Anselin空间面板模å

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Unformatted text preview: Anselin (1988) 空间面板模型的快速一致估计 Fast and Consistent Estimation of Spatial Panel Models of Anselin (1988) Specefication 张征宇∗ 上海财经大学经济学院 朱平芳 上海社会科学院数量经济研究中心 摘 要 与Kapoor, Kelijian and Prucha (2006)模型中的误差成分(error component)设定不同, Anselin (1988)模 在 型中,空间相关只存在于误差项中的的特异质成分(idiosyncratic innovations)中而不存在于不随时间而变化的 个体效应中。在正态分布的假定下,极大似然方法虽然可以得到参数的有效估计,但因该方法在实际操作中涉 及复杂的非线性算法,当模型的维数很大时,极大似然方法对普通研究者未必是可行的或经济的;另外当误差 项不服从正态分布时,极大似然估计不一定能得到参数的一致估计。有鉴于此,在本文中我们对模型提出一种 可行的(feasible)广义最小二乘估计方法。我们证明了估计量的一致性和渐进正态性。Monte Carlo 实验表明, 在小样本情形,广义最小二乘法可以获得几乎和极大似然估计量相同的估计效果。与极大似然估计量相比,广 义最小二乘估计不需要假定误差项的分布, 且在大样本的情况下, 容易快速简便地得到估计结果。 而 更 §1 引言 近来关于静态(static)空间面板模型的文献中,模型的误差成分设定通常有两种情形。其一假定空间 自相关只存在于除个体效应项之外的剩余部分, 不存在于个体效应项中(见Anselin, 1988, Baltagi, Song, 而 and Koh, 2003, Anselin, Le Gallo, and Jayet, 2005, Elhorst 2003, Su and Yang 2007, 以下简称Anselin 模型)。 在另一设定中, 间自相关同时存在于个体效应成分与特异质成分(idiosyncratic component)中(见Kapoor, 空 Kelejian and Prucha, 2006; 以下简称KKP 模型)1 。以上两种设定尽管看起来类似,却意味着不同的空间 溢出(spill-over)机制2 。这两种设定互不嵌套(non-nested),有其各自的适用性和局限性。Anselin模型的局 限之处是它未能允许个体效应中可能存在的空间效应; KKP 模型的局限性在于它未能区别对待对个体的 永久性冲击(permanent shock)的空间溢出效应与对个体的暂时性冲击(transitory shock)的溢出效应。 意 注 到以前文献对Anselin模型的参数估计讨论中,通常假定正态的误差项并采用极大似然方法(Anselin 1988, Anselin, Le Gallo, and Jayet 2005, Elhorst 2003)。 大似然估计的优点在于当误差项的确是正态分布的时 极 候, 计量是一致而且有效的。 而这一方法也同时存在着以下两大缺点。 一, 误差项不是正态分布 估 然 其 当 的时候, 大似然估计量可能是不一致的; 二, 间面板模型对应的极大似然函数的特殊形式决定了实 极 其 空 ∗ 电子邮箱: terrier zzy @hotmail.com Egger and Pfaffermayr (2006) 提出一个同时将Anselin模型与KKP模型纳为特殊情形的一般模型, 通过检验模 并 型参数的线性与零约束来区分Anselin与KKP设定。 2 见Baltagi, Egger and Pfaffermayr (2006) 中关于厂商生产力(firm productivity)的论述。 1 Baltagi, 1 际计算中必然要涉及大量的非线性算法(模型的极大似然函数形式见后)。 别地, 观测的维数很大的时 特 当 候,计算机需要进行大量繁重的非线行运算,因此大大增加了普通研究者估计模型的时间3 。所以有必要 在不降低模型估计效果的情况下, 展出更为快速简便的估计方法。 本文中, 们推广Kapoor, Kelijian 发 在 我 and Prucha (2006) 的对KKP模型的矩估计方法,提出一套针对于Anselin (1988) 模型的可行广义最小二 乘法。通过两组互相正交的矩条件, 型中的多余参数(nuisance parameters)可以被一致地估计4 , 着我 模 接 们就可以运用广义最小二乘法获得回归系数的有效估计。 Monte Carlo实验结果显示, 小样本的情况下, 在 我们提出的可行广义最小二乘法具有良好的估计效果。具体来说,相比于未考虑误差项中空间相关结构 的简单最小二乘法, 义最小二乘估计量的估计效果有明显提高; 比于极大似然估计量, 义最小二乘 广 相 广 估计量在保持一致性的同时, 计效率并没有损失太多, 是其计算过程却大大地简便了。 估 但 文章安排如下: 第2节, 们回顾Anselin模型的设定, 将其与KKP模型进行对比。 第3节中, 在 我 并 在 我 们提出4步估计法来估计模型的参数。 们给出了估计量大样本性质的证明。 文章的第4节, 们报告了 我 在 我 估计量的小样本性质, 5节总结全文。技术性细节见附录。 第 §2 模型的设定 假设得到个体i = 1, 2, · · · , n 在时刻t = 1, 2, · · · , T 的观测。在本文中, 阵和向量的下标通常表示它 矩 们各自的维数。 一方面, 文中的渐进分析基于T 固定而n → ∞的情形, 此下标n 有时候意味着矩阵 另 本 因 或向量中的元素依赖于个体总数n,例如Wn , Xn , νn , µn , yn 。文中下标为零的参数表示生成数据的模型中 参数的真实值,例如β0 , ρ0 。一个n × n 的矩阵An 被称为是行和与列和一致有界,如果存在一与n无关的 正常数c5 , 得maxi n=1 |an,ij | < c与maxj n |an,ij | < c同时成立。 义n × n 矩阵或n × 1向量An 的模 使 定 j i=1 用 I ⊗ 长 An = [tr(An An )]1/2 。 ιT 表示全部元素为1的T × 1列向量, n 表示n阶的单位矩阵, 表示Knoenker乘 积。 假设数据由以下回归模型生成 yn (t) = Xn (t)β0 + un (t) t = 1, · · · , T (1) 其中yn (t) 是被解释变量在时刻t的n × 1维观测向量。Xn (t) 为在时刻t的n × k 维外生变量矩阵(包含常数 项)。un (t) 表示n × 1 维误差项。此处将外生变量矩阵Xn (t), t = 1, · · · , T 看成常数矩阵。 Anselin 模型与KKP 模型的区别主要是对模型(1)中误差项成分的设定不同。 Anselin 模型如下设定误 差项: un (t) = µn + n (t) (2) 以及 n (t) = ρ0 W n n (t) + νn (t) (3) 其中Wn 为一n × n 的常数矩阵,被称为空间权重矩阵(spatial weighting matrix)。空间权重矩阵刻画了截 面上个体的空间相关性结构6 。ρ0 被称为是空间自回归系数,其绝对值刻画了空间相关性的强弱,其符号 表示空间相关性的方向。µn = (µn1 , · · · , µnn ) , n × 1的个体随机效应向量。νn (t) = (νn1 (t), · · · , νnn (t)) 为 3 Kelijian and Prucha (1999) 在文中对极大似然估计的缺点作了详尽的阐述。 4 本质上, 们估计多余参数的方法并非是有效的。 而, Anselin模型中, 究者所关心的参数主要是回归系数(回归 我 然 在 研 方程的斜率)。在本文中, 们可以证明只要多余参数能够被一致(非有效)地估计, 可以用广义最小二乘法获得回归方程 我 就 系数的有效估计。 5 矩阵行和与列和的一致有界性也可以从矩阵范数的角度来定义。 个n × n矩阵A 最大列和范数 · 可以定义为 A 一 n n 1= 1 P P maxj i |an,ij |, 大行和范数 · ∞ 可以定义为 An ∞ = maxi j |an,ij |。从这个意义上说, An }行和与列和的一致有界 最 { 等价于序列{ An 1 } 和{ An ∞ } 有界。 6 从(3)式中可以看出, 种空间相关结构不随时间的变化而变化。 这 2 表示时刻t上的n × 1维既随时间又随个体而变化的独立同分布特异质成分向量。 Anselin设定中, 差项 在 误 先分为个体效应与特异质成分两部分,空间自回归过程只用于除个体效应之外的剩余特异质成分而不再 进入个体效应项。与Anselin设定不同,KKP设定先将空间自回归过程应用于整个误差项,然后再将误差 成分结构应用于空间自回归过程的残差部分, 即 un (t) = ρ0 Wn un (t) + n (t) n (t) (4) = µn + νn (t) (5) 以下假设规定了误差成µn , νn (t) 和空间权重矩阵Wn 需满足的正则性条件: 假设1 (a) Wn 对角元素为零。(b) 记Sn (ρ) = In − ρWn,则Sn = Sn (ρ0 ) 可逆。 2 假设2 固定T ,(a) 对于任意1 ≤ t ≤ T, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1 νni (t) 零均值独立同分布且具有有限方差σν , 0 < 2 2 2 σν < bν 与有限四阶矩。(b) 对于任意1 ≤ i ≤ n, µni 零均值独立同分布且具有有限方差σµ , 0 < σµ < bµ 与 有限四阶矩。(c) νni (t) 与µni 独立,对于任意t = 1, · · · , T, i = 1, · · · , n。 假设1的(a)部分是空间权重矩阵的一项正规化(normalization)要求, 味着在截面上的任何个体都不 意 是它自身的邻居。(b) 部分是说模型的设定是完备(complete)的, un (t) 可由误差成分µn 与νn (t) 唯一地 即 决定7 。假设2中的第一句话意味着在本文中我们的大样本分析对应于T 固定而n → ∞的情形,这一分析 基础与微观计量经济学中大量的短面板(short panel)数据, n远大于T 的情形刚好一致。 