrange 1 tion energy by large eddies causes a peak of S at a certain K ~ 1-1, and the dissipa S var of energy causes a shar drop of S for K ;: 17-1. The question is, how does with K between the two limits in the inertial subrange? ... dissipating range 10-1 s 10-2 .. .. .. .. 10-3 .. .. .. 10-3 10-2 10-1 Kri Figure 13.12 A typical wavenumber spectrm observed in the ocean, plotted al data. unit of S is arbitrar, and the dots represent hypothetic on a log-log scale. The 77 ,6 Dimensional Analysis i '" \A D i- ~ j \.L J\ 0 - ( - ~ ~1 ¡~ \ ~ l \l -\~ ~ ~ "' ~ "" ~ ¡ 0 \) ~ ~ t- L ,. \ -(0j ~ ~ ~ Vt ¿ '" .. .. )0 ~ N tI r" (V , J .. W~ -i ,_ i CJ ~ I r- \ ) ~ ( ~ ~ ~ u. 17 r" 9 í'.. ) ~Q w ! v '" ~ \l ') .. 'I ~ '" ~ f l rÓ J L. F V) fI ~ ~ ~ 9 ~ w lA Vl v lJ t ( ~ ~ i: l 'C \.. J I- \J ~ )- t ¿ ~ - , r~ \ IV r- Ó i5 íJ LJ ~ 0 -. Q, "1 ~ ! ct ~ ~ 0 ~ to ) '0 " ~ ~ J t l( 78 79 G ). ~( J Energy Spectrum of Fluctuation ,.~ ~ -i -i What is the magnitude of the fluctuation energy? ~ '" Î1 if C! ~ß ~ ~ ). t l )- e ~ . ~ l (\ \ ~t ~ ~ L/' 7 V l () Jl~ t ~ '- -i . ~ 01 - ~ (Kolmogorov’s Dimensional Analysis) do lci r- ~ e\ \I o~ :i lU) .. -i W \t " ~ '6 Q ~ ~ l ~ ~ ~ Q, )! ! j~ . ~ f I ~ ~ i -i rJ ( ,. lG I:. ..M ct l l-J l) L- -S ~~ t t! ~ \I .. "" N 'i ~ Vù .l ~ .. ~ 11 M, " Ql a~ ~~ t \: ~a l~ ,. \ l" " '" Q' ~ ..l~t ~ ~~ a \U ~t ~ l-i ~ -~ J l- i .) Q ~ 3 .l ~ ~ Ö ~ " \i ~~ (" ~ "' \l r 1) ~ o , \- \=o~ ì (t ~ ~~ ~ ~ +~ ~ ~ ~ i. ~ ': r ~ i: ~I! j ~~ ~I ~ ~~ r1 t ~ l: f; ~ ") \ -i W l r' -- (ti 0 ~ r J !~ i~ (í -. -. l. J \ u. (~ J tl ~~ l ') ') l~ lv ': -l J l. Il ~ d. ~) -. ~ at -l '" \."' N\ ~ l. ). l ~J ..M ~ L. !~ $ ~ ~ r: ~ ~, l "' W ~~ uJ ~t :t =i lU ~ ~ r' \ \ l \l \t '" () ~ \J t i ~\~ ~ 1\ ~ \J .l 'I '" ~ ~ ~ 'tW L -~ \J ~ W r ,-1 ~ '. , "~ LJ $ ~~ \1 II vJ C! , ~ 'i (ò M ~ ~ ~ \( (J cJ C" .3 u. 80 l" t ~~ .. "' pC . . - 1 V) .. ~ "\ ~ rJ c. ~ I ~~ '\ .. 