kontsyslos100113

kontsyslos100113 - LUNDS TEKNISKA HGSKOLA MATEMATIK 1....

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LÖSNINGAR MATEMATIK Kontinuerliga system 7.5 hp 2010–01–13 1. Modell för 0 < x < 1 , t > 0 : u t - u xx = 0 u (0 , t ) = 0 , u (1 , t ) = 100 u ( x, 0) = 100(1 - x ) Lösning: u ( x, t ) = 100 x + s k =1 200 (1 + ( - 1) k ) e k 2 π 2 t sin kπx 2. Temperaturen är tidsoberoende och vinkeloberoende. Värmeledningsekvationen blir då u ′′ ( r ) + 1 r u ( r ) = 0 , u (1) = 70 , u (3) = 20 Lösningen blir u ( r ) = a + b ln r med a = 70 och b = - 50 ln 3 Svar: u ( r ) = 70 - 50 ln r ln 3 3. Egenvektorer: ϕ 0 = 1 , ϕ 1 = x, ϕ 2 = x 2 - 1 5 Egenvärden: λ 0 = 0 , λ 1 = 4 , λ 2 = 10 Skalärprodukt: ( u | v ) = i 1 1 u ( x ) v ( x )(1 - x 2 ) dx 4. Jämn spegling plus d’Alemberts formel ger u ( x ) = 1 2 I x +10 x 10 θ ( y + 2) - θ ( y + 1) + θ ( y - 1) - θ ( y - 2) dy x 8 9 11 12 1 5. a) u ( r, θ ) = J 2 (2 r ) 2 J 2 (2) sin 2 θ b) Att U = U k är konvergent i distr.mening innebär att U ( ϕ ) = U k ( ϕ ) för alla testfunktiner ϕ . Då gäller för den termvis deriverade serien, och alla
Background image of page 1
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.
Ask a homework question - tutors are online