即 将Anselin模型(1)-(3)写成矩阵形式 ynT = XnT β0 + unT (6) − unT = (ιT ⊗ In )µn + (IT ⊗ Sn 1 )νnT (7) 其中ynT = (yn (1), · · · , yn (T )) , XnT = (Xn (1), · · · , Xn (T )) , unT = (un (1), · · · , un (T )) , 根据假定1-2, Anselin模型的误差项方差矩阵为 nT = ( n (1), · · · , 2 2 − Ωn = E [unT unT ] = σµ (ιT ιT ⊗ In ) + σν [IT ⊗ Sn 1 Sn−1 ] 2 或者Ωn = σν Σn , 中 其 Σn = 2 σµ − (ι ι ⊗ In ) + [IT ⊗ Sn 1 Sn−1 ] 2 TT σν n (T )) (8) (9) 2 2 模 当µn ∼ N (0, σµ In ), νnT ∼ N (0, σν InT )时, 型的对数似然函数为 1 2 2 2 2 2 2 ln Ln (β, ρ, σµ , σν ) = − ln |Ωn (ρ, σµ , σν )| − (ynT − XnT β ) Ω−1 (ρ, σµ , σν )(ynT − XnT β ) n 2 (10) 2 2 估计量的求解需要对以上对数似然函数一阶导数方程求零点。鉴于Ωn (ρ, σµ , σν )的复杂结构, 们不难看 我 出极大似然估计方法在实际计算中不可避免地涉及到大量的非线性算法而大大增加普通研究者运算的时 间。 7 事实上, 于W 我们时常需要加上比假定1更多地正则性条件。 文中假定4。 间权重矩阵的特点与空间计量模型估 关 见 空 n 计量的性质具有密切的关系。 如Lee(2004) 研究发现Wn 中元素的阶数(order)与空间回归模型的极大似然估计量的收敛速 例 度有直接的关系。 3 。 §3 Anselin 模型的4步估计法 首先, 模型设定与基本假设, 们可以得到以下6个矩条件。 由 我 命题1 在假设1-2下,以下两组矩条件成立: 第1组: 2 [n(T − 1)]−1 E [unT B0 unT + ρ2 unT B0 unT − 2ρ0 unT B0 unT ] = σν ¯ ¯ 0¯ (11) ¯ ¯ [n(T − 1)]−1 E [unT B0 unT + ρ2 unT B0 unT − ρ0 (unT B0 unT + unT B0 unT )] = 0 ¯ ¯ ¯ 0¯ (12) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ [n(T − 1)]−1 E [¯nT B0 unT + ρ2 unT B0 unT − 2ρ0 unT B0 unT ] = σν n−1 tr(Wn Wn ) u ¯ 0 (13) 2 2 (nT )−1 E [unT B1 unT + ρ2 unT B1 unT − 2ρ0 unT B1 unT ] = σ1 + σµ ρ2 n−1 tr(Wn Wn ) ¯ ¯ 0¯ 0 (14) 第2组: ¯ (nT )−1 E [unT B1 unT + ρ2 unT B1 unT ¯ 0¯ (nT )−1 E [¯nT B1 unT u ¯ ¯ − ρ0 (unT B1 unT + unT B1 unT )] ¯ ¯ 2 2 2 2 = σµ ρ2 n−1 tr(Wn Wn ) − ρ0 σµ n−1 tr(Wn Wn + Wn ) 0 ¯ ¯ ¯ + ρ2 unT B1 ⊗ unT − 2ρ0 unT B1 unT ] ¯ 0 2 2 2 2 2 −1 2 −1 = σ1 n tr(Wn Wn ) + σµ ρ0 n tr(Wn2 Wn ) − ρ0 σµ n−1 tr(Wn Wn + Wn2 Wn ) 2 2 2 其中σ1 = σµ + σν , B1 = B1 ⊗ In , B0 = B0 ⊗ In , B1 = T 2 IT ⊗ Wn unT 。 ιT ιT T (15) (16) ¯ , B0 = IT − B1 , unT = (IT ⊗ Wn )unT , unT = ¯ 我们提出的四步估计法的具体步骤为: 步骤1: 获得β0 的普通最小二乘估计。 2 2 步骤2: 利用矩条件(11)-(14) 来一致估计ρ0 , σµ 和σν 。 2 2 步骤3: 进一步获得ρ0 , σµ 和σν 的加权矩估计量,最优权重矩阵由第2步得到的估计量一致估计。 步骤4: 获得β0 的广义最小二乘估计。 §3.1 步骤1: β0 的普通最小二乘估计 以下两个假设有助于我们得到最小二乘估计量的一致性以及今后其他大样本性质。 假设3 XnT 中的元素一致有界,即maxi,t |xnT,it | ≤ kx < ∞。以下各极限矩阵存在有限且可逆: 1 1 2 2 limn→∞ nT XnT XnT , limn→∞ nT XnT Ω−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT 以及 n −1 2 T σµ −1 XnT lim (nT )−1 XnT B1 ⊗ I + (In − ρ0 Wn ) (In − ρ0 Wn )−1 2n n→∞ σν (17) − 假设4 Wn 与Sn 1 = (In − ρ0 Wn )−1 的行和与列和一致有界。 与假设3类似的正则性条件在计量经济学文献,特别是大样本理论中较为常见(Kapoor, Kelijian and Prucha 2006)。 设4是空间计量模型分析中一个标准假定(Kelijian and Prucha 1998, 1999, Kapoor, Kelijian 假 and Prucha 2006, Lee 2001, 2003, 2004, 2007)。 定4中对Wn 的要求限制了截面上个体的邻近程度, Sn 1 的 假 对− 要求限制了截面上各点误差项的相关程度。我们注意到类似的对相关性的限制条件常见于各种大样本分 析。(见Amemiya 1985 或P¨tcher and Prucha (1997))。 o 命题2 在假定1-4下,β0 的普通最小二乘估计量是一致的。 4 步骤2: 多余参数的一致矩估计 §3.2 为了便于分析, 们将矩条件(11)-(16)以矩阵形式写出: 我 2 2 2 2 Γn [ρ0 , ρ2 , σν , σ1 , ρ0 σµ , ρ2 σµ ] − γn = 0 0 0 其中 Γn = 0 γ11 0 γ21 0 γ31 1 γ11 1 γ21 1 γ31 0 γ12 0 γ22 0 γ32 1 γ12 1 γ22 1 γ32 0 γ13 0 γ23 0 γ33 0 0 0 0 0 0 1 γ13 1 γ23 1 γ33 0 0 0 1 γ14 1 γ24 1 γ34 0 0 0 1 γ15 1 γ25 1 γ35 (18) γn = 0 γ1 0 γ2 0 γ3 1 γ1 1 γ2 1 γ3 (19) 其中 0 γ11 0 γ13 0 γ21 0 γ23 0 γ31 0 γ33 1 γ11 1 γ13 1 γ15 1 γ21 1 γ23 1 γ25 1 γ31 1 γ33 1 γ35 = 2[n(T − 1)]−1 E [unT B0 unT ] ¯ =1 ¯ = [n(T − 1)]−1 E [unT B0 unT + unT B0 unT ] ¯ ¯ =0 ¯ = 2[n(T − 1)]−1 E [¯nT B0 unT ] u −1 = n tr(Wn Wn ) ¯ = 2(nT )−1 E [unT B1 unT ] =1 = n−1 tr(Wn Wn ) ¯ ¯ ¯ = (nT )−1 E [unT B1 unT + unT B1 unT ] =0 2 = n−1 tr(Wn Wn ) −1 ¯ = 2(nT ) E [¯nT B1 unT ] u −1 = n tr(Wn Wn ) 2 = n−1 tr(Wn2 Wn ) 0 u γ12 = −[n(T − 1)]−1 E [¯nT B0 unT ] ¯ −1 0 γ1 = [n(T − 1)] E [unT B0 unT ] 0 ¯ u γ22 = −[n(T − 1)]−1 E [¯nT B0 unT ] −1 0 γ2 = [n(T − 1)] E [unT B0 unT ] ¯ 0 ¯ ¯ γ32 = −[n(T − 1)]−1 E [unT B0 unT ] 0 ¯ γ3 = [n(T − 1)]−1 E [¯nT B0 unT ] u 1 −1 γ12 = −(nT ) E [¯nT B1 unT ] ¯ u 1 γ14 = 0 1 γ1 = (nT )−1 E [unT B1 unT ] 1 ¯ γ22 = −(nT )−1 E [¯nT B1 unT ] u 2 1 −1 γ24 = −n tr(Wn Wn + Wn ) 1 ¯ γ2 = (nT )−1 E [unT B1 unT ] 1 ¯ ¯ γ32 = −(nT )−1 E [unT B1 unT ] 1 −1 2 γ34 = −n tr(Wn Wn + Wn2 Wn ) 1 γ3 = (nT )−1 E [¯nT B1 unT ] ¯ u (20) 将以上各式中的期望算子符号E 去掉并将其中unT 以步骤1中普通最小二乘法估计的残差unT 代替, 得 ˜ 就 0 −1 ˜nT ]。为了节省篇 到了以上各总体项所对应的样本项。例如,对应于γ11 的样本项为2[n(T − 1)] [˜nT B0 u u ¯ 幅, 们这里不将样本项一一写出。现将Γn 进一步写成 我 0 α1 1 α1 0 α2 1 α2 0 α3 0 0 1 α3 0 1 α4 0 1 α5 (21) i 0 0 0 0 其中αj , i = 0, 1; j = 1, · · · 5 都是3 × 1 的列向量, 如α1 = [γ11 , γ21 , γ31 ] 。 们首先用矩方程(11)-(13)来一 例 我 2 致估计ρ0 与σν , 过解 通 0 2 0 2 (ˆ1 , σν,1 ) = argminρ∈[−a,a],σν ∈[0,b] ξn (ρ, σν ) ξn (ρ, σν ) ρ ˆ2 2 (22) 0 2 0 0 其中ξn = G0 [ρ, ρ2 , σν ] − gn , G0 是Γn 中左上方3 × 3 的非零子矩阵的样本对应项,gn 是γn 上方3 × 1 子 n n 向量的样本对应项。在(22)中,我们可以取正数a 和b 充分大以包含参数可能的取值范围(见Gallant and 2 White (1988) 与Poscher and Prucha (1997))。接着我们可以用矩方程(14) 来一致估计σµ : σµ,1 = ˆ2 ˜ ˜ ¯ ¯ ρ˜ ¯ (1 + ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))−1 [(nT )−1 [˜nT B1 unT + ρ2 unT B1 unT − 2ˆ1 unT B1 unT ] − T −1 σν,1 ] ˆ1 u ˜ ˆ1 ˜ ˆ2 5 (23) 证明ρ1 , σµ,1 , σν,1 的一致性需要以下假定: ˆ ˆ2 ˆ2 假设5 Γ0 Γ0 与Γ1 Γ1 的最小特征值不任意接近于零,即λmin [(Γi ) (Γi )] ≥ λ∗ > 0 ,i = 1, 2,其中Γ0 = nn nn n n n 0 0 0 1 1 1 1 1 [α1 , α2 , α3 ] Γ1 = [α1 , α2 , α3 , α4 , α5 ]。 