'n '\ t" () ~L C) c '\ - e "" \. )~ 0, ( II '\ po ~ "' \1 ,.c- r ~L lI ~ .. "n l~ ~~ ø- r ." 1\ '\ "" "' "'t ii ( r ~ ~ l '\ e ç: ~ (\ Ñ o ~t t .. ~ ~ ~ 1 r( '\ ~ i l~ c "ft Øi d '\ \t-~ '" c .. "" ~~ " .a '\ () ..-~ 6- -~ '\ '" "l i1 g '\ ~ (f :: tl \:; i i\ "' \ ~ ~,\;t ntl ~ c "' Ç) '\ c .( '1 -l' ~r i. ~ ,. ¡ i C) ~ ~ '" ,~ t l' ì, (Blasius, 1908) (l ~ ~ • Viscous Boundary Layer ~1 p ~ t -I ~ (1 cl 1\ C V\ ~ 0' . II ~ , (11 "l\- ~ il "\ "'i (. ) ~ ~'\~ci .. r '" C ~ I; s.) ~1 r (j Lecture 22 * \\ ,l ~ ..r "V i. tI - I( l ..) ~ -( \.. ~ \ Sl .. l-.%~ CJ i 1\° '01t ~ ni rC ri ~ ~ )l H \J ~ ~ ~1 -! '\1 -l ~ 01- r \- "" .( ~ .. s:N ~~ ~~ ~ % ~ r ;: fe ""'0t .(J Uniform Flow Across a Stationary Flat Plate o ,l ~ \~ 82 81 . , f1 . . c; .. ~. ~ ~ c I ~ v) r ro ~ C? m -1 0 ~ s: 1 .~ ~ t .. V\ 1) . ~ f' .. x~ \ -(') .. ~) 1 rn ~ ", . . r-c :r 0 c tI Co, t ~ ~~ ,.s: ;: ';' '" ,i 1 ~ v , t ~ "" ~ r; -. ~ C' - ~ Jl ~ 0.1 ;: 't f- Co v -- t -l ~ \ ~¡: 1- 1U '" '" ." ,. .i l) \ ~ IJ I ~ l" ,. ~ t= iv ~ ~ l .. 11 ~ -l 0 t" 1 7I ,. '" -( k~\~ ~ V) ~ i' ~ 9v \ ~ c, ~\ l: r ~ J f) c t. t~ '" + , .~ frJ + -- 9,~ s: t"( ,.,t j ~ t ') tV "" f -t 'Ti ~ \I l. i '~~ y.\ .,ç ~ ~ ~ :,.r: ~\L , '1 l ~ \ ~ '" Iv , rat 'I f 11 T J: ~ rl ~ iJ)kJ 'I ~ ~ -Ç + Ñ1 \) .. ) t \) ,) l i ;ì ~ ..~ L. ~ \ ~ (l ~ -r ~\~ "" ~ .. l;I~ "( ., ~ 'V \~ II lJ,i; r1 ~ -- .c i~ rv , I t UT r i' 0. y ~II ~ e "' l, lJ) l. "" ~ n "" 1- l ~~) f 9-, ~N n "i ~ ~)~ ~ \. + "' ~ "" 1l. I l) '1 \) , ~ ~ I\'l,x 01 i -ç¡ N -t ~ ') ~ C) (. ~ .. ~ ~G 0 è" r (. l' 1\ ~ ~ -( c: ~ )1U,. 11 rJ y. .. .) ') ~ ~~ ~ ,. . t. .. .( L \ ~ \J \?. ¥ ~ Iv! ~ L ). ~-(-t t (' r~ to L "' )( L "" .c ~ ~ IfL", IV I L", ~.,c. ,,~ V\ f\ y. , ~ ,. -( u. ~ -Ç "" ~ ~ .c \ , 1- +~t ~ ~ ~ o \ L.. , rr "t ~~ -- t... ~I ~ tv " t " .. 