flerdimlos080825

flerdimlos080825 - LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK SVAR...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK SVAR OCH ANVISNINGAR Flerdimensionell analys 2008-08-25 a) Svar: Att Q(h, k) > 0 för alla (h, k) = (0, 0). 1. b) Svar: (0,0) och (−1, 1) är stationära punkter. (−1, 1) är en lokal minimipunkt. 2. Svar: f (x, y) = 6y2 − x2 + xy + g(−2x + y), där g är en godtycklig C1 -funktion av en variabel är den allmänna lösningen till differentialekvationen. Lösningen f (x, y) = −x2 + 6y2 + xy + 2x − y uppfyller villkoret f (x, 0) = −x2 + 2x. a) Svar: Se figur. Nivåkurvan är parabeln y2 = 4x. grad f (1, 2) = (4, −4) 4 ′ b) Svar: Riktningsderivatan fv (1, 2) = . 5 c) Svar: f växer snabbast i riktningen (1, −√). 1 I denna riktning är f :s tillväxthastighet 4 2. 3. y 2 x 1 grad f (1, 2) d) Svar: En ekvation för tangentplanet är 4x − 4y − z + 5 = 0. π 4. Svar: Trippelintegralen är . 4 Man kan räkna med upprepad integration eller med rymdpolära koordinater. Området är ett halvklot. z 5. Svar: Se figur. Den skuggade ytan är snittet mellan 2π skålen och planet y = 0. Volymen är 2 3 På skärningen mellan konen och planet z = 0 är r = 1 x2 + y2 = 1/2. Paraboloiden och konen skär varandra y då r = 1 och då r = 3. På skålens överkant är r = 1. 1 Volymen av skålen S kan beräknas som x RRR 21 dxdydz = S = RR x2 +y2 ≤1 6. x2 +y2 +1 z√ 4 x2 +y2 −2 dxdy − RR x2 +y2 ≤1/4 0 z√ 4 x2 +y2 −2 dxdy −2 a) Svar: Se läroboken sidan 352. b) Svar: Kurvintegralens värde är π. ∂Q ∂P = . Fältet är singulärt i punkten (0,0). Man Här är ∂x ∂y kan exempelvis beräkna kurvintegralen genom att sluta kurvan och använda Greens formel på området D i figuren. y 4 D γ 1 12 x ...
View Full Document

This note was uploaded on 10/07/2011 for the course FMA 430 taught by Professor Tomaspersson during the Spring '11 term at Lund.

Ask a homework question - tutors are online