n 假设5作为一个识别性条件,实质上排除了可能存在的冗余矩条件。例如,当矩条件(11)-(13)中的某一个 可以写成其它矩条件的线性组合,则Γ0 不会是一个满秩阵,因此它的最小特征值就是零,与以上假设矛 n 盾。 2 2 ˆ 定理1 假定1-5成立,β 是β0 的任一一致估计,则由(22)-(23)得到的ρ1 , σµ,1 , σν,1 是ρ0 , σν 和σµ 的一致估 ˆ ˆ2 ˆ2 计。 §3.3 步骤3: 多余参数的加权矩估计 由广义矩(generalized method of moments, GMM)估计的理论可知,如果使用矩条件组的方差协方差 矩阵的逆作为权重矩阵, 以提高矩估计量的渐进效率。 下命题总结了矩条件组(11)-(16)的方差协方差 可 以 矩阵: 命题3 在假定1-2下,当µn 和νnT 都来自于正态分布总体,则我们有 1 1 1 0 0 0 ω11 ω12 ω13 1 1 1 0 0 0 ω21 ω22 ω23 1 1 1 ω ω32 ω33 0 0 0 Ξn = 31 (24) 0 2 2 2 0 0 ω11 ω12 ω13 2 2 2 0 0 0 ω21 ω22 ω23 2 2 2 0 0 0 ω31 ω32 ω33 以上矩阵的第(i, j ) 元素表示命题1中第i个与第j 个矩方程的协方差乘以n后的值,其中 1 ω11 = 1 ω13 = 1 ω23 = 4 2 σν T −1 4 2σν tr (Wn Wn ) T −1 n 4 2 2σν tr (Wn Wn ) T −1 n 1 ω12 = 0 2 σν 2 ω11 = 2 n tr 2 ω13 = 2 n tr 2 σ µ Sn Sn + 2 ω23 = 2 n tr 2 σ µ W n Sn Sn + 2 σ µ Sn S n + 1 ω33 = 2 4 2σν tr (Wn ) T −1 n 4 2σν tr ((Wn Wn )2 ) T −1 n 2 ω12 = 2 n tr 2 σ µ Sn Sn + 2 ω22 = 2 n tr 2 σ µ Sn Sn W n + 2 ω33 = 2 n tr 2 σ µ Sn Sn W n W n + 1 ω22 = T In 2 2 σν T In 2 Wn Wn 2 σν T Wn 2 Wn 2 σν T In 2 (25) Wn 2 σν T Wn 2 2 σν T Wn Wn 2 以上矩方程组的方差协方差矩阵当误差项服从正态分布的时候推出,因此严格说来,当正态分布的 假定不成立的时候, 以上矩阵的逆作为矩估计的权重矩阵并不是最优的。 管如此, 正态分布下推出 将 尽 在 的权重矩阵由于形式上简洁,使用起来就方便;在正态分布条件下推出的权重矩阵可以看成是在一般分 布下权重矩阵的近似。 一方面, 另 由于本文的目的之一是发展模型的快速简便估计方法, 小样本模拟的 从 结果来看我们认为采用在正态分布条件下推出的权重矩阵,并不影响估计量的效果。由于Ξn 依赖于未知 参数,因此不能直接采用。显然,利用步骤2得到的多余参数的一致估计,就可以得到Ξn 的一致估计。定 2 2 义ρ0 , σν , σµ 的加权矩估计量为(ˆ2 , σµ,2 , σν,2 ) = ρ ˆ2 ˆ2 2 2 2 2 argminρ∈[−a,a],σµ ∈[0,b],σν ∈[0,b] Gn [ρ, ρ2 , σν , σ1 , ρσµ , ρ2 σµ ] − gn 2 2 2 2 2 2 ˆn Ξ−1 Gn [ρ, ρ2 , σν , σ1 , ρσµ , ρ2 σµ ] − gn (26) ¯ ¯ 定理2 假设1-5成立,Ξ−1 的特征值有正的上确界和下确界,即0 < λ∗ ≤ λmin (Ξ−1 ) ≤ λmax (Ξ−1 ) ≤ λ∗∗ < n n n 6 ˆˆ ∞。假定β 与Ξn 分别是β0 与Ξn 的一致估计,则由(26)得到的加权矩估计是一致的,即(ˆ2 , σν,2 , σµ,2 ) →P ρ ˆ2 ˆ2 2 2 (ρ0 , σν , σµ ) 当n → ∞。 对Ξn 特征值的有界性限制保证了加权矩估计量是唯一可识别的。另外我们注意到以上定理中的结论并不 需要正态分布的假定。 §3.4 步骤4:可行广义最小二乘估计 首先我们注意到模型回归方程系数的真实而非可行的广义最小二乘估计量可以写成 2 2 ˆ βGLS = XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT n −1 2 2 XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν )ynT n (27) 对应的可行广义最二乘估计量为 ˆ ˆ n ρ ˆ2 ˆ2 βF GLS = XnT Σ−1 (ˆ, σµ , σν )XnT −1 ˆ n ρ ˆ2 ˆ2 XnT Σ−1 (ˆ, σµ , σν )ynT (28) 其中ρ, σµ , σν 是真实参数的任一一致估计。 式的计算涉及求nT × nT 维矩阵Σn 的逆矩阵。 了简化计 ˆ ˆ2 ˆ2 (28) 为 算, 们可以把它进一步写成 我 Σn = B1 ⊗ 2 T σµ − I + Sn 1 Sn−1 2n σν − + B0 ⊗ Sn 1 Sn−1 以上写法的好处之一是Σ−1 可以显式地表示成(Wansbeek and Kapteyn 1983): n −1 2 T σµ − + B0 ⊗ Sn Sn Σ−1 = B1 ⊗ I + Sn 1 Sn−1 n 2n σν (29) (30) 通过(30)式, 们可以将对一个nT × nT 维矩阵的逆运算变成对一个n × n维矩阵的逆运算。 下定理建立 我 以 了可行广义最小二乘估计量的一致性与渐进正态性,并说明可行广义最小二乘估计量与真实的广义最小 二乘估计量具有相同的渐进分布。 ˆ 定理3 假定1-5成立,令T 是一个固定且充分大的常数,则我们有(a) (nT )1/2 [βGLS − β0 ] →d N (0, Ψn ), 当n → ∞时,其中 −1 1 2 2 XnT Ω−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT Ψn = n nT 2 2 ˆ ˆ (b) 如果ρ, σµ , σν 是ρ0 , σµ 和σν 的任一一致估计,则(nT )1/2 [βF GLS − βGLS ] →P 0,当n → ∞ 时。(c) 进一 ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ n − Ψn →P 0 当n → ∞ 时,其中 步,Ψ ˆ Ψn = 1 X Ω−1 (ˆ, σµ , σν )XnT ρ ˆ2 ˆ2 nT nT n −1 2 2 以上定理中的(b)部分解释了我们为什么称ρ0 , σµ 和σν 为多余参数。 定理中看出, 要这些参数能够被 从 只 一致估计,研究者所感兴趣的回归方程系数的可行广义最小二乘估计量就具有和真实但非可行的广义最 小二乘估计量有相同的渐进分布。 然, 定理2中我们得到的加权矩估计量可以作为那些多余参数的一 显 在 致估计用来得到β0 的可行广义最小二乘估计量。 §4 Monte Carlo 模拟结果 2 2 在本节中, 们报告上文所提出的四步估计量的小样本性质。 于多余参数ρ0 , σν 和σµ , 们比较它 我 对 我 们的不加权矩估计量,加权矩估计量和极大似然估计量。对于回归系数β0 ,我们比较它的普通最小二乘 7 估计量,基于多余参数不加权估计的广义最小二乘估计量,基于多余参数加权估计的广义最小二乘估计 量,和极大似然估计量。在实验中,我们取T = 5,n = 50或n = 100。为简单起见,我们只考虑有两个外 生变量的情形,一个是常数项x1 和一个非常数项x2 ,对应的系数记成β10 和β20 。非常数外生变量由均值 和方差都为1的正态分布生成。令β1 = β2 = 1。为使矩估计量的性质能和极大似然估计量相比较,我们 让µni 和νni (t) 都服从均值为零,方差为1的正态分布。考虑到空间自回归参数在模型中举足轻重的地位, 我们让它分别取成-0.9, -0.5, 0, 0.5 和0.9 五种情况。 们考虑两种空间权重矩阵机构, 一种称为“一前一 我 第 后”(one ahead and one behind, Kelijian and Prucha (1999)), 即假定截面中的个体排列成一个圈, 一个只 每 和它之前的一个与之后的一个相关, 体来说, 2 ≤ i ≤ n − 1 时, n,i,i−1 = 0.5, n,i,i+1 = 0.5; 当i = 1 具 当 w w 时,wn,1n = wn,12 = 0.5; 当i = n 时,wn,n,n−1 = wn,n1 = 0.5。另一种称为“三前三后”(three ahead and three behind, Kapoor, Kelijian and Prucha (2006)), 截面中的个体排成一个圈, 一个只和它之前的三 即 每 个与之后的三个相关;具体来说, 4 ≤ i ≤ n − 3时, n,i,i−3 = wn,i,i−2 = wn,i,i−1 = wn,i,i+1 = wn,i,i+2 = 当 w wn,i,i+3 = 1/6,除此以外,wn,1,n−2 = wn,1,n−1 = wn,1,n = wn,12 = wn,13 = wn,14 = · · · = wn,n,n−3 = wn,n,n−2 = wn,n,n−1 = wn,n1 = wn,n2 = wn,n3 = 1/6。这样我们一共考虑了2 × 5 × 2 = 20种情形,在每 一种情形,我们都进行了1000次试验。对于表1-表5中的每一个估计量,我们都报告了刻画它们的个指 标。 一个指标是绝对偏误(absolute bias), 义为1000次试验中样本均值与真值之差的绝对值。 二个指 第 定 第 标是样本标准差(standard deviation), 三个指标是均方误平方根(root mean squared error,RMSE), 义 第 定 2 2 1/2 x ˆ , 中x0 表示任一被估参数的真值x0.25 , x0.5 , x0.75 分别表示x0 的 其 ˆ ˆ ˆ 为 (x0.5 − x0 ) + [(ˆ0.75 − x0.25 )/1.35] ˆ 估计量x的前四分之一样本分位数, 本中位数, 后四分之一分位数。