0. (' ,i I) What are the magnitudes of the terms in Navier-Stokes? Blasius Flat Plate Solution i )J 1 ~ ~)~ -( -o )' -f ~ ~ 83 84 (continued…) What is f(η)? l II Boundary Conditions ~ " ~ 85 ;~ ~\ 1. Q Q ~" .. ì- ~ l' l- l\ ~ t' ~ C1 )-( (i ~ ~ l- t ii: ~~ ~I~ 0 f. v t Q. 's& ~ '" Cõ " ~I i T\ x (( l 0' I.. l" () ), ~~ f Cl ~ ~ .. .. ~ y.. \J (I )-I~ ~ ~ 0 tJ \~ T\ i- t- ( ,Cl l' :f ~ ,. ~ t' ii , ,, 1I .. r:) -( ~ \J VI ~.. .. ~ " t( 'Å \11 l"r g t" l' ~ I ti (j :r ~ ~ ~ ii ~ 'i ~ '~\~ '" ~ f- \ \l ~I~\~ ~~ ~.. '1 IV ~ \\ ~ J ~ .. " ~~ ~\)o U )C ~" f' .. A, i. ': ~ ! ~-l c ~ "( \( ~ ~ yj \I n + ~ q. \~ f- J & -~ "l "' ¿ J 'N 0 .. ~ '- 'J'I ~.. ?t s: ~ '" \~ ..\f ~ .. '\ ~ .., :: ~ ~)~ f ~ i ~ -: t II ~ ., Q ). " .. \l t ~ f) l\ ~ rJ~ ~ .. ~".. ~ ItJ "r t. f"J ~\~ )l ~ (\ ~ y. .. v I\ .? ., , ~\~ ~ ~ '" ~ r- Ý (:J ~ .. (, , ~ ~ ~ ': ") ~\ i!: ~ ~~ ~~ --\ iJ ¡oJ Vi "- . '" t- ~ t ~ ,r ~~ Ul ~\~ l. ~ ~ ( .. ~ Q ~r 'Ì ~ '" \\ ~ )).. cA\- ¡. " V\ ~ ~~ ~ .. \. -) ß.r rJ ~ ,. 't æ. i "- C. t ~ ~ ç: \ ~, I . , f ;i Q J -0 86 87 '~ Geostrophic “Statics” ,~ .. "" 0 -. ~ ~ .. '" ~ v .. ~~ ~\ ~ II \J v ~~ c: ~I tt\ ~\ 0 l ~\~ .~ l! Lecture 23 • Geophysical fluid dynamics ~~ . ~ \J ~ G .. " t' Q.\ '( Q.i ). t" t1 ~ '1 .. \ü (l f ~ ~ .. .. oJ .... 11: t l .i -l~ (I æ '" w .J 0 .. ~ l Q \J ~ iJ ') 'U ~ .. t. ~ .. '3 'l \J (-- -\~ 'l~ ~~ ~~ l'j X (.. , II II ) .. ... to 1l S ~ IJ 'f ~ ~ ~ ~ è' ( \. l- ~ - .. - ~ \; ~ .. "0 t1 i .. i I~ \o IJ .. .. tl, ~ "' ~ ). c: ~ (: VJ -' -' \, I, \o ~ \I '" ~ ~ lt) l C"~ ~l). J t --~ -l~ Q.\'( ri C' i \ ic' (:s t i \J Q .i i ~ ci\~ , l~ ~ ow 1\ j\ l') \i ~ ~ () , i ~ \J l\ ii I~ oJ '- ~ \. ": ~ "l t 0 \. -J ui ~ -t l- ~ V\ ~ I. ~l \i t: ) .. H ': 1~ 0- ~ l \. \U .. (~ 0 ~). .. 88 89 ri ~ ~ Il Geostrophic Flows at Mid-latitudes l i ~ 4 fi ~ ~ J i \~ 't ~ ct q -~ :. U. ~ a r ~ \I /" \I ~ '" ') .. \ i. '" . ) Q 11 æ. II ~ ~~ (“Shallow” Fluid Equations) .. 