kontsyslos090527

kontsyslos090527 - LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LÖSNINGAR...

Info iconThis preview shows pages 1–2. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LÖSNINGAR MATEMATIK Kontinuerliga system 2009–05–27 1. Alternativ 1: Vi homogeniserar randvillkoren genom att sätta v = u- 1 . v t- v xx = 1 v (0 , t ) = v (1 , t ) = 0 v ( x, 0) = 0 Sedan ansätter vi en sinusserie v ( x, t ) = ∑ ∞ k =1 v k ( t ) sin kπx och utvecklar även högerledet. ∞ summationdisplay k =1 ( v ′ k ( t ) + k 2 π 2 v k ( t )) sin kπx = ∞ summationdisplay k =1 b k sin kπx, b k = 2 integraldisplay 1 1 · sin kπx dx = 2 kπ (1- (- 1) k ) Lösningen till v ′ k ( t ) + k 2 π 2 v k ( t ) = b k är v k ( t ) = b k k 2 π 2 + c k e − k 2 π 2 t . Begynnelsevillkoret v ( x, 0) = 0 bestämmer konstanten till c k =- b k k 2 π 2 . Svar: u ( x, t ) = 1 + ∞ summationdisplay k =1 b k k 2 π 2 (1- e − k 2 π 2 t ) sin kπx, b k = 2 kπ (1- (- 1) k ) Alternativ 2: Vi homogeniserar istället med hjälp av den stationära lösningen u stat som är lösningen till- u xx = 1 , u (0) = u (1) = 1 . u stat =- x 2 2 + x 2 + 1 . Sätt v = u- u stat . v t- v xx = 0 v (0 , t ) = v (1 , t ) = 0 v ( x, 0) = x 2 2- x 2 v ( x, t ) = ∞ summationdisplay k =1 d k e − k 2 π 2 t sin kπx, d k = 2 integraldisplay 1 ( x 2 2- x 2 ) sin kπx dx = 2 k 3 π 3 ((- 1) k- 1) Svar: u ( x, t ) = 1 + x 2- x 2 2 + ∞ summationdisplay...
View Full Document

This note was uploaded on 10/07/2011 for the course FMA 021 taught by Professor Pellepettersson during the Spring '11 term at Lund.

Page1 / 3

kontsyslos090527 - LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LÖSNINGAR...

This preview shows document pages 1 - 2. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online