正如样本分位数是相比于样本均 ˆ 样 和 值刻画分布中心更为稳健的估计量,这里定义的均方误平方根,是在综合考虑了估计量的偏误和标准误 之后, 画估计量优劣的稳健统计量。 刻 观察表4-5发现, 未考虑误差项中可能存在着的空间效应的普通最小二乘法相比, 义最小二乘估计 与 广 量无论是在绝对偏误, 准差和均方误平方根上都有显著改善。 如, 斜率系数β20 的估计量为例, 于 标 例 以 基 未加权多余参数矩估计的广义最小二乘估计的三项指标的平均水平比普通最小二乘估计量均减少50%以 上。基于加权多余参数矩估计的广义最小二乘法与普通最小二乘估计量相比,也有类似的优势。我们注 意到,与基于未加权多余参数矩估计的广义最小二乘估计量相比,基于加权多余参数矩估计的广义最小 二乘估计量在估计效果上并没有明显的提高。这一现象和我们的理论预期吻合,即只要多余参数能够被 一致地估计(无论是基于加权多余参数的矩估计量还是基与未加权的估计量),最后的可行广义最小二乘 法具有相同的渐进性质。另外,我们观察到,与极大似然估计量相比,在绝对偏误上没有明显区别。在 标准差和均方误平方根两项指标上,极大似然估计量通常比广义最小二乘估计量的对应指标平均值下降 了10%左右。观察表1-3发现,和表4-5的观察结果类似,加权矩估计量与不加权矩估计量相比并无明显优 势, 与多余参数的矩估计量相比极大似然估计量的三项指标的平均水平均下降了10%左右。 且 §5 结束语 本文推广了Kelijian, Prucha, Kapoor (2006) 针对KKP模型提出的矩估计方法,发展了针对Anselin (1988) 空间面板模型的快速一致估计法。通过一致估计模型误差项方差结构中的多余参数,我们证明了 可行广义最小二乘估计量的一致性和渐进正态性,并且说明了可行广义最小二乘估计量与真实但是非可 行的广义最小二乘估计量具有相同的渐进分布。 们提出的4步估计法与之前普遍使用的极大似然估计量 我 相比, 方面不需要假定误差项的正态分布, 一方面可以避免实际计算中涉及的大量非线性运算, 而 一 另 因 大大减少了计算时间。Monte Carlo试验结果表明,与未考虑误差项可能存在的空间相关性的普通最小二 乘法相比, 计效率显著提高;与极大似然估计量相比, 计效果非常接近。 估 估 8 附录 该附录中不但包含了文中各命题和定理的证明, 列出了证明定理所需要的一些引理及其证明。 也 命 题1的 证 明 : 不 失 一 般 性 ,我 们 只证 明 式(11)。 由(7)式 得(IT ⊗ Sn )unT = (ιT ⊗ Sn )µn + νnT 。 上 式 两 边 乘 以B0 , 2 得(B0 ⊗ Sn )unT = B0 νnT 。 此可得到E [unT (B0 ⊗ Sn Sn )unT ] = n(T − 1)σν 。 Sn = In − ρ0 Wn 展开, 得到式(11)。 因 以 即 ˆOLS = (XnT XnT )−1 XnT ynT 。显然这一估计量是无偏的且它的渐进方差矩阵 命题2的证明: β0 的最小二乘估计量为β 为(nT )−1 [(nT )−1 XnT XnT ]−1 (nT )−1 XnT Ωn XnT [(nT )−1 XnT XnT ]−1 ,其中Ωn 见式(8)。由假设4知Ωn 的行和与列和一 致有界, 假设3知(nT )−1 XnT Ωn XnT 的每个元素都为O(1)。进一步, 以说明[(nT )−1 XnT XnT ]−1 (nT )−1 XnT Ωn XnT 由 可 −1 −1 ˆOLS 的方差矩阵各元素都为o(1)。 Chebyshev’s 不等式, 致性显然。 [(nT ) XnT XnT ] 中的各元素也是O(1), 是β 于 由 一 定理1的证明需要以下引理: 引理1 设QT 为某一T × T 矩阵, 固定。 Rn 为某一n × n 行和与列和均一致有界的矩阵。 ϕn = n−1 unT (QT ⊗ Rn )unT , T 设 令 其中unT 由(7) 式决定。在假定1-4下,Eϕn = O(1) 且ϕn − Eϕn →P 0,当n → ∞时。 引理1的证明: 令ξn = (µn , νnT ) , ξn 为一(T + 1)n × 1 的列向量, unT = [(ιT ⊗ In ), (IT ⊗ (In − ρ0 Wn )−1 )]ξn 。进 则 且 一步, 们有 我 ϕn = = n −1 n −1 ! ξn ιT ⊗ In IT ⊗ (In − ρ0 Wn )−1 ξn ιT QT ιT ⊗ Rn QT ιT ⊗ (In − ρ0 Wn )−1 Rn (QT ⊗ Rn ) ιT ⊗ In , IT ⊗ (In − ρ0 Wn )−1 ξn ιT QT ⊗ Rn (In − ρ0 Wn )−1 QT ⊗ (In − ρ0 Wn )−1 Rn (In − ρ0 Wn )−1 ! ξn 现将位于上式中间的分块矩阵记成Cn 。由假设4可知, n 的行和与列和一致有界, 界为kc < ∞。由假设2, n 均值为零 C 设 ξ 且具有方差协方差矩阵 # " 2 σµ In 0 Ωξ,n = E [ξn ξn ] = 2 0 σν InT 2 2 进一步计算表明|Eϕn | = |n−1 tr(Cn Ωξ,n )| = n−1 |(σµ tr(ιT QT ιT ⊗ Rn )+ σν tr(QT ⊗ (In − ρ0 Wn )−1 Rn (In − ρ0 Wn )−1 ))| = O(1), 且 var(ϕn ) ≤   (T +1)n X2 1 4 tr[(Cn + Cn )Ωξ,n (Cn + Cn )Ωξ,n ] + cn,ii [Eξn,i − 3var2 (ξn,i )] 2n2 i=1 不难看出, ξ,n 的行和与列和一致有界, 将此界记为kξ 。 Ω 现 由于tr[(Cn + Cn )Ωξ,n (Cn + Cn )Ωξ,n ] 的行和与列和一致小于 P T +1) 22 4 等于4(T + 1)nkc kξ ,且因为µn 和νnT 均有有限的四阶矩, (=1 n c2 [Eξni − 3var2 (ξni )] 阶为O((T + 1)n)。最后可 n,ii i 知var(ϕn ) = o(1), 论ϕn − Eϕn →P 0, n → ∞, Chebyshev 不等式得到。 结 当 由 ∗ 引理2 将(19)-(20) 中的Γn 与γn 中元素的期望算子符号去掉而保持其余内容不变的矩阵分别记成G∗ 与gn 。假设1-4成 n ∗ P ∗ P 立,则Γn = O(1), γn = O(1) 且Gn − Γn → 0, gn − γn → 0,当n → ∞。 ∗ ∗0 引理2的证明:证明引理2只需注意到G∗ 与gn 中的元素可以表示成引理1中ϕn 的形式, 如g32 = −n−1 (T −1)−1 [¯nT (B0 ⊗ 例 u n −1 −1 2 2 2 2 Wn Wn )¯nT ] = −n (T − 1) [unT (B0 ⊗ Wn Wn )unT ] 中令QT = B0 , n = Wn Wn 。 u R ∗ ∗ ˆ 引理3 G∗ 与gn 如引理2中定义,假设1-4成立,则Gn − G∗ →P 0, gn − gn →P 0,当n → ∞,如果βn 是β0 的一致估计。 n n 引理3的证明 见Kapoor, Kelijian and Prucha (2006) 中的Lemma A.3。 定理1 的证明 ρ1 与σν,1 的一致性证明作为定理2证明的特例而在这里省略, 关证明请见定理2的证明。 面证明σµ,1 的一 ˆ ˆ2 相 下 ˆ2 2 −1 1 1 12 −1 2 2 −1 1 1 12 2 致性。 们只需证明(1+ρ0 n tr(Wn Wn ))[g1 −g11 ρ1 −g12 ρ1 −T σν,1 ]−(1+ˆ1 n tr(Wn Wn ))[γ1 −γ11 ρ0 −γ12 ρ0 −T −1 σν ] 我 ˆ ˆ ˆ ρ 依概率收敛到零。这又只需说明以下4个式子分别依概率收敛到零: 1 1 (1 + ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))g1 − (1 + ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))γ1 →P 0 ˆ1 0 (A.1) 1 1 (1 + ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))g11 ρ1 − (1 + ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))γ11 ρ0 →P 0 ˆ ˆ1 0 (A.2) (1 + 1 ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))g12 ρ2 ˆ1 0 (1 + ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))ˆν σ2 0 − (1 + 1 ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))γ12 ρ2 ˆ1 0 − (1 + 2 ρ2 n−1 tr(Wn Wn ))σν ˆ1 P →0 P →0 (A.3) (A.4) 1 1 1 我们只证明(A.1)式, 余类似可证。 (A.1)箭头左边拆成以下三项的和[g1 −γ1 ]+n−1 tr(Wn Wn )g1 (ρ2 −ρ2 )+n−1 tr(Wn Wn )ˆ2 (g1 − 其 将 ρ1 1 0 ˆ1 1 γ1 )。这三项可由ρ1 的一致性, 理3, 1 与ρ1 随机有界和n−1 tr(Wn Wn )) = O(1)说明分别是op (1)。 ˆ 引 g1 ˆ 9 命题3的证明: 命题3的证明中需反复用到以下公式(Kapoor, Kelijian and Prucha (2006)):如果unT ∼ N (0, Ωu,n ), 则cov (unT AnT unT , unT BnT unT ) = 2tr(AnT Ωu,n BnT Ωu,n ),其中AnT and BnT 两个非负定对称矩阵。为节省篇幅, 1 我们只说明Ξn 中3个代表性元素的计算, 余元素的计算类似。首先我们推导n−1 ω11 。 