kontsyslos090824

kontsyslos090824 - LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR Kontinuerliga system 2009–08–24 1. Egenvektorer: ϕk = e−5x sin kπx, k = 1, 2 , . . . Egenvärden: λk = 25 + k 2 π 2 , k = 1, 2 , . . . 1 10x Skalärprodukt: (u|v ) = 0 u(x)v (x)e dx Vid beräkning av (ϕ1 |ϕ2 ) försvinner exponentialfunktionerna. 2. Låt D vara området 0 < x < L, 0 < y < B och sätt Au = −∆u, DA = u ∈ C 2 (D ), u(0, y ) = u(L, y ) = 0, uy (x, 0) = uy (x, B ) = 0 kπy jπx cos , j = 1, 2 , . . . k = 0, 1 , 2 , . . . L2 B2 kπ jπ + Egenvärden: λjk = L B c λjk , c = 335 Egenfrekvenser: fjk = 2π c Lägsta frekvens f10 = = 670 ger L = 0.25 och vi ser att f20 = 2f10 = 1340 och 2L f30 = 3f10 = 2010. Då måste 1498 = f11 vilket ger B = 0.125. Kontroll visar att f21 = 1895 och att f12 är större. Egenvektorer: ϕjk = sin 3. Efter homogenisering och udda spegling blir x u(x, t) = T0 (1 − erf ( √ )) 4at 1 L2 u(L, ) = T0 (1 − erf ( )) ≈ 0.5T0 a 2 4. Tidsoberoende värmeledningsproblem där q = 70, λ = 0.2 och α = (1, 2). q δα , x2 + y 2 < 25 λ u = 20, x2 + y 2 = 25 −∆u = Efter homogenisering och spegling till α = (5, 10) blir ˜ 1 1 70 (ln |(x, y ) − (2, 1)| − ln( √ |(x, y ) − (5, 10)|)) 2π 0.2 5 350 u(0, 0) = 20 + ln 5 ≈ 64.8◦ C 4π u(x, y ) = 20 − 5. a) Empiriskt gäller att j = −D grad u. Då blir flödet i normalriktningen du j · n = −D grad u · n = −D . dn b) För varje egenvektor u gäller att (u|Au) = λ (u|u). c) 6. u = ∞ k =−∞ ∞ c eikx ϕ(x) dx −∞ k ≥0 >0 är konvergent för alla testfunktioner ϕ. 1 2 − r 2 (s2 − ) där s = cos θ. 3 3 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online