3 \A ~ '0 .J t= ~" , -i ~ -\ "" '~ ~~ ~'( \, t" i~ \ ~ Cl \ ~ ~ r\ '1 ~ l~ Dynamics of a Thin Layer , ~ '\ ~ 4 .. ~ l F ~ ti :· .. _ V) wt t~ w L 'U o~ tl. Q. ~Q Q ~ "l I Q II o~ f' J ~ Ii ~ ~ ~~ '" ""~ ~ ~ "' q .. "" Q ) '" ti ~ .. -l .. , r i1. :i "\n ~ ~ ~~ .. ~ \l i: .. ~~ .. 0 "~ ~(~ h \ ). J li ~\ t\ N )I ,. t: \ ).. t n "" ~ I ~). t 'nl (' A .. +- Q ~ .. 7$ 1- t ). ti .. u .J 9 .. ¿: -: ~ ~ '0 "" \. U ~ .. t \' ~ ~\ ). .. ~ :) ~ i ~ oJ ~ ~ ~ "" ~ ., . ~ .. ~ ~ ~iX C1 ~ ~l 'l ~ V ~ '+ a. ~ .. i-' Ii II Q. h r ) () l! ~ "" l n C\ C1\ t' ~ \ ~ 0. .i :: "" t' ~ 'u .. + tc\ Jw C1 " ~ \ l. C" f\ ::, ti ~ .. '1 n ~ /' ~ ~.. '- .. :: '~ ~ ": ). .. ~' ~ .. '" '- .l ~(\ ~ ~ ::~ + )' t" \C\ .§ i. .. ~ (' l\ ~\.u Cl '1 .. ~ \' :)1 J.. ~ Q.I'h + t' \ C\ ..ri .J ~ \a -i \l ~ 'l .L '" 'd :r 1- "l 3 "" ~ ') i. ) \I Q J (J ~ ~ .. r6 c¡ '~ Q. \ ). ci t' ~\ ~ 1L J '" f\ '-= l: ~ ~ + ~l~ ,, "' ¡: -+ QA ~I~ ~ ~ l ~"' lL .J v ~ t .. :( "" -' t: ~ ., ~i ~~ l l: 1: --~ -. \ ~ ~ :r ~ "' :: C II ~ o ~\ .. C' +. :i '~ \\ \\ .. .. ~ F ~\"~ " /" ". "' \.. U '""' t. .. '- Il \ß ~ \U () ,l " II ~r C. CL ~ I. i~:i i-: "" -t ~ \J .. ~ \ .+- .: ~ Ì\ - -\. '\ )... ,~ ). .' .. lw ~ ~ ~ Il I~ .. ~ ,: ~ A -- II l~ . :: "- .. -l ,. :s o tJ L cC \ -i r- t' . D :i'- ~ .. ~ (: ). n- -: ~ ,0 D ~ (- "" " 90 91 f( Conservation of “Potential” Vorticity .~ , 0 II Euler Equation for Rotating Thin Fluid ~ ,. .~ .. t~ ,~ l- '+(Ii CO .. + i- t l .. .. '" + .: ~ t ~ ~ ~ 'û ~ ~ ~ d li ~ J.. o 3~ o ~ ~i~ :) ~ b- ~ ~ u. i ~\~ ~ ~ ~ ". ~ t'\~ ~ 14 t:' ~ \1 ~ 'w ~ .. "" . '" .. ..I~ a. .. ~ ~ ~ ') ~l ~ +- ~ i'I 'l \ .j ! ,. " ).. .. tee ~ ') .. Ul t .. 0. ri ': ~~ t~ t :) .J & ~. ~. -D0 .:T , p )- Q II + ~t' oa -+i.v rl C\ II CI ! '" ~ \J l II tL , t '~ \ ~ .. ll ~ 'a 'U .l ~ I~ ~ t~ .:i. h ( ~ +- .. tlj /' .. ~.. '- .w .. t t .J -l F \J .. ',. .. t t J~ ;i ) + a "i .. \ 0 ~ ,~ + -; .. \ $l~ QQ Q .. ~ ~~ '".. ~ !U /' ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 -! :r /" /' ~i: .l \. \l ~ .) + ~ + t. "" ~ '" oJ '" n. ~ ~ ~ l\ ~\~ 'f: Q I' + ti it "* \J ~ I :: i) V ~ . ': i .. 