其 cov [n−1 (T − 1)−1 unT (B0 ⊗ Sn Sn )unT , n−1 (T − 1)−1 unT (B0 ⊗ Sn Sn )unT ] = 2 2 − 2[n(T − 1)]−2 tr([B0 ⊗ Sn Sn ][σµ (ιT ιT ⊗ In ) + σν IT ⊗ Sn 1 Sn−1 ][B0 ⊗ Sn Sn ] 2 2 − 4 4 [σµ (ιT ιT ⊗ In ) + σν IT ⊗ Sn 1 Sn−1 ]) = 2σν n−2 (T − 1)−2 tr (B0 ⊗ In ) = 2σν n−1 (T − 1)−1 2 接着来推导n−1 ω11 cov [(nT )−1 unT (B1 ⊗ Sn Sn )uN T , (nT )−1 unT (B1 ⊗ Sn Sn )unT ] = 2 2 − 2(nT )−2 tr([B1 ⊗ Sn Sn ][σµ (ιT ιT ⊗ In ) + σν IT ⊗ Sn 1 Sn−1 ][B1 ⊗ Sn Sn ] 2 2 − [σµ (ιT ιT ⊗ In ) + σν IT ⊗ Sn 1 Sn−1 ] = 4 22 4 2(nT )−2 tr(σµ T ιT ιT ⊗ (Sn Sn )2 + 2σµ σν ιT ιT ⊗ Sn Sn + σν T −1 ιT ιT ⊗ In ) = 2 2 2n−2 tr σµ Sn Sn + T −1 σν In  2 最后证明两组矩方程之间互相正交: cov [n−1 (T − 1)−1 unT (B0 ⊗ Sn Sn )unT , (nT )−1 unT (B1 ⊗ Sn Sn )unT ] = 2 2 − 2[n(n − 1)T (T − 1)]−1 tr([B0 ⊗ Sn Sn ][σµ (ιT ιT ⊗ In ) + σν IT ⊗ Sn 1 Sn−1 ] 2 2 − [B1 ⊗ Sn Sn ][σµ (ιT ιT ⊗ In ) + σν IT ⊗ Sn 1 Sn−1 ] = 0 定理2的证明:首先我们来证明一些证明需要用到的中间结论。 们可以说明存在某个λ0 > 0, 得λmin (Γn Ξ−1 Γn ) ≥ λ0 。 我 使 n 这是因为我们可以将Γn Γn 写成 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 0 α1 α1 0 0 α2 α1 0 0 α3 α1 0 0 0 0 0 α1 α2 0 0 α2 α2 0 0 α3 α2 0 0 0 0 0 α1 α3 0 0 α2 α3 0 0 α3 α3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 76 76 76 76 7+6 76 76 76 54 1 1 α1 α1 1 1 α2 α1 0 1 1 α3 α1 1 1 α4 α1 1 1 α5 α1 1 1 α1 α2 1 1 α2 α2 0 1 1 α3 α2 1 1 α4 α2 1 1 α5 α2 0 0 0 0 0 0 1 1 α1 α3 1 1 α2 α3 0 1 1 α3 α3 1 1 α4 α3 1 1 α5 α3 1 1 α1 α4 1 1 α2 α4 0 1 1 α3 α4 1 1 α4 α4 1 1 α5 α4 1 1 α1 α5 1 1 α2 α5 0 1 1 α3 α5 1 1 α4 α5 1 1 α5 α5 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 由假设5, 知对于任意的x = [x, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ] , Γn Γn x = [x1 , x2 , x3 ](Γ0 Γ0 )[x1 , x2 , x3 + [x1 , x2 , x4 , x5 , x6 ] 可 x 1 nn 11 (Γn Γn )[x1 , x2 , x4 , x5 , x6 ] ≥ λ∗ [x1 , x2 , x3 ][x1 , x2 , x3 ] + [x1 , x2 , x4 , x5 , x6 ][x1 , x2 , x4 , x5 , x6 ] ≥ λ∗ x x。 一步λmin (Γn Γn ) = 进 inf x x Γn Γn x λ0 > xx ≥ λ∗ > 0。 后得到我们需要的结论λmin (Γn Ξ−1 Γn ) = inf x 最 n 0。 接 着 我 们 说 明Ξ−1 = n ¯ ¯ < λ∗ ≤ x xPn x ≤ λ∗∗ x O(1)。 记Pn = x Γn Ξ−1 Γn x n x Γn Γn x = λmin (Ξ−1 )λmin (Γn Γn ) n xx −1 Ξn 。 我 们 只 需 说 明 存 在 某 一 与n无 关 的 常 数k使 得|pn,ij | ≤ k < ∞。 x Γn Γn x inf x ¯ 由于0 < ∞, 取x 为 第i个 分 量 是1, 其 余 分 量 为 零 的 向 量 , 我 们 有0 ≤ pn,ii ≤ λ∗∗ < ∞, ¯ ∗∗ < ∞,当i = j 。于是得到|pn,ij | ≤ λ∗∗ ,对于任意i, j 。接着我们证 ¯ 当i = j ,0 ≤ (pn,ii + pn,jj + 2pn,ij )/2 ≤ λ 明加权矩估计量的一致性,定理1中的前半部分是以下证明过程的特殊情况。我们需要验证P¨tscher and Prucha (1997) o 中Lemma 3.1 的条件在这里满足。由(26)定义的加权矩估计量的存在性和可测性由Jennrich (1969) 中的Lemma 2保证。 2 2 令θ0 = [ρ0 , σν , σ1 ], = [ρ, σ 2 , σ 2 ]。目标函数及其对应的非随机项分别是: θ ν 1 ˆn Rn (θ) = [Gn [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 ] − gn ] Ξ−1 [Gn [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 ] − gn ] ν 1 µ µ ν 1 µ µ ¯ Rn (θ) = [Γn [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 ] − γn ] Ξ−1 [Γn [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 ] − γn ] n ν 1 µ µ ν 1 µ µ 2 2 2 2 ¯ 首先要说明的是θ0 可唯一识别:¯ n (θ) − Rn (θ0 ) = [ρ − ρ0 , ρ2 − ρ2 , σ 2 − σν , σ 2 − σ1 , ρσ 2 − ρ0 σµ , ρ2 σ 2 − ρ2 σµ ]Γn Ξ−1 Γn [ρ − R 0 0 n ν 1 µ µ 2 2 2 2 2 2 ρ0 , 2 − ρ2 , σ 2 − σν , σ 2 − σ1 , ρσ 2 − ρ0 σµ , ρ2 σ 2 − ρ2 σµ ] ≥ λmin (Γn Ξ−1 Γn )[ρ − ρ0 , ρ2 − ρ2 , σ 2 − σν , σ 2 − σ1 , ρσ 2 − 0 0 0 n ν 1 µ µ ν 1 µ 10 ≥ 2 2 2 2 2 2 ρ0 σµ , ρ2 σ 2 − ρ2 σµ ][ρ − ρ0 , ρ2 − ρ2 , σ 2 − σν , σ 2 − σ1 , ρσ 2 − ρ0 σµ , ρ2 σ 2 − ρ2 σµ ] ≥ λ0 θ − θ0 2 。因此对于任意的 > 0 0 0 0 µ ν 1 µ µ ¯ n (θ) − Rn (θ0 ) ≥ inf {θ: θ−θ ≥ } λ0 θ − θ0 2 = λ0 2 > 0。这样就证明了θ0 是唯一可识别的。接 ¯ 和n,inf {θ: θ−θ0 ≥ } R 0 着令Fn = [Gn , −gn ], n = [Γn , −γn ], 有 Φ 则 ˆn Rn (θ) = [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 , 1]Fn Ξ−1 Fn [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 , 1] ν 1 µ µ ν 1 µ µ ¯ Rn (θ) = [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 , 1]Φn Ξ−1 Φn [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 , 1] n ν 1 µ µ ν 1 µ µ 因此对于ρ ∈ [−a, a], σ 2 , σ 2 ∈ [0, b], ν µ ¯ |Rn (θ) − Rn (θ)| = ˆn [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 , 1][Fn Ξ−1 Fn − Φn Ξn Φn ][ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 , 1] ν 1 µ µ ν 1 µ µ ≤ ˆn Fn Ξ−1 Fn − Φn Ξn Φn ≤ ˆn Fn Ξ−1 Fn − Φn Ξn Φn [1 + a2 + a4 + b2 + (1 + 1/T )2 b2 + a2 b2 + a4 b2 ] [ρ, ρ2 , σ 2 , σ 2 , ρσ 2 , ρ2 σ 2 , 1] ν 1 µ µ 2 ˆn 要说明 Fn Ξ−1 Fn − Φn Ξn Φn →P 0,只需注意到Fn →P Φn ,Φn , Ξ−1 的阶都是O(1)。最后ρ2 , σµ,2 和σν,2 的一致性 ˆ ˆ2 ˆ2 n 由P¨tsch and Prucha (1997)中的Lemma 3.1直接得到。 o 2 引理4 令ηni , i ≥ 1 为一列独立同分布零均值的随机变量, 有有限方差ση < ∞。 Xn 为一n × k 维的矩阵, 其中各元素 具 令 且 −1 2 一致有界(上界与n无关)。 limn→∞ n Xn Xn = Q 存在且有限。 ηn = [ηn1 , · · · , ηnn ] , n−1/2 Xn ηn →d N (0, ση Q)。 设 记 则 引理4的证明: 见Billingsley (1979, p 319, Problem 27.6)。 引理5 设 · 是一矩阵范数,满足 In = 1,对于任意的n。 An , Bn 是两个n × n 的矩阵,且序列{ An } 与{ Bn } 均 设 −1 −1 有正上界c。令d 为任一正常数,则{ (IN + dT An Bn ) } 当T 充分大时为有界序列。 引理5的证明: 令Dn = dT −1 An Bn ,我们有 Dn = dT −1 An Bn ≤ dT −1 An Bn ≤ dc2 T −1 ≤ δ < 1,对于充分大 1 则 的T 成立8 , (In + Dn )−1 ≤ 1− In n = 1− 1 n ≤ 1−δ 。 D D 引理6 假设4成立,则(In − ρWn )−1 的行和与列和在ρ0 的某一领域之内都是一致有界的。 引理6的证明: 见Lee (2001) Lemma A7。 