flerdim090526

flerdim090526 - x, y, z ) ¨ar ̺ ( x, y, z ) = z ....

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
LUNDS TEKNISKA H ¨ OGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK Flerdimensionell analys 2009-05-26 kl 8–13 INGA HJ ¨ ALPMEDEL. L¨osningarna skall vara f¨orsedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullst¨andiga meningar och f¨orklara dina beteckningar. Ge tydliga och enkla svar d¨ ar s˚ a ¨ar m¨ojligt. 1. Ber¨akna dubbelintegralen ii D x y dxdy , om D ¨ar triangeln med h¨orn i punkterna (0 , 0), (1 , 1) och (0 , 1). 2. a) I vilken riktning fr˚ an punkten ( a, b ) har f ( x, y ) sin maximala tillv¨axthastighet, och hur stor ¨ar denna? Bevisa ditt p˚ ast˚ aende. (0.5) b) S¨att g ( x, y ) = 2 x 2 + 3 y 2 och P : (3 , 2). Ange en ekvation f¨or den niv˚ akurva till g som g˚ ar genom P . Rita denna niv˚ akurva och best¨am en ekvation f¨or niv˚ akurvans tangent i P . (0.5) 3. L¨os diFerentialekvationen ∂f ∂x 2 ∂f ∂y = 8 y med hj¨alp av variabelbytet b u = 2 x + y v = 2 x y . Best¨am ocks˚ a den l¨osning f ( x, y ) till diFerentialekvationen som uppfyller villkoret f ( x, 0) = x 2 f¨or alla x . 4. at K vara den kropp som ges av olikheterna x 2 + y 2 + z 2 4 och z r x 2 + y 2 . Densiteten i punkten (
Background image of page 1
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: x, y, z ) ¨ar ̺ ( x, y, z ) = z . Skissera K samt ber¨akna K :s massa. 5. a) Visa att om f¨altet ( P ( x, y ) , Q ( x, y )) ¨ar ett potentialf¨alt i D , s˚ a ¨ar ∂P ∂y = ∂Q ∂x i D . Ange ocks˚ a ett villkor p˚ a omr˚ adet D s˚ a att omv¨andningen s¨akert ¨ar sann. (0.3) b) Det elektriska kraftf¨altet utanf¨or en positivt laddad partikel i origo ¨ar (i l¨ampliga enheter) ( P ( x, y ) , Q ( x, y )) = ( x ( x 2 + y 2 ) 3 2 , y ( x 2 + y 2 ) 3 2 ) Visa att f¨altet ¨ar ett potentialf¨alt i omr˚ adet D : ( x, y ) n = (0 , 0). Ber¨akna ocks˚ a kurvintegralen i γ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy , om kurvan γ ges av b x = 1 + t 3 y = t 2 , d¨ar t g˚ ar fr˚ an − 1 till 1. (0.7) 6. Best¨am det eventuella st¨orsta och minsta v¨ardet av f ( x, y ) = e-xy , om a) x ≥ 1, y ≥ b) x ≥ 1, y ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ 4....
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online