4~ ~ ~\~ ~ ', .: i; . l~ :c 0-i i . \ l )__ ct\~ I'Ì -+ i ~ \"" 'i l- f\ -i .. , ~ ~ \L '" ~\ \l '" ~ t. (L -: I l.: ~~ ~ ~ cc ~ \l, :l + * "Q " ~ ,¡¡ .0 '- ~ ~ ~ ¡: -i lU ~ -i $ ~ .) ~ ": ( )- ... .. .. ~ Q \U ~ ~ ~ "" Q 't ~ ci ~ CJ i~ o ~ ~ ¿) \ 6 ~ \ ': ,i \ .¡ e C\ ci itJ ~ C' ~ ~ -, Vl UJ ~ (\ ~ ~ tù ~ \U \! 0 '- l ~ ~\ 92 93 Physics of Rossby Waves , (t Rossby Wave Equation ~ Q u ~i~ ""l i: ~ Nri Cl ~ f ~). aa '+ "' .ci J¡ r" + q ~ ~ II ~ J I' " " ~ ~ ,¡ r- t ~ ~ (' ~ 1 c: ). ~ + i + 1- t ). ~ It'.l o 0\1; / -i ~ "' ~ .J ~ +' n- "\ "- "" (. ~ .. õ) Q ') ~ \' '1 ~ ri i~ ~\~ ~ t\ f\ ~ i u \, I: ~ \i ~ ~ ( ~ ~I x w \.. l' l. '" -i w i 0 l. t -t ~ ~ v- '" r .. ~ ~ , ( ~ ~ '" S tJ ~ 0\0 '" ~ :\Æ ~ l( c. t\ n ll ~\ -À G"\~ ~~ .. Ii ~( ~ "- l t "' '- o .. .. ~I ;t t: + J:liJ ~ ~l~ ~I~ "\ ~ "1 ~ , 'u t ~ .- ~ , , ,. n (\ J 1 't "" ei G) " "~ 1. la ~ ~ J ~ .J "" '\ ( ,( -* \u l: q .-i \l ": ~ " ,:: J. ~ VI ~ VI ': ~ \l '\ .. ( ~ v ~ (i ( t '- J .i Y -l · \ù ~ ~ v ~ ~ ~ L .. '0 ~ Q \" '* ll I' ~ i. .: :: i .. ¿ 1 ~I ~ t ~ . .. ;:\~ ~ ) t + t- cvC1 ~ i ..~ .i ~ "' , Q. ~ ~H t\ '" ~ ~ ~ rl ., Q 41 ~ \f ': - "" ~~ ~ "" ~ t.1.. 'l ~ ~ it ) .. \Ù ~ ~C" I ~ Q Vt ~ ì ;J cl (1 \ (" + .. ~~ ~ LL J:i '" N rt v \ù C: .. ~~ i: , ow '~~ l r' C' ~ ~ ~ \P V\ "" l ~ .. . t~i ,~ e V' t c- ( C" ~ \II 11 (J U\4- ~ i- ç: o /' - .. ~ ". rl \11 t .. f3 Q ~ i =; \~ 1 .. \L .Q \I ~ " 94 Final Exam Questions… 1. Bernoulli’s 2. Dimensional analysis, Potential flow, Scaling 3. Complex velocity potential 4. Linearized disturbances (Gravity Waves) 5. Linearized disturbances (Boussinseq Eq) 6. Motion of a line vortex 7. Applying Blasius theorem, drag 95 ...
View Full Document

This document was uploaded on 10/18/2011.

Ask a homework question - tutors are online