h i ˆ 定理3中a部分的证明: β0 的广义最小二乘估计量可以写成(nT )1/2 βGLS − β0 h = (nT )−1 XnT Σ−1 XnT n i−1 因 我 (nT )−1/2 XnT Σ−1 unT 。 为unT = (ιT ⊗ In )µn + (IT ⊗ (In − ρWn )−1 )νnT , 们的目的是将 n 中心极限定理分别应用于有关{µni } 与{νni (t)} 两部分。 了推导(nT )−1/2 XnT Σ−1 (ιT ⊗ In )µn 的渐进分布, 们需要证 为 我 n 这 Ωn 由 这 明XnT Σ−1 (ιT ⊗In )中的元素一致有界, 只需证明当T 充分大时, −1 的行和与列和一致有界即可。 (30), 只需证明当T n  充分大时, 2 T σµ 2 σν −1 − In + Sn 1 Sn−1  或 In + 2 σν −1 Sn−1 2S T σµ n −1 − − 的行和与列和一致有界。 An = Sn 1 , n = Sn 1 , · 表示 令 B 2 最大行和范数或最大列和范数, 由引理5可得所要求的结论。 引理4, 得(nT )−1/2 XnT Σ−1 (ιT ⊗ In )µn →d N (0, σµ V1 ) 则 由 可 n  ! 其中V1 = limn→∞ (nT )−1 XnT Σ−1 (ιT ιT ⊗In )Σ−1 XnT = T limn→∞ (nT )−1 XnT n n 2 T σµ B1 ⊗ 2 σν −2 − − In + Sn 1 Sn 1 XnT 。 2 上式中的矩阵极限的存在且有限由假设3保证。 理可得(nT )−1/2 XnT Σ−1 IT ⊗ (IN − ρ0 Wn )−1 νnT →d N (0, σν V2 ), 同 其 n   − 2 2 中V2 = limn→∞ (nT )−1 XnT Σ−1 IT ⊗ Sn 1 Sn−1 Σ−1 XnT 。 由σµ V1 + σν V2 = limn→∞ n n  2 − − σν IT ⊗ Sn 1 Sn 1 i Σ−1 XnT = limn→∞ n 1 nT 2 2 XnT Σ−1 σν Σn Σ−1 XnT = σν limn→∞ n n 1 nT 1 nT h 2 XnT Σ−1 σµ (ιT ιT ⊗ In )+ n XnT Σ−1 XnT 且上式最后边的矩 n 阵存在且有限, 保证了V2 的存在和有限性。 后由于µni 与νni (t) 互相独立, 得(nT )−1/2 XnT Σ−1 unT →d N (0, V ), 则 最 可 其 n 2 中V = σν limn→∞ XnT ] −1 h 1 nT 1 limn→∞ nT h i h 2 2 2 ˆ XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT 。由(nT )1/2 βGLS − β0 →d N 0, σν limn→∞ n 2 2 XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT n 2 2 XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT n i−1   →d N h ih 1 limn→∞ nT 0, limn→∞ 1 nT i−1 2 2 XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT n 2 2 XnT Ω−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT n 1 nT 2 2 XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν ) n ! 2 →d N 0, σν limn→∞ 1 nT i−1  , 就证明了(a)部分。 这 定理3中(b)部分的证明: 只需证 2 2 2 ∆1,n = (nT )−1 XnT Σ−1 (ˆ, σµ , σν )XnT − (nT )−1 XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν )XnT →P 0 ˆ2 n ρˆ n 8 例如当c (A.5) = 1 时, 我们Monte Carlo实验中所设的那样, 只需取得比d大。在定理3的证明中, 们可以看到d 正是两 即 T 我 个误差成分的方差比。因此如果两个误差成分的方差比并不是很大, 不需取很大就可满足要求。 T 11 和 2 2 2 ∆2,n = (nT )−1/2 XnT Σ−1 (ˆ, σµ , σν )unT − (nT )−1/2 XnT Σ−1 (ρ0 , σµ , σν )unT →P 0 ˆ2 n ρˆ u (A.6) 首先证明(A.5)。由(30), 失一般性, 需证 不 只  −1 (nT ) XnT B1 ⊗ −1 ! T σµ ˆ2 − In + Sn 1 (ˆ)Sn 1 (ˆ) ρ−ρ σν ˆ2  −1 XnT − (nT ) XnT B1 ⊗ 2 T σµ − − In + Sn 1 Sn 1 2 σν −1 ! XnT →P 0 (A.7) 2 2 现记φ2 = T σµ /σν ,ˆ2 = T σµ /σν 。因为 φ ˆ2 ˆ2 ˆ (φ2 In + (In − ρWn )−1 (In − ρWn )−1 )−1 − (φ2 In + (In − ρ0 Wn )−1 (In − ρ0 Wn )−1 )−1 ˆ ˆ = ˆ ˆ L1n [(φ2 − φ2 )In + (In − ρ0 Wn )−1 (In − ρ0 Wn )−1 − (In − ρWn )−1 (In − ρWn )−1 ]Ln ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ L1n [(φ2 − φ2 )In + L2n [(ˆ2 − ρ2 )Wn Wn − (ˆ − ρ0 )(Wn + Wn )]L2n ]L1n ρ ρ = ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ (φ2 − φ2 )L1n L1n + (ˆ2 − ρ2 )L1n L2n Wn Wn L2n L1n − (ˆ − ρ0 )L1n L2n (Wn + Wn )L2n L1n 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 其中L1n = (φ2 In + (In − ρ0 Wn )−1 (In − ρ0 Wn )−1 )−1 , L1n = (φ2 In + (In − ρWn )−1 (In − ρWn )−1 )−1 , L2n = (In − −1 −1 ˆ −1 −1 ˆ ρ0 Wn ) (In − ρ0 Wn ) , 2n = (In − ρWn ) (In − ρWn ) , 以(A.7)的左边可以写成(φ2 − φ2 )(nT )−1 XnT C1 XnT + L ˆ ˆ 所 2 2 −1 −1 ˆ 1n L1n , 2 = B1 ⊗L1n L2n Wn Wn L2n L2n , 3 = ˆ ˆ (ˆ −ρ0 )(nT ) XnT C2 XnT −(ˆ−ρ0 )(nT ) XnT C3 XnT , 中C1 = B1 ⊗L ρ ρ 其 C C ˆ 1n L2n (Wn + Wn )L2n L1n 。首先注意到L1n 与L2n 的行和与列和一致有界,其次根据引理6,可知L1n 和L2n 的行 ˆ ˆ ˆ B1 ⊗ L 和与列和依概率一致有界。 后可以得到(nT )−1 XnT Ci XnT = Op (1), i = 1, 2, 3, 而完成了(A.7)的证明, 质上也完成 最 从 本 了(A.5)的证明。为证(A.6), 失一般性, 们只证 不 我  −1/2 (nT ) XnT B1 ⊗ −1 ! T σµ ˆ2 − In + Sn 1 (ˆ)Sn 1 (ˆ) ρ−ρ σν ˆ2  −1/2 unT −(nT ) XnT B1 ⊗ 2 T σµ − − In + Sn 1 Sn 1 2 σν −1 ! unT →P 0 (A.8) ˆ2 )(nT )−1/2 XnT C1 unT +(ˆ2 −ρ2 )(nT )−1/2 XnT C2 unT −(ˆ−ρ0 )(nT )−1/2 XnT C3 unT 。 ρ ρ 类似地我们将(A.8)的左边写成(φ −φ 0 2 要说明上式中的每一项都依概率收敛到零,只要注意到(nT )−1/2 XnT Ci unT , i = 1, 2, 3 具有零均值和阶为O(1)的方差矩 阵(nT )−1 XnT Ci Ωn Ci XnT , i = 1, 2, 3。因此由Chebyshev不等式,我们可以断言(nT )−1/2 XnT Ci unT , i = 1, 2, 3 随机有 界, 样就证明了(A.8)。 这 定理3中(c)部分的证明: 由(A.5)和假设3, 论显然成立。 结 参考文献 [1] Amemiya, T., 1985. Advanced Econometrics. Harvard University Press, Cambridge, MA. [2] Anselin, L., 1988. Spatial Econometrics: Methods and Models (Boston, Kluwer Academic Publishers). [3] Anselin, L., Le Gallo J and Jayet H., 2005 Spatial panel econometrics, in Matyas and P. Sevestre (eds), The Econometrics of Panel Data, Third Edition, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 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Statistics and Probability Letters 1, 213-215. 13 表1: ρ0 估计值的绝对偏误(·), 标准差[·] 和均方误平方根 · 2 2 T = 5, (σµ , σν , β10 , β20 ) = (1, 1, 1, 1) n = 50 J 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 ρ0 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 2 -0.9 2 -0.5 2 0 2 0.5 2 0.9 6 -0.9 6 -0.5 6 0 6 0.5 6 0.9 列平均值 ρ1 ˆ (.0105)[.0609] (.0032)[.0580] (.0087)[.0710] (.0008)[.0569] (.0070)[.0543] (.0084)[.1443] (.0010)[.1604] (.0232)[.1379] (.0130)[.0839] (.0065)[.0651] .0232 .0581 .0667 .0571 .0209 .1389 .1561 .1271 .0750 .0291 (.0007)[.0225] (.0018)[.0412] (.0001)[.0476] (.0017)[.0395] (.0176)[.0402] (.0041)[.1185] (.0082)[.1068] (.0002)[.0881] (.0008)[.0545] (.0076)[.0584] (.0056)[.0755] .0140 .0434 .0434 .0371 .0333 .1256 .1108 .0886 .0550 .0197 .0662 ρ1 : ρ0 的未加权的矩估计量 ˆ ρ2 : ρ0 的加权矩估计量 ˆ ρM L : ρ0 的极大似然估计量 ˆ ρ2 ˆ (.0052)[.0399] (.0016)[.0568] (.0095)[.0732] (.0039)[.0560] (.0085)[.0520] (.0093)[.1423] (.0329)[.1510] (.0064)[.1395] (.0052)[.0821] (.0151)[.0701] n = 100 (.0012)[.0278] (.0015)[.0395] (.0002)[.0483] (.0002)[.0389] (.0011)[.0290] (.0155)[.1057] (.0064)[.1020] (.0138)[.0886] (.0085)[.0531] (.0003)[.0226] (.0073)[.0709] .0209 .0552 .0673 .0561 .0177 .1375 .1460 .1355 .0789 .0238 ρM L ˆ (.0050)[.0263] (.0020)[.0540] (.0092)[.0634] (.0038)[.0524] (.0047)[.0419] (.0072)[.1405] (.0099)[.1461] (.0110)[.1449] (.0103)[.0728] (.0113)[.0622] .0205 .0528 .0624 .0530 .0156 .1226 .1310 .1384 .0735 .0220 .0130 .0420 .0444 .0390 .0191 .1198 .1124 .0911 .0578 .0184 .0648 (.0001)[.0213] (.0017)[.0375] (.0002)[.0422] (.0001)[.0369] (.0001)[.0269] (.0173)[.1065] (.0085)[.1028] (.0149)[.0891] (.0094)[.0508] (.0002)[.0203] (.0069)[.0705] .0121 .0407 .0404 .0354 .0161 .1117 .1007 .0804 .0528 .0165 .0632 2 表2: σν 估计值的绝对偏误(·), 标准差[·] 和均方误平方根 · 2 2 T = 5, (σµ , σν , β10 , β20 ) = (1, 1, 1, 1) n = 50 J 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 ρ0 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 2 0.5 2 -0.5 2 0 2 0.5 2 0.9 6 -0.9 6 -0.5 6 0 6 0.5 6 0.9 列平均值 σν,1 ˆ2 (.0007)[.1365] (.0038)[.1103] (.0039)[.0980] (.0007)[.1076] (.0143)[.1281] (.0045)[.1097] (.0007)[.1034] (.0137)[.0995] (.0031)[.1012] (.0086)[.1104] .1221 .1167 .0866 .1168 .1191 .1053 .1046 .0920 .1134 .1075 (.0037)[.0840] (.0045)[.0784] (.0085)[.0718] (.0116)[.0781] (.0052)[.1013] (.0035)[.0797] (.0041)[.0722] (.0007)[.0737] (.0048)[.0712] (.0058)[.0720] (.0053)[.0944] .0833 .0738 .0733 .0783 .0983 .0830 .0756 .0728 .0685 .0682 .0930 2 σν,1 : σν 的未加权的矩估计量 ˆ2 2 σν,2 : σν 的加权矩估计量 ˆ2 2 2 σν,M L : σν 的极大似然估计量 ˆ σν,2 ˆ2 (.0087)[.1184] (.0028)[.1071] (.0037)[.0965] (.0013)[.1070] (.0070)[.1092] (.0090)[.1101] (.0058)[.1025] (.0127)[.0998] (.0065)[.1006] (.0159)[.1051] n = 100 (.0003)[.0783] (.0037)[.0761] (.0075)[.0713] (.0126)[.0771] (.0245)[.0929] (.0002)[.0774] (.0063)[.0716] (.0009)[.0734] (.0065)[.0713] (.0012)[.0690] (.0069)[.0907] .1185 .1066 .0871 .1069 .1059 .1081 .1089 .0932 .1115 .1064 σν,M L ˆ2 (.0068)[.1048] (.0020)[.1029] (.0026)[.0945] (.0015)[.1027] (.0068)[.1022] (.0062)[.1009] (.0048)[.1006] (.0123)[.0908] (.0021)[.0916] (.0061)[.0956] .1025 .1010 .0841 .0968 .1016 .0909 .1003 .0877 .0983 .0977 .0762 .0738 .0720 .0807 .0916 .0817 .0741 .0738 .0685 .0668 .0906 (.0006)[.0723] (.0019)[.0724] (.0045)[.0688] (.0077)[.0701] (.0067)[.0891] (.0001)[.0725] (.0045)[.0678] (.0009)[.0704] (.0036)[.0683] (.0011)[.0680] (.0045)[.0807] .0710 .0718 .0670 .0698 .0906 .0782 .0722 .0704 .0666 .0623 .0840 2 表3: σµ 估计值的绝对偏误(·), 标准差[·] 和均方误平方根 · 2 2 T = 5, (σµ , σν , β10 , β20 ) = (1, 1, 1, 1) n = 50 J 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 ρ0 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 2 -0.9 2 -0.5 2 0 2 0.5 2 0.9 6 -0.9 6 -0.5 6 0 6 0.5 6 0.9 列平均值 σµ,1 ˆ2 (.0267)[.3181] (.0189)[.2807] (.0117)[.2641] (.0009)[.2720] (.0028)[.2868] (.0225)[.2826] (.0112)[.2745] (.0278)[.2505] (.0032)[.2438] (.0035)[.2503] .3295 .2809 .2545 .2508 .2491 .2877 .2557 .2365 .2472 .2346 (.0019)[.2004] (.0165)[.1791] (.0022)[.1724] (.0050)[.2093] (.0078)[.2475] (.0237)[.1931] (.0117)[.1881] (.0069)[.1782] (.0060)[.1700] (.0024)[.1893] (.0107)[.2325] .1932 .1861 .1801 .2120 .2472 .2064 .1720 .1760 .1829 .1921 .2291 2 σµ,1 : σµ 的未加权的矩估计量 ˆ2 2 σµ,2 : σµ 的加权矩估计量 ˆ2 2 2 σµ,M L : σµ 的极大似然估计量 ˆ σµ,1 ˆ2 (.0340)[.2921] (.0006)[.2578] (.0063)[.2641] (.0011)[.2492] (.0022)[.2666] (.0078)[.2530] (.0003)[.2561] (.0196)[.2512] (.0069)[.2433] (.0109)[.2494] n = 100 (.0067)[.1844] (.0180)[.1713] (.0002)[.1721] (.0086)[.1981] (.0091)[.2325] (.0222)[.1735] (.0181)[.1776] (.0036)[.1784] (.0104)[.1679] (.0066)[.1855] (.0097)[.2212] .2950 .2602 .2558 .2405 .2490 .2476 .2842 .2406 .2517 .2127 σµ,M L ˆ2 (.0198)[.2872] (.0026)[.2408] (.0104)[.2446] (.0017)[.2200] (.0020)[.2440] (.0066)[.2320] (.0014)[.2333] (.0112)[.2346] (.0053)[.2283] (.0087)[.2354] .2857 .2462 .2446 .2320 .2335 .2366 .2655 .2242 .2368 .2052 .1832 .1780 .1821 .1933 .2279 .1869 .1655 .1803 .1662 .1987 .2200 (.0026)[.1740] (.0140)[.1628] (.0009)[.1632] (.0044)[.1896] (.0059)[.2216] (.0195)[.1632] (.0155)[.1648] (.0027)[.1641] (.0083)[.1512] (.0042)[.1652] (.0074)[.2060] .1678 .1670 .1733 .1820 .2167 .1745 .1536 .1669 .1555 .1875 .2077 表4: β10 估计值的绝对偏误(·), 标准差[·] 和均方误平方根 · 2 2 T = 5, (σµ , σν , β10 , β20 ) = (1, 1, 1, 1) J 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 ρ0 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 2 -0.9 2 -0.5 2 0 2 0.5 2 0.9 6 -0.9 6 -0.5 6 0 6 0.5 6 0.9 列平均值 ˆ β1,OLS (.0199)[.2743] (.0099)[.1867] (.0037)[.1829] (.0232)[.2380] (.0368)[.6769] (.0109)[.1760] (.0040)[.1770] (.0022)[.1895] (.0099)[.2023] (.0072)[.6563] .2809 .1639 .1883 .2509 .7193 .1687 .1856 .1798 .1851 .6493 (.0018)[.1918] (.0004)[.1366] (.0055)[.1214] (.0212)[.1474] (.0349)[.5714] (.0063)[.1208] (.0097)[.1169] (.0102)[.1219] (.0041)[.1503] (.0178)[.4954] (.0120)[.2567] .2022 .1259 .1246 .1669 .5079 .1140 .1212 .1155 .1356 .5473 .2566 n = 50 ˆ β1,GLS 1 (.0065)[.1522] .1434 (.0088)[.1632] .1660 (.0042)[.1730] .1708 (.0268)[.2231] .2356 (.0421)[.6573] .6677 (.0055)[.1625] .1463 (.0022)[.1668] .1656 (.0013)[.1757] .1659 (.0032)[.1932] .1845 (.0030)[.6532] .6368 n = 100 (.0052)[.1107] .1074 (.0016)[.1189] .1195 (.0025)[.1182] .1229 (.0206)[.1369] .1615 (.0033)[.1086] .1080 (.0002)[.1056] .1066 (.0087)[.1089] .1226 (.0124)[.1194] .1230 (.0027)[.1409] .1356 (.0261)[.4768] .4551 (.0093)[.2133] .2122 ˆ β1,GLS 2 (.0067)[.1522] .1468 (.0086)[.1629] .1665 (.0042)[.1728] .1716 (.0267)[.2234] .2350 (.0420)[.6574] .6675 (.0053)[.1625] .1472 (.0027)[.1670] .1680 (.0009)[.1756] .1656 (.0031)[.1931] .1839 (.0030)[.6529] .6369 ˆ β1,M L (.0047)[.1432] (.0064)[.1519] (.0033)[.1627] (.0167)[.2134] (.0221)[.6324] (.0033)[.1528] (.0023)[.1573] (.0009)[.1596] (.0029)[.1770] (.0026)[.6128] .1365 .1566 .1618 .2147 .6422 .1321 .1499 .1484 .1682 .5880 (.0053)[.1107] (.0017)[.1191] (.0025)[.1182] (.0206)[.1368] (.0040)[.1007] (.0002)[.1058] (.0087)[.1090] (.0123)[.1195] (.0027)[.1410] (.0261)[.4767] (.0094)[.2129] (.0048)[.1008] (.0014)[.1092] (.0015)[.1084] (.0176)[.1249] (.0021)[.0903] (.0006)[.0958] (.0057)[.0989] (.0097)[.0975] (.0017)[.1280] (.0161)[.4328] (.0063)[.1975] .0974 .1023 .1107 .1485 .0949 .0967 .1102 .1121 .1168 .4123 .1950 ˆ β1,OLS : β10 的普通最小二乘估计量 ˆ β1,GLS 1 : β10 基于未加权的多余参数矩估计量的广义最小二乘估计量 ˆ β1,GLS 2 : β10 基于加权的多余参数矩估计量的广义最小二乘估计量 ˆ β1,M L : β10 的极大似然估计量 .1075 .1188 .1227 .1615 .1053 .1069 .1222 .1235 .1358 .4551 .2124 表5: β20 估计值的绝对偏误(·), 标准差[·] 和均方误平方根 · 2 2 T = 5, (σµ , σν , β1 , β2 ) = (1, 1, 1, 1) J 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 ρ -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 -0.9 -0.5 0 0.5 0.9 2 -0.9 2 -0.5 2 0 2 0.5 2 0.9 6 -0.9 6 -0.5 6 0 6 0.5 6 0.9 列平均值 ˆ β2,OLS (.0219)[.2422] (.0068)[.1003] (.0086)[.0895] (.0062)[.1030] (.0029)[.2142] (.0045)[.0933] (.0002)[.0966] (.0064)[.0952] (.0101)[.0921] (.0027)[.1514] .2592 .1017 .0929 .1050 .2205 .0943 .1023 .0998 .0997 .1389 (.0066)[.1588] (.0026)[.0761] (.0060)[.0622] (.0019)[.0743] (.0110)[.3389] (.0055)[.0690] (.0074)[.0643] (.0016)[.0661] (.0091)[.0617] (.0071)[.1179] (.0065)[.1184] .1502 .0697 .0649 .0734 .3233 .0688 .0698 .0658 .0599 .1150 .1188 n = 50 ˆ β2,GLS 1 (.0073)[.0618] .0602 (.0056)[.0619] .0620 (.0082)[.0722] .0730 (.0024)[.0664] .0645 (.0015)[.0552] .0470 (.0004)[.0606] .0562 (.0020)[.0725] .0753 (.0025)[.0706] .0747 (.0034)[.0693] .0691 (.0008)[.0581] .0619 n = 100 (.0008)[.0456] .0446 (.0014)[.0444] .0442 (.0029)[.0505] .0554 (.0015)[.0485] .0500 (.0023)[.0388] .0378 (.0007)[.0462] .0453 (.0064)[.0468] .0480 (.0006)[.0500] .0527 (.0023)[.0468] .0471 (.0009)[.0475] .0481 (.0027)[.0557] .0559 ˆ β2,GLS 2 (.0076)[.0619] .0616 (.0054)[.0618] .0666 (.0082)[.0721] .0723 (.0025)[.0664] .0650 (.0013)[.0551] .0485 (.0006)[.0608] .0548 (.0016)[.0725] .0759 (.0029)[.0706] .0763 (.0032)[.0695] .0694 (.0008)[.0583] .0622 ˆ β2,M L (.0054)[.0589] (.0048)[.0578] (.0070)[.0681] (.0015)[.0632] (.0009)[.0521] (.0004)[.0582] (.0012)[.0675] (.0027)[.0676] (.0028)[.0662] (.0008)[.0551] .0584 .0631 .0683 .0620 .0455 .0521 .0725 .0731 .0660 .0581 (.0007)[.0456] (.0014)[.0445] (.0029)[.0506] (.0015)[.0486] (.0026)[.0387] (.0007)[.0465] (.0064)[.0469] (.0005)[.0501] (.0023)[.0468] (.0009)[.0475] (.0027)[.0557] (.0006)[.0421] (.0011)[.0424] (.0024)[.0476] (.0012)[.0441] (.0022)[.0341] (.0007)[.0422] (.0061)[.0419] (.0005)[.0478] (.0022)[.0426] (.0007)[.0429] (.0023)[.0521] .0425 .0417 .0518 .0461 .0369 .0422 .0439 .0507 .0424 .0441 .0530 ˆ β2,OLS : β20 的普通最小二乘估计量 ˆ β2,GLS 1 : β20 基于未加权的多余参数矩估计量的广义最小二乘估计量 ˆ β2,GLS 2 : β20 基于加权的多余参数矩估计量的广义最小二乘估计量 ˆ β2,M L : β20 的极大似然估计量 .0450 .0441 .0548 .0501 .0392 .0453 .0469 .0537 .0465 .0480 .0563 ...
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